Unidad 4 Circuitos eléctricos

ELEMENTOS DE FíSICA

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4.1. Corriente eléctrica y unidades El movimiento de cargas eléctricas produce un fenómeno denominado corriente eléctrica. Si se considera una superficie S a través de la cual se mueven cargas eléctricas de manera perpendicular a ella, podemos decir que la corriente es la cantidad de carga que fluye por la superficie por unidad de tiempo. Esta aseveración se ilustra con la figura 4.1: La corriente puede ser representada por: I=

∆Q ∆t

[4.1]

Donde: ∆Q representa la cantidad de carga que fluye por la superficie, en coulombs (C). ∆t es el tiempo durante el cual fluye la carga, en segundos (s). I es la intensidad de corriente, en amperes (A).

Figura 4.1. Movimiento de cargas que producen una corriente.

Si la cantidad de carga está fluyendo, tendrá variaciones con respecto al tiempo, entonces: I»

dQ dt

La corriente puede ser generada por cargas positivas, negativas o ambas. Por convención, la corriente tiene la misma dirección que la del flujo de la carga positiva. La corriente es producida por el movimiento de los electrones, de modo que la dirección de la corriente es opuesta a la dirección del flujo de éstos. Supón que se tiene un conductor de área transversal S y longitud l. Su volumen está dado por S∆l ; si n es el número de cargas por unidad de volumen con carga q, la carga neta es ∆Q = nS∆lq. Si las cargas tienen una velocidad v p, la distancia recorrida es: ∆ l = vp ∆ t Por lo que: ∆Q = (nS vp ∆ t)q

Figura 4.2. Movimiento de cargas en un conductor.

Sustituyendo la ecuación anterior en (4.1), se tiene: I = nS vp q Lo anterior se ilustra en la figura 4.2.

[4.2]

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Unidad 4. Circuitos eléctricos

Donde: vp es la velocidad de los portadores de carga, conocida como velocidad de arrastre. q es la carga. S es el área de la sección transversal del conductor.

4.2. Densidad de corriente y resistencia La densidad de corriente J en un conductor de sección transversal S por donde circula una corriente I, se define como la corriente por unidad de área, es decir: I J= S Donde: J es la densidad de corriente, en amperes por metro cuadrado (A/m2). Si I = nS vp q Entonces:

J = n vp q

La densidad de corriente y el campo eléctrico se presentan cuando se mantiene una diferencia de potencial en el conductor, así: J = GE

[4.3]

Donde: G es la conductividad del conductor. E es el campo eléctrico. A los materiales que obedecen a 4.3, se les denomina “materiales óhmicos”, es decir, cumplen con la ley de Ohm, la cual establece que en muchos materiales (sobre todo gran parte de los metales), la proporción entre densidad de corriente y el campo eléctrico es una constante (G) independiente del campo eléctrico productor de la corriente.

4.3. Ley de Ohm Generalmente la ley de Ohm enuncia lo siguiente: “la intensidad de la corriente en un circuito es directamente proporcional al voltaje e inversamente proporcional a la resistencia”.

ELEMENTOS DE FíSICA

La resistencia es la oposición al paso de la corriente eléctrica en un conductor. Matemáticamente la ley de Ohm se expresa como: [4.4] I=V/R Para entender cómo funciona la ley de Ohm en un conductor, vea la figura 4.3. En este conductor existe una diferencia de potencial y por lo tanto existe una corriente circulando por él. La diferencia de potencial está dada por:

Figura 4.3. Alambre de sección transversal.

V = El Donde: V representa la diferencia de potencial (voltaje) en volts (V). E es el campo eléctrico en N/C. l es la distancia entre los puntos A y B, en metros (m). Recordando que la densidad de corriente es: J = GE entonces

J =G

y como

J= V =

Entonces

V l I S

l J G

 l  V = I  GS 

por lo tanto

El cociente l/GS representa la resistencia del conductor (R), entonces: R=

l por lo que GS

R=

V I

[4.5]

La resistencia está dada en ohms (W). Por otro lado, la conductividad G es el inverso de la resistividad ( r):

ρ=

1 G

[4.6]

Así: R=ρ

l S

[4.7]

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Unidad 4. Circuitos eléctricos

La resistividad es una propiedad específica de cada material y representa la oposición de dicho material al paso de la corriente. La resistividad es una propiedad del material que también depende de la temperatura, sus unidades de medida son los ohms-metro. Los buenos conductores presentan muy baja resistividad o alta conductividad y los buenos aislantes lo contrario. En la tabla 4.1 se muestran los valores de resistividad para algunos materiales a 20 °C.

Ejemplos • Determina la resistencia de un cilindro de cobre con una longitud de 20 cm y un área de 4 × 10 –4 m2. Solución: Aplicando la ecuación (4.7) y obteniendo r de la tabla 4.1, tenemos: r = 1.7 × 10 –8 W m

Tabla 4.1. Valores de resistividad.1

R=ρ Material

Resistividad (Ωm)

Plata

1.59 × 10 –8

Cobre

1.7 × 10 –8

Oro

2.44 × 10 –8

Aluminio

2.82 × 10 –8

Tungsteno

5.6 × 10 –8

l S

 20 × 10 −2 m  R = 1.7 × 10 –8 W m  2  −4  4 × 10 m  R = 8.5 × 10 –6 W

Hierro

10 × 10

Platino

11 × 10 –8

• Encuentra la resistencia de un cilindro de vidrio con una resistividad de 6 × 10 10 W m, si tiene una longitud de 15 mm y un área de 3 × 10 –4 m2.

Plomo

22 × 10 –8

Solución:

–8

–6

Nicromo

1.5 × 10

Carbono

3.5 × 10 –5

Germanio

0.46

Silicio

640

Vidrio

10 × 1010 – 10 × 1014

R=ρ

Cuarzo (fundido)

1

l S 10

15 × 10 −3 m Wm 3 × 10 −4 m 2

1 × 10

R = 6 × 10

75 × 1016

R = 3 × 10 12 W

15

Azufre

Aplicando la ecuación 4.7, tenemos:

Serway, Raymond, Electricidad y magnetismo, México, McGraw-Hill, 1999, p. 133.

ELEMENTOS DE FíSICA

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4.4. Tipos de resistencias En la mayoría de los circuitos eléctricos se usan resistencias con el propósito de controlar la corriente en cada sección de ellos. Las resistencias son elementos pasivos y existen dos presentaciones comerciales básicas: fijas y variables, estas últimas se dividen en potenciómetros y reóstatos. Una resistencia fija es un elemento de dos terminales cuya resistencia eléctrica es constante, mientras que un potenciómetro, perteneciente a las variables, es una resistencia con tres terminales, una en cada extremo y la tercera deslizable en su longitud; finalmente un reóstato tiene dos terminales, una fija y una variable. Las resistencias fijas pueden ser fabricadas de carbón, alambre o película. La resistencia de carbón básicamente es una barra de carbón sólida con terminales en sus extremos. El material es una mezcla de tierra fina de carbón o grafito con un material no conductor, generalmente sílice. Las resistencias de carbón tienen buen funcionamiento para altas frecuencias, manteniendo su valor nominal sin producir ruido. Estas resistencias basan su valor en un código de colores, la tabla siguiente muestra este código. Color

Franjas 1 y 2

Franja 3

Franja 4

Negro

0

×1

Café

1

× 10

+/–1%

Rojo

2

× 100

+/–2%

Anaranjado

3

× 1 000

+/–3%

Amarillo

4

× 10 000

+/–4%

Verde

5

× 100 000

Azul

6

× 1 000 000

Violeta

7

Gris

8

Blanco

9

Figura 4.4. Resistencias.

Tabla 4.2. Código de colores para resistencias comerciales.

Oro Plata

La interpretación es la siguiente: La primera y segunda franja corresponden al primer y segundo dígito o cifra significativa. La tercera franja es la multiplicadora, es decir, la potencia base diez por la que se multiplican las dos franjas anteriores. La cuarta franja indica la tolerancia, es decir, los límites máximo y mínimo dentro de los cuales podrá diferir el valor de la resistencia.

Figura 4.5. Código de colores para resistencias.

120

Unidad 4. Circuitos eléctricos

Ejemplo • Se tiene una resistencia con los siguientes colores: primera franja café, segunda franja roja, tercera franja roja y cuarta franja plata. El valor de la resistencia se determina utilizando el código de colores de la tabla 4.2 y se obtiene: Franja 1: 1 Franja 2: 2 Franja 3: × 100 Franja 4: 10%

Figura 4.6. Símbolo de resistencias: a) resistencia ija, b) resistencia variable.

Entonces la resistencia tendrá un valor de 12 × 100 = 1200 W +/– 10% de ese valor. Las resistencias de alambre son fabricadas en una gran variedad de valores, tolerancias y potencia. Tienen bajo valor resistivo, bajo ruido y una alta disipación de potencia. Están compuestas por alambre enrollado alrededor del cuerpo de un cilindro aislante. En las resistencias de película, una delgada placa de material resistivo (carbón o algún óxido de metal) se deposita sobre una superficie cilíndrica de cerámica o de vidrio. Por lo que respecta a las resistencias variables, éstas son construidas sobre una tira circular plana en la que se enrolla alambre de nicromel, y se dispone también de un contacto giratorio que puede moverse a voluntad a lo largo de la resistencia (todo montado en una cápsula metálica de forma cilíndrica), de tal manera que pueden obtenerse valores de resistencia dentro de un rango que va desde 0 W hasta un valor máximo especificado en el cuerpo de la resistencia. Las resistencias variables pueden fabricarse en carbón, alambre o plástico conductivo.

4.4.1. Variación de la resistividad con la temperatura La resistividad depende de varios factores, uno de ellos es la temperatura. En los conductores la resistividad aumenta con la temperatura, la cual varía de forma lineal de acuerdo con: r = r0 [1 + α (T – T0)]

[4.8]

Donde: r r0 α

es la resistividad a cierta temperatura. representa la resistividad a una temperatura de 20 ºC. es el coeficiente de temperatura de resistencia, el cual puede ser determinado mediante la siguiente expresión:

ELEMENTOS DE FíSICA

α=

121

1 ∆ρ ρ0 ∆T

Donde: D r = r – r0 es el cambio en la resistividad. DT es un intervalo de temperatura (T – T0). En la tabla 4.3 se muestran algunos coeficientes de temperatura para algunos materiales. Análogamente, la variación de la resistencia con la temperatura está dada por la expresión: R = R 0 [1 + α(T – T0)]

[4.9]

Ejemplo • Un alambre de aluminio tiene una resistencia de 150 W cuando se encuentra a los 10° C. Entonces su tempertaura se incrementa hasta 60° C. A esta nueva temperatura, ¿cuánto vale su resistencia? Solución: Aplicando la ecuación 4.9 y obteniendo α de la tabla 4.3, tenemos: α = 3.9 × 10

–3

R = R0 [1 + α (∆T)] R = 150[1 + 3.9 × 10 (60 – 10)] –3

R = 179.25 W

Material

Coeiciente de temperatura α, (20ºC)

Plata

3.8 × 10 –3

Cobre

3.9 × 10 –3

Oro

3.4 × 10 –3

Aluminio

3.9 × 10 –3

Tungsteno

4.5 × 10 –3

Hierro

5 × 10 –3

Platino

3.92 × 10 –3

Plomo

3.9 × 10 –3

Nicromo

0.4 × 10 –3

Carbono

–0.5 × 10 –3

Germanio

–48 × 10 –3

Silicio

–75 × 10 –3

4.5. Efecto de la ley de Joule Los electrones libres de los cuerpos metálicos, al desplazarse por el efecto de un campo eléctrico, ganan energía cinética provocada por el choque entre ellos dentro de la estructura del material. El intercambio de energía debido

2

Ibidem.

Tabla 4.3. Coeicientes de temperatura.2

122

Unidad 4. Circuitos eléctricos

al choque entre electrones acelerados por el campo eléctrico, provoca que el material incremente su temperatura, y por ende varíe su resistividad. La ley de Joule representa la energía que se transforma en calor cada segundo en un dispositivo de resistencia R, por el cual circula una corriente. En una resistencia pura, la energía eléctrica que recibe en un segundo se transforma en calor, y se expresa en potencia eléctrica de la siguiente forma: P=

V2 R

[4.10]

Donde P es la potencia en watts (W). V es el voltaje, en volts (V). R es la resistencia del material, en ohms (W).

Ejemplo

• Una resistencia de 480 W está conectada a una diferencia de potencial de 240 V. Calcula la potencia eléctrica. Solución: Aplicando la ecuación 4.10 tenemos: P= P=

V2 R (240 V )2 =120 W 480 W

4.6. Resistencias en serie y en paralelo

Figura 4.7. Resistencias en serie.

Las resistencias pueden ser conectadas en serie, en paralelo o en una combinación serie-paralelo, según convenga. La conexión en serie implica conectar la terminal de una resistencia con la terminal de otra, es decir, una tras otra, como se muestra en la figura 4.7. Si se desea encontrar la resistencia equivalente de un arreglo en serie de n resistencias, se emplea la siguiente ecuación: Req = R1 + R 2 + R3 + R4 + ... + Rn

[4.11]

La conexión de resistencias en paralelo se muestra en la figura 4.8.

ELEMENTOS DE FíSICA

La resistencia equivalente de un arreglo de n resistencias en paralelo es: Req =

1 1 1 1 1 1 + + + + ... + R1 R2 R3 R4 Rn

[4.12] Figura 4.8. Resistencias en paralelo.

Cuando sólo se tengan dos resistencias en paralelo se puede emplear la siguiente expresión: Req =

R1 R2 R1 + R2

[4.13]

Ejemplos • Se tiene el siguiente arreglo resistivo:

Determina la resistencia equivalente entre los puntos A y B. Solución: Las resistencias presentes en el circuito están conectadas en serie, por lo que se aplica la ecuación 4.11. Entonces: Req = 1 kW + 1 kW + 100 kW = 102 kW • Se tiene el siguiente arreglo de resistencias:

Determina la resistencia equivalente entre los puntos A y B. Solución: Las resistencias del circuito se encuentran conectadas en paralelo, de modo que para encontrar la resistencia entre A y B, se debe aplicar la ecuación 4.12:

123

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Unidad 4. Circuitos eléctricos

Req =

1 1 1 1 1 1 + + + + ... + R1 R2 R3 R4 Rn

R AB =

1 = 0.545 kW = 545 W 1 1 1 + + 1 kW 2 kW 3 kW

• Se tiene el siguiente circuito resistivo:

Determina la resistencia equivalente entre los puntos A y B. Solución: Las resistencias 3 y 4 están en serie, por lo que la resistencia formada por ellas se calcula por medio de: Req = R3 + R4 = 2 kW + 2 kW = 4 kW El circuito resultante es:

Ahora la resistencia R 34 y la resistencia R 2 forman un arreglo paralelo por lo que la resistencia formada por éstas se calcula así:

R234 =

R2 R34 (1 kW)(4 kW) = = 800 W 1 kW + 4 kW R2 +R34

ELEMENTOS DE FíSICA

El circuito resultante es:

Finalmente se observa que la resistencia R1 y la resistencia R 234 forman un arreglo en serie, así que la resistencia entre A y B es: R AB = R1 + R 234 = 1 kW + 800 W = 1.8 kW • Calcular la corriente que circula por cada una de las resistencias del siguiente circuito y las caídas de potencial (voltajes) que producen:

Solución: Para obtener la corriente del circuito, primero debemos conocer el valor de la resistencia equivalente. Las resistencias de 2.2 kW y 4.7 kW se encuentran en paralelo, por lo que la resistencia equivalente de ambas es: R=

(2.2 kΩ)(4.7 kΩ) ≅ 1.5 kΩ 2.2 kΩ + 4.7 kΩ

Ahora, la resistencia de 1.5 kW se encuentra en serie con las resistencias de 1 kW, por lo que la resistencia equivalente del circuito es de: R = 1 × 103 + 1 × 103 + 1.5 × 103 = 3.5 kW Para calcular la corriente se aplica la ley de Ohm: I=

V R

125

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Unidad 4. Circuitos eléctricos

Por lo que la corriente total es: II= =

20 = 5.71 × 10 –3 A 3 3.5 × 10

I = 5.71 mA Si se quisiera encontrar la corriente o el voltaje en cada resistencia, partimos del último circuito obtenido:

Como el circuito está en serie, entonces I = 5.71 mA es la corriente que circula en las tres resistencias; ahora, para saber cuál es la corriente que circula por la resistencia de 4.7 kW del circuito original, se aplica un divisor de corriente entre las resistencias de 2.2 kW y 4.7 kW que se encuentran en paralelo:

I R4.7k  =

2.2 (5.71 mA) = 1.82 mA 2.2 + 4.7

I R2.2k  =

4.7 (5.71 mA) = 3.89 mA 2.2 + 4.7

Para calcular los voltajes en las resistencias, se aplica la ley de Ohm: V = IR V 1 kW = (5.71 × 10 –3)(1 × 103) = 5.71 V V 1 kW = (5.71 × 10 –3)(1 × 103) = 5.71 V V 2.2 kW = (3.89 × 10 –3)(2.2 × 103) = 8.55 V V 4.7 kW = (1.82 × 10 –3)(4.7 × 10 –3) = 8.55 V

ELEMENTOS DE FíSICA

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4.7. Fuerza electromotriz Una fuente fem (fuerza electromotriz) es un dispositivo como una batería o un generador que produce un campo eléctrico, el cual origina un movimiento de cargas dentro de un circuito eléctrico. La fem describe el trabajo realizado por unidad de carga, y su unidad en el SI es el volt. Consideremos el circuito de la figura 4.9, el cual tiene una fuente de alimentación y una resistencia, la terminal positiva de la fuente está a un potencial más alto que la terminal negativa; si omitimos la resistencia interna de la fuente de alimentación, entonces la diferencia de potencial es igual a su fem. En la realidad las baterías, las fuentes de alimentación, los generadores, etc., presentan una resistencia interna (r), por lo que el voltaje entre sus terminales no es igual a su fem. Así que la figura 4.9 prácticamente puede representarse mediante la figura 4.10. Como notarás, existe un flujo de corriente en el circuito que corre del punto b al punto a, de modo que el voltaje en las terminales de la fuente es:

Figura 4.9. Circuito resistivo con fem.

V = vb – va Es decir: V = fem – Ir Aplicando la ley de Ohm tenemos: fem = IR + Ir Por lo que la corriente en el circuito es: Figura 4.10. Fem real.

fem I= R+r

[4.14]

De la ecuación anterior se observa que la corriente en el circuito depende de la resistencia R y la resistencia interna de la fuente; generalmente r es muy pequeña comparada con R, por lo que puede ser despreciada. Por otro lado, la potencia en el circuito puede ser calculada por P = I V, así que la potencia total de la fem es (I)(fem), la cual no es más que la potencia disipada como calor (joule) en la resistencia de carga.

 Elementos de física

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Nombre: Grupo:

Número de cuenta:

Profesor:

Campus:

Autoevaluación 1. Se dispone de un cilindro de tungsteno con un área de la base de 6 × 10 –4 m 2 y 3 m de longitud. ¿Cuál es el valor de su resistencia eléctrica? 2. Se desea construir una resistencia de nicromo con un valor nominal de 20 ohms; se dispone de cable con un radio de la sección transversal de 0.05 cm. ¿Cual será la longitud de la mencionada resistencia? 3. Un cubo de oro tiene aristas de 5 cm de longitud. ¿Cuál es el valor de su resistencia eléctrica? 4. Un alambre de hierro tiene una resistencia de 250 ohms cuando la temperatura es de 26 °C; ¿qué temperatura debe alcanzar el alambre para elevar un 1% su resistencia? 5. a) Describe qué colores tendrá una resistencia de 1 500 ohms y una tolerancia de 2%. b) ¿Cuál es el valor de una resistencia que tiene las siguientes franjas: 1ª amarilla, 2ª café, 3ª anaranjada, 4ª oro. c) ¿Cuál es el valor de una resistencia que tiene las siguientes franjas: 1 roja, 2 violeta, 3 anaranjada y 4 plata. 6. a) Determina la resistencia equivalente entre los puntos A y B del siguiente arreglo de resistencias.

b) Si entre A y B se coloca una fem de 25 V, ¿cuál es el valor de la intensidad de corriente en el circuito? 7. a) Obtén la resistencia equivalente en el siguiente circuito de resistencias:

b) Calcula la intensidad de corriente que pasa a través de RC. c) ¿Cuál es el valor de la intensidad de corriente total?

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8. Encuentra la resistencia equivalente del siguiente circuito.

a) Si entre los puntos A> y E se pone una fem de 220 V, ¿cuál es el valor de la intensidad de corriente total? b) Calcula la intensidad de corriente en las resistencias de: i. 10 ohms ii. 30 ohms c) Demostrar que la caída de potencial VAE = VAE + VBD + VDE 9. Se dispone de 5 resistencias de 200 ohms cada una de ellas; sugiere la forma de conectarlas con objeto de que: a) La resistencia equivalente sea máxima. b) La resistencia equivalente sea mínima. 10. Se construyó un circuito con resistencias iguales como el que se muestra a continuación:

Calcular: a) La resistencia equivalente total. b) La intensidad total en el circuito. c) Las siguientes diferencias de potencial VAB = VBC + VBD + VAE 11. Se dispone de 5 resistencias de 200 ohms cada una de ellas; sugiere la forma de conectarlas con objeto de que: a) La resistencia equivalente sea máxima. b) La resistencia equivalente sea mínima.

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