REPUBLICA DE COLOMBIA SECRETARIA DE EDUCACION DISTRITAL DE SANTA MARTA INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resolución Nº 883 de noviembre.28/02 Emanada de la Secretaria De Educación Distrital DANE Nº147001-000994 TELF 4336535 Barrio Bastidas Santa Marta DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS UNIDAD Nº 1: LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA 2 DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA GRADO DECIMO 1. LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS Una razón trigonométrica es el cociente entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo; Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las seis relaciones trigonométricas que se expresan a continuación: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec). a: cateto opuesto b: cateto adyacente

c

a

c: hipotenusa

b En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:

cateto opuesto a cos hipotenusa c cateto opuesto a sec cateto adyacente b cateto adyacente b cateto opuesto a

Sen tan cot g

cateto adyacente b hipotenusa c hipotenusa c cateto adyacente b

Aquí podemos darnos cuenta que basta con conocer las funciones sen otras funciones, veamos por qué: tan

=

sen cos

cot

=

cos sen

sec

=

1 cos

hipotenusa cateto opuesto

cos c

y cos

c a

para poder calcular las

cosec

=

1 sen

Ejemplo: 1) Un ángulo agudo

tiene

sen

3 . Halla las restantes razones trigonométricas de este ángulo. 5 Solución

Según la definición:

cateto opuesto hipotenusa

Sen

a , comparando con sen c

3 , se deduce fácilmente que a = 3 5

y c = 5, Para

hallar el lado b (cateto adyacente) se utiliza el teorema de Pitágoras que ya mencionó:

b2

a 2 c 2 , reemplazando valores se tiene

b2

52 32

25 9 16, extrayendo raiz se tiene

b 16 b 4 Con los valores de la hipotenusa, y los catetos adyacente y opuesto, se procede a calcular las siguientes relaciones:

Senα

cosα

tanα

coscα

cateto opuesto 3 0,6 hipotenusa 5 cateto adyacente 4 0,8 hipotenusa 5 cateto opuesto cateto adyacente

hipotenusa cateto opuesto

3 4

0,75

5 1,66 3

senα 0,6

cosα 0,8

tanα 0,75 secα

coscα 1,66

cot g

hipotenusa cateto adyacente

5 1,25 4

cateto adyacente cateto opuesto

4 1,33 3

Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha , Licenciado en matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

secα 1,25 cot g

1,33

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2) Hallar el valor de las relaciones trigonométricas del siguiente triángulo rectángulo Solución

c

2 4

Antes de entrar a revisar el valor de las relaciones trigonométricas se calcula el valor de la hipotenusa

c2

a2

b 2 , reemplazando valores se tiene

c2

22

42

c

20

c

2 5

4 16 20, extrayendoraiz se tiene

Con los valores de la hipotenusa, y los catetos adyacente y opuesto, se procede a calcular las siguientes relaciones:

Senα

cateto opuesto hipotenusa

2

5 5

2 5

tanα

cateto opuesto cateto adyacente

2 4

coscα

hipotenusa cateto opuesto

2 5 2

1 2 5

cosα

cateto adyacente hipotenusa

2 5

2 5 5

secα

hipotenusa cateto adyacente

2 5 4

5 2

cotgα

cateto adyacente cateto opuesto

4 2

4

2

ACTIVIDAD Nº 1 1) En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos agudos. a)

b)

6

10

3 2

2 5

8 2) Dada la función encontrar el valor de las otras cinco relaciones 2 2 2 2) a) sen 23º = b) cos 73º = 5 7

c) tang 7º =

1 8

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. QOP y TOS son triángulos semejantes. QOP y T'OS′ son triángulos semejantes. El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa. -1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1 SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:

Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha , Licenciado en matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

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ANGULOS NOTABLES Los ángulos notables son aquellos cuyas relaciones trigonométricas presentan ciertas características especificas que los diferencian de los demás ángulos RELACIONES SENO, COSENO Y TANGENTE DE 0º Se considera la circunferencia goniométrica de radio 1, en este caso, x = r = 1, mientras y = 0

0 1

sen 0

0

1 0

cotg0 El símbolo

cos 0

1 1

1

tan 0

sec 0

1 1

1

cosc 0

0 1

0

1 0

, significa que la relación no existe para este ángulo

RELACIONES SENO, COSENO Y TANGENTE DE 90º Se considera la circunferencia goniométrica de radio 1, en este caso, y = r = 1, mientras x = 0

1 1

sen 90

cotg 90

1 0 1

0 1

cos 90

0

0

1 0

sec9 0

1 0

tan 90

cosc 90

0 1

0

SENO, COSENO Y TANGENTE DE 30º Para determinar sus razones tenemos en cuenta que se forma un triángulo equilátero:como r = 1, y como el triangulo es equilátero, se observa que y es la mitad de uno de sus lados, es decir y

r 2

1 , 2

Aplicando el teorema de Pitágoras

r2

x

y2

12

( 21 ) 2

1

1 4

3 4

3 4

3 2

luego

sen 30

tan 30

1 2 3 2

2 2 3

1 3

1 2 1

1 2

cos 30

3 2 1

3 2

3 3

SENO, COSENO Y TANGENTE DE 60º Formamos el triángulo equilátero de la figura, en este caso, se observa que la abcisa x es la mitad de uno de sus lados, es decir x

r 2

1 2

Aplicando el teorema de Pitágoras Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha , Licenciado en matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

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y

r2

x2

12

( 21 ) 2

1

3

3 4

1 4

3 2

4

Se calcula el valor de estas tres relaciones trigonometricas

sen 60

3 2 1

3 2

1 2 1

sen 60

1 2

3 2 1 2

tan 60

2 3 2

3

SENO, COSENO Y TANGENTE DE 45º La x y la y son iguales, por lo que se forma un triángulo isósceles 2 Por el teorema de Pitágoras r

r

2

x

2 2

x

sen 45

2 2 1

2 2

r 2

x

2

x2

y 2 , pero com0

x

= y , entonces

2

2x , de donde 1 2

cos 45

2 y como x = y, luego y 2

2 2

2 2 1

1

2 2

tan 45

2 2 2 2

RESUMEN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

Calcular las razones de 15º (a partir de las de 45º y 30º). 2. RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Resolver un triángulo en general equivale a determinar el valor de los tres ángulos y los tres lados. Para Un triángulo rectángulo es necesario conocer la medida de por lo menos dos elementos Conociendo la medida de dos lados: utilizamos el teorema de Pitágoras y razones trigonométricas Conociendo las medidas de un ángulo agudo y un lado: hallamos la medida del otro ángulo, luego aplicamos alguna razón trigonométrica para encontrar la medida de uno de los otros lados (cateto o hipotenusa) y por último se usa el teorema de Pitágoras o nuevamente una razón trigonométrica Ejemplos: 1. Encontrar la medida del ángulo y cuales son las longitudes de los lados del triángulo de la figura Solución Para hallar el ángulo , se tiene en cuenta la ley que establece que: “en todo triángulo la suma de los tres ángulos interiores es igual a 180º “

α

c

4m

30º

a

Es decir: 90º + 30º +

= 180º = 180º - 120º = 60º Para calcular el valor de cualquiera de los otros lados c, se puede usar una razón trigonométrica que involucre al cateto opuesto al ángulo de 30º con la hipotenusa, en este caso el seno

Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha , Licenciado en matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

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4 despejando c, se tiene c 4 4 c sen30º 0,5 c 8m Sen30º

Para hallar el lado a se utiliza el teorema de Pitágoras

a2

c2

b2

a

48cm 2

a2

4 3cm

(8cm) 2

(4cm) 2

64cm 2

16cm 2

48cm 2 , extrayendo raíz cuadrada

ACTIVIDAD Nº 2: Resuelve cada uno de los siguientes triángulos b) c)

= 32º y b = 25 cm = 24º y a =16cm

d)

= 71º y c = 44cm

e)

= 81º12’ ; a = 43,6

c a

f) b = 4cm ; c = 6cm 3. ANGULOS DE ELEVACION Y DE DEPRESION

b

Angulo de Elevación. Si un objeto esta por encima de la horizontal, se llama ángulo de elevación al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto. Angulo de Depresión. Si un objeto esta por debajo de la horizontal, se llama ángulo de depresión al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto.

Nota. Los ángulos de elevación y de depresión son congruentes entre rectas paralelas que simulan la línea del horizonte.

4. APLICACIONES ELEMENTALES DE LA RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Una clave importante para facilitar la solución de problemas mediante la resolución de triángulos es el correcto conocimiento de las razones trigonométricas generalmente en estos problemas nos proporcionan el valor de un ángulo agudo, un lado conocido y un lado desconocido, la facilidad esta en observar como se relacionan estos dos valores, además es importante hacer un bosquejo gráfico de la situación planteada como se presenta en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1: Un edificio Refleja una sombra de 23 metros y el sol forma un ángulo de elevación con el piso de 30°. Determine la altura del edificio

Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha , Licenciado en matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

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a 30° 23m

Solución En la gráfica se señalan, el lado conocido (la sombra) y el lado desconocido (la altura) que con respecto al ángulo agudo forman la tangente pues se tiene la relación del cateto opuesto con el cateto adyacente. El planteamiento del problema y el despeje a partir de los conocimientos obtenidos en despeje de ecuaciones resuelven el valor de la altura del edificio que para ubicarnos en el triángulo rectángulo estamos hablando del cateto opuesto. Por definición

cateto opuesto cateto adyacente

tanθ

a

a despejando a (cateto opuesto) 23m 23m x tan30 23m 0,577

a

13,2m

En este caso tan30

Luego la altura del edificio es de 13, 2 metros En síntesis se debe buscar la razón trigonométrica que mejor relacione los datos y seguir el camino del despeje de ecuaciones, esta es solo una forma de proceder en general los problemas en matemáticas dependen en gran medida de las relaciones que haga el individuo con lo que se le presenta y lo conocido por el ACTIVIDAD Nº 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando triángulos rectángulos, en cada caso hacer un dibujo 1. Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8m cuando el ángulo de elevación del sol es de 53º. Haz un dibujo del problema. 2. Un avión se encuentra a 2300m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º? Haz un dibujo del problema 3. Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 43º?. Haz un dibujo del problema 4. La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué altura alcanza el cometa? 5. Manuel, un astrónomo principiante, midió el ángulo que se muestra en la figura para calcular la distancia que hay entre los centros de la Luna y la Tierra. Considerando que el radio de la Tierra es 6380 km, ¿qué resultado obtuvo Manuel? Tierra

Luna

10º

6. Cuál debe ser el ángulo de inclinación de un avión próximo a aterrizar, si acaba de sobrevolar a una altura

Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha , Licenciado en matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

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de 450m aun galpón que se encuentra a 35 Km del aeropuerto 35Km 7. Cuál es la altura del puente que cruza un rio de 35m de ancho,si desde uno de los extremos se vé la base del mismo pero del lado opuesto con un ángulo de depresión de 15º

8. Una torre de 135 pies de altura está situada a la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión de la torre de un objeto en la orilla opuesta del lago es 36º. ¿Cuál es el ancho del lago?

Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha , Licenciado en matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

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