Segunda Prueba Integral

Lapso 2 009 - 2

734 - 1/5

Universidad Nacional Abierta

Matemática III (734)

Vicerrectorado Académico

Cód. Carrera: 610 - 612 - 613

Área de Matemática

Fecha: 12 - 12 - 2 009

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1, 2, 3 y 4 OBJ 1 PTA 1 a) Una persona contrajo una deuda hace 5 meses por Bs 3 500 000 a 30% de interés simple y con fecha de vencimiento dentro de 3 meses. Además, debe pagar otra deuda contraída hace un mes por Bs 2 347 000 a 24% de interés la cual vence dentro de 2 meses. La persona desea cambiar las condiciones de pago de estas deudas, y llega al siguiente acuerdo con su acreedor: pagar Bs 2 000 000 en este momento y, saldar la deuda con un pago final en 6 meses contados a partir de la presente fecha. La tasa de interés pactada para la nueva forma de pago se fija en 36%, determine el valor del pago final. Considere como fecha focal la correspondiente al pago final. Sugerencia: Elabore un diagrama de tiempo. b) Se obtiene un préstamo por Bs 2 000 000 valor que incluye los intereses a un plazo de 60 días, siendo la tasa de descuento del 36%. Calcule a cuánto ascenderá el descuento y cuál es el capital realmente recibido. Solución: a) Sea X el valor del pago final que deberá realizar la persona al cabo de 6 meses para cancelar totalmente la deuda. Consideremos la ecuación de valores tomando como fecha focal la correspondiente a 6 meses, por lo tanto, tenemos que: 8 ⎞⎛ 3 ⎞ 3 ⎞⎛ 4 ⎞ ⎛ ⎛ 3 500 000 ⎜ 1 + 0,3 x ⎟ ⎜ 1 + 0,36 x ⎟ + 2 347 000 ⎜ 1 + 0,24 x ⎟ ⎜ 1 + 0,36 x ⎟ = 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ ⎝

6 ⎞ ⎛ 2 000 000 ⎜ 1 + 0,36 x ⎟ +X 12 ⎠ ⎝

3 ⎞ 4 ⎞ ⎛ ⎛ 4 200 000 ⎜ 1 + 0,36 x ⎟ + 2 487 820 ⎜ 1 + 0,36 x ⎟ = 2 360 000 + X 12 ⎠ 12 ⎠ ⎝ ⎝ 4 578 000 + 2 786 358,4 = 2 360 000 + X X = 5 004 358,4 b) Recordemos que el descuento bancario es equivalente a calcular los intereses sobre el valor nominal, en este caso el valor nominal es el monto, por lo tanto tenemos que: D = 2 000 000 X0,36 X(2/12) = 120 000. El capital realmente recibido, esto es, el valor actual A, viene dado por la diferencia entre el valor nominal (monto) y el descuento, esto es: Elaborado por: Frankie Gutiérrez

Área de Matemática

Segunda Prueba Integral

Lapso 2 009 - 2

734 - 2/5

A = 2 000 000 - 120 000 = 1 880 000 OBJ 2 PTA 2 a) Dado el 36% nominal convertible semestralmente, hallar la tasa equivalente bimestral.

b) Una deuda de Bs F 15 000 contraída hace 2 meses con vencimiento en 4 meses tiene intereses del 24% nominal convertible trimestralmente; y otra deuda de Bs F 25 000 contraída hace 1 mes y vencimiento en 8 meses e intereses del 28% nominal convertible semestralmente, va a ser cancelada mediante 2 pagos de igual valor, efectuando el primero de ellos el día de hoy y el segundo en 6 meses. Con un interés del 30% nominal convertible mensualmente, determine el valor de los pagos. NOTAS: • Use en sus cálculos cuatro (4) cifras decimales. • Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambas partes de la pregunta. Solución:

a) Recordemos que: Dos (2) tasas de interés son equivalentes, si operando bajo modos de capitalización diferentes producen el mismo valor final, es decir, el mismo monto.

Lo anterior expresa el hecho de que: El monto M producido por un capital de Bs C a una tasa de interés del 36% nominal convertible semestralmente, es igual al monto producido por ese mismo capital C a una tasa de interés i compuesta seis veces al año, esto es: 2

6

i⎞ ⎛ 0,36 ⎞ ⎛ C ⎜ 1+ ⎟ = M = C ⎜ 1+ ⎟ . 2 ⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ Simplificando resulta que:

(1+ 0,18 )

2

i⎞ ⎛ = ⎜ 1+ ⎟ 6⎠ ⎝

6

⇒

6 ⎡⎢(1,18 ) ⎣

13

- 1⎤⎥ = i ⎦

de donde operando nos queda: i = 34,0331%.

Por lo tanto, la tasa de interés nominal anual convertible bimestralmente equivalente al 36% nominal convertible semestralmente es: i = 34,0331% Observación: Para hallar tasas equivalentes, no hace falta aprenderse las fórmulas, lo que realmente es importante aprender y entender, es la definición de equivalencia entre tasas.

b) Antes de comenzar con nuestros cálculos, recordemos una vez más que: La tasa de interés y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de tiempo. Elaborado por: Frankie Gutiérrez

Área de Matemática

Segunda Prueba Integral

Lapso 2 009 - 2

734 - 3/5

En virtud de lo dicho anteriormente y considerando como fecha focal (ff) la correspondiente al mes 4 y que X representa el valor de los pagos por determinar, tenemos que: 15 000(1,06)2 + 25 000(1,14)1,5(1,025)4/3 = X(1,025)4/3 + X(1,025)- 2/3 16 854 + 25 000(1,2172)(1,0335) = (1,0335)X + 0,9529X 48 303,4050 = 1,9864X X = 24 317,0585 Comentarios:

• 24% nominal convertible semestralmente es equivalente a 6% semestral. • 30% nominal convertible mensualmente es equivalente a 2,5% mensual. OBJ 3 PTA 3 Una deuda de Bs 50 000 000 con tasa preferencial del 21% efectivo, se debe amortizar en 4 años con el siguiente plan: cuotas semestrales iguales más cuotas extraordinarias de Bs 5 000 000 cada final de año. Hallar el valor de las cuotas. Solución:

Consideremos el siguiente diagrama: 50 000 000 SEMESTRE 0

1 T

2

3

4

6

5

7

8

T T T T T T T + + + + 5 000 000 5 000000 5 000 000 5 000 000

T representa el valor de las cuotas semestrales que hay que cancelar. Por lo tanto, como el valor actual de la deuda es igual a la suma de los valores actuales de las cuotas semestrales más las cuotas extraordinarias, tenemos: 50 000 000 = T a 8

i

+ 5 000 000 a 4

0,21

donde i es la tasa nominal, esta la calculamos como sigue: p

⎛ i⎞ e = ⎜ 1 + ⎟ - 1, p⎠ ⎝ siendo p = 2 (¿por qué?). Sustituyendo: 2

i⎞ ⎛ 0,21 = ⎜ 1 + ⎟ - 1 2⎠ ⎝

⇒

i = 0,2 = 20%.

De lo anterior se desprende que la tasa semestral es del 10%, así: 50 000 000 = T a8

a 0,1 8⎤ 0 , 1

+ 5 000 000 a4

0,21

Elaborado por: Frankie Gutiérrez

Área de Matemática

Segunda Prueba Integral

Lapso 2 009 - 2

50 000 000 = T

( 1,1 )

1 -

0,1

734 - 4/5

-8

+ 5 000 000

1 -

( 1,21 )

- 4

0,21

= T(5,335) + 5 000 000(2,54047) = T(5,335) + 12 702 350 37 297 650 = T(5,335) T=

37 297 650 ≈ 6 991 124,64854 5,335

OBJ 4 PTA 4 Una persona desea comprar un carro. El valor del vehículo es Bs 10.880.000. Le exigen una cuota inicial del 40% y el resto cancelarlo en 12 cuotas mensuales. Para reducir el costo de las cuotas mensuales, ofrece dar 2 cuotas extraordinarias de Bs 870.400 cada una, la primera a los 6 meses y la segunda a los 12 meses. Elaborar una tabla de amortización. Suponga intereses del 30% convertible mensualmente. Solución:

Calculemos el valor de las cuotas, para esto consideremos la siguiente ecuación de valor: 6 528 000 = Tan i + 870 400(1 + 0,025)− 6 + 870 400( 1 + 0,025)− 1 2 donde T es el valor de las cuotas, n = 12 e i = 0,025. ⎡ 1- ( 1+ i 6 528 000 = T ⎢ i ⎢⎣

)

-n

⎤ ⎥ + 750 543,192132 + 647 191,042343. ⎥⎦

−12 ⎤ ⎡ 1 − ( 1025 , ) ⎥ + 1 397 734,23448. 6.528.000 = T ⎢ 0,025 ⎥⎦ ⎢⎣

5 130 265,76552 = T(10,2577645983). T=

Periodo

Cuota

5130 . .265,76552 = 500 134,870162 10,2577645983 Interés

Amortización

Total Amortización

0

Deuda 6528000

1

500 134,87016

163 200

336 934.87016

336 934.87016

6 191 065.12984

2

500 134,87016

154 776,62825

345 358,24191

682 293,11207

5 845 706,88793

3

500 134,87016

146 142,67220

353 992,19796

1 036 285,31004

5 491 714,68996

4

500 134,87016

137 292,86725

362 842,00291

1399127,31295

5 128 872,68705

5

500 134,87016

128 221,81718

371 913,05298

1 771 040,36593

4 756 959,63407

6

1 370 534,87016

118 923,99085 1 251 610,87931 3 022 651,24524

3 505 348,75476

7

500 134,87016

87 633,71887

3 092 847,60347

412 501,15129

3 435 152,39653

Elaborado por: Frankie Gutiérrez

Área de Matemática

Segunda Prueba Integral

Lapso 2 009 - 2

734 - 5/5

8

500 134,87016

77 321,19009

422 813,68007

3 857 966,07660

2 670 033,92340

9

500 134,87016

66 750,84808

433 384,02208

4 291 350,09868

2 236 649,90132

10

500 134,87016

55 916,24753

444 218,62263

4 735 568,72130

1 792 431,27870

11

500 134,87016

44 810,78197

455 324,08819

5 190 892,80950

1 337 107,19050

12

1 370 534,87016

33 427,67976

1 337 107,19040 6 527 999,99989

0,00011

FIN DEL MODELO

Elaborado por: Frankie Gutiérrez

Área de Matemática