Vectores Marco A. Merma Jara http://mjfisica.net Versión: 08.2013

Prof. Marco A. Merma Jara

Contenido Definición Representación de vectores Magnitud de un vector Componente de un vector Vector componente Dirección de un vector Expresión cartesiana de un vector Operaciones con vectores

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Introducción Magnitudes escalares Magnitud Unidad de medida

50 kg

Magnitudes vectoriales Magnitud Dirección

V= 300 m/s , NO

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Vector Entidad matemática Módulo (magnitud) Dirección (incluye sentido)

Existe en el campo de los vectores Campo matemático

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Vector Representación de un vector

A(2, 4, −7)

Analítica (coordenadas) Geométrica (segmento de recta orientada)

B

)θ

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Vector Representación Analítica

z

O(0, 0, 0)

P(2,3, 6)

y

x OP = P − O = (2,3, 6) − (0, 0, 0) = (2,3, 6)

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Vector Representación analítica en general ( Bx , By , Bz )

( Ax , Ay , Az ) AB = B − A = ( Bx − Ax , By − Ay , Bz − Az )

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Vector Representación geométrica Segmento de recta orientada

| A|

) θ | A|

θ

Módulo del vector A Dirección del vector A

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Vectores Magnitud de un vector ( Bx , By , Bz ) AB

B

A

( Ax , Ay , Az ) | AB |= ( Bx − Ax ) 2 + ( By − Ay ) 2 + ( Bz − Az ) 2

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Vectores Vector unitario Magnitud es la unidad Da dirección a un segmento Esta en la misma dirección del vector

uˆ A A

| A|

A uˆ A = | A|

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Vectores Vectores unitarios cartesianos Mutuamente perpendiculares Magnitud y dirección constantes

iˆ, ˆj , kˆ

kˆ

iˆ

Vectores unitarios en los ejes x,y,z respectivamente

ˆj

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Vectores Expresión cartesiana de un vector

( Ax , Ay , Az )

(0, 0, 0) A = A x iˆ + A

y

ˆj + A z kˆ

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Ejemplo Expresión Cartesiana

y

z

B = 3iˆ + 5 ˆj + 8kˆ

x

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Componentes de un vector Si A es un vector

z

A( Ax , Ay , Az )

Az

Ay O(0, 0, 0)

Ax x Ax , Ay Az : Componentes del vector A

y

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Componentes de un vector Si B es un vector

B = Bx iˆ + By ˆj + Bz kˆ Componente

Componente

Componente

En el eje x

En el eje y

En el eje z

La componente de un vector es una longitud

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Vector componente Si A es un vector

z

A( Ax , Ay , Az )

Az

Ax = Ax iˆ Ay = Ay ˆj

Ay

Az = Az kˆ

Ax x

Ax , Ay , Az

O(0, 0, 0)

Vectores componentes en los ejes x,y,z

y

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Dirección de un Vector En 3D

z

Az

γ

β Ax

α

α , β , γ : ángulos directores

A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ y

Ay

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Cosenos Directores Si A es un vector en 3D

A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ

Módulo

A =

A +A +A 2 x

2 y

Vector Unitario

Ax ˆ A y ˆ Az ˆ A uˆ A = = i+ j+ k |A| |A| |A| |A|

2 z

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Cosenos Directores Si

es el vector unitario del vector A

Ax ˆ Ay ˆ Az ˆ A uˆ A = = i+ j+ k | A| | A| | A| | A| cos α

cos β

cos γ

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Dirección de un vector En 2D y

A( Ax , Ay ) Ay = Asenθ )θ

tg θ =

Ay Ax

Ax = A cos θ

x  Ay  θ = a r c tg    Ax 

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Operaciones con vectores En el campo de los vectores Suma (Resta) Producto Escalar Vectorial

No está definido División de Vectores

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Suma y Resta de Vectores Suma y Resta Método Analítico Si A y B son vectores S es el vector Suma D es el vector resta

A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ B = Bx iˆ + By ˆj + Bz kˆ

S = A + B = ( Ax + Bx )iˆ + ( Ay + By ) ˆj + ( Az + Bz )kˆ D = A − B = ( Ax − Bx )iˆ + ( Ay − By ) ˆj + ( Az − Bz )kˆ

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Suma y Resta de Vectores Ejemplo

A = 4 iˆ + 6 ˆj − 1 0 kˆ B = − 3 iˆ + 8 ˆj + 2 kˆ

S = A + B = ( 4 − 3) iˆ + (6 + 8 ) ˆj + ( − 1 0 + 2 ) kˆ D = A − B = ( 4 + 3) iˆ + (6 − 8 ) ˆj + ( − 1 0 − 2 ) kˆ

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Suma y Resta Vector negativo Si A es un vector, entonces existe un vector –A, talque A+ (-A) = 0

A −A

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Producto de Vectores Producto escalar

A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ

A, y B son vectores

Se denomina también

B = Bx iˆ + By ˆj + Bz kˆ

Producto Punto Producto Interno

A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

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Producto escalar A Interpretación Geométrica

)θ

B

A cos θ B A • B = ( A cos θ ) B = AB cos θ

La contribución del vector A en la dirección del vector B

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Producto Escalar Propiedades

iˆ • iˆ = ˆj • ˆj = kˆ • kˆ = 1 iˆ • ˆj = ˆj • kˆ = kˆ • iˆ = 0 A• A = A = A 2

A• B = B • A

2

Módulo de un vector

Conmutativa

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Producto vectorial Si A y B son vectores C = A× B B )θ A

C = − A× B

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Producto Vectorial Si A y B vectores A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ B = Bx iˆ + By ˆj + Bz kˆ

ˆj

kˆ

A × B = Ax

Ay

Az

Bx

By

Bz

iˆ

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Producto vectorial Interpretación geométrica B

C = A× B )θ

Bsenθ

A C = área▱ = ABsenθ

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Producto vectorial Propiedades

ˆj

iˆ × ˆj = kˆ ˆj × kˆ = iˆ kˆ × iˆ = ˆj iˆ × iˆ = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = 0

ˆ k

iˆ

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Triple producto escalar Dado tres vectores A,B,C El triple producto escalar da como resultado un escalar

A• B×C

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Triple producto vectorial Dado tres vectores A,B,C el producto triple es

A × (B × C )

Propiedades

A × ( B × C ) = ( A • C ) B − ( A • B )C

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Ecuación del plano Ecuación del plano

(r − ro ) • k = 0

r

r − ro

z ro

x

y

Vector dirección del plano

k = (k x , k y , k z )

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Ejercicio Si A,B,C son vectores, mostrar la expresión conocida como propiedad distributiva

A • (B + C) = A • B + A • C

C

B+C

)β

)α

θ B A

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Referencias Física Universitaria, Vol2, Sears, Zemansky, Young, Fredmann, Addison Longman, México, 1999 Física I, Mecánica, Notas de Aula, Marco A. Merma Jara, Lima 2013