´ ALGEBRA

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1.

MCS II: Ejercicios de selectividad

P´ ag. 1



´ ALGEBRA

1. Calcular los valores x, y, z para que se verifique la igualdad: A · B = 2C − D, donde:     1 2 x y 3 2 A =  0 1 2  , B =  2 −2 1  , C = 2 z y 1 0 4     −z 1 2x −8 3 −4  −1 −2 1  , D =  −6 −2 −7  .(95) −x −z −x −6 −6 −8 2. Obtener los valores x, y, z, que hacen la siguiente  cierta   z z 2y x 1 1 relaci´ on matricial:  1 1 −z  +  1 0 −1  · 0 3 z     2 0 1 2 −1 1 4 0 −3 0  =  2 0 1 . (94) · y y 1 0 −z 5 1 2   1 0 0 3. Dada la matriz A =  0 −1 0  hallar las matrices 0 1 0 X que verifiquen: A · X = X · A. Justificar la respuesta. (Sep. 01) 2 4. Determinar la matriz X que  verifica la ecuaci´  on A − 1 1 0 X = A · B, siendo A =  0 2 1  y B = 1 −1 2   1 0 2  1 1 −1  .(97) 1 1 1   3 1 5. Dadas las matrices A y B: A = y B = −2 0   2 1 , hallar la matriz X que verifica la igualdad −1 3

 −1 −1 0 9. Dadas las matrices A =  0 −1 2  y B = 2 3 2   −2 0 1  3 2 −1 . Se pide: a) Hallar la matriz 1 2 −3 2 (A − 3I) + B t , (B t es la matriz traspuesta de B e I la matriz identidad). b) Hallar, si es posible, la matriz inversa de A. Justificar las respuestas. (Sept. 98) 10. Determina la matriz X que satisface la ecuaci´ on: 3X +   −1 1 2 I = AB − A2 , siendo A =  2 1 1  y B = 3 2 −1   −1 0 2  2 1 1  e I la matriz unidad de orden 3 3 2 −1 (Jun.98). 11.  Resolver la ecuaci´ on matricial  2A − 3X = Bdonde A = −2 1 0 5 5 −6  3 −2 1  y B =  6 −7 −2 . Justificar 1 0 2 5 −9 1 la respuesta. (Sep. 02) t 12. Determinar la matriz X queverifica la ecuaci´  on B − 1 0 −1 AX = A, donde: A =  0 −1 0 , B = 1 1 0   2 1 0  0 1 1  y B t es la matriz traspuesta de B. Justi1 3 1 ficar la respuesta. (Sep. 03)

13. Determinar la matriz  X que verifica  la ecuaci´  on B · X− 7 −7 −2 1 A = 2X siendo A = yB = . 3 1 0 3 Justificar la respuesta. (J04).

A · B − 2X = A + 3B.(97) 



1 1 0 6. Dada la matriz A =  −1 1 2  determinar la ma1 0 1 triz B que verifica B − I = At · A−1 siendo I la matriz unidad respecto al producto de matrices, At la matriz traspuesta de A y A−1 la matriz inversa de A . (Sep. 99)     2 3 1 3 7. Sean las matrices A = y B = . 1 0 2 −2 Hallar la matriz X que verifica la igualdad: 2X −A·B = A2 . (96)   0 −1 0 0 −1  y B = 8. Dadas las matrices A =  1 1 1 0   1 0 1  0 −1 1  . Determinar la matriz X = −1 3 0
−1 t 2 A ·B donde A−1 es la matriz inversa de A y B t es la matriz traspuesta de B. Justificar la respuesta. (Jun 03)

14. ¿Tiene soluci´on la siguiente ecuaci´on matricial? En caso afirmativo, calcula dicha    soluci´on.B · X = C siendo B = 1 0 0 0 1  2 1 0  y C =  1 0  (MP94) 1 0 1 0 1 15. Determinar la matriz X que  verifica la ecuaci´  on 2A · 1 0 1 X = B donde A =  −2 −1 0  y B = 0 1 2   2 1 0  0 −1 1 . (Sep. 00) 0 1 2 16. Resolver  la ecuaci´onmatricialA + BX = I donde −1 2 0 1 2 0 A =  1 0 −1  , B =  1 0 −1 e I es −1 3 2 −1 3 2 la matriz identidad de orden tres. Justificar la respuesta. (J-02) 17.  Determinar las matrices Ay B sabiendo que A − 2B =  3 2 0 1 y 2A + B = (96) −1 4 3 −2

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MCS II: Ejercicios de selectividad

18. Determinar las matrices A  y B sabiendo que −4 1 7 2A − B = y 2A + B = 6 0 −3   3 −2 −4 .(Sep.04) 3 5 1 19. Determinar soluciones 3A − 2B 

7  −6 10 99)

1 6 −5

las matrices A y B que son del  siguiente sistema matricial:  0 5 −4 9 0  , 2A + B = =  5 15 −4 4  2 7 Justificar la respuesta. (Jun. −2



1 20. Dada la matriz A =  0 m

 −1 3  se pide: −2

2 3 1

a) ¿Para qu´e valor o valores de m no existe la matriz inversa de A?. b) Determinar la matriz inversa de A cuando m = 2. Justificar la respuesta. (J 05) 

 −2 −1 21. Dadas las matrices: A = , B = 1     1 1 0 5 2 , y C = , determinar la ma2 −3 3 1 triz X que verifica la ecuaci´ on A · X = B · C. (Sep. 05)  2 1 0  −1 0 3  , B = 1 1 −2  −2 0 2 11 −6 −1 , determi−6 4 1 hacen posible la igualdad 

22. Dadas la matrices:

A =

  x 0 1  y 1 0 ,y C =  3 −2 z nar los valores x, y, z que A · B = A + C (Junio 06) 

P´ ag. 2



 2 1 1 26. Dadas las matrices: A = , B = 0 −1 1     −1 1 2 −1  2  0 yC= Determinar la matriz 0 1 3 −1 X que verifica  la ecuaci´  on matricial A ·B·X = C·X + I, 1 0 siendo I = Justificar la respuesta.( Jun 09). 0 1   a −1 27. Sea la matriz A = . Determinar, justificando b 1 la respuesta: a) Los valores de b para los que A2 +I =  a y de   se cumple  1 0 0 0 0 , siendo I = y 0= 0 1 0 0 b) La matriz A8 teniendo en cuenta la condici´ on del apartado anterior. (Sep 09) 28. Determinar la matriz X soluci´on de la ecuaci´ on matricial A · X− A · B =B · X donde:   2 −1 1 −1 A= yB= 1 0 −2 1 Justificar la respuesta. (Jun 10, FG-B)   2 −1 29. Dada la matriz A = determinar justifican3 −2 do las respuestas: a) La matriz A−1 , es decir, su matriz inversa. b) La matriz A20 teniendo en cuenta el resultado obtenido en el apartado anterior. (Jun 10, FE-B)     −2 1 2 2 30. Sean las matrices A = y B = . −2 3 1 0 Hallar la matriz X que sea soluci´on de la ecuaci´ on matricial A · X + X = B. Justificar la respuesta. (Sep 10, FG-B)   1 0 −1 31. Dada la matriz A =  m 3 −7 , determinar: 0 m −2 a) Los valores del par´ametro m para los que la matriz A no tiene inversa. b) La inversa de la matriz A para m = 0. Justificar las respuestas (Sep 10, FE-B)

23. Determinar la matriz X que verifica on matri la ecuaci´ 3 5 cial A · X + B = C donde A = , B = −1     −2 −1 0 1 1 −1 2 yC= .(Sep.06) 2 1 0 0 1 3 2 24. Determinar la matriz X queverifica la ecuaci´ on A X − 1 0 −1 B = AX donde: A =  2 1 0  y B = −1 1 1   2 −1 0  1 3 −1  . (Jun 07) 0 1 −1

25. Determinar la matriz X

soluci´ onde la ecuaci´  on ma−1 2 tricial A·X·B = I , donde: A = , B = 1 1     0 1 1 0 ,I= . (Sep.08) −1 2 0 1 I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matem´aticas - Curso 2010 - 2011

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MCS II: Ejercicios de selectividad

´ LINEAL PROGRAMACION

1. Un laboratorio de farmacia fabrica dos complejos vitam´ınicos constituidos ambos por vitamina A y vitamina B. El primero est´ a compuesto por 2 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B y el segundo por 1 unidad de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Sabiendo que s ´ olo se dispone de 1000 unidades de vitamina A y 1800 unidades de vitamina B y que el beneficio del primer complejo es de 400 pesetas y el del segundo de 300 pesetas . a) Hallar el n´ umero de complejos vitam´ınicos de cada tipo que debe fabricar para obtener un beneficio m´aximo. b) ¿Cu´ al ser´ a ese beneficio m´ aximo?. Justificar las respuestas. (Sept. 98) 2. Una f´ abrica de productos alimenticios elabora pat´es de dos variedades distintas en envases de 100 gramos de peso neto. Cada envase de la variedad A contiene 80 gramos de h´ıgado de cerdo y 20 gramos de f ´ecula y los de la variedad B, 60 gramos de h´ıgado de cerdo y 40 gramos de f´ecula. Durante los procesos de elaboraci´on no pueden manipularse m´ as de 240 kilogramos de h´ıgado de cerdo y no m´ as de 100 kilogramos de f´ecula. Sabiendo que los beneficios por lata son de 30 pesetas (variedad A) y 24 pesetas (variedad B), se pide: a) Hallar el n´ umero de latas que habr´ıa que fabricar para obtener un beneficio m´ aximo. b) ¿Cu´ al ser´ıa dicho beneficio m´aximo?. Justificar las respuestas. (Jun.98) 3. Una empresa de muebles fabrica armarios y estanter´ıas, siendo los costes de producci´ on 20.000 pesetas para los armarios y de 5.000 para las estanter´ıas, vendi´endose estos art´ıculos a 25.000 pesetas y 8.000 pesetas respectivamente. Si solamente disponemos de 170.000 pesetas para la fabricaci´ on de ambos muebles, a) determinar cu´ al ser ´ a la distribuci´ on de producci´ on para obtener un beneficio m´ aximo si el n´ umero de armarios ha de ser como m´ınimo el cu´ adruplo del n´ umero de estanter´ıas. b) ¿Cu´ al ser´ a el valor de dicho beneficio? Justificar las respuestas. (97) 4. Una granja de aves cr´ıa pollos y patos con un coste por cada pollo de 100 pesetas y de 200 pesetas por cada pato, y los vende a 180 pesetas cada pollo y a 320 pesetas cada pato. Sabiendo que la capacidad m ´ axima de la granja es de 2.000 animales y que s´ olo se dispone de 300.000 pesetas para invertir en pollos y patos, se pide: a) Determinar el n´ umero de pollos y patos que se pueden criar para obtener un beneficio m´ aximo. b) ¿Cu´ al ser´a dicho beneficio m´ aximo?. Justificar las respuestas. (97) 5. Una tienda de ropa deportiva tiene en su almac´en 200 balones y 300 camisetas. Para su venta se hacen dos lotes (A y B). El lote A contine 1 bal´ on y 3 camisetas y el lote B est´ a formado por 2 balones y 2 camisetas. La ganancia obtenida con la venta de un lote tipo A es de 12 euros y de 9 euros con cada lote tipo B. Sabiendo que el n´ umero m´ aximo de lotes del tipo A es de 80, determinar: a) El n´ umero de lotes de cada tipo que deben prepararse para obtener una ganancia m´ axima.

P´ ag. 3

b) La ganancia m´axima. Justificar las respuestas. (J04) b) Dichos beneficios m´aximos. (Jun. 01) 6. Un matadero industrial sacrifica diariamente cerdos, corderos y terneros. Para ello dispone de dos l´ıneas de trabajo. En la primera se sacrifican y despiezan cada hora 3 cerdos, 4 corderos y 1 ternero y en la segunda tambi´en cada hora 6 cerdos, 2 corderos y 1 ternero, siendo el coste por hora de la primera l´ınea 10000 pesetas y de la segunda 15000 pesetas. Sabiendo que el mercado de la ciudad necesita cada d´ıa para su abastecimiento 30 cerdos, 20 corderos y 8 terneros, se pide: a) ¿Qu´e n´ umero de horas debe funcionar cada l´ınea para abastecer cada d´ıa el mercado con un coste m´ınimo? b) ¿Cu´al ser´a el valor de dicho coste m´ınimo? Justificar las respuestas. (Sep. 01) 7. Una pe˜ na de aficionados de un equipo de f´ utbol encarga a una empresa de transportes el viaje para llevar a los 12000 socios a ver la final de su equipo. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada autob´ us es de 252 euros y el de cada microb´ us de 180 euros. Sabiendo que la empresa s´olo dispone de 28 conductores, se pide: a) ¿Qu´e n´ umero de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el m´ınimo coste posible?. b) ¿Cu´al ser´a el valor de dicho coste m´ınimo?. Justificar las respuestas. (J-02) 8. Un carnicero tiene almacenados 100 kilogramos de hamburguesas y 160 kilogramos de salchichas que decide sacar a la venta en dos lotes A y B. El lote A est´ a formado por kilogramo de hamburguesas y 2 kilogramos de salchichas y proporciona un beneficio de 4.20 euros y el lote B contiene 1 kilogramo de hamburguesas y 1 kilogramo de salchichas y da un beneficio de 3 euros. Sabiendo que el n´ umero m´aximo de lotes del tipo A es de 50, se pide: a) ¿Cu´antos lotes de cada tipo deben realizarse para obtener unos beneficios m´ aximos?. b) ¿Cu´al ser´a el valor de dichos beneficios m´aximos?. Justificar las respuestas. (Sep. 02) 9. Una constructora dispone de 90000 m2 para construir viviendas en parcelas de 300 m2 y de 500 m2. Los beneficios obtenidos son de 20000 euros por cada parcela de 300 m2 y de 30000 euros por cada parcela de 500 m2. Teniendo en cuenta que el n´ umero m´aximo de parcelas de 500 m2 es de 120 y que el n´ umero m´aximo de parcelas de 300 m2 es de 150, determinar: a) ¿Cu´antas parcelas de cada tipo deber´a construir para obtener unos beneficios m´aximos?; b) ¿Cu´al ser´a el valor de dich9os beneficios m´a ximos?. Justificar las respuestas. (Jun 03) 10. Un taller de confecci´on fabrica blusas y faldas del mismo tejido. Cada obrera emplea 30 minutos por blusa y gasta 1,5 metros de tejido y para cada falda 20 minutos gastando 2 metros de tejido. El beneficio obtenido es de 2 euros por cada blusa y de 2,40 euros por cada falda. Sabiendo que cada obrera s´olo dispone de 8 horas y de 30 metros de tejido, se pide:

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MCS II: Ejercicios de selectividad

a) ¿Qu´e n´ umero de faldas y de blusas deben fabricarse para obtener el beneficio m´ aximo? b) ¿Cu´ al ser´ a el valor de dicho beneficio m´ aximo? Justificar las respuestas. (Sep. 03) 11. En determinado coto de caza hay ciervos y corzos. La Agencia de Medio Ambiente ha determinado las siguientes normas: 1. El n´ umero m´ aximo de animales que se pueden cazar es de 400. 2. Se permite la captura de un n´ umero de ciervos superior o igual que el de corzos. 3. El n´ umero m´ aximo de ciervos que se pueden cazar es de 240. Si al due˜ no del coto cada ciervo le proporciona un benficio de 430 euros y cada corzo 350 euros, se pide: a) ¿Qu´e n´ umero de animales de cada especie han de cazarse para obtener unos beneficios m´ aximos?. b) ¿Cu´ al sera el valor de dichos beneficios m´ aximos?. Justificar las respuestas. (Sep.04) 12. Una empresa de instalaciones el´ectricas de baja tensi´on recibe el encargo de realizar la instalaci´ on el´ectrica en una urbanizaci´ on con dos tipos de viviendas A y B. Cada vivienda A necesita 60 metros de cable y 6 horas de trabajo, produciendo un beneficio de 450 euros por vivienda. La vivienda B necesita 40 metros de cable y 8 horas de trabajo, produciendo un beneficio de 550 euros por vivienda. Si s´ olo se dispone de 2400 metros de cable y de 360 horas de trabajo, se pide: a) ¿Cu´ antas viviendas de cada tipo debe realizar dicha empresa para maximizar los beneficios? b) ¿Cu´ al ser´ a el valor de dichos beneficios m´ aximos?. Justificar las respuestas. (J 05) 13. Las limitaciones de pesca que impone la Uni´ on Europea obligan a una empresa pesquera a capturar como m´aximo 50 toneladas de at´ un y 40 toneladas de anchoas. Adem´ as el total de la pesca no puede exceder de 70 toneladas. Si los beneficios que obtiene dicha empresa son de 3 euros por kilogramo de at´ un y de 5 euros por kilogramo de anchoas, se pide: a) ¿Qu´e cantidades de cada especie deben capturarse para obtener beneficios m´ aximos? b) ¿Cu´ al ser´ a el valor de dichos beneficios m´ aximos?. Justificar las respuestas. (Sep. 05) 14. Una empresa de equipos inform´ aticos produce dos tipos de microprocesadores: A y B. El trabajo necesario para su producci´ on se desarrolla en dos fases, la de fabricaci´on y la de montaje. Cada microprocesador A requiere 3 minutos de fabricaci´ on y 2 minutos de montaje y cada microprocesador B requiere 2 minutos de fabricaci´on y 4 minutos de montaje. Si s´ olo dispone diariamente de 4 horas para la fabricaci´ on y 4 horas para el montaje, siendo el beneficio obtenido de 160 euros por cada microprocesador A y de 190 euros por cada microprocesador B se pide, justificando la respuesta: a) ¿Cu´antos

P´ ag. 4

microprocesadores hay que producir de cada tipo para obtener unos beneficios m´aximos? b) ¿Cu´al ser´ a el valor de dichos beneficios m´aximos?(J 06) 15. Una empresa de conservas vegetales con dos factor´ıas A y B recibe el encargo de abastecer a una cadena de supermercados que necesitan cada d´ıa 1500 latas de esp´arragos, 1800 latas de tomate y 2500 latas de jud´ıas verdes. La factor´ıa A produce cada hora 100 latas de esp´arragos, 200 latas de tomates y 100 latas de jud´ıas verdes con un coste de 140 euros por hora y la factor´ıa B produce cada hora 100 latas de esp´arragos, 100 latas de tomates y 300 latas de jud´ıas verdes con un coste de 120 euros por hora. Se pide, justificando la respuesta: a) ¿Cu´antas horas ha de dedicar diariamente cada factor´ıa para abastecer a la cadena de supermercados de forma que el coste total sea m´ınimo? b) Determinar el valor de dicho coste m´ınimo. (Sep. 06) 16. Una empresa fabricante de autom´oviles produce dos modelos A y B en dos f´abricas situadas en C´ aceres y Badajoz. La f´abrica de C´aceres produce diariamente 6 modelos del tipo A y 4 del tipo B con un coste de 32000 euros diarios y la f´abrica de Badajoz produce diariamente 4 modelos del tipo A y 4 del tipo B con un coste de 24000 euros diarios. Sabiendo que la f´abrica de C´ aceres no puede funcionar m´as de 50 d´ıas y que para abastecer el mercado del autom´ovil se han de poner a la venta al menos 360 modelos del tipo A y 300 modelos el tipo B determinar, justificando la respuesta: a) El n´ umero de d´ıas que debe funcionar cada f´ abrica con objeto de que el coste total sea m´ınimo. b) El valor de dicho coste m´ınimo. (Junio 07) 17. Una tienda de art´ıculos de piel necesita para su pr´ oxima campa˜ na un m´ınimo de 80 bolsos, 120 pares de zapatos y 90 cazadoras. Se abastece de los art´ıculos en dos talleres: A y B. El taller A produce diariamente 4 bolsos, 12 pares de zapatos y 2 cazadoras con un coste diario de 360 euros. La producci´on diaria del taller B es de 2 bolsos, 2 pares de zapatos y 6 cazadoras siendo su coste de 400 euros cada d´ıa. Determinar, justificando la respuesta: a) El n´ umero de d´ıas que debe trabajar cada taller para abastecer a la tienda con el m´ınimo coste. b) El valor de dicho coste m´ınimo. (Septiembre 07) 18. Una hamurgueser´ıa necesita diariamente un m´ınimo de 180 kilogramos de carne de cerdo y 120 kilogramos de carne de ternera. Hay dos mataderos A y B que pueden suministrarle la carne requerida pero ha de ser en lotes. El lote del matadero A contiene 6 kilogramos de carne de cerdo y 2 kilogramos de carne de ternera siendo su coste 25 euros y el lote del matadero B contiene 4 kilogramos de carne de cerdo y 3 kilogramos de carne de ternera siendo su coste de 35 euros. Determinar, justificando la respuesta: a) El n´ umero de lotes que debe de adquirir la hamburgueser´ıa en cada matadero con objeto de garantizar sus necesidades diarias con el m´ınimo coste.

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MCS II: Ejercicios de selectividad

b) El valor de dicho coste m´ınimo. (Junio 08) 19. Una empresa de confecci´ on produce abrigos y cazadoras de piel. Para la confecci´ on de cada abrigo se requieren 15 horas de trabajo y 3 m2 de piel y para la confecci´on de cada cazadora 20 horas de trabajo y 2 m2 de piel. Cada abrigo produce un beneficio de 160 euros y cada cazadora un beneficio de 120 euros. Si s´ olo se dispone de 60.000 horas de trabajo y de 9.000 m2 de piel, determinar, justificando las respuestas: a) El n´ umero de abrigos y de cazadoras que deben fabricarse para maximizar los beneficios. b) El valor de dichos beneficios m´ aximos. (Septiembre 08) 20. Una empresa de ocio y tiempo libre organiza cada verano dos tipos de actividades (de playa y de monta˜ na). Para cada actividad de playa necesita 1 monitor y 3 acompa˜ nantes y para cada actividad de monta˜ na necesita 2 monitores y 2 acompa˜ nantes. El beneficio obtenido por cada actividad de playa es de 800 euros y por cada actividad de monta˜ na es de 900 euros. Si s´ olo se dispone de 50 monitores y 90 acompa˜ nantes y como m´aximo puede organizar 20 actividades de monta˜ na, determinar justificando la respuesta: a) El n´ umero de actividades de cada tipo que debe organizar dicha empresa con objeto de obtener unos beneficios m´ aximos.

P´ ag. 5

23. Un agricultor dispone de 24 hect´areas de tierra para plantar manzanos y perales. Cada a˜ no se requiere para cada hect´area de manzanos 100 m3 de agua y 150 jornadas de trabajo y para cada hect´area de perales 200 m3 de agua y 50 jornadas de trabajo. S´olo se dispone en total, para cada a˜ no, de 4000 m3 de agua y 3000 jornadas de trabajo. Sabiendo que el beneficio anual por hect´area de manzanos es de 2000 euros y por hect´ area de perales de 3600 euros, determinar justificando las respuestas: a) El n´ umero de hect´areas que dicho agricultor tiene que plantar de cada especie (manzanos y perales) con objeto de obtener los beneficios m´aximos anuales. b) El valor de dichos beneficios m´aximos anuales. (Jun 10, FE-A) 24. Una f´abrica de muebles de oficina produce armarios y mesas. El proceso se realiza en dos talleres: uno de carpinter´ıa y otro de montaje y pintura. Cada armario requiere 3 horas de carpinter´ıa y 3 horas de montaje y pintura y cada mesa 3 horas de carpinter´ıa y 6 horas de montaje y pintura. El beneficio obtenido por cada armario es de 120 euros y por cada mesa de 200 euros. Si s´olo se dispone de 240 horas de carpinter´ıa y de 360 horas de montaje y pintura, determinar: a) El n´ umero de armarios y mesas que deben fabricarse para obtener el m´aximo beneficio. b) El valor de dicho beneficio m´aximo. (Sep 10, FG-A)

b) El valor de dichos beneficios m´ aximos. ( Jun 09) 21. Una compa˜ n´ıa distribuidora de aceites vegetales tiene almacenados 2400 litros de aceite de oliva y 1800 litros de aceite de girasol. Para su venta organiza dos lotes de productos (A y B). Cada lote A contiene 2 litros de aceite de oliva y 2 litros de aceite de girasol y cada lote B contiene 4 litros de aceite de oliva y 1 litro de aceite de girasol. Sabiendo que el beneficio generado por cada lote A es de 5 euros y por cada lote B es de 6 euros y que el n´ umero de lotes del tipo A ha de ser mayor o igual que los del tipo B, determinar justificando la repuesta:

25. Un almac´en de papeler´ıa dispone para su venta de 600 cuadernos y 480 bol´ıgrafos. Para ello realiza dos tipos de lotes, A y B. Cada lote A contiene 2 cudernos y 2 bol´ıgrafos con un beneficio de 2,5 euros. Cada lote B contiene 3 cudernos y 1 bol´ıgrafos con un beneficio de 1,5 euros. Si el n´ umero de lotes de tipo B no puede ser mayor que el de tipo A, determinar: a)El n´ umero de lotes de cada tipo que se deben realizar para obtener el m´aximo beneficio. b) El valor de dicho beneficio m´aximo. (Sep 10, FE-A)

a) El n´ umero de lotes de cada tipo que ha de organizar la compa˜ n´ıa distribuidora con objeto de que sus beneficios sean m´ aximos. b) El valor de dichos beneficios m´ aximos. ( Sep 09) 22. Una industria quesera elabora dos tipos de quesos (A y B) mezclando leche de oveja y de cabra. Cada queso del tipo A requiere 4 litros de leche de oveja y 2 litros de leche de cabra y cada queso del tipo B requiere 3 litros de leche de oveja y 3 litros de leche de cabra. Dicha industria s´ olo dispone diariamente de 1800 litros de queso de oveja y de 1500 de leche de cabra. Sabiendo que el beneficio obtenido por cada queso del tipo A es de 5 euros y por cada queso del tipo B es de 4 euros, determinar justificando la respuesta : a) El n´ umero de quesos de cada tipo que ha de elaborar la industria diariamente para conseguir m´aximos beneficios. b) El valor de dichos beneficios m´ aximos. (Jun 10, FG-A)

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FUNCIONES

3.

MCS II: Ejercicios de selectividad

FUNCIONES

1. La gr´ afica siguiente representa el consumo de gasolina (en litros) de cierta marca de motocicleta en funci´on de la velocidad (en Km/h). Determinar su expresi´on anal´ıtica.(97)

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4. El rendimiento f´ısico ante determinado esfuerzo muscular (evaluado en una escala de 0 a 100) de cierto deportista de ´elite durante un tiempo de 60 minutos, viene dado a trav´es de la funci´on:   −t(t − 20) si 0 ≤ t ≤ 15 75 si 15 ≤ t ≤ 30 R(t) =
 100 − 65 t si 30 ≤ t < 60 a) Representar dicha funci´on. b) Interpretar la gr´ afica obtenida. (Jun. 99) 5. El consumo de combustible (en centenares de litros) de cierta aeronave durante un total de 5 horas de vuelo viene dado por la funci´on:  5t si 0 ≤ t ≤ 1    −t2 + 4t + 2 si 1 ≤ t ≤ 2,5 g(t) = 5,75 si 2,5 ≤ t < 4    28,75 − 5,75t si 4 ≤ t ≤ 5

2. La gr´ afica siguiente representa el consumo de electricidad (en miles de KWH) de cierta empresa en funci´on de la hora del d´ıa. Determinar su expresi´ on anal´ıtica. (J-98)

a) Representar dicha funci´on. b) Interpretar la gr´ afica obtenida.(Jun-00) 6. Una compa˜ n´ıa de venta a domicilio ha determinado que sus beneficios anuales dependen del n´ umero de vendedores verificando la expresi´on: B(x) = −9x2 + 630x + 1875 donde B(x)es el beneficio en miles de pesetas para x vendedores. Determinar justificando las respuestas: a) ¿Qu´e n´ umero de vendedores ha de tener la empresa para que sus beneficios sean m´aximos?. b) ¿Cu´ al ser´ a el valor de dichos beneficios m´aximos? (Jun-00) 7. El rendimiento (en una escala de 0 a 100) de una bater´ıa para tel´efonos m´oviles, durante un per´ıodo de funcionamiento de 20 horas, se ha comprobado que sigue (20 − t) (t + 20) , 0 ≤ t ≤ 20, donde la funci´on: R(t) = 4 t denota el tiempo de funcionamiento. a) Representar dicha funci´on. b) ¿Cu´anto tiempo deber´a estar funcionando la bater´ıa para obtener un rendimiento de 36?. Justificar la respuesta. (Sep. 01)

3. La gr´ afica siguiente representa el consumo de gasolina (en miles de litros) en funci´ on del tiempo (en meses) a lo largo de 1988, en cierta empresa de transportes:

8. En un trabajo de investigaci´on sobre el rendimiento (en una escala de 0 a 100) durante 24 horas de funcionamiento, de cierta v´alvula, unos ingenieros industriales han comprobado que dicho rendimiento se comporta de acuerdo con la siguiente funci´on: R(t) = (30 − t) (t + 10) , 0 ≤ t ≤ 24. a) ¿Cu´anto tiempo debe 4 de estar funcionando la v´alvula para conseguir su m´ aximo rendimiento?. Justificar la respuesta. b) Representar y comentar la funci´on anterior. (Sep. 2002). 9. El grado de estr´es (puntuando de 0 a 10) durante las 8 horas de trabajo de cierto agente de bolsa viene dado a −2t(t − 10) trav´es de la funci´on: f (t) = , 0 ≤ t ≤ 8. 5 a) ¿En qu´e instante de su jornada de trabajo el grado de estr´es es m´aximo?. Justificar la respuesta. b) Representar la funci´on anterior.(Sep.04)

a) Determinar su expresi´ on anal´ıtica. b) Interpretar dicha gr´ afica (Sep 99)

10. Cierto tipo de bengala permanece encendida un tiempo de 4 minutos. Se ha comprobado que el porcentaje de luminosidad que produce viene dado en funci´ on del

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tiempo (en minutos), a trav´es de la funci´ on. f (t) = 25t(4 − t), 0 ≤ t ≤ 4 a) ¿Para qu´e valor de t se obtiene el porcentaje de luminosidad m´ aximo?. b) ¿En qu´e intervalo de tiempo decrece el porcentaje de luminosidad?. c) ¿Para qu´e valores de t el porcentaje de luminosidad es del 75 % ?. Justificar las respuestas. (96)

P´ ag. 7

2t2 + 10t + 32 a) ¿Para qu´e valor t2 + 16 de t la superficie infectada es m´axima?. b) ¿Qu´e extensi´on ocupar´ıa dicha superficie? (94)

la expresi´on: f (t) =

18. La gr´afica de la funci´on derivada de f (x) es de esta forma:

11. La cantidad de agua recogida en cierto pantano (en millones de litros) durante el a˜ no 1997 viene dada, en funci´ on del tiempo transcurrido (en meses) a trav´es de la expresi´ on: f (t) = −t2 + 5t + 150, 0 ≤ t ≤ 12. a) ¿En qu´e per´ıodo de tiempo la cantidad de agua recogida disminuy´ o? b) ¿Para qu´e valor de t se obtuvo la cantidad m´ aximo de agua recogida? c) Representar gr´ aficamente la funci´ on. (Sep. 98)

a) Una de estas tres gr´aficas es un esbozo de f(x). ¿Cu´ al de ellas?. Argumenta la respuesta.

12. En los estudios epidemiol´ ogicos realizados en determinada poblaci´ on se ha descubierto que el n´ umero de presonas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la funci´ on : f (x) = −3x2 + 72x + 243. Determinar: a) El n´ umero de d´ıas que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. b) El n´ umero m´ aximo de personas afectadas. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad. Justificar las respuestas. (J04)

b) Halla la expresi´on anal´ıtica de la funci´on f (x) y de la funci´on f 0 (x). c) Calcula el ´area de la superficie cerrada determinada por f (x) y el eje OX. (MP 94)

13. El valor (en millones de euros) de cierta empresa a lo largo de sus 5 a˜ nos de funcionamiento viene dado por la expresi´ on: B(t) = 10 − (t − 3)2 , 0 ≤ t ≤ 5. Determinar: a) ¿En qu´e a˜ nos alcanz´ o dicha empresa sus valores m´ aximo y m´ınimo?. b) ¿Cu´ ales fueron dichos valores m´ aximo y m´ınimo?. Justificar las respuestas. (Sep.04) 14. En una prueba de laboratorio de cinco horas de duraci´ on se ha determinado que la actividad de una bacteria durante ese tiempo sigue una funci´ on del tipo: A(t) = −2t3 + 15t2 − 24t + 12 donde t es el tiempo desde el comienzo de la prueba (t = 0) y A(t) la actividad objeto de estudio. Se pide determinar durante la realizaci´ on de la prueba: a) Las horas de m´ axima y m´ınima actividad de la bacteria. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha actividad. Justificar las respuestas. (97) 15. El n´ umero de vacas existentes en una explotaci´on ganadera var´ıa con el tiempo de acuerdo con la funci´ on f (t) = −t3 + 9t2 − 15t + 120 donde t es el n´ umero de a˜ nos transcurridos desde que abri´ o dicha explotaci´on. Se pide: a) ¿Con cu´ antas vacas comenz´ o?. b) Al cabo de seis a˜ nos, ¿con cu´ antas vacas se cuenta?. c) ¿Cu´ales han sido los n´ umeros m´ aximo y m´ınimo de animales durante estos seis a˜ nos?. d) En ese tiempo determinar los per´ıodos de crecimiento y decrecimiento de la ganader´ıa. Justificar las respuestas. (Sep. 03) x2 + 9 . Estudiar: a) x2 − 4 Dominio de definici´ on. b) Puntos de m´ aximo ´ o de m´ınimo. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (94)

16. Consid´erese la funci´ on:

f (x) =

17. Se ha comprobado que la superficie de cierto cultivo (en hect´ areas), infectada por determinada variedad de mosquito, viene dada en funci´ on del tiempo (en d´ıas) por

19. La gr´afica adjunta corresponde a la derivada de cierto ´ındice econ´omico en funci´on del tiempo.

Indicar, justificando la respuesta, qu´e funci´ on entre las siguientes corresponder´ıa a dicho ´ındice econ´ omico en funci´on del tiempo t: a) f (t) = 2t − 20. b) f (t) = −(t2 − 10)2 − 5. c) f (t) = (t − 10)2 + 5. d) . f (t) = 2. (Sep-00) 20. Se ha comprobado que la altitud (en metros) alcanzada por cierto proyectil en funci´on del tiempo desde su lanzamiento (en segundos) viene dada a trav´es de la funci´ on f (t) = At2 + Bt + C. Sabiendo que a los 5 segundos la altitud es de 75 metros y a los 10 segundos se alcanza la m´axima altitud de 100 metros: a) Determinar los valores de A, B y C. b) ¿Qu´e tiempo tardar´ a en caer el proyectil?. Justificar las respuestas. (96) 21. El rendimiento f´ısico (evaluado en una escala de 0 a 100) de un ciclista durante una prueba de esfuerzo de 15 minutos de duraci´on queda bien descrito a trav´es de la funci´on R(t) = at2 + bt + c, 0 ≤ t ≤ 15, (a 6= 0). Sabiendo que alcanza el m´aximo rendimiento de

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100 a los 10 minutos y que finaliza la prueba con un rendimiento de 75, se pide: a) Determinar, justificando la respuesta, los coeficientes a , b y c. b) Representar la funci´ on obtenida. (Jun. 01) 22. El ´ındice de audiencia (evaluado en una escala de 0 a 10) de cierto programa de televisi´ on de 30 minutos de duraci´ on se comporta de acuerdo con la funci´ on I(t) = At2 + Bt + C, 0 ≤ t ≤ 30, donde A, B y C son constantes a determinar. Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar el programa se alcanza el ´ındice de audiencia 10 y que el programa se inicia con un ´ındice de audiencia de 6, se pide: a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar y comentar la funci´ on obtenida. (J-02) 23. Un centro comercial abre a las 10 horas y cierra a las 22 horas. Se ha comprobado que el n´ umero de personas que acuden a dicho centro puede representarse, en funci´on de la hora del d´ıa, en la forma: N (t) = αt2 + βt + γ, 10 ≤ t ≤ 22 . Sabiendo que a las 18 horas se registra la m´axima afluencia de clientes con un total de 64 personas y que cuando el centro comercial abre no hay ning´ un cliente esperando: a) Determinar, justificando la respuesta, los coeficientes α, β y γ. b) Representar la funci´ on obtenida. (Jun 03) 24. Una empresa ha estimado que los costes que suponen el mantenimiento y el almacenamiento de un determinado producto quedan bien descritos a trav´es de la funci´on: C(x) = Ax2 + Bx + C, siendo C(x) los costes en euros cuando el n´ umero de unidades de ese producto es x.

P´ ag. 8

es el n´ umero de viajeros cuando p es el precio del billete. Obtener: a) La funci´on que expresa los ingresos diarios (I) de esta empresa en funci´on del precio del billete(p); b) El precio del billete que hace m´aximos dichos ingresos.; c) ¿A cu´anto ascender´an dichos ingresos m´ aximos?. Justificar las respuestas. (Jun. 98) 28. Un club deportivo ha observado que la cantidad de espectadores que asisten a cada partido es funci´ on del precio de la entrada seg´ un la expresi´on N (x) = 800 , siendo N (x) el n´ umero de es12000 − 1500x + x pectadores cuando el precio de la entrada es x euros. Determinar justificando las respuestas: a) ¿Qu´e expresi´on nos proporciona los ingresos de cada partido en funci´on del precio de la entrada?. b) El precio que deben cobrar por cada entrada para hacer m´aximos los ingresos por partido. c) ¿Cu´al ser´a el valor de los ingresos m´ aximos?. d) ¿Cu´antos espectadores por partido se esperan para dicho precio de la entrada? (Jun 03) 29. Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la siguiente funci´ on: B(x) = 2x − x2 − 0,84 , siendo B(x) el beneficio por kilogramo, expresado en euros, cuando x es el precio de cada kilogramo tambi´en en euros. a) ¿Entre qu´e precios por kilogramo se producen beneficios para el almacenista?. b) ¿Qu´e precio por kilogramo maximiza los beneficios para ´este?. c) Si tiene en el almac´en 10000 kilogramos de fresas ¿cu´ al ser´ a el beneficio total m´aximo que podr´ıa obtener?. Justificar las respuestas. (J-02)

a) Determinar los valores de las constantes A, B y C sabiendo que los costes iniciales (sin unidades almacenadas) son de 2500 euros y que para 150 unidades se produce el coste m´ aximo de 16000 euros. b) ¿Cu´ al ser´a el coste para 120 unidades de este producto?. Justificar las respuestas. (Sep. 2002)

30. Un vendedor de electrodom´esticos compra frigor´ıficos al precio de 35.000 pesetas. Ha comprobado que si el precio de venta es de 75.000 pesetas vende 30 unidades al mes y que por cada descuento de 2.000 pesetas en el precio de cada uno, incrementa las ventas de cada mes en 3 unidades.

25. En cierta poblaci´ on el consumo de agua (en m3), en funci´ o n de la hora del d´ıa, viene dado por:  17   t si 0 ≤ t < 9 92 Sabiendo que es αt + βt + γ si 9 ≤ t < 20   168 − 7t si 20 ≤ t < 24 una funci´ on continua y que a las 15 horas se alcanza el m´ aximo consumo de 53 m3 , determinar los valores de α, β y γ . Justificar la respuesta. (Sep. 03)

a) Determinar el precio de venta que hace m´ aximos los beneficios para ese vendedor. b) ¿A cu´ anto ascender´an dichos beneficios m´aximos?. Justificar las respuestas. (Sep. 99)

26. Un profesor ha comprobado que el grado de atenci´on (puntuando de 0 a 100) que le prestan sus alumnos durante los 40 minutos de duraci´ on de su clase sigue la funci´ on: F (t) = αt(β − t), 0 ≤ t ≤ 40. Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar la clase le prestan la m´ axima atenci´ on, es decir, el grado de atenci´ on es 100, se pide: a) Determinar, justificando la respuesta, α y β. b) Representar la funci´ on obtenida. (J04) 27. Una compa˜ n´ıa de transportes ha comprobado que el n´ umero de viajeros diarios depende del precio del billete, seg´ un la funci´ on n(p) = 300 − 6p , donde n(p)

31. En la explotaci´on de un acu´ıfero subterr´aneo se han abierto 4 pozos con una producci´on de 20 m3 de agua diarios cada uno. Sin embargo, se ha estimado que de abrir nuevos pozos, el caudal de cada uno disminuir´ıa en 1 m3 por cada pozo nuevo que se abra. Se pide: a) Obtener la expresi´on que determina el volumen de agua obtenida en funci´on de los nuevos pozos que se abran. b) Determinar qu´e n´ umero de pozos nuevos deben abrirse para obtener la m´axima producci´ on de agua posible. c) ¿Cu´al ser´a el valor de dicha producci´ on m´axima? (96) 32. El coste de tallar un diamante (en miles de pta) es el doble del cuadrado de su peso (en gramos). Si disponemos de un diamante de 30 gramos y lo partimos en dos, ¿de qu´e peso deber´ıa ser cada trozo para

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que el coste total de tallarlos sea m´ınimo? (el coste total de tallarlos es la suma del coste de tallar cada trozo). Justificar la respuesta. (95) 33. Aprovechando como hipotenusa una pared de 15 metros, un pastor desea acotar una superficie triangular. ¿Qu´e medidas deber´ an tener los otros dos lados del tri´ angulo (catetos), con objeto de obtener una superficie m´ axima? (94) 34. Se quiere construir un dep´ osito abierto de fondo cuadrado para contener 100 litros de agua. ¿Qu´e dimensiones daremos al dep´ osito para que en su fabricaci´ on se emplee la menor cantidad posible de material? (MP 94) 35. La caldera para la calefacci´ on de cierto edificio de oficinas funciona desde las 9 hasta las 14 horas. A las 12 horas se obtiene el consumo m´ınimo, siendo dicho consumo m´ınimo de 15 litros de combustible. Admitiendo que el consumo de combustible de esa caldera viene dado, como funci´ on de la hora del d´ıa, a trav´es de la ex2 presi´ on: C(t) = (t − A) + B, 9 ≤ t ≤ 14 , Se pide: a) Determinar, justificando la respuesta, A y B. b) Representar la funci´ on obtenida. (J 05) 36. El consumo de agua, en metros c´ ubicos mensuales, de una empresa var´ıa durante el primer semestre del a˜ no (de enero a junio) de acuerdo con la funci´ on: C(t) = 8t3 − 84t2 + 240t, 0 ≤ t ≤ 6 . Se pide: a) ¿En qu´e meses de este primer semestre se producen los consumos m´ aximo y m´ınimo?. b) Determinar el valor de dichos consumos m´ aximo y m´ınimo?. c) Determinar los periodos de crecimiento y decrecimiento del consumo en estos seis meses. Justificar las respuestas. (J 05) 37. Se ha comprobado que el rendimiento, entre el 0 % y el 100 %, de cierta m´ aquina agr´ıcola, durante un tiempo de funcionamiento de 20 horas, queda bien descrito a trav´es de la funci´ on: f (t) = At · (B − t), 0 ≤ t ≤ 20 . a) Determinar las constantes A y B sabiendo que el rendimiento m´ aximo del 100 % se alcanza a las 10 horas de funcionamiento. Justificar la respuesta. b) Representar la funci´ on obtenida. (Sep. 05) 38. Una empresa ha estimado que al cabo de 10 a˜ nos de funcioamiento el balance de sus ingresos y gastos (en miles de euros), en funci´ on de los a˜ nos transcurridos ha sido el siguiente: Ingresos : I(t) = −2t2 + 48t

0 ≤ t ≤ 10

P´ ag. 9

la funci´on P (t) = −0,1 t2 + 0,6 t + 42, 0 ≤ t ≤ 8 . Se pide, justificando la respuesta: a) ¿Cu´ al ha sido el precio de cada acci´on al principio y al final de la jornada?..b) ¿En qu´e momento alcanz´o el valor m´ aximo?. c) Determinar dicho valor m´aximo. (J 06) 40. Durante los 60 minutos de duraci´on de cierto programa de radio su ´ındice de audiencia viene dado por la funci´ on: I(t) = αt2 + βt + γ, 0 ≤ t ≤ 60 . Sabiendo que cuando se inicia el programa el ´ındice de audiencia es 20 y que a los 40 minutos se alcanza el m´aximo ´ındice de audiencia de 36, se pide: a) Determinar α, β y γ. Justificar la respuesta. b) Representar la funci´on obtenida. (J 06) 41. Una empresa de compra y venta de autom´ oviles ha realizado un estudio sobre sus beneficios/p´erdidas, en miles de euros, a lo largo de los u ´ltimos 10 a˜ nos y ha comprobado que se ajustan a la funci´on: F (t) = t3 − 18t2 + 81t − 3, 0 ≤ t ≤ 10 . Se pide, justificando la respuesta: a) ¿En qu´e a˜ nos se producen los valores m´aximo y m´ınimo de dicha funci´on?. b) Determinar sus peridos de crecimiento y decrecimiento. c) ¿Cu´ales son sus beneficios m´aximos?. d) ¿Qu´e resultados obtuvo la empresa en el u ´ltimo a˜ no del estudio?. (Sep. 06) 42. Se ha comprobado que el n´ umero de pasajeros en la terminal internacional de cierto aeropuerto viene dado, como funci´on de la hora del d´ıa, a trav´es de la expresi´ on: 2 N (t) = −5 (α − t) + β, 0 ≤ t ≤ 24 . Sabiendo que el n´ umero m´aximo de pasajeros en dicha terminal se alcanza a las 12 horas con un total de 1200 personas, se pide: a) Determinar α y β. Justificar la respuesta. b) Representar la fuci´on obtenida. (Sep. 06) 43. En los estudios de mercado previos a su implantaci´ on en una zona, una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del n´ umero de tiendas que tiene en funcionamiento de acuerdo con la expresi´on: B(n) = −8n3 + 60n2 − 96n, siendo n el n´ umero de tiendas en funcionamiento. Determinar, justificando la respuesta: a) El n´ umero de tiendas que debe tener en funcionamiento dicha franquicia para maximizar sus beneficios semanales. b) El valor de dichos beneficios semanales

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Gastos : G(t) = t − 12t + 130

0 ≤ t ≤ 10

Se pide, justificando las respuestas: a) Los gastos inicicales de la empresa. b) Los ingresos a los 3 a˜ nos de funcionamiento. c) Los beneficios netos en funci´on del n´ umero de a˜ nos transcurridos. d) ¿En qu´e a˜ nos fueron m´ aximos dichos beneficios?. e) ¿Cu´ al fue el valor de estos beneficios m´ aximos? (Sep. 05) 39. Para determinado valor que cotiza en Bolsa se ha comprobado que el precio (en euros) de la acci´ on ha seguido, durante las 8 horas de duraci´ on de la jornada burs´atil,

c) La expresi´on que nos indica los beneficios semanales por cada tienda que dicha franquicia tiene en funcionamiento. (Junio 07) 44. Una feria ganadera permanece abierta al p´ ublico desde las 10 hasta las 20 horas. Se ha comprobado que el n´ umero de visitantes diarios queda determinado, como funci´on de la hora del d´ıa, a trav´es de la expresi´ on: N (t) = −20(A − t)2 + B, 10 ≤ t ≤ 20. Sabiendo que a las 17 horas se alcanza el n´ umero m´ aximo de 1500 visitantes, se pide:

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a) Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta. b) Representar la funci´ on obtenida. (Junio 07) 45. El ´ındice de popularidad de cierto gobernante era de 2.5 puntos cuando inici´ o su mandato. A los 50 d´ıas alcanz´ o el m´ aximo ´ındice de popularidad con 7.2 puntos. Sabiendo que durante los primeros 100 d´ıas de su mandato dicho ´ındice fue cambiando de acuerdo con la expresi´ on: I(t) = At2 + Bt + C, 0 ≤ t ≤ 100. Se pide: a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar la funci´ on obtenida. ( Septiembre 07) 46. Se ha determinado que el coste total (en euros) que le supone a cierta empresa la producci´ on de n unidades de determinado art´ıculo var´ıa seg´ un la funci´ on C(n) = 2n3 + 270n + 2048. Determinar, justificando la respuesta: a) La funci´ on que define el coste por unidad producida. b) El n´ umero de unidades que deben producirse para hacer m´ınimo el coste por unidad. c) El valor de dicho coste m´ınimo por unidad. (Septiembre 07) 47. El n´ umero de visitantes que acuden a una exposici´on fotogr´ afica durante las dos semanas de duraci´ on de la misma, ha variado seg´ un la funci´ on: N (t) = −t3 +24t2 − 117t+570, 1 ≤ t ≤ 14 donde t representa el d´ıa. Se pide, justificando la respuesta: a) ¿Cu´ antos visitantes hubo el d´ıa de la inauguraci´on? ¿Y el d´ıa de la clausura? b) ¿Qu´e d´ıa tuvo lugar la asistencia m´ axima de visitantes? ¿Qu´e d´ıa tuvo lugar la asistencia m´ınima de visitantes? c) ¿Cu´ ales fueron los valores m´ aximo y m´ınimo de visitantes? (Junio 08) 48. Un canal privado de televisi´ on ha comprobado que durante los 75 minutos que dur´ o la retransmisi´ on de un partido de tenis, el ´ındice de audiencia fue variando seg´ un la funci´ on: I(t) = At2 + Bt + C, 0 ≤ t ≤ 75.sabiendo que al inicio de la retransmisi´ on el ´ındice de audiencia era de 6 puntos y que a los 30 minutos se alcanz´ o el ´ındice de audiencia m´ınimo con 3 puntos: a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar la funci´ on. (Junio 08) 49. Una empresa constructora ha estimado en determinada localidad que sus beneficios var´ıan en funci´on del n´ umero de viviendas unifamiliares que construye, de acuerdo con la funci´ on: B(n) = −n2 + 90n − 15 , donde B(n) representa los beneficios (en miles de euros) obtenidos con la construcci´ on de n viviendas unifamiliares. a) El n´ umero de viviendas unifamiliares que maximizan los beneficios. (Calcularlo)

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b) El valor de dichos beneficios m´aximos. (Idem) c) Representar la funci´on. Justificar las respuestas. (Septiembre 08) 50. El rendimiento (expresado en porcentaje) de cierto motor durante 60 de funcionamiento sigue la fun minutos At2 + Bt + C si 0 ≤ t ≤ 20 ci´on: f (t) = 100 si 20 ≤ t ≤ 60 Sabiendo que inicialmente el rendimiento es del 0 %, que a los 10 minutos de funcionamiento es de un 75 % 1 que el 100 % de rendimiento se alcanza a los 20 minutos de funcionamiento: a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar la funci´on. (Septiembre 08) 51. El n´ umero de usuarios del transporte p´ ublico en cierta ciudad var´ıa a lo largo del primer semestre del a˜ no de acuerdo con la funci´on: N (t) = 1800t3 − 18900t2 + 54000t, 1 ≤ t ≤ 6 donde N(t) representa el n´ umero de usuarios en el mes t del primer semestre. Determinar justificando la respuesta: a) Los meses de mayor y menor n´ umero de usuarios en el primer semestre. b) Los valores m´aximo y m´ınimo de usuarios en dicho semestre. c) El n´ umero total de usuarios que han utilizado el transporte p´ ublico en esa ciudad durante el primer semestre. ( Jun 09) 52. La velocidad de cierto cohete, en funci´on del tiempo t (en segundos) transcurrido desde su lanzamiento, tiene el siguiente comportamiento: Durante los primeros 20 segundos aumenta de acuerdo con la funci´ on At, a los 20 segundos alcanza la velocidad m´axima de 100 metros por segundo, a partir de dicho instante, decrece de acuerdo con la funci´on B + Ct hasta que a los 60 segundos de su lanzamiento cae al suelo y queda parado. a) Determinar los valores de A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar gr´aficamente el comportamiento de la velocidad de dicho cohete durante los primeros 60 segundos transcurridos entre su lanzamiento y su parada. ( Jun 09) 53. La valoraci´on de un l´ıder pol´ıtico (de 0 a 10 puntos) de acuerdo con las encuestas realizadas durante el u ´ltimo a˜ no ha variado de acuerdo con la funci´on: V (t) = 0,02t3 − 0,39t2 + 1,8t + 5, 1 ≤ t ≤ 12 V (t) representa la valoraci´on en el mes t del a˜ no. Determinar justificando la respuesta: a) Los per´ıodos de crecimiento y de decrecimiento de la valoraci´on a lo largo del a˜ no. b) Los valores m´aximo y m´ınimo de dicha valoraci´ on y los meses en que se produjeron. ( Sep 09) 54. En una ciudad se ha comprobado que el nivel de contaminaci´on entre las 8 y las 22 horas cambia, en funci´ on de la hora t del d´ıa, de la siguiente forma: A las 8 horas el nivel de contaminaci´on es de 25 partes por mill´ on, a partir de ese momento aumenta de acuerdo con la funci´on A + Bt hasta que a las 13 horas se alcanza el nivel

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FUNCIONES

MCS II: Ejercicios de selectividad

m´ aximo de 100 partes por mill´ on, desde las 13 hasta las 15 horas el nivel se mantiene constante, y a partir de las 15 horas disminuye de acuerdo con la funci´ on C + Dt hasta que a las 22 horas es de 30 partes por mill´on. a) Determinar los valores de A, B, C y D. Justificar las respuestas. b) Representar gr´ aficamente la evoluci´ on del nivel de contaminaci´ on en esa ciudad desde las 8 hasta las 22 horas. (Sep 09) 55. El porcentaje de alumnos que asisten aun curso de ingl´es, durante los 10 meses de duraci´ on del mismo, vine dado a  trav´es de la funci´ on: At2 + Bt + C si 0 ≤ t ≤ 3 P (t) = 28 si 3 < t ≤ 10 Sabiendo que inicialmente el 100 % de los alumnos asisten al curso, que transcurrido un mes desde su inicio hay un 60 % de asistencia y que al cumplirse el tercer mes la asistencia se reduce a un 28 %: a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar gr´ aficamente la evoluci´ on del porcentaje de asistencia a dicho curso durante los 10 meses de su duraci´ on. (Jun 10, FG-A) 56. El n´ umero de accidentes de tr´ afico en determinada provincia a lo largo del u ´ltimo a˜ no se ha comprobado que se comporta seg´ un la funci´ on: N (t) = 2t3 − 39t2 + 180t + 350, 1 ≤ t ≤ 12 donde t representa el mes del a˜ no. a) ¿En qu´e meses se produjeron los valores m´ aximo y m´ınimo de accidentes? b)¿Cu´ ales fueron dichos valores m´ aximo y m´ınimo? c) Representar dicha funci´ on. Justificar las respuestas. (Jun 10, FG-B) 57. La cafeter´ıa de una estaci´ on de autobuses permanece abierta desde las 8 hasta las 22 horas. Se ha comprobado que el porcentaje de fumadores que hay en dicha cafeter´ıa viene dado, en funci´ on de la hora del d´ıa, a traves de la expresi´ on: P (t) = −At2 + ABt, 8 ≤ t ≤ 22. a) Sabiendo que a las 15 horas se alcanza el porcentaje m´ aximo de fumadores con un 67,5 %, determinar las constantes A y B. Justifique la respuesta. b) Representar gr´ aficamente la evoluci´ on del porcentaje de fumadores en dicha cafeter´ıa entre las 8 y las 22 horas. (Jun 10, FE-A)

P´ ag. 11

Determinar, justificando las respuestas: a) La inversi´on que debe realizarse para obtener la m´ axima rentabilidad. b) El valor de dicha rentabilidad m´axima. (Sep 10, FGA) 60. El n´ umero de personas que visitan un portal de Internet var´ıa seg´ un la hora, de acuerdo con la siguiente funci´ on: V (t) = At2 + Bt + C si 0 ≤ t ≤ 23 Sabiendo que nadie visita el portal en la hora cero y que el m´aximo se alcanza a las 12 horas con 2880 visitantes, a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar gr´aficamente la evoluci´on del n´ umero de visitas a dicho portal. (Sep 10, FG-B) 61. El n´ umero de clientes de un centro comercial en su horario de funcionamiento (de 10 a 22 horas) se ajusta a la funci´on C(t) = t3 − 48t2 + 720t si 10 ≤ t ≤ 22 donde C(t) es el n´ umero de clientes y t la hora del d´ıa. Determinar: a) Las horas de m´axima y m´ınima clientela. b) Dichos valores m´aximo y m´ınimo de n´ umero de clientes. Justificar la respuesta. (Sep 10, FE-A) 62. Una empresa que se dedica a la venta de un u ´nico producto ha comprobado que los beneficios obtenidos dependen del n´ umero de unidades fabricadas de acuerdo con la expresi´on siguiente B(x) = Ax(1000 − Bx) si 100 ≤ x ≤ 1000, donde B(x) es el beneficio obtenido por la fabricaci´ on de x unidades del producto. Se sabe que el beneficio m´ aximo se alcanza cuando x = 500 y toma el valor 1250000. a) Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta. b) Representar gr´aficamente los beneficios obtenidos en funci´on del n´ umero de unidades fabricadas. (Sep 10, FEB)

58. En una almazara el coste total (en euros) que supone la producci´ on de x litros de determinada variedad de aceite de oliva viene dado por la funci´ on C(x) = 0, 002x3 − 5x2 + 3127x. Determinar justificando la respuesta: a) La funci´ on que proporciona el coste medio por litro. b) El n´ umero de litros que han de producirse para minimizar dicho coste medio por litro. c) El valor m´ınimo del coste medio por litro. (Jun 10, FE-B) 59. Un banco ha lanzado al mercado un fondo de inversi´on cuya rentabilidad R (en miles de euros) viene dado por la expresi´ on siguiente R(x) = −0, 01x2 +0, 48x−3 donde x representa el valor de la inversi´ on (en miles de euros). I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matem´aticas - Curso 2010 - 2011