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2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x)

La forma de comportarse una función para valores muy grandes de x puede resumirse en los siguientes gráficos

En la primera gráfica diremos que la función tiene límite para x tendiendo a infinito y en las demás que no tiene límite (aunque por abuso de lenguaje, en las gráficas 2 y 3 solemos decir que el límite vale infinito) Haz tu las gráficas correspondientes si x tiende a menos infinito, de manera similar a la expuesta arriba, es decir, gráfica, texto y lenguaje simbólico.

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¿Qué ocurre si ahora tenemos la expresión de la función en lugar de su gráfica? Caso 1: Funciones elementales conocidas Esbozamos la gráfica (puede ser mentalmente) y a partir de ella calculamos el límite lim 2 · 3 x 5  0

lim sen(x  2)  

lim 3 x  

x 

x 

x 

y

y

y

4 1

3 2

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

1 x

-1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

lim x  2  

lim x 4  

lim (x  2)3  

x 

x 

y

x 

y

y

9 8

4

7

7 6

3

5

2

4

1

6 5 4 3 2 1 x

x

3

-4

-3

-2

-1

1

2

-1

1

-2

2

3

4

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

-2 -3 -4 -5

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-6

-3

4

-7 -4

-1

-8 -9

Caso 2: Operaciones entre funciones conocidas Realizaremos las operaciones con los resultados de los límites lim x 2  5 x      

x 

lim 3 x

x 

2

5

 3  

lim cos(2x)  x 3      

lim x 3  3 x    0  

x 

lim 5 x 2  5   0

x 

x 

lim x 5  2x 3  5  lim x 5  

x 

x 

Es muy importante que recuerdes, sobre todo estos 3 últimos límites y su explicación.

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2.2 INDETERMINACIONES En algunas ocasiones, aparecen expresiones que no podemos decidir el resultado de la operación y hay que hacer una investigación más profunda. Es lo que se denominan INDETERMINACIONES Las más frecuentes son: 

Tipo:

0·

0 0

 

1

0

00

0

 

3x 3 3x 3  2x  1 3x 3  lim  lim lim  lim ·x  2 2 x  10x x  10x  7x  3 x  10 x 10

lim

x 

lim

x 

 3x 3  5x2  1 6x3  7x2

 lim

x 

 3x 3 3 1  lim  3 x  6 6x 2

10x 2 10x  3 lim  lim   0  2 2 x  x  5x  2 x   5x

¡CUIDADO! Si en lugar de tender a infinito, la tendencia es a menos infinito, lo más cómo es cambiar todas las x por (-x) (también cambiaría el límite)

3  x 3  2  x   1 3x3  2x  1  3x 3  2x  1  3x 3 lim  lim  lim   lim x  10x 2  7x  3 x  10x 2 x  10x 2  7x  3 x 10  x 2  7 ·  x   3 lim

x 

 3x   10

¿Qué hacer si no son polinomios? Por ejemplo funciones radicales o exponenciales,... 5x  2x  lim x  2x  5 3

lim

x 

lim

x 

3x  1 2

4x  6x

 lim

3 2 5·x

x

2x

1

5 2  lim ·X  x  2

3x

 lim 3x  3 x  2 x 2 4x 2

En el caso de las exponenciales y logarítmicas seguimos lo que se denomina, criterio del orden, que dice que las funciones que tienen mayor orden son las que determinan el límite, teniendo en

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cuenta que el orden para las polinómicas y radicales es el exponente de mayor grado y además, las exponenciales son las que mayor orden tienen y las logarítmicas son las de menos orden Así entonces: 2x lim 5   x  x

lim

x 

x 2015 2x

Porque la de mayor orden está en el numerador

0

Porque la de mayor orden está en el denominador

Tipo:   

Caso 1: Tienen el mismo orden. Aplicamos el criterio del orden lim x2  5x   

x 

Porque la de mayor orden es la segunda función

 3x2  7x  2  lim  x 3  5x   x  2x  1  

Porque la de mayor orden es la primera

Orden 3/2 Orden 1

Caso 2: Tienen el mismo orden pero son fracciones En este caso, podemos hacer la suma o resta de fracciones y después ver si todavía sigue la indeterminación

2x 2  5x 11x 2x2  5x  2x · x  3 2x2  5x  2x2  6x  2x  lim  lim  lim  11 x  x  3 x  x x 3 x3 x x  3 lim

Orden 1

Orden 1

Caso 3: Tienen el mismo orden pero aparecen radicales  x2  x  x  ·  x 2  x  x  x x2  x  x2 2    lim  x  x  x   lim   lim   lim  x x   x  x 2  x  x x  x 2  x  x x2  x  x Orden 1

lim

Orden 1

x 

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x 2

x x

 lim

x 

x 1  2x 2

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Tipo: 1

En muchos casos, las potencias se pueden calcular como hemos visto en la página 2

 x 

lim x2  1

x 3 



x

 x  0 lim   x   2x  1 

 Porque es del tipo  que no es indeterminación 

1 Porque es del tipo   que no es indeterminación 2

Vamos a centrarnos en los del tipo

1

Para resolverlo vamos a utilizar la siguiente regla: lim f (x )1 · g (x )

lim f (x)g (x )  e x  

x 

 2x  1  lim   x   2x  3 

x 2

2x  1 2x  lim  1 , entonces el límite entero es del tipo x  2x  3 x  2x

Si consideramos solo la base: lim

1

Utilizamos la fórmula anterior.  2x  1  lim   x   2x  3 

x 2

 2x 1  lim  1  · (x 2)  e x   2x 3 

Vamos a calcular aparte el exponente para que se vea más

claro: 4x  8  2x  1   2x  1  2x  3  lim   1  · x  2  lim  2  · x  2   lim x   2x  3 x   x 2x  3 2x  3  

Entonces el resultado final es:  2x  1  lim   x   2x  3 

x 2

 e2

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2.3 LÍMITE CUANDO X TIENDE A UN NÚMERO La forma de comportarse una función para valores de x cercanos a un valor dado “x” pude resumirse en los siguientes gráficos

Ahora bien, al elegir valores cercanos a un número “c” podemos hacerlo de dos maneras

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Ejemplos:

¿Qué ocurre si ahora tenemos la expresión de la función en lugar de su gráfica? Como norma general, sustituimos el valor de x en la expresión algebraica correspondiente. lim x3  5  23  5  8  5  3

x 2

Ahora bien, eso no siempre es lo más indicado ya que nos podemos presentar con alguna de estas situaciones:

 x2  2x  1 x0  f(x)   3 x 1 x0   2 En este caso debemos siempre calcular los límites laterales para averiguar si “los trozos de la

Caso 1: la función es “a trozos” y el punto a es de la frontera

función pegan bien”   x 2  2x  1  0 2  2 · 0  1  1 xlim   0 lim f (x)   x 0  3 3  lim x  1  · 0  1  1 2 x 0 2

Tanto a la derecha como a la izquierda del cero, el límite vale lo mismo, por lo que la función tiene límite y vale 1. 7/17

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lim f (x)  1

Es decir:

x 0

si hubieran salido diferentes tanto a la izquierda como a la derecha diríamos que no existe el límite

Caso 2: Después de sustituir nos da una expresión indeterminada: 0 x3  1  2 0 x 1 x  1

lim

Cada expresión requiere una técnica diferente y las analizaremos a continuación

Tipo:

k k0 0

Siempre es infinito (positivo o negativo depende de los signos que nos salgan) SIEMPRE analizamos los límites laterales  x2  3x  1    lim x 1 x 1 2 x  3x  1  lim  X 1 x 1  2  lim x  3x  1   x 1  x  1

Tipo:

0 0

Caso 1: Fracciones algebraicas

lim

x 1

x3  1 x 1 2



0 0

Esto quiere decir que tanto el numerador como el denominador se pueden simplificar por (x-1). Utilizaremos la regla de Ruffini o cualquier otro método para factorizar los polinomios

1 1 1

0

0

-1

1

1

1

1

1

0

Entonces el numerados puede expresar como



x 3  1  (x  1) · x 2  x  1



El denominador es una igualdad notable: x 2  1  x  1 · x  1

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x3  1 (x  1)·(x2  x  1) x2  x  1 3  lim  lim  x 1 x 2  1 x 1 (x  1)·(x  1) x 1 x  1 2 lim

Caso 2: Expresiones radicales

lim

x 0

3x 0  1  x 1 0

Entonces multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por el conjugado, en este caso del denominador lim

x 0

3x  lim 1  x  1 x 0











3x · 3x · 1  x  1 3x · 1  x  1  lim  lim x 0 x 0 1  x 1 1 x 1 · 1 x  1





 lim

3·

x 0







1  x  1 3 ·2   6 1 1

Tipo:   

1   2x  lim  2 k k x 1  x  1 x  1      0 0 Sumamos las fracciones algebraicas y quedaría en la forma:

1  x 1 x 1 1 1  2x  (x  1)   2x  lim  2  lim 2  lim lim  2   lim    x 1  x  1 x  1  x   x  1  x 1 x  1 x 1 (x  1)·(x  1) x 1 x  1 2

Tipo: 0 ·  Como norma general se transforma en una del tipo lim x  1 ·

x 1

3 x2  1

 lim

x1

3 (x  1) x2  1

0 al realizar las operaciones 0

3 · x  1 3 3  lim  x 1 x  1 · x  1 x 1 x  1 4

 lim

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

1x 1  x

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Tipo: 1 

f(x) lim 1 Se procede igual que cuandox lox 0vimos g(x) para x tendiendo a infinito  x 2  4 x  10   lim   x 6   x 4  

1 /(x 6)

 1  x 2  4x  10  1 lim   1 · x 6  x4   x  6

1 /(x 6)

 x 2  4x  10   lim   x 6 x 4   

e





 x 2  5x  6  1 lim  · x 6  x  4  x  6 

e

Hacemos ahora el exponente aparte para que se vea mejor

(x  1) 7  x2  5x  6  1 (x  1) · (x  6)   lim lim   lim · x 6 (x  4) 2 x 6   x 6   x 6 x 4 ( x 4 ) · ( x 6 )     

Luego el resultado del límite es

 x 2  4 x  10   lim   x 6  x 4  

1 /(x 6)



e

7 2

2.4 LÍMITE CON FUNCIONES TRASCENDENTES Hasta ahora hemos trabajado con funciones polinómica, racionales o irracionales, pero ¿qué ocurre si la indeterminación viene dada por la función senx o una logarítmica? No podemos aplicar las reglas dadas anteriormente. Surge la idea de infinitésimo equivalente Una función se llama infinitésimo, cuando x tiene a un valor a, si lim f (x)  0 . Así por ejemplo, x a

serían infinitésimos las funciones:

f(x)  x six  0 porque lim x  0 x 0

f(x)  ln(x) si x  1 porque lim ln x  0 x 1

f(x) 1 x a g(x)

Además dos infinitésimos se dicen equivalentes si lim

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ACTIVIDAD DE CLASE: El profesor planteará una actividad en clase para hacer por parejas, escribe aquí los resultados

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2.5 IDEA DE FUNCIÓN CONTINUA Diremos que una función es continua en el punto de abscisa x = c cuando se verifica que:

lim f (x)  f(c)

x c

Esto lleva implícitas 3 condiciones: 1º Hay imagen en c (está en el dominio) f(c) 2º Hay límite en c (y es finito)  lim f(x) xc

3º Ambas cosas coinciden lim f (x)  f(c) x c

Por tanto una función la llamaremos discontinua, si no se cumple alguna de las condiciones citadas f(x) 

Ejemplo: ¿Es continua la función siguiente para x = 2?

x3 x 1

Vamos a ver si se cumplen las tres condiciones anteriores: f(2) 

23 5 2 1

Además coinciden, entonces la función es continua en x = 2

 x 3 23 lim  5  x 2  x  1  2  1 Ejemplo: ¿Es continua la función siguiente para x = 1?

1 x 1  f(x)   x 2x  1 x  1

Vamos a ver si se cumplen las tres condiciones anteriores:

f(1)  2 · 1  1  1 1 1   1 xlim  1 x 1  lim f(x)   x 1  lim 2x  1  2 ·1  1  1 x 1 

Además coinciden, entonces la función es continua en x=1

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¿Cuáles son las causas para que una función sea discontinua? Lo veremos en los siguientes ejemplos:

En ambos gráficos, existe el límite para x tendiendo a 2, pero, sin embargo, o bien no hay función (dibujo 1) o bien la función no coincide con el límite (dibujo 2). Este tipo de discontinuidad se llama EVITABLE

Los límites por la derecha y por la izquierda de x = 2, son diferentes. Este tipo de discontinuidad de llama SALTO (También se conoce como Salto Finito)

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En todos los dibujos o bien ambos límites laterales o uno de ellos vale infinito (o menos infinito) es por lo que no hay límite. Este tipo de discontinuidad se llama INFINITA (también suele llamarse de Salto Infinito)

Para esta función no existen los límites laterales porque la función no se “acerca” a ningún valor concreto sino que oscila entre +1 y -1. Este tipo de discontinuidad se conoce como el nombre de ESENCIAL

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f(x) 

EJEMPLO: Estudiar la continuidad de la función

x 3  2x2  x  2 x2  x  2

Al tratarse de una función explícita, (no a trozos) solo será discontinua en aquellos valores que no pertenezcan al dominio y, como es racional, solo tendremos que analizar qué ocurre en los valores que anulen el denominador: x2  x  2  0  x 

x1  2 1 18  x 2  1 2

Entonces ya sabemos que la función no está definida en estos valores y, por lo tanto es discontinua. Falta ver de qué tipo de cada discontinuidad. Para eso determinaremos los límites

lim

x 3  2x 2  x  2

x 1

x x2 2



6 0

Analizaremos los límites laterales (vamos a usar la factorización del denominador par que el cálculo sea más cómodo) Análisis para x = -1

lim

x1

x 3  2x 2  x  2   (x  1) · (x  2)

lim f(x) 

x 1

Se trata de una DISCONTINUIDAD INFINITA x 3  2x 2  x  2   x1 (x  1) · (x  2) lim

Vamos qué ocurre ahora para x = 2

lim

x 2

x 3  2x 2  x  2 x2  x  2



0 0

Tendremos que factorizar los polinomios, el numerador, al ser de grado 3, lo haremos por la regla de Ruffini y el denominador, en realidad no hace falta porque al hacer el dominio ya tenemos la factorización 15/17

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1 2 1

-2

1

-2

2

0

2

0

1

lim

x 1

0

x 3  2x 2  x  2 x x2 2





(x  2) · x 2  1 5  lim  x 2 (x  1) · (x  2) 3

Tenemos entonces una discontinuidad EVITABLE (ya que ha y límite, pero no hay función)

La particularidad que tienen las discontinuidades de tipo evitable es que podemos redefinir la función de manera que sólo se diferencien en un punto, pero ahora si saldría continua. Así, la función anterior puede expresarse como

 x 3  2x 2  x  2  2 f(x)   x  x  2 5  3

x  1 x  1

La discontinuidad esencial sigue existiendo, pero ahora no ha discontinuidad evitable debido a que el límite sí coincide con la imagen.

EJEMPLO: Calcula a y b para que la siguiente función sea continua. Hacer una representación gráfica

x 2  ax x  1  f(x)  b 1  x  3 2x  4 x3 

Esta función está formada por tres trozos, cada una de ellos es un polinomio, entonces los únicos posibles puntos de discontinuidad son los puntos frontera (x = -1, x = 3)

Análisis en x = -1:

Análisis en x = 3 lim b  b

lim x 2  ax  1  a

x 3

x 1

lim 2x  4  10

lim b  b

x 1

x 3

Para que sea continua tiene que ser 1  a  b

Para que sea continua tiene que ser b  10 16/17

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Si tomamos ambos resultados juntos, obtendremos un sistema 2 x 2 fácil de resolver 1  a  b   a  1  b  1  10  9 b  10  Por tanto la función es continua para a = 10 y b = -9

x 2  9x x  1  f(x)  10 1  x  3 2x  4 x3  La representación gráfica de la función es: y

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

-10 -20

17/17

3

4

5