1

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 1. Dos piezas cuadradas y tres piezas rectangulares se acomodan para formar un rompecabezas cuadrado como muestra la figura. Si cada una de las dos piezas cuadradas tiene 72 cm de perímetro y las otras tres piezas son iguales entre sí, ¿cuál es el perímetro de cada una de estas tres piezas?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

2

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 2. En la figura, los círculos pequeños tienen radio 1 y los círculos grandes tienen radio 2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

3

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 3. En la figura, ABCDEF es un hexágono regular y C es un círculo con centro en B. Si el área del hexágono es igual a 1, ¿a cuánto es igual el área sombreada? F

C

A

B

E

D

,,

H

C

∞

Mi humilde solución . . .

∞

4

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 4. A, B, C, D, E, F, G y H son los vértices de un cubo, como se indica en la figura. ¿Cuánto vale el ángulo ∠ CAG? F

A

E D

G

B

H

C

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

5

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 5. En un círculo de radio 3 está inscrito un rectángulo ABCD. Sean I, J, K y L los puntos medios de los lados de ABCD, como se indica en la figura. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero IJKL? A

B I L

J K

D

C

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

6

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 6. Tenemos 7 barras iguales acomodadas en dos líneas horizontales y separadas todas a la misma distancia, como se muestra en la figura. Si las medidas son las indicadas, ¿cuánto vale x? 80 cm 14 cm

x

,,

∞

x

Mi humilde solución . . .

∞

7

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 7. La figura representa unas cuantas calles de una pequeña ciudad. La distancia de A a P es la misma que la de A a Q y es de 500 m. El camino de P a Q que pasa por A es 215 m más largo que el camino de P a Q que pasa por B. ¿Cómo es el camino de P a Q pasando por C con respecto al camino de de P a Q pasando por B? Q

A B

C

P

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

8

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 8. En la figura, los lados del cuadrado pequeño son paralelos a los del grande. El área del cuadrado más grande es 16 y el área del cuadrado más chico es 4. ¿Cuál es el área del cuadrado mediano?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

9

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 9. Si la figura representa un cuadrado con vértices A, B, C y D, y el ángulo ON D mide 60◦ , ¿cuánto mide el ángulo COM ? D

C M O

N A

B

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

10

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 10. En la figura W XY Z es un rectángulo, T V es paralela a ZY y U es un punto sobre Y Z de forma que U Y mide el doble que U Z. Si el área del cuadrilátero T U V X es 12, ¿cuánto vale el área del rectángulo W XY Z? W

T

Z U

X

V

,,

∞

Y

Mi humilde solución . . .

∞

11

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 11. En la siguiente figura los círculos son tangentes (se tocan en un sólo punto), todos los círculos son del mismo tamaño y tienen radio igual a 2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

12

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 12. En la figura, AB = AD = DC. ¿Cuánto mide el ángulo ∠ α? A

48◦

B

α

D

,,

∞

C

Mi humilde solución . . .

∞

13

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 13. En la siguiente figura, el valor de x es . . . 20

5

13 x

5

13

20

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

14

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 14. En la figura el ángulo en A y el ángulo en B son rectos y el área de ABCD es el triple (ADB) del área de ACB. ¿Cuánto vale área área (ACB) ? D

C

A

B

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

15

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 15. Considera el paralelogramo ABCD con los puntos P, Q y R indicados. Si ∠ ARQ = 150◦ , ∠ QP C = 35◦ y ∠ P CB = 45◦ , ¿cuánto vale ∠ P QR? P

D

C Q

A

R

,,

∞

B

Mi humilde solución . . .

∞

16

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 16. Un cuadrado de papel se cortó en 6 piezas rectangulares, como se muestra en la figura. Si la suma de los perímetros de todas las piezas es 120 cm, ¿cuál es el área del cuadrado original?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

17

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 17. El diagrama muestra tres cuadrados. El cuadrado mediano tiene como vértices los puntos medios del cuadrado grande. El cuadrado pequeño tiene como vértices los puntos medios del cuadrado mediano. El área del cuadrado pequeño es 6 cm2 . ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del cuadrado pequeño y del cuadrado grande?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

18

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 18. En la figura se muestran 7 monedas tangentes con radio 1 cm y una liga que se ajustó a su alrededor. ¿Cuál es el largo de la liga?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

19

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 19. En la figura, las diagonales AC y BD del cuadrilátero ABCD se intersectan perpendicularmente en el punto P . Si el área de ABC es 7, el área de BCD es 12 y el área de BP C es 5, ¿cuál es el área del cuadrilátero ABCD? D

A P B

C

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

20

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 20. En la figura, ABCD es un rectángulo, DC mide 120 cm, BC mide 100 cm y P C mide 125 cm. ¿Cuánto mide la altura del triángulo BP C que se ha dibujado en la figura? A

B

P D

C

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

21

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 21. Hazell tiene cinco rectángulos iguales y con ellos forma un rectángulo más grande, como se muestra en la figura. Si el área del rectángulo grande es 60 cm2 , ¿cuánto mide el lado más chico de los rectángulos originales?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

22

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 22. En la figura ABCD es un rectángulo, P es el punto de intersección de sus diagonales y M es el punto medio del segmento P B. Si la medida de AB es 4 cm y la de BC es 3 cm, ¿cuál es el área del triángulo ABM ? A

B M P

D

C

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

23

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 23. El rectángulo sombreado tiene área 13 cm2 , A y B son los puntos medios de dos de los lados del trapezoide, como se indica en la figura. ¿Cuál es el área del trapezoide? A

B

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

24

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 24. En la figura AB es perpendicular a BC, R es el punto medio de AD, RS es paralela a AB, P es el punto medio de RS, la longitud de AD es 4 y la de BC es 5. ¿Cuánto se obtiene al dividir el área del rectángulo ABSR entre el área del cuadrilátero P SCD? R

A

D

P B

S

,,

∞

C

Mi humilde solución . . .

∞

25

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 25. Un piso rectangular de 8 m × 10 m está cubierto con mosaicos de 50 cm × 50 cm como el de la figura. ¿Cuál es el tamaño de la superficie del piso que es blanca?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

26

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 26. El siguiente zigzag está formado por cuadrados iguales, cada uno de ellos con lados que miden 20 cm. ¿Cuántos cuadrados debe tener un zigzag para que su perímetro sea 201.2 m?

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

27

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 27. En la figura, si el lado de cada cuadrado mide 30 cm. ¿Cuánto mide el área del triángulo ABC?

A B C

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

28

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 28. En la figura se muestra un cuadrado de lado 12, donde la longitud de AP es 4, la de DQ es 3 y el ´ángulo RQC es recto. ¿Cuánto mide RB? P

4

A

B

R 12

D

3

C

Q

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

29

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría

Grupo:

Nombre: Problema 29. En la estrella de la figura se han marcado los valores de algunos ángulos. ¿Cuál es el valor del ángulo marcado con x?

93◦ 100◦

x◦

58◦

,,

∞

Mi humilde solución . . .

∞

30

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría1

Instrucciones: En equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas. Escriban la solución de forma correcta y clara. Una solución consiste en un reporte que le dice al lector cómo resolviste el problema y cual es tu respuesta. Para escribir tu solución toma en cuenta las siguientes sugerencias. a) Ten en mente a un lector que conoce el material pero no la solución. b) Escribe tu solución con expresiones de ideoma claras y gramaticalmente correctas. c) Explica las cosas en forma lógica y clara, de tal forma que el lector no pierda tiempo tratando de explicar pasos que omitiste. d) Siempre que hagas una afirmación, di por qué es cierta. e) Cuando uses una definición, teorema, etc., asegúrate de mencionarlo. f) Revisa tu solución; nunca la entregues sin revisarla. Problema 1. Dos piezas cuadradas y tres piezas rectangulares se acomodan para formar un rompecabezas cuadrado como muestra la figura. Si cada una de las dos piezas cuadradas tiene 72 cm de perímetro y las otras tres piezas son iguales entre sí, ¿cuál es el perímetro de cada una de estas tres piezas?

a) 60 cm

b) 56 cm

c) 44 cm

d) 36 cm

e) 30 cm

Problema 2. En la figura, los círculos pequeños tienen radio 1 y los círculos grandes tienen radio 2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

a) π

b) 2π

c) 4π

d) 6π

e) 8π

Problema 3. En la figura, ABCDEF es un hexágono regular y C es un círculo con centro en B. Si el área del hexágono es igual a 1, ¿a cuánto es igual el área sombreada? F

C

A

B

E

D

H

a)

1 3

b)

1 2

c)

2 3

d)

2 4

e)

4 5

C

Problema 4. A, B, C, D, E, F, G y H son los vértices de un cubo, como se indica en la figura. ¿Cuánto vale el ángulo ∠ CAG? F

A

E D

G

H

a) 30◦

b) 45◦

c) 60◦

d) 75◦

e) 90◦

B

C

1 Manual para Curso de Asesores de Olimpiadas de Matemáticas. Victor M. Pérez-Abreu C, Instituto de Matemáticas UNAM, 2012

31 Problema 5. En un círculo de radio 3 está inscrito un rectángulo ABCD. Sean I, J, K y L los puntos medios de los lados de ABCD, como se indica en la figura. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero IJKL? A

B

a) 6

I L

b) 9

c) 12

√ d) 4 3

e) depende del rectángulo

J K

D

C

Problema 6. Tenemos 7 barras iguales acomodadas en dos líneas horizontales y separadas todas a la misma distancia, como se muestra en la figura. Si las medidas son las indicadas, ¿cuánto vale x? 80 cm 14 cm

x

a) 1 cm

b) 2 cm

x

c) 3 cm

d) 5 cm

e) 8 cm

Problema 7. La figura representa unas cuantas calles de una pequeña ciudad. La distancia de A a P es la misma que la de A a Q y es de 500 m. El camino de P a Q que pasa por A es 215 m más largo que el camino de P a Q que pasa por B. ¿Cómo es el camino de P a Q pasando por C con respecto al camino de de P a Q pasando por B? Q

A B

a) 275 m más largo C

d) 43 m más corto

b) 215 m más largo

c) 430 m más largo

e) igual

P

Problema 8. En la figura, los lados del cuadrado pequeño son paralelos a los del grande. El área del cuadrado más grande es 16 y el área del cuadrado más chico es 4. ¿Cuál es el área del cuadrado mediano?

a) 8

b) 8.5

c) 10 d) 10.5

e) 12

Problema 9. Si la figura representa un cuadrado con vértices A, B, C y D, y el ángulo ON D mide 60◦ , ¿cuánto mide el ángulo COM ? D

C M O

N A

B

a) 10◦

b) 15◦

c) 20◦ d) 30◦

e) 35◦

32 Problema 10. En la figura W XY Z es un rectángulo, T V es paralela a ZY y U es un punto sobre Y Z de forma que U Y mide el doble que U Z. Si el área del cuadrilátero T U V X es 12, ¿cuánto vale el área del rectángulo W XY Z? W

T

Z

a) 16

U

X

V

b) 19

c) 21 d) 24

e) 26

Y

Problema 11. En la siguiente figura los círculos son tangentes (se tocan en un sólo punto), todos los círculos son del mismo tamaño y tienen radio igual a 2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

a) 2π

b) 4π

c) 6π d) 8π

e) 10π

Problema 12. En la figura, AB = AD = DC. ¿Cuánto mide el ángulo ∠ α? A

48◦

B

α a) 24◦

b) 29◦

c) 33◦ d) 40◦

e) 42◦

C

D

Problema 13. En la siguiente figura, el valor de x es . . . 20

5

a) 6

13

b) 8

c) 9 d) 10

e) 12

x 5

13

20

Problema 14. En la figura el ángulo en A y el ángulo en B son rectos y el área de ABCD es el (ADB) triple del área de ACB. ¿Cuánto vale área área (ACB) ? D

a) 2

C

A

b)

3 2

c) 1 d)

5 2

e)

2 3

B

Problema 15. Considera el paralelogramo ABCD con los puntos P, Q y R indicados. Si ∠ ARQ = 150◦ , ∠ QP C = 35◦ y ∠ P CB = 45◦ , ¿cuánto vale ∠ P QR? P

D

C Q

A

R

a) 50◦ B

b) 60◦

c) 65◦ d) 70◦

e) 75◦

33 Problema 16. Un cuadrado de papel se cortó en 6 piezas rectangulares, como se muestra en la figura. Si la suma de los perímetros de todas las piezas es 120 cm, ¿cuál es el área del cuadrado original?

a) 48 cm2

b) 64 cm2

c) 11025 cm2

d) 144 cm2

e) 256 cm2

Problema 17. El diagrama muestra tres cuadrados. El cuadrado mediano tiene como vértices los puntos medios del cuadrado grande. El cuadrado pequeño tiene como vértices los puntos medios del cuadrado mediano. El área del cuadrado pequeño es 6 cm2 . ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del cuadrado pequeño y del cuadrado grande?

a) 6 cm2

b) 9 cm2

c) 12 cm2

d) 15 cm2

e) 18 cm2

Problema 18. En la figura se muestran 7 monedas tangentes con radio 1 cm y una liga que se ajustó a su alrededor. ¿Cuál es el largo de la liga?

a) 10 + 4π cm b) 12 + π cm d) 6 + 2π cm e) 9 + π cm

c) 12 + 2π cm

Problema 19. En la figura, las diagonales AC y BD del cuadrilátero ABCD se intersectan perpendicularmente en el punto P . Si el área de ABC es 7, el área de BCD es 12 y el área de BP C es 5, ¿cuál es el área del cuadrilátero ABCD? D

a) 14

b) 14.6

c) 15.6

d) 16

e) 16.8

A P B

C

Problema 20. En la figura, ABCD es un rectángulo, DC mide 120 cm, BC mide 100 cm y P C mide 125 cm. ¿Cuánto mide la altura del triángulo BP C que se ha dibujado en la figura? A

B

a) 50 cm b) 60 cm c) 82 cm e) No se puede calcular

d) 96 cm

P D

C

Problema 21. Hazell tiene cinco rectángulos iguales y con ellos forma un rectángulo más grande, como se muestra en la figura. Si el área del rectángulo grande es 60 cm2 , ¿cuánto mide el lado más chico de los rectángulos originales?

a) 2 cm

b) 3 cm

c) 4 cm

d) 5 cm

e) 6 cm

Problema 22. En la figura ABCD es un rectángulo, P es el punto de intersección de sus diagonales y M es el punto medio del segmento P B. Si la medida de AB es 4 cm y la de BC es 3 cm, ¿cuál es el área del triángulo ABM ? A

B M

a)

P D

C

3 4

cm2

b) 1 cm2

c)

3 2

cm2

d)

5 3

cm2

e)

5 2

cm2

34 Problema 23. El rectángulo sombreado tiene área 13 cm2 , A y B son los puntos medios de dos de los lados del trapezoide, como se indica en la figura. ¿Cuál es el área del trapezoide? A

B

a) 22 cm2 d) 25 cm2

b) 23 cm2 e) 26 cm2

c) 24 cm2

Problema 24. En la figura AB es perpendicular a BC, R es el punto medio de AD, RS es paralela a AB, P es el punto medio de RS, la longitud de AD es 4 y la de BC es 5. ¿Cuánto se obtiene al dividir el área del rectángulo ABSR entre el área del cuadrilátero P SCD? R

A

D

a) 1

b)

2 5

c)

4 5

d)

5 7

e) Falta información

P B

C

S

Problema 25. Un piso rectangular de 8 m × 10 m está cubierto con mosaicos de 50 cm × 50 cm como el de la figura. ¿Cuál es el tamaño de la superficie del piso que es blanca?

Problema 26. El siguiente zigzag está formado por cuadrados iguales, cada uno de ellos con lados que miden 20 cm. ¿Cuántos cuadrados debe tener un zigzag para que su perímetro sea 201.2 m?

Problema 27. En la figura, si el lado de cada cuadrado mide 30 cm. ¿Cuánto mide el área del triángulo ABC?

A B C

Problema 28. En la figura se muestra un cuadrado de lado 12, donde la longitud de AP es 4, la de DQ es 3 y el ´ángulo RQC es recto. ¿Cuánto mide RB? 4

A

P

B

R 12

D

3

C

Q

Problema 29. En la estrella de la figura se han marcado los valores de algunos ángulos. ¿Cuál es el valor del ángulo marcado con x?

a) 42◦

93◦ 100◦ 58◦

x◦

b) 51◦

c) 55◦

d) 66◦

e) 80◦