Lectura 8 - UNIDAD 5 INICIACIÓN AL ESTUDIO DIDÁCTICO DE LA GEOMETRÍA - Horacio Itzcovich

6 Una secuencia posible En este punto se presenta, sólo a modo de ejemplo, una posible secuencia en la que se intentan conjugar, a propósito de un contenido en particular, diferentes aspectos de la actividad matemática que han sido analizados a lo largo de estas páginas. El trabajo que se propone se refiere a ideas vinculadas a los ángulos inscriptos en una circunferencia y a los ángulos centrales25. No se plantea que éste sea el único recorrido posible, se trata simplemente de una opción entre otras. Para resolver los problemas que se proponen a continuación se parte de suponer que los alumnos, a quienes está destinada esta secuencia, disponen las siguientes cuestiones y ya las han trabajado: • Propiedades de los triángulos (suma de ángulos interiores, criterios de igualdad y de semejanza, etc.). • La propiedad de que todo triángulo que tiene por vértices los extremos del diámetro de una circunferencia y su tercer vértice sobre la circunferencia es un triángulo rectángulo A continuación se presentan los problemas secuencia-dos con algunos comentarios relacionados con cada uno de ellos. Problema 1

a) Dibujen una circunferencia de centro O y radio 3 cm. Tracen un diámetro y señalen con A y B sus extremos. Marquen un punto P en la circunferencia (que no sea ni A ni B) de modo tal que el ángulo PAO mida 30° y el ángulo POB mida 60°. Si lo necesitan, usen el transportador. b) Marquen ahora, en otra circunferencia cuyo centro es O, los extremos de un diámetro. Llámenlos A y B y señalen un punto Q sobre la circunferencia (que no sea ni A ni B) de modo tal que el ángulo QAO mida 40° y el ángulo QOB sea de 100°. Los alumnos constatarán que el ángulo QAO no se puede manejar "a voluntad". Es decir, estos ángulos dibujados son dependientes entre sí. Por otro lado, les resultará llamativo que en el caso a) la construcción se pueda realizar y no así en el caso b). Es precisamente esta diferencia la que motorizará una discusión sobre las condiciones entre la parte a) y la parte b). La exploración de los alumnos, sobre todo en el caso b) y el contraste con el caso a), ofrecerá un contexto que dará cabida a la siguiente pregunta: ¿Por qué en la parte a) se pudo hacer el dibujo, en cambio en la parte b) no? El hecho de no poder manipular el valor de los ángulos "a voluntad" hace que algunos alumnos comiencen a sospechar que entre dichos ángulos debe existir alguna relación. Otros podrían ir un poco más allá. Dados los valores considerados, algunos "arriesgarán" que los ángulos en cuestión deben ser complementarios, en tanto que otros podrán lanzarse a decir que la medida del ángulo más chico deberá ser la mitad que la medida del ángulo más grande. Ambas son relaciones "fáciles", que invitan a la conjetura. Será interesante "devolver" las dos conjeturas al conjunto de la clase y convocar a decidir si ambas son correctas, si una lo es y la otra no o si las dos son incorrectas. Los alumnos deben involucrarse en un trabajo de búsqueda de 25

Algunos de los problemas enunciados se basan en un documento de apoyo a escuelas de reingreso (Secretaría de Educación, Dirección de Curricula, G.C.B.A., 2004)

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relaciones. El docente deberá "tirar de la cuerda" para transformar una de las conjeturas en una propiedad válida y general, aportando información, indicando particularidades del dibujo, etc. Al mismo tiempo, es necesario identificar contraejemplos que muestren que no es cierto que los ángulos en cuestión deban ser complementarios. Probablemente alguno de los dibujos tenga este aspecto:

Entonces, el docente podrá recuperar ciertos conocimientos ya trabajados para ponerlos al servicio de este problema: la igualdad entre los segmentos AO, OB, OP, por ser radios de una misma circunferencia; las relaciones entre los ángulos de los triángulos isósceles, etc. De esta manera, se podrán ir configurando nuevas relaciones que permitan establecer que el ángulo POB es el doble que el ángulo PAB, sin importar la medida. Es decir, se puede establecer que 2 a + 2 β = 180°, por ser los ángulos interiores del triángulo PAB 2 + γ = 180°, por ser los ángulos interiores del triángulo POB Entonces, se puede afirmar que 2 β = γ Problema 2 a) Dibujen una circunferencia de centro O y radio r. Marquen tres puntos A, B y C en la circunferencia, de manera tal que el ángulo que formen los segmentos AB y BC sea de 45°. A partir de estas informaciones, ¿es posible conocer los valores de otros ángulos? ¿De cuáles? ¿Es posible conocer el valor del ángulo AOC? Un dibujo de análisis que realicen los alumnos será sumamente útil para comprender un poco más de qué se trata:

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Para resolver este problema resulta interesante recuperar ideas del problema 1: por ejemplo, los segmentos AO, CO y BO son radios, por lo tanto son iguales y determinan dos triángulos isósceles. Éste es el tipo de "ayuda" que podría aportar el docente en el caso de que los alumnos evidencien cierto desconcierto y que no sepan por dónde empezar. A partir de allí, resulta más sencillo reconocer que en el triángulo OCB hay dos ángulos iguales, lo mismo que en el triángulo AOB. Y que los tres ángulos que tienen a O como vértice suman 360°, es decir, un giro completo. Una vez determinado que el ángulo AOC mide 90°, el docente podrá plantear una nueva cuestión, a modo de problema 2, parte b: Problema 2 b) Retoma el problema anterior y pensá en una figura "parecida" pero con otros valores para el ángulo CBA. Analiza qué del razonamiento realizado antes depende del valor del ángulo dado y qué es independiente del mismo. A partir de ahí formula alguna conjetura.

En primer lugar, es importante analizar con los alumnos qué significa aquí una figura "parecida". Es decir, desde el punto de vista del docente hay ya una relación establecida entre ángulo central y ángulo inscripto en un arco, que no está elaborada aún para los alumnos. La pregunta se podría "negociar" oralmente del siguiente modo: ¿Qué modificaciones pueden hacerse a la figura de la parte a) del problema, de manera que se "conserven" las relaciones establecidas? Este trabajo apunta, por un lado, a establecer la relación entre ángulo central y ángulo inscripto, pero también tiene el propósito de que los alumnos "recorten" ellos cuáles son las condiciones en las cuales el teorema resulta válido. En otros términos, qué es ángulo inscripto y qué es ángulo central. Como se ha señalado, considerar las condiciones en las cuales es válida una propiedad supone un trabajo de generalización típico de la actividad matemática todas las figuras en las cuales se determinan un ángulo inscripto y su central son, desde el punto de vista de la propiedad que se está tratando, equivalentes. Es de esperar, que los argumentos producidos para resolver la parte a) se vuelvan a poner sobre la mesa para responder a esta parte b) y establecer la relación entre el ángulo inscripto y el central.

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Problema 3

En la siguiente figura, O es centro de la circunferencia. Determinar la medida del ángulo A sin utilizar el transportador, sabiendo que el ángulo B mide 20° y que el ángulo ÑOR mide 120°.

La idea es que los alumnos adviertan la posibilidad de conocer la medida de un ángulo a partir de inferir relaciones que proceden del valor del ángulo central y del valor de la suma de los ángulos interiores del triángulo MNR, establecidas en los problemas anteriores. Es muy probable que este punto demande nuevamente la intervención docente, que permita a los alumnos recuperar las relaciones entre los triángulos que quedan determinados, al igual que en los problemas anteriores. Problema 426 Dada una circunferencia de centro O y radio R, se marcan 5 puntos en ella designándolos consecutivamente A, B, C, D y E, como se muestra en la figura:

¿Será cierto que, sin importar dónde se marquen los puntos A, B, C, D y E, siempre la suma de los ángulos A+B+C+D+E = 180o? Se trata de encontrar una explicación general para un resultado que puede parecer en principio "misterioso". Las relaciones entre los ángulos interiores de una circunferencia y los ángulos centrales aportarán información necesaria para comenzar a entender qué está ocurriendo. Por ejemplo, si se dibuja el ángulo central correspondiente al ángulo EBD, se obtiene el siguiente dibujo 26

Sobre una idea de L. Santaló (1961)

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De aquí es posible asegurar que EBD = 1/2 EOD. Por lo tanto, si se trazan todos los ángulos centrales correspondientes a los ángulos A, B, C, D y E, se obtiene el siguiente dibujo:

Es posible afirmar entonces que: EBD = ½ EOD DAC = ½ DOC CEB = ½ COB BDA = ½ BOA ACE = ½ AOE Pero la suma de los ángulos EOD + DOC + COB + BOA + AOE = 360°, pues completan un giro. Por lo tanto, se verifica que EBD + DAC + CEB + BDA + ACE = ½ x 360° = 180° Es interesante discutir con los alumnos que este resultado se obtuvo sin considerar en qué posición se encuentra cada punto. Basta con que se los indique consecutivamente y se los una mediante segmentos en un cierto orden. Esta discusión sobre las condiciones de la figura que hacen válido el teorema apuntan nuevamente a la cuestión de la generalización: ¿qué modificaciones se podrían hacer asegurando que se "conserva" el

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resultado? La resolución de este problema puede dar lugar a nuevas preguntas: si en lugar de cinco puntos, se consideran 4, ¿cómo se "arma" la figura? ¿Sigue valiendo el teorema? ¿Y si los puntos fueran 3? El trabajo de generalización de los resultados al conjunto más amplio de casos posibles constituye un "hábito" de la actividad matemática que la escuela puede ayudar a desplegar. Problema 5

¿Será cierto que en la siguiente figura, dados A y C fijos, el valor del ángulo ABC no varía, aunque se modifique la posición del punto B? Decidan lo que decidan, encuentren argumentos que puedan explicar tal decisión.

Nuevamente, la relación entre el ángulo inscripto y el central es la que permite determinar las condiciones en las cuales la afirmación resulta válida: el punto B "debe moverse" por el arco ABC. El análisis de este problema -que de alguna manera contiene los anteriores- puede llevar a la formulación del siguiente teorema: las medidas de los ángulos inscriptos en un mismo arco de circunferencia son iguales. Problema 6 En el siguiente dibujo, S es un punto que se encuentra fuera de la circunferencia y los puntos P, Q, R y M pertenecen a la circunferencia:

Demuestren que los ángulos del triángulo MPA son respectivamente iguales a los ángulos del triángulo RAQ.

¿Seguirá valiendo esta igualdad si se modifica la posición del punto S pero quedan

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fijos M y R? ¿Dónde debería resultar ubicado el punto A para que los dos triángulos fueran iguales? Para responder la primera parte de este problema, sería válido remitirse al problema anterior y deducir que los ángulos PRQ y QMP son iguales por pertenecer al mismo arco. A su vez, los ángulos MAP y RAQ también son iguales por ser opuestos por el vértice. Y si dos ángulos ya resultaron iguales, el tercero deberá serlo también. La segunda pregunta apunta a que los alumnos, mediante la exploración que implica modificar la posición del punto S, identifiquen que el lugar donde queda situado el punto A depende de aquel en que se sitúe el punto S (siempre y cuando M y R permanezcan fijos). De esta manera, si A pertenece a la recta que pasa por S y por el centro de la circunferencia, los dos triángulos serán iguales, pues lo serán al menos uno de sus lados (además de los ángulos). Es decir, se podría pensar que, al estar alineados los puntos S, A y O, dicha recta resulta eje de simetría pues pasa por el centro O, o bien es bisectriz del ángulo MSR. A partir de allí se podrá analizar que la distancia de A a P resultará la misma que la distancia de A a Q. Problema 7 Demuestren que en el siguiente dibujo se verifica que SP. SM =SQ . SR

La resolución de este problema exige tener disponibles las relaciones que determinan la semejanza entre dos triángulos, en este caso SMQ y SPR y las proporciones que entre sus lados se pueden determinar. Es decir, los triángulos SMQ y SPR son semejantes pues el ángulo M mide lo mismo que el ángulo R (relación que quedó demostrada en el problema anterior) y el ángulo S es compartido por los dos triángulos. A partir de esto, ambos triángulos son semejantes, en consecuencia los lados correspondientes resultan proporcionales. O sea, se verifica la siguiente igualdad: SM SR

=

SQ SP

De donde se deduce, apelando a un recurso algebraico, que SM · SP = SQ · SR Como se ha tratado de mostrar, esta secuencia incluye diferentes tipos de tareas: construcciones, exploraciones, búsqueda de condiciones, elaboración de relaciones y

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conjeturas, un fuerte trabajo con argumentos deductivos. Es decir, se ha intentado poner de manifiesto que el abordaje de un concepto geométrico puede estar configurado por diferentes situaciones que demanden el uso de una gran variedad de recursos como los presentados en este libro. Lógicamente, esta organización y esta secuenciación dependen de los conocimientos de los que disponen los alumnos, de los contenidos que se pretenden abordar, de los alcances de dichos contenidos. Es decir, este trabajo requiere de una planificación y de intervenciones del docente que acompañen sistemáticamente el ingreso de los alumnos en el terreno de la geometría.

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