APLICACIÓN PRÁCTICA E INTERDISCIPLINARIA DE LA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EN LA INGENIERIA G. CASAR MARCOS; PROFESOR DE ASIGNATURA DE PROBABILIDAD; FACULTAD DE INGENIERÍA UNAM; [email protected]

RESUMEN La universalidad de enseñanza de la Probabilidad y Estadística, ha llegado a traspasar fronteras ideológicas y culturales ya que en la mayoría de las carreras del conocimiento humano que se imparten, se aplican uno o varios temas sobre ellas y normalmente en las catalogadas de tronco común. Las aplicaciones de las diferentes disciplinas son tan amplias y variadas que forman parte muchas veces de las tomas de desiciones diarias del ser humano y del Ingeniero, atravez de análisis de tendencias de resultados y predicciones. Aquí es donde los académicos con esta responsabilidad de enseñar esta materia tienen que pasar de los conceptos teóricos, sus demostraciones y de los ejemplos triviales, que son necesarios, a los ejemplos prácticos de la vida profesional del futuro Ingeniero, en donde va a ver la enorme interdisciplinariedad que existe en ellas. Aquí veremos algunos casos de aplicación práctica de algunos de los modelos más utilizados entre los cuales se puede mencionar los conceptos aplicados en los controles de calidad de materiales y procedimientos. Se Planteará la enorme importancia y trascendencia que tienen estos temas ya que en ellos los alumnos si no ven su utilización práctica en su futura vida profesional, no les interesará y viene el olvido, que años después tendrán que recordar para aplicarlos en su vida profesional y reflexionarán sobre la importancia de la enseñanza de la Probabilidad y Estadística.

PRESENTACIÓN Desde la aparición de los primeros conceptos de Probabilidad y Estadística que dieron fundamento a sus bases teóricas por medio del sentido común, que junto con la creatividad se busco resolver los problemas que nuestra ciencia aparentemente no resolvía en primera instancia y que además responde a una necesidad planteada por la sociedad por medio de un análisis estadístico para establecer los diferentes comportamientos en tiempos y condiciones (como pueden ser climáticas, etc.), es decir el ciclo de vida de cualquier problema, tomando en cuenta a la naturaleza para aplicar los conceptos de los temas más adecuados para cada caso particular y dando resultado el establecimiento de modelos probabilisticos comunes. Como se puede apreciar todo parte del Método Científico Experimental. INTRODUCCIÓN La definición de la Ciencia es el conjunto de conocimientos obtenidos mediante la observación y el razonamiento, sistemáticamente estructurados y de los cuales se deducen principios y leyes generales. De esta manera se describen y explican los fenómenos que se observan. Dada la unidad fundamental del universo, la ciencia es una sola; pero la infinita diversidad de aspectos que presenta hace necesario en dividirla en muchas ramas distintas, las cuales se pueden agrupar para el conocimiento humano en: “Ciencias Naturales”, “Ciencias Sociales y Políticas” y “Ciencias Exactas”. Es decir un problema a resolver nace por una necesidad social y/o política, que generalmente se llega a su solución con un previo análisis de las ciencias exactas que de la mano de las ciencias naturales, se puede llegar a plantear una solución viable del problema. La definición de la Probabilidad es en un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. La definición de la Estadística es la rama de las matemáticas que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de Probabilidades. Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos

naturales e industriales, del tráfico o de cualquier otra manifestación de las sociedades humanas. CONTEXTO En la Ingeniería se nos presentan todos los días problemas a resolver que les damos solución estableciendo patrones, estandarizando lo que se tiene que hacer para resolverlos. Pero en ocasiones tenemos algunos problemas que se salen de esa estandarización, siendo más complejos por la dificultad de poder predecir su comportamiento y cuando además se tiene que considerar la interpretación de la naturaleza, que aparentemente no tienen una solución a primera vista, se puede empezar a dar si se tienen datos Estadísticos que podemos analizar para determinar las tendencias del problema a resolver y buscar mediante algún modelo Probabilistico Común, pronosticar su comportamiento, con el uso del sentido común y la creatividad. ANTECEDENTES El concepto de Probabilidad ha evolucionado en el transcurso del tiempo. La probabilidad nació en el juego y es jugando como mejor se aprende la probabilidad. A los aljebristas del siglo XVI, Pacioli, Cardano, Tartaglia, se deben las primeras consideraciones matemáticas profundas a propósito de los juegos de azar. Los fundamentos del cálculo de probabilidades surgen alrededor del año 1650, cuando sugerido por los juegos de dados, de cartas, del lanzamiento de una moneda, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar la partida. Fermat y Pascal, dieron en 1654 la primera definición de probabilidad. Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre el número de casos favorables y el de casos posibles. El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre, del teorema del límite central. En 1809 Gauss inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales. “En el fondo, la teoría de probabilidad es sólo sentido común expresado en números”. Pierre Simón Laplace (1749-1827). Jacob Berooulli (1654 – 1705), Abraham de Moivre (1667 – 1754), el reverendo Thomas Bayes (1702 – 1761) y Joseph Lagrange (1736 – 1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 – 1827), unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera Teoría General de la Probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. Muchos centros de

aprendizaje estudiaron la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales. Nuestra necesidad de tratar con total incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. Al organizar la información y considerarla de manera sistemática, seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomar una decisión más sólida. ANÁLISIS Los casos prácticos en nuestra Ingeniería son muy utilizados en el día a día de nuestra actividad profesional, pero en ocasiones no vemos los fundamentos y es cuando tenemos que hacer un alto para razonar como se determino tal o cual solución en donde muchas veces nos cegamos a ver lo sencillo de aplicar los conceptos de Probabilidad y Estadística para resolver los problemas de nuestra actividad profesional. Caso 1: En el principio de todo desarrollo inmobiliario, se tienen que hacer numerosos análisis estadísticos para llegar a evaluar la viabilidad del negocio en donde se establecen a grandes números el presupuesto preliminar que permite que el desarrollo sea viable de construir o no, es decir que sea negocio en toda la extensión de la palabra. Normalmente en esta etapa, no hay mucho tiempo para hacer análisis y estudios de proyecto para tomar decisiones y es cuando uno tiene que utilizar los conceptos de Probabilidad y Estadística para hacer evaluaciones técnico y económicas rápidas, en donde hay que tener muy en mente el manejo de la teoría de errores. Es decir una vez decidido el predio en cuestión se elabora un presupuesto preliminar de inversión para toma de decisiones también preliminares, ya que en este momento todo gasto es capital con alto riesgo de recuperación, en base a la información recabada en poco tiempo para definir los costos del negocio como son : costo de adquisición del terreno (12%), costo de los estudios preliminares y proyecto ejecutivo (5%), el costo de las licencias y permisos (5%), costos administrativos del negocio (2%), gastos de construcción del desarrollo (52%), costos de promoción y ventas (2%) y finalmente los costos financieros del negocio (2%). Todo lo anterior sumado dará como resultado el costo preliminar del negocio (80%) y como resultado de la prospección de la venta inmobiliaria futura se verán los rangos y márgenes de utilidad (20%) para el negocio en cuestión. En esta etapa es cuando se define si es viable o no un proyecto en donde tenemos que aplicar algunos conceptos para poder determinar los costos preliminares para tomas de decisiones iniciales como es la aplicación de algunos conceptos de Probabilidad y Estadística, entre los que destaca la “Ley de Pareto”, la cual la defino a continuación: Mediante el diagrama de Pareto se pueden detectar los problemas que tienen mas relevancia mediante la aplicación del principio de Pareto (pocos vitales, muchos triviales) que dice que hay muchos problemas sin importancia frente a solo unos graves. Ya que por lo general, el 80% de los resultados totales se originan en el 20% de los elementos. El nombre de Pareto fue dado por el Dr. Joseph juran en honor del economista italiano Wilfredo Pareto (1848-1923) quien realizo un estudio sobre la distribución de la riqueza, en el cual descubrió que la minoría de la población poseía la mayor parte de la riqueza y la mayoría de la población poseía la menor parte de la riqueza. Con esto estableció la llamada "Ley de Pareto" según la cual la desigualdad económica es inevitable en cualquier sociedad.

El Dr. Juran aplico este concepto a la calidad, obteniéndose lo que hoy se conoce como la regla 80/20. Según este concepto, si se tiene un problema con muchas causas, podemos decir que el 20% de las causas resuelven el 80% del problema y el 80% de las causas solo resuelven el 20% del problema. Hablando de nuestro caso 1 la aplicación de la “Ley de Pareto” consiste en determinar el costo de los conceptos que representen en 80 % en costo pero en cantidad sean un 20% y a ese 20% se calcula con cierto detalle para ser más certero el costo y el resto de los conceptos que en cantidad son un 80% pero en costo representan un 20% se manejan parámetros de costo basados en análisis de Probabilidad y Estadística establecidos por algunas compañías dedicadas a costos, pero siempre hay que considerar la teoría de errores. Como por ejemplo en construcción es el determinar los costos lo mejor cuantificado posible del Acero y el Concreto que normalmente impactan fuertemente en los presupuestos, así como los equipos como son sistemas de aire acondicionado, subestación y equipos eléctricos, elevadores y montacargas, etc. Si el Desarrollo Inmobiliario es viable, entonces se procede a las autorizaciones para proceder a la negociación de la compra del terreno o invitar al propietario del predio como un nuevo socio del negocio, posteriormente se autorizan la elaboración de los estudios preliminares (Topografía, Mecánica de Suelos, Espectro de Sitio, Sistemas antivibratorios para los equipos rotatorios, etc.), para que una vez realizados se autorizen iniciar el desarrollo los Proyectos Ejecutivos (Arquitectura, Estructural, Eléctrico, Hidráulico, Sanitario, Contra Incendio, Control, Aire Acondicionado, Iluminación, etc.) que conforme se van terminando los Proyectos se determinen las cuantificaciones teóricas del proyecto para llegar a un nuevo Presupuesto con un grado de certidumbre muy preciso y a partir de esta etapa se podrá realizar la Planeación técnica y económica del negocio para dar el siguiente gran paso la autorización de la Construcción del Desarrollo Inmobiliario que mediante numerosos conceptos de control de calidad de materiales y procesos se podrá llevar una radiografía de la construcción en donde destaca la participación de una Gerencia de Proyecto que es la encargada de ver con más cuidado el buen camino en términos de tiempo, costo y calidad. Normalmente las etapas de construcción son tres: la cimentación con la estructura (40%), las instalaciones (30%) y los acabados (30%). En la construcción de la Cimentación y de la Estructura la Gerencia de Proyecto tiene que tener a su gente de control de calidad de materiales sobre todo en concreto (caso 2) y acero (caso 3) muy atentos para que si se presenta cualquier baja de calidad se actúe en consecuencia a tiempo y no se generen sobrecostos por la falta de actuación de las supervisiones correspondientes. Todos los Controles de calidad en un desarrollo nos sirven para darnos cuenta de problemas en términos de calidad y de tiempo, que se ven reflejados en los costos. Siempre se trata de prever todo pero generalmente nunca se puede lograr y el Ingeniero tiene que ser muy previsor para poder actuar en situaciones inesperadas con una mente abierta, con creatividad y mucho sentido común. Caso 2 En la práctica recomendable para la medición, mezclado, transporte y colocación del concreto, establece el Proceso de un vaciado (colado) de concreto, con el propósito de que mediante las pruebas de resistencia del concreto se determine el cumplimiento de la especificación de resistencia y para medir la viabilidad del concreto. Pero primero les

definiré al concreto, que es una masa endurecida de materiales heterogéneos, que están sujetos a la influencia de numerosas variables, que dependiendo de ellas, las características físico-químicas de los componentes (cemento, agua, arena / agregado fino y grava / agregado grueso) pueden ocasionar variaciones en su resistencia dentro de cierto rangos mediante un control apropiado, que si se interpretan correctamente los resultados de las pruebas se logrará el objetivo de obtener un buen producto. En donde es indispensable tomar ciertos cuidados previos, durante y después del desarrollo del proceso del vaciado del concreto, en donde la aplicación de los conceptos de Probabilidad y Estadística (como es la Distribución Normal Estándar, etc.) son la pequeña gran diferencia en que una cimentación o una estructura sea de la calidad requerida. Nos referiremos al caso de que llega un camión revolvedora (olla de concreto) a una obra determinada con 7m3 de concreto premezclado con una resistencia de f´c = 250 Kg/cm2 de resistencia con un revenimiento de 12 cms., para autorizar el vaciado de la olla, se tiene que aplicar la prueba del Revenimiento. La Prueba del Revenimiento consiste en un molde de forma de cono truncado de 300 mm de altura, el cual debe colocarse en una superficie lisa, con la abertura más pequeña hacia arriba, y llenarse con concreto en cuatro capas. Cada capa se apisona 25 veces con una varilla de acero estándar de 16 mm de diámetro, redondeada en la punta, y la superficie superior se aplana con una cuchara. El molde debe estar firmemente sostenido en la base durante toda la operación; esto se facilita mediante asas o estribos ajustados al molde. Inmediatamente después de llenarlo, se levanta lentamente el cono, y al faltarle apoyo, el concreto se abatirá (o revenirá, de ahí el nombre de la prueba). La disminución de la altura de la parte superior del concreto abatido se llama revenimiento, el cual se determina en forma práctica colocando el molde de cono truncado a un lado de forma invertida, colocando la varilla en la boca más grande para con un metro se vea cuantos centímetros se desmorono la mezcla con respecto al cono. Una vez aplicada la prueba se puede aceptar los 12 cm. con más menos 2 cm. de tolerancia. Es decir de 10 a 14 cm., aunque lo especificado es 12 cm. Lo que significa que la mezcla tiene la cohesión especificada. Otra prueba es “A la Tensión por Compresión del Concreto”, es mediante la obtención de cuatro muestras de concreto del camión revolvedora (olla de concreto) que se vacían en otros moldes cilíndricos de 30 cm. de alto con un diámetro de 10 cm. los cuales se envían a un laboratorio para que sean sometidos a una prueba de compresión a 7 días el primer cilindro, 14 días el segundo cilindro y a 28 días el tercer y cuarto cilindro para que en esta última prueba hayan obtenido por lo menos la resistencia especificada. Si no se obtienen las resistencias especificadas mediante la prueba anterior de cilindros se puede aplicar una prueba de la obtención de corazones del elemento de concreto que salio fuera de especificación, que son cilindros de 10 cm. de altura y 5 cm. de diámetro para enviarlos al laboratorio para hacerle nuevamente pruebas y de esta manera corroborar o no los resultados de cilindros a compresión. Pero existe otra prueba que es la de carga, que es la última instancia para evitar la demolición del elemento estructural en cuestión. Estas pruebas son a costo de la compañía que suministro el concreto tanto en costo como cargos de tiempo perdido.

Caso 3 En el desarrollo de una obra de estructura metálica que generalmente son Industriales (bodegas) se aplican los conceptos de Probabilidad y Estadística, desde su transportación que normalmente son secciones importadas por la falta de fabricación de aceros estructurales en México, lo cual encarece su costo y su transportación. Cuando uno ve llegar a la obra por ejemplo secciones I de 30 pulgadas y de 12 metros de largo. Para poder recibirlas se tendrán que hacer unas pruebas de verificación de la sección longitudinal (geometría) que consisten en tirar un hilo (llamado reventón) de la sección más larga, de lado a lado, para tensarlo y en el centro medir que tanto se deformo la sección I en su transportación, si excede parámetros obtenidos de análisis de Probabilidad y Estadística, se rechaza el elemento con el consecuente sobrecosto de regresarlo (flete) al horno para fabricar una nueva pieza. En algunos materiales el acarreo es más costoso que el material mismo, como en algunas circunstancias puede ser el asfalto en las obras de construcción de caminos muy alejados de los bancos de materiales y de las plantas de elaboración de la mezcla. Estos parámetros de materiales aceptados internacionalmente, son establecidos por la American Society of Testing Materials (ASTM) que para el caso del acero define a este parámetro como l/500, en donde la l es la longitud de la pieza es decir 12 metros, que para este caso no puede exceder 2.4 cm con una cierta tolerancia. Además de esta prueba de verificación de la sección longitudinal a todo lo largo de la obra se tiene que estar verificando para que el acero trabaje dentro de los rangos lineales permisibles sin llegar al punto de fluencia en donde la deformación ya no se podrá recuperar la geometría del elemento. CONCLUSIONES En los fenómenos con los cuales trabajará el futuro Ingeniero (alumno) existe algún grado de incertidumbre; por ejemplo, demandas de tráfico máximo, precipitación anual máximo, precipitación pluvial anual, resistencia del acero, son fenómenos que no siempre tendrán exactamente los mismos valores observados, aún bajo condiciones aparentemente idénticas. Puesto que el funcionamiento de las instalaciones construidas dependerá de los valores futuros, el ingeniero debe reconocer y tratar la incertidumbre de manera realista y económica. Según sea la situación en un fenómeno dado, el futuro Ingeniero (alumno) tratará la incertidumbre; si el grado de variabilidad es pequeño y si las consecuencias de cualquier variabilidad no son significativas, se pueden ignorar y suponer que la variable será igual a la mejor estimación disponible, que puede ser un promedio de un número de valores observados. Por ejemplo esto es característico con las constantes de elasticidad de materiales y dimensiones físicas de muchos objetos. Si la incertidumbre es considerable, el futuro Ingeniero (alumno) puede seleccionar “estimaciones prudentes”, que sucede frecuentemente, como por ejemplo cuando al fijar un mínimo especificado en las propiedades de resistencia de los materiales, y cuando se estudian las demandas de transporte o la instalación de obras de aprovechamientos hidráulicos, en la práctica surgen muchas preguntas al utilizar estas estimaciones prudentes, las cuales se van determinando con la experiencia profesional.

PROPUESTA Los métodos de enseñanza de la Probabilidad y Estadística, pienso que en general deben ser enfocados a resolver problemas de la práctica profesional, basados en el reforzamiento de las técnicas de reducción de datos observados, de manera que puedan ser interpretados, evaluados y comunicados eficientemente, desarrollando las bases fundamentales de la teoría de las probabilidades, lo que es necesario para tratar la incertidumbre en problemas de Ingeniería, utilizando la teoría de Probabilidades para desarrollar algunos modelos matemáticos de procesos aleatorios, que se usen con más frecuencia e introducen métodos estadísticos que sirven de enlace entre los datos observados y los modelos matemáticos, utilizando los datos para estimar los parámetros permisibles del modelo y evaluar su validez, desarrollando detalladamente los métodos para analizar decisiones en Ingeniería técnicamente y económicamente cuando existe una incertidumbre a resolver, en tiempos razonables. RECOMENDACIONES El reto del académico que imparte Probabilidad y Estadística, es el de transmitir que es una materia de Matemáticas Aplicadas, la cual tiene que enseñarse muy bien a los futuros Ingenieros (alumnos) ya que en ella podrán resolver más fácilmente sus pequeños y grandes problemas en su vida profesional o por lo menos para darse cuenta de que magnitud es el problema, analizar las probables tendencias y poder predecir los rangos de solución, de la mano de estas herramientas, en un entorno de interdisciplinariedad. BIBLIOGRAFÍA 1. Diccionario de la Lengua Española por la Real Academia Española, Vigésima Segunda Edición 2001 por ESPASA. 2. Gran Diccionario Enciclopédico Ilustrado de Selecciones del Reader´s Digest México 1979. 3. Historia e Historias de Matemáticas. Mariano Perero. Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. 1994. 4. Tecnología del Concreto Tomo I. A.M. Neville. Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto. 1977. 5. Probabilidad y Estadística en Ingeniería Civil. Jack R. Benjamín. Mc Graw Hill. 1981. 6. Manual de Construcción en Acero, Volumen 1. Instituto Mexicano de la Construcción en Acero, A.C. Noriega – Limusa, 2ª Edición, 1º Reimpresión 1990.