 3x + 2 y − z = 1  1. Discutir según los valores del parámetro k el sistema  x − y + 2z = 3 kx + 5y − 4z = −1  Solución  3 2 −1   3 2 −1 1      A =  1 − 1 2 ; A * =  1 − 1 2 3  : ACA * ⇒ rgA ≤ rgA * ≤ 3  k 5 − 4  k 5 − 4 − 1    

Si A ≠ 0, el rg A = 3 = rg A * = n (nº de incógnitas) S. C. D. Teniendo en cuanta lo anterior se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anular el determinante de la matriz de coeficientes. 3 2 −1 A = 1 − 1 2 = 3k − 15 = 3(k − 5) = 0 : k - 5 = 0 ; k = 5. k 5 −4

Discusión: Si k ≠ 5

I)

A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A * = n = 3. S. C. D.

 3 2 −1   Si k = 5. A =  1 − 1 2  A = 0 ⇒ rg A < 3. Para comprobar si tiene rango 2 se 5 5 − 4   busca un menor de orden Z distinto de cero. 3 2 = −5 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 1 −1

II)

 3 2 −1 1    * A = 1 −1 2 3  rg A * ≥ 2. Para saber si A tiene rango 3, se estudian los menores  5 5 − 4 − 1   3 2 . De los dos menores orlados posibles, uno es el A , que es cero, y el otro es: orlados a 1 −1 *

3 2 1 1 − 1 3 = 0 ⇒ rg A * < 3. 5 5 −1 rg A = rg A * = 2 < n = 3 S. C. I. El sistema equivalente está formado por: 3x + 2 y − z = 1 S' :   x − y + 2z = 3 que son las ecuaciones linealmente independientes por contener los coeficientes del menor de orden 2 que da rango al sistema.  x + my + z = m + 2  2. Discutir según los valores del parámetro m el sistema x + y + mz = −2·(m + 1)  mx + y + z = m 

Solución m+2  1 m 1 1 m 1    *  A =  1 1 m  ; A =  1 1 m − 2m − 2  m 1 1  m 1 1 m    

A ⊂ A * ⇒ rg A ≤ rg A * ≤ 3

(

)

Teniendo en cuenta que si A ≠ 0 rg A = rgA * = n = 3 , el sistema es compatible determinado, por lo tanto, se discute el tipo de solución para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 m 1 A = 1 1 m = m 3 − 3m + 2 m 1 1 Factorizando la expresión mediante Ruffini (1, 1, -2).  m =1 A = (m − 1)2 ·(m + 2 ) = 0 :  m = −2 Discusión: * i) Si m ≠ 1, −2 ⇒ A ≠ 0 rg A = rg A = n = 3

Sistema compatible determinado.

 1 1 1   ii) Si m = 1 A =  1 1 1 rg A = 1. Solo existen menores de orden uno distinto de cero.  1 1 1   1 1 1 3    1 3 A * = 1 1 1 − 4  : = −7 ≠ 0 rg A * = 2 1 4 1 1 1 1    rg A ≠ rg A * Sistema incompatible.  1 −2 1    1 − 2 · A = 0 ⇒ rg A < 3 . Para saber si tiene rango 2, se busca un iii) Si m = −2: A =  1 − 2 1 1   menor del mismo orden distinto de cero. 1 −2 = 3 ≠ 0 rg A = 2 1 1 0   1 −2 1   1 −2 A = 1 1 − 2 2  A ⊂ A * rg A * ≥ 2 . De los menores orlados a , solo queda por 1 1  − 2 1 1 2 −   estudiar el menor formado por la 1º, 2º y 4º columna, ya que el otro menor orlado posible es el A , que es *

cero. 1 −1 0 1 1 2 = 0 ⇒ rg A * = 2 −2 1 −2 rg A = rg A * = 2 < n = 3 Sistema compatible independiente El sistema equivalente está formado por: x − 2 y + z = 0 S' :   x + y − 2z = 2 que son las ecuaciones linealmente independientes por contener los coeficientes del menor de orden 2 que da rango al sistema.

x + ky − kz = 0   3. Discutir según los valores del parámetro k el sistema 12 x − (k + 2 )·y − 2z = 0  kx − 2 y + z = 0 

Solución Sistema homogéneo, se caracteriza por que la matriz A y la A* son iguales (se diferencian en una columna de ceros) y por tanto también son iguales sus rangos, por lo que siempre son compatibles. Si A ≠ 0 , el sistema es compatible determinado. Teniendo en cuanta lo anterior, el sistema se discute en

función de los valores del parámetro que anular el A . 1 k −k A = 12 − k − 2 − 2 = −k 3 − 4k 2 + 11k − 6 k −2 1

Factorizando la expresión mediante Ruffini (1, 1, −6)  k =1 A = (k − 1)2 (k + 6) = 0 :  k = −6

Discusión: i) Si k ≠ 1, −6. A ≠ 0 .rg A = n(incógnitas) = 3. Sistema compatible determinado, solución

trivial (x = y = z = 0).  1 1 -1    1 1 Si k = 1 A = 12 - 3 - 2  : A = 0 ; ≠ 0 . Rg A = 2 < n =3. Sistema compatible 12 - 3  1 -2 1    indeterminado. El sistema equivalente está formado por:  x+y−z = 0 S':  12 x − 3y − 2z = 0 que son las ecuaciones linealmente independientes por contener los coeficientes del menor de orden 2 que da rango al sistema.  1 -6 6    1 -6 Si k = −6 A =  12 4 - 2 ; A = 0. ≠0 12 4 - 6 - 2 1   

ii)

iii)

rg A = 2 < n = 3 . Sistema compatible indeterminado. El sistema equivalente está formado

 x − 6 y + 6z = 0 por: S':  12x + 4 y − 2z = 0  2x + y − z = 1  4. Discutir según los valores del parámetro m el sistema  x + my + z = 2 3x + y − mz = 3 

Solución 2 1 −1    A = 1 m 1  3 1 − m  

2 1 −1 1   A =  1 m 1 2  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 : n = 3  3 1 − m 3   Si A ≠ 0, el rg A = rg A* = n = 3, el sistema es compatible determinado, por lo tanto, se *

discuten el tipo de soluciones del sistema para los valores del parámetro que anular el determinante de A. 2 1 −1 m = 0 A = 1 m 1 = 4m − 2m 2 = 2m·(2 − m ) = 0 :  m = 2 3 1 −m Discusión: i) Si m ≠ 0, 2: el A ≠ 0 , por lo tanto, rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado.

 2 1 - 1   2 1 Si m = 0: A =  1 0 1  A = 0; rg A < 3. = −1 ≠ 0; rg A = 2 . 1 0 3 1 0     2 1 −1 1   2 1 A* =  1 0 1 2  A ⊂ A* ⇒ rg A* ≥ 2 . De los dos menores orlados a , uno es el 1 0  3 1 0 3  

ii)

determinante de la matriz de coeficientes, que es cero, quedando solo por estudiar: 2 1 1 1 0 2 = 0 rg A* = 2 = rg A < n =3. Sistema compatible indeterminado. El sistema 3 1 3 2 x + y − z = 1 equivalente está formado por: S' :  , que son la ecuaciones linealmente  x+z = 2 independientes(contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero). 2  Sí m = 2: A =  1 3   2 1 −1  A* =  1 2 1 3 1 − 2 

iii)

1 -1   2 1  A = 0 ; rg A* < 3. 1 - 2  1  2  A ⊂ A* ⇒ rg A* ≥ 2. 3 

2 1 ≠ 0 rg A = 2 1 2 2 1 1 1 2 2 ≠ 6 rg A* = 3 . Rg A ≠ rg A*. 3 1 3

Sistema incompatible. 2 x + y − 4 z = m  3x − y = 11  5. Discutir según los valores del parámetro m el sistema   y+z = 6  2 y − z = m Solución 2 1 − 4 m  2 1 − 4     0 11  3 −1 0  *  3 −1 A= A A ⊂ A * ⇒ rg A ≤ rg A * = 0 1 0 1 1  1 6      0 2 −1 m   0 2 −1      rg A ≤ 3 ; rg A * ≤ 4 ; n = 3

Si A * ≠ 0 , el sistema es incompatible, no tiene solución ya que la matriz ampliada tendría rango 4, mientras que la de coeficientes el máximo rango que puede llegar a tener, por sus dimensiones, es 3. Teniendo en cuenta esto, se discute los tipos de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz ampliada. 2 5 4 m + 24 2 1 −4 m 11 3 − 1 0 11  C 2 = C 2 − C 3  3 − 1 0 = = A* = = 0 0 1 1 6 C 4 = C 4 − 6C 3  0 0 1 0 3 −1 m + 6 0 2 −1 m = 1 ⋅ (− 1)

3+ 3

2

5

3 −1 0

3

m + 24 11

= 48 − 8m = 0; m = 6

m+6

Discusión:

i)

Si m ≠ 6 ⇒ A * ≠ 0 ⇒ rg A * = 4 ≠ rg A Sistema incompatible.

ii)

 2 1 − 4  3 -1 0   3 −1 0  Si m = 6. A =  ; 0 1 1 = −9 ≠ 0 rg A = 3 = rg A * = n Sistema 0 1 1     0 2 − 1  0 2 -1   compatible determinado (solución única), El sistema equivalente está formado por: 2 x + y − 4 z = 6  S' :  3x − y = 11  y+z = 6 

 x + y − 2z = 2  6. Discutir según los valores del parámetro a el sistema  2 x − y − z = 9 x + 4 y − 5z = λ  Solución 1 1 − 2 2 1 1 − 2     A =  2 − 1 − 1  A* =  2 − 1 − 1 9  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 = n 1 4 − 5 λ 1 4 − 5     Puesto que la matriz A no depende del parámetro λ, se estudia su rango. 1 1 −2 1 1 A = 2 − 1 − 1 = 0 ; rg A < 3 = −3 ≠ 0 ; rg A = 2 2 −1 1 4 −5

Para estudiar el rango de la ampliada se parte del menor

1

1

2 −1

≠ 0. De sus menores orlados,

uno es el determinante de la matriz de coeficientes, que es cero, y el otro depende del parámetro λ. 1 1 2 2 − 1 9 = −3λ − 9 = 0 : λ = -3 1 4 λ Discusión: i) Si λ ≠ −3. Existe un menor de orden 3 en la ampliación distinto de cero, por lo que su rango

es 3. rg A = 2 ≠ rg A * = 3 Sistema incompatible. ii)

Si λ = −3. No existe ningún menor de orden 3 en la matriz ampliación distinto de cero. Teniendo en cuenta que rg A = 2 ≤ rg A * < 3 , se deduce: rg A = rg A * = 2 < n = 3 . Sistema compatible indeterminado. El Sistema equivalente esta formado por:  x + y − 2z = 2  2x − y − z = 9

 3x + y − az = 0  7. Discutir según los valores del parámetro a el sistema  x − 2 y − z = 0 2 x + 2 y + z = 0  Solución

Sistema homogéneo A = A * ⇒ rg A = rg A * . Siempre se comporta como sistema compatible. Caben dos posibilidades: - A ≠ 0 . Sistema compatible determinado. Solución trivial x = y = z = 0. - A = 0 . Sistema compatible indeterminado. Teniendo en cuanta lo anterior, la discusión se hace en función de los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes (A).

 3 −1 a    A =  1 − 2 − 1 2 2 1  

3

−1

a

A = 1 − 2 − 1 = 6a + 3 = 0 : a = - 1 2

2

1

2

Discusión:

Si a ≠ −1 , rg A = n = 3. Sistema compatible determinado, solución trivial 2  3 −1 −1   2 1 −2 Si a = −1 A =  1 − 2 − 1  A = 0; rg A < 3 . = 6 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 Sistema 2 2 2   2 2 1    compatible indeterminado. Es sistema equivalente esta formado por:  x − 2y − z = 0 S' :  2 x + 2 y + z = 0

i)

ii)

 λx + y + z = 1  8. Discutir según los valores del parámetro λ el sistema  x + λy + z = λ x + y + λz = λ2  Solución λ 1 1 λ 1 1 1      A =  1 λ 1  A* =  1 λ 1 λ  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 1 1 λ  1 1 λ λ2     

Teniendo en cuenta que si A ≠ 0 el sistema es compatible determinado, la discusión se hace en función de los valores del parámetro (λ ) que anulan el determinante de A. λ 1 1

factorizando   λ =1   2 A = 1 λ 1 = λ − 3λ + 2 =  por  = (λ − 1) ·(λ + 2 ) = 0 :  λ = −2  Ruffini  1 1 λ   3

Discusión:

i)

Si λ ≠ 1, −2: A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A * = n = 3 Sistema compatible determinado.

1 1 1 1 1 1 1    *  ii) Si λ = 1 A = 1 1 1 rg A = 1(*) , A = 1 1 1 1 rg A * = 1(*) 1 1 1 1 1 1 1     (*) En ninguna de las dos matrices existen menores de orden superior a uno que sean distintos de cero. rg A = rg A * = 1 < n = 3 S.C.I. Grado de indeterminación = rg < A - n = 3 - 1 = 2

iii)

- 2 1 1    −2 1 Si λ = −2 A =  1 - 2 1  A = 0; rg A < 3 . = 3 ≠ 0; rg A = 2 1 −2  1 1 - 2   − 2 1 1 1     −2 1 A * =  1 − 2 1 − 2  : rg A * ≥ 2. De los menores orlados al menor , solo 1 −2  1  1 −2 4   −2

queda por estudiar: 1 1

1

1

− 2 − 2 = 9 ≠ 0 ⇒ rg A * = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible. 1 4

 x − y + mz + 3t = 7  9. Discutir según los valores del parámetro m el sistema  mx + y − z − 2t = 5 3x + 2 y − 5z − t = 4  Solución 3  3 7  1 −1 m  1 −1 m     A =  m 1 − 1 − 2  A * =  m 1 − 1 − 2 5  A ⊂ A * ⇒ rg A ≤ 3 n = 4  3 2 − 5 −1  3 2 − 5 −1 4    

Debido a las dimensiones del sistema (3 ecuaciones × 4 incógnitas), independientemente del valor que tomé el parámetro m, el sistema no puede ser compatible determinado. La posible discusión de la soluciones del sistema se hace en función de los valores del parámetro que anulen simultáneamente todos los menores de orden 3. Por las dimensiones de la matriz A (3×4) se recomienda partir de un menor de orden 2 que no dependa del parámetro y que sea distinto de cero, y de esta forma solo estudiar las soluciones comunes a sus dos menores orlados. 1 -2 = 3 ≠ 0, Partiendo del menor orlado. (F2 , F3 , C 2 , C 4 ) 2 -1 Sus menores orlados son: 1 −1 3 • m 1 − 2 = 5m = 0 : m = 0 3 2 −1 −1

•

m

3

1

− 1 − 2 = −3m : m = 0

2

−5

−1

Discusión:

i)

Si m ≠ 0.

rg A = 3 = rg A * < n = 4 . Sistema compatible indeterminado.

ii)

Si m = 0.

rg A < 3;

1 −2 2

−1

= 3 ≠ 0 rg A = 2 .

3 7 1 −1 0   1 −2 A * =  0 1 − 1 − 2 5  A ⊂ A* ⇒ rg A * ≥ 2 . De los menores orlados a , 2 −1  3 2 − 5 −1 4   −1 3 7

solo queda un menor de orden 3 por estudiar: 1 2

− 2 5 = 42 ≠ 0 ⇒ rg 0 ⇒ rg A * = 3 −1 4

rg A ≠ rg A* Sistema incompatible.  λx + y − z = 0  10. Discutir según los valores del parámetro λ el sistema 3x + 10 y + 4z = 0  x + 3y + z = 0  Solución

Sistema homogéneo. A = A * ⇒ rg A = rg A * . Sistema compatible para cualquier valor de λ.  A ≠ 0 ⇒ S.C.D. Solución trivial (x = y = z = 0) Si :   A = 0 ⇒ S.C.I. λ 1 −1 A = 3 10 1

3

4 = 2 − 2λ = 0 ; λ = 1 1

Discusión:

i) ii)

Si λ ≠ 1. Si λ = 1

A ≠ 0 ⇒ S.C.D.

(x = y = z = 0)

 1 1 - 1   1 1 A =  3 10 4  : A = 0; = 7 ≠ 0 rg A = 2 3 10 1 3 1    rg A = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado Grado de indeterminación = n − rg A = 3 − 2 = 1

 x+y−z = 0 S' :  3x + 10 y + 4z = 0 x + 2y + z = 0  (a + 3)·x + 2 y + (2a + 5)·z = 0  11. Discutir según los valores del parámetro a el sistema  2 x + ay + 3z = a   − x + ay − z = 0 Solución 2 1  2 1 0  1  1      rg A ≤ 3  a + 3 2 2a + 5  *  a + 3 2 2a + 5 0  A= = A A ⊂ A* :  :n =3  2 2 a 3  a 3 a rg A* ≤ 4       −1 a  −1 a −1 − 1  0   

Debido a las dimensiones de ambas matrices, el sistema se discute para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz ampliada (A*), puesto que los que no lo anulan harán que la matriz ampliada tenga rango 4, rango al que la matriz de coeficientes (A) no puede llegar por sus dimensiones A4x3, y por tanto darán un sistema incompatible. 1 2 1 0 a + 3 2 2a + 5 0 a=0 A* = = a· a 2 + 4a + 4 = a·(a + 2)2 = 0 2 a 3 a a = −2 −1 a −1 0 Discusión:

(

i)

ii)

iii)

)

Si a ≠ 0, −2 A * ≠ 0 ⇒ rg A* = 4 > rg A . Sistema incompatible.  x + 2y + z = 0  3x + 2y + 5z = 0  Si a = 0 A =  Sistema homogéneo A = A* ⇒ rg A = rg A * ≤ 3 + 3z = 0 2x - x -z = 0 1 2 1   1 2 1 3 2 5 2 0 3 = −2 ≠ 0. rg A = n = 3. Sistema compatible determinado. A= 2 0 3   -1 0 -1  − 1 0 − 1   Solución trivial.

Si a = −2 2 1 1   2 1 1 2 1 A= = −6 ≠ 0 . 2 −2 3  2 -2    − 1 − 2 − 1   No existen menores de orden 3 distintos de cero rg A = 2

2 1 0  1   2 1 0  1 A* =  2 − 2 3 − 2    −1 − 2 −1 0   

A * = 0. No existe menores de orden 3 distintos de cero rg A * = 2

rg A = rg A * = 2 < n = 3 Sistema compatible indeterminado. Grado de indeterminación = n − rg A = 3 − 2 = 1.  x + 2 y +·z = 0 S' :  2 x − 2 y + 3z = −2  x − 3y + 5z = 2  12. Discutir según los valores del parámetro m el sistema  2x − 4 y + 2z = 1 5x − 11y + 9z = m 

Solución

1 − 3 5   A =  2 − 4 2  5 − 11 9   

1 − 3 5 2    A =  2 − 4 2 1  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3  5 − 11 9 m    *

Debido a que la matriz A no depende del parámetro, se estudia su determinante, ya que sí el A ≠ 0, el sistema sería compatible determinado siempre. Si por el contrario el A = 0, se puede generar una discusión con el parámetro que aparece en la columna de términos independientes. 1 −3 5 1 − 3 5 2   1 −3 *  A = 2 − 4 2 = 0 ⇒ rg A < 3 . = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . A =  2 − 4 2 1  rg A * ≥ 2 2 −4  5 − 11 9 m  5 − 11 9   1 −3 De los menores orlados a , uno es el determinante de la matriz de coeficientes, y el único 2 −4 1

−3

2

que queda por estudiar es: 2 − 4 1 = 2m − 8 = 0 : m = 4 . 5 − 11 m Discusión: i. ii.

Si m ≠ 4, en la matriz ampliada existe un menor de orden 3 distinto de cero, por lo que rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible. Si m = 4, no existe en la matriz ampliada ningún menor de orden 3 distinto de cero, por lo que rg A* = rg A = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado. El sistema equivalente  x − 3y + 5z = 2 está formado por: S' :  2 x − 4 y + 2 z = 1

3x + 5y + Kz = 2  13. Discutir según los valores del parámetro K el sistema 5x + Ky + 3z = 2 Kx + 5y + 3z = 2  Solución  3 5 K 2  3 5 K     A =  5 K 3  A* =  5 K 3 2  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rgA* ≤ n = 3  K 5 3 2 K 5 3      Se resuelve igual que los anteriores, obteniéndose los siguientes resultados. A = − K 3 + 49K − 120 = −(K + 8)(K − 3)(K − 5) = 0 : K = −8 : K = 3 : K = 5

Discusión:

K ≠ −8, 3, 5. rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Método de Cramer. K = −8. rg A = 2 ≠ rg A* = 3. Sistema incompatible 3x + 5 y + 3z = 2 K = 3. rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado.  5x + 3y + 3z = 2

i. ii. iii.

3x + 5 y + 5z = 2 K = 5. rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado.  5x + 5y + 3z = 2

iv.

x+y+z = a   14. Discutir según los valores del parámetro a el sistema x + (1 + a )·y + z = 2a  x + y + (1 + a )·z = 0 

Solución 1  1 1   A = 1 1 + a 1  1 1 1 + a   

1 1 1  A* = 1 1 + a 1 1 1 1 + a 

a  2a  0 

A ⊂ A* ⇒ rgA ≤ rgA* ≤ n = 3

A = a2 = 0:a = 0 Discusión: i. Si a ≠ 0. rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Método de Cramer. Si a = 0. rg A = rg A* = 1 < n = 3 Sistema compatible indeterminado. S’:{x + y + z = 0. ii. 41. Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, ¿puede ser compatible determinado?. ¿Puede ser incompatible? Razonar las respuestas. Solución a) No. rg A = 2 < n = 3. Si el sistema es compatible, será indeterminado. b) Si. Cuando el rg A* = 3, el sistema será incompatible, ya que rg A = 2. 42. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones lineales para los valores de t que lo hacen

− 7 − λ

compatible indeterminado  − 3

 

−6

6

6

  x  0     

2−λ 3 · y = 0      6 5 − λ   z  0

Solución Sistema Homogéneo: A ≡ A* ⇒ rg A = rg A* por lo tanto sistema compatible. Puede presentar dos casos: 1. |A| ≠ 0. Sistema compatible determinado. Solución trivial(x = y = z = 0). 2. |A| = 0. Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones Se calcula el determinante de A en función del parámetro, para de esta forma encontrar los valores de este que anulan el determinante. 6 6 −7−t |A| = − 3 2−t 3 = −t³ + 3t + 2 = (t + 1)²·(t − 2) = 0; t = −1 ó t = 2 6 5− t −6 Discusión:

i) ii)

Si t ≠ −1, 2 |A| ≠ 0; Sistema compatible determinado. Solución trivial(x = y = z = 0). − 6 x + 6 y + 6 z = 0  Si t = −1  − 3x + 3y + 3z = 0 equivalente a {− x + y + z = 0 S.C.I. con dos grados de − 6 x + 6 y + 6 z = 0  x = λ + µ  indeterminación. Tomando como parámetros y = λ, z = µ la solución es:  y = λ  z=µ 

− 9 x + 6 y + 6 z = 0  - 9 6 6    Si t = 2  − 3x + 3z = 0 sistema representado por la matriz A =  - 3 0 3   - 6 6 3 − 6x + 6 y + 3z = 0   

iii) −9 6

= 18 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 Sistema compatible indeterminado con un grado de −3 0 indeterminación. La solución la encontramos con el sistema equivalente: − 9 x + 6 y + 6 z = 0 − 3x + 2 y + 2z = 0 equivalente a  . Tomando z = λ como parámetro:   − 3x + 3z = 0  −x+z =0  x=λ 3x − 2 y = 2λ  resolviendo:  y = 1 λ ∀λ ∈ R  2  x=λ  z=λ 

2 − 1 3 x     43. Dada la matriz A =  − 1 0 1  determinar todas las matrices no nulas  y  que  −1 − 2 3  z     verifican la igualdad AX = λX, para algún valor de λ. Solución Se pide resolver el sistema homogéneo que se forma, y resolverlo en los casos indeterminados, por lo que habrá que estudiarlo previamente. 2 − 1  x  3 x       1 ⋅ y = λ ⋅ y  −1 0  −1 − 2 3   z  z      

multiplicando  3x + 2 y − z   λ·x       − x + y  =  λ·y   − x − 2 y + 3z   λ·z      igualando termino a término y ordenando las ecuaciones se obtiene el siguiente sistema  (3 − λ )·x + 2 y − z = 0  − x + (1 − λ)·y = 0   − x − 2 y + (3 − λ)·z = 0  2 −1  3 − λ   Sistema homogéneo, definido por la matriz A =  − 1 1 − λ 0  , que solo se diferencia de  −1 − 2 3 − λ   la matriz ampliada en una columna de ceros, por lo que en todo sistema homogéneo rg A = rg A*, y por lo tanto siempre son compatibles. Como consecuencia de esto, los sistemas homogéneos solo tienen dos posibilidades: • Sí A ≠ 0 , sistema compatible determinado. Solución trivial. x = y = z = 0

•

Sí A = 0 , sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

La discusión del sistema se hace a partir de los valores que anulan el determinante de la matriz de coeficientes: −1 3−λ 2 λ = 2 −1 1 − λ 0 = −λ3 + 7λ2 − 16λ + 12 = −(λ − 2)2 (λ − 3) = 0 :  λ = 3 −1 − 2 3−λ Discusión: i.

Si λ ≠ 2 ó 3. A ≠ 0 ⇒ rg A = n = 3. S.C.D. (Solución trivial)

2 − 1 1  1 2  ii. Si λ = 2: A =  − 1 − 1 0  = 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 < n = 3. S.C.I.  −1 − 2 1  −1 −1   x + 2 y − z = 0 Sistema equivalente:  de dos ecuaciones y tres incógnitas, para resolverlo habrá  −x−y =0 que tomar una incógnita como constante y resolverlo en función e ella. Tomando la y como x + −z = −2 y z=y constante:  . Resolviendo:  convirtiendo la variable y en un parámetro (k),  x = −y x = − y se obtiene una expresión de la matriz pedida.  − k   − 1     X =  k  =  1  ⋅ k ∀ k ∈ℜ X  k  1     2 − 1 0   0 2 iii. Si λ = 3: A =  − 1 − 2 0  = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 < n = 3. S.C.I. 1 2 − −  −1 − 2 0   

 2y − z = 0 Sistema equivalente:  de dos ecuaciones y tres incógnitas, para resolverlo habrá que − x − 2 y = 0 tomar una incógnita como constante y resolverlo en función e ella. Tomando la y como  z = 2y constante:  . Convirtiendo la variable y en un parámetro (t), se obtiene otra expresión x = −2 y de la matriz pedida.  − 2t   − 2      X =  t  =  2  ⋅ t ∀ t ∈ℜ  2t   2     

44. Discutir el siguiente sistema para los diferentes valores de a y resolverlo para a=0 (a + 1)·x + y + 2z = −2   2x + y + (a + 1)·z = 3 x + (a + 1)·y + 2z = −2  Solución. 2  a +1 1   A= 2 1 a + 1  1 a + 1 2   a +1 A =

2 1

2 − 2 a +1 1   A' =  2 1 a +1 3   1 a +1 2 − 2  

A ⊂ A ' ⇒ rgA ≤ rgA' ≤ 3 : n = 3

a=0  1 a + 1 = −a − 3a + 4a = −a·(a − 1)·(a + 4) = 0 :  a = 1 a = −4 a +1 2  1

2

3

2

Cuatro casos diferentes: ∀ a ≠ 0,1,−4. |A| ≠ 0 ⇒ rgA = rgA’ = n =3. S.C.D I)

II)

2x + y + 2z = −2  2 1 2  2 1   a = 1:  2x + y + 2z = 3 A =  2 1 2  : = 3 ≠ 0 ⇒ rgA = 2  1 2 2 1 2 x + 2 y + 2z = −2   

 2 1 2 − 2 2 1 − 2   A ' =  2 1 2 3  : 2 1 3 = −15 ≠ 0 : rgA' = 3  1 2 2 − 2 1 2 − 2   rgA = 2 ≠ rgA* = 3.⇒ S.I.

III)

2  − 3x + y + 2z = −2 −3 1  −3 1   a = −4:  2x + y − 3z = 3 A= 2 1 − 3 : = −5 ≠ 0 ⇒ rgA = 2  1 −3 2  2 1  x − 3y + 2z = −2    2 − 2 − 3 1 − 2 −3 1   1 3 = 0 ⇒ rgA' = 2 1 −3 3 : 2  2  1 − 3 2 − 2 1 −3 −2  

rgA = 2 = rgA’ ≠ n = 3.⇒ S.C.I. Un grado de indeterminación.

IV)

x + y + 2z = −2 x + y + 2z = −2  a = 0:  2x + y + z = 3 equivalente a:   2x + y + z = 3 x + y + 2z = −2 

 1 1 2 1 1  1 1 2 − 2  :  : rgA' = 2 A =  = −1 ≠ 0 ⇒ rgA = 2 A' =  2 1 1 2 1   2 1 1 3  rgA = 2 = rgA’ ≠ n = 3.⇒ S.C.I. Tomando la z como parámetro (z = λ) x + y = −2 − 2λ   2x + y = 3 − λ − 2 − 2λ 1 x=

3−λ

1

1 1

=

− 2 − 2λ − 3 + λ = 5+λ −1

=

3 − λ + 4 + 4λ = −7 + 3λ −1

2 1

y=

1 − 2 − 2λ 2 3−λ −1

Solución (5+λ , −7+3λ , λ) ∀λ∈ℜ 45. Calificación máxima: 3 puntos  ax + 2 y + 6z = 0  a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones  2x + ay + 4z = 2 2 x + ay + 6 x = a − 2  b) (1 punto) Resolverlo para a = 2 Solución a) Al sistema lo definen dos matrices: 0   a 2 6 a 2 6     A =  2 a 4  ; A' =  2 a 4 2   2 a 6  2 a 6 a − 2     A ⊂ A ' ⇒ rg A ≤ rg A' ≤ n = 3 a

2 6

A = 2 a

(

4 = 2⋅ a2 − 4

)

2 a 6

(

)

A = 2 ⋅ a 2 − 4 = 0 ⇔ a = ±2

Discusión del sistema. i. Sí a ≠ ±2 el A ≠ 0 y por tanto el rg A =3 = rg A’ = n. S.C.D. 2  Si a =2: A =  2 2  2 6 0

ii.

2 6  2 2 6 0    2 6 = −4 ≠ 0 . rg A’ = 2 ya 2 4  ; A' =  2 2 4 2  . rg A =2 ya que 2 4  2 2 6 0 2 6    2 2 6

que 2 4 2 = 2 2 4 = 0 por lo tanto rg A =rg A’ =2 < n =3. S.C.I. Un grado de 2 6 0 2 2 6  2 x + 2 y + 6z = 0 indeterminación. S' ≡  2 x + 2 y + 4 z = 2  − 2 2 6 − 2 2 6 0      2 6 Si a =−2: A =  2 − 2 4  ; A' =  2 − 2 4 2  . rg A =2 ya que = 20 ≠ 0 . −2 4  2 − 2 6  2  2 6 − 4   

iii.

2

6

0

rg A’ = 3 ya que − 2 4 2 = −80 ≠ 0 por lo tanto rg A ≠rg A’. S.I. 2 6 −4 2x + 2 y + 6z = 0 SIMPLF. x + y + 3z = 0 E 2 − E1  z = −1  z = −1  →   → → b) S' ≡  + + = + + = + + = 2 x 2 y 4 z 2 x y 2 z 1 x y 2 z 1    x + y = 3 Tomando y como parámetro (y =λ): (3 − λ, λ,−1)

46. Se considera el sistema de ecuaciones en las incógnitas x, y, z, t:  x + 2y + z = 0   y + 2z + t = 0 2 x + 2λ y − t = 0 

a) Encontrar los valores de λ para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema es 2. b) Resolver el sistema anterior para λ = 0. Solución a) Sistema homogéneo ⇒ A = A* ⇒Rg A = Rg A* Si Rg A = n (numero de incógnitas) ⇒ Sistema Compatible Determinado. Solución trivial. Si Rg A < n ⇒ Sistema Compatible Indeterminado. 1 2 1 0    A = 0 1 2 1   2 2λ 0 − 1   Se busca un menor de orden 2 que no dependa de λ, si existe: 1 2 ≠0 Se orla este menor obteniendo: 0 1

1

2

1

0

1

2 = 8 − 2 − 4λ = 6 − 4λ = 0 → λ =

2 2λ 0

6 3 = 4 2

1

2

0

0

1

1 = −1 + 4 − 2λ = 3 − 2λ = 0 → λ =

2 2λ − 1

1. Si λ ≠

3 2

3 → RgA = RgA* = 3 < n → S.C.I. 2

2. Si λ =

3 , el rango del sistema, es decir, el numero de ecuaciones linealmente independientes es 2. 2

x + 2 y + z = 0  b) Si λ = 0: S ≡  y + 2z − t = 0 2 x − t = 0 

x + 2 y + z = 0 µ  para t = µ : y + 2z = µ  x = 2  2x = µ 

−µ  2  y + 2z = µ 

4 y + 2 z = −µ

2x + z =

−

2 µ + 2z = µ 3

;

Restando :

µ  + 2y + z = 0 2  y + 2z = µ

y + 2z = µ

y=

3y + / = −2µ

2z = µ +

2 µ Sol.  , − µ, 3 2

2 µ 3

;

2z =

5 µ 3

5  µ, µ  = (3, −4, 5, 6 ) o µ 6 

;

−2 µ 3

z=

5 µ 6

∀ µ ∈ ℜ

 x − ay + z = 1  47. Estudiar según los valores de “a” el sistema − x + y − z = a y resolverlo cuando no tenga  x−y−z = 0 

solución única. Solución:  1 − a 1 1  1 −a 1      ' A =  − 1 1 − 1 ; A =  − 1 1 − 1 1  A ⊂ A' ⇒ rg A ≤ rg A' ≤ n = 3  1 −1 −1 0  1 − 1 − 1     |A| = 2·(a−1) ; |A| = 0 ⇒ a=1

i)

ii)

Si a ≠ 1; |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. S.C.D. Ay Ax Az − a² − a − 2 2 1 a − a² −a x= = ; y= = = = ; z= = 2 ⋅ (a − 1) 2 ⋅ (a − 1) a − 1 2 ⋅ (a − 1) 2 A A A

 x − y+ z =1  Si a=1: − x + y − z = 1  x−y−z = 0   1 −1 1    A =  − 1 1 − 1  1 − 1 − 1    1 −1 1 1   * A =  −1 1 −1 1  1 −1 −1 0  

1

−1

−1 −1

= −2 ≠ 0 por lo tanto rg A = 2

−1 1 1 1 − 1 1 = −4 ≠ 0 por lo tanto el rg A* = 3 −1 −1 0

rg A ≠ rg A* Sistema incompatible.