Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos Subdirección de Servicios a Escuelas

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso Créditos

MAT330

10

Nombre Curso

Hrs. Semestrales Totales

Escuela o Programa Transversal Carrera/s

Cálculo I 5

Requisitos

MAT200 o MAT2001

Programa de Matemática Todas

Fecha Actualización

Currículum N°

APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)       

Reconoce el concepto de la derivada como razón de cambio entre dos variables. Reconoce la derivada como la pendiente de una recta tangente a una función. Calcula la derivada de funciones aplicando fórmulas de derivadas elementales. Calcula derivadas de orden superior. Calcula la derivada de funciones aplicando propiedades. Calcula la derivada de funciones compuestas. Calcula la pendiente de la recta tangente a una curva.

NOMBRE DE LA ACTIVIDAD Derivada de funciones (derivadas elementales, propiedades, regla de la cadena y derivadas de orden superior)

Modalidad □ Presencial □ No Presencial

Duración de la actividad (horas):

Recursos de información:

__________________________

□ Impreso

Forma de trabajo:

___________________________________________

□ Individual

□ Tecnológico

□ Grupal

___________________________________________

-

□ Informático

Tamaño del grupo:

□ 2 □ 3-5

□ 6-8

□ +8

___________________________________________

Lugar: □ Sala de clases

Material de apoyo para la actividad:

□ Laboratorio (especifique)_____________ □ Taller (especifique)_____________ □ Terreno (especifique)_____________ □ Otros (especifique)_____________

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación

1

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I Concepto de la derivada y derivadas elementales. Definición de Derivadas La derivada de la función f (x) con respecto a

f ( x)  lim h0

f (x)

se lee como “ f

x es la función f (x) dada por:

f ( x  h)  f ( x ) h

prima de

x ”. El proceso de calcular la derivada se denomina derivación, y se dice que f (x) es derivable en x  c si f (c) existe; es decir, si el límite que define f (x) existe cuando x  c . Recta Tangente La derivada evaluada en curva y  f (x) en

x  c corresponde a la pendiente de la recta tangente a la

x  c ; es decir:

f (c)  Pendiente recta tan gente a f ( x) que pasa por x  c

2

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Notación de Derivadas Sea

y  f (x) , entonces la derivada de la función se puede denotar por:

f ( x)  y  

dy dx

Derivadas Elementales

1.

1.

f (x) 

2.

entonces

f ( x)  0

f ( x)  x n

entonces

f ( x)  nx n 1

3.

f ( x)  a x

entonces

f ( x)  a x  ln(a)

4.

f ( x)  e x

entonces

f ( x)  e x

5.

f ( x)  log a ( x)

entonces

f ( x) 

1 x  ln( a)

6.

f ( x)  ln( x)

entonces

f ( x) 

1 x

Constante

Calcule las derivadas de las siguientes funciones elementales: a)

f ( x)  x12

b)

g ( x) 

c)

h( x)  2 x

d)

m( x)  x

e)

f ( x)  3 x 5

f)

g ( x)  log 3 ( x)

g)

f ( x) 

4 5

1 3 x

3

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II Aplicando fórmulas y algebra de derivadas. Algebra de Derivadas 1. “Derivada de una suma (diferencia)”

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)

2. “Derivada de un producto”

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)

3. “Derivada de una división”

 f f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)   ( x)  ; g ( x)  0 g ( x)2 g 2.

3.

4.

Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a)

f ( x)  140 x  28x 2  7

b)

g ( x)  2 x 3  53x 2  160 x  3.500

c)

h(t )  9.600t  0,9t 2 

d)

d (t ) 

e)

Q( p)  8 p 3  e p  5 ln  p   19

1.000 t

2 3 3 2 20 t  t  12t  2 3 4 t

Determine la derivada de las siguientes funciones: a)

f ( x)  x  e x

d)

f ( x) 

ex ln( x)

b)

f ( x)  x 2  ln( x)

e)

f ( x) 

ln( x) x

c)

x4 f ( x)  x e

f)

f ( x)  x 2  2 x

Calcular las derivadas de las siguientes funciones, en el punto que se indican. a)

f ( x)  3 x 2  2 x  1

en x 

1 2

;

b)

f ( x)  3 x 2

en

x 8

4

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f ( x) 

c)

5.

1 x2

en

x  2

;

d)

f ( x)  3 x 2  2

Determine la pendiente de la recta tangente a la función:

en

x2

y   x 2  2 x  2 en

x  1. 6.

Determine la pendiente de la recta tangente a la parábola de ecuación: en

7.

f ( x)  x 2

x  3.

Determine la pendiente de la recta tangente a la Hipérbola de ecuación:

f ( x) 

3  2 en x  1 . x

III Derivadas de orden superior y regla de la cadena. Derivada de orden Superior La segunda derivada de una función es la derivada de su derivada. Si

y  f (x) ,

la segunda

derivada se denota por:

y   f ( x) 

d2y dx 2

La derivada n-ésima Para cualquier entero positivo sucesivamente la función

n

n,

la derivada n-ésima de una función se obtiene derivando

veces. Si

y  f (x) , la derivada n-ésima se denota por:

y ( n )  f ( n ) ( x) 

8.

Sea a)

9.

Sea a)

dny dx n

f ( x)  x 4  4 x 2 . Determine:

f (x)

b)

f (x)

c)

f (x)

c)

f (x)

f ( x)  2 x 5  13x  ln x  . Determine:

f (x)

b)

f (x)

5

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Regla de la Cadena para Derivar una Función Compuesta Si

y  f g x   f u ,

en que

u  g x  ,

es la función compuesta de

f

con

g,

entonces

el procedimiento para derivarla, está dada mediante la siguiente fórmula:

df df du   dx du dx La fórmula nos dice: “Derive la función con respecto a la variable

x, y f con respecto a x .

derivada de

f

con respecto a la variable

u , derive la función g

luego multiplique ambas derivadas”. Así se obtiene la

f

También se puede usar la notación:

  g  ( x)  f g ( x)  g ( x)

Observación: Recordar que la derivada de una función no depende del nombre de las variables, sino que de la función misma. Por ejemplo: derivada,

dy dx dh dt

y  2x 4

dy  8x 3 , dx

tiene por derivada a

y la función

h  2t 4

tiene la misma

dh  8t 3 . Las derivadas anteriores se pueden interpretar como: dt

“Representa la derivada de la función “

y ” con respecto a la variable “ x ”.

“Representa la derivada de la función “ h ” con respecto a la variable “ t ”.

Ejemplo: Obtener la derivada de la función

f

con respecto a la variable

x , en los siguientes

ejercicios. 1.-

f x   e 4 x f x   e 4 x  e u , en donde u  4 x , por lo tanto la derivada pedida será;

Solución:

df df du  u      e   4  4  e 4 x dx du dx   2.-





f x   8x 5  3x 3  15

Solución:

13





f x   8x 5  3x 3  15

13

 u13 ,

en donde

u  8x 5  3x 3  15 ,

por lo tanto la

derivada pedida será;









 

12 df df du    13u12  40 x 4  9 x 2  13  8 x 5  3x 3  15  40 x 4  9 x 2 dx du dx

 6

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10.

11.

12.

Aplique la regla de la cadena y propiedades de las derivadas para calcular la derivada de las siguientes funciones. a)

f ( x)  (3x 4  2 x 2 ) 5

b)

f ( x)  8(2 x  6) 7  6(3x  1) 5  3 ln(2 x)

c)

f ( x)  ln( x 2  3x)

Hallar y  si:

a)

y  e 2 x

b)

y  ln(3x 2  2 x)

c)

y  ( x 2  3 x) 2

2

5



Calcule la derivada de segundo orden,

a)

y  ex

b)

y  3  ex

c)

y  ln( x 3 )

d2y dx 2

, en las siguientes funciones.

2

IV Aplicando derivadas como razón de cambio. 13.

Se espera que dentro de 0,75 t la función: P(t )  e

t años, la población de cierta comunidad viene dada por

 28.000 .

¿A qué razón cambiará la población, con

respecto al tiempo, dentro de 9 años?

7

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14.

En un estudio realizado a partir del año 2005 se determinó que el impuesto predial en un cierto país estaba dado por la función: dólares, donde

15.

I x   10 x 2  70 x  500

x representa los años después del 2005. Determine:

a)

¿A qué razón aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo, en el año 2011?

b)

¿A qué razón porcentual aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo, en el año 2011?

Un banco implementa un nuevo sistema de cajero automático en el cual se determinó que el número de personas que utiliza este nuevo sistema, viene dado por la función:

Px   6 x 3  50 x  800 , donde x representa las semanas

transcurridas después de la implementación. Determine:

16.

a)

¿A qué razón cambiará el número de personas, con respecto al tiempo, en 10 semanas después de su implementación?

b)

¿A qué razón porcentual cambió el uso del sistema después de 10 semanas?

Una empresa determinó que t meses después de aumentar los valores de sus productos, las ventas de la compañía serían V (t ) en miles de pesos, la cual está definida por la función:

V (t )  125 e

0,8 t

. ¿A qué razón cambiarán las ventas, con

respecto al tiempo, dentro de 5 meses?

17.

En un criadero de conejos después de x días la cantidad de conejos crece a cierta razón. Se sabe que la función de población de conejos del criadero está dada por la función:

Px   10 x 2  1.250 e 0,04 x  400 . ¿A qué razón cambiará la

población de conejos, con respecto al tiempo, dentro de 15 días?

8

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SOLCUIONES

1.

a)

f ( x)  12 x11

d)

m( x) 

g)

f ( x) 

1 2 x 1 3x

2.

b) g ( x)  0

4 3

e)



b)

g ( x)  6 x 2  106 x  160

c) h(t )  9.600  1,8t 

g ( x) 

1 x ln(3)

1.000 t2

3 40 t  12  3 2 t

e) Q  p   24 p 2  e

3.

f)

2

5 3 53 2 x  x 3 3

3 3 x4

f ( x)  140  56 x

2

h( x)  2 x ln(2)

1

a)

d) d (t )  2t 

f ( x) 

c)

p



5 p

a)

f ( x)  e x  xe x  e x (1  x)

b)

f ( x)  2 x ln( x)  x  x2 ln( x)  1

4 x 3  x 4 x 3 4  x   c) f ( x)  ex ex e x e x  ln( x)  1    x x   ( ln( x) ) 2 ln 2 ( x)

e x ln( x) 

d)

f ( x) 

e)

f ( x) 

f)

f ( x)  2 x2 x  x 2 2 x ln(2)  2 x x(2  x ln(2))

1  ln( x) x2

9

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4.

a)

1 f ( x)  6 x  2  f    5 2

b)

f ( x) 

c)

f ( x) 

d)

f ( x)  6 x  f (2)  12

2 1 2 1  1  3  f (8)  3 3 x 3 3  x 2 1  f (2)  3 4 x

5.

y   2 x  2

; Pendiente recta tangente = 4

6.

f ( x)  2 x

; Pendiente recta tangente = 6

7.

f ( x) 

8.

9.

10.

3 x2

; Pendiente recta tangente = -3

a)

f ( x)  4 x 3  8x

b)

f ( x)  12 x 2  8

c)

f ( x)  24 x

a)

f ( x)  10 x 4  13  1 x

b)

f ( x)  40 x 3  12 x

c)

f ( x)  120 x 2  23 x

a)

f ( x)  5(3x 4  2 x 2 ) 4 (12 x 3  4 x 3 )

b)

f ( x)  112(2 x  6) 6  90(3x  1) 4 

c)

f ( x) 

3 x

2x  3 x 2  3x

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11.

12.

 5)

y   4 xe ( 2 x

b)

y 

c)

y   4 x 3  18x 2  18x

a)

2 dy  2 xe x dx

b)

dy  e  x dx

6x  2 3x 2  2 x

dy 3 c)  dx x

13.

2

a)



2 2 2 d2y  2e x  4 x 2 e x  2e x (1  2 x 2 ) 2 dx



d2y  e x 2 dx



d2y 3  2 2 dx x

La razón de cambio de la población dentro de 9 años será aproximadamente de 641 personas por año.

14. a)

Después de 6 años el impuesto estará cambiando a una razón de 190 dólares por año.

b)

Después de 6 años el impuesto estará cambiando aproximadamente en un 14,8%.

a)

Después de 10 semanas el número de personas cambiará a una razón de 1850 personas por año.

b)

Después de 10 semanas el uso del nuevo sistema estará cambiando aproximadamente en un 25,3%.

15.

16.

La razón de cambio de las ventas dentro de 5 meses será aproximadamente de $5.459.815 por mes.

17.

La razón de cambio de la población de conejos dentro de 15 días será aproximadamente de 391 conejos por día.

11