Cap´ıtulo 2

Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo En el conjunto Z se ha visto c´ omo la relaci´on “ser congruente m´odulo m” para un entero m > 1, es compatible con las operaciones suma y producto. Esto permiti´o definir en el conjunto cociente Z/ ≡m = Zm las operaciones suma m´ odulo m: [a]+[b] = [a + b], con a, b ∈ Z, y producto m´ odulo m: [a]·[b] = [a · b], con a, b ∈ Z, sin que dependan del representante elegido. Al ser (Z, +, ·) un anillo, lo es (Zm , +, ·). As´ı + y · son asociativas y conmutativas en Zm el producto es distributivo respeto a la suma, [0] es el elemento neutro para + y [1] es el elemento neutro para · en Zm . Adem´as, si −a es opuesto de a para + en Z, [−a] es el opuesto de [a] para + en Zm . Ejemplo: En (Z, +) consideramos la relaci´on “ser congruentes m´odulo 6”, que es compatible con la suma y el producto, la tabla de las operaciones suma y producto en el conjunto cociente Z6 son +

0

1

2

3

4

5

·

0

1

2

3

4

5

0

0

1

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0

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2

5

5

0

1

2

3

4

5

0

5

4

3

2

1

Sea ahora (K, +, ·) un cuerpo. A continuaci´on veremos c´omo las propiedades de divisibilidad (y los resultados que de ellas se deducen) en K[x] son las mismas que en Z. Definici´ on 2.0.1 Un polinomio en la indeterminada x con coeficientes en K es una expresi´ on de la forma a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn donde ai ∈ K, para todo 0 ≤ i ≤ n. El conjunto de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en K se denota por K[x]. Definici´ on 2.0.2 Sea a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn un polinomio en K[x]. 1. Si ai = 0, para todo 0 ≤ i ≤ n, a(x) se llama polinomio cero. 2. Si a(x) no es el polinomio cero, 1

CAP´ITULO 2. ANILLO DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO

2

(a) el mayor entero s tal que as 6= 0 se llama grado del polinomio a(x), denotado por ∂a(x); (b) as se llama coeficiente principal y as xs t´ermino principal; (c) ai es el coeficiente de grado i (d) ai xi el t´ermino de grado i, para 0 ≤ i ≤ n. 3. Un polinomio de grado 0 se llama polinomio constante. 4. Cuando el coeficiente principal es 1, el polinomio se llama m´ onico. 5. Dos polinomios, a(x) y b(x), son iguales si tienen el mismo grado y ai = bi , para todo i, 0 ≤ i ≤ ∂a(x) = ∂b(x). 6. Los s´ımbolos x, x2 , x3 , · · · s´ olo indican las posiciones de los coeficientes, por ello, tambi´en se define un polinomio con coeficientes en un cuerpo K como una sucesi´ on finita (a0 , a1 , a2 , · · · , an ) de elementos de K o una aplicaci´ on a : N → K tal que a(n) = 0, si n > ∂a. Ejemplo 2.0.3 En (Z5 , +, ·) la expresi´ on 3x6 + 4x5 + x2 + 4x + 2 es un polinomio de grado 6, con coeficiente principal 3 y t´ermino constante 2.

2.1

Suma y producto en K[x]

Sean a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn y b(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm polinomios de K[x]. Podemos suponer que n ≥ m, y si n > m ponemos bm+1 = bm+2 = · · · = bn = 0. Se define la suma a(x) + b(x) y el producto a(x)·b(x) de los polinomios de la forma siguiente: a(x) + b(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + · · · + (an + bn )xn a(x)·b(x) = (a0 · b0 ) + (a0 · b1 + a1 · b0 )x + (a0 · b1 + a1 · b1 + a2 · b0 )x2 + · · · + an · bm xn+m Es decir, el coeficiente de xi en a(x) + b(x) es ai + bi , para cada 0 ≤ i ≤ n. El coeficiente de xi en a(x)·b(x) para 0 ≤ i ≤ n + m, es a0 · bi + a1 · bi−1 + a2 · bi−2 + · · · + ai · b0 =

i X

ak · bi−k =

k=0

X

aj · bk

j+k=i

donde las sumas y productos son las operaciones correspondientes del cuerpo K. De estas definiciones se deduce que los coeficientes de a(x) + b(x) y de a(x)·b(x) pertenecen a K, es decir, la suma y el producto son operaciones internas en K[x]. Adem´ as, si a(x) + b(x) 6= 0 y a(x)·b(x) 6= 0 entonces ∂(a(x) + b(x)) ≤ max{∂a(x), ∂b(x)} y ∂(a(x)·b(x)) = ∂a(x) + ∂b(x). Ejemplos: 1. Si a(x) = 3 + 2x + 4x2 + 4x5 y b(x) = 3x + 2x2 + 4x3 en R[x], a(x)+b(x) = (3+0)+(2+3)x+(4+2)x2 +(0+4)x3 +(4+0)x5 = 3+5x+6x2 +4x3 +4x5 a(x)·b(x) = (3 · 0) +(3 · 3 +2 · 0)x + (3 · 2 +2 · 3 +4 · 0)x2 + · · · = 16x8 + 8x7 + 12x6 + 16x5 + 16x4 + 28x3 + 12x2 + 9x. 2. En Z5 [x], si a(x) = 3 + 2x + 4x2 + 4x5 y b(x) = 3x + 2x2 + 4x3 a(x) + b(x) = (3 + 0) + (2 + 3)x + (4 + 2)x2 + (0 + 4)x3 + (4 + 0)x5 = 3 + 1x2 + 4x3 + 4x5 a(x)·b(x) = (3·0)+(3·3+2·0)x+(3·2+2·3+4·0)x2 +· · · = x8 +3x7 +2x6 +x5 +x4 +3x3 +2x2 +4x. Observaci´ on 2.1.1 Con estas operaciones (K[x], +, ·) es un anillo conmutativo unitario sin divisores de cero propios, es decir, es un dominio. Sin embargo, K[x] no es un cuerpo, los u ´nicos elementos inversibles son los polinomios constantes no nulos.

2.2.

2.2

´ EN K[X] ALGORITMO DE DIVISION

3

Algoritmo de divisi´ on en K[x]

En cursos anteriores se aprendi´ o a dividir polinomios con coeficientes reales, se vi´o c´omo se obtiene el cociente y el resto. La misma t´ecnica se aplica cuando los coeficientes de los polinomios se toman en un cuerpo K. Proposici´ on 2.2.1 Algoritmo de divisi´ on. Sean a(x) y b(x) polinomios con coeficientes en un cuerpo K, siendo b(x) 6= 0. Se verifica que existen polinomios u ´nicos q(x), r(x) de K[x] tales que a(x) = q(x)b(x) + r(x), donde ∂r(x) < ∂b(x) ´ o r(x) = 0. Demostraci´ on. grado de a(x).

Para obtener la existencia, se considerar´a b(x) fijo y se demostrar´a por inducci´on en el

1. Caso ∂a(x) = 0. Si ∂b(x) = 0, b(x) = b0 6= 0 y a(x) = a0 = (a0 b−1 0 )b0 + 0 y basta tomar q(x) = (a0 b−1 ) y r(x) = 0. Si ∂b(x) > 0, el resultado se cumple para q(x) = 0 y r(x) = a(x). 0 2. Paso inductivo. Supongamos ∂a(x) > 0 y que el teorema se cumple para polinomios de grado estrictamente menor que el grado de a(x). En primer lugar, observemos que si ∂a(x) < ∂b(x), el resultado se cumple para q(x) = 0 y r(x) = a(x). Veamos el caso ∂a(x) ≥ ∂b(x). Si a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , con an 6= 0 y b(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm , con n−m b(x) cumple que ∂α(x) < ∂a(x). Por hip´otesis de bm 6= 0, el polinomio α(x) = a(x) − an b−1 m x inducci´ on, existen polinomios γ(x), ρ(x) tales que α(x) = γ(x)b(x) + ρ(x) con ∂ρ(x) < ∂b(x), o bien n−m n−m ρ(x) = 0. As´ı pues, a(x) = an b−1 b(x) + α(x) = (an b−1 + γ(x))b(x) + ρ(x) y tomando m x m x −1 n−m + γ(x) y r(x) = ρ(x) se obtiene a(x) = q(x)b(x) + r(x), donde ∂r(x) < ∂b(x) ´o q(x) = an bm x r(x) = 0. Esto completa la inducci´ on y el resultado es cierto para todos los valores de ∂a(x). Unicidad: si a(x) = q1 (x)b(x) + r1 (x) = q2 (x)b(x) + r2 (x), donde ∂ri (x) < ∂b(x) o ri (x) = 0, (i = 1, 2) entonces (q1 (x) − q2 (x))b(x) = r2 (x) − r1 (x). Si q1 (x) 6= q2 (x), ∂[(q1 (x) − q2 (x))b(x)] ≥ ∂b(x), mientras que ∂(r2 (x) − r1 (x)) ≤ max{∂r1 (x), ∂r2 (x)} < ∂b(x). Se llega as´ı a una contradicci´on y, en consecuencia, q1 (x) = q2 (x) y r1 (x) = r2 (x). Los polinomios q(x) y r(x) se llaman cociente y resto, respectivamente, de dividir a(x) por b(x). N´otese que la construcci´ on de α(x) en la demostraci´on indica la manera (algoritmo) de dividir dos polinomios. Ejemplo: Si a(x) = 5x4 + 2x3 + 4x2 + 3x + 2 y b(x) = 3x2 + 5 en (Z7 [x], +, ·), el cociente es c(x) = 4x2 + 3x + 4 y el resto r(x) = 2x + 3. Definici´ on 2.2.2 Al igual que en Z, si a(x) y b(x) son polinomios con coeficientes en K tales que el resto de dividir a(x) por b(x) es 0, se dice que a(x) es m´ ultiplo de b(x) o que b(x) es divisor (o factor) de a(x); es decir, a(x) = q(x)b(x) para alg´ un q(x) de K[x]. Se representa b(x) | a(x). Ejemplos: 1. x − 1 es divisor de x2 − 1 en R[x]. 2. x + 3 es divisor de x2 + 1 en Z5 [x] pero no lo es en R[x]. Definici´ on 2.2.3 Sean a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ∈ K[x] y α ∈ K, se llama valor del polinomio a(x) en α al elemento de K, a(α) = a0 + a1 α + a2 α2 + · · · + an αn ∈ K. Se dice que α es ra´ız de a(x) si a(α) = 0. Proposici´ on 2.2.4 Teorema del resto. Sean a(x) ∈ K[x] y α ∈ K; el resto de la divisi´ on de a(x) por x − α es a(α). Demostraci´ on. Por el teorema de divisi´ on, a(x) = (x − α)q(x) + r(x) con r = 0 o ∂r(x) < ∂(x − α) = 1. Por lo tanto, r(x) = r es un elemento de K. Si evaluamos a(x) en α se obtiene a(α) = (α−α)q(α) + r(α) = 0 + r = r.

CAP´ITULO 2. ANILLO DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO

4

Proposici´ on 2.2.5 Teorema del factor. Sean a(x) ∈ K[x] y α ∈ K; x − α divide a (es un factor de) a(x) si, y s´ olo si, α es ra´ız de a(x). Demostraci´ on. x − α divide a a(x) si y s´olo si r(x) = 0 si y s´olo si a(α) = 0. Ejemplos: 1. a(x) = −7 + 3x − x2 + 4x4 − 6x5 + x7 ∈ Q[x]. El resto de dividir a(x) por x − 2 es a(2) = −5 y el resto de dividir a(x) por x + 1 es a(−1) = −2. 2. Si se divide b(x) = 2 + 2x + x2 + x3 + 3x4 + x5 ∈ Z5 [x] por x + 4 = x − 1, el resto es b(1) = 0 en Z5 . En consecuencia, x + 4 divide a b(x), es decir, b(x) = (x + 4)q(x) con ∂q(x) = 4. El polinomio q(x) = 3 + x + 4x3 + x4 , tiene a 3 como ra´ız, y por lo tanto, tambi´en b(x), con lo cual b(x) = (x − 1)(x − 3)(x3 + 2x2 + x + 4). Observaci´ on 2.2.6 Si α ∈ K es una ra´ız de a(x), entonces a(x) = (x − α)q1 (x). Si α es de nuevo ra´ız de q1 (x), entonces q1 (x) = (x − α)q2 (x) y as´ı a(x) = (x − α)2 q2 (x). Siguiendo este proceso se llegar´ a a un m, con 1 ≤ m ≤ ∂a(x), tal que a(x) = (x − α)m qm (x) con qm (α) 6= 0 y se dice que α es ra´ız de multiplicidad m del polinomio a(x). Proposici´ on 2.2.7 Si a(x) ∈ K[x] tiene grado n ≥ 1, entonces a(x) tiene a lo sumo n ra´ıces en K (considerando cada una de ellas tantas veces como indica su multiplicidad como ra´ız de a(x)). Demostraci´ on. Por inducci´ on en ∂a(x). Ejemplos: 1. a(x) = 9 − 6x + x2 ∈ R[x] tiene a lo sumo dos ra´ıces, en este caso 3 es ra´ız de multiplicidad 2 y a(x) = (x − 3)(x − 3) es una factorizaci´on de a(x). 2. a(x) = 4 + x2 ∈ R[x] no tiene ra´ıces reales, lo que no contradice la nota anterior. 3. a(x) = 4 + x2 ∈ C[x] tiene dos ra´ıces complejas, 2i y −2i, se factoriza como a(x) = (x − 2i)(x + 2i). 4. Si a(x) = 6+2x+x2 ∈ Z7 [x], entonces a(2) = 0, a(3) = 0 y ´estas son las u ´nicas ra´ıces del polinomio. As´ı, a(x) = (x − 2)(x − 3) = (x + 5)(x + 4). Observaci´ on 2.2.8 En general, si a(x) ∈ K[x] y α1 , α2 , · · · , αs son las ra´ıces de a(x) en K, entonces a(x) = an (x − α1 ) · · · (x − αs )q(x) donde an es el coeficiente principal de a(x) y q(x) un polinomio m´ onico sin ra´ıces.

2.3

M´ aximo com´ un divisor de polinomios.

A partir del algoritmo de divisi´ on en K[x], veremos definiciones y resultados sobre divisibilidad de polinomios an´alogos a los ya conocidos en Z. Definici´ on 2.3.1 Dados dos polimonios a(x) y b(x) de K[x], se dice que d(x) es un m´ aximo com´ un divisor de a(x) y b(x) si 1. d(x) es divisor de a(x) y b(x) 2. todo divisor de a(x) y b(x) es tambi´en divisor de d(x). Seg´ un esta definici´ on, en general no existe un u ´nico polinomio que sea m. c. d. de dos polinomios. Si d1 (x) y d2 (x) verifican las condiciones 1 y 2, entonces d1 (x) = λd2 (x), para alguna constante λ. De esta forma, existir´ a un u ´nico m´ aximo com´ un divisor m´onico y definiremos el m´ aximo com´ un m´ ultiplo de a(x) y b(x), m. c. d.(a(x), b(x)), como el polinomio m´onico que verifica las condiciones 1 y 2. Observemos que si a(x) = b(x)q(x) + r(x) entonces m. c. d.(a(x), b(x)) = m. c. d.(b(x), r(x)).

2.3.

´ ´ DIVISOR DE POLINOMIOS. MAXIMO COMUN

5

Teorema 2.3.2 Teorema de Bezout. Sean a(x), b(x) ∈ K[x], existe d(x) = m. c. d.(a(x), b(x)). Adem´ as existen polinomios λ(x) y µ(x) en K[x] tales que d(x) = λ(x)a(x) + µ(x)b(x). Demostraci´ on. Sea S = {u(x) · a(x) + v(x) · b(x); con u(x), v(x) ∈ K[x]}. El conjunto S es distinto del vac´ıo pues el polinomio cero, y los polinomios a(x) y b(x) son elementos de dicho conjunto. De entre todos los polinomios no nulos de S, consideramos el polinomio d(x) del menor grado posible. Demostraremos que d(x) es un m´ aximo com´ un divisor de a(x) y b(x). Dado que d(x) ∈ S, existen polinomios λ(x) y µ(x) tales que d(x) = λ(x)·a(x)+µ(x)·b(x). Dividimos a(x) por d(x), a(x) = q(x) · d(x) + r(x) con r(x) = 0 ´o ∂r(x) < ∂d(x). Despejando se obtiene que: r(x) = a(x) − q(x) · d(x) = a(x) − q(x) · (λ(x) · a(x) + µ(x) · b(x)) = (1 − q(x) · λ(x))a(x) + (−q(x) · µ(x)) · b(x) ∈ S Por la elecci´ on del polinomio d(x) se concluye que r(x) = 0, es decir d(x)|a(x). An´alogamente se demuestra que d(x)|b(x). Por otra parte, si d0 (x) es un divisor de a(x) y b(x) entonces d0 (x) es un divisor de λ(x) · a(x) + µ(x) · b(x) = d(x). Si el polinomio d(x) no fuese m´ onico, bastar´a multiplicarlo por el inverso de su coeficiente principal para obtener m. c. d.(a(x), b(x)). Observaci´ on 2.3.3 Para calcular el m. c. d. de a(x) y b(x) en K[x] imitaremos el m´etodo utilizado en Z de dividir repetidamente; ´este es el algoritmo de Euclides para K[x]. Sean a(x), b(x) ∈ K[x], supongamos ∂a(x) ≥ ∂b(x), con b(x) 6= 0. Llamamos a0 (x) = a(x), a1 (x) = b(x) y hacemos las divisiones siguientes: a0 (x) = q1 (x)a1 (x) + a2 (x) a1 (x) = q2 (x)a2 (x) + a3 (x) a2 (x) = q3 (x)a3 (x) + a4 (x) ··· as−2 (x) = qs−1 (x)as−1 (x) + as (x) as−1 (x) = qs (x)as (x) + 0

con

···

∂a2 (x) < ∂a1 (x) ∂a3 (x) < ∂a2 (x) ∂a4 (x) < ∂a3 (x) ··· ∂as (x) < ∂as−1 (x)

Dado que el grado de los restos decrece estrictamente, se llegar´ a a un resto as+1 (x) = 0. La u ´ltima ecuaci´ on indica que as (x) es divisor de as−1 (x); en consecuencia, as (x) es un m. c. d. de as−1 (x) y as (x). Utilizando las igualdades anteriores en orden inverso se tiene: as (x) = m. c. d.(as (x), as−1 (x)) = m. c. d.(as−1 (x), as−2 (x)) = · · · = m. c. d.(a2 (x), a1 (x)) = m. c. d.(a1 (x), a0 (x)) = m. c. d.(a(x), b(x)). Entonces el u ´ltimo resto no nulo, as (x), es un m. c. d. de a(x) y b(x) y es un m´ ultiplo del m. c. d. m´ onico de estos polinomios. Para obtener el m. c. d.(a(x), b(x)) bastar´ a multiplicar as (x) por el inverso de su coeficiente principal. Por substituciones sucesivas en las ecuaciones, podemos expresar as (x) de la forma λ(x)a(x) + µ(x)b(x), donde λ(x) y µ(x) son polinomios de K[x]. La existencia del m. c. d. de dos polinomios en K[x] viene dada por el teorema de Bezout. Ejemplos: 1. Hallar el m. c. d.(x3 + 2x2 + x + 1, x2 + 5) en Z7 [x] x3 + 2x2 + x + 1 = (x + 2)(x2 + 5) + (3x + 5) x2 + 5 = (3x + 5)(5x + 1). Entonces m. c. d.(x3 + 2x2 + x + 1, x2 + 5) = 3−1 (3x + 5) = x + 4. 2. Hallar el m. c. d.(x4 + x3 + x2 + 1, x4 + 1) en Z2 [x] x4 + x3 + x2 + 1 = 1.(x4 + 1) + (x3 + x2 ) x4 + 1 = (x + 1)(x3 + x2 ) + (x2 + 1) x3 + x2 = (x + 1)(x2 + 1) + (x + 1) x2 + 1 = (x + 1)(x + 1) + 0. Entonces m. c. d.(x4 + x3 + x2 + 1, x4 + 1) = x + 1. Definici´ on 2.3.4 Dados dos polimonios a(x) y b(x) de K[x], se dice que m(x) es un m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a(x) y b(x) si

CAP´ITULO 2. ANILLO DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO

6

1. m(x) es m´ ultiplo de a(x) y b(x). 2. Todo m´ ultiplo de a(x) y b(x) es tambi´en m´ ultiplo de m(x). Al igual que para el m´ aximo com´ un divisor, si pedimos que el polinomio m(x) sea m´onico se obtiene la unicidad; por ello, definiremos el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a(x) y b(x), m. c. m.(a(x), b(x)), como el polinomio m´ onico que verifica las condiciones 1 y 2. El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos polimonios a(x) y b(x) de K[x], se obtiene de la siguiente igualdad m. c. m.(a(x), b(x)) =

a(x)b(x) m. c. d.(a(x), b(x))

convertido en polinomio m´ onico si es necesario.

2.4

Polinomios irreducibles

En el estudio de los n´ umeros enteros se vio c´omo todo entero mayor o igual que 2, puede escribirse como producto de primos de forma u ´nica. En este apartado veremos los resultados an´alogos para K[x], donde los primos ser´ an los llamados polinomios irreducibles. En primer lugar, n´ otese que la existencia de polinomios constantes no nulos permite factorizar trivialmente cualquier polinomio. Esto se debe a que una constante no nula α tiene inverso en K, que tambi´en es su inverso en K[x]; de manera que a(x) = α(α−1 (a(x)) es una factorizaci´on de a(x) en K[x]. Por ese motivo los polinomios irreducibles se definen de la forma siguiente. Definici´ on 2.4.1 Un polinomio a(x) ∈ K[x] se denomina reducible si existen polinomios b(x), c(x) ∈ K[x] con ∂b(x), ∂c(x) ≥ 1 tales que a(x) = b(x)c(x). En caso contrario, se dice que a(x) es irreducible. Observaci´ on 2.4.2 1. Como consecuencia de la definici´ on, todo polinomio de grado menor o igual que 1 es irreducible. 2. Sea a(x) ∈ K[x] con ∂a(x) ≥ 2. Si a(x) tiene alguna ra´ız en K, entonces a(x) es reducible. Si α ∈ K una ra´ız de a(x), entonces a(x) = (x − α)q(x) donde ∂q(x) = ∂a(x) − 1 ≥ 2 − 1 = 1. Por lo tanto, a(x) es reducible. 3. El rec´ıproco no siempre es cierto; por ejemplo, (x2 + 1)(x2 + 1) es reducible en R[x], pero no tiene ra´ıces en R. 4. Sin embargo, para ∂a(x) = 2 ´ o ∂a(x) = 3, a(x) es reducible en K[x] si, y s´ olo si, a(x) tiene alguna ra´ız en K (o, si se prefiere, es irreducible en K[x] si, y s´ olo si, no tiene ra´ıces en K). En efecto, si a(x)es reducible, a(x) = b(x)c(x) con ∂b(x), ∂c(x) ≥ 1. Como ∂a(x) = 2 ´ o 3, ∂b(x) = 1 o ∂c(x) = 1, por lo tanto b(x) ´ ´ o c(x) tiene una ra´ız en K (si b(x) = b0 + b1 x, entonces −b0 b−1 1 es una ra´ız de b(x) en K). Ejemplo 2.4.3 1. x2 + 1 es irreducible en Q[x] y R[x], pero x2 + 1 = (x + i)(x − i) y, por lo tanto, es reducible en C[x]. 2. En Z2 [x], a(x) = x3 + x2 + x + 1 es reducible ya que a(1) = 0, de lo que se deduce que a(x) = (x − 1)q(x). Sin embargo, b(x) = x2 + x + 1 es irreducible porque b(0), b(1) 6= 0. 3. x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2)(x2 + 1) es reducible en R[x], aunque no tiene ra´ıces en R. 4. El polinomio x4 + 1 no tiene ra´ıces en Z3 , por lo que la u ´nica posible factorizaci´ on ser´ıa como producto de dos polinomios de grado 2, x4 + 1 = (x2 + αx + β)(x2 + µx + δ). Las ecuaciones que se obtienen de la igualdad de los polinomios anteriores, permiten calcular los coeficientes: α = 1, β = 2, µ = 2, δ = 2. Por lo tanto x4 + 1 = (x2 + x + 2)(x2 + 2x + 2) y es reducible en Z3 [x].

2.5. CUERPOS FINITOS

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5. El polinomio b(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 tampoco tiene ra´ıces en Z3 , la posible factorizaci´ on ser´ıa como producto de dos polinomios de grado 2, x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x2 + αx + β)(x2 + µx + δ). Pero el sistema de ecuaciones que se obtiene de la igualdad de los polinomios anterior no tiene soluci´ on en Z3 , por lo que b(x) es irreducible en Z3 [x]. Siguiendo el paralelismo con Z, tambi´en en K[x] todo polinomio no constante se puede expresar como producto de una constante (su coeficiente principal) por polinomios m´onicos irreducibles de una u ´nica forma, salvo el orden de los factores. Igualmente, el m. c. d. y el m. c. m. de polinomios puede obtenerse a partir de la factorizaci´ on de ´estos en irreducibles.

2.5

Cuerpos finitos

Se pueden construir cuerpos finitos partiendo del anillo de polinomios (Zp [x], +, ·). Sea p(x) ∈ K[x] un polinomio m´ onico fijo. Se define en K[x] la siguiente relaci´on de equivalencia: a(x) ∼ b(x) ⇔ p(x) (a(x) − b(x)), ∀a(x), b(x) ∈ K[x] Si a(x) ∼ b(x) equivale a decir que existe q(x) ∈ K[x] de modo que a(x) − b(x) = q(x)p(x) o tambi´en que a(x) y b(x) dan el mismo resto al dividirlos por p(x). Dado que la relaci´ on definida en K[x] es de equivalencia, podemos considerar el conjunto de clases que denotaremos por K[x]/(p(x)). Consideremos el subconjunto de K[x] formado por los posibles restos al dividir un polinomio por p(x), R = {0} ∪ {a(x) ∈ K[x]/∂a(x) < ∂p(x)}. f

Consideremos la aplicaci´ on K[x]/(p(x)) → R dada por f ([a(x)]) = r(x) siendo r(x) el resto de dividir a(x) por p(x). Se verifica que f es una aplicaci´on biyectiva. En efecto, 1. f esta bien definida: [a(x)] = [b(x)] ⇔ a(x) ∼ b(x) ⇔ a(x), b(x) tienen el mismo resto al dividirlos por p(x). Luego f ([a(x)]) = f ([b(x)]). 2. f es inyectiva: f ([a(x)]) = f ([b(x)]) ⇔ a(x), b(x) tienen el mismo resto al dividirlos por p(x) ⇔ a(x) ∼ b(x) ⇔ [a(x)] = [b(x)]. 3. f es sobreyectiva: Dado r(x) ∈ K[x]/(p(x)) consideramos la clase del propio polinomio r(x) en K[x]/(p(x)) y tenemos que f ([r(x)]) = r(x). En consecuencia K[x]/(p(x)) y R tienen el mismo cardinal y se podr´ıan identificar al conjunto K n , siendo n = ∂p(x) (usando que R = {a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 , ai ∈ K}). De hecho, al igual que pasa en Zm , (K[x]/(p(x)), +, ·) tiene estructura de anillo conmutativo unitario con las operaciones suma: [a(x)] + [b(x)] = [a(x) + b(x)] producto: [a(x)] · [b(x)] = [a(x) · b(x)] con a(x), b(x) ∈ K[x]. En (K[x]/(p(x)), +, ·) el producto es distributivo respeto a la suma, [0K ] es el elemento neutro para + y [1k ] es el elemento neutro para · en K[x]/(p(x)). Trasladando las operaciones al conjunto R, la definici´on de la suma ser´ıa, exactamente, la misma que la suma en K[x], ya que ∂(a(x) + b(x)) < ∂p(x) y la definici´on del producto ser´ıa el resto de dividir el producto usual a(x) · b(x) en K[x] por el polinomio p(x). Al igual que sucede en Zn , los elementos de K[x]/(p(x)) son inversibles o son divisores de cero seg´ un sean primos con p(x) como pone de manifiesto la siguiente proposici´on Proposici´ on 2.5.1 Sea [a(x)] ∈ K[x]/(p(x)), se verifica que,

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CAP´ITULO 2. ANILLO DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO 1. si m. c. d.(a(x), p(x)) = 1 entonces [a(x)] es unidad en el anillo K[x]/(p(x)). 2. Si m. c. d.(a(x), p(x)) 6= 1 entonces [a(x)] es un divisor de cero en el anillo K[x]/(p(x)). (Demostraci´ on similar al caso Zm ). De modo an´ alogo a lo que se ten´ıa para Zm , se verifica el siguiente resultado

Corolario 2.5.2 El anillo cociente K[x]/(q(x)) es un cuerpo si y s´ olo si q(x) es un polinomio irreducible. En ese caso, su caracter´ıstica coincide con la caracter´ıstica de K. Demostraci´ on. La primera afirmaci´ on se prueba de forma an´aloga al caso Zn . La caracter´ıstica de K[x]/(q(x)) coincide con la caracter´ıstica del cuerpo K pues para todo natural n se verifica que n · [1K ] = [0K ] si y s´olo si n · 1K = 0K . Podemos describir la construcci´ on de cuerpos finitos cuyo cardinal sea distinto de un n´ umero primo. Consideramos como cuerpo base Zp , siendo p un n´ umero primo y q(x) un polinomio irreducible de grado n con coeficientes en Zp . Por lo visto anteriormente el anillo F = Zp [x]/(q(x)) tiene estructura de cuerpo, su cardinal es pn y su caracter´ıstica es p. Todo cuerpo finito F tiene la estructura descrita en el p´arrafo anterior. Es decir, si F es un cuerpo finito, su caracteristica es un n´ umero primo p y su cardinal es un potencia de p, siendo F isomorfo a un cuerpo Zp [x]/(q(x)) con q(x) un polinomio irreducible de grado n. Ejemplo 2.5.3 1. p(x) = x2 + x + 1 es irreducible en Z2 [x], el cuerpo Z2 [x]/(p(x)) tiene 22 = 4 elementos que son de la forma ax + b con a, b ∈ Z2 , Z2 [x]/(x2 + x + 1) = {0, 1, x, 1 + x}. Teniendo en cuenta que x2 + x + 1 = 0 en el anillo cociente, se pueden facilitar los c´ alculos en el cociente. Por ejemplo, x2 + 1 = −x = x, entonces (x + 1)(x + 1) = x2 + 1 = x. 2. El mismo polinomio p(x) = x2 +x+1 no es irreducible en Z3 [x], de hecho, p(1) = 0 y p(x) = (x−1)2 . El anillo cociente Z3 [x]/(x2 + x + 1) no es un cuerpo, como lo demuestra, entre otras cosas que (x − 1)(x − 1) = p(x) = 0. Aunque algunos elementos tienen inverso, por ejemplo, (x + 1) ya que (x + 1)2x = 2x2 + 2x = 1 en Z3 [x]/(x2 + x + 1).