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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Cristian j. P. Castillo U.
ÍNDICE GENERAL
PRESENTACIÓN
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
4
1.1 Definición de ecuación diferencial
5
1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales
5
1.2.1 Clasificación según su tipo
6
1.2.2 Clasificación según su orden
6
1.2.3 Clasificación según su linealidad o no
7
1.3 Solución de una ecuación diferencial
8
1.4 Problema de valor inicial
11
1.5 Modelos matemáticos
13
ÍNDICE GENERAL
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
15
2.1 Ecuaciones diferenciales en variables separables
16
2.2 ecuaciones diferenciales homogéneas
21
2.2.1 Funciones homogéneas
21
2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas
23
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas
28
2.4 Factores integrantes
35
2.5 Ecuación diferencial lineal
42
2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli
48
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden superior
53 54
3.1.1 Principio de superposición
54
3.1.2 Dependencia e independencia lineal
54
3.1.3 Wronskiano
55
3.1.4 Ecuación diferencial homogénea
56
3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea
57
3.2 Reducción de orden
58
3.3 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes
63
3.3.1 Ecuaciones de segundo orden
64
3.3.2 Ecuaciones de orden superior
69
3.4 Método de coeficientes indeterminados
75
3.4.1 Enfoque de superposición
76
3.4.2 Enfoque anulador
89
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ÍNDICE GENERAL
3.4.2.1 Operadores diferenciales
89
3.4.2.2 Coeficientes indeterminados
93
3.5 Método de variación de parámetros
100
3.5.1 Ecuaciones de segundo orden
101
3.5.2 Ecuaciones de orden superior
108
3.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler
112
3.6.1 Ecuaciones homogéneas
113
3.6.2 Ecuaciones no homogéneas
120
CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES
124
4.1 Trayectorias ortogonales
125
4.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial
128
4.3 Ley de Newton del enfriamiento
134
4.4 Mezclas
137
4.5 Circuitos eléctricos en serie
140
4.5.1 Circuitos RL
140
4.5.2 Circuitos RC
143
4.6 Absorción de drogas en órganos o células
146
4.7 Crecimiento logístico
151
APÉNDICE I. Números complejos
155
APÉNDICE II. Tabla de derivadas
161
APÉNDICE III. Tabla de integrales
163
BIBLIOGRAFÍA
175
Cristian Castillo
PRESENTACIÓN
En diferentes áreas de la ciencia, y sobre todo en la ingeniería, se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general, pueden ser expresados a partir de ecuaciones que contiene ciertas derivadas de una función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación diferencial.
La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los matemáticos Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli resolvieron las primeras
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ecuaciones diferenciales sencillas a partir de unos problemas de Mecánica y Geometría. De hecho, según Nápoles y otros (2002), a finales del siglo XVII James y Johan Bernoulli, introducen término como el de “Integrar” una ecuación diferencial, así como la técnica de variables separables para resolver una ecuación diferencial.
Estos primeros descubrimientos abrieron al mundo un universo de ecuaciones nuevas, así como también a una serie de procedimientos que nos permiten la resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en problemas de modelado.
Actualmente, las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos se han convertido en un tema fundamental e indispensable para ser incluido en el pensum de estudio de cualquier carrera de ingeniería a nivel mundial. Es por ello que la asignatura Matemática IV (0082824 – 0322144) que cursan las carreras de ingeniería y afines en la Universidad de Oriente, trata sobre los tipos de ecuaciones diferenciales, las técnicas como resolverlas y modelos matemáticos que las incluyen. Este módulo de Matemática IV (0082824 – 0322144) que se presenta, se ajusta en su totalidad a las unidades 1 y 2 de su programa vigente, tanto en el orden en que son presentados los objetivos como en la profundidad con que son tratados. En él, se ha querido exponer todos los temas de este material en una forma muy clara y sencilla, de manera que el lector pueda comprenderlos en forma inmediata. Además no se ha hecho demasiado énfasis en las demostraciones de los teoremas, en lugar de ello se ha preferido crear un material haciendo hincapié en la parte práctica, para lo
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PRESENTACIÓN
cual se han incluido una gran cantidad de ejercicios resueltos y además se han propuesto una serie de ejercicios con respuestas al finalizar cada tema.
Por lo tanto este módulo se ha estructurado 4 capítulos, en los cuales se estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias incluyendo teoremas y técnicas para la resolución de las mismas.
El capítulo 1, es una introducción al mundo de las ecuaciones diferenciales, donde se darán definiciones, conceptos y teoremas sobre estas ecuaciones, además de incluir los problemas de valor inicial e introducir la definición de los modelos matemáticos y como formularlos.
En el capítulo 2, se desarrollan una serie de técnicas y procedimientos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el capítulo 3, se presentan primero unas definiciones necesarias para el estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior, para luego desarrollar técnicas que permitan resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes ya sean homogéneas o no y por último se presenta las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler y cómo resolverlas.
En el capítulo 4, se presentan una serie de problemas de aplicación que se pueden resolver
mediante modelos matemáticos que incluyan ecuaciones
diferenciales utilizando las técnicas que presentadas en los capítulos anteriores.
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CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Este capítulo es un preámbulo a todo el mundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Se desarrollaran conceptos básicos para la mejor comprensión de este tipo de ecuaciones, así como también una breve introducción a como enunciar un modelo matemático a partir de un problema de la vida real.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL. Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una función desconocida con respecto a una o más variables independientes.
Por ejemplo la ecuación
dx kx es una ecuación diferencial, que por cierto dt
representa la desintegración radioactiva de una sustancia a través del tiempo.
d4y Así mismo, la ecuación EI 4 w x , es una ecuación diferencial que dx modela la desviación que experimenta una viga con respecto a su eje de simetría.
Por último, la ecuación
2u 2u 2u 4 x, y, z , también es una x 2 y 2 z 2
ecuación diferencial, llamada ecuación de Poisson, la cual satisface, por ejemplo, el potencial del campo electrostático. Como se ve, existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, por lo que se hace necesario realizar una clasificación de ellas. A continuación se presentarán diferentes formas de clasificar las ecuaciones diferenciales.
1.2 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según su tipo, orden o linealidad.
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.2.1 Clasificación según el tipo Cuando una ecuación diferencial contiene
una o más derivadas de una
función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo derivadas ordinarias, entonces se está en presencia de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo:
y y xy cos x
dy yx dx
En cambio si la ecuación posee una o más derivadas de una función desconocida con respecto a dos o más de una variables, entonces es una ecuación diferencial en derivadas parciales, por ejemplo:
2 z 2 z 0 x 2 y 2
Cabe destacar que en este módulo está basado solo en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias. 1.2.2 Clasificación según su orden. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que tiene la ecuación, por ejemplo:
dy d 2 y x 2 , es de segundo orden dx dx 2
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
y y 0 , es de tercer orden
4
3 dy d y tan x , es de tercer orden 3 dx dx
De este último ejemplo, cabe destacar que es importante no confundir el orden con el grado (potencia del término). 1.2.3 Clasificación según su linealidad o no. Una ecuación diferencial es lineal, si se puede escribir de la forma:
an x y an1 x y n
n 1
a2 x y a1 x y a0 x y g x
Esto implica que debe cumplir con las siguientes condiciones: a. La función desconocida y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es decir, de potencia 1. b. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo de la variable independiente. En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la ecuación diferencial es no lineal. Por ejemplo: y 2 xy x 1, es lineal
y y 2 1 y x , es no lineal, ya que el coeficiente de y depende de y
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
d4y dy cos x y 0 , es lineal 4 dx dx d3y dy x y 2 0 , no es lineal, ya que el término y, no es de primer grado. 3 dx dx
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. Toda función que al sustituirla en la ecuación diferencial, cumple con la igualdad, es considerada como una solución de ella. Por lo tanto, se puede decir que y 2 y 0 , ya que, como y e2x , entonces
y e2x es solución de ecuación
y 2e2 x , por lo tanto al sustituir en la ecuación diferencial se tiene: y 2 y 0
2e2 x 2 e2 x 0
00
Por lo tanto podemos definir como solución de una ecuación diferencial a toda función que satisface a la ecuación, es decir que al sustituirla la reduce a una identidad. Existen varias formas de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales, una de ellas es en explícitas e implícitas. Una solución explícita, es aquella que se puede escribir de la forma y f x , es decir que la solución este expresada solo en función de la variable independiente y constantes. Por ejemplo
y e2x es una solución explícita de la ecuación
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
y 2 y 0 . Un tipo solución explícita es la solución trivial o nula y es aquella que
tiene la forma y 0 . Ahora, una solución implícita, es la que tiene la forma f x, y C , es decir, toda solución que involucre tanto a la variable dependiente como a la independiente. Por ejemplo y 3 4 1 x3 , es una solución explícita la ecuación diferencial
1 x dy x ydx 0 . 3
2
Otra manera de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales es en generales, particulares y singulares. Una solución o relación que satisfaga a una ecuación diferencial y además involucre en su estructura una o más constantes arbitrarias, se denomina solución general. Cabe destacar, que una ecuación diferencial de orden n, tendrá una solución general compuesta por n funciones multiplicadas por n constantes arbitrarias. Por ejemplo y x C1 cos x C2 sin x es solución general de la ecuación diferencial y y 0 . Geométricamente, una solución general de la forma y C , x ,
representa una familia de curva en el plano xy. Estas curvas se llaman curvas integrales. En la figura 1.1, se muestran las curvas integrales de la solución general
y x2 C .
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
y 3
2
1
x
0 -4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-1
-2
-3
Figura 1.1 Ahora bien, una solución
particular, es la que no está en función de
constantes arbitrarias, y esto se logra particularizando las constantes de la solución general, a partir de unas condiciones iniciales que presenta el problema. Por ejemplo la función y x 2cos x 3sin x , es una solución particular de y y 0 . Más adelante veremos que una solución particular es la que se obtiene de un problema de valor inicial. Por último una solución singular, es aquella que no se obtener a partir de la solución general de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la función y Cx 2C 2 es la solución general de la ecuación y Cy 2 y , sin embargo la función 2
x 2 8 y 0 también es solución de la ecuación diferencial ya que la satisface, por lo tanto ésta es una solución singular, ya que es imposible obtenerla a partir de la solución general.
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Un problema de valor inicial es toda ecuación diferencial que se encuentra acompañada por unas condiciones iniciales. Es importante destacar que en un problema de valor inicial, el número de condiciones iniciales necesarias debe ser igual al orden de la ecuación diferencial, es decir, una ecuación diferencial de tercer orden necesita tres condiciones iniciales. En forma general, una ecuación diferencial de orden n, debe estar sujeta a n condiciones iniciales, es decir: F x, y, y, y,
y n1 , y n 0 sujeta a
y x0 y0 , y x0 y1 ,
, y
n 1
x0 yn1
Cabe destacar, que la solución de un problema de valor inicial siempre genera una solución del tipo particular. Ahora bien, cuando se considera un problema de valor inicial, surgen las siguientes preguntas:
¿El problema tiene solución?
De existir solución, ¿es ésta la única solución del problema?
La respuesta a estas interrogantes viene dada en el siguiente teorema. Teorema de existencia y unicidad. Sea R una región rectangular en el plano xy, definida por a x b, c y d , que contiene al punto x0 , y0 en su interior.
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Si f y
df son continuas en R, entonces existe un intervalo abierto I, con centro x0 dy
contenido en a, b y una única función y x , que satisface el problema de valor inicial
y f x, y , sujeta a y x0 y0 ,
Para toda x de I. (ver figura 1.2)
y d R
xo , yo c a
I
b
x
Figura 1.2 A continuación se presentarán unos ejemplos para aclarar el teorema anterior. Ejemplo1. Demuestre que el problema de valor inicial y x y 3 sujeta a y 1 2 , tiene solución única. De acuerdo al teorema de existencia y unicidad, primero se comprobará que cumple con la hipótesis. Como f x, y x y 3 , y
df 3 y 2 , ambas son continuas dy
en todo rectángulo R del plano xy. Ahora la condición inicial y 1 2 , implica que
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
x0 1 , y además y0 2 . Es obvio que
1, 2 está
contenido en alguna región
rectangular R. Entonces, todas las hipótesis del teorema se cumplen, con lo cual se puede concluir que existe una solución única. Ejemplo 2. Verifique si la ecuaciónl y 1 y 2 sujeta a y 1 1 , tiene solución única. Al igual que el problema anterior, primero se comprobará que cumple con la hipótesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces se tiene que
f x, y 1 y 2 , y
df df y , sin embargo en 1,1 no es continua. Por 2 dy dy 1 y
lo tanto el punto 1,1 no debe estar incluido en una región rectangular R, donde las hipótesis que satisfaga el teorema. Con lo cual no se puede concluir del teorema de existencia y unicidad que exista una solución única. Esto no significa que el problema no tenga solución o que tenga varias soluciones.
Cabe destacar que si un problema
de valor inicial no satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad, entonces las curvas integrales se interceptan.
1.5 MODELOS MATEMÁTICOS. Un modelo matemático, es una descripción matemática de un sistema o fenómeno físico, sociológico, económico, entre otros, que ocurre en la vida real.
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Para la formulación de un modelo matemático es necesario:
Identificar las variables que afectan al sistema, es decir, las que producen cambios en éste. Mientras más variables tenga el modelo será más ajustado a la realidad, sin embargo mucho más complejo para resolver.
Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que se trata de describir. Las hipótesis del problema implican con frecuencia, la razón o tasa de cambio de las variables involucradas. El enunciado del modelo matemático de estas hipótesis, puede estar conformado por
una o más
ecuaciones en donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales. Luego de formulado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir hallar una solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales, lo cual no es nada fácil. Al determinar la solución se deberá comprobar que el modelo sea razonable, lo que implica verificar si su solución es consistente con los datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Sin embargo, si las predicciones que se basan en la solución son deficientes, se puede aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del proceso de modelado. En el capítulo 4 se desarrollarán ejemplos de algunos modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.
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CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
En este capítulo por fin empezaremos a resolver ecuaciones diferenciales, sin embargo por los momentos solo de primer orden. A pesar de que veremos muchas técnicas, realmente son tres las fundamentales, variables separables, exactas y lineales, el resto mediante una sustitución se transforman en alguna de estas tres.
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES SEPARABLES Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es separable o que es en variables separables si se puede escribir de la forma: h y dy g x dx
Donde h y es una función continua que depende solamente de la variable x, y g x es una función que depende solo de la variable y. Los pasos necesarios para resolver ecuaciones de este tipo son:
Expresar la ecuación diferencial de la forma: h y dy g x dx
Integrar la ecuación diferencial para encontrar la solución general, es decir:
h y dy g x dx c
De ser posible, escribir la solución en forma explícita:
y f x, y c
Ejemplos 1. Resuelva y xy
Primero se escribe la ecuación en forma diferencial, sabiendo que y
dy xy dx
dy , dx
dy xdx y
Integrando la ecuación se obtiene,
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ln y
x2 C1 , con y 0 2
Donde C1 es una constante real, aplicando exponencial para escribir la solución en su forma explícita, se tiene 1
y e2
x 2 C1
1
,
y entonces se tiene que
y eC1 e 2
x2
De la igualdad anterior, se verifica que y no se anula, y por lo tanto no cambia de signo, con lo cual, se concluye que la solución general de la ecuación diferencial viene dada por: 1
y Ce 2
x2
Donde C es una constante real que es igual a eC1 .
Ejemplo 2. Resuelva x 2
dy x2 1 2 dx 3 y 1
Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos diferenciales:
3 y
2
x2 1 1 dy 2 dx x
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Acomodando la ecuación para luego integrar ambos miembros:
3 y
2
1 1dy 1 2 dx x
Con lo cual luego de integrar obtenemos:
y3 y x x1 C En este ejemplo se puede apreciar que a veces no es posible o práctico expresar la solución en su forma explícita.
Ejemplo3. Resuelva x 2 1 y x 2 y 1
Primero se reescribe la ecuación en forma diferencial, sabiendo que y
dy , dx
y separando las variables con sus respectivos diferenciales a cada miembro de la ecuación.
x
2
1
dy x 2 y 1 dx
dy x 2 dx y 1 x2 1
Realizando división de polinomios en la función que depende de la variable x, se tiene,
dy 1 1 2 dx y 1 x 1 Integrando la ecuación se obtiene la solución general, la cual viene dada por: ln 1 y x arctan x C
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ejemplo 4. Resuelva 1 x3 dy x 2 ydx 0
con
y 1 2
Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos diferenciales:
dy x2 dx y 1 x3 Con lo cual luego de integrar la ecuación, se obtiene la solución general 1 ln y ln 1 x3 C1 3
3ln y ln 1 x3 ln C
y 3 C 1 x3
Luego como, si x 1 entonces y 2 , se tiene 23 C 1 13
C4
Por lo tanto la solución particular de la ecuación diferencial es: y 3 4 1 x3
Ejercicios Propuestos. 1.
4 y yx dy 2x xy dx 0 Rta. 2 y C 4 x 2
2
2
2
2. y y 2 sin x 0 1 Rta. y cos x C
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
3. cos ydx 1 e x sin ydy 0
con y 0
Rta. 1 e sec y 2 2
4
x
4. 3e x tan ydx 2 e x sec2 ydy 0 Rta. 2 e x C tan y 3
5. y sin x y ln y con y e 2 Rta. ln y csc x cot x 6. dx 1 x 2 cot ydy 0 Rta. sin 2 y C
7.
1 x 1 x
dy xy 3x y 3 dx xy 2 x 4 y 8 y 3 yx Rta. Ce x4 5
8. x 2 y y xy
con y 1 1
1 Rta. ln y ln x 1 x
9.
x y y dx x 2
2
2 yx 2 dy 0
Rta. x x 1 ln y 2 y C
10. y K y a y b Rta. y a
ba K ba x 1 Ce
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es homogénea si se puede escribir de la forma: M x, y dx N x, y dy 0
Donde M x, y y N x, y son funciones homogéneas del mismo grado. Este tipo de ecuación diferencial mediante un cambio de variable se transforma en una ecuación en variables separables. 2.2.1 Funciones homogéneas. Se dice que f x, y es una función homogénea de grado n, si para toda t, se cumple que: f tx, ty t n f x, y
Ejemplos 1. Verifique si las siguientes funciones son homogéneas: a.
f ( x, y) 2 x3 5xy 2 4 y3 En este caso se tiene que:
f tx, ty 2 tx 5 tx ty 4 ty 3
2
3
Resolviendo las potencias, se obtiene: f tx, ty 2t 3 x3 5t 3 xy 2 4t 3 y 3
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Factor común t 3
f tx, ty t 3 2 x3 5xy 2 4 y 3 Y por lo tanto: f tx, ty t 3 f x, y
Con lo cual se concluye que f ( x, y) 2 x3 5xy 2 4 y3 es una función homogénea de tercer grado.
b.
f ( x, y) 5 x5 y 5 Aquí se tiene que,
f (tx, ty) 5 tx ty 5
5
Con lo cual se obtiene,
f (tx, ty) 5 t 5 x5 y 5 Por propiedades de radicales, se tiene
f (tx, ty) 5 t 5 x5 y5
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f (tx, ty) t 5 x5 y5
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Y por lo tanto, f tx, ty t f x, y
Lo cual demuestra que f ( x, y) 5 x5 y 5 es una función homogénea de grado 1. 2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial homogénea son:
Expresar la ecuación diferencial de la forma: M x, y dx N x, y dy 0
Verificar que M x, y y N x, y son funciones homogéneas del mismo grado.
Transformar la ecuación diferencial homogénea en una de variables separables, utilizando cualquiera de las siguientes sustituciones: y ux ó
x uy , con sus respectivos diferenciales.
Resolver la ecuación diferencial en variables separables, para luego regresar el cambio de variable realizado.
Ejemplos 2. Resuelva xdy y x 2 y 2 dx 0
Al examinar M x, y x y N x, y y x 2 y 2 se verifica que las dos funciones son homogéneas de grado 1.
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Si se utiliza el cambio de variable y ux , entonces dy udx xdu , y sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene:
x xdu udx ux x 2 ux dx 0 2
Resolviendo se tiene,
x 2 du uxdx uxdx x 2 1 u 2 dx 0 Simplificando y aplicando propiedades de radicales, se obtiene
x 2 du x 2
1 u dx 0 2
Separando las variables con sus respectivos diferenciales,
du
1 u 2
dx x
Con
u 1
Luego de integrar ambos miembros de la igualdad, se obtendrá la solución general, arcsin u ln x C
Pero como y ux , implica que u
y , con lo cual se obtiene la solución x
general a la ecuación diferencial, la cual viene dada por:
y arcsin ln x c x
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ejemplo 3. x 2 xy dy 2 y 2 dx
La cual es una ecuación diferencial homogénea de grado 2. Por lo tanto se utilizará el cambio de variable x uy , y además dx udy ydu . Sustituyendo en la ecuación se obtiene:
uy uy y dy 2 y udy ydu 2
2
Resolviendo se tiene:
u 2 y 2 dy uy 2dy 2 y 2udy 2 y3du Agrupando diferenciales y aplicando factor común en ambos miembros,
y 2 u 2 u 2u dy 2 y 3du Separando las variables con sus respectivos diferenciales,
dy 2du 2 y u u Integrando ambos lados de la ecuación, se obtiene: ln y 2ln u 2ln u 1 C
Donde
2du se resolvió utilizando la técnica de fracciones parciales. 2 u
u
Aplicando las propiedades de logaritmo en la solución obtenida, se tiene:
u 1 ln y ln C u 2
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Aplicando exponencial a la ecuación, se obtiene:
u 1 y C u
2
x Luego como x uy , entonces u , con lo cual se tiene, y C y
x 1 y x y
2
Con lo cual luego de operaciones algebraicas se obtiene la solución general:
x y y C x
2
Ejercicios Propuestos.
y 1. y x cot dx xdy 0 x y Rta. x cos C x
2.
x
y 2 xy dy ydx
con
y 1 1
yx Rta. ln 2 y 4 y
y y 3. x y cos dx x cos dy 0 x x y Rta. ln x sin C x
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
4.
x
2
2 y 2 dx xydy 0
Rta. x 4 C x 2 y 2
y y 5. x ye x dx xe x dy 0 Rta. y x ln 1 ln x
6. xy y 2 xe
con
y 1 0
y x
1 xy C ln x e Rta. 2
7.
6
xy y dx xdy 0
Rta. y 9 x
8.
con
y 1 4
1 6 x
x y dx x y dy 0 Rta. ln x 2 y 2 arctan
y c x
9. xy y ln y ln x Rta. y xeCx 1
10. y
x2 y 2 x2
2 y 3x Rta. tan 1 3 ln x C 3x
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. Una ecuación diferencial se dice que es exacta si se puede escribir de la forma: M x, y dx N x, y dy 0
Y además cumple con: M x, y N x, y y x
Si se tiene una función de dos variables de la forma z f x, y , cuyas derivadas parciales son continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total, se define como:
df
f f dx dy x y
Ahora bien si f ( x, y) C , donde C es una constante real, al aplicar el diferencial total, se tiene:
f f dx dy 0 x y
Pero como bien se sabe
f f y son funciones de dos variables, es decir, y x
funciones que dependen de x y y. Por lo tanto asumiendo que:
Cristian Castillo
28
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
M x, y
f x
y
N x, y
f y
Se tiene que: M x, y dx N x, y dy 0
Luego: M f 2 f y y x yx
y
N f 2 f x x y xy
Y como las derivadas cruzadas de una función de varias variables son siempre iguales, 2 f 2 f yx xy
Se concluye que: M x, y N x, y y x
Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial exacta son:
Luego de escribir la ecuación de la forma: M x, y dx N x, y dy 0 se verifica que cumpla con:
M x, y N x, y y x
Se determina f x, y , luego de integrar la relación
Cristian Castillo
f x, y M x, y , x
29
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
f x, y M x, y dx g y Donde g y es la constante de integración debido a que se está integrando con respecto a la variable x.
Se deriva la ecuación (3) con respecto a la variable y, con lo cual se tiene: f x, y M x, y dx g y y y
Como
f x, y N x, y , entonces sustituyendo en la ecuación anterior y y
despejando g y , se tiene:
g y N x, y
M x, y dx y
Luego se integra con respecto a y. Es importante verificar que esta ecuación debe ser una función que debe depender solo de la variable y (o constante), entonces,
g y N x, y M x, y dx dy C y
Por último se sustituye g y en la solución f x, y , con lo cual se obtendrá la solución general de la ecuación diferencial, recordando que es del tipo implícita, es decir, f x, y C , por la solución es:
Cristian Castillo
30
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
M x, y dx N x, y y M x, y dx dy C En caso de que al iniciar este procedimiento, se halla decidido empezar por la relación
f x, y N x, y , estos se deben seguir estos mismos pasos pero en forma y
análoga, es decir, en vez de integrar con respecto a x se hace con respeto a y, en lugar de derivar con respecto a y, se deriva con respecto a x, y así sucesivamente, hasta llegar a la solución que debe tener la forma:
N x, y dy M x, y x N x, y dy dx C Cabe destacar, que en cualquiera de los dos casos, no se debe memorizar estas fórmulas, sino más bien seguir los pasos antes descritos.
x3 Ejemplo 1. Resuelva yx 2 2 xy dx x 2 4 dy 0 3
Como la ecuación tiene la forma Mdx Ndy 0 , entonces implica que: M x, y yx 2 xy y 2
N x, y
x3 x2 4 3
De aquí se verifica si cumple con la condición de exactitud, es decir,
M N y x
Cristian Castillo
31
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
M x2 2x y
y
N x2 2 x x
Lo cual implica que la ecuación diferencial es exacta, ahora se debe decidir con que ecuación comenzar, en este caso se hará con: f yx 2 2 xy x
La cual al integrarla con respecto a x, se obtiene: f x, y
1 3 x y x2 y 3
Luego se deriva con respecto a la variable y. f x, y x3 x2 g y y 3
Como
f N , entonces se tiene: y x3 x3 2 x 4 x2 g y 3 3
Se integra con respecto a y, para obtener g y g y 4
g y 4y C
Con lo cual, por último se determina la solución de la ecuación diferencial la cual viene dada por:
Cristian Castillo
32
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1 3 x y x2 y 4 y C 3
Ejemplo 2. Resuelva cos x x sin x y 2 dx 2 xydy 0
con y 2 1
Se comprueba que la ecuación diferencial es exacta, M x, y 2y y
y
N x, y 2y x
En este caso parece más sencillo comenzar con: f x, y 2 xy y
La cual se integra con respecto a la variable y. f x, y xy 2 g x
Se deriva con respecto a x,
f x, y y2 g x x
Como
f x, y M , entonces se tiene: x cos x x sin x y 2 y 2 g x
Se integra con respecto a x, para obtener g x g x cos x x sin x
Cristian Castillo
g x x cos x C
33
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Por lo tanto se determina la solución general de la ecuación diferencial, la cual vienen dada por:
xy 2 x cos x C Luego como se tiene una condición inicial, tal que y 2 1 , entonces:
2 1
2
2 cos 2 C
C 4
Por último la solución particular de la ecuación diferencial es:
xy 2 x cos x 4
Ejercicios Propuestos. 1.
tan x sin x sin y dx cos x cos ydy 0 Rta. cos x sin y ln cos x C
2.
x
2
y dx xdy 0
1 Rta. xy x3 C 3
3.
1 x y y xy 2
Rta.
4.
2
1
con
y 0 1
1 2 2 x y x y 1 2
2 x 3 y 4 dx 3x 4 y 5 dy 0 Rta. x2 3xy 2 y 2 4 x 5 y C
Cristian Castillo
34
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
5. 2 xy 1 x 2 dy 0
con
y 1 3
Rta. x2 y y 6 0
1 1 6. 4 x3 y 3 dx 3x 4 y 2 dy 0 x y x Rta. x 4 y 3 ln C y
7.
x
2
2 ye2 x y 2 xy 2 y 2e2 x 0 con y 0 1
Rta. x2 y y 2e2 x 1
8.
x y cos x dx sin xdy 0 Rta. x2 2 y sin x C
9. 2 x 2 xy dx x 2 y 2 dy 0 Rta. 2 x3 3x2 y y3 C 10. x cos ydy 2 x sin y dx
con
y 2 0
Rta. x2 x sin y 4
2.4 FACTORES INTEGRANTES Si una ecuación diferencial de la forma M x, y dx N x, y dy 0 no es exacta, puede existir una función x, y , tal que al multiplicarla por la ecuación
Cristian Castillo
35
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
diferencial, esta se transforme en exacta. Esta función x, y se denomina factor integrante de la ecuación diferencial. Es importante acotar que la solución de la ecuación diferencial luego de aplicar el factor integrante es la misma de la ecuación diferencial inicial, así como también, recalcar que no es fácil encontrar un factor integrante para una ecuación diferencial no exacta. Sin embargo, si M x, y y N x, y cumplen ciertas condiciones necesarias, es posible hallar de una manera sencilla el factor integrante. A continuación se presentarán 2 casos de factores integrantes, los cuales son los más comunes, y pueden ser utilizados de acuerdo a las características de la ecuación diferencial. CASO I. Factor Integrante dependiente de x. Ocurre si al resolver
M N y x N Se obtiene una función que depende solo de la variable x. En este caso el factor integrante x viene dado por:
x e
h x dx
Donde
Cristian Castillo
x
36
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1 y Ejemplo 1. Resuelva la ecuación diferencial 2 2 dx 1 lnxy dy 0 x x Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:
dM 1 dy x 2
dN 1 2 lnxy dx x
Por lo tanto, se verifica si es posible conseguir un factor integrante que
M N y x transforme la ecuación diferencial en exacta, por lo tanto se comprueba si N es una función que depende solo de la variable x,
M N 1 1 2 lnxy 2 y x x x 1 N 1 lnxy x
M N 1 1 lnxy 2 y x x 1 N 1 lnxy x
M N y x 1 N x
Con lo cual es posible determinar el factor integrante, que viene dado por: 1
x e x
dx
x eln x
x x
Entonces al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante se tiene:
y 1 x 2 2 dx x 1 lnxy dy 0 x
Cristian Castillo
37
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
En consecuencia,
y 2 x dx 1 lnxy dy 0 x Ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que
M 1 N 1 y y x x x Por lo tanto ahora es necesario resolver la ecuación diferencial exacta, para ello comenzamos con: f y 2x x x
Entonces se tiene: f x, y y ln x x 2 g y
Ahora derivando con respecto a y,
f x, y ln x g y y Como N x, y
f x, y , entonces se tiene: y 1 ln xy ln x g y
Se integra con respecto a y, con lo cual se obtiene g y , g y 1 ln y
Cristian Castillo
g y ln y C
38
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Con lo cual se determina la solución general de la ecuación diferencial,
y ln x x2 ln y C
CASO II. Factor Integrante dependiente de y. Ocurre si al resolver
N M x y M Se obtiene una función que depende solo de la variable y. En este caso el factor integrante y viene dado por:
y e
h y dy
Donde
N M x y h y M
Ejemplo 2. Resuelva la ecuación diferencial 2 xy 2 2 y dx 3x 2 y 4 x dy 0 Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:
dM 4 xy 2 dy
Cristian Castillo
dN 6xy 4 dx
39
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
N M x y Por lo tanto se verifica que es una función que dependa solo de la M variable y,
N M 6 xy 4 4 xy 2 x y M 2 xy 2 2 y
N M 2 xy 2 x y M y 2 xy 2
N M 1 x y M y
Con lo cual se determina el factor integrante,
y e
1
y dy
y eln y
x y
Entonces al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante se tiene: 2 xy 2 2 y dx 3x 2 y 4 x dy 0 y
En consecuencia,
2xy
3
2 y 2 dx 3x 2 y 2 4 xy dy 0
La cual ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que:
dM 6 xy 2 4 y dy
Cristian Castillo
dN 6xy 2 4 y dx
40
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
La cual tiene como solución general:
x2 y3 2 y 2 x C
Problemas propuestos. 1.
x
2
y 2 x dx xydy 0
Rta. 3x4 4 x3 6 x 2 y 2 C
2.
2xy e
4 y
2 xy 3 y dx x 2 y 4e y x 2 y 2 3x dy 0
Rta. x 2e y
x2 x C y y3
3. ydx 3 3x y dy 0 Rta. xy 3 y 3
4.
y
2
y4 C 4
x dx 2 ydy 0
Rta. y 2 x 1 Ce x
5.
2xy y dx 3x 4
2
6 xy3 dy 0
Rta. x 2 y3 xy 6 0
6.
y xy dx xdy 0 2
Rta.
x 1 2 x C y 2
Cristian Castillo
41
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.5 ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que tiene la forma: a1 x y a0 x y Q x
(1)
Sin embargo al dividir (1) por a1 x , se obtiene una forma más útil de escribir la ecuación diferencial lineal, llamada forma estándar, y viene dada por: y P x y Q x
(2)
Donde P y Q son funciones continuas definidas en un intervalo. Los pasos necesarios para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son:
Luego que la ecuación diferencial este escrita como (2), multiplicarla por el factor integrante x e ye
P x dx
P x dx
, con lo cual se obtiene:
P x e
y Q x e
P x dx
La cual es equivalente a la ecuación: d e dx
P x dx
P x dx
y Q x e P x dx
Con lo cual al integrar se obtiene la solución general de la ecuación diferencial,
Cristian Castillo
42
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ye
P x dx
P x dx Q x e dx C
Es importante no tratar de memorizar la solución general, sino más bien seguir paso a paso el procedimiento antes descrito.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación y 2 y e3 x La cual es una ecuación lineal con P x 2 y Q x e 3x De manera que:
x e
2 dx
x e 2 x C
x eC e2 x
x Ke2 x
Ahora se tiene una familia de factores integrantes, de la cual se escogerá a
x e2x , y entonces multiplicamos a ambos miembros la ecuación diferencial,
ye2 x 2 ye2 x e3 x e2 x En consecuencia, d ye2 x e5 x dx
Luego integrando la ecuación se tiene: 1 ye2 x e5 x C 5
Cristian Castillo
43
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Por último la solución general es: 1 y e3 x Ce2 x 5
Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial y
y cos x x
Esta ecuación diferencial es lineal con P x
1 y Q x cos x x
De manera que el factor integrante es: dx
x e x
x eln x
x x
Ahora se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial, de modo que: yx y x cos x
En consecuencia se obtiene: d yx x cos x dx
Luego de integrar con respecto a x, se obtiene: yx x sin x cos x C
Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es: y sin x cos x C x 1
Cristian Castillo
44
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cabe destacar que es muchos casos es conveniente acomodar la ecuación diferencial de tal manera que x f y para que esta sea lineal, es decir, de la forma: x P y x Q y
La cual tendrá como factor integrante y e
P y dy
, y se resolverá igual que
los casos anteriores pero de forma análoga, tal como lo ejemplifica el siguiente ejercicio.
Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial y
dx x 2 y 2 con y 1 5 dy
Primero debe multiplicarse toda la ecuación diferencial por y, para que tenga la forma de una ecuación lineal,
dx x 2y dy y
1 x x 2 y y
La cual es una ecuación diferencial lineal con P y
1 y Q y 2y y
De manera que el factor integrante es:
y e
dy
y
y e ln y
y
1 y
Ahora se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial,
Cristian Castillo
45
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
x 1 x 2 y y2 En consecuencia se obtiene:
d x 2 dy y Luego de integrar con respecto a y, se obtiene:
x 2y C y Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es:
x 2 y 2 Cy Pero como existen unas condiciones iniciales tal que y 1 5 , entonces 1 2 5 C 5 2
C
49 5
En consecuencia la solución particular a la ecuación diferencial es: x 2 y2
49 y 5
Ejercicios Propuestos. 1. y xy x 0 Rta. y Ce 2.
x2 2
1
y y 2 xe x x 2 con y 0 5 Rta. y x2e x x 2 2 x 2 3e x
Cristian Castillo
46
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
3. y e y x y Rta. xy e y C
4.
2x
2
ye x dx e x dy 0
con y 0 1
2 Rta. y x3 1 e x 3
5.
x 2
2
y 5 8 y 4 xy
Rta. y 2 x 4
6.
7.
8.
9.
5 3 2 x C 3
yx
dy dy y 2e y dx dx
Rta.
x ey C y
dy y con dx y x y2 xy 8 Rta. 2
y 5 2
3 2 y y x 1 x 1 2 2 1 Rta. y x 1 C x 1 2
6 2 xy y y 2 0 Rta. x
con
y 0 1
2 2 y2 y
Cristian Castillo
47
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
10. ydx xy 2 x ye y dy 0 Rta. x
ey 1 2 1 1 y y Ce2 y 2 y 2 2 4
2.6 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI. Una ecuación diferencial de Bernoulli es aquella que se puede escribir de la forma: y P x y Q x y n
Donde n, es un número real. Cabe destacar que n debe ser distinto de 0 y 1, ya que si n 0 la ecuación diferencial es lineal, pero si n 1 es una ecuación diferencial en variables separables. Toda ecuación diferencial de Bernoulli, mediante un cambio de variable se convierte en una ecuación diferencial lineal. Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli son:
Luego de que la ecuación diferencial tenga la forma y P x y Q x y n , multiplicarla por y n yy n P x yy n Q x y n y n
Cristian Castillo
yy n P x y1n Q x
48
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Realizar el cambio de variable de la forma z y1n , con lo cual al derivar también se tiene que z 1 n y n y , y al sustituir en la ecuación diferencial se obtiene, z P x z Q x 1 n
z 1 n P x z 1 n Q x
Suponiendo que P x 1 n P x y
Q x 1 n Q x , la ecuación
diferencial se transforma en una ecuación lineal z P x z Q x
La cual al resolver se obtendrá la solución general de la ecuación diferencial de Bernoulli, recordando que al final se debe sustituir y1 n por z
Ejemplo 1. Resuelva y
y x2 2x 2 y
Se acomoda la ecuación diferencial de la forma y P x y Q x y n x 2 1 1 y y y 2x 2
Con lo cual se verifica que es una ecuación de Bernoulli con n 1 , entonces se procede a multiplicar toda la ecuación diferencial por y x2 1 yy yy y 1 y 2x 2
Cristian Castillo
1
, es decir, por y.
x2 1 yy y 2 2x 2
49
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1 1
Ahora se realiza el cambio de variable z y
, es decir, z y 2 con su
respectiva derivada z 2 yy , por lo tanto se tiene:
z 1 x2 z 2 2x 2
1 z z x 2 x
La cual es una ecuación diferencial lineal con P x
1 y Q x x 2 , cuya x
solución general es:
x3 z Cx 2 Sin embargo como z y 2 , entonces la solución general es:
x3 y Cx 2 2
Ejemplo 2. Resuelva y 2 xy
6x y2
Primero acomodando la ecuación diferencial, se tiene que:
y 2 xy 6 xy 2 Por lo tanto es una ecuación de Bernoulli con n 2 , entonces se procede a multiplicar la ecuación diferencial por y
2
y 2 y 2 xyy 2 6 xy 2 y 2
, es decir, por y 2 .
Cristian Castillo
y 2 y 2xy3 6x
50
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1 2
Luego se realiza el cambio de variable z y
, es decir, z y 3 con su
respectiva derivada z 3 y 2 y , por lo tanto se tiene: z 2 xz 6 x 3
z 6 xz 18 x
La cual es una ecuación diferencial lineal con P x 6 x
y Q x 18x ,
cuya solución general es:
z 3 Ce3 x
2
Sin embargo como z y 3 , entonces la solución general de la ecuación diferencial es: y 3 3 Ce3 x
2
Ejercicios Propuestos.
1. 2 y
y x x y2
y 1 1
con
Rta. y3 3x 2 4 x3
2. y
3x 2 x3 y 1
Rta. x3 y 2 Ce y
3. y
x x y y3 2
Rta. x 2 y 2 1 Ce y
2
Cristian Castillo
51
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
4. xy y x 4 y3 Rta. y 2 x4 Cx 2
3
2 5. x x y
x 2 y 2 y
y 1 1
con
Rta. y 3 x
6. xy 2 y y 3
cos x x
Rta. x3 y3 3x sin x 3cos x C
7. x2 y y3 2 xy 0 2 Rta. y 2 Cx 4 5x
8. y Rta.
9.
4y x y x
1 y ln x C x 2 2
y y tan x y 4 cos x Rta. y 3 C 3tan x cos3 x
10. y 6 y 2 x 1 dx 2 xdy 0 Rta. y 2
x 6 Ce x
Cristian Castillo
52
CAPÍTULO 3 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Este capítulo está destinado a presentarnos las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, no importando si son homogéneas o no homogéneas, pero si teniendo en cuenta que siempre sean lineales.
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
3.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Una ecuación diferencial lineal de orden superior que tienen la forma:
an x y n an1 x y n1
a2 x y a1 x y a0 x y g x
En donde sí g x 0 , la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si g x 0 , entonces la ecuación se llama no homogénea. Sin embargo, antes de estudiar cada una de estas ecuaciones diferenciales, primero se desarrollará una teoría preliminar
necesaria para comprender este
capítulo. 3.1.1 Principio de Superposición Sean y1 , y2 , y3 ,
yn1 , yn soluciones de una ecuación diferencial homogénea
de orden n, entonces la combinación lineal de estas,
y x C1 y1 C2 y2 C3 y3
Cn1 yn1 Cn yn
También es solución de dicha ecuación diferencial. 3.1.2 Dependencia e independencia lineal. Un conjunto de funciones
f x 1 , f x 2 , f x 3 ,
, f x n1 , f x n , es
linealmente independiente si para
Cristian Castillo
54
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
C1 f x 1 C2 f x 2 C3 f x 3 , Se cumple que C1 C2 C3
, Cn1 f x n1 Cn f x n 0
Cn1 Cn 0 .
Si el conjunto de soluciones no es linealmente independiente, entonces se dice que es linealmente dependiente, es decir, si al menos alguna de las constantes
C1 , C2 ,
, Cn1 , Cn es no nula. Para entender mejor este concepto, supongamos que y1 y y2 , son funciones
linealmente dependientes, entonces existen las constantes C1 y C2 no nulas tale que:
C1 y1 C2 y2 0 Entonces como C1 0 , es posible escribir la ecuación de la forma:
y1
C2 y2 C1
Por lo tanto si y1 y y2 , son funciones linealmente dependientes si y solo si una función es múltiplo constante de la otra. Y por consiguiente, esto nos lleva a concluir, que dos funciones son linealmente independientes, si ninguna función no es múltiplo constante de la otra. 3.1.3 Wronskiano. Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef HoeneWronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El
Cristian Castillo
55
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones
f x 1 , f x 2 ,
, f x n1 , f x n poseen al menos n-1 derivadas, entonces el
wronskiano viene dado por:
W f1 , f 2 ,
, f n 1 , f n
f1 f1
f2 f 2
f n 1 f n1
fn f n
f1
f 2
f n1
f n
f n 11 f
n 1 2
f
n 1
n 1
f
n 1 n
Uno de los usos más importantes que se le da al wronskiano en las ecuaciones diferenciales, es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no. Dado un conjunto de soluciones y1 , y2 , y3 ,
yn1 , yn de una ecuación
diferencial homogénea de orden n. Entonces dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que
W y1 , y2 , y3 ,
, yn1 , yn 0
3.1.4 Ecuación diferencial homogénea. Como se dijo al principio del capítulo una ecuación diferencial homogénea es aquella que tiene la forma:
an x y n an1 x y n1
a2 x y a1 x y a0 x y 0
Cristian Castillo
56
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Este tipo de ecuación diferencial tiene como solución general:
y x C1 y1 C2 y2 C3 y3 Donde y1 , y2 , y3 ,
Cn1 yn1 Cn yn
yn1 , yn es un conjunto fundamental de soluciones
linealmente independientes. Cabe destacar que el número de funciones que conformarán el conjunto de soluciones es igual al orden de la ecuación diferencial homogénea, de este modo, una ecuación diferencial de segundo orden tendrá un conjunto de soluciones conformado por dos funciones. Otra característica de las ecuaciones diferenciales homogéneas, es que la solución trivial siempre la satisface, sin embargo en el estudio de estas ecuaciones la despreciaremos. 3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea. Una ecuación diferencial lineal no homogénea tiene la forma:
an x y n an1 x y n1
a2 x y a1 x y a0 x y g x
Con g x 0 .
La solución de este tipo de ecuación está conformada por la suma de dos soluciones, llamadas solución complementaria yc y solución particular y p . La solución complementaria, es la solución que se obtiene luego de transformar la ecuación diferencial no homogénea en una ecuación homogénea.
Cristian Castillo
57
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La solución particular, es una solución dada de la ecuación diferencial no homogénea, la cual dependerá de la acción de la función g x sobre la ecuación. En conclusión la solución general de una ecuación diferencial no homogénea de orden n viene dada por:
y x yc y p Una ecuación diferencial no homogénea debe tener un conjunto de soluciones formado por al menos n+1 funciones, las cuales deben ser linealmente independientes entre sí. En este capítulo, más adelante, se presentarán técnicas para determinar la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.
3.2 REDUCCIÓN DE ORDEN El método de reducción de orden consiste en construir una segunda solución de una ecuación diferencial a partir de una solución conocida. Dada la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden,
a2 x y a1 x y a0 x y 0
Cristian Castillo
58
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Con a2 x 0 , y además a2 x , a1 x y a0 x continuas en I, si se divide por a2 x y haciendo
P x
a1 x a x y Q x 0 , se tiene la forma estándar a2 x a2 x
o canoníca
y P x y Q x y 0 Esta ecuación tiene como solución general y x c1 y1 c2 y2 , donde y1 x y
y2 x , deben ser linealmente independientes, esto implica que y2 x u x y1 x . Por lo tanto es posible hallar una segunda solución y2 x , a partir de una solución ya conocida y1 x , para toda u x diferente de una constante. Entonces si se tiene como posible solución a y2 x u x y1 x , implica que debe satisfacer a la ecuación, por lo tanto primero se deriva dos veces a y2 x
y2 uy1 y1u
y
y2 uy1 2uy1 y1u
Se sustituyen la derivadas de y2 x en la ecuación diferencial
uy1 2uy1 y1u P x uy1 y1u Q x uy1 0 Aplicando propiedad distributiva y agrupando en función de u x , se tiene: y1u 2 y1 P x y1 u y1 P x y1 Q x y1 u 0
Cristian Castillo
59
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Pero de acuerdo a la ecuación diferencial de segundo orden, se tiene que
y1 P x y1 Q x y1 0 , por lo tanto:
y1u 2 y1 P x y1 u 0 Como z u , y además z u , entonces:
y1 z 2 y1 P x y1 z 0 La cual es una ecuación diferencial de variables separables. Por lo tanto llevándola a su forma diferencial y separando las variables se tiene: dz 2 y1 P x dx z y1
Ahora integrando la ecuación anterior se obtiene, ln z 2ln y1 P x dx C
ln zy12 P x dx C
Por consiguiente P x dx zy12 C1e
Despejando z, para luego regresar el cambio z u P x dx C1e z y12
P x dx C1e u y12
Cristian Castillo
60
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Escribiendo la ecuación en su forma diferencial y volviendo a integrar:
e P x dx dx C2 u C1 y12 Tomando a C1 1 y C2 0 , además como y2 x u x y1 x , entonces:
e P x dx dx y2 x y1 x y12 Ejemplo 1. Sea
y1 x x sen ln x una solución de la ecuación diferencial
x2 y xy 2 y 0 , halle una segunda solución que satisfaga la ecuación. Lo primero que se debe hacer es escribir la ecuación diferencial en su forma canónica, es decir, dividimos la ecuación por x 2 :
y
1 2 y 2 y 0 x x
Por lo tanto de acuerdo a (3) una segunda solución para la ecuación diferencial viene dada por: 1 dx e x y2 x x sen ln x dx 2 x sen ln x
Resolviendo la integral del numerador, se tiene:
Cristian Castillo
61
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
eln x x y2 x x sen ln x 2 dx y x x sen ln x 2 2 x2 sen 2 ln x dx x sen ln x
Ahora simplificando y utilizando un cambio de variable, se obtiene:
dx y2 x x sen ln x x sen 2 ln x
z ln x dx dz x
y2 x x sen ln x
du sen 2 u
Acomodando e integrando, se tiene: y2 x x sen ln x csc2 udu
y2 x x sen ln x cot u
Por último regresando el cambio de variable z ln x ,
y2 x x sen ln x cot ln x
Ejercicios propuestos. Utilice el método de reducción de orden para obtener una segunda solución. 1. x2 y 7 x 16 y 0 con y1 x 4 Rta. y2 x 4 ln x 2. x2 y 2 xy 6 y 0 con y1 x 2 1 Rta. y2 3 5x
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
3. xy y 0 con y1 ln x Rta. y2 1 4. x2 y xy 2 y 0 con y1 x sen ln x Rta. y2 x cos ln x 5. y y 0 con y1 cosh x Rta. y2 sinh x
6.
1 2 x y 4xy 4 y 0 con
y1 e2 x
Rta. y2 x 7. x2 y 5xy 9 y 0 con y1 x3 ln x Rta. y2 x3
8.
2 x 1 y 4 x 1 y 4 y 0
con y1 x 1
Rta. y2 e2 x
9. 9 y 12 y 4 y 0 con Rta. y2 xe
2
y1 e 3
x
2 x 3
3.3 ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA CON COEFICIENTE CONSTANTE Se dice que una ecuación diferencial lineal es homogénea con coeficientes constantes si esta tiene la forma:
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63
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
an y n an1 y n1 an2 y n2 Donde a0 , a1 , a2 ,
a2 y a1 y a0 y 0
, an1 , an son constantes reales con an 0 .
Este tipo de ecuación diferencial tiene como característica fundamental que todas sus soluciones son funciones exponenciales de la forma e mx o, al menos, están formadas a partir de funciones exponenciales. Para mostrar cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales homogéneas de coeficiente constante, primero se comenzará por el caso especial de la ecuación diferencial de segundo orden, para luego describir cómo resolver ecuaciones de orden superiores en general. 3.3.1 Ecuaciones de segundo orden. Una ecuación diferencial de segundo orden viene dada por:
ay by cy 0 Como se dijo antes, la solución de esta ecuación tiene la forma y emx , entonces al derivar dos veces dicha solución y sustituirla en la ecuación, se tiene:
am2emx bmemx cemx 0
emx am2 bm c 0
De esta última ecuación, se sabe que e mx nunca puede ser cero, mientras x tenga valor real, por lo tanto la única forma de que pueda ser cero es que:
am2 bm c 0
Cristian Castillo
64
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Esta ecuación se denomina ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial. Ahora bien como se observa, esta ecuación es cuadrática, y una forma de determinar las raíces (resolver), es a través de la ecuación:
m
b b 2 4ac 2a
De la cual, como ya se sabe, se puede obtener tres casos, de acuerdo al tipo de raíces que tenga la ecuación, los cuales se analizarán a continuación:
CASO I. Raíces reales diferentes. b2 4ac 0
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales diferentes, es decir,
m1 m2 con lo cual se obtienen las soluciones y1 em1x y
y2 em2 x . Como estas
soluciones son linealmente independientes, se puede concluir que la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1em1x C2em2 x Ejemplo 1. Resuelva y 3 y 10 y 0 . Como se sabe este tipo de ecuación tiene como solución general y emx , la cual al derivar y sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
m2emx 3memx 10emx 0
Cristian Castillo
emx m2 3m 10 0
65
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Entonces la ecuación auxiliar es m2 3m 10 0 y sus raíces m1 5 y
m2 2 , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1e5 x C2e2 x
CASO II. Raíces reales iguales. b2 4ac 0
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales iguales, es decir,
m1 m2 con lo se obtendrá una sola solución y1 em1x , donde al resolver m1
b . 2a
Sin embargo una ecuación diferencial de segundo orden debe tener dos soluciones, por lo tanto utilizando el método de reducción de orden, se puede determinar y2 x , a partir de la ya conocida y1 x , esto es:
y2 e
m1 x
P x dx e em1x 2 dx
Como al escribir la ecuación en su forma canónica se obtiene y
b c b b y y 0 , entonces P x , y además como m1 , se puede concluir a a a 2a
que P x 2m1 , por lo tanto:
y2 e
m1 x
2 m1 dx e em1x 2 dx
Cristian Castillo
y2 e
m1 x
e2 m1x e2m1x dx
66
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Con lo cual se obtiene:
y2 em1x dx
y2 xem1x
Por lo tanto la solución general viene dada por:
y x C1em1x C2 xem1x Ejemplo 2. Resuelva. y 6 y 9 y 0 . Como la solución general y emx , la cual al derivar y sustituir en la ecuación se tiene:
m2emx 6memx 9emx 0
Entonces la ecuación auxiliar es
emx m2 6m 9 0
m2 6m 9 0 y sus raíces
m1 3 y
m2 3 , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1e3 x C2 xe3 x
CASO III. Raíces complejas conjugadas. b2 4ac 0 .
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces complejas, es decir,
m1 i y m2 i , donde y son números reales con 0 y además que i 2 1 . Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
y x k1e
i x
k2e
i x
Sin embargo, por lo general es preferible trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas. Por lo tanto:
y x k1e x ei x k2e x ei x
y x e x k1ei x k2ei x
Luego utilizando la formula de Euler, la cual viene dada por: ei cos i sen
Se tiene:
ei x cos x i sen x y ei x cos x i sen x Entonces: y x e x k1 cos x i sen x k2 cos x i sen x
Con lo cual: y x e x k1 k2 cos x k1 k2 sen x
Luego asumiendo que C1 k1 k2 y C2 k1 k2 , concluimos que la solución general es:
y x e x C1 cos x C2 sen x
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo 3. Resuelva y y y 0 Como la solución general y emx , la cual al derivar y sustituir en la ecuación se tiene:
m2emx memx emx 0
emx m2 m 1 0
Entonces la ecuación auxiliar es
m2 6m 9 0 , con lo cual luego de
1 3 1 3 i y m2 i, aplicar la ecuación (5), se obtienen las raíces: m1 2 2 2 2 por lo tanto se tiene que
3 1 y , por consiguiente se puede concluir que la 2 2
solución general de la ecuación diferencial es:
3 3 y x e C1 cos x C2 sen x 2 2
x 2
3.3.2 Ecuaciones de orden superior. Ahora, de manera más general, se estudiará la ecuación diferencial homogénea de orden superior,
an y n an1 y n1 an2 y n2
a2 y a1 y a0 y 0
Que, como se dijo antes, tiene como solución general la función y emx , por lo tanto su ecuación auxiliar, viene dada por:
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
an mn an1mn1 an2 mn2
a2 m2 a1m a0 0
Este tipo de ecuación puede general muchas combinaciones de soluciones, sobre todo combinaciones de los casos que se vieron para ecuaciones homogéneas de segundo grado, por ejemplo una ecuación diferencial de cuarto orden, puede tener cuatro raíces diferentes, cuatro raíces iguales, dos raíces reales iguales y dos complejas, dos complejas y dos reales diferentes, o cualquier otra combinación, sin embargo a continuación se presentarán tres casos que ayudarán en la resolución de las ecuaciones diferenciales de orden superior: Caso I. Múltiples raíces diferentes. Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir m1 m2
mn1 mn , entonces la solución general tiene la forma: y x C1em1x C2em2 x C3em3 x
Cn1emn1x Cnemn x
Caso II. Múltiples raíces iguales. Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales, es decir m1 m2
mn1 mn , entonces la solución general tiene la forma:
y x C1em1x C2 xem1x C3 x 2em1x
Cristian Castillo
Cn1x n2em1x Cn x n1em1x
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Caso III. Múltiples raíces complejas conjugadas iguales. Si todas las raíces de la ecuación diferencial son conjugadas complejas iguales, es decir, si m1 i es una raíz compleja de multiplicidad k, y su raíz conjugada m2 i también es una raíz de multiplicidad k, entonces con base en las 2k soluciones complejas, se tiene como solución general: C1 cos x C2 sen x x C3 cos x C4 sen x y x e x x n 1 C2 n 1 cos x C2 n sen x
Ejemplo 4. Resuelva y 4 y 5 y 0 Esta ecuación diferencial tiene como ecuación auxiliar: m3 4m2 5m 0
La cual luego de factorizar se hallan sus raíces:
m m 5 m 1 0
m1 0 m2 5 m 1 3
Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1 C2e5 x C3e x Ejemplo 5. Resuelva y 3 y 3 y y 0 La cual tiene como ecuación auxiliar:
m3 3m2 3m 1 0
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Por lo tanto luego de factorizar se hallan sus raíces:
m 1
3
0
m1 m2 m3 1
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1e x C2 xe x C3 x 2e x Ejemplo 6. Resuelva y 4 y 4 y 0 4
Esta ecuación diferencial tiene como ecuación auxiliar: m4 4m2 4 0
Con lo cual luego de factorizar se hallan sus raíces:
m
2
2 0 2
m
2
2 m2 2 0
m1 m3 0 i 2 m2 m4 0 i 2
Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1 cos 2 x C2 sen 2 x x C3 cos 2 x C4 sen 2 x
Ejemplo 7. Resuelva y 81y 0 6
La cual tiene como ecuación auxiliar:
m6 81m2 0 Por lo tanto luego de factorizar se hallan sus raíces:
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
m m 3 m 3 m 9 0 2
2
m1 m2 0 m3 3, m4 3 m 0 i3, m 0 i3 6 5
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1 C2 x C3e3 x C4e3 x C5 cos3x C6 sen 3x
Ejemplo 8. Resuelva y y 0 con y 0 0 y y 2 2 La cual tiene como ecuación auxiliar: m2 1 0
Y sus raíces son:
m1 0 i
y
m1 0 i , por lo tanto la solución general
de la ecuación diferencial es:
y x C1 cos x C2 sen x Luego como y 0 1 , entonces se tiene:
1 C1 cos 0 C2 sen 0
C1 1
Y además como y 2 , entonces:
y x C1 sen x C2 cos x
2 C1 sen C2 cos
C2 2
Con lo cual podemos determinar la solución particular, la cual viene dada por:
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
y x cos x 2sen x Ejercicios propuestos. 1. y 2 y 3 y 0 Rta. y x C1e x C2e3 x 2. y 2 y 3 y 0 con y 0 0 , y 0 4 Rta. y x e x C2e3 x 3. y 6 y 9 y 0 Rta. y x C1e3 x C2 xe3 x 4. y 4 y 4 y 0 con y 0 1 y y 0 1 Rta. y x e2 x xe2 x 5. y 2 y 2 y 0 Rta. y x e x C1 cos x C2 sen x 6. y 16 y 0 4
Rta. y x C1e2 x C2e2 x C3 cos 2 x C4 sen 2 x 7. y 81y 0 6
Rta. y x C1 C2 x C3e3 x C4e3 x C5 cos3x C6 sen 3x 8. y 8 y 16 0 4
Rta. y x C1 cos 2 x C2 sen 2 x C3 x cos 2 x C4 x sen 2 x
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
3.4. MÉTODOS DE COEFICIENTES INDETERMINADOS El método de coeficientes indeterminados es utilizado para determinar la solución particular y p de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de coeficiente constante, es decir para ecuaciones que tengan la forma:
an y n an1 y n1
Con an , an1 ,
a2 y a1 y a0 y g x
, a2 , a1 , a0 constantes reales.
Sin embargo este método solo es posible utilizarlo si la función g x es del tipo:
Polinómica
a
Exponencial
e
Seno ó coseno
Sumas y/o producto finito de las anteriores.
0
a1 x a2 x 2
an x n
x
cos x
o sen x
Algunos ejemplos de funciones para g x permitidas en este método son:
g x 5, g x 4 x 8, g x x3 4 x, g x 5e4 x , g x 2 x 4 e3 x g x 2 x 4 e x , g x 2sen 5 x,
g x x 2 6 x cos 4 x, g x xe 4 x sen 2 xe3 x
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Caso contrario, algunos ejemplos de funciones que para g x no están permitidas: x 1 , g x 3 , x 2x x x 4 g x , g x , g x arccos x cos x sen x g x ln x, g x
2
Este método lleva el nombre de coeficientes indeterminados debido a que inicialmente la solución particular que se determina tiene coeficientes desconocidos, luego parte de este método es determinar el valor de dichos coeficientes. El método de coeficientes indeterminado presenta dos enfoques, uno llamado superposición y otro anulador. A continuación se describirá cada uno de estos enfoques.
3.4.1
MÉTODO
DE
COEFICIENTES
INDETERMINADOS.
Enfoque
de
superposición. Este enfoque consiste en proponer una solución particular y p , que contenga uno o más coeficientes desconocidos. Esta solución particular debe ser de forma semejante a la función g x de la ecuación diferencial no homogénea. Es importante resaltar, una vez más, que la solución general de una ecuación diferencial no homogénea debe contener funciones linealmente independientes entre
Cristian Castillo
76
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
sí. Por lo tanto se debe verificar que la solución particular propuesta no sea múltiplo de ninguna de las funciones que conforman la solución complementaria, de así serlo, la solución particular debe ser multiplicada por x n , donde n indica el número de repeticiones que presente yp. Además, si la función g x , está conformada por una suma de funciones
g x g1 x g2 x
gn x , la solución particular también estará conformada
por una suma de soluciones y p y p1 y p 2
y pn ,
donde y p1 es la posible
solución particular de g1 x , y así sucesivamente. En este caso se debe verificar que sean linealmente independientes pero de forma individual. En la tabla 3.1, se presentan algunos ejemplos de posibles
soluciones
particulares a partir de una función g x dada. Cabe destacar que en esta tabla se asume que no existe repetición de funciones entre el yp asumido y la solución complementaria. A continuación se presenta los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes, usando el enfoque de superposición:
Se verifica que la función contenida en g x , se encuentre entre las permitidas por el método de coeficientes indeterminados.
Se determina la solución complementaria yc .
Cristian Castillo
77
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Se escribe una posible solución particular y p , de acuerdo a la función g x
Se verifica que la solución particular planteada sea linealmente independiente con respecto a las funciones que conforman la solución particular.
Se sustituye la solución particular en la ecuación diferencial, para de este modo determinar los coeficientes desconocidos de y p
Se escribe la solución general de la ecuación diferencial no homogénea.
g x
y p Sugerida
2
A
4x 3
Ax+B
2 6x 2
Ax2 Bx C
x3 4 x 2
Ax3 Bx2 Cx D
e2 x
Ae2x
sen 4x
A sen 4 x B cos 4 x
cos3x
A sen 3x B cos3x
x
2
4 e2 x
Ax
2
Bx C e2 x
e5 x sen 3x
e5 x A sen 3x B cos3x
4 x cos 2 x
Ax B sen 2 x Cx D cos 2x
4x x e sen 2x 2
3x
Ax
2
Bx C e3 x sen 2 x Dx 2 Ex F e3 x cos 2 x
Tabla 3.1
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo 1. Resuelva y 4 y 3 y 7 x 2 Primero se determina la solución complementaria, transformando la ecuación diferencial en homogénea, es decir: y 4 y 3 y 0 Su ecuación auxiliar es:
m2 4m 3 0
m 3 m 1 0
m 3 Con lo cual las raíces de la ecuación auxiliar son: m 1 Por lo tanto la solución complementaria viene dada por:
yc C1e3 x C2e x Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función contenida en
g x , entonces como g x 7 x 2 , se propone como solución particular a:
y p Ax B Inmediatamente debe verificarse si Ax B es linealmente independiente con respecto a las funciones que conforman la solución complementaria, es decir, si es múltiplo de e3x o e x . En este caso, como no hay multiplicidad, se concluye que la solución particular a utilizarse es la asumida, por lo tanto se confirma que
y p Ax B .
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Se deriva yp dos veces debida a que es una ecuación diferencial de segundo orden:
y p Ax B
yp A
yp 0
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial se tiene:
y 4 y 3 y 7 x 2
0 4 A 3 Ax B 7 x 2
En consecuencia
4 A 3 Ax 3B 7 x 2
3 Ax 4 A 3B 7 x 2
Con lo cual
3A 7
y
Por lo tanto se tiene que: A
4 A 3B 2
22 7 y B , entonces la solución particular 9 3
es:
yp
7 22 x 3 9
Por último se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es: 7 22 yc C1e3 x C2e x x 3 9
Cristian Castillo
80
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo 2. Resuelva y y x 1 Se determina la solución complementaria de y y 0 , primeo se construye la ecuación auxiliar y se determinan sus raíces:
m m 0 3
2
m m 1 0 2
m1 0 m2 0 m 1 3
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
y p C1 C2 x C3e x Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función que contiene
g x Como g x x 1 entonces se asume y p Ax B Sin embargo al verificar si yp es linealmente independiente con respecto a yc, se comprueba que si hay multiplicidad, por lo tanto se multiplica la solución particular por x 2 , con lo cual se tiene que la nueva solución particular es:
y p Ax3 Bx 2 Es importante cotejar que si se hubiese multiplicado la solución particular por x, todavía seguiría siendo linealmente independiente.
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Entonces se deriva la solución particular tres veces porque es una ecuación diferencial de tercer orden, con lo cual se tiene:
y p Ax3 Bx2 yp 3 Ax2 2Bx yp 6 Ax 2B
yp 6 A
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial, se tiene:
y y x 1
6 A 6 Ax 2B x 1
En consecuencia
6 A 6 Ax 2B x 1
6 Ax 6 A 2B x 1
Con lo cual 6 A 1
y
Por lo tanto se tiene que: A
6 A 2B 1
1 y B 1, entonces la solución particular 6
es: 1 y p x3 x 2 6
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es: 1 y x C1 C2 x C3e x x3 x 2 6
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo 3. y y 2 x sen x Se determina la solución complementaria de y y 0 , construyendo primero la ecuación auxiliar y determinando sus raíces:
m2 1 0
m1 0 i m2 0 i
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
yc C1 cos x C2 sen x Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función que contiene
g x Como g x 2 x sen x entonces se asume y p Ax B cos x Cx D sen x Sin embargo al verificar si yp es linealmente independiente con respecto a yc, se comprueba que si hay multiplicidad, por lo tanto se multiplica la solución particular por x , con lo cual se tiene que la nueva solución particular es: y p Ax 2 Bx cos x Cx 2 Dx sen x
Entonces se deriva la solución particular dos veces porque es una ecuación diferencial de segundo orden, con lo cual se tiene: yp 2 Ax B Cx 2 Dx cos x Ax 2 Bx 2Cx D sen x
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
yp Ax2 2 A Bx 4Cx 2D cos x 4 Ax 2B Cx 2 2C Dx sen x
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial, se tiene:
Ax
2
2 A Bx 4Cx 2 D cos x 4 Ax 2 B Cx 2 2C Dx sen x Ax 2 Bx cos x Cx 2 Dx sen x 2 x sen x
En consecuencia
2 A 4Cx 2D cos x 4 Ax 2B 2C sin x 2x sen x 4Cx cos x 2 A 2D cos x 4 Ax sen x 2B 2C sen x 2 x sen x Con lo cual
4C 0,
2 A 2D 0,
Por lo tanto se tiene que:
4 A 2,
2B 2C 0
1 1 A , B 0 , C 0 y D , entonces la 2 2
solución particular es:
1 1 y p x 2 cos x x sen x 2 2 Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
1 1 y x C1 cos x C2 sen x x 2 cos x x sen x 2 2
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo 4. y 4 y 4 y x 2 4e2 x Se determina la solución complementaria de y 4 y 4 y 0 , construyendo primero la ecuación auxiliar y determinando sus raíces:
m3 4m 2 4 m 0
m m 2 m 2 0
m1 0 m2 2 m 2 3
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
yc C1 C2e2 x C3 xe2 x Ahora se asume que una solución particular de acuerdo a la función que contiene g x
.
Como g x x 2 4e2 x , se verifica que está compuesta por la suma de dos funciones, es decir, g x g1 x g2 x , con g1 x x 2 y g2 x 4e2 x . Lo que implica que la solución particular tendrá la forma: y p y p1 y p 2 .
Entonces, para
g1 x x 2 se asume y1 Ax 2 Bx C
y además para
g2 x 4e2 x se asume y2 De2 x , con lo cual la solución particular a priori seria: y p Ax 2 Bx C De2x
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Sin embargo, todavía falta verificar si la solución particular que se está asumiendo es linealmente independiente con las funciones que conforman la solución complementaria. En este caso, se debe hacer en forma individual, por consiguiente: Primero se compara y1 Ax 2 Bx C con yc C1 C2e2 x C3 xe2 x , con lo cual se comprueba que existe multiplicidad, ya que en la solución complementaria hay una función polinómica constante representada por C1 , por lo tanto debe multiplicarse y p1 por x, de esta manera se tendrá como primera solución particular a:
y p1 Ax3 Bx 2 Cx
Ahora se compara,
y2 De2 x con yc C1 C2e2 x C3 xe2 x , y se verifica
que también existe multiplicidad pero esta vez, debe multiplicarse y p 2 por x 2 , con lo cual se tendrá como segunda solución particular a:
y2 Dx 2e2 x Por consiguiente se tiene que la solución particular a utilizarse es:
y p Ax3 Bx 2 Cx Dx 2e2x Derivando la solución particular tres veces, se tiene: y p Ax3 Bx2 Cx Dx2e2 x
yp 3 Ax2 2Bx C x x 2 2De2 x
Cristian Castillo
86
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Con lo cual al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
6 A 6 12 x 4 x 2 2 De2 x 4 6 Ax 2 B 1 4 x 2 x 2 2 De2 x 4 3 Ax 2 2 Bx C x x 2 2 De2 x x 2 4e2 x
Acomodando un poco la ecuación queda:
12 Ax2 8B 24 A x 6 A 4C 8B 4De2 x x 2 4e2 x Con lo cual
12 A 1,
8B 24 A 0,
En consecuencia: A
6 A 4C 8B 0,
4D 4
1 3 1 , B , C , D 1 y la solución particular es: 12 8 4
yp
1 3 1 2 3 x x x x 2e2 x 12 4 8
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es: y x C1 C2e2 x C3 xe2 x
1 3 1 2 3 x x x x 2e 2 x 12 4 8
Cristian Castillo
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejercicios propuestos. Resuelva usando el enfoque de superposición del método de coeficientes indeterminados
1. y 8 y 64 x Rta. y x C1e x C2 xe x 4cos x 5sen x
2. y 4 y 3 y 4e3 x 18x 15 Rta. y x C1e3 x C2e x 2 xe3 x 6 x 3 3. y 2 y 2 y 1 x 1 Rta. y x e x C1 cos x C2 sen x x 2
4. y y cos2 x e x x2 1 5 1 1 1 Rta. y x C1 C2e x x3 x 2 x e x sen 2 x cos 2 x 3 2 2 20 10
5. y 6 y 9 y 6 xe3 x 9 50sen x Rta. y x C1e3 x C2 xe3 x 1 x3e3 x 4sen x 3cos x
6.
y y 1
1 Rta. y x C1 C2 x C3e x x 2 2
7. y
4
y 16e
x 2
x
Rta. y x C1e 2 C2e
x 2
x x x C3 cos C4 sen 2 xe 2 2 2
Cristian Castillo
88
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
8. y 25 y 20sen 5x Rta. y x C1 cos5x C2 sen 5x 2 x cos5x 9. 5 y y 6 x con y 0 0, Rta. y x 200 200e
x 5
y 0 10
3x 2 30 x
1 10. y 2 y y 2 24e x 40e5 x con y 0 , 2 1 Rta. y x 11 11e x 9 xe x 2 x 12 x 2e x e5 x 2
5 y 0 , 2
y 0
9 2
3.4.2 MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Enfoque de anulador. Este enfoque al igual que el de superposición es utilizado para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de coeficientes constantes, sin embargo en este caso se utiliza operadores diferenciales. 3.4.2.1 Operadores diferenciales El operador diferencial, denotado por una D mayúscula, está definido por:
Dy
dy dx
Si se desea escribir una derivada de orden enésimo utilizando operadores diferenciales, se tendría:
Cristian Castillo
89
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
dny Dn y dx n Donde la potencia del operador diferencial indica el orden de la derivada. Por lo tanto una ecuación diferencial de la forma:
an x y n an1 x y n1
a2 x y a1 x y a0 x y g x
Puede escribirse como:
an Dn y an1Dn1 y
a2 D2 y a1Dy a0 y g x
O también de la forma: an Dn an1Dn1
La expresión
a2 D2 a1D a0 y g x
P D an Dn an1Dn1
a2 D2 a1D a0 , se llama
operador diferencial de orden n. El operador diferencial de orden n, presentan las siguientes características:
P D
se puede factorizar como el producto de operadores
diferenciales de primer orden y operadores diferenciales de segundo orden que no son posibles reducirlos a primer orden.
Los factores de P D pueden conmutarse.
P D f g P D f P D g , para cualquier función f
y
siempre que sean derivables al menos n veces.
Cristian Castillo
90
g
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Por ejemplo la ecuación diferencial y 3 y 4 y 0 , se puede reescribir con operadores diferenciales de la forma:
D3 y 3D2 y 4Dy 0 Y por consiguiente D3 3D2 4D y 0
D D 4 D 1 y 0
Cuando un operador diferencial anula una función f, la cual es suficientemente diferenciable, se denomina operador anulador. Por ejemplo si se tiene la función f x 4 x 2 , su operador anulador sería
D 2 , ya que:
D 4x 2 4
D2 4 x 2 0
A continuación se presentará en forma general, una serie de operadores anuladores que podrán ser utilizados en este enfoque. a. El operador diferencial D n1 , anula a cualquier polinomio de la forma:
an xn an1 x n1
a2 x2 a1 x a0
b. El operador diferencial D , anula a cualquier exponencial de la forma: e x
c. El operador diferencial D
a x n
n
n 1
, anula a cualquier función de la forma:
an1 x n1
a2 x 2 a1 x a0 e x
Cristian Castillo
91
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
d. El operador diferencial D2 2 , anula cualquier función de la forma:
a sin x ó a cos x e. El operador diferencial D 2 2 D 2 2
n 1
, anula cualquier función
de la forma: e x an x n e x an x n
a2 x 2 a1 x a0 sen x
ó
a2 x 2 a1 x a0 cos x
En la tabla 4.2 se presentan algunas funciones con sus respectivos operadores anuladores.
g x
Operador anulador
2
D
4x 3
D2
x3 4 x 2
D4
e2 x
D2
sen 4x
D2 16
x
2
4 e2 x
D 2
e5 x sen 3x
D2 10D 36
4 x cos 2 x
4x x e sen 2x 2
3x
3
D D
2
2
4
2
6 D 13
3
Tabla 4.2
Cristian Castillo
92
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ahora muchas veces se puede presentar que la función que se desea anular tiene la forma:
g x g1 x g2 x
gn x
Es decir, la función a anular, está compuesta por dos o más funciones. En este caso, el operador anulador de g x , será el producto de todos los operadores anuladores de las funciones que componen g x , por lo tanto, si L1 D es el operador que anula a g1 x , L2 D es el operador que anula a g 2 x y así sucesivamente hasta Ln D que es el operador que anula g n x , entonces: L1 D L2 D
Ln D g x 0
3.4.2.2 Coeficientes indeterminados. Dada la ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes:
P D y g x
Donde
P D an Dn an1Dn1
a2 D2 a1D a0 y
como se dijo
anteriormente para este método la función g x es del tipo:
Polinómica
a
Exponencial
e
Seno ó coseno
0
a1 x a2 x 2
an x n
x
cos x
o sin x
Cristian Castillo
93
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Sumas y/o producto finito de las anteriores. Entonces existe un operador diferencial P1 D que anule a g x , con lo cual
se tiene:
P1 D P D y 0 Con lo cual, la ecuación diferencial no homogénea se transforma en una homogénea, y de ella se podrá obtener la solución particular y p de la ecuación diferencial no homogénea. A continuación se presentan los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes usando el enfoque anulador:
Determinar la solución complementaria.
Escribir la ecuación diferencial utilizando los operadores diferenciales.
Determinar el operador anulador de g x , y multiplicarlo por toda la ecuación diferencial.
Determinar la ecuación auxiliar, factorizarla y determinar sus raíces
Escribir la solución general con los coeficientes indeterminados.
Extraer de la solución general la solución particular
y , p
verificando no
haber incluido un término que pertenezca a la solución complementaria yc
Cristian Castillo
94
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
y
Sustituir la solución particular
en la ecuación diferencial para
p
determinar sus coeficientes desconocidos.
Escribir la solución general definitiva.
Ejemplo 5. Resuelva y 4 y 4 y x x 2 Primero tal como se especificó en el procedimiento, se hallará la solución complementaria, para ello primero transformamos la ecuación en homogénea y 4 y 4 y 0 , para luego determinar su ecuación auxiliar con sus respectivas
raíces
m 2 4m 4 0
m 2
2
0
m1 2 m2 2
Con lo cual la solución complementaria es:
yc C1e2 x C2 xe2 x Ahora se reescribe la ecuación diferencial utilizando operadores diferenciales, D2 y 4Dy 4 y x x 2
D
2
4D 4 y x x 2
Luego como g x x x 2 su operador anulador es D3 , entonces: D3 D 2 4 D 4 y D 3 x x 2
Cristian Castillo
D3 D 2 4 D 4 y 0
95
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Por consiguiente se tiene:
m3 m 2 y 0 2
m1 m2 m3 0 m4 m5 2
Por lo tanto una aproximación a la solución general sería:
y x C1 C2 x C3 x 2 C4e2 x C5 xe2 x Sin embargo como C4e2 x C5 xe2 x pertenecen a la solución complementaria, entonces la solución particular viene dada por:
y p C1 C2 x C3 x 2
y p A Bx Cx 2
Ahora para conseguir los coeficientes desconocidos, primero derivamos la solución particular para luego sustituirla en la ecuación diferencial dada:
y p A Bx Cx 2
yp B 2Cx
2C 4 B 2Cx 4 A Bx Cx 2 x x 2
yp 2C
4Cx 2 8C 4B x 2C 4B 4 A x x 2
Con lo cual 4C 1,
8C 4B 1,
4 A 2C 4B 0
1 1 1 En consecuencia: A , B y C la solución particular es: 8 4 4
Cristian Castillo
96
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
1 1 1 y p x x2 8 4 4
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es: 1 1 1 y x C1e2 x C2 xe2 x x x 2 8 4 4
Ejemplo 6. Resuelva y 2 y y 2 y e x x 2 Primero se hallará la solución complementaria, para ello primero y 2 y y 2 y 0 , para luego
transformamos la ecuación en homogénea
determinar su ecuación auxiliar con sus respectivas raíces
m 2m m 2 0 3
2
m 1 m 1 m 2 0
m1 1 m2 1 m 2 3
Con lo cual la solución complementaria es:
yc C1e x C2e x C3e2 x Reescribiendo la ecuación diferencial con operadores diferenciales, D3 y 2D2 y Dy y e x x 2
D
3
2D2 D 1 y e x x 2
Luego como g x e x x 2 , entonces su operador anulador es D3 D 1 , debido a que para e x el operador anulador es D 1 y para x 2 , el operador anulador es D3 , por lo tanto:
Cristian Castillo
97
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
D3 D 1 D3 2 D 2 D 1 y D3 D 1 e x x 2 y D3 D 1 D3 2 D 2 D 1 y 0
Por consiguiente se tiene:
m m 1 m 1 m 2 0 3
2
m1 m2 m3 0 m4 m5 1 m 1, m 2 7 6
Por lo tanto una aproximación a la solución general sería:
y x C1 C2 x C3 x 2 C4e x C5 xe x C6e x C7e2 x
Sin
embargo como
C4e x C6e x C7e2 x
pertenecen a la solución
complementaria, entonces la solución particular viene dada por:
y x C1 C2 x C3 x 2 C5 xe x
y p A Bx Cx 2 Exe x
Esta vez, no se ha utilizado la letra D, para no confundirlo con el operador diferencial. Entonces, luego de derivar y sustituir en la ecuación diferencial, tal como se ha realizado en todos los ejercicios anteriores, se obtiene que: 5 1 1 1 A , B , C , E 4 2 2 6
En consecuencia la solución particular es: 5 1 1 1 y p x x 2 xe x 4 2 2 6
Cristian Castillo
98
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es: 5 1 1 1 y x C1e x C2e x C3e2 x x x 2 xe x 4 2 2 6
Ejercicios propuestos. Resuelva usando el enfoque anulador del método de coeficientes indeterminados
1.
y 2 y y x 2e x Rta. y x C1e x C2 xe x 112 x 4e x
2. y y x 2e x 5 Rta. y x C1e x C2e x 14 xe x 14 x 2e x 16 x3e x
3. y 4 y cos2 x 1 1 Rta. y x C1 cos 2 x C2 sen 2 x x sen 2 x 8 8
4. y y y x sen x Rta. y x e
x 2
3 3 x C2 cos x x cos x 2cos x sen x C1 cos 2 2
5. y 25 y 6sen x Rta. y x C1 cos5x C2 sen 5x 14sen x
6.
y 2 y 5 y e x sen x Rta. y x C1e x cos 2 x C2e x sen 2 x 13e x sen x
Cristian Castillo
99
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
7. y 5 y x 2 con y 0 0, Rta. y x
y 0 1
41 41 5 x 1 2 9 e x x 125 125 10 25
8. y 4 y 8 y x3 con y 0 2, Rta. y x 2e2 x cos 2 x
y 0 4
3 2x 1 3 3 e sen 2 x x3 x 2 x 64 8 16 32
1 9. y 2 y y 2 24e x 40e5 x con y 0 , 2 1 Rta. y x 11 11e x 9 xe x 2 x 12 x 2e x e5 x 2
5 y 0 , 2
y 0
9 2
3.5 MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS Hasta ahora se han resuelto ecuaciones diferenciales no homogéneas de coeficiente constante usando el método de coeficientes indeterminados, sin embargo como se dijo antes este método solo es efectivo para algunas funciones contenidas en
g x . Debido a esto, es necesario conocer otro método que ayude a resolver ecuaciones que no tengan esa restricción. Afortunadamente el matemático Joseph Lagrange, descubrió un método muy ingenioso y poderoso para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas, sin importar el tipo de función que se encuentre del lado derecho de la igualdad en la ecuación diferencial. Es importante aclarar, que éste método es posible utilizarlo tanto en ecuaciones diferenciales con coeficiente constante como variable.
Cristian Castillo
100
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Al igual que en el método para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de coeficientes constantes, primero se realizará el estudio con las ecuaciones de segundo orden y luego se generalizará para ecuaciones diferenciales de orden n. 3.5.1 Ecuaciones de segundo orden. Dada ecuación diferencial no homogénea de segundo orden:
a2 x y a1 x y a0 x f x Al dividirla por a2 x , se obtiene su forma reducida o canónica:
y P x y Q x y g x La cual tiene como solución complementaria
yc C1 y1 C2 y2 Con y1 y y2 funciones linealmente independientes. Entonces el método de variación de parámetros indica que la solución particular
y p , tendrá la misma forma de la solución complementaria pero
sustituyendo las constantes arbitrarias por dos funciones, es decir,
y p u1 x y1 x u2 x y2 x
y p u1 y1 u2 y2
Por lo tanto para poder obtener la solución particular es necesario determinar las funciones u1 x y u2 x .
Cristian Castillo
101
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Antes de comenzar a trabajar se debe establecer una condición que luego será utilizada:
y1u1 y2u2 0 Ahora, comencemos primero derivando dos veces la solución particular,
yp u1 y1 u1 y1 u2 y2 u2 y2 yp u1y1 u1 y1 u1 y1 u1 y1 u2y2 u2 y2 u2 y2 u2 y2 Entonces sustituyendo en la ecuación diferencial en su forma reducida se tiene:
u1y1 u1 y1 u1 y1 u1 y1 u2y2 u2 y2 u2 y2 u2 y2 P x u1 y1 u1 y1 u2 y2 u2 y2 Q x u1 y1 u2 y2 g x
Agrupando términos se tiene: u1 y1 P x y1 Q x y1 u2 y2 P x y2 Q x y2 u1y1 u1 y1 u2y2 u2 y2 P x u1 y1 u2 y2 u2 y2 u1 y1 g x
Como y1 y y2 , son funciones que conforman la solución complementaria, significa que satisfacen la ecuación diferencial homogénea en su forma reducida, por lo tanto:
y1 P x y1 Q x y1 0
y
y2 P x y2 Q x y2 0
Cristian Castillo
102
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Entonces se tiene que:
u1y1 u1 y1 u2y2 u2 y2 P x u1 y1 u2 y2 u2 y2 u1 y1 g x
Pero,
u1y1 u1 y1
d u1 y1 dx
del mismo modo
u2 y2 u2 y2
d u2 y2 , dx
entonces: d d u1 y1 u2 y2 P x u1 y1 u2 y2 u2 y2 u1 y1 g x dx dx
Además por diferenciación
d d d u1 y1 u2 y2 u1 y1 u2 y2 , por lo dx dx dx
tanto: d u1 y1 u2 y2 P x u1 y1 u2 y2 u2 y2 u1y1 g x dx
Como ya se había establecido la condición y1u1 y2u2 0 , entonces queda:
u2 y2 u1 y1 g x Con lo cual se formará un sistema de dos ecuaciones con u1 x y u2 x como incógnitas
y1u1 y2u2 0 u2 y2 u1 y1 g x
Cristian Castillo
103
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Al resolver este sistema por la regla de Cramer, se obtiene lo siguiente: 0 u1 x
Como
y1 y1
g x y1 y1
y2 y2
y
y2 y2
u2 x
y1 y1 y1 y1
0 g x y2 y2
y2 , es el wronskiano de las soluciones y1 y y2 , y utilizando las y2
notaciones de la regla de Cramer, se puede escribir u1 x y u2 x como
u1 x
W1 W
y u2 x
W2 W
Con lo cual se puede definir las funciones incógnitas u1 y u2 , de la solución particular como:
W u1 x 1 dx W
y
W u2 x 2 dx W
Es importante recordar que como y1 y y2 son las funciones que conforman la solución complementaria, ellas son linealmente independientes, por lo tanto, su wronskiano siempre es diferente de cero. Por último la solución general viene dada por:
W W y x C1 y1 C2 y2 y1 1 dx y2 2 dx W W
Cristian Castillo
104
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
En resumen los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial no homogénea por el método de variación de parámetros son: Escribir la ecuación diferencial en su forma reducida Determinar la solución complementaria yc C1 y1 C2 y2
W Determinar las funciones u1 y u2 , de acuerdo a u1 x 1 dx y W W u2 x 2 dx W Sustituir u1 y u2 , en la solución particular y p u1 y1 u2 y2 Escribir la solución general de la ecuación diferencial, que viene dada por:
y x yc y p
Ejemplo 1. Resuelva y y tan x Como la ecuación ya está en su forma reducida, entonces procedemos a determinar la solución complementaria, de y y 0 , construyendo primero la ecuación auxiliar y determinando sus raíces:
m2 1 0
m1 0 i m2 0 i
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
yc C1 cos x C2 sin x
Cristian Castillo
105
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Por lo tanto como y1 cos x
y
y2 sen x , entonces la solución particular
es:
y p u1 cos x u2 sen x Ahora se determina los valores de W , W1 y W2 :
W
W1
cos x sen x sen x cos x
0 sen x tan x cos x
W2
cos x o sen x tan x
W cos 2 x sen 2 x
W1 tan x sen x
W2 cos x tan x
W 1
W1
sen 2 x cos x
W2 sen x
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incógnitas:
1 cos2 x sen 2 x u1 x dx u1 x dx u1 x ln sec x sen x cos x cos x u2 x sen xdx
u2 x cos x
Por lo tanto la solución particular viene dada por: y p ln sec x sen x cos x cos x sen x
y p cos x ln sec x
Entonces se puede concluir que la solución general a la ecuación dada es:
y x C1 cos x C2 sen x cos x ln sec x
Cristian Castillo
106
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo 2. Resuelva y 2 y 3 y e x 2 x Como la ecuación ya está en su forma reducida, entonces procedemos a determinar la solución complementaria, la cual viene dada por:
yc C1e3 x C2e x Por lo tanto como y1 e3 x y y2 e x , entonces la solución particular es:
y p u1e3 x u2e x Ahora se determina los valores de W , W1 y W2 :
W1
e x
e3 x
W
3e
e
3x
x
e x
0
e 2 e
W2
x
e3 x 3e
x
0 e 2
3x
x
W e3 x e x 3e3 x e x
W1 e x 2 e x
W2 e3 x e x 2
W 4e 2 x
W1 1 2e x
W2 e4 x 2e3 x
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incógnitas:
u1 x
1 2e dx x
4e
2x
1 1 1 1 u1 x e2 x e3 x dx u1 x e2 x e3 x 2 8 6 4
Cristian Castillo
107
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
u2 x
e
4x
2e3 x
4e
2x
1 1 1 1 dx u2 x e2 x e x dx u2 x e2 x e x 2 8 2 4
Por lo tanto la solución particular viene dada por:
1 1 1 1 y p e2 x e3 x e3 x e2 x e x e x 6 2 8 8
1 2 y p ex 4 3
Entonces se puede concluir que la solución general a la ecuación dada es: 1 2 y x C1e3 x C2e x e x 4 3
Nótese que cada vez que se resolvieron las integrales para hallar las funciones
u1 y u2 , se obvió la constante de integración, y esto se debido a que si se utilizará, al multiplicarla por las soluciones y1 y y2 se repetiría la solución complementaria. 3.5.2 Ecuaciones de orden superior. Este método de variación de parámetros es posible generalizarlo para ecuaciones diferenciales no homogéneas de orden n. Para ello primero se debe escribir la ecuación en su forma reducida:
y Pn1 x y n1 n
P1 x y P0 x y g x
La cual tiene una solución complementaria de la forma:
yc C1 y1 C2 y2 C3 y3
Cristian Castillo
Cn yn
108
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Entonces su solución particular es:
y p u1 y1 u2 y2 u3 y3
un yn
Que al sustituir en la ecuación diferencial, generaría el siguiente sistema de ecuaciones: y1u1 y2u2 y3u3 ynun 0 yu y u yu y u 0 2 2 3 3 n n 1 1 y n 1u y n 1u y n 1u y n 1u g x 1 2 2 3 3 n n 1
Con lo cual, luego de emplear la regla de Cramer e integrar se tiene: u1
W W1 W dx, u2 2 dx, u3 3 dx, W W W
un
Wn dx W
Ejemplo 3. Resuelva y 2 y y 2 y e x Como la ecuación ya está en su forma reducida, entonces procedemos a determinar la solución complementaria, la cual viene dada por:
yc C1e2 x C2e x C3e x Por lo tanto como y1 e3 x ,
y2 e x
y
y3 e x , entonces la solución
particular es:
y p u1e3 x u2e x u3e x
Cristian Castillo
109
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ahora se determina los valores de W , W1 , W2 y W3 : e3 x W 3e3 x 9e3 x
e x e x e x
ex ex ex
W 2e2 x 2e2 x 6e2 x
W 6e 2 x
W1 e x e x e x e x e x
W1 2e x
0 W1 0 ex
e x e x e x
e3 x W2 3e3 x 9e3 x
0 0 ex
ex ex ex
W2 e x e3 x e x 3e3 x e x
e x e x e x
0 0 ex
W3 e x e3 x e x 3e3 x e x
e3 x W3 3e3 x 9e3 x
ex ex ex
W2 2e5 x
W3 4e3 x
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incógnitas:
2e x 1 1 u1 x 2 x dx u1 x e x dx u1 x e x 6e 3 3 u2 x
2e5 x 1 1 dx u2 x e3 x dx u2 x e3 x 2x 6e 3 9
u3 x
4e3 x 2 2 dx u3 x e x dx u3 x e x 2x 6e 3 3
Cristian Castillo
110
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Por lo tanto la solución particular viene dada por:
1 1 2 y p e x e3 x e3 x e x e x e x 3 9 3
yp
10 2 x e 9
Entonces se puede concluir que la solución general a la ecuación dada es: y x C1e3 x C2e x C3e x
10 2 x e 9
Problemas propuestos. 1. y y x 2 sen x 2 x 1 cos x Rta. y x C1 cos x C2 sen x ln x sen x 2. y 5 y 6 y e2 x sec2 x 1 2 tan x Rta. y x C1e3 x C2e2 x e2 x tan x
3. y 2 y y e x ln x
x2 x 3 Rta. y x C1e C2 xe e ln x x 2e x 2 4 x
4.
x
y 16 y csc 4 x
1 1 Rta. y x C1 cos 4 x C2 sen 4 x x cos 4 x sen 4 x ln sen 4 x 4 16
5. y y sec x Rta. y x C1 cos x C2 sen x x sen x cos x ln cos x
Cristian Castillo
111
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
6. y 2 y 5 y e x sec 2 x
1 1 Rta. y x e x C1 cos 2 x C2 sen 2 x x sen x cos 2 x ln cos 2 x 2 4 7. y y e x sen e x cos e x
Rta. y x C1e x C2e x e x sen e x
8. y y sec3 x 1 Rta. y x C1 cos x C2 sen x sec x 2
9. y y sen x 1 Rta. y x C1 C2e x C3e x cos x 2
10. y 2 y 8 y 2e2 x e x con y 0 1,
y 0 0
4 25 1 1 Rta. y x e4 x e2 x e2 x e x 9 36 4 9
3.6 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER. Hasta ahora hemos visto técnicas para resolver, con relativa facilidad, ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Ahora cuando en una ecuación diferencial sus coeficientes son variables es realmente complicado obtener una solución y para ello se utilizan las series de potencia. Sin embargo existe una ecuación diferencial de coeficientes variables que es posible aplicarle las técnicas que hemos visto hasta ahora, y se llama ecuación diferencial de Cauchy-Euler.
Cristian Castillo
112
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación de Cauchy-Euler, es toda ecuación diferencial que tenga la forma:
an x n
Donde an , an1 ,
n 1 dny y n 1 d a x n 1 n n 1 dx dx
a2 x 2
d2y dy a1 x a0 y f x 2 dx dx
, a2 , a1 , a0 son coeficientes constantes.
Así como las ecuaciones diferenciales de coeficiente constante tenían como solución general a y emx , las ecuaciones de Cauchy-Euler tienen como solución general a y x m . Para aprender a resolver ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler, primero realizaremos el estudio cuando las ecuaciones son homogéneas. 3.6.1 Ecuaciones homogéneas Para aprender a resolver ecuaciones de Cauchy-Euler homogéneas primero empecemos analizando las de segundo orden para luego generalizar a cualquier orden. Una ecuación de Cauchy-Euler homogénea de segundo orden tiene la forma:
ax2 y bxy cy 0 Como la solución general de esta ecuación tiene la forma y x m , entonces al derivar dos veces dicha solución y sustituirla en la ecuación, se tiene: am m 1 xm2 bmxm1 cxm 0
Cristian Castillo
xm am2 b a m c 0
113
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Con lo cual se obtiene la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial.
am2 b a m c 0 Ahora bien como se observa, que esta es una ecuación cuadrática, de la cual, como ya se sabe, se puede obtener tres casos, de acuerdo al tipo de raíces que tenga la ecuación, los cuales se analizarán a continuación: CASO I. Raíces reales diferentes. Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales diferentes, es decir,
m1 m2 con lo cual se obtienen las soluciones y1 x m1 y
y2 x m2 . Como estas
soluciones son linealmente independientes, se puede concluir que la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1 x m1 C2 x m2
Ejemplo 1. Resuelva x2 y 3xy 8 y 0 . Como se sabe este tipo de ecuación tiene como solución general y x m , la cual al derivar y sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
x2 m m 1 x m2 3xmx m1 8x m 0
Cristian Castillo
x m m2 2m 8 0
114
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Entonces la ecuación auxiliar es
m2 2m 8 0 y sus raíces
m1 2 y
m2 4 , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1 x 2 C2 x 4 CASO II. Raíces reales iguales. Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales iguales, es decir,
m1 m2 con lo se obtendrá una sola solución y1 x m1 , donde m1
b a . 2a
Sin
embargo una ecuación diferencial de segundo orden debe tener dos soluciones, por lo tanto utilizando el método de reducción de orden, se puede determinar y2 x , a partir de la ya conocida y1 x , esto es: P x dx e dx y2 x x m1 2 m1
Como la ecuación en su forma canónica se obtiene entonces P x
y
b c y 2 y 0 , ax ax
b b ln x b a , y además como e a eln x x a se tiene: ax
axb dx e y2 x m1 dx m1 2 x
b
ba ln x e y2 x 2 m1 dx x m1
Cristian Castillo
ba x y2 x 2 m1 dx x m1
115
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Luego como m1
b
y2 x m1 x a x 2 m1 dx
b a 2a
entonces 2m1
b
y2 x m1 x a x
b a a
b a , por lo tanto:
dx
a
y2 x m1 x
b b a a
dx
Por consiguiente: y2 x m1 x 1dx
1 y2 x m1 dx x
y2 x m1 ln x
Por lo tanto la solución general viene dada por:
y x C1 xm1 C2 x m1 ln x Ejemplo 2. Resuelva. x2 y 3xy 4 y 0 . Como la solución general y x m , la cual al derivar y sustituir en la ecuación se tiene:
x2 m m 1 x m2 3xmx m1 4 x m 0
Entonces la ecuación auxiliar es
x m m2 4m 4 0
m2 4m 4 0 y sus raíces
m1 2 y
m2 2 , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación diferencial es:
y x C1 x 2 C2 x 2 ln x
Cristian Castillo
116
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
CASO III. Raíces complejas conjugadas. Ocurre cuando la ecuación auxiliar, tiene dos raíces complejas, es decir,
m1 i y m2 i , donde y son números reales con 0 y además que i 2 1 . Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es: y x k1 x
i
k2 x
i
Sin embargo, por lo general es preferible trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas. Por lo tanto:
y x k1 x xi k2 x x i
y x x k1xi k2 x i
Luego como x eln x , entonces se tiene: y x x k1ei ln x k2ei ln x
Ahora utilizando la formula de Euler, la cual viene dada por: ei cos i sen
Se tiene: ei ln x cos ln x i sen ln x y ei ln x cos ln x i sen ln x
Entonces:
y x x k1 cos ln x i sen ln x k2 cos ln x i sen ln x
Cristian Castillo
117
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Con lo cual:
y x x k1 k2 cos ln x k1 k2 sen ln x Luego asumiendo que C1 k1 k2 y C2 k1 k2 , concluimos que la solución general es: y x x C1 cos ln x C2 sen ln x
Ejemplo 3. Resuelva x2 y xy 9 y 0 Como la solución general y x m , la cual al derivar y sustituir en la ecuación se tiene: x2 m m 1 x m2 xmx m1 9 x m 0
x m m2 9 0
Entonces la ecuación auxiliar es m2 9 0 , y sus raíces: m1 0 3i y
m2 0 3i , por lo tanto se tiene que 0 y 3 , por consiguiente se puede concluir que la solución general de la ecuación diferencial es: y x C1 cos 3ln x C2 sen 3ln x
Ahora bien de manera más general, una ecuación diferencial de Cauchy-Euler homogénea de orden superior tiene la forma:
an xn y n an1 xn1 y n1
a2 x 2 y a1 xy a0 y 0
Cristian Castillo
118
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Para esta ecuación se presentará tres casos que ayudarán en su resolución: Caso I. Múltiples raíces diferentes. Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir,
m1 m2
mn1 mn , entonces la solución general tiene la forma: y x C1 x m1 C2 x m2
Cn1 x mn1 Cn x mn
Caso II. Múltiples raíces iguales. Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales, es decir m1 m2
mn1 mn , entonces la solución general tiene la forma:
y x C1 x m1 C2 x m1 ln x C3 x m1 ln x 2
Cn x m1 ln x
n 1
Caso III. Múltiples raíces complejas conjugadas iguales. Si todas las raíces de la ecuación diferencial son conjugadas complejas iguales, es decir, si m1 i es una raíz compleja de multiplicidad k, y su raíz conjugada m2 i también es una raíz de multiplicidad k, entonces con base en las 2k soluciones complejas, se tiene como solución general:
y x x C1 cos ln x C2 sen ln x ln x C3 cos ln x C4 sen ln x ln x
n 1
C2 n1 cos ln x C2 n sen ln x
Cristian Castillo
119
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo 4. Resuelva x3 y 5x2 y 7 xy 8 y 0 Como la solución general y x m , la cual al derivar y sustituir en la ecuación se tiene: x3m m 1 m 2 x m3 5x 2 m m 1 x m2 7 xmx m1 8x m 0 x m m3 2m2 4m 8 0
Entonces se tiene como ecuación auxiliar a
m3 2m2 4m 8 0 , y sus
raíces: m1 2 , m2 0 2i y m3 0 2i , por consiguiente se puede concluir que la solución general de la ecuación diferencial es: y x C1 x 2 C2 cos 2ln x C3 sen 2ln x
3.6.2 Ecuaciones no homogéneas. Debido a que el método de coeficientes indeterminados solo se aplica a las ecuaciones diferenciales de coeficiente constante, no es posible emplearlo en las ecuaciones de Cauchy-Euler, por lo tanto el método que se utilizará para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas será el de variación de parámetros. Ejemplo 5. Resuelva x2 y 3xy 3 y x 4
Sabiendo que la solución general es
y x m , entonces derivando y
sustituyendo en la ecuación diferencial luego de transformarla en homogénea, se tiene:
Cristian Castillo
120
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
x2 m m 1 x m2 3xmx m1 3x m 0
x m m2 2m 3 0
Por lo tanto la ecuación auxiliar y sus raíces de la ecuación diferencial son:
m 2 2m 3 0
m 3 m 1 0
m1 3 m2 1
Entonces la solución complementaria de la ecuación diferencial es:
yc C1 x 3 C2 x Ahora se determina la solución particular por medio del método de variación de parámetros. Sin embargo, es importante antes de empezar a utilizar este método, verificar que la ecuación diferencial esté escrita en su forma reducida, con lo cual en este caso, primero se debe dividir la ecuación diferencial por x 2
x y 3xy 3 y x x 2
2
4
y
Luego, como las funciones y1 x 3
y
3 3 y 2 y x 2 x x
y2 x conforman a la solución
complementaria, entonces se tiene que la solución particular viene dada por:
y p u1 x 3 u2 x Ahora se determina los valores de W , W1 y W2 :
W
x 3 3x
4
x 1
W x 3 3x 4 x
Cristian Castillo
W 4 x 3
121
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
W1
W2
0 x2
x 3 3x
x 1
0
4
x
2
W1 0 x 2 x
W2 x 3 x 2 0
W1 x3
W2 x 1
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incógnitas:
u1 x
x3 1 1 dx u1 x x 6 dx u1 x x 7 3 4x 4 28
u2 x
x 1 1 1 dx u2 x x 2 dx u2 x x3 3 4x 4 12
Por lo tanto la solución particular es:
yp
1 7 3 1 3 x x xx 28 12
yp
1 4 x 84
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y x C1 x 3 C2 x
1 4 x 84
Ejercicios propuestos. 1. x2 y xy 2 y x ln x Rta. y x C1 x cos ln x C2 x sen ln x x ln x
Cristian Castillo
122
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
2. x2 y xy y x ln3 x Rta. y x C1 x C2 x ln x
1 x ln 5 x 20
3. x2 y 4 xy 6 y ln x 2 Rta. y x C1 C2 ln x C3 ln 3 x
1 3 x 27
x3 1 x 2 Rta. y x C1 x C2 x x 2 ln 1 x x ln 1 x
4. x 2 y 2 xy 2 y
5. x 2 y 9 xy 10 y
5 x3
1 Rta. y x C1 x 2 C2 x 10 x 3 7
6. x3 y 3x 2 y 5 y x3 Rta. y x C1 C2 ln x C3 ln 2 x
7. x3 y 3x 2 y 4 xy sen Rta. y x C1 C2 cos
3 ln x
1 3 x 27
3 ln x C3 sen
8. x2 y 3xy 0 con y 1 0,
1 3 ln x ln x sen 6
3 ln x
y 1 4
Rta. y x 2 2 x 1
Cristian Castillo
123
CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Este capítulo está destinado a la presentación de diferentes problemas de aplicaciones que puedan expresarse a través de modelos matemáticos en los que estén involucradas ecuaciones diferenciales. Estos modelos podrán ser resueltos con las técnicas vistas en los capítulos anteriores.
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
4.1 TRAYECTORIAS ORTOGONALES. Dada dos familias uniparamétricas de curvas, f x, y, C1 0
g x, y, C2 0
y
Se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia. Con lo cual si f y g son ortogonales, entonces deben cumplir con la condición de perpendicularidad entre dos curvas, la cual viene dada por:
f x, y
1 g x, y
En la figura 4.1 se observa como en ese caso la familia de curvas de la elipse son ortogonales a la familia de curvas de la hipérbola.
Figura 4.1
Cristian Castillo
125
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Los pasos necesarios para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétrica f x, y, C1 0 , son:
Se deriva la función f x, y, C1 0
Si la derivada de f también está en función de C1, despejar de f x, y, C1 0 la constante C1, y sustituirla en f .
Construir la ecuación g x, y
1 , con la f encontrada en f x, y
el paso anterior.
Por último, al integrar la ecuación obtenida se determinará la función g x, y, C2 0 , cuyas curvas son ortogonales a las curvas de f x, y, C1 0 .
Ejemplo1. Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas y Cx 2 Primero de la ecuación dada se obtiene:
C
y x2
con x 0
Luego se deriva la ecuación dada:
y 2Cx
y y 2 2 x x
Cristian Castillo
y 2
y x
126
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces según la condición de perpendicularidad, se tiene:
y1
1 y
y1
x 2y
Por consiguiente, resolviendo por variables separables
dy x dx 2y
2 ydy xdx
y2
x2 k 2
Por lo tanto la familia de curvas ortogonales a y Cx 2 es: 2y 2 x 2 C1
Ejercicios propuestos. 1. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia y 2 Cx3 . Rta. 2 x 2 3 y 2 C1
2.
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas equiláteras xy C Rta. x 2 y 2 C1
3. Determinar las trayectorias ortogonales de x 2 y 2 Cx Rta. x 2 y 2 C1 y
Cristian Castillo
127
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
4.2 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL Quizás uno de los problemas sobre los cuales se han realizados mas estudios son aquellos que involucran la predicción del crecimiento o decrecimiento de una población. Este tipo de problema se consigue comúnmente en las ciencias de la salud, con el estudio de crecimiento de bacterias, células, plantas, entre otros, pero también los demógrafos al estudiar la cantidad de población en una zona determinada. Es obvio que se trata de una predicción, y que para ello se pueden utilizar diferentes modelos, sin embargo en este apartado se desarrollará el crecimiento exponencial, por ser el más sencillo y versátil. Todo problema de crecimiento y decrecimiento exponencial, tiene como ecuación diferencial
dx kx, dt
x t0 x0
Donde x es la población por unidad de tiempo, t representa el tiempo y k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que intervienen crecimiento, decaimiento o desintegración y por último x0 es la población existente en cierto instante inicial t0 . Entonces como:
dx kx dt
Cristian Castillo
128
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Resolviendo mediante el método de variables separables, se tiene:
dx k dt x
ln x kt C1
x ekt C1
x Cekt
Ahora como se tiene unas condiciones iniciales tal que x t0 x0 , entonces:
x0 Cekt0
C
x0 ekt0
x
x0 kt e ekt0
Suponiendo, como en casi todos los problemas, que t0 0 , entonces se tiene la solución general: x x0ekt
Cabe destacar que si k 0 , el problema es de crecimiento, del mismo modo si
k 0 , el problema será de decrecimiento, tal como lo muestra la figura 4.2 y
k 0 y ekt
k 0 x
Figura 4.2
Cristian Castillo
129
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejemplo 1. Crecimiento poblacional. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? La ecuación diferencial a utilizar es:
dx k dt x Cuya solución general ya sabemos que es: x x0ekt
De acuerdo al problema, se tiene como condiciones iniciales x 5 2 x0 Por consiguiente se tiene:
2 x0 x0e
k 5
1 k ln 2 5
Con lo cual obtenemos la solución:
x t x0e
1 ln 2 t 5
Ahora se determina en cuanto tiempo se triplicará la población, es decir x t 3x0
Cristian Castillo
130
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces:
3x0 x0e
1 ln 2 t 5
3e
1 ln 2 t 5
t
5ln 3 ln 2
t 7,92
Y para determinar en cuanto tiempo se cuadruplicará la población, es decir x t 4 x0 , se tiene: 1 ln 2 t
4 x0 x0e 5
1 ln 2 t
4 e 5
t
5ln 4 ln 2
t 10
Por consiguiente se concluye que se necesitan 7,92 años para triplicar la población y 10 años para cuadruplicarla.
Ejemplo 2. Crecimiento bacteriano. La población de una comunidad de bacterias crece a razón proporcional a su población en cualquier momento t. Al cabo de 3 horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? Como este problema es de crecimiento, ya se sabe que su solución viene dada por: x t x0ekt
Cristian Castillo
131
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
En este caso las condiciones iniciales son x 3 400 y x 10 2000 , con lo cual: 10 k 2000 x0e 3k 400 x0e
Del sistema anterior se obtiene k 0,22992 y x0 200 Por lo tanto se concluye que la población inicial de bacterias era de 200.
Ejemplo 3. Antigüedad de un fósil. Luego de analizar un hueso fosilizado, se verificó que poseía la centésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil sabiendo que el período medio (tiempo en
desintegrarse la mitad del compuesto) del C-14 es
aproximadamente 5600 años. Como se sabe la ecuación a utilizar para este tipo de problema es: x t x0ekt
De acuerdo a lo planteado en el problema x 5600
x0 x0e5600 k 2
1 5600 k e 2
Cristian Castillo
x0 , por lo tanto se tiene: 2
k 0,00012378
132
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Por consiguiente se obtiene la solución general: x t x0e0,00012378t
Ahora como actualmente se tiene una centésima parte de la cantidad inicial de C-14, entonces x t
x0 , por lo tanto: 100
x0 x0e0,00012378t 100
1 e0,00012378t 100
t 37204,48
Con lo cual se concluye que el fósil tenía una edad aproximada de 37.204.
Ejercicios propuestos. 1. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 días el número N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el número 200N es considerado como el límite saludable. A cuantos días, después de elaborado, vence el alimento. Rta. 46.02 días
2. Se ha determinado que el 0,5 por ciento del radio desaparece en 12 años. Determine: ¿Qué porcentaje desaparecerá en 1000 años? y ¿Cuál es la vida media del radio? Rta. 43,2%; 1.660 años
Cristian Castillo
133
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
4.3 LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO. Según la ley de Newton, en un cuerpo que esta enfriándose, la tasa de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo (T) y la temperatura del medio ambiente que lo rodea Tm , esto se traduce en:
dT k T Tm con T 0 T0 dt Donde k es la constante de proporcionalidad, y T0 es la temperatura inicial del cuerpo. Este tipo de ecuación diferencial puede ser resuelta por la técnica de variables separables, con lo cual se tiene: dT kdt T Tm
ln T Tm kt C
Como el problema es de enfriamiento siempre se cumple que T Tm entonces T Tm T Tm
Por consiguiente se tiene que: T Tm ekt C
T Tm Cekt
Cabe destacar que si el cuerpo se enfría entonces siempre k 0 , pero caso contrario si el cuerpo se calienta entonces k 0 .
Cristian Castillo
134
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejemplo 1. Una cabilla de acero es sacada de un horno a una temperatura de 1000°C, y es llevaba a un espacio cuya temperatura ambiente es de 30°C. Si luego de 1 horas la temperatura de la cabilla es de 60°C. Determine, ¿Qué temperatura tendrá la cabilla luego de 30 minutos de haber salido del horno? y ¿en cuánto tiempo la temperatura de la cabilla será de 40°C? De acuerdo a los datos del problema se tiene que la temperatura del medio ambiente es de 30°C, con lo cual de acuerdo a la solución de todo problema de enfriamiento se tiene: T t Tm Cekt
T t 30 Cekt
Además de acuerdo a las condiciones iniciales del problema T 0 1000 °C, se tiene:
T t 30 Cekt
1000 30 Ce
k 0
C 970
Por lo tanto se obtiene: T t 30 970ekt
Ahora como luego de 1 hora la temperatura que experimenta la cabilla es de 60°C, entonces T 1 60 °C, se tiene: 60 30 970e
1k
Cristian Castillo
k 3,4761
135
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces la solución general del problema es: T t 30 970e3,4761t
Para determinar la temperatura de la cabilla luego de 30 minutos (0,5 horas) de haber salido del horno, se tiene:
T 0,5 30 970e
3,4761 0,5
T 0,5 133, 46 °C
Por último, el tiempo transcurrido para que la cabilla esté a 40°C, es: 40 30 970e3,4761t
t 1,316 h.
Ejercicios propuestos. 1. Un cuerpo se calienta a 1100°C y se expone al aire libre a una temperatura de 100°C. Si al cabo de una hora su temperatura es de 600°C. ¿Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfríe a 300 C? Rta. t
ln 5 ln 2
2. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura constante de 1°F. Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 40°F y 40 minutos mas tarde la temperatura del cuerpo es de 20°F. Determinar la temperatura inicial de este. Rta. 81°F
Cristian Castillo
136
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
4.4 MEZCLAS. Una mezcla o solución es la unión de un soluto (gaseoso, líquido o sólido) con un solvente (líquido o gaseoso). Se tienen dos tipos de mezclas:
Gaseosas, cuando se disuelve un gas en otro gas
Líquidas, cuando se disuelve un sólido o líquido en un líquido o gas.
No importando el tipo de mezcla que se presente, todo problema de mezclado viene dado por la ecuación diferencial:
dA Re Rs dt Donde A(t) es la cantidad de soluto presente en la mezcla en un tiempo determinado, Re la tasa de entrada de la mezcla y Rs la tasa de salida de la mezcla.
Entrada
Mezcla
Salida
Figura 4.3
Cristian Castillo
137
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejemplo1. Un tanque está lleno con 20 gal. de salmuera (solución de sal en agua), en la cual están disueltas 10 lb. de sal. Entra al tanque a 2 gal/min salmuera con una concentración de 4 lb. de sal por gal. Sale del tanque una mezcla a la misma tasa que la que entra. Determinar, ¿Cuánta sal está presente en el tanque luego de 12 min? y ¿Cuánta sal está presente en el tanque luego de un tiempo largo? De acuerdo a la ecuación diferencial que modela las mezclas, primero es necesario determinar tanto las tasas de entrada como de salida. Entonces para la entrada se tiene:
gal lb Re 2 4 min gal
Re 8
Re
lb min
Ahora para la tasa de salida se tiene:
gal Alb Rs 2 min 20 gal
A lb 10 min
Entonces se tiene que:
dA A 8 dt 10 Entonces usando el método de variables separables, se obtiene:
dA dt 80 A 10
t ln 80 A C 10
Cristian Castillo
80 A e
t C 10
138
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Por consiguiente:
A t 80 Ce
t 10
Pero como según las condiciones iniciales se tiene que para t 0 están contenidas en el tanque 10 lb de sal, es decir A 0 10 , entonces: 0
10 80 Ce10
C 70
Con lo cual se obtiene la solución general del problema:
A t 80 70e
t 10
Se determinar la cantidad de sal presente en el tanque a los 12 min, se tiene:
A 12 80 70e
12 10
A 12 58,92 lb
Por último para determinar l cantidad presente en el tanque luego de mucho tiempo, se tiene: t 10 lim A t lim 80 70e t t
lim A t 80 t
Ejercicios propuestos. 1. Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera la cual contiene 2 libras de sal/galón de salmuera entran al tanque cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la
Cristian Castillo
139
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
concentración es de 1,8 libras de sal/galón de salmuera al cabo de 1 hora. Calcular las libras de sal que habían inicialmente en el tanque. Rta. 118,08 libras
2. Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 12 libra de sal/galón de salmuera fluye al interior del tanque a una rapidez de 2 gal/min. y la mezcla bien homogenizada sale del tanque con la misma velocidad. Después de 10 minutos el proceso se detiene y se introduce al tanque agua pura con una rapidez de 2 gal/min, abandonando el tanque a la misma velocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado un total de 20 minutos. Rta. 7,34 libras
4.5 CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE. Un circuito en serie es un conjunto de elementos activos y pasivos por los cuales circula la misma intensidad de corriente i t . En este apartado estudiaremos los circuitos RL y RC, para los cuales se crearán modelos matemáticos mediante el uso de la segunda ley de Kirchhoff. 4.5.1 Circuito RL. Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado E t , un resistor o resistencia R y un inductor L, tal como lo muestra la figura 4.4.
Cristian Castillo
140
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff y sabiendo que VR iR y VL L
di , dt
se tiene:
E t VL VR
E t L
di iR dt
Figura 4.4 Con lo cual luego de dividir por L, se obtiene:
E t di R i dt L L Que es una ecuación diferencial lineal, la cual se debe resolver como tal, sin embargo si el voltaje aplicado E t es constante es posible resolver la ecuación utilizando la técnica de variables separables. Ejemplo 1. Un generador con una fuerza electromagnética de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 4 henrios. Determine una ecuación la corriente que circula por el circuito a los 2 s . Suponga que el circuito inicialmente se encuentra abierto.
Cristian Castillo
141
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
De acuerdo a los datos del problema y a la ecuación diferencial que modela un circuito en serie RL, se tiene:
E t di R i dt L L
di 10 100 i dt 4 4
di 5 i 25 dt 2
Entonces resolviendo la ecuación obtenida como una lineal de primer orden, se determina primero el factor integrante, el cual viene dado por: 5
dt t e 2
t e
5 t 2
Por consiguiente: 5 5 t di 5 2 t 2 i e 25 e dt 2
5 t d 52 t 2 e i 25 e dt
En conclusión se obtiene que la intensidad de corriente viene dada por:
i t 10 Ce
5 t 2
Como el circuito inicialmente está abierto, entonces para un instante t 0 , no circula corriente por el circuito, es decir i 0 0 , por lo tanto:
i t 10 Ce
5 t 2
0 10 Ce
Cristian Castillo
5 0 2
C 10
142
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Por lo tanto se tiene la ecuación de la corriente en función del tiempo para este circuito:
i t 10 10e
5 t 2
Entonces la corriente que circula por el circuito a los 2 microsegundos es:
i 2 10
6
10 10e
5 2106 2
i 2 106 5 105 A
4.5.2 Circuitos RC. Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado E t , un resistor o resistencia R y un capacitor C, tal como lo muestra la figura 4.5.
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff y sabiendo que VR iR y Vc
q , C
donde q es la carga del capacitor, entonces se obtiene que:
E t VC VR
Ahora como i
E t
q iR C
dq , y además dividiendo toda la ecuación por R se obtiene: dt E t dq 1 q dt RC R
Cristian Castillo
143
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Que es una ecuación diferencial lineal, la cual se debe resolver como tal, sin embargo al igual que el circuito RL en serie, si el voltaje aplicado E t es constante es posible resolver la ecuación utilizando la técnica de variables separables.
Figura 4.5 Ejemplo 2. Una fuerza electromotriz E t 200e5t , se conecta con una resistencia de 20 ohmios y un capacitor de 0,01 faradios. Asumiendo que el capacitor inicialmente se encuentra descargado. Determine la carga y la corriente en cualquier tiempo. Calcule la carga máxima y determine cuando se obtiene. De acuerdo al problema se tiene: E t dq 1 q dt RC R
dq 1 200e5t q dt 20 0, 01 20
dq 5q 10e5t dt
La cual se resuelve como una ecuación lineal de primer orden, por lo tanto primero se obtiene el factor integrante:
t e
5 dt
t e5 t
Cristian Castillo
144
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Por consiguiente: dq 5t 5t 5t 5q e 10e e dt
d qe5t 10 dt
q t 10t C e5t
Ahora como inicialmente el capacitor esta descargado q 0 0 , entonces se tiene:
0 10 0 C e
5 0
C 0
Entonces se concluye que la carga para cualquier instante de tiempo es: q t 10te5t
Luego como i
dq , entonces la corriente para cualquier instante de tiempo dt
es:
i t
d 10te5t dt
i t 10e5t 50te5t
Por último para determinar la carga máxima y el instante en que ocurre, es necesario derivar la carga e igualar a cero, por lo tanto:
dq 0 dt
10e5t 50te5t 0
10 50t e5t 0
t 0, 2
s
Cristian Castillo
145
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Por consiguiente:
q 0, 2 10 0, 2 e
5 0,2
q 0, 2 0,736 culombios
Ejercicios propuestos. 1. Un generador con una fuerza electromotriz de E t 10sen 7t se conecta en serie con una resistencia de 6 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si para t 0 no circula corriente por el circuito. Determine la corriente para cualquier instante de tiempo. Rta. i t
5 35 3sen 7t 7 cos 7t e3t 58 58
2. Una resistencia R varía con respecto al tiempo de acuerdo a R 1 0,01t . Se conecta en serie con un capacitor de 0,1 faradios y un generador con una fuerza electromotriz de 100 voltios. Si la carga inicial en el condensador es de 5 culombios. Determine la carga y la corriente en función del tiempo y además la carga máxima del condensador. Rta. q t 10 5 1 0, 01t
1000
; i t 50 1 0,01t
1001
; 10 culombios.
4.6 ABSORCIÓN DE DROGAS EN ÓRGANOS O CÉLULAS En muchos estudios en la salud, en ocasiones es conveniente considerar un organismo, como lo es un humano, un animal o planta, como una colección de
Cristian Castillo
146
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
componentes individuales llamados Comportamientos. Dicho comportamiento puede estar representado por un órgano, tal como lo es el estómago, el riñón, el pulmón, entre otros; o un grupo de células las cuales actúan como una unidad. Una problema importante consiste en la absorción de químicos (como por ejemplo la droga), por un órgano o por células. Esto tiene aplicación en el campo de la medicina, ya que puede ocurrir que ciertas drogas fatales se acumulen en un órgano o un grupo de célula, y por consiguiente lleva a la destrucción parcial o total de los mismos. El caso más simple de situación o problema trata solamente con un comportamiento. Pero cabe destacar que se puede estar en presencia de un sistema que involucre dos o más comportamientos, por lo tanto, esto implica que la dificultad de un ejercicio viene dado por el número de comportamientos. Supongamos que un líquido transporta una droga dentro de un órgano de volumen V cm 3 a una tasa de a cm 3 /seg, y sale a una tasa de b cm 3 /seg, tal como lo muestra la figura 4.6. La concentración de la droga en el líquido es c g/cm. Entonces si x, representa la concentración de la droga en el órgano (esto es el número de gramos de la droga por cm), la cantidad de droga en el órgano en cualquier tiempo t está dado por xV . Además el número de gramos por segundo que entran al órgano en un tiempo t, está dado por ac , y el número de gramos por segundo que salen del órgano viene dado por bx .
Cristian Castillo
147
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
a cm3/s
Volumen V
b cm3/s
Figura 4.6 Ahora , la tasa de cambio de la cantidad de droga en el órgano es igual a la tasa a la cual entra la droga menos la tasa a la cual sale, así que podemos decir que:
d xV ac bx dt La forma como se resolverá la ecuación diferencial dependerá de cuáles de los elementos que intervienen en la ecuación son constantes y cuales variables. Asumiendo que a, b, c y V son constantes, entonces resolvemos utilizando la técnica de variables separables con la condición inicial es x 0 x0 :
V
dx ac bx dt
x
ac ac bt x0 e V b b
De acuerdo a los datos se nos pueden presentar dos casos: Caso I: cuando a sea igual a b, tendríamos que la tasa de entrada es igual a la tasa de salida, por lo tanto nuestra solución se convierte en.
x c x0 c e
b t V
Cristian Castillo
148
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Caso II: cuando a sea igual a b, y x0 igual a cero (0), nuestro solución es: b t V x c 1 e
Ejemplo 1. Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de 500 cm3 de volumen, a una tasa de 10 cm3/seg y sale a la misma tasa. La concentración de la droga en el líquido es de 0,08g/cm3. Asumiendo que inicialmente la droga no está en el órgano encuentre: a) La concentración de la droga en el órgano después de 30 segundos. b) ¿Cuánto tiempo demoraría para que la concentración de la droga en el órgano alcance 0,04 g/cm3 a los 30 segundos? c) La concentración de la droga en el organismo a los 30 segundos, si la concentración inicial es de 0,20 g/cm3. De acuerdo a los datos del problema y como ya es conocida la solución de la ecuación diferencial que modela este tipo de problema, entonces: ac ac bt x x0 e V b b
10 t 10 0, 08 10 0, 08 500 x 0 e 10 10
Por consiguiente: x t 0,08 0,08e 0,02t
Cristian Castillo
149
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces la concentración de la droga luego de 30 segundos es:
x 30 0,08 0,08e
0,02 30
x 30 0,0361
Ahora para determinar el tiempo que demoraría para que la concentración de la droga en el órgano alcance 0,04g/cm3 se tendría que:
0, 04 0, 08 0, 08e 0,02t
0, 08 0, 04 e0,02t 0, 08
t 34, 65 s.
Por último para calcular la concentración de la droga en el organismo a los 30 segundos, si el órgano presenta una concentración inicial de 0,2 gr/cm3, se tiene:
x 30 0, 08 0, 20 0, 08 e
10 30 500
x 30 0,146
Ejercicio propuesto. 1. Suponga que un líquido
de una droga entra a un órgano con una
concentración constante c, de tal manera que la tasa de entrada a es mayor que la tasa de entrada b, lo que implica que el volumen del órgano se expande a una tasa constante m de modo que V V0 mt . Si la concentración inicial de la droga en el organismo es x0 , Determine la concentración en cualquier tiempo. ac ac V0 Rta. x t x0 bm b m V0 mt
b mm
Cristian Castillo
150
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
2. Suponga que se tiene el mismo anterior pero que el volumen varía de acuerdo a V V0 m sen t , con V0 , m y constantes. Determine la concentración de la droga está dada por el problema de valor inicial Rta.
dx b m cos t ba x dt V0 m sen t V0 m sen t
con
x 0 0
4.7 CRECIMIENTO LOGÍSTICO. El modelo logístico está comprobado que es más preciso para el estimar el crecimiento de algunos tipos de población en especifico. Por ejemplo las curvas logísticas predicen con bastante exactitud el crecimiento de
ciertas bacterias,
protozoarios, pulgas de agua y moscas de la fruta en un espacio predeterminado. Sin embargo este tipo de modelo no es muy confiable cuando la población es muy grande. El modelo logístico viene dado por supones que la tasa per cápita de 1 dP crecimiento es igual a la tasa promedio de nacimiento, la cual se supondrá P dt
que es constante, menos la tasa promedio de defunción, que es proporcional a la población. Con lo cual se tiene:
1 dP a bP P dt Donde a y b son constantes.
Cristian Castillo
151
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Este tipo de ecuación diferencial puede ser resuelta por la técnica de variables separables, por lo tanto:
dP P a bP dt
dP dt P a bP
dP
P a bP dt
El lado izquierdo de la ecuación debe ser resuelto por fracciones parciales con lo cual se obtiene luego de integrar: 1 1 ln P ln a bP t C a a
P at aC a bP
ln
P C1eat a bP
Despejando, se obtiene:
P t
aC1eat 1 bC1eat
Como P 0 P0 y además P 0
P t
aC1 e bC1 at
P0
P t
aC1 e bC1 at
a , entonces se tiene: b
aC1 e bC1 a 0
C1
P0 a bP0
Con lo cual luego de sustituir, se obtiene la solución la cual viene dada por:
P t
aP0 bP0 a bP0 e at
Ejemplo 1. La cantidad de supermercados que emplean cajas computarizadas en un país, denotado por C t , está definida por el problema de valor inicial:
Cristian Castillo
152
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
dC C 1 0, 05C con dt
C 0 1
Donde t expresada en años. Entonces determine: ¿cuántos supermercados utilizan las cajas computarizadas luego de 10 años? y ¿Cuántos lo adoptarán después de mucho tiempo? Lo primero que hacemos es resolver la ecuación diferencial, mediante la técnica de variables separables, entonces: 1
dC dt C 1 0, 0005C
0, 0005
C 1 0, 0005C dC dt
ln C ln 1 0, 0005C t K
Luego como se tiene que C 0 1, entonces: ln 1 ln 1 0,0005 1 0 K
K 5,00125 104
Por consiguiente:
ln C ln 1 0, 0005C t 5, 00125 104
ln
C t 5, 00125 104 1 0, 0005C
Y además:
4 C et 5,0012510 1 0, 0005C
C t
et 5,0012510
4
1 0, 0005et 5,0012510
4
Ahora se determinará el número de supermercados que utilizarán cajas computarizadas luego de 10 años, entonces:
Cristian Castillo
153
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
C 10
et 5,0012510
4
1 0, 0005et 5,0012510
4
4
C 10
e105,0012510
4
1 0, 0005e105,0012510
Por consiguiente
C 10 1833 Ahora luego de tanto tiempo se tiene:
et 0,0513 LimC t Lim t 0,0513 t t 1 0, 0005e
Cristian Castillo
LimC t 2000 t
154
APÉNDICE I NÚMEROS COMPLEJOS
Existen infinitas ecuaciones que no tienen soluciones reales. Un ejemplo característico de ello es la ecuación cuadrática x2 4 0
La cual no posee raíces reales, debido a que ningún número real al ser sustituido en la variable x puede satisfacer la ecuación. Esta problemática fue razón suficiente para que matemáticos hayan creado un nuevo sistema que utiliza la unidad imaginaria i, la cual viene definida por:
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
. i 1
donde
i 2 1
Entonces de acuerdo a lo anterior si se tiene la ecuación cuadrática x 2 4 0 , sus raíces se obtienen de la siguiente forma: x 4
x 4 1
x 4 1
x 2i
A partir de la definición de la unidad imaginaria, se tiene que: i 2 1
i 3 i 2 i (1)i i i 4 (i 2 )2 (1)2 1 i 5 i 4 i 1 i i
i 6 i 4 i 2 1(1) 1 , y así para cualquier potencia entera de i.
Raíz cuadrada de un número negativo. Si m es un número positivo, la raíz cuadrada del número negativo –m viene dada por:
m mi Es importante ser precavido al aplicar ciertas propiedades de los números reales, debido a que por ejemplo se puede pensar que:
Cristian Castillo
156
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
4 4 (4)(4) 16 4 , lo cual es incorrecto.
Esto es debido a que la propiedad
ab a b , no es válida si a y b son
valores reales negativos. Para evitar estos errores, es conveniente utilizar
m mi ,
con lo cual:
4 4 4(1) 4(1)
4 1
4 1 (2i)(2i) 4i 2 4 ,
lo cual es correcto.
Número complejo. Es un número que puede escribirse de la forma a bi , siendo a y b números reales y b 0 . En todo número complejo a bi , a recibe el nombre de parte real y
bi el de parte imaginaria. Si a 0 , el número complejo se llama imaginario puro. Todo número complejo a bi se puede representar como un punto a, b en un plano coordenado, llamado plano complejo. El eje horizontal de este plano se llama eje real y al eje vertical se le denomina eje imaginario, tal como se muestra en la figura A.1.
Conjugado de un número complejo.
Cristian Castillo
157
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
Todo número complejo a bi tiene como conjugado al número a bi , y viceversa. Por ejemplo el número conjugado de 4 3i es el número 4 3i . Eje imaginario
a, b
b r
Eje real
a
Figura A.1
Operaciones con números complejos. Dados dos números complejos z1 a bi
y
z2 c di , entonces las
siguientes operaciones son permitidas: a. Suma
z1 z2 (a bi) (c di)
z1 z2 (a c) (b d )i
b. Resta
z1 z2 (a bi) (c di)
z1 z2 (a c) (b d )i
c. Multiplicación
z1 z2 (a bi)(c di)
z1 z2 (ac bd ) (ad bc)i
d. División
z1 a bi z2 c di
z1 a bi c di z2 c di c di
Cristian Castillo
z1 ac bd bc ad i z2 c2 d 2
158
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
Forma polar de un número complejo. La forma polar de todo número complejo z, donde z a bi , es:
z r cos i sen Donde a r cos , b r sen y r a 2 b2 , esto se puede apreciar en la figura A.1. Aquí al parámetro r, se le denomina módulo de z, y a se le llama argumento de z.
Fórmula de Euler. La fórmula de Euler viene dada por la identidad: ei cos i sen
Esto permite escribir la forma polar de un número complejo como: z rei
A continuación se presenta a partir de la ecuación z rei , otra forma mucho más sencilla de multiplicar y dividir los números complejos. Multiplicación de números complejos. Dados dos números complejos z1 r1ei1 y z2 r2ei2 , entonces el producto de z1 y z2 , viene dado por:
Cristian Castillo
159
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
i1 z1 z2 re r2ei2 1
z1 z2 r1r2ei1 2
División de números complejos Dados dos números complejos z1 r1ei1 y z2 r2ei2 , entonces el cociente entre z1 y z2 , viene dado por:
z1 r1ei1 z2 r2ei2
z1 r1 i1 i2 e e z2 r2
Cristian Castillo
z1 r1 i1 2 e z2 r2
160
APÉNDICE II TABLA DE DERIVADAS
APÉNDICE II. TABLA DE DERIVADAS
1. Dx (u n ) nu n1 Dx u
1
15. Dx (arccos u )
1 u2
2. Dx (u v) Dx u Dx v 16. Dx (arctan u )
3. Dx (uv) uDx v vDx u
u vD u uD v 4. Dx x 2 x v v
1 Dx u 1 u2
17. Dx (arc cot u )
5. Dx (e u ) e u Dx u
18. Dx (arc sec u )
6. Dx (a u ) a u ln a Dx u 19. Dx (arc csc u )
1 7. Dx (ln u ) Dx u u
Dx u
1 Dx u 1 u2 1 u u2 1 1 u u2 1
Dx u
Dx u
20. Dx (senh u) cosh u Dx u
8. Dx (sen u) cos u Dx u
21. Dx (cosh u) senh u Dx u
9. Dx (cos u) sen u Dx u
22. Dx (tanh u) sec h 2 u Dx u
10. Dx (tan u) sec u Dx u 2
23. Dx (coth u) csc h 2 u Dx u
11. Dx (cot u) csc 2 u Dx u
24. Dx (sec h u) sec h u tanh u Dx u
12. Dx (sec u) sec u tan u Dx u 13. Dx (csc u) csc u cot u Dx u 14. Dx (arcsen u )
1 1 u2
25. Dx (csc h u) csc h u coth u Dx u Dx u
Cristian Castillo
162
APÉNDICE III TABLA DE INTEGRALES
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Formas elementales 1.
du u c
2.
a du au c
3.
[ f (u) g (u)]du f (u)du g (u)du
4.
n u du
5.
u n 1 c n 1
(n 1)
du ln u c u
Formas racionales que contienen a bu 6.
u du 1 a bu b 2 a bu a ln a bu c
7.
u 2 du 1 a bu b3
8.
a bu
1 2 2 2 a bu 2a(a bu ) a ln a bu
1 a ln a bu c 2 b a bu
2
1 b3
a2 a bu 2a ln a bu c a bu
3
1 b2
a 1 c 2 a bu 2 a bu
u du
2
u 2 du
9.
a bu
10.
a bu
11.
ua bu a ln a bu
u du
du
c
1
u
c
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
du
1
b
12.
u a bu au a
13.
ua bu
2
du
2
3 2 3bu 2a a bu 2 c 3 15b
15. u 2 a bu du
17.
18.
19.
3 2 2 2 2 2 c 15 b u 12 abu 8 a a bu 105b 3
2u n a bu a bu du b2n 3
3
2
2an u n 1 a bu du b2n 3
u du 2 2 bu 2a a bu c a bu 3b
u 2 du 2 3b 2 u 2 4abu 8a 2 3 a bu 15b
2u n a bu u n du u n 1 du 2an b2n 1 b2n 1 a bu a bu
du 20. u a bu 21.
a bu c u
a bu
14. u a bu du
16. u
ln
1 1 u 2 ln c aa bu a a bu
Formas que contienen
n
2
u
n
a bu c
a bu a 1 ln c a a bu a
si a 0
2 a bu arctan c a a
si a 0
a bu b2n 3 du du n 1 n 1 2an 1 u an 1u a bu a bu
Cristian Castillo
165
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
22.
23.
a bu du u
a bu du un
2 a bu a
a bu 2 an 1u n 1
du u a bu
3
b2n 5 a bu du 2an 1 u n 1
Formas que contienen a 2 u 2 24.
a
2
du 1 u arctan c 2 a a u
u 1 arctan h c du 1 ua a a 25. 2 ln c 2 a u 2a u a 1 arc coth u c a a
si u a si u a
u 1 arctan h c du 1 ua a a 26. 2 ln c 2 u a 2a u a 1 arc coth u c a a
28.
du u a 2
2
ln u u 2 a 2 c
u 2 a 2 du
u a2 u2 a2 ln u u 2 a 2 c 2 2
29. u 2 u 2 a 2 du
30.
u 2 a 2 du u
si u a
u2 a2
Formas que contienen 27.
si u a
u 2u 2 a 2 8
u 2 a 2 a ln
u2 a2
a4 ln u u 2 a 2 c 8
a u2 a2 u
Cristian Castillo
c
166
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
31.
32.
33.
u 2 a 2 du
u 2 a 2 a arc sec
u u 2 a 2 du
u
u2 a2
2
u c a
ln u u 2 a 2 c
u
u 2 a2 2 u a ln u u 2 a 2 c 2 2 2 2 u a u 2 du
2 2 1 a u a ln c 34. a u u u2 a2
du
35.
du
u
u a 2
2
du
36.
u
37.
u
38.
2
2
u
a2
a du
2
3
2
3
40.
du a2 u2
a 2u
c
u du 2u 2 5a 2 8
2
u a
Formas que contienen 39.
u2 a2
u2 a2 2
1 1 arc sec c a a
2
2
c
a2 u2
arcsen
a 2 u 2 du
u2 a2
3a 4 u a ln u u 2 a 2 c 8 2
u c a
u a2 u a2 u2 arcsen c 2 2 a
41. u 2 a 2 u 2 du
u 2u 2 a 2 8
a2 u2
Cristian Castillo
a4 u arcsen c 8 a
167
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
42.
43.
a 2 u 2 du a a 2 u 2 a arccos h c u u
a 2 u 2 du
u
2
u 2 du
a2 u2
u
arcsen
u c a
u a2 u a2 u2 arcsen c 2 2 a
44.
45.
2 2 1 a a u 1 a ln c arccos h c u a2 u2 a u a u
a2 u2 du
du
46.
u
47.
a
48.
2
a
2
a2 u2 2
u2
u du
2
3
2
3
a2 u2
a 2u
c
u du 2u 2 5a 2 8 u
2
a
a2 u2
2
3a 4 u a u arcsen c 8 a 2
2
c
Formas que contienen 2au u 2 49.
2au u 2 du
ua a2 1 2au u 2 arccos 1 c 2 u a
50. u 2au u 2 du
51.
52.
2au u 2 du u 2au u 2 du u
2
2u 2 au 3a 2 6
2au u 2
a3 u arccos 1 c 2 a
u 2au u 2 a arccos 1 c a
2 2au u 2 u
u arccos 1 c a
Cristian Castillo
168
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
53.
u arccos 1 c a 2au u
54.
u 2au u 2 a arccos 1 c a 2au u
55.
du
2
u du
2
2au u 2
56.
u
57.
58.
u 3a
u 2 du
2
du 2au u 2 du
2au u 2
3
2
u du
2au u 2
3
2
3a 2 u 2au u arccos 1 c 2 a 2
2au u 2 au ua
a 2 2au u 2 u a 2au u 2
c
c
c
Formas que contienen funciones trigonométricas 59.
sen u du cos u c
60. cos u du sen u c 61.
tan u du ln sec u c
62. cot u du ln sen u c 63. sec u du ln sec u tan u c ln tan 14 12 u c 64. csc u du ln csc u cot u c ln tan 12 u c 65. sec 2 u du tan u c
Cristian Castillo
169
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
66. csc 2 u du cot u c 67. sec u tan u du sec u c 68. csc u cot u du csc u c
u du
1 1 u sen 2u c 2 4
70. cos 2 u du
1 1 u sen 2u c 2 4
69.
71.
sen
tan
2
2
u du tan u u c
72. cot 2 u du cot u u c 73.
sen
n
n 1 1 u du sen n 1 u cos u sen n 2 u du n n
74. cos n u du 75.
tan
n
u du
n 1 1 cos n 1 u sen u cos n 2 u du n n
1 tan n 1 u tan n 2 u du n 1
76. cot n u du 77. sec n u du
n2 1 sec n 2 u tan u sec n 2 u du n 1 n 1
78. csc n u du
79.
1 cot n 1 u cot n 2 u du n 1
n2 1 csc n 2 u cot u csc n 2 u du n 1 n 1
sen m n u
sen mu sen nu du 2m n
sen m n u c 2m n
Cristian Castillo
170
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
80. cos mu cos nu du
81.
sen m n u sen m n u c 2m n 2m n cos m n u
sen mu cos nu du 2m n
cos m n u c 2m n
82. u sen u du sen u u cos u c 83. u cos u du cos u u sen u c 84. u 2 sen u du 2u sen u 2 u 2 cos u c 85. u 2 cos u du 2u cos u u 2 2sen u c 86. u n sen u du u n cos u n u n 1 cos u du 87. u n cos u du u n sen u n u n 1 sen u du
sen m 1 u cos n 1 u m 1 88. sen u cos u du sen m 2 u cos n u du mn mn m
n
Formas que contienen funciones trigonométricas inversas 89. arcsen u du u arcsen u 1 u 2 c 90. arccos u du u arccos u 1 u 2 c 91. arctan u du u arctan u ln 1 u 2 c 92. arc cot u du u arc cot u ln 1 u 2 c 93. arc sec u du u arc sec u ln u u 2 1 c
Cristian Castillo
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APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
94. arc csc u du u arc csc u ln u u 2 1 c
Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas 95. e u du e u c
au 96. a du c ln a u
97. ue u du e u u 1 c 98. u n e u du u n e u n u n 1e u du 99. u n a u du
u nau n u n 1 a u du ln a ln a
100.
e u du e u du eu 1 un n 1u n 1 n 1 u n 1
101.
a u du au ln a a u du un n 1u n 1 n 1 u n 1
102. ln u du u ln u u c 103. u n ln u du
104.
un 1
n 12
n 1ln u 1 c
du u ln u ln ln u c
105. e au sen nu du
e au a sen nu n cos nu c a2 n2
106. e au cos nu du
e au a cos nu n sen nu c a2 n2
Cristian Castillo
172
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Formas que contienen funciones hiperbólicas 107.
senh u du cosh u c
108. cosh u du senh u c 109.
tanh u du ln cosh u c
110. coth u du ln senh u c 111. sec h u du arctan senh u c 112. csc h u du ln tanh 12 u c 113. sec h 2 u du tanh u c 114. csc h 2 u du coth u c 115. sec h u tanh u du sec h u c 116. csc h u coth u du csc h u c
u du
1 1 senh 2u u c 4 2
118. cosh 2 u du
1 1 senh 2u u c 4 2
117.
119.
senh
tanh
2
2
u du u tanh u c
120. coth 2 u du u coth u c 121. u senh u du u cosh u senh u c
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APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
122. u cosh u du u senh u cosh u c 123. e au senh nu du
e au a senh nu n cosh nu c a2 n2
124. e au cosh nu du
e au a cosh nu n senh nu c a2 n2
Cristian Castillo
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BIBLIOGRAFÍA
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