Ejemplos resueltos de FMC. 18 de septiembre de 2008

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´Indice I

Conceptos de f´ısica vectorial.

4

1. An´ alisis vectorial

4

II

4

Electrost´ atica. Campo el´ ectrico.

2. Campo el´ ectrico. 2.1. Anillo cargado. . . . . . . . . . . . . 2.2. Disco cargado. . . . . . . . . . . . . . 2.3. Hilo recto cargado. . . . . . . . . . . 2.4. Plano indefinido cargado. . . . . . . . 2.5. L´amina indefinida cargada de espesor 3. Ley 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

. . . . . . . . a.

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de Gauss. Carga puntual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilo recto de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano indefinido de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfera uniformemente cargada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L´amina indefinida cargada de espesor a. . . . . . . . . . . . . . . Esferas met´alicas, (mal) numerado en los apuntes como ejemplo 1.

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1

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4 5 6 7 9 9

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11 11 11 12 13 14 15

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4. El potencial el´ ectrico. 4.1. Sistema de cargas puntuales. . . . . . . . 4.2. Anillo cargado. . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Disco cargado. . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Esfera cargada. . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Campo el´ectrico a partir del potencial en 4.6. Campo el´ectrico a partir del potencial en 4.7. Campo el´ectrico a partir del potencial en

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . el anillo cargado. el disco cargado. la esfera cargada.

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5. Capacidad y energ´ıa el´ ectrica. 5.1. Capacidad equivalente de un sistema de cuatro placas. . . . . . . . . . . 5.2. Condensador de placas rectangulares con ε variable. . . . . . . . . . . . . 5.3. Condensador de placas rectangulares con ε variable. . . . . . . . . . . . . 5.4. Energ´ıa almacenada por una esfera conductora cargada. . . . . . . . . . . 5.5. Fuerza entre placas de un condensador plano (mal) numerado en los apuntes como ejemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

. . . .

21 21 22 23 23

. 24

Electrocin´ etica. Corriente el´ ectrica.

25

6. Corriente y resistencia el´ ectricas. 6.1. Resistencia de un tronco de cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Conductancia de un cable coaxial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Resistencia equivalente de un circuito. . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Resistencia de un conductor cil´ındrico con ρ variable. . . . . . . . 6.5. Resistencia de un semianillo de secci´on rectangular. . . . . . . . . 6.6. Circuito para aplicar Kirchoff, Th´evenin, Norton y superposici´on.

IV

. . . . . . .

16 16 16 17 18 19 19 20

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Campo magn´ etico. Inducci´ on

25 25 26 27 28 28 29

32

7. Campo magn´ etico. 33 7.1. De un hilo conductor con forma de semicircunferencia en un campo magn´etico 33 8. Fuentes de campo magn´ etico. 8.1. De un segmento de corriente. . . 8.2. De una espira circular. . . . . . . 8.3. De un hilo muy largo de corriente. 8.4. De un solenoide recto muy largo.

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9. Inducci´ on electromagn´ etica y energ´ıa. 9.1. De una fem inducida en una barra conductora. . . . . . . . . . . . . 9.2. De un solenoide largo y recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. De un cable coaxial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. De un conductor cil´ındrico recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. De la fuerza magn´etica a partir de la energ´ıa en un solenoide. . . . 9.6. De la inducci´on mutua en un solenoide. . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. De la inducci´on mutua entre un hilo recto y una espira rectangular.

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2

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33 33 34 35 37

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37 37 38 39 40 40 41 42

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V

Sistemas

42

10.R´ egimen transitorio en sistemas lineales.

42

11.R´ egimen sinusoidal permanente.

42

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3

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Parte I

Conceptos de f´ısica vectorial. 1.

An´ alisis vectorial De este tema no hay ejemplos en los apuntes, mire los boletines.

Parte II

Electrost´ atica. Campo el´ ectrico. 2.

Campo el´ ectrico.

Sistema de cargas puntuales, ejemplo sin numerar en los apuntes. En un sistema formado por 3 cargas puntuales qa = 3µC. qb = −6µC y qc = −2µC, referenciado sobre unos ejes cartesianos con escala en cm, a trav´es de los puntos a (0,0,0), b (0,4,0), c(0,0,3), respectivamente. Determinar la fuerza que se ejerce sobre la carga qc . a) Directamente a trav´es de la ley de Coulomb. b) Utilizando el campo el´ectrico. Soluci´ on: z −→ Fbc α

qc

−→ Fac

y qa

qb

x

−→ −→ a) Fc = Fac + Fbc −→ qa · qb Fac = K rc ac rac 2

−→ 3 · 10−6 · (−2) · 10−6 b k = −60b k (N) Fac = 9 · 109 · 32 · 10−4 qb · qc Fbc = K rc bc rbc 2 QueGrande.org

4

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rbc =

√

32 + 42 = 5 cm

4 b 3 b b b rc ·k bc = − cos α · j + sin α · k = − · j + 5 5   −6 · (−2)10−6 4 b 3 b 9 (−6)10 Fbc = 9 · 10 − · j + · k = −34,56 · b j + 25,92 · b k (N) 52 · 10−4 5 5 −→ −→ Fc = Fac + Fbc = −34,56 · b j + (25,92 + (−60)) · b k = −34,56 · b j − 34,08 · b k (N) − → |Fc | = Fc = 48,53 N

− → −→ −→ b) Ec = Eac + Ebc −→ qa Eac = K rc ac rac

−→ 3 · 10−6 b k Eac = 9 · 109 9 · 10−4 −→ Eac = 30 · 106b k (N/C)

−→ qb Ebc = K rc bc rbc

−→ −6 · 10−6 Ebc = 9 · 109 25 · 10−4 −→ Ebc = 17,28 · 106b j − 12,96 · 106b k (N/C)

− → Ec = 30 · 106b k + 17,28 · 106b j − 12,96 · 106 b k = 17,28 · 106b j + 17,04 · 106 b k (N/C) − → − → Fc = Ec · qc = (17,28b j + 17,04b k) · 106 · (−2) · 10−6 = −34,56b j − 34,08b k (N) − → |Fc | = Fc = 48,53 N

2.1.

Anillo cargado.

Determinar el campo el´ectrico creado por un anillo circular de radio a, cargado con carga Q uniformemente distribuida, en los puntos del eje de simetr´ıa que pasa por su centro y es perpendicular al plano que lo contiene. Soluci´ on:

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dl ⇒ dq = λ · dl θ

r x

a

− → dEx θ − → −→ dE dE⊥

Q ⇒ Q = λ2πa 2πa − → dq d E = K 2 rb r dq dE = K 2 r

λ=

x r a dE⊥ = dE · cos θ = dE · r K · dq · x x dEx = = K · 3 · dq r2r (x2 + a2 ) 2 a dq · a dE⊥ = K · 2 =K· 3 · dq 2 + a2 ) 2 r ·r (x Z − → − → dE ⊥ = 0 = E ⊥ Z Z Q·x x dq = K · Ex = dEx = K · 3 · 3 (x2 + a2 ) 2 (x2 + a2 ) 2

dEx = dE · sin θ = dE ·

2.2.

Disco cargado.

Determinar el campo el´ectrico dterminado por un disco de radio R, cargado con densidad superficial de carga uniforme σ, en un punto del eje de simetr´ıa que pasa por su centro y es perpendicular a su plano. Soluci´ on: Vamos a plantear el problema como la suma de los campos diferenciales (dEx ) que crean infinitos anillos de espesor diferencial (da). En la siguiente figura observamos uno de estos anillos:

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dq R a

− → dEx

x da

El campo creado por un anillo lo calculamos en el ejemplo anterior, y como la carga del anillo es en este caso dq: dEx = K

dq · x

(x2

3

+ a2 ) 2

El ´area dS de ese anillo de espesor da ser´ıa: dS = 2πa · da dq = σdS dq = σdS = σ2πa · da dq · x

a da 1 σ2πa da x σ · a · da · x σx · 3 = 3 = 4πε (x2 + a2 ) 2 2ε0 (x2 + a2 ) 32 (x2 + a2 ) 2ε0 (x2 + a2 ) 2 " " #R #R Z Z σ −1 x a da σx σx R = = Ex = dEx = 2ε0 0 (x2 + a2 ) 32 2ε0 (x2 + a2 ) 23 2ε0 (x2 + a2 ) 21 DIST 0 0 # " σ x Ex = 1− 1 2 2ε0 (x + R2 ) 2

dEx = K

2.3.

3 2

=

Hilo recto cargado.

Determinar el campo el´ectrico creado por un hilo recto cargado con densidad lineal de carga uniforme λ, en un punto a distancia a del eje x que contiene al hilo. Soluci´ on:

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− → − → d E θ dEy − → dEx θ1 θ2 θ a

r

λC/m −xa

0

xb

dx dq = λdx l

dE = K

λ · dx dq =K 2 2 r r

λdx · cos θ r2 λdx dEx = −dE sin θ = −K · 2 · sin θ r

dEy = dE cos θ = K ·

x = a tan θ a dθ cos 2 θ a r= cos θ Z Z Z Z a dθ cos θ λdx Kλ θ2 cos 2 θ Ey = dEy = K 2 · cos θ = Kλ cos θdθ = a2 r a −θ1 DIST cos 2 θ Kλ Kλ Kλ 2 Ey = [sen θ]θ−θ [sin θ2 − (sen −θ1 )] = [sin θ2 + sin θ1 ] = 1 a a a Z Z Z Kλ Kλ θ2 Kλdx 2 − sin θdθ = [cos θ]θ−θ Ex = dEx = − 2 · sin θ = 1 r a a −θ1 DIST Kλ Ex = [cos θ2 − cos θ1 ] a dx =

El problema ya est´a resuelto, a´ un as´ı vamos a ver que ocurre si el punto donde calculamos el campo est´a centrado y si la longitud del hilo es indefinidamente grande.  2Kλ   Ey = sin θ a Centrado θ1 = θ2 = θ ⇒   Ex = 0, se anula con el otro Ex Hilo indefinido

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 λ 2Kλ  = E =  y  a 2πε0 a π θ1 = θ2 = ⇒  2   E = 0, cos π = 0 x 2 8

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2.4.

Plano indefinido cargado.

Determinar el campo el´ectrico creado por un plano indefinido, cargado con densidad superficial de carga uniforme σ. Soluci´ on: z dq

dz

z

r

y θ

x

θ

− → dEx

σC/m2

− → dE

dE =

dEx = dE cos θ

σdz λ = 2πε0 r 2πε0 r

dq = σdS = σdS = σ · dz · dy dq = λ · dy Ex =

Z

dEx = DIST

Z



λ = σdz

σdz · cos θ 2πε0r

x dθ z = x · tan θ ⇒ dz = 2θ cos Como x r= cos θ σ Ex = 2πε0 σ Ex = 2ε0

2.5.

Z

x · dθ cos 2 θ x cos θ

σ · cos θ = 2ε0π

Z

π 2

− π2

π σ h π  π i σ 2 dθ = [θ] π = − − 2πε0 − 2 2πε0 2 2

L´ amina indefinida cargada de espesor a.

Determinar el campo el´ectrico en el interior y en el exterior de una l´amina indefinida de espesor a, con permisividad diel´ectrica ε y cargada con densidad volum´etrica de carga uniforme ρ. Soluci´ on:

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11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

dq dS dx

−

a 2

ρ C/m3 ε0

ε − → dEi

− → dEe a 2

dx x

x

s

a a Interior: − ≤ x ≤ 2 2 σ dEi = 2ε  dq = σdS dq = ρdv = ρ · dx · dS σ · dS = ρ · dx · dS ⇒ σ = ρ · dx Como σ = ρdx σ ρ = dx 2ε 2ε Z Z x dEi − Ei = dEi =

Z

Z a 2 ρ a ρ ρ ρ dEi = dx − dx = [x]x− a − [x]x2 = 2 2ε 2ε x x 2ε − a2 2ε − a2 h     i  a a a a ρ ρ ρx ρ x− − − x − + x = 2x = −x = 2ε 2 2 2ε 2 2 2ε ε  a a x> 2 Exterior: |x| > a 2 x R1 ), vale: µ0 R2 ln L/l = 2π R1 Soluci´ on: dS, dΦ

− → B − → B

r r

r

R1 R2

l

I

C

X → − → − B · dl = B · 2πr = µ0 I

µ0 · I · l · dr dΦ = B · dS = B · l · dr = 2πr   Z Z R2 µ0 · I · l µ0 · I · l dr R2 Φ= dΦ = =L·I = · ln 2π r 2π R1 S R1   R2 µ0 l ln L= 2π R  1 L µ0 R2 = ln l 2π R1 QueGrande.org

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9.4.

De un conductor cil´ındrico recto.

Compruebe que la inductancia interna por unidad de longitud de un hilo conductor cil´ındrico recto macizo vale: µ0 = 0, 05µH/m L/l = 8π Soluci´ on: dl

dx

111 000 B 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

R 2πr

I

l

B · dl = B · 2πr = µ0 I

µ0 Ir r2 ⇒B= 2 R 2πR2

µ2 I 2 r 2

1 02 4 µ0 I 2 r 2 1 B2 = 4π R = U= 2 µ0 2 µ0 8π 2 R4 dU = u · dV dV = l · 2πr · dr µ0 I 2 r 3 l dU = u · dV = dr 4πR4 Z Z µ0 I 2 l 1 µ0 I 2 l R 4 µ0 I 2 l R 3 · = = LI 2 r · dr = U= du = 4 4 4πR 0 4πR 4 16π 2 hilo µ0 l L= 8π µ0 L/l = = 0, 05µH/m 8π

9.5.

De la fuerza magn´ etica a partir de la energ´ıa en un solenoide.

Compruebe que la fuerza que act´ ua sobre el n´ ucleo de permeabilidad µ > µ0 de un solenoide largo y recto de secci´on transversal S y n espiras por unidad de longitud recorridas por una corriente I constante, vale: F =

1 (µ − µ0 ) I 2 n2 S 2

Soluci´ on:

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n-x

n(l-x)

− → µ ,, B

− → µ0 ,, B0

x

l-x l

µ µ0 B = µ·n·I B0 = µ0 · n · I Φesp = BS = µnIS Φesp0 = B0 S = µ0 nIS ΦT = Φesp · nx + Φesp0 · n(l − x) = µnIS · nx + µonIS · n(l − x) = n2 SI [µx + µ0 (l − x)] ΦT = n2 S[µx + µ0 (l − x)] I 1 1 1 U = LI 2 = ΦI = n2 SI 2 [µx + n(l − x)] 2 2 2 ∂U 1 Fx = = n2 SI 2 (µ − µ0 ) ∂x 2 L=

De esta u ´ ltima ecuaci´on deducimos que el solenoide tiende a absorber corriente si tiene menor permeabilidad que el aire, si en cambio es mayor, tiende a proporcionarla.

9.6.

De la inducci´ on mutua en un solenoide.

Compruebe que la inductancia mutua entre un solenoide recto muy largo de n vueltas por unidad de longitud y una espira de radio a centrada en su mismo eje vale: M = µ0 nπa2 Soluci´ on: − → B

a

B = µ0 nI Φ = BS = µ0 nI · πa2 QueGrande.org

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Φ = µ0 nπa2 I

M=

9.7.

De la inducci´ on mutua entre un hilo recto y una espira rectangular.

Compruebe que el coeficiente de inducci´on mutua entre un hilo de corriente recto e indefinido y una espira rectangular coplanaria de lados a y b, situada a una distancia d del hilo, vale: µ0 b d + a M= ln 2π d Soluci´ on: x dx

dS

Hilo − → B I

d

b

a

El campo magn´etico producido por el hilo a distancia x de ´el: B =

µ0 I 2πx

µ0 I · b · dx dΦ = B · dS = B · b · dx = 2πx   Z Z µ0 Ib d+a µ0 Ib d+a dx = ln Φ= dΦ = 2π d x 2π d S   Φ µ0 b d+a M= = ln I 2π d

Parte V

Sistemas 10.

R´ egimen transitorio en sistemas lineales.

De este tema no hay ejemplos en los apuntes, mire los boletines.

11.

R´ egimen sinusoidal permanente.

En este tema no hay ejemplos de teor´ıa, sin embargo hay ejercicios. QueGrande.org

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