Componentes intrínsecas de la aceleración

Componentes intrínsecas de la aceleración: Componentes tangencial y normal Alfonso Calera Departamento de Física Aplicada. ETSIA. Albacete. UCLM En muchas ocasiones el análisis del movimiento es más sencillo utilizando el sistema de referencia que constituye la propia trayectoria. En este sistema de referencia la posición viene establecida por la distancia, s, a un origen C, medida sobre la propia curva, tal y como se indica en la Figura 1.

Figura 1.- El sistema de referencia sobre la propia trayectoria

La velocidad se define como:

v

lím

r t

dr dt

y se expresa en el sistema de referencia elegido como:

v

ds T dt

vT

Ec. 1

donde: v=ds/dt es la rapidez con la que cambia la posición, esto es la celeridad; es positiva cuando s es creciente y negativo en caso contrario. ds es el arco infinitesimal de curva recorrido. T es un vector unitario tangente a la curva

Alfonso Calera. Departamento de Física Aplicada ETSIA. Albacete

Componentes intrínsecas de la aceleración

La aceleración se define como:

a

lím

v t

dv dt

y, utilizando la ecuación 1, podemos obtener la aceleración en el sistema de referencia elegido, que se expresa en dos componentes, en la forma:

a

d (vT ) dt

dv T dt

v

dT dt

Ec. 2

dv T dt

Ec. 3

Aceleración tangencial:

aT

El primer término de la ec. 2

se denomina aceleración tangencial, es un vector tangente a la trayectoria cuya magnitud es la rapidez con la que cambia el módulo de la velocidad. Refleja el cambio en la celeridad de la partícula. Aceleración normal o centrípeta El segundo término de la ec. 2

aN

v

dT dt

Ec. 4

se denomina aceleración normal o centrípeta, refleja el cambio en la dirección del movimiento y es un vector perpendicular al vector tangente apuntando a la parte interior, lado cóncavo, de la curvatura. Calculando la rapidez con la que cambia la dirección del vector tangente unitario, que se verá a continuación, se deduce la ecuación 5, que es la ecuación que permite estimar de forma práctica la aceleración normal.

aN donde

dT v dt

v2

N

Ec. 5

ρ es el radio de giro, esto es el radio del elemento infinitesimal de aquella circunferencia que ajusta exactamente a la curva (trayectoria) en el punto donde estamos calculando N : es un vector unitario, perpendicular al vector tangente, y que apunta hacia el lado cóncavo, esto es el interior de la curvatura. Esta aceleración aparece siempre que cambia la dirección del movimiento, lo que sucede cuando el movimiento es curvilíneo. Depende tanto de la rapidez con que se mueve, al ser proporcional al cuadrado de la celeridad v, como de la trayectoria, al ser inversamente proporcional al radio de curvatura.

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El cálculo de la aceleración normal es de gran importancia en aplicaciones prácticas en el diseño de los tramos curvos de carreteras, ferrocarriles, en el movimiento de fluidos sobre superficies curvas, en el diseño de mecanismos que giren,… Así pues, en el sistema de referencia elegido, la aceleración de un punto P se descompone en las componentes tangencial y normal, como se puede ver en la Figura 2, en la forma

a a

aT

aN

(aT2

dv T dt

v2

N Ec. 6

aN2 )

Figura 2.- Componentes tangencial y normal de la aceleración de un movimiento curvilíneo

La aceleración normal. Deducción de la ecuación

aN

v2

N

Las ecuaciones anteriormente presentadas [1 a 6] son totalmente generales, incluso para el caso de movimiento tridimensional. Sin embargo es usual presentar la deducción de la ec. 5, y de la geometría necesaria para ello, en el caso de movimiento plano para facilitar su comprensión. Para hacerlo hemos de estimar la rapidez con la que cambia el vector unitario tangente,

dT dt

Consideremos pues una partícula P que se mueve en un movimiento curvilíneo plano, como se indica en la Figura 3.a en la que se representa cómo la partícula cambia de posición y velocidad en su movimiento a lo largo de una trayectoria curva.

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Figura 3.-(a) Movimiento curvilíneo. (b) Concepto de radio de curvatura

El concepto de Radio de Curvatura Un concepto geométrico básico es que, en cualquier curva, si consideramos un elemento infinitesimal de arco de curva éste puede ser visto como un elemento infinitesimal de arco de circunferencia, de tal forma que la longitud de ese arco de curva, ds, y de circunferencia sean iguales El radio del elemento de circunferencia que encaja exactamente en el arco de la curva es el denominado radio de curvatura. Podemos aplicar a ese arco de circunferencia infinitesimal, construido en la forma que se indica en la figura 3.b, la relación geométrica básica para una circunferencia entre arco, ángulo y radio en la forma:

arco = ángulo x radio ds = dθ ρ

[ángulo en radianes] Ec. 6

y por tanto

ds dt v

d dt d dt

Ec. 7

La Ec. 7 expresa la relación básica entre la velocidad [lineal] de un punto, la rapidez con la que gira, esto es la velocidad angular, ω, y el radio de la circunferencia, ρ, para un punto que se mueve en una trayectoria circular.

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La derivada temporal del vector unitario tangente. [derivada de un vector rotante de módulo constante]

dT dt

Cuando la partícula pasa de la posición P a la de P´, el vector unitario tangente cambia de dirección como se indica en la Figura 4. Ese cambio de dirección se refleja en el ángulo que forman las líneas de dichos vectores unitarios, que se observa es igual al ángulo formado por los radios de curvatura en el arco de curva que estamos considerando, como se aprecia en la construcción geométrica indicada en la Figura 4. Dicho cambio de dirección, que no de módulo pues este es constante y de valor 1, es descrito por el giro del vector T un ángulo ∆θ. La punta del vector T describe una circunferencia de radio unidad.

Figura 4.- Derivada de un vector giratorio de módulo constante

Así pues, cuando ∆θ tiende a cero, haciendo uso de la relación arco=ángulo x radio, podemos escribir

lím T

d

La dirección en la que apunta el cambio del vector unitario tangente cuando el intervalo temporal tiende a cero es, justamente, la dirección de un vector perpendicular a T, esto es la denominada dirección normal, reflejada por un vector unitario N, y como se puede observar en la construcción geométrica, dirigida hacia el interior de la curva, esto es la parte cóncava. Por ello, la derivada del vector unitario tangente respecto al tiempo es:

dT dt

d N dt

Ec. 8

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Finalmente, utilizando las ec. 7 y 8, y reemplazando en la Ec. 4, obtenemos el resultado expresado en la Ec. 5, esto es

aN

dT v dt

v2

N

Tres dimensiones La ecuación 6 es aplicable sin modificación al movimiento en un espacio de tres dimensiones. En este caso es necesario definir con precisión la tangente a la curva, ya que en el movimiento en tres dimensiones en un punto de la trayectoria no hay una sola tangente sino que hay infinitas, pues en un punto hay un plano tangente a la curva. De entre las infinitas líneas que conforman ese plano, la dirección de la tangente la define el plano osculador -“el plano que contiene a la curva, que la besa, [del latín ósculo, beso]”-, Este plano se define mediante la línea que une un punto y el siguiente, separados entre sí un infinitésimo y la proyección de esa línea sobre el plano tangente. Esa proyección es justamente la dirección tangente Es también en ese plano osculador donde está contenido el vector normal, N, el cual tiene dirección perpendicular a la tangente, T; finalmente la dirección perpendicular a dicho plano osculador indica la dirección binormal, B. Los tres vectores unitarios, T, N y B constituyen el denominado triedro intrínseco o de Frenet.

Alfonso Calera. Departamento de Física Aplicada ETSIA. Albacete