Material complementario Introducción al Análisis Estructural Método Matricial iterativo  de Stodolla vianello * Metodo de la Determinante.   Recopilación: Pablo Cruz Uriarte (ingpablocruz.com)  Docente horario: UCA ‐2012.   

Introducción  En las siguientes páginas se incluye material complementario para efectuar el cálculo de los  parámetros dinámicos en estructuras con más de un grado de libertad dinámico.  En la primera parte se muestra un proyecto de curso efectuado por el autor y en donde se ilustra  el método de iteraciones sucesivas de Stodolla Vianello para un edificio de 2 niveles.   Se adjunta también el proceso para el análisis dinámico, es decir el cálculo de las frecuencias y  períodos de vibrar en un edificio de 3 niveles empleando el método de la Determinante.  Con  el objetivo de que el material de apoyo sea de utilidad en la realización de los proyectos de  curso de la asignatura Introducción al Análisis Estructural, impartida en el II Cuatrimestre del 2012  en la Universidad Centroamericana (UCA).  Ing. Pablo Cruz Uriarte   

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

3.7.- METODO DINAMICO DE ANALISIS MODAL 3.7.1.- ANALISIS DEL EJE 2 Cálculo de rigidez de columnas. K=

12*E*I L3

12*2038.901781 Tn/cm 2 *22185.135cm K1 = (380cm)3 K1 = 39.568431 Tn/cm

4

*4 columnas

12*2038.901781 Tn/cm 2 *17689.836cm (350cm)3 K2 = 40.379154 Tn/cm

4

*4 columnas

K2 =

12*2038.901781 Tn/cm 2 *9906.308cm (400cm)3 K3 = 15.148492 Tn/cm

K3 =

4

*4 columnas

Determinación de la matriz de rigidez lateral (K). K=

K1+K2 -K2 0

-K2 K2+K3 -K3

0 -K3 K3

79.947585 -40.379154 0

=

-40.379154 55.527646 -15.148492

0 -15.148492 15.148492

Cálculo de masas por nivel. mi = m1 =

Wi g 34610.365600kg 981cm/seg2

NOTA: Los pesos fueron calculados en las páginas No. 71 y 72. *

1Tn 1000 kg

m1 = 0.035280699 ton-seg2/cm m2 =

34320.690000kg 981cm/seg2

*

1Tn 1000 kg

m2 = 0.034985413 ton-seg2/cm Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

5740.463298kg 981cm/seg2

m3 =

*

1Tn 1000 kg

m3 = 0.005851645 ton-seg2/cm Determinación de matriz de masa. M=

m1 0 0

0 m2 0

0 0 m3

=

0.035280699 0 0

0 0.034985413 0

0 0 0.005851645

Cálculo de las frecuencias para cada uno de los modos de vibración. |K – W2*M| = 0 0.0 35280699 0 0 79.947585 -40.379154 0 2 0 0.034985413 0 -40.379154 55.527646 -15.148492 -W 0 0 0.005851645 0 -15.148492 15.148492

79.947585-0.035280699W2 -40.379154 0

-40.379154 55.527646-0.034985413W2 -15.148492

0 =0 -15.148492 15.148492-0.005851645W2

El desarrollo de este determinante conduce a la siguiente expresión: -7.22274291846e-6W6 + 4.65286688733e-2W4 – 80.3871827689W2 + 24203.348107 = 0 Resolviendo la ecuación anterior obtenemos: W1 2 = W2 2 = W3 2 =

379.556418024 seg-2 2431.62148381 seg-2 3630.78873029 seg-2

W1 = W2 = W3 =

19.482207730 seg-1 49.311474160 seg-1 60.256026506 seg-1

Cálculo del período para cada uno de los modos. T1 =

2S W1

=

=0

2*S 19.482207730seg-1

T1 = 0.322508896 seg Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

2S W2

T2 =

=

2*S 49.311474160 seg-1

T2 = 0.127418322 seg 2S W3

T3 =

=

2*S 60.256026506 seg-1

T3 = 0.104274803 seg Cálculo de las formas modales Para calcular los modos de vibración, se reemplazan los valores de W2 en la expresión «K-W2*M«*Z = 0. Primer modo: Procediendo así con W12, se obtiene el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones. 79.9475850.035280699*379.556418024

-40.379154

0

-40.379154

55.5276460.034985413*379.556418024

-15.148492

0

-15.148492

Z11

0

Z21 = 0

15.148492Z31 0.005851645*379.556418024

0

Se puede escoger arbitrariamente el valor de alguno de los Zij ; asumimos Z11 = 1.00, entonces el valor de Z21 y Z31, los obtenemos por sustitución, en las ecuaciones anteriores. Z1 =

Z11 Z21 Z31

=

1.000000000 1.648290335 1.931478261

Segundo Modo: usando análogamente W22. 79.9475850.035280699*2431.62148381

-40.379154

0

-40.379154

55.5276460.034985413*2431.62148381

-15.148492

0

-15.148492

Z12

Z22 = 0

15.148492Z32 0.005851645*2431.62148381

Asumimos Z12 = 1 Método Dinámico de Análisis Modal

0

0

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

Z2 =

Z12 Z22 Z32

=

1.000000 -0.144671695 -2.383407279

Tercer Modo: Usando análogamente W32. 79.9475850.035280699*3630.78873029

-40.379154

0

Z13

-40.379154

55.5276460.034985413*3630.78873029

-15.148492

Z23

0

-15.148492

0 =

15.148492Z33 0.005851645*3630.7887029

0 0

Asumimos Z13 = 1, Despejando Z23: Z23 = Z23 Z33 = Z33

[79.947585-(0.035280699*3630.7887029)]*1 40.379154 = -1.192426650 -15.148492*(-1.192426650) 15.148492-(0.005851645*3630.7887029) = 2.962391959

Comprobación de la Ortogonalidad de los modos con respecto a las matrices de masa y rigidez. a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas: ZjT*M*Zr = 0

si j z r

Z1T*M*Z2 = 1.00

1.648290335 1.931478261

0.035280699 0 0 1.000000 0 0.034985413 0 -0.144671695 0 0 0.005851645 -2.383407279

=0

0.035280699 0 0 1.00 0 0.034985413 0 -1.192426650 0 0 0.005851645 2.962391959

=0

Z1T*M*Z3 = 1.00

1.648290335 1.931478261

Z2T*M*Z3 = Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

1.00

-2.383407279

-0.144671695

0.035280699 0 0 1.00 0 0.034985413 0 -1.192426650 0 0 0.005851645 2.962391959

=0

b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigidez: ZjT*K*Zr = 0

si j z r

Z1T*K*Z2 = 1.00

1.648290335 1.931478261

79.947585 -40.379154 0

1.000000 -40.379154 0 55.527646 -15.148492 -0.144671695 =0 -15.148492 15.148492 -2.383407279

79.947585 -40.379154 0

1.00 -40.379154 0 55.527646 -15.148492 -1.192426650 =0 -15.148492 15.148492 2.962391959

79.947585 -40.379154 0

1.00 -40.379154 0 -1.192426650 55.527646 -15.148492 =0 -15.148492 15.148492 2.962391959

Z1T*K*Z3 = 1.00 1.648290335 1.931478261 Z2T*K*Z3 = 1.00

-0.144671695

-2.383407279

Análisis Sísmico Dinámico Cálculo del coeficiente de participación de cada modo Dm, haciendo uso de la ecuación: Dm =

¦m1*Iim ¦m1*Iim2

D1 =

(0.035280699*1)+(0.034985413*1.648290335)+(0.005851645*1.931478261) (0.035280699*(1)2)+(0.034985413*(1.648290335)2)+(0.005851645*(1.931478261)2)

D1 = 0.685122131 D2 =

(0.035280699*1)-(0.034985413*0.144671695)-(0.005851645*2.383407279) (0.035280699*(1)2)+(0.034985413*(-0.144671695)2)+(0.005851645*(-2.383407279)2)

D2 = 0.234967703

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

D3 =

(0.035280699*1)-(0.034985413*1.192426650)+(0.005851645*2.962391959) (0.035280699*(1)2)+(0.034985413*(-1.192426650)2)+(0.005851645*(2.962391959)2)

D3 = 0.079910166 Cálculo de matriz modal normalizada. 0.685122131

1.000000 1.648290335 1.931478261

I2 =

I3 =

I1 =

I1 =

0.685122131 1.129280187 1.323298502

0.234967703

1.000000 -0.144671695 -2.383407279

I2 =

0.234967703 -0.033993176 -0.560023734

0.182244

1.000000 -1.192426650 2.962391959

I3 =

0.079910166 -0.095287011 0.236725232

Forma Modal Normalizada

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 3.7.1. CALCULO DE LAS FUERZAS Y CORTANTES SISMICOS (MODALES) MEDIANTE EL METODO DE ANÁLISIS DINÁMICO CON UN GRADO DE LIBERTAD POR PLANTA

APLICANDO EL REGLAMENTO NACIONAL DE CONSTRUCCION EJE 2

Datos obtenidos del análisis dinámico con un grado de libertad por Nivel. 1.a) En la Tabla anexa se indican los pesos y las coordenadas modales de los diversos pisos calculados mediante un análisis modal. Nivel 3 2 1

I1 I2 I3 Wi (Kg) 5,740.46 1.323299 -0.560024 0.236725 34,320.69 1.129280 -0.033993 -0.095287 34,610.37 0.685122 0.234968 0.079910

1.b) Período de los modos (Datos del Análisis Dinámico) T1 = T2 = T3 =

0.3225089 0.1274183 0,1042748

Seg. Seg. Seg.

Modo 1 Modo 2 Modo 3

Datos obtenidos aplicando la Norma Sismorresistente, (Tabla A-1, A-2, RNC-83, ver tabla en ANEXO I). 2.a) Ubicación y Zonificación: Managua, Zona sísmica 6 2.b) Uso: Apartamentos, Grupo 2 Vida Económica 50 años Probabilidad de daño aceptable 0.40 Probabilidad de no excedencia 0.60 Riesgo/año 0.10 100 Años Período de Retorno Entonces, A= 0.35 K 2.c) Sistema Aporticado por lo tanto, el tipo de 0.67 = Estructura es: Tipo I 2.d) Factor de deformación de daño dt= 3.00 2.e) Factor Intervalo de Confiabilidad Espectral (1+ Kt Vs) = 1.00 2.f) Factor de Reducción R R= 0.70 Fuerzas modales . Fim = Wi x Iim x Dm x Am/g Dm =

¦ Wi Iim ¦ Wi Im2

Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi

Fim = Fuerza Lateral en el Piso i, modo m am = Factor de participación de cada modo Sm= Cortante en la base para el modo m

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

2

Dm =

1 ¦W

¦ Wi Iim ¦ Wi Iim2

Dm= Fracción de Masa total o participativa asociada con la respuesta en modo m

Modo 1: Se determinará el coeficiente sísmico c Factor de Amplificación Dinámica, Como T1 = 0.3225089 seg< 0.5 seg. D= 2 T1 =

0.3225089 seg Se calcula

V1= V1=

Período Fundamental A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g

V1 =0.163 Wn c = 0.163

Haciendo uso del espectro de aceleraciones para análisis dinámico modal, deducimos Am, en base al período modal Am = Am =

cxg 0.163 g

Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 1 Masa I1 NIVEL Wi (Kg) (kg-s2/m) 3 2 1

¦

5,740.46 34,320.69 34,610.37

585.16 3,498.54 3,528.07

Wi I1

7,596.346 38,757.675 23,712.327 74,671.52 7,611.78 Acumulados 70,066.35

S1 =0.938x74,671.52x0.163 =

1.323 1.129 0.685

Wi I12 10,052.234 43,768.275 16,245.840 70,066.35

D 1 (Cte)

D 1 (Cte)

0.938

1.000

11,444.17 kg

Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F31 = Wi x Iim x Dm x Am/g F31 = 5,740.46 x 1.323 x 1.000 x 0.163 = 1,240.74 kg

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

NIVEL

Peso (kg)

I1

D1 (Cte)

Fi1 (kg)

3 2 1 ¦

5,740.46 34,320.69 34,610.366 74,671.52

1.323 1.129 0.685

1.000 1.000 1.000

1,240.74 6,330.42 3,873.01

Vi1 (kg) 0.00 1,240.74 7,571.16 11,444.17

Se comprueban al final los valores comparando S1 del nivel 1 con V11 V11 =

11,444.17

Cortes del Modo 1 S1 =

Kg OK

11,444.17

El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales)

Kg

Cálculo del desplazamiento modal en cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'11 =

0.8677

cm

G'21 =

1.4302

cm

d'31 =

1.6759

cm

Se repite el cálculo para los modos 2 y 3 lo cual aparece resumido en las tablas siguientes. Fuerzas modales en el 2do modo. Se determinará el coeficiente sísmico Factor de Amplificación Dinámica, Como T2 =0.1274183seg < 0.5; entonces D =2 T2 =

0.1274183 seg Se calcula

V2= V2=

A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g c=

V2 =0.163 Wn c = .163

Haciendo uso del espectro de aceleraciones para análisis dinámico modal, deducimos Am, en base al periodo modal T2=

0.1274 seg

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Entonces Am=c*g= 0.163 g Se calcula el corte Basal

c = 0.163

Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 2 I2 D 2 (Cte) D 2 (Cte) NIVEL Wi (Kg) Masa Wi I2 Wi I22 2 (kg-s /m) 3 5,740.46 585.16 -0.560 -3,214.796 1,800.362 0.050 1.000 2 34,320.69 3,498.54 -0.034 -1,166.669 39.659 1 34,610.37 3,528.07 0.235 8,132.318 1,910.832 Acumulados 3,750.85 3,750.85 74,671.52 7,611.78 ¦ S 2 = 0.050 x 74,671.52 x 0.163 = 612.64 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F32= Wi x Iim x Dm x Am/g F32 = 5,740.46 x -0.560 x 1.000 x 0.163 = -525.08 kg NIVEL 3 2 1 ¦

Peso (kg) 5,740.46 34,320.69 34,610.366 74,671.52

I2 -0.560 -0.034 0.235

D2 (Cte) 1.000 1.000 1.000

Fi2 (kg) -525.08 -190.56 1,328.28

Vi2 (kg) -525.08 -715.64 612.64

Se comprueban al final los valores comparando S2 del nivel 1 con V12 V12 =

612.64

Cortes del Modo 2 S2 =

Kg OK

612.64

El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales)

Kg

Cálculo del desplazamiento modal de cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'12 =

0.0464

cm

G'22 =

-0.0067

cm

G'32 =

-0.1107

cm

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

Fuerzas Modales en el 3er modo: Determinación del coeficiente sísmico Factor de amplificación entonces D =2 Se calcula

V3= V3=

dinámica

T3=0,104274803

A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g

seg

<

0.5

seg;

V3 = 0.163 Wn c = 0.163

Determinación de la aceleración espectral Am En base al período Am = c*g = 0.163 Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 3 NIVEL

Wi (Kg)

3 2 1 ¦

5,740.46 34,320.69 34,610.37 74,671.52

Masa I3 Wi I3 (kg-s2/m) 585.16 0.237 1,358.913 3,498.54 -0.095 -3,270.316 3,528.07 0.080 2,765.720 7,611.78 Acumulados 854.32

Wi I32 321.689 311.619 221.009 854.32

D 3 (Cte) D 3 (Cte) 0.011

1.000

S3 = 0.163 x 74,671.52 x 0.011 = 139.54 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F33 = Wi x Iim x Dm x Am/g F33 = 5,740.46 x 0.237 x 1.000 x 0.163 = 221.96kg NIVEL 3 2 1 ¦

Peso (kg) 5,740.46 34,320.69 34,610.366 74,671.52

I3 0.237 -0.095 0.080

D3 (Cte) 1.000 1.000 1.000

Fi3(kg) 221.96 -534.15 451.73

Vi3(kg) 221.96 -312.19 139.54

Se comprueban al final los valores comparando S3 del nivel 1 con V13 V13 = Cortes del Modo 3

139.54

Kg OK

El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales) Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal S3=

139.54

Kg

Cálculo del desplazamiento modal de cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'13 =

0.0106

cm

G'23 =

-0.0126

cm

G'33 =

0.0313

cm

Fuerzas modales del análisis modal: los valores finales del corte basal y corte en cada piso se determinarán por combinación de los respectivos valores modales, tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor modal. NIVEL 3 2 1

V1 (kg)

V3 (kg) V

V2 (kg)

1,240.74 -525.08 7,571.16 -715.64 11,444.17 612.64

221.96 -312.19 139.54

2

ȈV1 , m

(kg) 1,365.43 7,611.31 11,461.41

COMBINACIÓN CUADRÁTICA DE LOS NODOS

Desplazamiento total en cada piso NIVEL

MODO 1

MODO 2

MODO 3

3 2 1

G't1 1.6759 1.4302 0.8677

G't2 -0.1107 -0.0067 0.0464

G't3 0.0313 -0.0126 0.0313

G'i total (cm) 1.680 1.430 0.869

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

ESTRUCTURA IDEALIZADA EJE 2

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

3.7.2.- ANALISIS DEL EJE B Cálculo de rigidez de columnas. K=

12*E*I L3

12*2038.901781 Tn/cm 2 *7242.427cm (380cm)3 K1 = 22.605230 Tn/cm

4

*7 columnas

12*2038.901781 Tn/cm 2 *3987.497cm (350cm)3 K2 = 15.928388 Tn/cm

4

*7 columnas

K1 =

K2 =

12*2038.901781 Tn/cm 2 *844.950cm K3 = (400cm)3 K3 = 2.261136 Tn/cm

4

*7 columnas

Determinación de la matriz de rigidez lateral (K). K=

K1+K2 -K2 0

-K2 K2+K3 -K3

0 -K3 K3

=

38.533618 -15.928388 0

-15.928388 18.189524 -2.261136

0 -2.261136 2.261136

Cálculo de masas por nivel. mi =

m1 =

Wi g

NOTA: Los pesos fueron calculados en la sección 3.6.3, EJE B, página 50.

97508.933 kg 981cm/seg2

*

1Tn 1000 kg

m1 = 0.099397 ton-seg2/cm m2 =

97112.404 kg 981cm/seg2

*

1Tn 1000 kg

m2 = 0.098993 ton-seg2/cm

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

16312.731 kg 981cm/seg2

m3 =

*

1Tn 1000 kg

m3 = 0.016629 ton-seg2/cm Determinación de matriz de masa. m1 0 0

M=

0 m2 0

0 0 m3

=

0.097359 0 0

0 0.098993 0

0 0 0.016629

Cálculo de las frecuencias para cada uno de los modos de vibración. |K – W2*M| = 0 38.533618 -15.928388 0

-15.928388 18.189524 -2.261136

38.533618-0.099397W2 -15.928388 0

0 -2.261136 2.261136

0.099397 0 0

-W2

-15.928388 18.189526-0.098993W2 -2.261136

0 0.098993 0

0 0 0.016629

0 -2.261136 2.261136-0.016629W2

El desarrollo de este determinante conduce a la siguiente expresión: -0.000163622828478W6 + 0.115745950405W4 – 19.6415422026W2 + 814.15564955 = 0 Resolviendo la ecuación anterior obtenemos: W1 2 = W2 2 = W3 2 =

62.4946020365 seg-2 167.382541723 seg-2 485.632845167 seg-2

W1 = W2 = W3 =

7.90535274586 seg-1 12.9376405006 seg-1 22.037078871 seg-1

Cálculo del período para cada uno de los modos. T1 =

2S W1

=

2*S 7.90535274586 seg-1

T1 = 0.795892 seg

Método Dinámico de Análisis Modal

=0

=0

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

2S W2

T2 =

=

2*S 12.9376405006 seg-1

T2 = 0.486205 seg 2S 2*S = T3 = 22.037078871 seg-1 W3 T3 = 0.287365 seg Cálculo de las formas modales Para calcular los modos de vibración, se reemplazan los valores de W en la expresión |K – W2*M|Z = 0 2

Primer modo: Procediendo así con W12, se obtiene el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones. 38.5336180.099397*62.323369389 -15.928388 0

-15.928388

0

Z11

18.1895240.098993*62.323369389 -2.261136

-2.261136

Z21

2.2611360.016629*62.323369389

Z31

0 =

0 0

Asumimos Z11 = 1.00, entonces el valor de Z21 y Z31 los obtenemos por sustitución, en las ecuaciones anteriores. Z11 Z21 Z31

Z1 =

=

1.000000 2.030277 3.749179

Segundo Modo: usando análogamente W22.

38.5336180.099397*167.00194394 -15.928388 0

-15.928388

0

Z12

18.1895240.098993*167.00194394 -2.261136

-2.261136

Z22

2.2611360.016629*167.00194394

Z32

Asumimos Z12 = 1 Z2 =

Z12 Z22 Z32

=

1.000000 1.377046 -6.034989

Método Dinámico de Análisis Modal

0 =

0 0

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

Tercer Modo: Usando análogamente W32. 38.5336180.099397*478.06956231 -15.928388 0

-15.928388

0

Z13

18.1895240.098993*478.06956231 -2.261136

-2.261136

Z23

2.2611360.016629*478.0695631

Z33

0 =

0 0

Asumimos Z13 = 1, Despejando Z23: [38.533618-(0.099397*478.06956231)]*1 15.928388 = -0.567091

Z23 = Z23

-2.261136*(-0.564091) 2.261136-(0.016629*478.06956231) = -0.224215

Z33 = Z33

Comprobación de la Ortogonalidad de los modos con respecto a las matrices de masas y rigideces. a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas: ZjT*M*Zr = 0

si j z r

Z1T*M*Z3 = 1.00

2.203027

3.749179

0.099397 0 0

0 0.098993 0

0 1.00 0 -0.564091 0.016629 -0.224215

=0

b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigidez: ZjT*K*Zr = 0 Z1T*K*Z3 = 1.00

2.203027

si j z r

3.749179

38.533618 -15.928388 0

-15.928388 18.189524 -2.261136

0 -2.261136 2.261136

1.00 -0.564091 -0.224215

Método Dinámico de Análisis Modal

=0

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis sísmico dinámico Cálculo del coeficiente de participación de cada modo Dm, haciendo uso de la ecuación: Dm =

¦m1*Iim ¦m1*Iim2

(0.099397*1)+(0.098993*2.030277)+(0.016629*3.749179) (0.099397*(1)2)+(0.098993*(2.030277)2)+(0.016629*(3.749179)2) D1 = 0.489381 D1 =

(0.099397*1)+(0.098993*1.377046)+(0.016629*(-6.034989)) (0.099397*(1)2)+(0.098993*(1.377046)2)+(0.016629*(-6.034989)2) D2 = 0.151619 D2 =

(0.099397*1)+(0.098993*(-0.564091))+(0.016629*(-0.224215)) (0.099397*(1)2)+(0.098993*(-0.564091)2)+(0.016629*(-0.224215)2) D3 = 0.302336 D3 =

Cálculo de matriz modal normalizada. I1 =

I2 =

I3 =

0.489381

1.000000 2.030277 3.749179

I1 =

0.489381 0.993579 1.834777

0.151619

1.000000 1.377046 -6.034989

I2 =

0.151619 0.208786 -0.915019

0.302336

1.000000 -0.564091 -0.224215

I3 =

0.302336 -0.170546 -0.067788

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

Forma Modal Normalizada

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 3.7.2.11. CALCULO DE LAS FUERZAS Y CORTANTES SISMICOS (MODALES) MEDIANTE EL METODO DE ANÁLISIS DINÁMICO CON UN GRADO DE LIBERTAD POR PLANTA APLICANDO EL REGLAMENTO NACIONAL DE CONSTRUCCION EJE B Datos obtenidos del análisis dinámico con un grado de libertad por Nivel. 1.a) En la Tabla anexa se indican los pesos y las coordenadas modales de los diversos pisos calculados mediante un análisis modal. Nivel 3 2 1

I1 I2 I3 Wi (Kg) 16,312.73 1.834777 -0.915019 -0.067788 97,112.40 0.993579 0.208786 -0.170545 97,508.93 0.489381 0.151619 0.302336

1.b) Período de los modos (Datos del Análisis Dinámico) T1 = T2 = T3 =

0.795892 0.486205 0.287365

Seg. Seg. Seg.

Modo 1 Modo 2 Modo 3

Datos obtenidos aplicando la Norma Sismorresistente, (Tabla A-1, A-2, RNC-83, Ver tabla en ANEXO I) 2.a) Ubicación y Zonificación: Managua, Zona sísmica 50 años 2.b) Uso: Apartamentos, Grupo 2 Vida Económica Probabilidad de daño aceptable 0.40 Probabilidad de no excedencia 0.60 Riesgo / año 0.10 100 Años Período de Retorno Entonces, A= 0.35 K 2.c) Sistema Aporticado por lo tanto, el tipo de 0.67 = Estructura es: Tipo I 2.d) Factor de deformación de daño dt= 3.00 2.e) Factor Intervalo de Confiabilidad Espectral (1+ Kt Vs) = 1.00 2.f) Factor de Reducción R R= 0.70 Fuerzas modales . Fim = Wi x Iim x Dm x Am/g Dm =

¦ Wi ¦ Wi

Iim Iim2

Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi

Fim = Fuerza Lateral en el Piso i, modo m Dm = Factor de participación de cada modo Sm= Cortante en la base para el modo m Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 2

Dm = 1 ¦W

¦Wi ¦Wi

Iim Iim2

D m= Fracción de Masa total o participativa asociada con la respuesta en modo m

Modo 1: Se determinará el coeficiente sísmico c

Factor de Amplificación Dinámica, Como T1 = 0.795892 seg > 0.5 seg. Entonces D= 2*(0.5/T)0.5 D= 1.585 T1 =

0.795892 seg.

Se calcula

V1= V1=

Período Fundamental A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*1.585*0.7*(1/3)*1*Wn/g V1 =0.129 Wn c = 0.129

Haciendo uso del espectro de aceleraciones para análisis dinámico modal, deducimos Am, en base al período modal Am = Am =

(0.5/T)x c x g 0.081 g

Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 1 NIVEL

Wi (Kg)

3 2 1 ¦

16,312.73 97,112.40 97,508.93 210,934.07

Masa I1 (kg-s2/m) 1,662.87 1.835 9,899.33 0.994 9,939.75 0.489 21,501.94 Acumulado

Wi I1

Wi I12

Į (Cte)

Į (Cte)

29,930.224 96,488.845 47,719.019 174,138.09

54,915.286 95,869.290 23,352.781 174,137.36

0.826

1.000

S1= 0.826 x 210,934.07 x 0.081 = 14,160.73 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F31 = Wi x Iim x Dm x Am/g F31 = 16,312.73 x 1.835 x 1.000 x 0.081 = 2,433.89 kg Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

NIVEL

Peso (Kg.)

I1

3 2 1 ¦

16,312.73 97,112.40 97,508.933 210,934.07

1.835 0.994 0.489

D1 (Cte) Fi1 (kg) 1.000 1.000 1.000

2,433.89 7,846.37 3,880.46

Vi1 (kg) 0.00 2,433.89 10,280.26 14,160.72

Se comprueban al final los valores comparando S1 del nivel 1 con V11 V11 =

14,160.72 Kg.

Cortes del Modo 1 S1 =

El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales)

OK 14,160.73 Kg.

Cálculo del desplazamiento modal en cada piso G 'im = dt x Am x 1/W2m x D G'11 =

1.8741

cm

G'21 =

3.8049

cm

G'31 =

7.0262

cm

m

x I

im

Se repite el cálculo para los modos 2 y 3 lo cual aparece resumido en las tablas siguientes. Fuerzas modales en el 2do modo. Se determinará el coeficiente sísmico Factor de Amplificación Dinámica, Como T2 =0.486205 seg. < 0.5; Entonces D =2 T2 = Se calcula

0.486205 seg. V2= V2=

A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V2=0.163 Wn c =0.163

Haciendo uso del espectro de aceleraciones para análisis dinámico modal, deducimos Am, en base al período modal. T2=

0.4862 seg Entonces Am=

c*g

=

0.163g

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 2 NIVEL

Wi (Kg.)

3 2 1 ¦

16,312.73 97,112.40 97,508.93 210,934.07

Masa I2 Wi I2 (kg-s2/m) 1,662.87 -0.915 -14,926.459 9,899.33 0.209 20,275.710 9,939.75 0.152 14,784.207 Acumulados 20,133.46 21,501.94

Wi I22 13,657.993 4,233.284 2,241.567 20,132.84

D 2 (Cte) 0.095

D 2 (Cte) 1.000

S2= 0.095 x 210,934.07 x 0.163 =3,288.57 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F32= Wi x Iim x Dm x Am/g F32 =16,312.73 x -0.915 x 1.000 x 0.163 = -2,438.06 kg NIVEL 3 2 1 ¦

Peso (Kg.) 16,312.73 97,112.40 97,508.933 210,934.07

I2 -0.915 0.209 0.152

D2 (Cte.) 1.000 1.000 1.000

Fi2 (kg) -2,438.06 3,311.80 2,414.83

Vi2 (kg) -2,438.06 873.74 3,288.57

Se comprueban al final los valores comparando S2 del nivel 1 con V12 V12 =

3,288.57

Cortes del Modo 2 S2 =

Kg. OK

3,288.57

El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales)

Kg.

Cálculo del desplazamiento modal de cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'12 =

0.4354

cm

G'22 =

0.5996

cm

G'32 =

-2.6278

cm

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

Fuerzas modales en el 3er Modo: Determinación del coeficiente sísmico Factor de amplificación dinámica T3 = 0,287365 seg. < 0.5 seg.; entonces D=2 0.287365 seg. T3 = V3= V3=

Se calcula

A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V3= 0.163 Wn c = 0.163

Determinación de la aceleración espectral Am En base al período Am = c*g = 0.163g Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 3 NIVEL

Wi (Kg.)

3 2 1 ¦

16,312.73 97,112.40 97,508.93 210,934.07

Masa I3 (kg-s2/m) 1,662.87 -0.068 9,899.33 -0.171 9,939.75 0.302 21,501.94 Acumulados

Wi I3

Wi I32

-1,105.807

74.960

D 3 (Cte) 0.056

D 3 (Cte) 1.000

-16,562.035 2,824.572

29,480.461 8,913.005 11,812.62 11,812.54

S3 = 0.056 x 210,934.07 x 0.163 = 1,929.41 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, lo cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F33 = Wi x Iim x Dm x Am/g F33 =16,312.73 x -0.068 x 1.000 x 0.163 = -180.62 kg NIVEL 3 2 1 ¦

Peso (kg) 16,312.73 97,112.40 97,508.933 210,934.07

I3 -0.068 -0.171 0.302

D3 (Cte) 1.000 1.000 1.000

Fi3 (kg) -180.62 -2,705.15 4,815.17

Vi3 (Kg.) -180.62 -2,885.77 1,929.40

Método Dinámico de Análisis Modal

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Se comprueban al final los valores comparando S3 del nivel 1 con V13 V13 =

1,929.40

Cortes del Modo 3

Kg. OK

El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales)

1,929.41 Kg. S3= Cálculo del desplazamiento modal de cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'13 =

0.2993

cm

G'23 =

-0.1688

cm

G'33 =

-0.0671

cm

Fuerzas modales del análisis modal: los valores finales del corte basal y corte en cada piso se determinarán por combinación de los respectivos valores modales, tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor modal. NIVEL 3 2 1

V1(Kg.)

V2(kg)

V3 (kg)

V

2

ȈV1 , m

(kg) 2,433.89 -2,438.06 -180.62 3,449.72 10,280.26 873.74 -2,885.77 10,713.30 14,160.72 3,288.57 1,929.40 14,665.04

COMBINACIÓN CUADRÁTICA DE LOS MODOS

Desplazamiento total en cada piso NIVEL

MODO 1

MODO 2

MODO 3

3 2 1

G't1 7.0262 3.8049 1.8741

G't2 -2.6278 0.5996 0.4354

G't3 -0.0671 -0.1688 -0.0671

G'i total (cm) 7.502 3.856 1.925

Método Dinámico de Análisis Modal

EJE B

ESTRUCTURA IDEALIZADA

Análisis Sísmico Dinámico

Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal

Introducción. El propósito del presente documento es el de presentar el procedimiento de diseño de un edificio de dos plantas y la obtención de fuerzas sísmicas por medio de Métodos Dinámicos así como su comparación con las obtenidas por medio del empleo del Método Estático Equivalente propuesto en el Reglamento Nacional de la Construcción, RNC-83. El edificio tratado es un edificio para uso de Biblioteca por parte del Colegio Bautista de Managua, con un área aproximada de 900 m2. Para efectuar el análisis dinámico se empleo el método de iteraciones matriciales de Stodolla-Vianello montado en el programa Mathcad 12, posteriormente se realizo un análisis de los periodos de vibración naturales del suelo del sitio tomando en consideración la información proporcionada por el estudio de suelos efectuado en el sitio. 3,00

1,00

5,00

4,99

3,00

5,00

1,00

0,30 0,30 0,26

3,00

1,39

0,30 0,85

3,00

0,85

0,20 1,39

0,30

0,90

1,90

P

V 4

0,26

0,4

5

0,3 0

0,3 0 0,4 5

V 3

13

0,90

N.P.T.=0.00

P

7

P

11

0,80

P

COCINA

12

P 9

0,10

8

10

0,4

5

0,3 0

5,00

0,10

P

V 5

0,90

0 5

P

0,4

0,3

1,60

2,95

V 1

3,0 0

0,70

3,0 0

V 2

SALA DE JUNTAS DIRECCION

SECRETARIA

6

0,30

P

N.P.T.=0.00

N.P.T.=0.00

0,30

P

3

0,51

4

1,60

0,90

0,82

1,48

P

0,51

0,30

P

0,90

5

0,90

V 13

0,81

1,36

1,51

2,35

0,90

0,30

N.P.T.=0.00

0,15

P

0,90

2,10

2,10

1,25

0,90

1,60

1

1,25

0,90

4,15

V 12

VESTIBULO

3,00

CAJA

V 11

BODEGA

P

N.P.T.=0.00

2

S U B E

ESCALERA

SECRETARIA ACADEMICA

N.P.T.=0.00

N.P.T.=0.00

3,28

4

2

3

1

5

6

7

8

9

10

11

16

12

P

15

13

5,01

3,25

P

14

N.P.T.=0.00

N.P.T.=+2.00

0,81

25

24

23

20

22

21

19

18

17

16

P 19

18 1,51

1,51

P

BODEGA CONTABILIDAD

0,30

2,80

17 1,70

P

15

0,30

14

0,84

111

N.P.T.=0.00

3,70

4,10

0,90

N.P.T.=0.00

P

P

21

0,30

0,30

SECRETARIA CONTABILIDAD

5,00

N.P.T.=0.00 20

SUB-DIRECCION 0,3

0

N.P.T.=0.00

0,4

4 0,4

5

1,40 0 0,3

BODEGA SUB-DIRECCION

2,24

V 10

V 6

N.P.T.=0.00 3,0

0

0 3,0

V 8

V 9

V 7 4

4 0,4

0,26 0,30

3,00

1,39

0,85

3,00

0,85

0,30

1,39

3,00

0,30

PLANTA ARQUITECTONICA - PRIMER NIVEL ESCALA :------------------ 1 : 50

0,30 0,26

0,3

0

0 0,3

0,4

15,00

N.P.T.=0.00 P

VESTIBULO

23,00

1,00

3,00

5,00

4,99

3,00

1,39

0,30

0,75

2,89

1,05

0,48

3,00

0,26 0,3 0

0,4

V 16

1,00

0,30 0,91

0,4

5

0,3 0

0,30 0,30

3,00

5,00

P

5

V 17

22

1,89

3,0

0

3,0 0

V 15

V 18 0,3 0

0,3 0

0,4 5

0,4 5

SALA MULTIMEDIA SALA DE LA CULTURA

N.P.T.=+4.00

0,30

0,30

5,00

SALA DE LAS PROMOCIONES

N.P.T.=+4.00

N.P.T.=+4.00

1,48

1,51

3,9

2

0,26

0,81

0,78

0,82

0,30

0,30

3,20

6,92

1,96

1,41

5 1,2

4,15

2,26

N.P.T.=+4.00 3,00

3,28

V 19

VESTIBULO

9

10

13

LOBBY

N.P.T.=+4.00

11

N.P.T.=+4.00

VESTIBULO

12

3,25

5,00

15,00

SALA DE LOS TROFEOS V 14

N.P.T.=+4.00

ESCALERA N.P.T.=+2.00

111

0,24

0,96

0,81

0,84

0,96

0,30

B A J A P

CONTABILIDAD

23

P

P

24

25

SALA DE LOS DEPORTES 0,30

SALA DE LOS DIRECTORES

27

1,51

P

26

0,30

1,51

N.P.T.=0.00 P

N.P.T.=+4.00

N.P.T.=+4.00 5,00

1,35

CONTABILIDAD N.P.T.=0.00

0,3

6 0,4

0 0,3

0 0,4 4

0,36 1,35

V 24

1,79

P

P

28

V 20

29

CONTABILIDAD

0 3,0

3,0

N.P.T.=0.00

0

V 22

V 23

V 21

4 0,4

0,4 4 0,3

0,26

3,00

1,39

0,85

3,00

0,85

1,39

3,00

0 0,3

0,30

0

0,30

0,30

0,30

0,30

23

22

21

20

19

18

16

17

15

0,91 14

1,41

0,26

PLANTA ARQUITECTONICA - SEGUNDO NIVEL ESCALA :------------------ 1 : 75

Nota: Se adjunta elevación arquitectónica ilustrativa al final del documento (En anexos).

El edificio está conformado de paredes exteriores de Panel Covintec, Las paredes internas son particiones de JPM, la estructura principal será Metálica con entrepiso de losa mixta de lámina troquelada y concreto reforzado. II. CLASIFICACION ESTRUCTURAL. De acuerdo con el Reglamento Nacional de la Construcción, RNC-83, el edificio se clasifica de la siguiente manera: Grupo: 2 – Oficinas. Tipo: 3 – Edificio de dos Plantas con pórticos rígidos. K: 1.00 Grado: B – Calidad Regular. III. CARGAS VIVAS. Oficinas CV= 250 kg/m2 CVR=100 kg/m2 IV. CARGAS MUERTAS Zinc corrugado calibre 26= 5.4 Kg/m2 Cielo raso de Plycem con estructura de aluminio= 7 kg/m2 Peso de piso cerámico= 30 Kg/m2 Peso de paredes de Covintec = 150 Kg/m2 Peso de particiones ligeras (Durock/ Gypsum) = 23 kg/m2 Ventanas de Vidrio Fijo con Estructura de Aluminio= 35 kg/m2 C= 0.429

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

Resolucion al problema del analisis modal para un edificio de dos niveles siguiendo la metodologia empleada por el Ing. Gilberto Lacayo. (Metodo matricial StodollaVianello). Primeramente se ensambla la matriz de masas del edificio, para esto necesitamos Matriz de masas: conocer la masa de todos los elementos que lo componen tales como losas, vigas x 0.34 y columnas, forros y particiones, paredes, escaleras, descanso, losa de techo, ductos y tuberias, etc. (calculo en hoja de excel anexa). Matriz de rigidez lateral del edificio:

16 es el numero de columnas.

La matriz de rigidez lateral es:

La matriz de flexibilidad es

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (1 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

x 8.29x10^-2

es la matriz de flexibilidad

La matriz dinamica para el PRIMER MODO DE VIBRACION es:

factor de la matriz de flexibilidad * factor de matriz de masas.

x 0.028

Configuracion caracteristica para el primer modo de vibracion vector de prueba inicial:

Ecuacion carateristica para el primer modo de vibracion: D1*u1=1/wl2*u1

Para la segunda iteracion se toma el valor de D1*u1 anterior como vector de prueba. asi:

Tercera iteracion

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (2 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

Cuarta iteracion

Quinta iteracion los resultados son practicamente iguales.

SEGUNDO MODO DE VIBRACION

Aplicamos el principio de ortogonalidad. para lo cual calculamos la transpuesta de la matriz de desplazamientos U1

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (3 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

La matriz traspuesta x la matriz de masas x el desplazamiento unitario segundo debe ser igual a cero, o sea.

hacemos cero US1 y sustituimos el coeficiente de US2 en la matriz de masas.

A partir de esta y la matriz de masas, construimos la matriz de eliminacion S1

recordando que:

y montamos la matriz dinamica para el segundo modo de vibracion que es

La configuracion caracteristica para el segundo modo de vibracion es:

por lo tanto necesitamos asumir un valor de prueba para los desplazamientos u2

Primera iteracion matricial.

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (4 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

Segunda iteracion matricial.

Tercera iteracion matricial.

Cuarta iteracion matricial.

Quinta iteracion matricial.

Sexta iteracion matricial.

Septima iteracion matricial.

Octava iteracion matricial.

Novena iteracion matricial.

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (5 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

Decima iteracion matricial.

En el problema presentado empleamos el valor obtenido en la novena iteracion lo cual nos da los siguientes resultados.

de aqui w2=

el periodo T2

El vector U2, desplazamiento para el segundo modo de vibracion es:

AHORA PASAMOS AL TERCER MODO DE VIBRACION No existe tercer modo de vibracion ya que hay tantos modos de vibracion como niveles tenga el edificio, en nuestro caso, tiene solamente dos niveles por lo tanto solo existen dos modos de vibrar. Con los valores de los vectores de desplazamiento para cada modo obtenemos la matriz modal para el sistema estructural la cual es:

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (6 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

Esta matriz de vectores de desplazamientos esta referida al nivel o piso de referencia uno, por lo cual es logico que los desplazamientos en los niveles superiores son mayores que en los niveles inferiores por lo tanto se ordenan de arriba hacia abajo, asi:

Ahora procedemos a efectuar el analisis espectral que es la segunda parte del problema. La clasificación estructural siguiendo los lineamientos del RNC 83 son los siguientes. (esto es necesario para el calculo de las aceleraciones espectrales de acuerdo con el espectro de respuesta sumnistrado en el reglamento). Veamos: Grupo 1. Edificio destinado a uso como Biblioteca. Tipo 3. Edificios hasta de dos plantas con marcos rigidos de cualquier material o hibridos. Grado B. Sistema estructural con simetría aceptable, confiabilidad del sistema constructivo, control de los materiales, supervisión permanente. Zona Sismica: zona 6, que incluye Managua. Coeficiente Sísmico Último: De la tabla 14 del RNC. Cu=0.429. Los periodos de vibracion del edificio calculados son:

n de golpes=27 segun el RNC es un SUELO MEDIO.

Aplicamos el articulo 23 del RNC 83 Influencia del suelo y del periodo del edificio. Por lo tanto para suelos medios y duros con periodo mayor de 0.8 segundos (Ver espectro de aceleraciones del RNC 83).

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (7 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

La aceleracion para el primer periodo es

Ahora se pasa a efectuar numericamente en una hoja de calculo de excel.

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (8 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

Ahora se procede a calcular los desplazamientos espectrales.

Para el primer modo:

Para el segundo modo:

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (9 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

Ahora calculamos las fuerzas sismicas espectrales.

Para el modo 1:

Para el modo 2:

Las fuerzas sismicas estandarizadas son:

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (10 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM

1

3.9 ANÁLISIS MODAL ELÁSTICO PARA UN EDIFICIO DE CINCO NIVELES.

Ilustraremos la aplicación del método de iteraciones matriciales en el análisis del edificio de cinco niveles mostrado en la Fig (3.32) proyectado para construirse en el sector de San Antonio en Managua, en un sitio localizado entre las fallas Estadio y Los Bancos, estructuras cuyo control tectónico se conoce desde el estudio de Durham H.W. (1939).

GEOLOGÍA LOCAL

La ciudad de Managua se localiza en una planicie de abanicos aluviales cuyo espesor alcanza hasta unos 12m, constituidos por estratos entremezclados de materiales piroclásticos y suelos, ya que el lugar registra un historial volcánico cuyas deposiciones junto con los materiales aluviales forman parte de la topografía de las planicies de Managua. Durante el Pleistoceno y el Holoceno la sedimentación del área de Managua fue de piroclastos transportados por el agua y el viento, esta deposición fue extensiva en las planicies, formando grandes abanicos aluviales siguiendo la ruta de los drenajes y de pequeñas escarpas de fallas, lo cual hace que la estratigrafía del área sea variable, caracterizada por estratos horizontales indicativos de largos periodos de inactividad volcánica.

2

Existen en el área aluviales espesos, con abundantes escombros y secuencias de materiales volcánicos depositados en capas tobáceas, así como materiales gruesos cementados, arenas y gravas en la vecindad lacustre. TECTÓNICA DEL LUGAR

La ciudad de Managua se localiza dentro de la depresión tectónica o Graben de Nicaragua la cual se encuentra rellenada por materiales piroclásticos pertenecientes al vulcanismo Holocenico, cuya actividad principal se produjo en las estructuras volcánicas alineadas desde Apoyeque hasta la región del Nejapa y en la estructura del área del Tiscapa. Esta unidad tectónica presenta las características de las estructuras producidas por los esfuerzos de tensión debidos a la depresión nicaragüense y las estructuras individuales que integran la unidad. Existen evidencias de las tensiones en la región del Graben, observándose además esfuerzos compresivos en los materiales líticos tobáceos y en los materiales cementados, donde el fracturamiento presenta desplazamientos del orden de algunos centímetros. La información instrumental confirma que los esfuerzos confinados en la región del Pacifico de Nicaragua transfieren movimientos a lo largo de zonas de debilidad estructural, para nuestro propósito establecemos las relaciones de las fallas activas Estadio y Los Bancos con la posibilidad de que la energía acumulada produzca movimientos en algunas fallas del sistema escalonado de Managua. ESTRUCTURAS EXISTENTES EN EL SECTOR

Del Informe Técnico de INETER titulado: “Actualización del Mapa de Fallas Geológicas de Managua” (ASDI, The World Bank Group, Managua 2002), transcribimos textualmente: (2) “La ciudad de Managua se ubica dentro de la cordillera volcánica entre los volcanes Apoyeque al noroeste y Masaya al sureste. En ella y en sus alrededores se reconocen numerosos pequeños edificios volcánicos y remanentes de volcanes: Santa Ana, Asososca, Tiscapa, Ticomo, Motastepe, entre otros. El subsuelo de Managua se caracteriza por la presencia de una secuencia volcanosedimentaria donde se reconocen productos provenientes de los volcanes Masaya, Apoyeque, Apoyo, de los volcanes del lineamiento Miraflores-Nejapa, Motastepe y de otros edificios fuera de este lineamiento, como Chico Pelón y Tiscapa que quedan ahora como remanentes de antigua actividad volcánica en el centro del área de estudio. La presencia de numerosos suelos fósiles demuestra la existencia de ciertos períodos de calma entre eventos volcánicos o tectónicos, que han permitidos el desarrollo de suelos de varios tipos (Hradecky et al., 1997). El subsuelo de Managua se compone, a partir de la base, por productos del Grupo Las Sierras, en los cuales se reconocen ignimbritas, ondas piroclásticas y piroclástos de caída, relacionados a explosiones regionales de calderas que se han formado entre final del Terciario e inicio del Cuaternario. Sobre este grupo se depositaron secuencias piroclásticas del Grupo Las Nubes y del Grupo Managua, las cuales están suficientemente descritas en Hradecky et al (1997) y en Hradecky (2001). (2) Este es el estudio mas actualizado acerca del riesgo sísmico debido al sistema de fallas geológicas de la ciudad de Managua.

3

ESTRATIGRAFÍA DE MANAGUA

La geología y estratigrafía de Managua ha sido objeto de estudio en varios proyectos, sin embargo, pocos de ellos, por ejemplo (Bice, 1983) y (Hradecky et al., 1997), emplearon conceptos genéticos en la clasificación litológica; muchos propusieron una clasificación litológica con carácter ingeniero-geológica, especialmente los estudios elaborados después del terremoto de 1972 (Woodward-Clyde Consultants, 1975). El reciente estudio geológico del área de Managua de Hradecky et al. (1997) mejoró los conocimientos sobre la evolución geológica y estructural del área de la capital, considerando indispensables utilizar los aspectos genéticos, en particular vulcanológicos y geomorfológicos en la definición de la amenaza de esta área, así como en las investigaciones científica FALLAS GEOLÓGICAS Y LINEAMIENTOS

Woodward-Clyde Consultants (1975) presentan una descripción de las fallas principales con sus respectivas denominaciones, parámetros y características. Moore (1990) y, más recientemente, el Grupo de Autores (1997, Reporte N°3 de la Microzonificación Sísmica de Managua) recopilaron información bibliográfica de cada falla principal. El área de Managua se ubica dentro de la Depresión de Managua, una estructura orientada N-S, considerada secundaria, con las mismas características y origen de la estructura principal (Depresión de Nicaragua). Sus relaciones con la estructura principal no se conocen. Se trata de una estructura reciente de tipo extensional y activa, que disloca la cordillera volcánica en sentido derecho por unos 13 Km. (discutido por Frischbutter, 1998). La Depresión o Graben de Managua está limitada por la Falla Cofradía al este y el lineamiento Miraflores-Nejapa al oeste. Hacia el norte el graben se pierde dentro del lago y hacia el sector suroeste el graben es limitado por la Falla Mateare y la Falla Las Nubes, mientras hacia el sur el límite se encuentra dentro de las calderas de Las Sierras. Dentro del graben se encuentran fallas orientadas según dos conjuntos conjugados: N-S y NE-SW (Woodward-Clyde Consultants, 1975). Las fallas con orientación N-S generalmente tienen forma de arco, con dirección paralela a estructuras mayores relacionadas a colapsos volcánicos y presentan desplazamientos de tipo normal. Estas observaciones sugieren que dichas fallas pueden estar relacionadas en el tiempo y espacio con el evento de subsidencia del graben. Las fallas con dirección NE-SW, en particular N35°E y N45°E presentan desplazamientos laterales izquierdos (WoodwardClyde Consultants 1975). En el sector sureste del área de estudio se pudieron reconocer además lineamientos E-W y ENE-WSW, ESE-WNW. Pocas fallas presentan una orientación NW-SE, las cuales se pueden encontrar en el sector este y central del área de estudio. LaFemina, Dixon y Strauch (2002) explican la orientación preferencial NNESSO con desplazamiento lateral izquierdo de las fallas en la cadena volcánica como acomodación de los bloques tectónicos en la cadena volcánica. Según este trabajo, los bloques orientados paralelamente a la fosa oceánica, responden a la oblicua presión del proceso de subducción en Nicaragua en forma de un tipo de fallamiento denominado bookshelf ("estantes de libros"). Mientras las fallas geológicas en el centro de Managua fueron detonantes de destructivos terremotos en el siglo XX, no se sabe mucho sobre la actividad de las fallas al este y sur de la ciudad. Cowan et al. (1998) probaron con un

4

estudio de Paleosismología que la Falla Aeropuerto es activa, y, hace aproximadamente 180 años, fue fuente de un terremoto con magnitud comparable con la del terremoto de Managua 1972. Frischbutter (1998) habla de la posibilidad de migración de la actividad hacia el este y que futuros terremotos fuertes podrían ocurrir en las fallas de esta zona. Strauch (1998) hizo simulaciones numéricas de los posibles efectos de terremotos causados por la Falla Aeropuerto y la Falla Cofradía. FALLAS GEOLÓGICAS Y AMENAZA SÍSMICA

En la actualidad, en Managua viven alrededor de un millón de habitantes en una zona sísmica y volcánicamente activa. La ciudad cuenta con una elevada densidad de fallas geológicas activas (Brown et al. 1973) y sufrió en 1931 y 1972 dos terremotos destructivos que causaron grandes perdidas de vidas humanas y enormes daños materiales. Según Segura et al. (2000), las fallas sísmicas locales, en términos estadísticos, generan el 59 % de la amenaza sísmica total en Managua. El 41% restante resulta de la zona de subducción, de otras zonas en la cadena volcánica y de la zona montañosa de Nicaragua. Esto subraya la importancia del conocimiento del fallamiento local en Managua. Se cree que las fallas principales que atraviesan la parte central de Managua tienen pocos kilómetros de longitud y con esta característica pueden generar terremotos relativamente moderados de magnitudes hasta 6.5 Richter. No obstante resultan extremadamente destructivos porque el hipocentro es poco profundo, inclusive la ruptura corta la superficie, y la zona epicentral se ubica directamente en una ciudad densamente poblada. Por otro lado, las fallas que forman los límites Este y Oeste del graben de Managua (Falla Cofradía, Falla Mateare), por ser más largas y poder acumular más energía, podrían causar terremotos más grandes (Strauch et al. 2000. Estudio de la Microzonificación Sísmica de Managua) pero la densidad de población es más baja en esta zona. La importancia de consideraciones geológicas para la reconstrucción de Managua fue obvia después del terremoto de 1972 (Schmoll, 1975). Como acción inmediata, las Autoridades competentes de ese entonces encargaron un mapa de fallas y de la amenaza sísmica, que fue presentado, junto con la matriz de planeación, por Woodward-Clyde en 1975 al Vice Ministerio de Planificación Urbana. Un plan regulador para la reconstrucción y el desarrollo de Managua fue realizado por la Secretaría de Obras Publicas de México en 1973. A raíz de las recomendaciones derivadas de estos estudios se empezaron a requerir investigaciones geológicas para la detección de fallas geológicas en Managua, las cuales se convirtieron desde entonces, en un requerimiento técnico necesario para todo propietario de terreno que deseara levantar una obra o construcción civil de importancia.” (Final del texto transcrito del Informe Técnico de INETER) Las estructuras más importantes próximas a la zona considerada son: Falla Estadio: Localizada en el viejo centro de Managua fue reconocida por vez primera por Lientenant Dan I Sultan en 1931, siendo la causante del terremoto de Marzo de 1931. Su relato histórico puede encontrarse en el estudio de Woodward – Clyde – Consultants Nov de 1975 “Investigation of Active Faulting in Managua and Vinicity Brown en 1973 indica que durante el evento del 23 de Diciembre de 1972 esta falla no se movió.

5

Falla de los Bancos: Es paralela a la falla Estadio, corta diagonalmente al viejo banco central que continua por el parque Luis Alfonso Velásquez. Fue mapeada en detalle por Brown, Ward, Plafter (1973), el U.S.G..S.- Brown et al le describieron de largo 2.7 k.m, con desplazamiento lateral de 5.9cm, J .Kuant y Carlos Valle la mapearon para el Catastro, fue descrita después del evento de 1972 para controlar cuanto se desplazó, es una falla menor con estructura ramificada. La secuencia estratigráfica del lugar del proyecto en orden de lo más reciente a lo más antiguo es la siguiente: (1) RELLENO SUPERFICIAL (R) Estos materiales se presentan en forma de escombros recientes,arenas limos, gravas. SUELO HOLOCENICO ( Hs ) compuesto de materiales finos de limos-arcillas y arenas finas ALUVIAL HOLOCENICO (Hal ) consiste en materiales sueltos o poco consolidados de arenas limosas, limos, y gravas SUELO FOSIL ( Hfs ) consiste en materiales finos con trazos de gravas o fragmentos de rocas, arenas limosas irregulares PÓMEZ DE APOYEQUE (Haq ) este material es formado por fragmentos o pequeñas capas de ± 4cm color blanco amarillento FORMACIÓN SAN JUDAS ( Hsj ) son tefras de tipo basaltico escoriacio, lapilli, y cenizas ALUVIALES MAS ANTIGUOS ( HPAL, Pa y Pal ) depósitos aluviales profundos con abundancia de fragmentos de Pómez MATERIAL CONGLOMERATICO ARENOSO COMPACTO (Hmf ) materiales con comportamiento de roca ligeramente cement SUELO FOSIL (Hfs ) provienen de la formación de Tobas, retiro o materiales aluviales de las unidades anteriores TOBA RETIRO ( Hrt ) material muy fracturado e intemperizado oxidado dándole el aspecto amarillento, algunas veces verdoso EVALUACIÓN DEL RIESGO SÍSMICO PARA EL LUGAR

Por los estudios referidos y por el historial sísmico sabemos que la ciudad de Managua es de alto riesgo con un sistema escalonado de fallas capaz de generar eventos con profundidades focales superficiales menores de 30km Arce (1973) refiere el siguiente historial sísmico para el sector estudiado FECHA 31 Marzo 1931 4 Enero 1968 2 Enero 1972 23 Diciembre 1972 Hasta 1978

MAGNITUD ( Richter ) 5.3-5.9 4.6 4.3 6.5 ±3.0

PROFUNDIDAD ( km ) Superficial ± 5.0 ± 5.0-10 (Hansen ) Superficial Superficial

El sitio puede estar expuesto a vibraciones sísmicas donde la influencia y efecto que ocurrirían a las edificaciones seria proporcional a la distancia focal y magnitud del evento, pudiendo originarse una M máxima probada de 6.5 Richter y una magnitud máxima creíble M = 7.0 Richter. La información disponible sobre el riesgo sísmico y la estratigrafía del lugar será utilizada en la construcción de los espectros de respuestas para el sitio del edificio proyectado, empleando el programa Shake 92. Los espectros se construyeron descombolucionando las componentes N-S del acelerograma del evento del 23 de Diciembre de1972, y clasificando los suelos de los estratos, de acuerdo con el sistema unificado de clasificación de suelos (SUCS). Inicialmente consideramos un porcentaje de amortiguamiento β = 0.05 para el suelo y β = 0.02 para el basamento rocoso. Posteriormente realizamos el análisis modal elástico aplicando el método de iteraciones matriciales de Stodolla-Vianello, mostrándose cada una de las etapas del análisis modal, hasta obtener las figuras características y los periodos fundamentales para los tres primeros modos de vibración, valores que nos permitirán cuantificar los

6

desplazamientos , las fuerzas sísmicas laterales y el momento de volcamiento inducidos en el edificio con las aceleraciones espectrales obtenidas para el lugar. La aceleración pico del espectro Shake 92 obtenida para el sitio a partir de la estratigrafía conocida, será comparada con la aceleración del espectro del (RNC1983) correspondiente a la zona sísmica de Managua. El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. El objetivo del ejemplo consiste en mostrar cada uno de los pasos que deberán seguirse cuando se emplea este método de análisis modal-espectral elástico hasta obtenerse las fuerzas cortantes directas en cada uno de los marcos constitutivos de la primera línea de defensa sismorresistente del sistema estructural analizado.

Fig. (3.32): Edificio simétrico estructurado en base a marcos rígidos de concreto

7

En vista de la simetría del sistema estructural, no fueron cuantificadas las cortantes debidas a la torsión elástica originada por las excentricidades entre el centro de masas y el centro de flexión del edificio, ni las debidas a excentricidades accidentales lo cual se hará en los ejemplos 3.10 y 3.11, los cuales presentan mejores características para ilustrar el procedimiento a seguir en el análisis torsionante de edificios. El proceso de iteraciones matriciales para determinar las frecuencias correspondientes a los tres primeros modos de vibración se realizo empleando el operador Mathcad 6.0 El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. La cimentación consiste en una losa rígidizada con nervios de concreto en cada eje de los marcos cimentada en un estrato elástico. MATRIZ DE MASA DEL EDIFICIO.

La masa gravitatoria en cada nivel del edificio será calculada para la combinación de la CM+CVR desglosada del siguiente modo: No 01 02 03 04 05 06 07 08 09

DESCRIPCION Losa de pisos Vigas de entrepisos y azotea Columnas de concreto Escaleras y descanso Forros y particiones livianas Losa de techo Equipos de azotea Ductos y tuberías Cargas misceláneas

UM m² m

CANTIDAD 288 144

CM(kg/m²) 550 702(kg/m)

m

72

600(kg/m)

m²

25

900

m²

1000

120

m² m²

288 288

550 118

m²

288

25

m²

288

25

Masa de cada piso y del techo m1=m2=m3=m4=m5= 0.54(Tseg²/cm) Matriz de masas:

CVR(kg/m²) 200

WCM(T) 158.4 101.0

WCVR(T) 57.6

ΣW(T) 216T 101T

ΣM(Tseg²/cm) 0.22 0.10

43.2

0.05

30

0.03

120

0.12

187.2 34

0.19 0.03

7.2

7.2

0.01

7.2

7.2

0.01

43.2 300

22.5

7.5

120 100

158.4 34

28.8

8

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Tseg 0 0 1 0 0 . 0.54 . cm 0 0 0 1 0

(M) =

2

0 0 0 0 1

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL EDIFICIO 50 4

Se empleara concreto con Ec = 282 (T/cm²) Ι = K=

Emplear la Ec (3.27):

12

4

= 5.208 10 5 cm

12 . E. I 3

h

12 . 16 . 282 . 5.208 . 10 5

Σ Kx = Σ Kz =

450 3

= 309.445

T cm

Matriz de rigidez lateral considerando que las vigas horizontales son mucho más rigidas que las columnas, cuya seccion transversal se considera igual en todos los niveles del edificio. 2

1 2

1

K=

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

2 1

1

0

2

0

1

1

. 309.445 . T cm

1

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

2 1

F= K

1

=

0

1 2 1

0

0

0

0

0 1 2 1 0

0

0

0

0

1 2 1

0 1 1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

= 1 2 3 3 3 1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

3.232 . 10

MATRIZ DINAMICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION.

( D1 ) = ( F ) . ( M ) . 1.745 . 10

3

3

cm T

9

CONFIGURACION CARACTERÍSTICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION

1.0 1.1

Vector de prueba inicial:

u1 =

1.2 1.3 1.4

Ecuación característica para el primer modo de 1 . u1 vibración. ( D1 ) . u1 = 2 ω1 Primera iteracion matricial: 1 1 1 1 1 1.0 1 2 2 2 2

1

1.1

1.833

1 2 3 3 3 . 1.2

= 6. 2.483

1 2 3 4 4

1.3

2.933

1 2 3 4 5 1.4 3.167 Segunda iteración matricial: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

1

1.833

1.912

1 2 3 3 3 . 2.483

= 11.416. 2.664

1 2 3 4 4

2.933

3.199

1 2 3 4 5 3.167 Tercera iteración matricial: 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2

3.476

1

1.912

1.918

1 2 3 3 3 . 2.664

= 12.251. 2.681

1 2 3 4 4

3.199

3.226

1 2 3 4 5

3.476

3.509

10

Cuarta iteración matricial 1 1 1 1 1

1

1

1 2 2 2 2

1.918

1.919

1 2 3 3 3 . 2.681

= 12.334. 2.682

1 2 3 4 4

3.226

3.228

1 2 3 4 5 3.509 Quinta iteración matricial 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2

3.513

1

1.919

1.919

1 2 3 3 3 . 2.682

= 12.342. 2.682

1 2 3 4 4

3.228

3.229

1 2 3 4 5

3.513

3.513

Para el grado de convergencia logrado, los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al primer modo de vibración son los siguientes: rad 1 2 T1 = 0.915seg = 1.745 . 12.342 . 10 3 = 0.022 seg ω 1 = 6.864 . 2 seg ω

Fig. (3.33): Configuración característica para el primer modo de vibración SEGUNDO MODO DE VIBRACION

Para el cálculo del segundo modo de vibración partimos de la aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de vibración, o sea: U1

T.

M . U2 = 0

11

1 0 0 0 0

u1

0 1 0 0 0 u2 . . u3 ( 1 1.919 2.682 3.229 3.513 ) 0 0 1 0 0

u1 =

1.919u2

2.682u3

0 0 0 1 0

u4

0 0 0 0 1

u5

3.229u4

= 0

3.513u5

Ahora construiremos la matriz de eliminación (S1) del primer modo de vibración haciendo u1=0 y reemplazando los valores por los correspondientes a la fila i=1 en la matriz de masa (M) MATRIZ DE ELIMINACIÓN DEL PRIMER MODO DE VIBRACION

( S1 ) =

0

1.919

2.682

3.229

3.513

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

MATRIZ DINAMICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION

La matriz dinámica (D1) correspondiente al segundo modo de vibración se obtiene de la premultiplicación de la matriz dinámica (D) por la matriz de eliminación del primer modo (S1) o sea: ( D1 ) = ( D ) . ( S1 )

CONFIGURACION CARACTERISTICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION

12

Ecuación característica:

( D1 ) . u2 =

1

ω2

2

. u2 . 1.745 . 10 3 seg 2

1 1

Vector de prueba inicial:

u1 =

0 1 1

Primera iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229

2.513

1

1

0

0.081

0.682

1.229

1.513

1

0.169

0

0.081

0.318

0.229

0.513 . 0

= 1.203. 0.169

0

0.081

0.318

0.771

0.487

1

0.169

0 0.081 0.318 0.771 1.487 Segunda iteración matricial 0 0.919 1.682 2.229 2.513

1

0.663 1

1

0

0.081

0.682

1.229

1.513

0.169

0.816

0

0.081

0.318

0.229

0.513 . 0.169

= 0.85. 0.434

0

0.081

0.318

0.771

0.487

0.169

0.147

0 0.081 0.318 0.771 1.487 Tercera iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229 2.513

0.663

0.927

1

1

0

0.081

0.682

1.229

1.513

0.816

1.15

0

0.081

0.318

0.229

0.513 . 0.434

= 1.177. 0.606

0

0.081

0.318

0.771

0.487

0.147

0.307

0

0.081

0.318

0.771

1.487

0.927

1.094

13

Cuarta iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229

2.513

1

1

0

0.081

0.682

1.229

1.513

1.15

1.262

0

0.081

0.318

0.229

0.513 . 0.606

= 1.357. 0.676

0

0.081

0.318

0.771

0.487

0.307

0.357

0

0.081

0.318

0.771

1.487

1.094

1.163

Novena iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229

2.513

1

1

. . . .

0

0.081

0.682

1.229

1.513

1.308

1.311

0

0.081

0.318

0.229

0.513 . 0.714

= 1.444. 0.716

0

0.081

0.318

0.771

0.487

0.372

0.373

0

0.081

0.318

0.771

1.487

1.201

1.205

Para este grado de convergencia la frecuencia y el periodo natural correspondientes al segundo modo de vibración son los siguientes: rad 1 ω 2 = 19.92 . = 1.444 . 1.745 . 10 3 = 2.52 10 3 seg2 2 seg ω 2. π T2 = ω 2 = 396.86 . seg 2 = 0.315 seg 19.92

Fig. (3.34): Configuración característica para el segundo modo de vibración.

14

TERCER MODO DE VIBRACION

Partiremos de la doble aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de la siguiente manera: U1

T.

( M ) . U3 = 0

U2

T.

( M ) . U3 = 0

Estas dos condiciones generan el siguiente sistema de ecuaciones las cuales nos permiten fijar los valores de u1 y u2, dejando libre los valores de u3, u4 y u5 u1

1.919u2

2.682u3

3.229u4

3.513u5

= 0

u1

1.311u2

0.716u3

0.373u4

1.205u5

= 0

u1 = 3.523u3 u2 =

8.138u4

3.233u3

5.924u4

11.376u5 7.718u5

Ahora construimos la matriz de eliminación del segundo modo de vibración eliminando en la matriz de masa las dos columnas correspondientes a los modos calculados. MATRIZ DE ELIMINACION DE LOS DOS PRIMEROS MODOS:

S2 =

0

0

0

0

3.233

5.924

7.718

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

3.523

8.138

11.376

MATRIZ DINAMICA DEL TERCER MODO:

D3 =

D . S2

15

CONFIGURACIÓN CARACTERÍSTICA PARA EL TERCER MODO DE VIBRACIÓN:

Ecuación característica: ( D3 ) . u3 =

1

ω 32

. u3 . 1.745 . 10 3 seg 2

Vector de prueba inicial: 1 1

u3 =

0 1 1

Primera iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617

1

1

0 0

0.943

1.71

2.142

1

0.308

0 0

0.057

0.71

1.142 . 0

= 1.403. 0.308

0 0

0.057

0.29

0.142

1

0.308

0 0

0.057

0.29

0.858

1

0.405

Segunda iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617

1

1

0.308

0.104

0 0

0.943

1.71

2.142

0 0

0.057

0.71

1.142 . 0.308

0 0

0.057

0.29

0.142

0.308

0.34

0 0

0.057

0.29

0.858

0.405

0.499

1

1

Tercera iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617

= 0.483.

0.54

0 0

0.943

1.71

2.142

0.104

0.043

0 0

0.057

0.71

1.142 .

0.54

= 0.515. 0.697

0 0

0.057

0.29

0.142

0.34

0.388

0 0

0.057

0.29

0.858

0.499

0.581

16

Cuarta iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617

1

1

0 0

0.943

1.71

2.142

0.043

0.142

0 0

0.057

0.71

1.142 . 0.697

= 0.536. 0.799

0 0

0.057

0.29

0.142

0.388

0.438

0 0

0.057

0.29

0.858

0.581

0.646

1

1

. . . . . . .

Duodécima iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 0 0

0.943

1.71

2.142

0.306

0.303

0 0

0.057

0.71

1.142 . 0.936

= 0.581. 0.936

0 0

0.057

0.29

0.142

0.564

0.565

0 0

0.057

0.29

0.858

0.78

0.778

Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia y el periodo natural correspondientes al tercer modo de vibración son entonces los siguientes: rad 1 2 ω 3 = 31.406 . = 1.745 . 0.581 . 10 3 = 1.014 10 3 seg seg ω 32 2. π T3 = ω 32 = 986.344 . seg 2 = 0.2 seg 31.406

Fig. (3.35): Configuración característica correspondiente al tercer modo. Matriz modal para el sistema estructural en base a marcos rígidos en ambas direcciones

17

( A) =

3.51

1.21

3.23

0.37

0.78 0.57

2.68

0.72

1.92

1.31

0.30

1

1

1

0.94

ACELERACIONES ESPECTRALES

El edificio se construirá en un sitio cuya estratigrafía corresponde a las condiciones locales previamente descritas, para el cual se construyeron los espectros de respuestas descombolucionando el registro de acelerograma del terremoto del 23 de Diciembre de 1972. El periodo predominante de vibración del suelo Ts1 = 0.65 seg se obtuvo empleando matrices de transferencia, permitiéndonos clasificar el suelo como Tipo III, al cual corresponde el espectro para suelos medios del RNC1983. Los factores de amplificación dinámica para los periodos predominantes de vibración del sistema estructural según el Art. 32 del RNC1983 son los siguientes: T1=0.915seg>0.5seg D. ( T1 ) = 2.

0.5

0.5

T1

T2