Proporcionalidad: Soluciones 1

1. Para cocer arroz, el cocinero utiliza tres partes de agua por una de arroz. Si en la paellera echa 6 tazas de agua, ¿cuántas tazas de arroz debe echar?......2.................. Si echa 2 tazas y media de arroz, ¿cuántas tazas de agua necesita?......7,5.................... Si echa 5 tazas y cuarto de taza de arroz, ¿cuántas tazas de agua necesita? ....15,25.......... Si echa 9 tazas de agua, ¿cuántas tazas de arroz debe echar? ..............3................. 2. Señala si las siguientes magnitudes son directa (D) o inversamente proporcionales (I): La cantidad de personas que viajan en una guagua y el dinero recaudado. Las horas que trabaja una máquina y el número de botellas de refresco que rellena. El número de personas de una familia y los litros de agua consumidos. La velocidad que lleva un ciclista y la distancia recorrida. Número de obreros que realizan una tala de árboles y días que dura la tala. Número de niños que asisten a una fiesta de cumpleaños y tamaño del trozo de tarta que le corresponde a cada uno. Distancia recorrida por un tren y número de horas que está circulando. Completa estas dos tablas: A Precio de un litro Nº de litros que de combustible podré comprar con 90 euros 10 € 9 5€ 18 20 € 4,5 15 € 6 litros

B Velocidad del Kilómetros recorridos en 4 vehículo horas 50 Km/h 100 Km/h 25 Km/h 60 Km/h

200 Km 400 Km. 100 Km 240 Km.

A) Precio de un litro de combustible y nº de litros que podré comprar con 90 euros son inversamente proporcionales. (dividir 90 entre el precio del litro y la última por regla de tres simple inversa) B) Velocidad del vehículo y kilómetros recorridos en 4 horas son directamente proporcionales. (Solo hay que multiplicar los Km/h por el número de horas que son 4, usar también regla de tres simple directa).

4. Di si estas magnitudes son directa (D) o inversamente (I) proporcionales: 2

Número de páginas leídas de un libro y la velocidad a la que se lee ....Directa (D)........ Número de baldosas colocadas en una pared y la velocidad a la que se colocan....D....... Número de paquetes descargados de un camión y número de obreros que realizan dicho trabajo .....Inversa (I)............ Número de personas a las que atiende un médico durante una hora y el tiempo que dedica a cada paciente .....D............ Número de kilómetros que separa a dos ciudades y el costo del billete de guagua......D...... Cantidad de kilos de uva recogida y el número de obreros que están vendimiando......D..... Número de filetes iguales de carne que entran en 1 kg. y el peso de cada una ......I.......... Litros de leche que producen unas vacas y el número de vacas ....D........... Cantidad de visitantes de un museo y el dinero recaudado .......D........... Tiempo empleado para recorrer una distancia y la velocidad a la que marchamos .....I....... La superficie de una pared y la cantidad de pintura necesaria para pintarla .....D....... Mucho rollo y todavía no nos han explicado como se resuelve un problema

5. En tres días he ganado 450 euros. ¿Cuánto ganaré en 7 días?

X=1.050 €

6. Si 6 lápices han costado 9 euros., ¿cuánto costarán 4 lápices?

3

X=6€

7. En una carretera se plantan 48 árboles, colocándolos cada 3 m. Si los colocamos cada 5 metros, ¿cuántos árboles se plantarán?

X= 28,8 árboles

8. Por hacer 7 metros de muro se han pagado 595 euros. ¿Cuánto deberá pagarse por 13 metros?

X=1.105 €

9. Un motor extrae de una piscina 378 litros de agua en 9 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en extraer 2.100 litros?

X=50 minutos

4

10. Por preparar un campo de 7 ha. de superficie, un labrador cobra 2131 euros. ¿Cuánto cobraría si la superficie del campo midiera 12 ha.?

X=3.653,14€

11. Al repartir el vino de un barril en botellas de 75 cl. se necesitan 1.040 botellas. ¿Cuántas botellas se necesitarían si su capacidad fuese de 65 cl.?

X=1.200 botellas

12. Siete bolígrafos cuestan 23 euros. ¿Cuántos bolígrafos se pueden comprar con 49 euros?

X=14,91 bolígrafos (redondeamos a 15, pues los bolígrafos no tiene sentido que sea en decimales)

13- Un automóvil que va a 90 km/h recorre 160 km. ¿Cuántos kilómetros hubiese recorrido en el mismo tiempo si hubiese ido a 50 km/h ? 5

X=88,8 Km

14- La nave espacial Columbia, al despegar, recorre en 15 minutos 47.535 m. Si mantiene esa velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar los 255.000 m. de altura?

X=80,47 minutos (80 minutos y 0,47x60=28,8) Son 80 minutos, 28,8 segundos

15- En la construcción de una carretera han trabajado 752 obreros durante 570 días. Si la obra hubiera tenido que finalizar en 470 días, ¿cuántos obreros más se habrían necesitado?

X=912 obreros trabajan 470 días 912-752=160 obreros de más hicieron falta

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16- Con 25.000 litros de agua un campesino riega las 4 ha. de su propiedad. Si dispusiera de 125.000 litros de agua, ¿cuántas ha. podría regar? X=20 ha

17- En las 24 horas de Le Mans un vehículo en la recta de tribuna alcanza una velocidad de 360 km/h y la recorre en 12 segundos. ¿Cuánto tiempo emplearía si su velocidad fuera de 300 km/h?

X=14,4 segundos

18- El premio gordo de una lotería es 60 millones de euros por cada 250 euros jugadas. Si yo he jugado 160 euros de lotería a ese número, ¿cuánto dinero me correspondería si mi número resultara premiado?

X=38.400.000€ (=38,4 millones de €)

7

19- Un ganadero alimenta sus 150 reses durante 27 días con un camión de pienso; pero adquiere 30 reses más. ¿Cuántos días le durará el camión de pienso?

X=22,5 días (22 días, 12 horas)

20- Una mecanógrafa escribe realizando 1.470 pulsaciones cada 7 minutos. ¿Cuántas veces toca las teclas de su máquina en 100 segundos?

x=350 pulsaciones

21- Por transportar a un pasajero con su equipaje durante 15 minutos, el contador de un taxi marca 130 euros. ¿Cuánto tiempo había estado en el taxi si el taxímetro hubiera marcado 521 euros.?

X=60,12 minutos; que son 1 hora, 7 minutos y 12 segundos (60 min es una hora; 0,12x60=7,2; 0,2x60=12)

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22- Trata de calcular cuál será el peso de una persona de 40 años, si dicha persona a los 5 años de edad pesaba 22 kg. X=176 Kg Este ejercicio lo hemos resuelto como si la proporcionalidad fuera directa. Pero estas magnitudes no son ni directas ni inversas, hay magnitudes que no tienen relación de proporcionalidad.

23- No todos los problemas es posible resolverlos con una proporcionalidad. Trata de buscar ejemplos en los que las magnitudes no sean ni directa ni inversamente proporcionales.

Ejemplo: El precio del cine y la altura de una persona o la edad y el dinero que lleva la persona en la cartera.

24- Veinte obreros han construído una piscina de 50 metros de largo. ¿Cuántos obreros se necesitarían para construir en el mismo tiempo que la anterior otra piscina de 40 metros de largo y que tiene la misma anchura y la misma profundidad?

X=16 obreros

25- Queremos construir una piscina en 60 días, para lo cual han de trabajar 20 obreros. ¿Cuántos serían necesarios para hacerla en sólo 40 días?

X= 30 obreros

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26- Para realizar las excavaciones necesarias para la construcción de un gran complejo industrial se calcula que se necesitarán 3 máquinas iguales trabajando 160 horas cada una. Si la empresa constructora dispusiera de 10 máquinas iguales a las anteriores, ¿cuánto tiempo tardarían? X=48 horas

27- Para regar un campo se tardan 3 horas si el caudal del canal de riego es de 2.000 litros por minuto. ¿Cuánto tiempo se tardaría en regar el mismo campo si el caudal fuera de 5.000 litros por minuto?

X=1,2 horas (1 hora y 12 minutos; 0,2x60=12)

28- Un ciclista ha tardado 20 minutos en recorrer cierta distancia a la velocidad de 40 km/h. ¿A qué velocidad deberá circular si desea recorrer la misma distancia en 35 minutos?

X=22,86 Km/h

29- Si 4 grifos iguales tardan 24 horas en llenar un depósito, ¿cuánto tardaría 12 grifos iguales a los anteriores en llenar el mismo depósito?

X=8 horas 10

30- Por cada 2.805 toneladas de mineral de hierro extraído se obtienen 150 toneladas de hierro. ¿Qué cantidad de mineral de hierro es necesario extraer para obtener 100 toneladas de hierro

X=1.390 toneladas

REPARTO DIRECTO

Ejemplo:. Se compró un lote de libros por 18.000 euros. Luis se quedó con 7 libros, Juan con 5 libros y Antonio con 6. ¿Cuánto deberá pagar cada uno? 7 libros + 5 libros ______ 6 libros 18 libros

18 libros (D) 18.000 euros. 7 libros ______ x euros.

18 libros euros 5 libros euros.

(D) 18.000

18 x = 7. 18000 18 x = 126000 x =126000 18 x = 7000 euros pagará Luis

18 x = 5 . 18000 18 x = 90000 x = 90000 18 x = 5000 euros pagará Juan

x

7000 + 5000 12000

18000 - 12000 6000 euros pagará Antonio

31- Entre tres amigos han hecho una quiniela. El primero ha puesto 15 euros, el segundo 23 y el tercero 45. Les ha correspondido un premio de 3500 euros. ¿Qué cantidad recibe cada uno?

1) X=632,53€ 2) X=969,88€ 3) X=1.897,59€ 11

32- Tres automovilistas llenan los depósitos de sus conches de gasolina, siendo sus capacidades respectivas de 32, 35 y 28 litros. Si el importe total asciende a 950 euros, ¿cuánto debe pagar cada uno? 1) X=320€ 2) X=350€ 3) X=280€ 33- Dos personas son socias en un negocio que tiene un beneficio anual de 12650 euros. Si uno de ellos participa con 3500 euros y el otro con 2000, ¿cuánto le corresponderá a cada persona? 1) X=8.050€ 2) X=4.600€

34- En el reparto de las ganancias de un negocio, dos socios se distribuyen el dinero de la siguiente manera: uno se lleva 12800 euros y el otro 63700. Si el capital total era 525000 euros, ¿qué cantidad puso cada uno?

1) X= 87.843,13€ 2) X= 437.156,86€

35- Tres albañiles de igual categoría han cobrado por hacer un trabajo 20400 euros. Un albañil trabajó 15 días, otro 12 y el tercero 7 días. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno? 1) 9.000€ 2) 7.200€ 3) 4.200€

36- Tres socios han iniciado un negocio con los siguientes capitales: 5000 euros, 8000 euros, y 10000 euros. Al cabo de un año, después de retirar cada uno un sueldo se reparten un beneficio de 46000 euros. ¿Cómo debe repartirse ese beneficio?

1) 10.000€ 2) 16.000€ 3) 20.000€ 12

37- Entre tres distribuidores de propaganda se han de repartir 3260 euros. en partes proporcionales a los tiempos empleados en hacer el reparto. El primero ha tardado 2 horas y 5 minutos; el segundo 2 horas y 20 minutos; el tercero 3 horas. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Para que este problema te salga debes pasar el tiempo a minutos. Después los sumas para saber el tiempo total y plantea la proporcionalidad, pensando que cuanto más tiempo emplen en repartir propaganda más dinero

1) 1.016,85€ 2) 1.138,88€ 3) 1.464,27€

38- En una empresa de construcción participan tres socios con capitales de 320000, 280000 y 250000 euros, respectivamente. Si al cabo de cinco años pueden repartirse 1275000 euros de beneficio, ¿cuánto le corresponde a cada uno? 1) 480.000€ 2) 420.000€ 3) 375.000€

39- En el reparto de beneficios, tras el premio gordo de la lotería, tres amigos se reparten 30000, 48080 y 66111 euros respectivamente. Si entre los tres jugaban 960 euros, ¿cuánto había puesto cada uno?

1) 199,74€ 2) 320,108€ 3) 440,16€

40- Cuatro personas ganaron 78600 euros en un negocio en el que había invertido las siguientes cantidades: el primero 20000 euros; el segundo 36000; el tercero 43000 y el cuarto 32000. ¿Qué ganancia le corresponde a cada uno? 1) 2) 3) 4)

12.000€ 21.600€ 25.800€ 19.200€

13

41- La factura de agua de una comunidad se paga proporcionalmente a los litros que gasta cada vivienda y ha ascendido a 1098’08 euros. Hay 8 pisos que han gastado 8.000 litros cada uno y 14 pisos que han gastado 10.500 litros cada uno. ¿Cuáles serán los importes de los distintos consumos? 1) 474,84 € paga el total de 8 viviendas; 59,35€ cada una 2) 623,23€ paga el total de 14 viviendas; 44,52€ cada una

REPARTO INVERSO 42- Se quieren repartir 141 caramelos en partes inversamente proporcionales a las edades de tres niños. Si sus edades son 3, 4 y 5 años, ¿cuántos le corresponderán a cada uno?

Eso significa que a menor edad más caramelos les corresponden ¡caramba con los peques!,

1) 60 caramelos (niño de 3 años) 2) 45 caramelos (niño de 4 años) 3) 36 caramelos (niño de 5 años)

43- Se quieren repartir 130000 euros inversamente proporcional a los goles encajados por tres porteros de fútbol. Si éstos fueron 3, 8 y 12, respectivamente, ¿cuánto recibirá cada uno? 1) 80.000€ (al que le metieron 3 goles) 2) 30.000€ (al que le metieron 8 goles) 3)

20.000€ (al que le metieron 12 goles)

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ACTIVIDADES sobre el % 1.- Halla el 50% de 60. (Con la mayoría de calculadoras pulsar 50x60 SHIFT = (detrás está el signo de porcentaje) 30

2.- Halla el 25% de 40.

10 3.- Halla el 10% de 80. 8

4.- Halla el 29% de 3.456.

5.- Halla el 58% de 6.789. 1.002,24

6.- Halla el 74% de 98.050. 15

72.557 7.- Halla el 36% de 5. 1,8

8.- En una clase hay 30 alumnos. Si el 30% son chicos halla el número de chicos y de chicas que hay en esa clase. 9 chicos; 21 chicas

9.- Una bolsa contiene 20 bolas. El 30% de ellas son rojas, el 45%, azules, y el resto verdes. Halla el número de bolas que hay de cada clase y su color. 6 rojas, 9 azules, 5 verdes

10.- Nos dan el siguiente gráfico de unas elecciones. Si el número de votantes fue de 47.000, calcula cuantos votos recibió cada partido:

PSOE: 18.330 votantes

PP: 16.450

IU: 7.520 OTROS: 4.700 16

11. El 15 % de cierta cantidad es 54. Calcular esa cantidad. X= 360

12.- El precio de una motocicleta es de s/. 5.800 y sobre este precio se hace un 15 % de descuento. ¿Cuánto se pagará por él? 4.930€

13.- Por una laptop que marcaba s/. 7 200 se han pagado s/. 6 336. ¿Qué tanto por ciento de descuento se ha efectuado? Un 12% 14.- Sobre un artículo se hace un descuento del 8 % y se paga un total de 1 564€. ¿Cuál era su precio inicial? El precio inicial era 1.700€

15.-- La factura de una reparación doméstica asciende a 4 800€ y sobre esta cantidad se aplica un 12 % de impuesto. ¿Cuánto se pagará finalmente? 5.376€

17

16.- En un trimestre, el consumo de agua de una familia ha sido de 69 metros cúbicos, y cada metro cúbico cuesta 35€. Al importe del agua consumida se le añade un 6 % de impuestos, y además, la factura sufrió un recargo de un 20 % por haberse pagado fuera de fecha. ¿Cuánto se pagó al final? 3.071,88€

17-. Si la caña de azúcar da el 12% de azúcar, ¿qué cantidad darán 5,000 Kg. De caña? 600 Kg

18.- Una persona invirtió $45,000 en un negocio relacionado al exportación de espárragos y ganó el 12.5%. ¿Cuánto ganó? 5.635€

19.- Un comerciante vendió un auto en 5,850€. Le había costado 5,000€. Calcule el tanto por ciento de beneficio: (a) sobre el precio de compra; (b) sobre el precio de venta. a) 17% b)

14,53%

ACTIVIDADES REGLA DE 3 COMPUESTA

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1- 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra? X=6 días

2- Una guarnición de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. Si se refuerzan con 400 hombres, ¿Cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma 2 raciones diarias?

X=12 días

3-

1.200€

4-

31,64 días (31 días, 15 horas, 22 minutos y 30 segundos)

5-

8,64 horas (8 horas, 38 minutos, 24 segundos)

19

6-

72 trabajadores

7-

54 horas/día

8-

3.571,43€

20