Tema 2

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 2: TRIGONOMETRÍA

1º BACHILLERATO

Tema 2

TEMA 2: TRIGONOMETRÍA .................................................................................................................................. 1 1.

Definición de Ángulo ....................................................................................................................................... 4 1.1.

2.

3.

MEDIDA DE LOS ÁNGULOS .................................................................................................................... 4

1.1.1.

Grado sexagesimal ............................................................................................................................ 4

1.1.2.

Radián (rad) ....................................................................................................................................... 4

1.1.3.

CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA. ...................................................................... 4

1.1.4.

Tipos de Ángulos según su medida ................................................................................................... 5

1.1.5.

Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes ...................................................................... 5

1.1.6.

Tipos de Ángulos según la suma de sus medidas .............................................................................. 5

Razones trigonométricas................................................................................................................................. 6 2.1.

Circunferencia goniométrica y líneas trigonométricas ........................................................................ 7

2.2.

RELACIONES FUNDAMENTALES EN TRIGONOMETRÍA .......................................................................... 8

2.2.1.

Razones Trigonoméricas DE ángulos complementarios (SUMAN 90º o π/2 rad) ............................. 8

2.2.2.

Razones Trigonoméricas de ángulos SUPERIORES a 360 .................................................................. 8

2.2.3.

Razones Trigonoméricas de ángulos Opuestos entre sí .................................................................... 9

2.2.5.

Razones Trigonoméricas que DIFIEREN 180º o π rad ...................................................................... 10

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ............................................................................................. 10 3.1.

Ejercicios resueltos .............................................................................................................................. 10

3.2.

Resultados útiles .................................................................................................................................. 11

3.2.1.

Proyección de un segmento ............................................................................................................ 11

3.2.2.

Altura de un triángulo ..................................................................................................................... 11

3.2.3.

Área de un triángulo........................................................................................................................ 11

3.3.

ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ................................... 11

3.4.

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA ....................................................................................... 12

3.4.1.

Teorema de los senos ..................................................................................................................... 12

3.4.2.

Teorema de los cosenos .................................................................................................................. 12

3.4.3.

Resultados interesantes .................................................................................................................. 13

4.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ± DE DOS ÁNGULOS. .......................................................................... 14

5.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE. ................................................................................... 14

6.

RAZONES TRIGONOMÉRTRICAS DEL ÁNGULO MITAD. ................................................................................. 14

7.

FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA
 PRODUCTO. ................................................................. 14

8.

FÓRMULAS DE TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS
 SUMA. ............................................................ 14

Tema 2

Tema 2

1.

Definición de Ángulo

Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que se encuentran en el mismo plano y se intersectan (rectas secantes), el punto de intersección de éstas recibe el nombre de vértice.

1.1.

MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:

1.1.1.

GRADO SEXAGESIMAL

La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º. Uno de los sistemas de medición de los ángulos se llama sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

1.1.2.

RADIÁN (RAD)

Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio. 2 π rad = 360° ; π rad = 180° ¿rad?

30º

Conversión grado radian

π 180o 30π π = ⇒α = = rad o α 30 180 6 Conversión radiangrado

π 3

¿º?

180o π 180o o = ⇒ 3α = 180 ⇒ α = = 60o o π 30 α

El ángulo α de la figura mide un radian ya que el arco r es de la misma longitud que el radio

1.1.3.

rad

3

CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA.

1.- De x grados a radianes:

α =

x .π 180

2.- De

α

x=

radianes a grados:

α .180 π

Tema 2

1.1.4. Ángulo Agudo Es aquél cuya magnitud es menor que 90º

1.1.5.

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA Ángulo

Ángulo

Recto

Obtuso

Ángulo Perigonal

Es aquél cuya magnitud

Es aquél cuya magnitud es mayor que 90º

Es aquél cuya magnitud es igual a 360º

es igual a 90º

Ángulo Llano Nulo

Es aquél cuya Es aquél cuya magnitud es igual a magnitud es igual a 0º 180º

EQUIVALENCIAS ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES Grados

1.1.6.

Ángulo

Radianes

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS Ángulos Complementarios

Ángulos Suplementarios

Son aquellos cuya suma es igual a 90º

Son aquellos cuya suma es igual a 180º

Tema 2

2.

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo α , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia. El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

senα =

CB a = AB c

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

cos α =

AC b = AB c

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

tgα =

CB a = AC b

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

csc α =

1 AB c = = (el inverso de la razón seno α ) senα CB a

La secante (abreviado como sec) es la razón entre la hipotenusa sobre el cateto adyacente

sec α =

1 AB c = = (el inverso de la razón coseno α ) cos α AC b

La cotangente (abreviado como cotan o ctg) es la razón entre el cateto adyacente sobre el cateto opuesto,

ctgα =

1 AC b = = tgα CB a

Tema 2

Radianes Grados sexag.

0

seno

0o

30o

45o

2 2

60o

3 2

90o

2.1.

coseno

tangente cosecante secante cotangente

0

∃/

1

∃/

3 2

3 3

2

2 3 3

3

2 2

1

2

2

1

3

2 3 3

2

3 3

∃/

1

∃/

0

Circunferencia goniométrica y líneas trigonométricas

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. QOP y TOS son triángulos semejantes.QOP y T'OS′ son triángulos semejantes. QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

El punto P tiene por coordenadas (x,y) por tanto el valor x está comprendido entre los valores [-1,1] al igual que los valores posibles de y El seno es la ordenada del punto P.(y) El coseno es la abscisa del punto P.(x)

Como y=sen α  -1 ≤ sen α ≤ +1 Como cos α =x -1 ≤ cos α ≤ +1

-1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1

Las líneas trigonométricas se pueden ver en la figura:

Tema 2 La línea de seno es PQ La Línea de coseno es OQ La línea tangente es la línea ST La línea secante es OS T’S’ es la cotangente OS’ es la cosecante

2.2.

RELACIONES FUNDAMENTALES EN TRIGONOMETRÍA

Se cumple para todos los ángulos que:

sen2α + cos2 α = 1 senα tgα = cos α 1 2 1 + tg 2α = = sec α 2 cos α 2.2.1.

RAZONES TRIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (SUMAN 90º O Π/2 RAD)

α a uno de ellos. El otro evidenteπ mente será −α .

Llamamos

2

sen( cos( tg (

π 2

π 2

π 2

− α ) = cos α − α ) = senα

− α ) = ctgα

Por ejemplo : el ángulo de

α =30º

90- α =60º o lo que es lo mismo Así sabiendo las razones de un ángulo se pueden saber las del otro

sen(60o ) = sen( cos(60o ) = cos( tg (60o ) = tg (

2.2.2.

π 2

π 2

π 2

π 2

ó

π

. y

6

−α

3 2

− α ) = cos 30o = − α ) = sen30o =

1 2

− α ) = ctg 30o = 3

RAZONES TRIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOS SUPERIORES A 360

Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas de uno entre 0 y 360º Un ángulo > 360º situará el punto que lo representa en algún lugar de la cfa después de un determinado número de vueltas n

sen(α + 2kπ ) = senα cos(α + 2kπ ) = cos α tg (α + 2kπ ) = tgα

Tema 2 Por ejemplo : el ángulo de 750º dará dos vueltas completas y su punto coincidirá con el de 30º.por tanto serán iguales sus razones trigonométricas En este caso k=2 y

2kπ = 2 ⋅ 2 ⋅ π serán dos vueltas

2.2.3.

RAZONES TRIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS ENTRE SÍ

El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

sen(−α ) = − senα cos(−α ) = cos α tg (−α ) = −tgα Por ejemplo : el ángulo de -30º ó −

sen(−30o ) = − sen30 = −

π 6

1 2

π 3 cos(−30 ) = cos(− ) = cos 30 = 6 2 π − 3 tg (−30o ) = tag (− ) = tg 30o = 6 3 π 2.2.4.

RAZONES TRIGONOMÉRICAS QUE DIFIEREN 90º O 2 RAD

α a uno de ellos. El otro evidenteπ mente será α + .

Llamamos

2

sen(α + cos(α + tg (α +

Así sabiendo las razones de un ángulo se pueden saber las del otro

π 2

π 2

π 2

) = cos α ) = − senα

) = −ctgα

Por ejemplo : el ángulo de 30º ó

sen(120o ) = cos 30 = cos(120 ) = cos( tg (120o ) = tg (

π 6

. y 120º

3 2

2π 1 ) = − sen30o = − 3 2

2π ) = −ctg 30o = − 3 3

Tema 2 2.2.5.

RAZONES TRIGONOMÉRICAS QUE DIFIEREN 180º O Π RAD

Llamamos α a uno de ellos. El otro evidentemente será α + π .

sen(α + π ) = − cos α cos(α + π ) = − senα tg (α + π ) = −tgα Por ejemplo : el ángulo de 30º ó

Así sabiendo las razones de un ángulo se pueden saber las del otro

3.

π

π 6

. y 210º

1 6 2 π 3 cos(210 ) = cos( + π ) = − cos 30o = − 6 2 π 3 tg (210o ) = tg ( + π ) = tg 30o = 6 3 sen(210o ) = sen(

+ π ) = − sen30o = −

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ángulos) conocidos. PREGUNTAS CLAVE PARA RESOLVER UN TRIÁNGULO ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es el elemento desconocido? ¿Qué razón trigonométrica liga los elementos conocidos y desconocidos? ELEMENTO CONOCIDO

COMO SE CALCULAN LOS DEMÁS

•

El tercer lado se calcula mediante el teorema de Pitágoras.

•

El ángulo que forman los dos lados conocidos se halla a partir de la razón trigonométrica que los relaciona

•

Otro lado se calcula mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos.

•

El otro ángulo agudo es el complementario del que conocemos.

CASO I Dos lados

CASO II Un lado Un ángulo

3.1.

Ejercicios resueltos

En un triángulo se conocen un cateto, a = 11 cm, y la hipotenusa, c = 20 cm. Hallar los demás elementos.

El otro cateto: b = 1202 - 112 = 16,7 cm Un ángulo: sen Á =

11 = 0,55  Á = 33° 22' 22

Tema 2 El otro ángulo agudo: B = 90° - Á = 56° 38' En un triángulo rectángulo del que se conocen B = 50° y un cateto a = 15 cm, hallar los demás elementos.

tgB=

b > b = a tg50º = 15 tg 50° = 17,88 cm a

cos B =

a a 15 c = = = 23,34 c cos B cos 50

A = 90° - B = 90° - 50° = 40°

Resultados útiles

3.2.

Los siguientes resultados, ligados a la resolución de triángulos rectángulos, aparecen con tanta fre-cuencia que es conveniente memorizarlos:

3.2.1.

PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO

En el triángulo ABC,

cos α =

ΑC AC= AB cos α  A'B' = AB cos α AB

La longitud de la proyección de un segmento sobre una recta es igual al producto de la longitud del segmento por el coseno del ángulo que forman.

3.2.2.

ALTURA DE UN TRIÁNGULO

En el triángulo rectángulo de la izquierda,

senα =

h h = asenα a

La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base.

3.2.3. Área =

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

b⋅h 1 = ⋅ b ⋅ a ⋅ senα 2 2

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

3.3.

ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Cualquier triángulo no rectángulo puede ser resuelto, aplicando los m todos de resolución de los triángulos rectángulos, mediante la estrategia de la altura. Consiste en elegir adecuadamente una de sus alturas, de modo que, al trazarla, se obtengan dos triángulos rectángulos resolubles con los datos que se tienen.  Ejemplo 1

Estamos en A. Conocemos las distancias de A a C (b = 3 800 m ) de C a B (a = 5 600 m). Queremos calcular la distancia de A a (AB = c). Para ello medimos el ángulo Á = 49°. Y, sobre el papel, trazamos altura h y nombramos x e y a las proyecciones de a y b sobre • x = b cos Á = 3 800 cos 49° = 2 493 m h = b sen = 3 800 sen 49° = 2 868 m 2

2

2

2

Conociendo h y a calculamos y (teorema de Pitágoras):y = a - h = 600 - 2 868 = 4 810 m  Ejemplo 2

Tema 2 Estamos en P, situado en un llano. Queremos hallar la altura de montaña, M. Para ello medimos el ángulo P que forma la visual la montaña con la horizontal (P = 29°). Avanzamos 300 m hacia Ia montaña y volvemos a medir el ángulo (Q = 32°).

M En MM'Q, tg 32° =h/x --> h = x tg 32° En MM'P, tg 29° =

h = (x + 3 00 ) t g 2 9°

x tg 32° = (x + 300) tg 29°x(tg 32° - tg 29°) = 300 tg 29° x=

300 tg 29° = 2357m tg 32° - tg 29°

Ahora volvemos a h: h = x tg 32° = 2 357 tg 32° = 1 473 m Hemos obtenido que la altura de la montaña es de 1473 m.

3.4.

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

Vamos a obtener unas fórmulas que nos permitirán resolver directamente triángulos cualesquiera, sin necesidad de utilizar cada vez la estrategia de la altura para descomponerlos en dos triángulos rectángulos.

3.4.1.

TEOREMA DE LOS SENOS En un triángulo cualquiera ABC de lados a,b,c se cumplen las siguientes igualdades

•

a b c = = senA senB senC

Ejemplo

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos. Sol: A=180º-45º=30º

2 6 b sen45º = ==> b = 6 = 6 2 = 6 2m 1 sen30º sen45º sen30º 2 6 c sen º105º = ==> b = c = 11.6m sen30º sen105º sen30º 3.4.2.

TEOREMA DE LOS COSENOS En un triángulo cualquiera ABC de lados a,b,c se cumplen las siguientes igualdades

a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cos A

E j e m p l o El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

Tema 2 a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cos A ==> 36 2 = 252 + 25 2 − 2 ⋅ 25 ⋅ 25 cos O O=92º6’32’’ En el cuadrilátero AOBT, los ángulo A y B son rectos. O+T=180ºT=190º-O=107º53’27’’

3.4.3.

RESULTADOS INTERESANTES

El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente. S

1 = b⋅h 2

El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

1 S = b ⋅ a ⋅ senC 2 El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita. S

=

abc 4R

El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.

S=r.p Fórmula de Herón:

S=

p( p − a)( p − b)( p − c) donde p es el semiperímetro

Tema 2

4.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ± DE DOS ÁNGULOS. sen(x+y) = senx.cosy + sen y. cos x sen(x-y) = sen .cosy – seny.cosx

cos(x+y) = cosx.cosy - senx.seny

5.

cos(x-y) = cosx.cosy + senx.seny

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE. sen(2x)=sen(x+x) = 2senx.cosx cos(2x)= cos(x+x) = cos2x.- sen2xy

6.

RAZONES TRIGONOMÉRTRICAS DEL ÁNGULO MITAD. x 1 − cos x sen( ) = ± 2 2

7.

x 1 − cos x tg ( ) = ± 2 1 + cos x

FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA
 PRODUCTO. A + B  A − B . cos   2   2 

SenA+SenB = 2.sen 

A + B  A − B . cos   2   2 

CosA+CosB = 2.cos 

8.

x 1 + cos x cos( ) = ± 2 2

A−B  A+ B . cos   2   2 

SenA-SenB = 2.sen 

A + B A−B  .sen    2   2 

CosA–CosB = -2.sen 

FÓRMULAS DE TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS
 SUMA.

senx.cosy = ½.[ sen(x+y) + sen(x-y)] cosx.seny = ½.[sen(x+y) – sen(x-y)]

cosx.cosy = ½.[cos(x+y) + cos(x-y)]

senx.seny = -½.[cos(x+y) – cos(x-y)]

Tema 2 Se conocen como ecuaciones trigonométricas aquellas que contienen razones trigonométricas de ángulos desconocidos. Por ejemplo, en sen x = 0 buscamos ángulos que tengan seno cero. Una solución particular es un valor del ángulo que satisface la ecuación. Así, dos soluciones particulares de la ecuaci ón anterior son x1 = 0 y x2 = π. Ahora bien, cuando una ecuación dada tiene una solución, tendrá, en general, un conjunto infinito de soluciones. En el ejemplo anterior, el conjunto de soluciones o solución general viene dado por: x1 = 0 + 2kπ, x2 = π+ 2kπ, k ∈Z Al resolverlas, tendremos en cuenta que a cada ángulo le corresponde un valor único para cada razón trigonométrica, sin embargo, puede haber infinitos ángulos con la misma razón. Será de gran utilidad recordar que, en el primer giro: Tienen el mismo seno α y π − α , ya que sen(π − α ) = sen α, Tienen el mismo coseno α y 2 π − α ya que cos(2π – α) = cos α Tienen la misma tangente α y π +α pues tg ( π + α) = tg α Para resolver una ecuación trigonométrica, en primer lugar, la reduciremos a una de los tipos seno, coseno o tangente, y seguiremos las instrucciones que se recogen en la siguiente tabla: