UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA“

MONOGRAFÍA

Que para obtener el título de: INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA

PRESENTA: FRANCISCO JOAQUÍN MORA PARRAZALES

DIRECTOR: DR. JOSÉ ALBERTO VELÁZQUEZ PÉREZ

XALAPA, VER.

DICIEMBRE 2011

“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”

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A mi familia. En especial a mis padres.

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ÍNDICE ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 1 1.

ANTECEDENTES DE LOS EJES DE TRANSMISIÓN ......................................................................... 3 1.1.

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE FLECHAS O EJES .............................................................. 3

1.2.

FUERZAS QUE EJERCEN ELEMENTOS DE MAQUINARIA SOBRE FLECHAS O EJES ................ 5

1.2.1.

RUEDAS DENTADAS ..................................................................................................... 6

1.2.2.

ENGRANES HELICOIDALES ........................................................................................... 7

1.2.3.

RUEDAS O POLEAS DE CADENA ................................................................................... 7

1.2.4.

POLEAS ACANALADAS PARA BANDAS EN FORMA V ................................................... 8

1.2.5.

POLEAS DE BANDA PLANA ........................................................................................ 10

1.2.6.

COPLES FLEXIBLES ..................................................................................................... 10

1.3.

1.3.1.

VALORES PRELIMINARES DE DISEÑO Kt .................................................................... 11

1.3.2.

CUÑEROS ................................................................................................................... 11

1.3.3.

CHAFLANES DE HOMBROS ........................................................................................ 12

1.3.4.

RANURAS PARA ANILLOS DE SUJECIÓN .................................................................... 14

1.4.

TENSIONES DE DISEÑO PARA FLECHAS O EJES.................................................................. 15

1.4.1.

TENSIÓN POR ESFUERZO DE CORTE DE DISEÑO ....................................................... 15

1.4.2.

TENSIÓN NORMAL DE DISEÑO, CARGA QUE GENERA FATIGA ................................. 16

1.4.3.

FACTOR DE DISEÑO, N............................................................................................... 18

1.5.

2.

CONCENTRACIONES DE TENSIONES EN FLECHAS O EJES .................................................. 11

FLECHAS Y EJES SOLO EN FLEXIÓN Y TORSIÓN.................................................................. 19

ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA ...................................................................... 21 2.1.

RESISTENCIA ESTÁTICA ...................................................................................................... 24

2.2.

CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO ..................................................................................... 25

2.3.

HIPÓTESIS DE FALLA .......................................................................................................... 29

2.3.1.

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MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DEL EMC (TRESCA O GUEST) ............................. 32

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA” 2.3.2.

MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN .................. 34

2.3.3.

MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DE LA FRICCIÓN INTERNA ................................. 40

Ejemplo 2-1 ................................................................................................................................... 43 2.3.4.

CRÍTICA A LAS HIPÓTESIS POR MEDIO DE DATOS EN MATERIALES DÚCTILES .......... 44

2.3.5.

MATERIALES FRÁGILES: HIPÓTESIS DEL ESFUERZO NORMAL MÁXIMO (RANKINE) . 47

2.3.6.

MATERIALES FRÁGILES: MODIFICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE MOHR .................. 48

2.4.

CRÍTICA A LAS HIPÓTESIS POR MEDIO DE DATOS EN MATERIALES FRÁGILES .................. 51

2.5.

QUÉ NOS DICEN NUESTROS MODELOS DE FALLA ............................................................. 52

2.6.

CARGA ESTÁTICA O CUASIESTÁTICA EN UN EJE ................................................................ 55

2.6.1.

CARGA ESTÁTICA O CUASIESTÁTICA DE UN EJE: FLEXIÓN Y TORSIÓN ...................... 56

Ejemplo 2-2 ................................................................................................................................... 57 Ejemplo 2-3 DISEÑO PRELIMINAR DE UN EJE ............................................................................... 60

3.

ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA .................................................................. 65 3.1.

INTRODUCCIÓN A LA FATIGA EN METALES....................................................................... 65

3.2.

RELACIONES DEFORMACIÓN-VIDA ................................................................................... 67

3.3.

RELACIONES ESFUERZO-VIDA............................................................................................ 72

3.4.

LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA ................................................................................ 75

3.5.

RESISTENCIA A LA FATIGA ................................................................................................. 77

3.6.

FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA ............................. 78

3.6.1.

FACTOR DE SUPERFICIE ka ......................................................................................... 79

3.6.2.

FACTOR DE TAMAÑO kb ............................................................................................ 80

3.6.3.

FACTOR DE CARGA kC ................................................................................................ 82

3.6.4.

FACTOR DE TEMPERATURA Kd................................................................................... 84

3.6.5.

FACTOR DE EFECTOS DIVERSOS ke ............................................................................ 87

3.7.

CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO Y SENSIBILIDAD A LA MUESCA ...................................... 89

Ejemplo 3-3 ................................................................................................................................... 94 3.8.

RESISTENCIA A LA FATIGA POR TORSIÓN BAJO ESFUERZOS PULSANTES ....................... 100

3.9.

CARGAS COMBINADAS .................................................................................................... 101

Ejemplo 3-4 ................................................................................................................................. 102

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ANÁLISIS Y DISEÑO POR COMPUTADORA ............................................................................... 107 Ejemplo 4-1 ................................................................................................................................. 107 4.1.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO ............................................................................................ 107

4.2.

ARMADO DEL EJE ............................................................................................................ 109

4.3.

DIAGRAMAS DE ESFUERZOS ............................................................................................ 111

CONCLUSIÓN ................................................................................................................................... 115 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................. 116

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INTRODUCCIÓN Los ejes de transmisión o simplemente ejes, son barras sometidas a cargas de flexión, tensión, compresión o torsión, que actúan individualmente o combinadas. En este último caso es de esperar que la resistencia estática y la fatiga sean consideraciones importantes de diseño, puesto que un eje puede estar sometido en forma simultánea a la acción de esfuerzos estáticos, completamente invertidos en forma alternante, y repetidos sin cambio de sentido. El término “eje” abarca otras variedades, como los ejes de soporte y los husillos. Un eje de soporte es el que no transmite carga de torsión y puede ser fijo o rotatorio. Un eje de transmisión rotatorio de corta longitud se denomina husillo. Cuando la deformación lateral o torsional de un eje debe mantenerse dentro de límites estrechos, entonces hay que fijar sus dimensiones considerando tal deformación antes de analizar los esfuerzos. La razón es que si un eje se hace lo bastante rígido para que esas deformaciones no sean considerables, es probable que los esfuerzos no rebasen la seguridad, pero de ninguna manera debe suponer el diseñador que son seguros, casi siempre es necesario calcularlos para comprobar que están dentro de límites aceptables. Siempre que sea posible los elementos de transmisión de potencia, como engranes o poleas, deben montarse cerca de los cojinetes de soporte. Esto reduce el momento flexionante y, en consecuencia, la deflexión y el esfuerzo por flexión. En los siguientes capítulos se hablará de los antecedentes de los ejes de transmisión así como el análisis y diseño por resistencia estática y resistencia a la fatiga, también se explicará como manejar el programa “Autodesk Inventor Professional 2010” para el análisis y diseño de ejes.

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CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES DE LOS EJES DE TRANSMISIÓN

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1. ANTECEDENTES DE LOS EJES DE TRANSMISIÓN Un eje, flecha o árbol es un elemento cilíndrico, de sección circular, que puede estar fijo o estar girando, además es el componente de los dispositivos mecánicos que transmite energía rotacional y potencia, Es parte integral de dispositivos o artefactos como reductores de velocidad tipo engrane, impulsores de banda o cadena, transportadores, bombas, ventiladores, agitadores y muchos tipos de equipo para automatización. En el proceso de transmitir potencia a una velocidad de giro o velocidad rotacional específica, el eje se sujeta, de manera inherente, a un momento de torsión o torque. Por consiguiente, en el eje se genera tensión por esfuerzo de corte por torsión. A su vez, por lo regular, un eje soporta componentes transmisores de potencia como engranes, poleas acanaladas para bandas o ruedas dentadas de cadena, ejercen fuerzas sobre el eje en sentido transversal, es decir perpendicular a su eje. Estas fuerzas transversales provocan que se generen momentos de flexión en el eje, ello requiere de un análisis de tensión a la flexión.

1.1.

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE FLECHAS O EJES

Debido a la aparición simultánea de tensiones por esfuerzo de corte por torsión y tensiones normales que se deben a la flexión, el análisis de una flecha o eje virtualmente implica siempre el uso de un enfoque combinado para el aspecto de las tensiones. El método que se sugieres para el diseño de ejes es el de la teoría de la falla por distorsión de la energía. En ocasiones, se presentan también por esfuerzo de corte vertical y tensiones normales directas que se deben a cargas axiales, sin embargo, su efecto es, por lo regular, mínimo a tal grado que es válido omitirlas. En ejes extremadamente cortos o en partes de ellos en los que no se generan torsión o flexión, es probable que predominen tales tensiones. Las actividades específicas que deben realizarse en el diseño y análisis de una flecha o eje dependen del diseño que se haya propuesto, así como de la forma en que se encargue y se soporte. Con esto en mente, se sugiere el procedimiento siguiente para el diseño de un eje. 1. Determine la velocidad de giro del eje o flecha. 2. Calcule la potencia o el torque que va a transmitir el eje.

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3. Determine el diseño de los componentes transmisores de potencia u otros dispositivos que se pretenda montar en la flecha y especifique su ubicación que se necesita dar a cada dispositivo. 4. Precise la ubicación de los cojinetes en los que se apoyará el eje. Se supone que las reacciones en los cojinetes que soportan cargas radiales ejercen acción en el punto medio de los cojinetes. Por ejemplo, si se utiliza un cojinete de bola de hilera única, se supone que la trayectoria de la carga pasa directamente a través de los balines. Si en el eje existen cargas de empuje, o sea axiales, deberá especificar que cojinete debe diseñarse para que reaccione en contra de la carga de empuje. Por consiguiente se permitirá que el cojinete que no ejerce resistencia contra el empuje se desplace un poco en el sentido axial para asegurar que no se ejerza carga axial indeseable e inesperada sobre ese cojinete. Otro concepto importante es que casi siempre se utilizan dos cojinetes para dar soporte a una flecha. Deben colocarse, de ser posible, en cualquier extremo de los elementos que transmiten potencia para proporcionar soporte estable a la flecha y generar una carga razonable bien balanceada en los cojinetes; éstos se deben colocar cerca de los elementos que transmiten potencia a fin de minimizar los momentos de flexión. Además, la longitud total de la flecha debe ser mínima para mantener las deflexiones en un nivel aceptable. 5. Proponga la forma general de la geometría para el eje o flecha, considerando de qué manera se mantendrá en posición axialmente y como se llevará a cabo la transmisión de potencia a partir de cada elemento hacia el eje. 6. Calcule la magnitud del torque que se observa en todos los puntos del eje. Se sugiere elaborar una gráfica de torque. 7. Calcule las fuerzas que ejercen acción sobre el eje, tanto radial como axialmente. 8. Determine las fuerzas radiales en componentes en sentidos perpendiculares, por lo regular tanto vertical como horizontalmente. 9. Calcule las reacciones en todos los cojinetes de soporte en cada plano.

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10. Elabore las gráficas completas de fuerza de corte y de momento de flexión para determinar la distribución de los momentos de la flexión sobre el eje. 11. Elija el material con que se va a fabricar el eje y especifique su condición: extruido en frío con tratamiento térmico y demás. 12. Calcule una tensión de diseño adecuada, considerando la manera en que se aplica la carga suave, de choque, sucesiva e inversa o de otro tipo 13. Analice cada punto crítico del eje para determinar el diámetro mínimo aceptable del eje para verificar la seguridad bajo aplicación de carga en cada punto. En general, los puntos críticos son numerosos e incluyen aquellos donde tiene lugar un cambio de diámetro, donde se generan los valores más altos de torques y de momento de flexión y donde se presentan concentraciones de tensión. 14. Especifique las dimensiones finales para cada punto en el eje. Por lo regular, se utilizan los resultados del paso 13 a manera de parámetro, después se elijen los valores convenientes. Deben especificarse, a su vez, detalles como tolerancias, radio de los chaflanes, altura de los hombros, y dimensiones de los cuñeros. A veces, el tamaño y la tolerancia para el diámetro de un eje son dictados por el elemento que va a montarse ahí. Poe ejemplo, los catálogos de los fabricantes de cojinetes incluyen limites que se sugieren para los diámetros de los asientos de los engranes en los ejes.

1.2.

FUERZAS QUE EJERCEN ELEMENTOS DE MAQUINARIA SOBRE FLECHAS O EJES

Los engranes, poleas acanaladas para bandas, y otros elementos que casi siempre son soportados por ejes o flechas, ejercen fuerzas sobre los ejes que dan lugar a momentos de flexión. El siguiente es un análisis de los métodos que se utilizan para calcular estas fuerzas, en algunos casos. En general, tendrá que utilizar los principios de la estadística y la dinámica para determinar las fuerzas para cualquier elemento en particular.

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1.2.1. RUEDAS DENTADAS Como se ilustra en la figura 1-1, la fuerza que se ejerce sobre los dientes de perpendicular, al perfil evolvente de los dientes. En el análisis de ejes, conviene considerar los componentes rectangulares de esta fuerza que ejercen su acción en sentido radial así como tangencial. Más conveniente aún es calcular la fuerza tangencial, W t directamente del torque que se conoce, el cual es transmitido por el engrane. Para unidades del sistema británico: T = 63 000 (P)/n Ecuación (1-1) Wt = T/(D/2) Ecuación (1-2) Donde P es la potencia que se transmite en hp, n es la velocidad de giro en rpm, T es el torque en libras por pulgada y D es el diámetro de holgura del engrane en pulgadas. El ángulo entre la fuerza total y el componente tangencial es igual al ángulo de presión, ø, de la forma de los dientes. Por consiguiente, si se conoce la fuerza tangencial, la fuerza radial puede calcularse directamente a partir de: Wr = Wt tan ø Ecuación (1-3) No es necesario calcular la fuerza total. Para engranes, el ángulo de presión por lo regular es 14 1/2o, 20o o 25o.

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Figura 1-1 Fuerzas en los dientes de engranes

1.2.2. ENGRANES HELICOIDALES Además de las fuerzas tangencial y radial que se presentan con las ruedas dentadas, los engranes helicoidales generan una fuerza axial. Primero, calcule la fuerza tangencial a partir de las ecuaciones (1-1) y (1-2). Después, si el ángulo helicoidal del engrane es Ψ, y el ángulo de presión normal es ø n, es posible calcular la carga radial a partir de: Wr = Wt tang øn/cos Ψ Ecuación (1-4) La carga axial es: Wa = Wt tan Ψ Ecuación (1-5) 1.2.3. RUEDAS O POLEAS DE CADENA La figura 1-2 ilustra un par de ruedas o poleas de cadena que transmiten potencia. La parte superior de la cadena se somete a una tensión y genera el torque en cualquiera de las ruedas. A la parte inferior de la cadena se le da el nombre de lado flojo, y no ejerce fuerza alguna en ninguna de las ruedas. Por tanto, la fuerza total de flexión en el eje que soporta a la rueda es igual a la tensión en el lado tenso de la cadena. Si se conoce el torque en alguna rueda,

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Fc = T/(D/2) Ecuación (1-6) Donde D es el diámetro de la holgura de esa rueda. Observa que la fuerza, Fc, actúa en el sentido del lado tenso de la banda. Debido a la diferencia de tamaño entre las dos ruedas, ese sentido se encuentra a cierto ángulo respecto a la línea del centro entre los centros del eje. Un análisis exacto exigiría que la fuerza Fc, se despejara en componentes paralelos a la línea central, y perpendiculares a ella. Esto es, Fcx = Fc cos ө

y

Fcy = Fc sen ө

Figura 1-2 Fuerzas en ruedas dentadas de cadenas

Donde el sentido x es paralelo a la línea y el sentido y es perpendicular a ella. El ángulo ө es el ángulo de inclinación del lado tenso de la cadena respecto al sentido x. 1.2.4. POLEAS ACANALADAS PARA BANDAS EN FORMA V El aspecto general del sistema impulsor mediante una banda en V es similar al sistema impulsor por medio de cadena. No obstante, presenta una diferencia importante. Ambos lados de la banda en forma de V se encuentran en tensión, como indica la figura 1-3. La tensión en el lado tenso, F1, es de mayor magnitud que la tensión en el “lado flojo”, F2, por consiguiente, existe una fuerza neta de impulso en las poleas acanaladas que equivale a La magnitud de fuerza neta de impulso puede calcularse a partir del torque que se transmite FN = F1 – F2 Ecuación (1-7) FN = T/(D/2) Ecuación (1-8) MONOGRAFÍA

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Observe, sin embargo, que la fuerza de flexión en el eje que soporta a la polea acanalada depende de la suma F1 + F2 = FB. Para ser más exactos, deben utilizarse los componentes de F1 y F2 paralelos a la línea de los centros de las dos ruedas dentadas. No obstante, a menos que las dos ruedas dentadas sean muy diferentes en el diámetro, será mínimo el error que presente como consecuencia de FB = F1 + F2. Para determinar la fuerza de flexión FB, se requiere de una segunda ecuación en la que intervengan las dos fuerzas F1 y F2. Esto se obtiene al suponer que existe entre la tensión del lado tenso y la tensión del “lado flojo”. Para impulsores de banda en forma de V, se considera, por lo regular, que esta relación es F1/F2 = 5 Ecuación (1-9) Es conveniente obtener una relación entre FN y FB a partir de la forma FB = CFN Ecuación (1-10) Donde C es una constante a determinar Ecuación (1-11) Sin embargo, a partir de la ecuación (1-9), F1 = 5 F2. Así,

Entonces, para bandas en forma de V, la ecuación (1-10) se convierte en, FB = 1.5 FN = 1.5T/(D/2) Ecuación (1-12) Se acostumbra considerar que la fuerza de flexión, FB, actúa como una sola fuerza a lo largo de la línea de los centros de las dos poleas acanaladas, como se ilustra en la figura 1-3.

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Figura 1-3 Fuerzas en poleas acanaladas para bandas o poleas

1.2.5. POLEAS DE BANDA PLANA El análisis de la fuerza de flexión que ejercen sobre los ejes las poleas para bandas planas es idéntico al de las poleas para bandas en forma de V, excepto que por lo regular se considera que la relación entre la tensión del lado tenso y la tensión del “lado flojo” es de 3 en lugar de 5. Si se utiliza la misma lógica que con las poleas acanaladas para bandas en forma de V, podemos calcular que la constante C es 2.0. Por consiguiente, para impulsores de banda plana. FB = 2.0 FN = 2.0 T/(D/2) Ecuación (1-13) 1.2.6. COPLES FLEXIBLES Un cople flexible se emplea para transmitir potencia entre varías flechas o ejes en tanto se subsanan desalineaciones de menor importancia en los sentidos radial, angular o axial. Por tanto, los ejes subyacentes a los coples se sujetan a torsión, pero las desalineaciones no generan cargas axiales o por flexión.

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1.3.

CONCENTRACIONES DE TENSIONES EN FLECHAS O EJES

Para montar y ubicar en forma correcta los distintos tipos de elementos mecánicos en los ejes, por lo regular, el diseño final incluye varios diámetros, cuñeros, ranuras para anillos y otras discontinuidades geométricas que dan lugar a concentraciones de tensión o esfuerzo. Estas concentraciones de tensión deben ser tomadas en cuenta durante el análisis de diseño. Sin embargo, se presenta un problema debido a que cuando se inicia el proceso de diseño se desconoce los valores reales de diseño correspondientes a los factores de concentración de tensión. La mayor parte de los valores depende de los diámetros del eje y de la geometría de los chaflanes y, las ranuras de éstos, son los objetivos del diseño. El dilema puede superarse estableciendo un conjunto de valores preliminares de diseño para factores de concentración de tensión, los cuales pueden utilizarse para obtener estimados iniciales para los diámetros de los ejes mínimos aceptables. Así, una vez que se seleccionan las dimensiones afinadas, se puede analizar la geometría final para calcular los valores reales para los factores de concentración de tensión. Comparar los valores finales con los preliminares le permitirá juzgar la aceptabilidad del diseño. 1.3.1. VALORES PRELIMINARES DE DISEÑO Kt Aquí se consideran los tipos de discontinuidades geométricas que se encuentran con más regularidad en ejes que transmiten potencia: cuñeros, chaflanes de hombros y ranuras para anillos de sujeción. En cada caso, de un valor de diseño que se sugiere relativamente alto se obtiene un resultado conservador para la primera aproximación hacia el diseño. De nuevo, se hace énfasis que en el diseño final debe verificarse la seguridad. Esto es, si el valor final es más bajo que el valor original de diseño, el diseño aún es seguro. Por el contrario, si el valor final es más alto, habrá que analizar otra vez las tensiones para el diseño.

1.3.2. CUÑEROS Un cuñero consiste en una ranura longitudinal que se corta en un eje o una flecha para montar una cuña, ello permite transferir torque a partir del eje hacia un elemento que transmite potencia o viceversa.

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Dos son los tipos de cuñeros que se utilizan con mayor frecuencia: el de perfil y el de corredera o rastra (figura 1-4). El cuñero de perfil se fresa en el eje o flecha utilizando una punta en la fresa con diámetro igual al ancho de la cuña. La ranura resultante tiene el fondo plano y en su extremo presenta una esquina aguda a escuadra. El cuñero de corredera o rastra se fabrica con una cortadora circular para fresar con espesor igual al ancho de la cuña. A medida que la cortadora inicia o termina el cuñero, se obtiene un radio continuo. Por este motivo, el factor de concentración de tensión para el cuñero de corredera o rastra es más bajo que el del cuñero de perfil. Los valores de diseño que por lo regular se utilizan son: Kt = 2.0 (perfil) Kt = 1.6 (de corredera o rastra) Cada uno de estos valores debe aplicarse al cálculo de esfuerzo o tensión por flexión de la flecha o eje. Los factores consideran tanto la reducción en sección transversal, como el efecto de la discontinuidad. Si la tensión por esfuerzo de corte por torsión es variable en lugar de constante, el factor de concentración de tensión también se aplica a ello.

Figura 1-4 Cuñeros

1.3.3. CHAFLANES DE HOMBROS Cuando en un eje se presentan cambios de diámetro para producir un hombro contra el cual se coloca un elemento mecánico, se genera una concentración de tensión que depende de la relación entre los diámetros y el

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diámetro del chaflán (figura 1-5). Se sugiere que el diámetro del chaflán sea lo más grande posible para minimizar la concentración de tensión; sin embargo, a veces el diseño del engrane, el cojinete u otro elemento afecta el radio que puede utilizarse para fines de diseño. Los chaflanes se clasificarán de acuerdo con dos categorías: con bordes cortantes y con bordes redondeados.

Figura 1-5 chaflanes en ejes

En este caso el término con bordes cortantes en realidad no significa eso, es decir, sin ningún radio de chaflán en absoluto. Tal configuración de hombro tendría un factor de concentración de tensión en extremo alto y esto debe evitarse. Por el contrario, con bordes cortantes describe un hombro con un radio de chaflán relativamente pequeño. Una situación en la que es probable que se presente el MONOGRAFÍA

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caso anterior es donde se va a colocar un cojinete de bola. El canal interno del cojinete tiene un radio que se produce en la fábrica; no obstante, es pequeño. El radio del chaflán en el eje debe ser aún más pequeño para que el cojinete asiente debidamente contra el hombro. Cuando se coloca un elemento con un chaflán más grande en su diámetro interior que asienta contra el hombro. Cuando se coloca un elemento con un chaflán más grande en su diámetro interior que asienta contra el hombro o cuando no asienta nada que se apoye en el hombro, el radio del chaflán puede ser mucho más grande, bien redondeado, y el factor de concentración de esfuerzo es más pequeño. Para el diseño de flexión utilizaremos los valores siguientes Kt = 2.5 (chaflán con bordes cortantes) Kt = 1.5 (chaflán bien redondeado) En la gráfica para factores de concentración de tensión podrá observar que estos valores corresponden a relaciones de r/d de aproximadamente 0.03 para el caso del chaflán con bordes cortantes y de 0.17 para el chaflán con los bordes bien redondeados para un relación D/d de 1.50. 1.3.4. RANURAS PARA ANILLOS DE SUJECIÓN Los anillos de sujeción se utilizan en muchos tipos de aplicaciones en los ejes. Los anillos se colocan en ranuras que se hacen en las flechas o ejes, después que se ubica en su lugar el elemento que se va a sujetar. La geometría de la ranura la establece el fabricante del anillo. Su configuración común es una ranura hueca con los bordes de las paredes rectas al igual que su fondo y un chaflán pequeño en la base de la ranura. Se puede obtener una idea aproximada del comportamiento de la flecha en el área que circunda la ranura si se considera dos hombros con chaflán de bordea cortantes colocados casi juntos. En consecuencia, el factor de concentración de tensión o esfuerzo para una ranura es alto. Cuando existe flexión, utilizaremos Kt =3.0 para diseño preliminar como un factor estimado que considera los chaflanes y la reducción en diámetro para calcular el diámetro para calcular el diámetro nominal del eje o flecha antes de correr la ranura. Cuando se presenta torsión junto con la flexión o cuando sólo existe torsión en una sección que interesa, el factor de concentración de la tensión no se aplica a la tensión por esfuerzo de corte por torsión porque es constante. Sin embargo, para considerar la disminución de diámetro en la ranura aumente el diámetro resultante que calculó en aproximadamente 6%, un valor típico para anillos de sujeción comerciales. Pero después de que haya especificado el

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diámetro final del eje y la geometría de la ranura, deberá calcular la tensión o esfuerzo en la ranura con el factor de concentración de tensión adecuado para la geometría de la ranura.

1.4.

TENSIONES DE DISEÑO PARA FLECHAS O EJES

En una flecha o eje en particular puede existir al mismo tiempo condiciones distintas que generan esfuerzo o tensión. Para cualquier parte del eje que transmite potencia, habrá una tensión por esfuerzo de corte por torsión, mientras la tensión por esfuerzo de flexión se presenta en esas mismas partes. Quizá haya otras partes en las que sólo se genere tensiones por esfuerzos de flexión. Algunos puntos tal vez no se sujeten a flexión, tampoco a torsión pero experimentarán tensión por esfuerzo de corte vertical. Sobre las otras tensiones o esfuerzos pueden sobreponerse esfuerzos por tracción o por compresión. Entonces habrá algunos puntos en los que no se genere en absoluto tensiones o esfuerzos significativos. En consecuencia, decidir qué tensión de diseño utilizar depende de la situación particular en el punto que interesa. En muchos proyectos de diseño y análisis de flechas o ejes deben hacerse cálculos en distintos puntos para considerar en su totalidad la variedad de condiciones de carga y de geometría que existen. Se supone que las tensiones o esfuerzo de flexión son por completo inversos y sucesivos debido a que el eje gira. Dado que los materiales dúctiles muestran un mayor desempeño bajo tales cargas, se supone que el material con que se fabrica el eje o flecha es dúctil. Se supone, también, que la carga por esfuerzo de torsión es relativamente constante y actúa en un sentido. 1.4.1. TENSIÓN POR ESFUERZO DE CORTE DE DISEÑO El método más preciso para prever fallas en materiales dúctiles debido a una tensión constante por esfuerzo de corte era la teoría de la distorsión de la energía, en la cual la tensión por esfuerzo de corte de diseño se calcula a partir de Ecuación (1-14) Utilizaremos este valor para tensión por esfuerzo de corte por torsión constante, tensión por esfuerzo de corte vertical o tensión por esfuerzo de corte directo en una flecha o eje.

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1.4.2. TENSIÓN NORMAL DE DISEÑO, CARGA QUE GENERA FATIGA Para la flexión inversa sucesiva en un eje provocada por cargas transversales que se aplican a un eje que gira, la tensión de diseño se relaciona con la resistencia por durabilidad del material con que se fabrica el eje. Las condiciones reales bajo las cuales se fabrica y opera el eje deberán tenerse en cuenta cuando se especifique la tensión de diseño. 1. Se calcula la resistencia máxima a la tracción del material, s u, a partir de los resultados de pruebas que se realizan, de las especificaciones del fabricante o de información publicada. Es necesario utilizar la información más exacta y confiable. Cuando surjan dudas de la exactitud de la información tendrán que utilizarse factores de diseño mayores que el promedio. 2. Se calcula la resistencia estimada por durabilidad, su, del material, con base en la figura 1-6. Recuerde que en los datos de esta figura se considera la manera que se fabrica el objeto de estudio, además de la relación entre la resistencia por durabilidad básica y la resistencia máxima. Si la resistencia máxima es mayor que el límite que se indica en la figura 1-6, es decir, 220 Ksi o 1500 MPa, utilice los valores que corresponden a su = 220 Ksi.

Figura 1-6 Tensión por durabilidad contra resistencia al esfuerzo por tracción para acero forjado para varias condiciones superficiales

3. Se aplica un factor de tamaño Cs para considerar el gradiente de tensión dentro del material y la probabilidad de que una sección particular presente una oclusión específica que puede ser el lugar que se inicie una fractura por

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fatiga. La referencia (1) sugiere lo siguiente: Para diámetros de menos de 2.0” (D en pulgadas). Cs = (D/0.3)-0.068 Para diámetros menores de 50 mm (D en mm) Cs = (D/7.6)-0.068 Para diámetros de más de 2.0” hasta 10” (D en pulgadas) Cs = D-0.19 Para diámetros de más de 50 mm hasta 250 mm (D en mm) Cs = 1.85 D-0.19 La figura 1-7 muestra una gráfica de estas fórmulas. Los dos conjuntos de fórmulas se toman de fuentes distintas y existe cierta discontinuidad mínima de la pendiente cerca de D = 2.0” (50 mm). La línea punteada corta integra las curvas y proporciona valores ligeramente conservadores.

Figura 1-7 Factor de tamaño para diseño de ejes

4. Se aplica un factor de confiabilidad CR. La información de la resistencia por durabilidad que se reporta, consta de valores promedio que se obtienen con base en varias pruebas, lo cual implica, una confiabilidad de 0.50 (50%). MONOGRAFÍA

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Suponiendo que la información real de fallas sigue una distribución normal, se pueden utilizar los factores siguientes de ajustes para un alto grado de confiabilidad

Observe que cualquier factor de concentración de tensión que se presente se considerará en la ecuación de diseño que se desarrolla más adelante. Otros factores, que se toman en cuenta aquí, podrían surtir un efecto adverso en la resistencia por durabilidad del material con que se fabrique el eje y, en consecuencia, en la tensión de diseño, son las temperaturas por arriba de aproximadamente 400o F (200o C), variación en los niveles pico de tensión por arriba de la resistencia nominal por durabilidad durante algunos lapsos, vibración, tensiones residuales, endurecimiento, ajustes por interferencia, corrosión, ciclaje térmico, chapas o recubrimientos superficiales y tensiones que no se consideran en el análisis básico de tensiones. Para tales condiciones se sugiere realizar pruebas con componentes reales.

5. Se calcula s’n = snCsCR.

6. Para piezas del eje o flecha que sólo ven sujetas a flexión inversa, la tensión de diseño es igual a Ecuación (1-15) 1.4.3. FACTOR DE DISEÑO, N Bajo condiciones industriales típicas se sugiere el factor de diseño de N = 3. Si la aplicación es en extremo suave, tal vez se justifique un valor tan bajo como N = 2. Bajo condiciones de choque o impacto de emplearse N = 4 o más alto y se recomienda llevar a cabo pruebas exhaustivas.

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1.5.

FLECHAS Y EJES SOLO EN FLEXIÓN Y TORSIÓN

Aquellos que soportan engranajes rectos o cilíndricos, poleas acanaladas en forma de V o ruedas dentadas de cadena son ejemplos de flechas o ejes que sólo se ven sujetos a flexión o torsión. La potencia que es transmitida genera torsión y las fuerzas transversales en los elementos originan flexión. En el caso general, no todas las fuerzas transversales actúan en el mismo plano. En tales casos, primero se elabora las gráficas momento de flexión para dos planos perpendiculares. Después, se calcula el momento de flexión resultante en cada punto que interesa. Ahora se desarrolla una ecuación de diseño con base en el supuesto de que el esfuerzo o tensión por flexión en el eje es sucesivo e inverso conforme gira el eje, pero que la tensión por esfuerzo de corte por torsión es casi uniforme. La ecuación de diseño se basa en el principio que se muestra de manera gráfica en la figura 1-9, en la que el eje vertical es la relación del esfuerzo por tensión inverso con la resistencia por durabilidad del material. El eje horizontal es la relación de la tensión por esfuerzo de corte por torsión con la resistencia a punto cedente del material ante esfuerzo de corte. Los puntos que tienen valor de 1.0 en estos ejes indican falla inminente ante flexión simple o tensión simple respectivamente. La información basada en experimentos muestra que la falla anti combinaciones de flexión y torsión sigue, en general, la trayectoria de la curva que conecta estos dos puntos, ello obedece a la ecuación.

Figura 1-9 base para la ecuación de diseño de ejes para tensión por esfuerzos de flexión inversa y tensión por esfuerzos de corte por torsión

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CAPÍTULO 2 ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA

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2. ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA La resistencia es una propiedad o característica de un elemento mecánico. Esta propiedad resulta de la identidad del material, del tratamiento y procesamiento incidental para crear su geometría, y de la carga; asimismo, se encuentra en el punto de control crítico. Estos elementos se deben identificar y considerar antes de poder hablar de la resistencia de una parte como una característica útil de valor descriptivo. Las tablas de las propiedades de los materiales de ingeniería no informan sobre las resistencias de las partes. La resistencia de una parte mecánica no depende de que esa parte se someta a su carga proyectada. De hecho, esta propiedad de resistencia es una característica del elemento antes de que se ensamble con otros elementos en una máquina o en un sistema. La resistencia de una parte es un indicador valioso, pero sólo existe si se cumplen todas las calificaciones enumeradas antes. Además de considerar la resistencia de una parte individual, se debe estar consciente de que las resistencias de las partes producidas en masa, diferirán en cierto grado de las otras del conjunto o ensamble debido a variaciones en las dimensiones, el maquinado, el formado y la composición. Los indicadores de la resistencia son por necesidad de naturaleza estocástica e involucran parámetros estadísticos (a menudo la media y la desviación estándar) y una identificación. Una carga estática es una fuerza estacionaria o un par de torsión que se aplica a un elemento. Para ser estacionaria, la fuerza o el par de torsión no deben cambiar su magnitud, ni el punto o los puntos de aplicación, ni su dirección. Una carga estática produce tensión o compresión axial, una carga cortante, una carga flexionante, una carga torsional o cualquier combinación de estas. Para que se considere estática, la carga no puede cambiar de ninguna manera. Consideraremos las relaciones entre la resistencia y la carga estática con objeto de tomar decisiones respecto al material y a su tratamiento, fabricación y geometría para satisfacer los requisitos de funcionalidad, seguridad, confiabilidad, competitividad, facilidad de uso, manufacturabilidad y comercialización. El grado de detalle de esta lista está relacionado con el alcance de los ejemplos. La “falla” puede significar que una parte se ha separado en dos o más piezas; se ha distorsionado permanentemente, arruinado de esta manera su geometría; se ha degradado su confiabilidad; o se ha comprometido su función, por cualquier razón. Un diseñador cuando habla de falla quizá se refiera a cualquiera o todas estas posibilidades. Nuestra atención se enfocará en la MONOGRAFÍA

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predicción de la distorsión o separación permanente. En situaciones sensibles al esfuerzo el diseñador debe separar el esfuerzo medio y la resistencia media en el punto crítico de manera suficiente para lograr sus propósitos. En las figuras 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5 y 2-6 se muestran fotografías de partes que han fallado. Las fotografías ejemplifican la necesidad, por parte del diseñador, de estar muy al tanto de la prevención de fallas. Hacia este fin se considerarán estados de esfuerzos en una, dos y tres dimensiones, con y sin concentraciones de esfuerzos, para materiales tanto dúctiles como frágiles.

Figura 2-1 Falla por impacto de la masa de impulsión de la cuchilla de una podadora de césped. La cuchilla impacta un tubo metálico de marcación de cotas de topografía.

Figura 2-2 Falla de un perno de sujeción de una polea elevada en una máquina de levantamiento de pesas. Un error de fabricación causó una separación que provocó que el perno soportara toda la carga de momento.

Figura 2-3 Falla de una manija interior de la puerta de un automóvil fundida. La falla ocurrió después de un servicio de aproximadamente 72 000 km. Las causas probables fueron el material de electrochapeado, la

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA” concentración del esfuerzo, el largo de brazo de palanca requerido para operar el mecanismo de apertura de la puerta “pegado” y las fuerzas de accionamiento elevadas.

Figura 2-4 Falla de un resorte de válvula causada por la reacción elástica en un motor sobre/revolucionado. La o fractura presenta la falla a 45 clásica por cortante

Figura 2-5 Fractura frágil de una arandela de presión en la mitad de un ciclo. La arandela falló cuando se instaló.

Figura 2-6 Falla en un engrane de un motor fuera de borda de 7 ½ hp (5.6 kW) hecho en Estados Unidos. El engrane mayor tiene un diámetro exterior de 1 2/8 (47.6 mm) y 21 dientes de los cuales 6 se rompieron. La falla ocurrió cuando la propela choco con una sonda de acero en el fondo del lago como anclaje. El propietario había reemplazado el pasador de cortante con uno no diseñado para esa función.

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2.1.

RESISTENCIA ESTÁTICA

Idealmente, al diseñar cualquier elemento de máquina el ingeniero debe tener a su disposición los resultados de una gran cantidad de pruebas de resistencia al material elegido. Estos ensayos se deben realizar en probetas que tengan el mismo tratamiento térmico, acabado superficial y tamaño que el elemento que el diseñador se propone diseñar; además, las pruebas se deben conducir exactamente bajo las mismas condiciones de carga a que se someterá la parte en servicio. Esto significa que si la parte se va a someter a carga flexionante, se debe ensayar con una carga flexionante. Si se va a someter a flexión y torsión combinadas, se debe ensayar bajo flexión y torsión combinadas. Si se hace de acero tratado AISI 1040 estirado a 500oC con un acabado esmerilado, las probetas que se ensayen deben ser del mismo material preparado de la misma manera. Esos ensayos proporcionarán información muy útil y precisa. Cuando esos datos están disponibles para propósitos de diseño, el ingeniero puede estar seguro de que está haciendo el mejor trabajo de ingeniería. El costo de reunir esa gran cantidad de datos antes del diseño se justifica si la falla de la parte puede poner en peligro la vida humana, o si la parte se fabrica en cantidades suficientemente grandes. Ejes para la transmisión de potencia y aparatos electrodomésticos, por ejemplo, tienen grados de confiabilidad muy altos porque las partes se hacen en grandes cantidades, de manera que se pueden ensayar por completo antes de su manufactura. El costo de realización de estos ensayos es muy bajo cuando se divide entre el número total de partes fabricadas. Ahora se pueden apreciar las cuatro categorías de diseño siguientes: 1. La falla de la parte pondrá en peligro la vida humana, o la parte se hace en cantidades extremadamente grandes; en consecuencia, se justifica un elaborado programa de ensayos durante el diseño. 2. La parte se hace en cantidades muy grandes, que es posible una serie moderada de ensayos. 3. La parte se hace en cantidades tan pequeñas que los ensayos no se justifican de ninguna manera, o el diseño se debe complementar tan rápido que no hay tiempo para los ensayos. 4. La parte ya se ha diseñado, fabricado y ensayado, y se ha determinado que es insatisfactoria. Se requiere un análisis para entender porqué la parte es satisfactoria y lo que se debe hacer para mejorarla.

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Con mucha frecuencia no es necesario diseñar empleando sólo valores publicados de la resistencia de fluencia, de la resistencia última, del porcentaje de reducción del área y del porcentaje de elongación.

2.2.

CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO

La concentración del esfuerzo es un esfuerzo muy localizado. En algunos casos puede deberse a una ralladura superficial. Si el material es dúctil y la carga estática, la carga de diseño puede causar fluencia en el punto crítico sobre la muesca. Esta fluencia puede implicar endurecimiento por deformación del material y un incremento de la resistencia de fluencia en el punto crítico de la muesca. Como las cargas son estáticas, esa parte puede soportarlas de manera satisfactoria, sin presentar una fluencia general. En estos casos el diseñador establece que el factor geométrico de la concentración del esfuerzo (teórico) K t es igual a la unidad. La razón se puede expresar como sigue. El escenario, en el peor de los casos, es el de un material no endurecido por deformación, como el que se muestra en la figura 2-7. El lugar geométrico esfuerzo-deformación se incrementa linealmente hasta la resistencia de fluencia Sy, luego se comporta como esfuerzo de constante, que es igual a Sy. Considere una barra rectangular con muesca como se representa en la figura 2-8, donde el área de la sección transversal del cuerpo pequeño es 1 pulg2. Si el materiales dúctil, con un punto de fluencia de40 kpsi y el factor teórico de concentración de esfuerzo (FCE) Kt es 2.

Figura 2-7 Curva esfuerzo-deformación idealizada. La línea discontinua representa un material endurecido por deformación.

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Figura 2-8 Barra redonda ranurada en torsión.

, donde c=d/2 y

Una carga de 20 kip induce un esfuerzo de tensión de 20 kpsi en el cuerpo, como se presenta en el punto A de la figura 2-7. El FCE es Una carga de 30 kip induce un esfuerzo de tensión de 30 kpsi en el punto B. En el punto crítico del chaflán, el esfuerzo es 40 kpsi y el FCE . Con una carga de 40 kip el esfuerzo de tensión inducido (punto C) es 40 kpsi en el cuerpo. En el punto crítico del chaflán, el esfuerzo (en el punto E) es 40 kpsi. El FCE . Para materiales que se endurecen por deformación, el punto crítico en la muesca tiene una Sy mayor. El área del cuerpo se encuentra a un nivel de esfuerzo un poco menor que 40 kpsi, está soportando carga y está muy cerca de su condición de falla por fluencia general. Ésta es la razón por la que los diseñadores no aplican Kt en la carga estática de un material dúctil cargado elásticamente, en vez de eso establecen Kt = 1. Cuando se usa esta regla para materiales dúctiles sometidos a cargas estáticas, se debe tener la seguridad que el material no es susceptible a la falla frágil en el entorno de uso. La definición usual del factor geométrico (teórico) de concentración del esfuerzo para el esfuerzo normal Kt, o el esfuerzo cortante Kts, es: (a) (b) Como la atención se pone sobre el factor de concentración del esfuerzo y la definición de o está dada en la leyenda de la gráfica o mediante un

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programa de cómputo, se debe asegurar que el esfuerzo nominal sea apropiado para la sección que está soportando la carga, y no para lo que el dibujante de la gráfica encontró conveniente presentar. Los materiales frágiles no presentan un intervalo plástico. Un material frágil “siente” el FCE Kt y el Kts, y el Kt o Kts se aplica usando la ecuación (a) o (b). Una excepción a esta regla es un material frágil que contenga inherentemente una concentración del esfuerzo en una microdiscontinuidad, peor que la macrodiscontinuidad que el diseñador tiene en mente. El modelo en arena introduce partículas de arena, burgrafito (con poca resistencia), las cuales literalmente son grietas que se introducen durante el proceso de solidificación. Cuando se realiza un en sayo de tensión de una fundición de hierro, la resistencia que se señala incluye esta concentración del esfuerzo. En esos casos no se necesita aplicar Kt o Kts. Una fuente importante de factores de concentración del esfuerzo es la obra de R.E. Peterson, quien los compiló mediante su propio trabajo y el de otros. Peterson desarrolló el estilo de presentación en el que el factor de concentración del esfuerzo Kt se multiplica por el esfuerzo nominal para estimar la magnitud del esfuerzo mayor en la localidad. Sus aproximaciones se basaron en estudios fotoelásticos de tiras bidimensionales (Hartman y Levan, 1951; Wilson y White, 1973), con algunos datos limitados de los ensayos fotoelásticos tridimensionales de Hartman y Levan. En la presentación de cada caso se incluye una gráfica de contorno. Los ejes con chaflán en tensión se basaron en tiras bidimensionales. La herramienta del análisis de elemento finito (FEA, por sus siglas en inglés) la empleó Tipton, Sorem y Rolovic. No sólo se ha mejorado la exactitud, sino que también se debe observar el cambio en el estilo de la presentación. Tipton y sus colegas emplearon el FEA del hombro de un eje a tensión axial. Los resultados se presentaron en la forma (c) En la ubicación del chaflán ø del esfuerzo principal máximo punto [denotada

en la ecuación (a)] y la

en el

se presenta en forma de

curva adimensional ajustada. Para una tensión axial P,

se establece

como (d)

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Si la situación implica un material frágil sometido a carga axial, el esfuerzo principal máximo en el punto está dado por (e) Si el criterio de falla se expresa en términos del esfuerzo principal mayor, entonces uno está listo para proceder. Si el material es dúctil, entonces todos los esfuerzos de von Mises (u octaédrico), en el cual el valor mayor ocurre en otro lugar y se procede como sigue:

(f)

Donde el esfuerzo de von Mises

está dado por (g)

Tipton y cols., definieron un factor de concentración del esfuerzo reemplazando los pasos implicados por las ecuaciones (f) y (g) de la forma (h) Relacionando el esfuerzo de von Mises, nominal

, directamente con el esfuerzo

, si esto es conveniente para el usuario. Para un eje con chaflán

sometido axial,

, se estableció como (i)

Para el eje con chaflán sometido a tensión axial, Tipton y otros establecieron un factor de concentración del esfuerzo, para aplicarse el esfuerzo nominal ordenado, y otro,

, a fin de estimar el esfuerzo el esfuerzo principal máximo , para aplicarse al esfuerzo nominal

a fin de

estimarel esfurzo mayor de von Mises en el punto. El método produjo información más exacta y dos factores de concentración del esfuerzo. No es probable que se confundan estos factores, pero se debe elegir el apropiado de acuerdo a las circunstancias. Tipton y otros también determinaron ecuaciones para el ángulo ø en el chaflán, en donde aparece el esfuerzo principal máximo ordenado, y un

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ángulo distinto ø, en donde el esfuerzo mayor de von Mises aparece. Las concentraciones de esfuerzos en el eje con chaflán sometido a tensión y flexión estudiadas por Peterson y otros son bajos, especialmente en radios agudos del chaflán.

2.3.

HIPÓTESIS DE FALLA

Sucesos como la deformación permanente, el agrietamiento, y la ruptura se encuentran entre las formas en que falla un eje o un elemento de máquina. Las máquinas de ensayo aparecieron en los años 1700 y las probetas se jalaban, doblaban y torcían en procesos simples de carga. La experiencia al reunir estos datos fue el instrumento para establecer el concepto de deformación. Cauchy relacionó el esfuerzo, la deformación y las constantes elásticas en lo que actualmente llamamos teoría de la elasticidad. La humanidad siempre preservó en la búsqueda por un “mecanismo” simple y visionario de falla. Al igual que con todas las cosas, los postulados conducen predicciones, y éstas se analizan mediante el uso de datos adicionales. Las ideas se modifican y el proceso continúa, al igual que lo hace el proceso de comprensión. La historia de la hipótesis de falla es una recitación de nuestra experiencia de aprendizaje.

Figura 2-9 Círculos de Mohr para el esfuerzo triaxial

Si el mecanismo de falla es simple, entonces unos ensayos simples pueden dar pistas. ¿Pero qué es simple? El ensayo a la tensión es uniaxial (eso es simple) y las elongaciones son mayores en la dirección axial, por tanto las deformaciones se pueden medir y los esfuerzos se pueden inferir hasta que ocurra la “falla”. Entonces ¿qué es importante: un esfuerzo crítico, una deformación crítica, una energía crítica? ¿Los círculos crecientes de Mohr, como los que se presentan en la figura 2-9, se expanden hasta que “chocan con algo”? Si es así, ¿con qué? Si no, ¿qué es lo importante? MONOGRAFÍA

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 El origen de la falla ocurre cuando un tipo particular de esfuerzo alcanza el nivel de una resistencia correspondiente del material.  Se puede graficar un lugar geométrico de falla que separa un dominio “seguro” de uno “inseguro”.  Un lugar geométrico de esfuerzos posibles, llamado línea de carga, corre (normalmente) de manera radial desde el origen e interseca el lugar geométrico de falla. La intersección define el origen de la falla.  Se puede identificar un factor de seguridad para el caso determinístico y se puede identificar una probabilidad de falla para el caso estocástico. Una hipótesis de falla que explica todos los datos y continúa haciéndolo a medida que se añaden más datos, se puede elevar al nivel de teoría. Cuando una parte se somete a una carga de manera que el estado de esfuerzos es uniaxial, entonces el esfuerzo y la resistencia se pueden comparar directamente para determinar el grado de seguridad, o para aprender si la parte fallará. El método es simple, porque sólo hay un valor del esfuerzo y sólo un valor de resistencia última, resistencia cortante o cualquier otra; según sea apropiado. El problema se complica cuando el estado de esfuerzos es biaxial o triaxial. En esos casos hay una multitud de esfuerzos, pero aún sólo una resistencia significativa. Así que, ¿cómo aprenderemos si la parte es segura o no?, y si ése es el caso, ¿qué tan segura es? Como un ejemplo, considere la más antigua de las hipótesis de falla atribuida a Rankine, llamada hipótesis del esfuerzo normal máximo. Se estipula que la falla ocurre cuando uno de los tres esfuerzos principales iguala a la resistencia. Suponga que se ordenan los esfuerzos principales (a) Entonces la falla ocurre cuando: (b) Donde St y Sc son resistentes de tensión y de compresión (normalmente la resistencia de fluencia o la resistencia última) respectivamente. En las figuras 2-10 y 2-11 se ilustran los estados asociados con la seguridad (dentro) y la falla (fuera). El lugar geométrico de la falla separa a estas regiones. En la figura 2-12, para estos datos de esfuerzos biaxiales, se emplean los esfuerzos principales diferentes de cero . Ya que , sólo existe el lugar geométrico de falla representada por la línea continúa. El lugar geométrico de falla representado por la línea discontinua realmente no es parte del diagrama. Se acostumbra retener la MONOGRAFÍA

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”

imagen de espejo respecto a la línea diagonal porque, cuando se grafican los datos de falla, la congestión de los puntos de datos se puede “corregir” si se grafican sobre la imagen de espejo, así se reduce la aglomeración y se mejora la claridad. La línea de carga 1 es el lugar geométrico de estados de esfuerzos posibles para una circunstancia dada. El punto es la condición del esfuerzo en el punto crítico. El punto

es la resistencia correspondiente en el lugar geométrico

de falla. El factor de seguridad de Pilo se puede expresar como sus proyecciones en el eje

, o como

: (c)

La pendiente de la línea de carga es es para el caso de torsión pura, por tanto seguridad

es

.

La

, y el factor de seguridad es

. La línea de carga 2 ,

, y el factor de

pendiente

de

la

línea

3

es

.

Figura 2-10 Hipótesis del esfuerzo normal máximo (ENM) en tres dimensiones. El prisma rectangular de la derecha contiene todos los valores seguros de cualquier combinación de los componentes del esfuerzo. La resistencia a la compresión SC no necesita ser igual a la resistencia a la tensión St. Para la hipótesis, estas pueden ser resistencias de fluencia o últimas. También note que las resistencias siempre son cantidades positivas, pero los esfuerzos pueden ser positivos o negativos.

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”

Figura 2-11 Gráfica de la hipótesis de falla del esfuerzo normal máximo (ENM) para estados de esfuerzos triaxiales, cuando Sc>St. Los estados de esfuerzo contenidos que se grafican dentro del lugar geométrico de falla son seguros.

Figura 2-12 Hipótesis de falla del esfuerzo normal máximo (ENM) para estados de esfuerzos triaxiales mostrando las líneas de carga.

2.3.1. MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DEL EMC (TRESCA O GUEST) La hipótesis del esfuerzo cortante máximo estipula que la fluencia comienza cuando el esfuerzo cortante máximo de cualquier elemento iguala al esfuerzo cortante máximo en una probeta de ensayo a la tensión del mismo material cuando esa probeta comienza a fluir. Si se ordenan los esfuerzos normales principales como

,

entonces la hipótesis del esfuerzo cortante máximo predice que la fluencia ocurrirá cuando Ecuación (2-1) Note que esta hipótesis también está dada por la ecuación: Ecuación (2-2)

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”

Para desarrollar un conocimiento aún mejor de esta hipótesis, aquí se utiliza la siguiente ecuación para los tres esfuerzos cortantes principales. Éstos son Ecuación (2-3) El mayor de

,

y

es

de la ecuación (6-1). Suponga que los

esfuerzos principales normales se descomponen en las componentes

(a)

De tal forma que (b) Los esfuerzos en la ecuación (b) se llaman componentes hidrostáticos, puesto que son iguales. Si sucediera que , entonces los tres esfuerzos cortantes, dados por la ecuación (2-3), serían iguales a cero y no podría haber influencia, sin importar las magnitudes de los esfuerzos hidrostáticos. Por lo que las componentes hidrostáticas no tienen efecto sobre el tamaño del círculo de Mohr, sino que solamente sirven para desplazarlo a lo largo del eje del esfuerzo normal. Por esta razón el criterio de fluencia para el estado general de esfuerzos se puede representar mediante el cilindro hexagonal regular oblicuo de la figura 213. En la figura 2-14 se ilustra la hipótesis para los esfuerzos biaxiales.

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA” Figura 2-13 Hipótesis del esfuerzo cortante máximo (ECM) representada gráficamente en tres dimensiones. EL cilindro hexagonal contiene todos los componentes seguros (libres de fluencia) del estado de esfuerzos dado por , y . El eje de cilindro está inclinado igualmente hacia cada una de las tres direcciones principales, y es el lugar geométrico de los puntos descritos por la tríada de componentes hidrostáticas y

,

.

Figura 2-14 Hipótesis del esfuerzo cortante máximo (ECM) para esfuerzos biaxiales

y

, los cuales son

esfuerzos principales diferentes de cero.

Esta hipótesis predice que los esfuerzos hidráulicos no producen fluencia. También predice que la resistencia de fluencia por cortante es la mitad de la resistencia de fluencia por tensión. Esto es aproximadamente 15% menos. Es simple de aplicar y es útil en la tecnología de la soldadura porque otras consideraciones (forma geométrica) conducen a errores aún mayores. Como no predice datos existentes, no se le ha dado el rango de teoría, pero no obstante tiene un uso ocasional. Un cuerpo sometido a enormes esfuerzos hidrostáticos, muy por arriba del esfuerzo usual de falla uniaxial, no fluye ni se rompe. Cuando los esfuerzos se liberan, el cuerpo se recupera elásticamente. Por tanto, los esfuerzos hidrostáticos no contribuyen a la falla. Por esta razón la hipótesis del esfuerzo cortante máximo fue útil hasta que se sustituyó con la teoría de la energía de la distorsión para materiales dúctiles. 2.3.2. MATERIALES

DÚCTILES:

HIPÓTESIS

DE

LA

ENERGÍA

DE

DEFORMACIÓN La hipótesis de la energía de deformación máxima predice que la falla por fluencia ocurre cuando la energía de deformación total en un volumen unitario alcanza o excede la energía de deformación en el mismo volumen correspondiente a la resistencia de fluencia en tensión o en compresión.

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”

La energía de deformación almacenada en un volumen unitario cuando se aplica axialmente hasta la resistencia de fluencia se puede determinar mediante la ecuación:

Por tanto: (a) Con la ayuda de las relaciones de esfuerzo-deformación triaxiales de la tabla 2-1, se obtiene que la energía de deformación total en un volumen unitario, sometido a esfuerzos combinados, es:

(b) Debido a que esta hipótesis ha dejado de emplearse, aquí no se presenta ninguna gráfica y las ecuaciones del esfuerzo biaxial no se muestran. Sin embargo, quizá se desee determinar estos esfuerzos para satisfacer su propia curiosidad. La hipótesis de la energía de distorsión se originó debido a la observación de que los materiales dúctiles sometidos a esfuerzos hidrostáticos presentan resistencias de fluencia que exceden en gran medida los valores dados por el ensayo de tensión simple. Por lo tanto, se postuló que la fluencia no era un fenómeno de tensión o compresión simples, sino más bien, que estaba relacionada de alguna manera con la distorsión angular del elemento esforzado. Para desarrollar la teoría, observe en la figura 2-15a, el volumen unitario sometido a cualquier estado de esfuerzos tridimensionales, designado por los esfuerzos . El estado de esfuerzos que se muestra en la figura 2-15b es de tensión hidrostática debida a los esfuerzos

que actúan en cada una de las mismas

direcciones principales, como en la figura 2-15a. La fórmula para

es

(c)

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”

De esta manera, el elemento de la figura 2-15b experimenta un cambio de volumen puro; es decir, sin distorsión angular. Si se considera como un componente de

, entonces este componente se puede restar de ellos,

dando como resultado el estado de esfuerzos que se muestra en la figura 2-15c. Éste está sometido a distorsión angular pura; es decir, no hay cambio de volumen. La ecuación (b) proporciona la energía de deformación total para el elemento de la figura 2-15a. La energía de deformación para producir sólo un cambio de volumen se puede obtener sustituyendo para en la ecuación (b). El resultado es (d) Si ahora se sustituye el cuadrado de la ecuación (c) en la ecuación (d) y se simplifica la expresión, se obtiene Ecuación (2-4) Entonces la energía de distorsión se obtiene restando la ecuación (2-4) de la ecuación (b). Esto da Ecuación (2-5) Observe que la energía de distorsión es cero si

.

Expresada con palabras, la hipótesis de la energía de distorsión predice que la fluencia ocurrirá cuando la energía de distorsión en un volumen unitario iguale la energía de distorsión en el mismo volumen cuando se someta a un esfuerzo uniaxial hasta la resistencia de fluencia. Para el ensayo de tensión simple, sea , . La energía de distorsión es: Ecuación (2-6) Igualando las ecuaciones (2-5) y (2-6) se obtiene Ecuación (2-7) Por lo tanto se predice que la fluencia ocurrirá cuando Ecuación (2-8)

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”

El esfuerzo

debe tener un nombre especial porque representa el estado

de esfuerzos completo

. Los nombres preferidos son esfuerzo efectivo y

esfuerzo de von Mises, en honor de Dr. R. von Mises, quien contribuyó a la hipótesis. Para el estado de esfuerzos biaxial, sean

y

los dos esfuerzos

principales diferentes de cero. Entonces, de la ecuación (2-7), se obtiene Ecuación (2-9) La hipótesis de la energía de deformación también se denomina:  La hipótesis de la energía cortante  La hipótesis de von Mises-Hencky  La hipótesis del esfuerzo cortante octaédrico Con el nombre de hipótesis del esfuerzo cortante octaédrico, la falla se supone que ocurre cuando el esfuerzo cortante octaédrico para cualquier estado de esfuerzos es igual o excede al esfuerzo cortante octaédrico para la falla de la probeta de ensayo de tensión simple. La ecuación es: (e) Usando los resultados del ensayo de tensión

, como

antes; mediante la ecuación (e) se determina que (f) Resolviendo las ecuaciones (e) y (f) para

se obtiene (g)

Para los ejes coordenados xyz convenientes del esfuerzo de von Mises de la ecuación (g) se puede escribir como: (h) Y para el esfuerzo plano: (i)

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”

En la figura 2-16 se muestra la hipótesis de la energía de distorsión para estados de esfuerzos triaxiales. Note que las componentes hidrostáticos , y , según se definieron en la ecuación (a) del tema “Materiales dúctiles: hipótesis del esfuerzo cortante máximo (Tresca o Guest)”, siempre se encuentran en el eje del cilindro, sin importar cuánto se extienda desde el origen. La representación de los estados de esfuerzos biaxiales se muestra en la figura 2-17. Ésta es una representación más fiel de la elipse, debido a la distorsión inherente de la representación esquemática. La manipulación matemática implicada en el desarrollo de una hipótesis, a menudo tiende a oscurecer el valor real y la utilidad del resultado. Las ecuaciones (2-7) y (2-8) indican que una situación de esfuerzo complejo se puede representar por medio de un solo valor. ¡El esfuerzo de von Mises Hencky se puede usar para representar la situación más complicada del esfuerzo que se pueda imaginar! Por ejemplo, el estado de esfuerzos se puede representar por el valor individual

.

Además, la hipótesis de la energía de distorsión no predice falla bajo presión hidrostática y concuerda con todos los datos. Se le ha dado el rango de teoría y, por consiguiente, es muy empleada. Es un fino ejemplo de elegancia, una palabra que proviene del vocabulario de las matemáticas, la cual significa que se introduce simplicidad donde antes había complejidad.

Tabla 2-1 Relaciones elásticas esfuerzo-deformación

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Figura 2-15 a) Elementos con esfuerzos triaxiales, este elemento experimenta cambio de volumen y distorsión angular. b) Elemento sometido a tensión hidrostática que sólo experimenta cambio de volumen. c) Elemento con distorsión angular sin cambios de volumen.

Figura 2-16 Teoría de la energía de distorsión (ED) representada gráficamente en tres dimensiones. El cilindro elíptico oblicuo contiene todos los valores seguros (libres de fluencia) de los componentes generales del esfuerzo , y . El eje del cilindro está inclinado igualmente hacia cada una de las tres direcciones principales, y es el lugar geométrico de los puntos descritos por la tríada de componentes hidrostáticas y

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,

.

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Figura 2-17 Teoría de energía de distorsión (ED) para estados de esfuerzos biaxiales. Ésta gráfica real de puntos obtenidos mediante la ecuación (2-9) con .

2.3.3. MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DE LA FRICCIÓN INTERNA La hipótesis de Mohr se remonta a 1900, una fecha que es relevante para su presentación. No había computadoras, sólo reglas de cálculo y curvas francesas. Los procedimientos gráficos, comunes en ese tiempo, aún son útiles. La idea de Mohr se basa en tres ensayos “simples”, tensión, compresión y cortante, a la fluencia si el material puede fluir, o a la ruptura. Es más fácil definir la resistencia de fluencia por cortante como que realizar su ensayo. Poniendo a un lado las dificultades prácticas, la hipótesis de Mohr era valerse de los resultados de los ensayos de tensión, compresión y cortante a fin de elaborar los tres círculos, como se muestran en la figura 2-18, con objeto de definir una envolvente falla, representada como una línea en la figura, arriba del eje . La envolvente de falla no es necesario que sea recta. El argumento se basaba en los tres círculos de Mohr que describen el estado de esfuerzos en un cuerpo (véase figura 2-19) y que crucen durante la carga hasta que uno de ellos se hace tangente a la envolvente de falla, definiendo la falla. ¿Era la forma de la envolvente de falla recta, circular o cuadrática? Un compás o una curva francesa definían la envolvente de falla. Ahora se puede estipular la hipótesis de Mohr. Ponga que el material tiene resistencias iguales de tensión y de compresión. Si la envolvente de falla es una línea recta paralela al eje de la

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figura 2-18, entonces para un estado de esfuerzos de un cuerpo, según la figura 219. Ecuación (2-10) Lo cual es el mismo resultado que proyecta la hipótesis del esfuerzo cortante máximo. Ésta es una señal de que la envolvente de falla no puede ser . Una envolvente de falla de la forma:

Donde

es el esfuerzo normal en el plano del esfuerzo cortante máximo,

el cual proporciona el resultado de la energía de distorsión para resistencias iguales de compresión y de tensión. Hay una derivación útil de la envolvente de falla de línea recta de Mohr. Dadas las resistencias de fluencia de tensión y de compresión, la resistencia de fluencia torsional se puede predecir por medio de la ecuación Ecuación (2-11) Una hipótesis de la fricción interna se puede basar en la línea envolvente de falla de la recta de la figura 2-18. Esto aún le da propiedades de esfuerzo cortante máximo. Se llama la hipótesis de Coulomb-Mohr. Ésta se basa en la suposición de que la línea BCD de la figura 2-18 es recta. Los tres esfuerzos principales se ordenan de manera que Luego para cualquier estado de esfuerzos que produzca un círculo tangente a la línea BCD, entre los puntos B y D, se cumple que y tienen signos opuestos. Para este estado de esfuerzos se aplica la hipótesis de Mohr y los dos estados y las resistencias se relacionan por medio de la ecuación Ecuación (2-12)

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Figura 2-18 Tres círculos de Mohr (uno para el ensayo de compresión uniaxial, otro para el ensayo de cortante puro, y otro más para el ensayo de tensión uniaxial) se utilizan para medir la falla mediante la hipótesis de Mohr. Las resistencias St y Sc son las resistencias de tensión y de compresión, respectivamente; se pueden usar para la resistencia de fluencia o última.

Figura 6-25 Gráfica de la fricción interna, o hipótesis de falla de Coulomb-Mohr, para estados de esfuerzos triaxiales con .

Para estados de esfuerzos biaxiales en los cuales

y

tienen signos

iguales, la hipótesis de la fricción interna es la misma que la hipótesis del esfuerzo normal máximo y la falla se predice mediante:

(2-13) Se puede usar la resistencia a la fluencia o la resistencia última con las ecuaciones (2-12) y (2-13). Note de nuevo que las resistencias siempre se tratan como valores positivos. La hipótesis de la fricción interna se muestra en la figura 2-20 para un estado de esfuerzos biaxial. Los esfuerzos diferentes de cero son

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y

Esta figura se grafica para un material, como una función gris, en donde

Ejemplo 2-1 Un eje de 25 mm de diámetro se somete a un par de torsión estático de 230 Nm. El eje esta hecho de Aluminio fundido 195-T6, con una resistencia de fluencia en tensión de 160 MPa. El eje se maquina hasta el diámetro final. Calcule el factor de seguridad en el cuerpo de 25 mm. Solución: Como Nm, cm Mpa forman un conjunto consistente de dimensiones, el diámetro se expresa en cm:

Los dos esfuerzos principales diferentes de cero son 75 y -75 MPa, lo cual hace que los esfuerzos principales ordenados , y . De la ecuación (2-12), Respuesta:

En forma alterna, de la ecuación (2-11),

Respuesta:

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2.3.4. CRÍTICA

A

LAS

HIPÓTESIS

POR

MEDIO

DE

DATOS

EN

MATERIALES DÚCTILES El primer requisito para que una hipótesis obtenga el rango de teoría es la habilidad para explicar los hechos conocidos en ese momento y para continuar haciéndolo en el futuro. Las hipótesis están en “buen comportamiento”, lo cual se puede terminar en cualquier momento. Cuando hay suficiente datos y todos se consideran explicados lo suficientemente bien por casi toda la comunidad científica implicada, a una hipótesis se le da el rango de teoría. EVIDENCIA En esta sección nos limitamos a materiales y partes que se sabe que fallan en una forma dúctil. Para ayudar a decidir las hipótesis apropiadas y manejables de falla dúctil del material, se reunieron datos de muchas fuentes. Algunos de los puntos de datos para materiales dúctiles se muestran en la gráfica de la figura 221. Se recolectaron muchos datos para aleaciones de cobre y níquel; si se mostraran, los puntos de datos se mezclarían con los ya representados en el diagrama. En la figura 2-21 se muestra que en el cuarto cuadrante la teoría de la energía de distorsión es aceptable para el diseño y el análisis. Puede graficar otras hipótesis usando un lápiz azul o rojo sobre la figura 2-21, para mostrar por qué no son aceptables o por qué sólo se usan en dominios específicos. En la figura 2-21 se presentan unos datos adimensionales, abscisa y

como la

como la ordenada. Sin recurrir a la calidad del ajuste de los

programas estadísticos, se puede ver que la hipótesis del esfuerzo máximo está sesgada por “debajo”. El lugar geométrico de la hipótesis de la energía de distorsión se encuentra entre los datos. La hipótesis de la energía de distorsión es la más válida y la más útil para predecir el origen de la fluencia. Además, tiene el rango de teoría. Esta evidencia es para fluencia estática. Se analizará con mayor detalle la energía de distorsión en fatiga.

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Figura 2-21 datos experimentales superpuestos de la hipótesis de falla.

Para materiales dúctiles con resistencias de fluencia diferentes tensión y

en

en compresión, la hipótesis de Mohr es la más válida. Se puede

llevar a cabo gráficamente con los resultados de los ensayos de tensión, de compresión y de cortante. Considere que se requiere:  El ensayo del material implicado en tres modos  Una curva francesa o un lugar geométrico de un arco circular de falla, trazado gráficamente.  La superposición del círculo de Mohr mayor asociado con el estado de esfuerzos. Los ensayos de tensión eliminan el empate con la teoría del esfuerzo cortante máximo. La alternativa a las gráficas es un programa de cómputo que pueda ajustar un polinomio que se elija, u otra curva, tangente a los tres círculos. Luego se obtiene el centro del círculo de Mohr mayor del estado de esfuerzos, se encuentra el diámetro y la intersección en la abscisa. En una situación de aprendizaje, los códigos de programación de “caja negra” no proporcionan un significado y una visión para la experiencia del problema. Otra desventaja es la necesidad de ensayos del material.

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Figura 2-22 Los modelos describen datos y los datos critican a los modelos. Este protocolo representa lo que se conoce acerca de la falla estática. Note que sólo una categoría tiene teoría. Cuando se usan hipótesis en su aplicabilidad angosta restringida se consideran como “teorías pequeñas”, pero la palabra teoría nos e debe usar a menos que se reciten todas las oraciones de restricción.

Figura 2-23 Una línea de carga, un estado de esfuerzos descrito por

y

y la intersección con el lugar

geométrico de falla descritos por SA y SB. El factor de seguridad n, esta dado por y

y escribiendo

o

o midiendo

o sus proyecciones en los ejes. Los factores de escala en la ordenada y la

abscisa deben concordar. a) Hipótesis de Mohr mod. ll (M2M); b) hipótesis del esfuerzo normal máximo (ENM); c) Hipótesis de Coulomb-Mohr dúctil (CMD); d) Teoría de la energía de distorsión (ED).

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2.3.5. MATERIALES FRÁGILES: HIPÓTESIS DEL ESFUERZO NORMAL MÁXIMO (RANKINE) La hipótesis del esfuerzo normal máximo (ENM) estipula que la falla ocurre cuando uno de los tres esfuerzos principales es igual o excede la resistencia. Suponga que se disponen los tres esfuerzos principales para cualquier estado de esfuerzos en la forma ordenada. (2-14) Entonces la hipótesis predice que la falla ocurre cuando: (2-15) Donde

y

son resistencias a la tensión y a la compresión, normalmente

la resistencia de fluencia o la resistencia última, respectivamente. En las figuras 210 y 2-11 se ilustran los estados de esfuerzos asociados con la seguridad o la falla. Las combinaciones sin pérdida de la función de los esfuerzos principales yacen dentro de éste. La superficie del prisma define la de la falla o el lugar geométrico de falla. La hipótesis del esfuerzo normal máximo no puede predecir la falta de daño debida a esfuerzos hidrostáticos. Hay poca información en segundo y tercer cuadrante del diagrama de esfuerzo biaxial. En las figuras 2-24 y 2-25 se muestran datos para el hierro fundido en el primer y segundo cuadrantes siguiendo la hipótesis del ENM en la región fuera de los cuales la hipótesis del ENM es conservadora. La hipótesis del ENM tiene uso limitado para la falla frágil entre los datos, como se muestra en la figura 2-25.

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA” Figura 2-24 Datos SA SB en el cuarto cuadrante para un hierro fundido grado 40, comparados con un lugar geométrico de fractura de Mohr mod. ll.

Figura 2-25 Datos de figura biaxial de hierro fundido gris comparados con varios criterios de falla.

2.3.6. MATERIALES FRÁGILES: MODIFICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE MOHR Cuando se grafican los datos de la falla estática de un material frágil en la gráfica biaxial de Coulomb-Mohr, los datos en la parte inferior del cuarto cuadrante están debajo del lugar geométrico de falla (véase las figuras 2-24 y 2-25). Se hizo una modificación cuando y la línea de falla se dibujó, como se muestra mediante una línea continua en la figura. Las modificaciones al esquema de Coulomb-Mohr se llama hipótesis de Mohr modificada, Mohr mod. I, Mohr mod. II, o en forma abreviada M1M o M2M. Bajo condiciones de esfuerzo biaxial, usando esfuerzos principales

y

diferentes de cero, las hipótesis de Coulomb-Mohr y las modificaciones se pueden expresar cuantitativamente como sigue.  Coulomb-Mohr (2-16a) (2-16b)

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O, en términos de la pendiente de la línea de carga r, (2-16c)

 Mohr Mod. I: (2-17a)

(2-17b) O, en términos de la pendiente de la línea de carga r, (2-17c)

 Mohr mod. II: (2-18a) (2-18b) O, en términos de la pendiente de la línea de carga

(2-18c) Donde: (2-18d)

Véase la figura 2-24. El lugar geométrico de la hipótesis de Mohr mod. II pasa entre los datos.

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La hipótesis de Mohr original, establecida mediante ensayos de tensión, de compresión y de torsión, con un lugar geométrico de falla curvo, es la mejor hipótesis que se tiene, pero la dificultad para aplicarla sin una computadora propicia que los ingenieros elijan modificaciones, a saber, Coulomb-Mohr, Mohr mod. I, o Mohr mod. II. Incluso la de Mohr original aún es una hipótesis, porque hay una escasez de datos en el segundo y tercer cuadrante. Las hipótesis sólo se deben usar en sus dominios verificados. La Mohr mod. II ajusta mejor los datos. Véase la tabla 2-2 y la figura 2-22 para un resumen respecto a la carga estática de materias frágiles y dúctiles, y de los métodos efectivos de análisis.

Tabla 2-2 Hipótesis de Mohr modificada ll estática bajo condiciones de esfuerzo biaxial para materiales frágiles.

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2.4.

CRÍTICA A LAS HIPÓTESIS POR MEDIO DE DATOS EN MATERIALES FRÁGILES

Se ha identificado la falla o la resistencia de materiales frágiles que se asemejan al significado usual de la palabra frágil, al relacionar los materiales cuya deformación real a la fractura es 0.05 o menor. También nos hemos familiarizado con materiales normalmente dúctiles que por alguna razón pueden desarrollar una fractura frágil o una grieta si se usan debajo de la temperatura de transición. En la figura 2-26 se muestran datos para una fundición de hierro de grado 30 tomado bajo condiciones de esfuerzo biaxial y que muestra varias hipótesis de falla frágil, superpuestas. Se observa lo siguiente:  En el primer cuadrante los datos aparecen en ambos lados y a lo largo del lugar geométrico de falla del esfuerzo normal máximo, Mohr-Coulomb, Mohr mod. I Mohr mod. II. Todos los lugares geométricos de falla son los mismos y los datos se ajustan bien.  En el cuarto cuadrante sólo la hipótesis de Mohr mod. II produce un lugar geométrico de falla, el cual está dentro y entre los lados.  En el tercer cuadrante los puntos A, B, C y D son muy pocos para hacer alguna sugerencia respecto al lugar geométrico de la fractura.  Es claro que a menos que el diseñador esté preparado para hacer ensayos considerables, deberá evitar cargas en el segundo y tercer cuadrantes en un concepto contemplado. El cambio de concepto para estar en el primer o cuarto cuadrante es el camino menos costoso.

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Figura 2-26 Gráfica de puntos de datos experimentales obtenidos de ensayos de hierro fundido. También se muestran las gráficas de tres hipótesis de falla de utilidad posible para materiales frágiles. Note los puntos A, B, C y D. Para evitar congestión en cualquier cuadrante, los puntos se han graficado para así como para el sentido opuesto.

La presión para hacer las cosas provoca que los ingenieros utilicen cargas que se entienden cuantitativamente. En cualquier momento, se debe saber qué hacer y qué no hacer, a fin de actuar como corresponde.

2.5.

QUÉ NOS DICEN NUESTROS MODELOS DE FALLA

En el caso de materiales dúctiles con resistencias de fluencia iguales en tensión y compresión, la teoría de la energía de distorsión es la explicación de los datos. Esto significa que si acepta esta tesis y se actúa conforme a ella, las predicciones serán congruentes con la naturaleza. En el tema Materiales dúctiles: hipótesis de la energía de deformación, las ecuaciones (2-7) y (2-8) son el punto esencial, junto con la siguiente ecuación (h). Como la configuración media de los datos fue la base de las relaciones, estas ecuaciones son relaciones entre medias. Un enunciado más poderoso es “la probabilidad de encontrar una pérdida de funcionalidad por fluencia, es la probabilidad que un caso del esfuerzo de von Mises exceda una instancia caso de una resistencia de fluencia ” Se podría aproximar la incertidumbre, usando el método Pilo y escribiendo

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(2-19) Donde el factor de diseño proviene de la experiencia acumulada de los éxitos y fallas de ingeniería anteriores. Otra metodología es el factor de diseño estocástico donde: (6-20) Una más es el método estocástico. Examine la figura 2-21. El diseñador necesita establecer una elipse de falla que se define por Si ésta es información histórica de todas las coladas, como en la figura 2-27b, el CDV de y

para aceros clasificados 1035 es 5.36/49.5=0.108

. Si el diseñador o su compañía no han ordenado todavía

un acero 1035 y si falla tanto tiempo para la manufactura de la parte que el acero aún no se ha fundido entonces, éste es todo el conocimiento que está disponible. La habilidad para ubicar la elipse ED para la falla por fluencia está obstaculizada por el nivel de incertidumbre de nuestro conocimiento de . Si una colada particular se encuentra almacenada en el patio del distribuidor de acero, entonces se puede construir mediante ensayos. Si se suministra la población real a partir de la cual se seleccionarán las piezas de trabajo, entonces está disponible. El CDV será menor que en la figura 2-27b, pero la media puede ser mayor o menor. La contracción del CDV de es importante.

Figura 2-27 Histograma de propiedades a la tensión del acero 1035 laminado en caliente, en la condición como sale la laminación. Estos ensayos se realizaron partiendo de varillas redondas, variando su diámetro de 1 a 9 pulg. a) Distribución de la resistencia a la tensión de 930 coladas: b) Histograma de la resistencia a la fluencia de 899 coladas

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Es conveniente ver la elipse ED como la mitad de una dona, presionada para formar una huella elíptica en las figuras 2-17 y 2-21. Las rebanadas de línea de carga radial definen las FDP. Se podrán dibujar elipses anidadas para representar contornos de probabilidad de la resistencia de fluencia. De manera similar, nuestro conocimiento del esfuerzo de von Mises

es

estocástico por razones de variabilidad en la carga y en la geometría. El factor de diseño estocástico se puede obtener a partir de nuestro conocimiento de

y

. A menudo se puede usar

y

, y proceder de manera

determinística para lograr un riesgo aceptable de falla (fluencia). En el caso de materiales frágiles, las hipótesis del ENM, de Coulomb-Mohr, de Mohr mod. Y Mohr mod. II coinciden en el primer cuadrante para el caso de esfuerzo biaxial. En el cuarto cuadrante la hipótesis de Coulomb-Mohr es conservadora y las otras tres coinciden y están entre los datos de la región . En la región la Mohr mod. I es conservadora y la Mohr mod. II se encuentra entre los datos. Para la totalidad del primer y cuarto cuadrantes, sólo la Mohr mod. I es congruente con los datos. En el caso de materiales frágiles, el método de Pilo se puede expresar como: (2-21) Donde

se fija igual a la expresión para

en las ecuaciones (2-16a) o (2-

216c), para (2-17a) o (6-17c), o para las expresiones (2-18a) o (2-18c). Al abordar la incertidumbre y la probabilidad de falla sólo la hipótesis de Mohr mod. II se puede usar para así que y se determinan mediante la propagación del error por medio de la ecuación (2-18c) y sus auxiliares, las ecuaciones (2-18d). Los efectos de la carga y la geometría sobre se manejan como se hizo con los materiales dúctiles: (2-22) O de esta manera: (2-23)

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2.6.

CARGA ESTÁTICA O CUASIESTÁTICA EN UN EJE

La construcción cinemática fundamental de nuevo universo mecánico es la rueda y el eje. Una parte esencial de esta junta de revolución es el eje. Es un buen ejemplo de un cuerpo cargado dinámicamente estático o cuasiestático. El esfuerzo en un elemento ubicado en la superficie de un eje redondo sólido de diámetro d, sometido a flexión, carga axial y torcedura es: (a) (b) Donde la componente axial del esfuerzo normal

puede ser aditiva o

sustractiva. Se observa que las tres cargas M, F y T ocurren en una sección que contiene el elemento superficial específico bajo estudio. Usando el círculo de Mohr se puede demostrar que los dos esfuerzos principales diferentes de cero y son: (2-24) Estos esfuerzos principales se pueden combinar para obtener el esfuerzo de von Mises como: (2-25) Si es útil la hipótesis del cortante máximo, (2-26) Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en las ecuaciones (2-24) y (2-25), se obtiene: (2-27) Para el esfuerzo de von Mises, y mediante la ecuación (2-26) para la aproximación del esfuerzo cortante máximo, se obtiene: (2-28)

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Las ecuaciones (2-27) y (2-28) permiten realizar una estimación de

o

cuando se da el diámetro, o una estimación de d cuando se da un valor permisible de

o

. Para un factor de diseño de

la teoría de la energía de

distorsión de falla dúctil proporciona el esfuerzo permisible de: (2-29) Para un factor de diseño de

la hipótesis del cortante máximo de falla

dúctil proporciona un esfuerzo cortante permisible

de:

(2-30) 2.6.1. CARGA ESTÁTICA O CUASIESTÁTICA DE UN EJE: FLEXIÓN Y TORSIÓN Bajo muchas condiciones, la fuerza axial F en las ecuaciones (2-27) y (228) es cero, o tan pequeña que su efecto se puede ignorar. Con F=0, las ecuaciones (2-27) y (2-28) se convierten en: (2-31) (2-32) Es más fácil resolver estas ecuaciones para el diámetro d que las ecuaciones (2-27) y (2-28). Sustituyendo los esfuerzos permisibles en las ecuaciones (2-29) y (2-30) se obtiene, para la teoría de falla de von Mises: (2-33) (2-34) Y para la aproximación del esfuerzo cortante máximo: (2-35) (2-36)

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Ejemplo 2-2 El ejemplo con piñón integrado que se muestra en la figura 2-28 se va a montar en cojinetes en las ubicaciones que se muestran, y también va a tener un engrane montado (no se muestra) en el extremo sobresaliente de la derecha. El diagrama de carga (véase figura 2-29b) muestra que la fuerza del piñón A y la fuerza del engrane en C están en el mismo plano. Los pares de torsión y opuestos TA y TB se representan como concentrados en A y C. igual que las fuerzas. El diagrama del momento flexionante de la figura 2-28c muestra un máximo en A y B. El diámetro menor en B hace que ésta sea el punto crítico en el centro del cojinete de la derecha. Como el eje se usa en emergencias esporádicas, su uso no sobrepasará 1000 rpm con carga total, por lo que el problema se puede tratar como cuasiestático. a) El material es un acero al carbono tratado térmicamente con una resistencia a la fluencia media de 66 kpsi. En esta circunstancia el ingeniero de proyecto decide usar un factor de diseño de 1.80 ¿Cuál es el diámetro menor del cojinete de la derecha determinado a partir de la energía de distorsión y por medio de la aproximación de la hipótesis del cortante máximo? b) El material tiene una resistencia de fluencia Sy~LN(66.0, 5.3) kpsi y el momento aplicado M~LN(1925,96) lbf·pulg y un par de torsión correlacionado T~LN(3 300, 765) lbf·pulg. Si la confiabilidad contra la fluencia en el cojinete de la derecha, de acuerdo con la estimación de la teoría de la energía de distorsión y calculado mediante el método de la hipótesis del cortante máximo? Solución: a) De la ecuación (2-33),

De la ecuación (2-35),

El diámetro depende de la decisión para el factor de diseño. b) La ecuación (2-33) se puede expresar de manera estocástica como:

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Ya que no hay factor de concentración del esfuerzo para carga estática. Puesto que T y M están correlacionados (ρ=1), el cociente T/M es una constante determinística, . La variabilidad en el esfuerzo es la misma que en M. De la siguiente ecuación:

De la ecuación (2-33),

Y de la ecuación (2-35)

En la respuesta del inciso b) se utiliza un conocimiento estocástico de la carga (M y T) y de la resistencia (Sy); asimismo, responde a una meta especificada de confiabilidad.

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Figura 2-28 El diámetro del cojinete izquierdo es 1 pulg, el diámetro del hombro del cojinete izquierdo es 2 pulg, el diámetro de la cabeza del engrane es 3.43 pulg; el diámetro del hombro del cojinete de la derecha es 2 pulg; el hombro sobresaliente es 1 1/8 pulg por 1 1/4 pulg de longitud; el diámetro del asiento del engrane sobresaliendo es 1 pulg.

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Figura 2-29 Formas de las curvas de la gráfica R1 R2. En cada caso el área sombreada es igual a 1-R y se obtiene por integración numérica. a) Curva típica para distribuciones asintóticas; b) forma de la curva obtenida a partir de distribuciones inferiores truncadas como la Weibull.

Ejemplo 2-3 DISEÑO PRELIMINAR DE UN EJE Un estudio conceptual ha producido el dibujo para una banda transportadora que se representa en la figura 2-30. La tarea inmediata es crear un diseño aproximado para el eje de la polea. Las condiciones nominales son: Tensión de la banda: 3600 lb Ancho de la banda: 30 pulg Velocidad de la banda: 100 ft/min Diámetro de la polea: 16 pulg El eje propuesto se hará en pequeñas cantidades, puesto que no se espera una venta de más de 250 unidades. El dibujo del eje se desarrollará y archivará hasta que alguien diseñe la polea en detalle. El eje debe tener una vida larga y no debe dar problemas. Concepto: Los conos interiores de los cojinetes de rodillos cónicos van a tener un ajuste a presión recomendado por el fabricante. El eje estará sujetado al bastidor de la banda transportadora en el extremo. Para tomar en cuenta variaciones en el ancho de la banda, la polea se hará con una longitud de 32 pulg. Se proporciona una holgura de 1 pulg entre los extremos de la polea y de los elementos estructurales de soporte. Se espera que los elementos estructurales sean ángulos de 4 pulg. Esto hace que la longitud objetivo global del eje, como se muestra en la figura 2-31 del bosquejo del concepto.

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Se usará un acero al carbono simple, estirado en frío para incrementar la resistencia, lo cual garantiza que el tamaño sea el menor. El diseño final del eje dependerá de la selección del cojinete. El eje está sujeto esencialmente a una carga estática. El eje tiene una carga estática flexionante no rotatoria. Las cargas y las reacciones se van a considerar como fuerzas concentradas. Las concentraciones del esfuerzo en el hombro y en los chaflanes del asiento se ignoran debido a la carga estática de un material dúctil. Se tiene a la mano un acero 1018 estriado en frío del cual se reservará el material para la pieza de trabajo. La resistencia de fluencia es la falla sería de deformación permanente general (fluencia). Para una producción total de 250, es aceptable una probabilidad de falla de un eje del 10%, por lo que la meta de confiabilidad es R=1-(1/10)(1/250)=0.9996(z=-3.355). La tensión máxima en la banda será una variable, incluso una función de contratiempos en uso. Se estimará el CDV de la carga máxima como 0.20. De esta manera: 2F~2(3600) LN(1,0.20) Y se deduce que el CDV del factor de diseño es

El factor de diseño medio

está dado por:

El momento flexionante máximo M es: M= 3600 LN(1,0.20)(9.5) lb pulg Y su media es

. La ecuación resistencia-esfuerzo es

De donde el diámetro d se determina que es:

Decisiones: Material del eje de la polea: Acero 1018 estriado en frío

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Longitud de la polea: 32 pulg Soporte estructural C a C: 38 pulg Ancho del soporte estructural: 4 pulg Los diámetros finales del eje se hacen de 2.10 pulg. El diámetro del cojinete d1 depende de d1 y w del cojinete seleccionado. El diámetro d2 reflejará el hombro recomendado por el fabricante. La tarea resultó ser simple, pero sólo debido a los muchos temas analizados en este capítulo.

Figura 2-30 a) Dibujo de un estudio conceptual para un ensamble de polea de cola de 16 pulg de diámetro. La banda transportadora tiene una tensión nominal de 3600 lb, una banda plana de 30 pulg de ancho que viaja a una velocidad de 100 ft/min. b) Vista lateral de la polea de cola que muestra la carga del eje.

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Figura 2-31 Bosquejo conceptual que muestra la geometría global del eje, antes que el diseñador la refine con dimensiones y características de trabajo.

Figura 2-32 Bosque conceptual refinado del eje con los asientos de los cojinetes para montar la pista interior (copa) del cojinete de rodillos cónicos cuando se seleccionen. Los chaflanes de los hombros se dimensionarán de acuerdo con las recomendaciones del fabricante de los cojinetes.

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CAPÍTULO 3 ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA

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3. ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA 3.1.

INTRODUCCIÓN A LA FATIGA EN METALES

En la mayoría de los ensayos para determinar las propiedades de los materiales que se relacionan con el diagrama esfuerzo-deformación, la carga se aplica en forma gradual, para proporcionar suficiente tiempo a fin de que la deformación se desarrolle en su totalidad. Además, la muestra se ensaya hasta su destrucción, y por tanto los esfuerzos sólo se aplican una vez. Así los ensayos de esta clase se aplican bajo lo que se conoce como condiciones estáticas, que se aproximan en gran medida a las condiciones reales a las que se someterán muchos elementos estructurales y de máquinas. Sin embargo, con frecuencia se tiene una condición para la cual los esfuerzos varían o fluctúan entre ciertos niveles. Por ejemplo, una fibra particular en la superficie de un eje rotatorio sometido a la acción de cargas flexionantes experimenta tensión y compresión por cada revolución del eje. Si el eje es una parte de un motor eléctrico que gira a 1725 rpm, la fibra se somete a un esfuerzo de tensión y compresión a 1725 veces en cada minuto. Si además el eje experimenta una carga axial (como sería el caso, por ejemplo, de un engrane helicoidal o un tornillo sinfín), una componente axial del esfuerzo se superpone a la componente flexionante. En este caso, siempre está presente determinado esfuerzo en una fibra, pero ahora el nivel del esfuerzo es fluctuante. Éstas y otras clases de carga que ocurren en elementos de máquinas producen esfuerzos que se llaman esfuerzos variables, repetidos, alternantes o fluctuantes. A menudo, se determina que los elementos de máquinas han fallado bajo la acción de esfuerzos repetidos o fluctuantes; no obstante el análisis más cuidadoso revela que los esfuerzos máximos reales estuvieron debajo de la resistencia última del material y con mucha frecuencia incluso debajo del límite elástico. La característica más notable de estas fallas consiste en que los esfuerzos se repitieron un gran número de veces. Por tanto, a la falla se le llama falla por fatiga. Una falla por fatiga comienza con una grieta pequeña. La grieta inicial es tan diminuta que no se puede detectar a simple vista y aun es muy difícil de localizar en una inspección mediante Magnaflux o con rayos X. La grieta se desarrollará en un punto de discontinuidad en el material, como en un cambio en la sección transversal, en un cuñero o en un agujero. Los puntos menos obvios en que es probable que las fallas por fatiga se inicien son en las marcas de MONOGRAFÍA

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inspección o identificación, en las grietas internas o incluso en las irregularidades causadas por el maquinado. Una vez que se inicia una grieta, el efecto de concentración de esfuerzo se hace mayor y ésta progresa más rápido. A medida que el área sometida a esfuerzo disminuye de tamaño, la magnitud del esfuerzo se incrementa hasta que al fin el área resultante falla de manera repentina. Por lo tanto, una falla por fatiga se caracteriza por dos regiones (figura 3-1). La primera se debe al desarrollo progresivo de la grieta, en tanto que la segunda a causa de la fractura repentina. La zona de fractura repentina tiene una apariencia muy similar a la fractura de un material frágil, tal como una fundición de hierro que ha fallado por tensión. Cuando las partes de máquinas fallan estáticamente, por lo general desarrollan una deflexión una muy grande, ya que el esfuerzo sobrepasó el límite elástico; así que la parte se reemplaza antes de que en realidad suceda la fractura. De esta manera la falla estática proporciona una advertencia visible. ¡Pero una falla por fatiga no proporciona una advertencia! Es repentina y total y por ende, peligrosa. Es relativamente simple diseñar contra la falla estática porque nuestro conocimiento acerca de este tipo de falla es muy completo. La fatiga es un fenómeno mucho más complejo, comprendido sólo de manera parcial, por lo que el ingeniero que pretenda obtener habilidades debe adquirir todo el conocimiento del tema que le sea posible. Quienquiera que no tenga conocimiento de la fatiga puede duplicar o triplicar los factores de diseño y formular un diseño que no falle. Sin embargo, esos diseños y los ingenieros que los realizan no podrán competir en el mercado.

Figura 3-1 Falla por fatiga de una pieza forjada de 7 ½ pulg de diámetro con ajuste a presión. La probeta es de acero UNS G10450, normalizado y revenido, que se sometió a flexión rotativa.

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3.2.

RELACIONES DEFORMACIÓN-VIDA

A la fecha, la mejor y más avanzada hipótesis para explicar la naturaleza d la falla por fatiga algunos la llaman hipótesis deformación-vida y se utiliza para estimar las resistencias a la fatiga, pero cuando se emplea de esta manera es necesario conformar varias abstracciones, y por tanto existirá cierta incertidumbre en los resultados. Por tal motivo, la hipótesis aquí se presenta sólo debido para explicar la naturaleza de la fatiga. Una falla por fatiga casi siempre comienza en una discontinuidad local como una muesca, grieta u otra área de concentración de esfuerzo. Cuando el esfuerzo en la discontinuidad excede el límite elástico, ocurre la deformación plástica. Para que se presente una falla por fatiga es necesario que existan deformaciones plásticas cíclicas, por lo que se requiere investigar el comportamiento de los materiales sujetos a una deformación cíclica. En 1910, Baistow verificó mediante expresiones la teoría de Bauschinger respecto a que los límites elásticos del hierro y el acero se pueden cambiar, hacia arriba o hacia abajo, mediante las variaciones cíclicas del esfuerzo. En general, los límites elásticos de los aceros recocidos es probable que se incrementen cuando se someten a ciclos de inversiones del esfuerzo, en tanto que los aceros estirados en frío presentan un límite elástico decreciente. Las probetas de ensayo sometidas a flexión invertida no son adecuadas para los ciclos de deformación, debido a la dificultad de medir las deformaciones plásticas. En consecuencia, la mayor parte de la investigación se realizó con muestras sometidas a esfuerzo axial. Mediante transductores eléctricos, se puede generar señales proporcionales al esfuerzo y a la deformación, respectivamente. Luego, las señales se visualizan en un osciloscopio se representan en un graficador XY. R.W. Landgraf investigó el comportamiento a la fatiga de ciclos bajos de un gran número de aceros de resistencia muy alta y durante su investigación hizo muchas gráficas esfuerzo-deformación cíclica. La figura 3-2 se elaboró para mostrar la apariencia general de estas gráficas para los primeros ciclos de deformación cíclica controlada. En este caso la resistencia disminuye con las repeticiones del esfuerzo, como se comprueba por el hecho de que las inversiones ocurren en niveles de esfuerzo cada vez menores. Como se hizo notar con anterioridad, otros materiales se refuerzan mediante las inversiones cíclicas del esfuerzo.

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Se obtienen resultados que difieren un poco si la primera inversión ocurre en la región de compresión; esto quizás se debe al efecto de endurecimiento por fatiga de la compresión. El artículo de Landgraf contiene una variedad de gráficas que comparan las relaciones monótonas esfuerzo-deformación en tensión y compresión con la curva de esfuerzo deformación cíclica. Dos de estas gráficas se dibujaron de nuevo y se muestran en la figura 3-3. La importancia de estas gráficas es que enfatizan la dificultad para tratar de predecir la resistencia a la fatiga de un material, a partir de valores conocidos de las resistencias monótonas de la resistencia a la fluencia y o la resistencia última en la región de ciclos bajos. El SAE fatigue Design and Evaluation Steering Commitee emitió un informe en 1975, en donde la vida en inversiones a la falla se relaciona con la amplitud de la deformación. El informe contiene una gráfica de esta relación para el acero SAE 1020 laminado en caliente, la cual se reprodujo en la figura 3-4. Para explicar la gráfica, primero se definen los siguientes términos:

Figura 3-2 Ciclos de histéresis esfuerzo real-deformación real que presentan las 5 primeras inversiones de esfuerzo de un material suavizado por ciclos. La gráfica se ha exagerado para mayor claridad. Observe que la pendiente de la recta AB es el modulo de elasticidad E. El intervalo de esfuerzo es es el intervalo de deformación plástica y

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es el intervalo de deformación elástica. El intervalo de deformación total es

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Figura 3-3 Resultados monótonos y cíclicos de esfuerzo-deformación. a) Acero ausformado H-11, de 660 Bhn; b) Acero SAE 4142, de 400 Bhn.

Coeficiente de ductilidad a la fatiga

es la deformación real

correspondiente a la fractura en una inversión (punto A en la figura 3-2). La línea de la deformación plástica comienza en este punto en la figura 3-4. Coeficiente de resistencia a la fatiga

es el esfuerzo real correspondiente

a la fractura en una inversión (punto A en la figura 3-2). Observe en la figura 7-4 que la línea de la deformación elástica comienza en . Exponente de ductilidad a la fatiga c es la pendiente de la línea de la deformación plástica de la figura 3-4 y la potencia a la cual se debe elevar la vida 2N para que sea proporcional a la amplitud real de la deformación plástica. Exponente de la resistencia a la fatiga b es la pendiente de la recta de la deformación elástica y la potencia a la cual debe elevar la vida 2N para que sea proporcional a la amplitud del esfuerzo real. Ahora bien, en la figura 3-2 se observa que la deformación total es la suma de las componentes elástica y plástica. Por lo tanto la amplitud de la deformación total corresponde a: (a)

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La ecuación de la línea de la deformación plástica en la figura 3-4 se determina mediante: Ecuación (3-1) La ecuación de la recta de la deformación elástica se obtiene con: Ecuación (3-2) Por tanto, de acuerdo con la ecuación (a), se tiene para la amplitud de la deformación total: Ecuación (3-3) La cual es la relación Manson/Coffin entre la duración a la fatiga y la deformación total.

Figura 3-4 Gráfica log-log donde se muestra cómo se relaciona la vida a la fatiga con la amplitud de la deformación real para el acero SAE 1020, laminado en caliente

Los datos para las curvas similares a las figuras 3-4 tienen de 3 a 15 puntos en cada curva. Las intersecciones y y las pendientes b y c se

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establecen mediante procedimientos de regresión. Una regresión lineal quizá sea robusta en el intervalo de los datos, pero las intersecciones ordinarias tienen una dispersión más amplia. Si se consideran como una medida, las intersecciones son imprecisas e inexactas. Lo anterior se debe a que éstas se eliminan de los datos y se basan en una extrapolación hasta una región sin datos. Los números de las intersecciones ayudan a describir una recta robusta en el intervalo de los datos, pero otro conjunto de datos tal vez dé una intersección muy diferente. Es conveniente tomar un número de una tabla, como la 3-1, pero note que no hay mención respecto al número de puntos, a su intervalo o a su presión. Un sentido de la naturaleza de estos conjuntos de datos lo expresan Boller y Seeger. El álgebra de las ecuaciones de deformación-vida es exponencial. La ecuación (3-2) en la forma

se conoce como la relación de

Basquin. En ese tiempo (1910) se pensaba que el número de inversiones del esfuerzo 2N podría acelerar el daño por fatiga. Más tarde se demostró que éste no era el caso, pero la notación se ha convertido en parte de la literatura. Los datos deformación-vida se originan a partir de muestras pulidas. La metodología para ajustar superficies de partes de máquinas aún está en desarrollo. De esta manera similar, los efectos del tamaño, de la resistencia y los de la muesca necesitan un tratamiento cuantitativo. Además, la ecuación de Manson-Coffin no presenta un límite de durabilidad, lo cual significa un problema en aceros, para los cuales aún hay trabajo por realizar. No obstante las facetas de la investigaciones de deformación-vida han demostrado ser útiles. Se está hablando de una división arbitraria entre fatiga de bajo ciclaje y alto ciclaje. El método depende de cuánto se conozca. Se ha presentado el modelo de falla de deformación-vida con mucho detalle. El modelo se resume a continuación para tener una referencia a la mano:  Vida de bajo ciclaje:

 Vida de alto ciclaje:

 Vida de transición NT entre dominios de bajo y alto ciclaje:

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 General:

Y

y

son el esfuerzo real y la deformación real, respectivamente.

Cuando se expresa

y

son el esfuerzo real y la deformación real,

respectivamente. Cuando se expresa

como una resistencia S, se acostumbra a

convertir la resistencia nominal de ingeniería. En altos ciclajes hay poca diferencia.

3.3.

RELACIONES ESFUERZO-VIDA

Para determinar la resistencia de materiales bajo la acción de cargas de fatiga, las probetas se someten a fuerzas repetidas o variables de magnitudes específicas, mientras se cuentan los ciclos o inversiones del esfuerzo hasta su destrucción. El dispositivo de ensayo a la fatiga que se emplea con más frecuencia es la máquina de viga rotativa de alta velocidad de R. R. Moore. En esta máquina la muestra se somete a flexión pura (sin cortante transversal) mediante pesos. La probeta, como la de la figura 3-5, se maquina y se pule con mucha meticulosidad, con un pulido final en una dirección axial para evitar ralladuras circunferenciales. Se dispone de otras máquinas de ensayo a la fatiga para aplicar esfuerzos fluctuantes o inversos, esfuerzos de torsión o esfuerzos combinados a las muestras de ensayo.

Figura 3-5 Geometría de la probeta de ensayo para la máquina de viga rotativa de R. R. Moore. El momento flexionante es uniforme en la parte curva, en la porción de esfuerzo mayor, un ensayo válido del material; un tanto que una fractura en otra parte es la base para sospechar que existe un defecto del material.

Para establecer la resistencia a la fatiga de un material, se necesita un número muy grande de ensayos debido a la naturaleza estadística de la fatiga. MONOGRAFÍA

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Para el ensayo con viga rotativa, se aplica una carga constante de flexión y se registra el número de revoluciones (inversiones del esfuerzo) de la viga para que se presente la falla. El primer ensayo se hace con un esfuerzo que es un poco menor que la resistencia última del material. El segundo ensayo se realiza a un esfuerzo que es menor que el usado en el primero. Este proceso se continúa y los resultados se grafican como un diagrama S-N (figura 3-6). La gráfica se hace en papel semilogarítmico o en papel log-log. En el caso de metales ferrosos y aleaciones, la gráfica se hace horizontal después de que el material se sometió a esfuerzo durante un cierto número de ciclos. Al graficar en papel logarítmico, se acentúa la curvatura en la línea, la cual quizá no sea visible si los resultados se graficaran en coordenadas cartesianas. La ordenada del diagrama S-N se llama resistencia a la fatiga Sf; un enunciado de esta resistencia siempre se debe acompañar por su correspondiente número de ciclos N. Pronto se verá que los diagramas S-N se determinan para una probeta de ensayo o para un elemento mecánico real. Aun cuando el material de la muestra de prueba y el del elemento mecánico sean idénticos, habrá diferencias significativas entre los diagramas de los dos. En el caso de los aceros, se presenta un cambio brusco de dirección en la gráfica, y más allá de este cambio no ocurrirá la falla, sin importar qué tan grande sea el número de ciclos. La resistencia correspondiente al cambio en la gráfica se llama límite de resistencia a la fatiga Se, o límite de fatiga. La gráfica de la figura 36 nunca se hace horizontal para metales no ferrosos y aleaciones, de aquí que estos materiales no presentan un límite de fatiga. Se observa que un ciclo de esfuerzos (N=1) constituye una sola aplicación y una remoción de una carga y luego otra aplicación y remoción de la carga en la dirección opuesta. De esta manera, N=1/2 significa que la carga se aplica una vez y luego se quita, que es el caso de la prueba a la tensión simple. El conjunto de conocimientos disponibles sobre la falla a la fatiga, desde N=1 hasta N=1000 ciclos, por lo general se clasifica como fatiga de bajo ciclaje, como se indica en la figura 3-6. Entonces la fatiga de alto ciclaje tiene que ver con la falla correspondiente a ciclos de esfuerzos mayores que 10 3 ciclos. En la figura 3-6 también se hace una distinción entre región de vida finita y región de vida infinita. La frontera entre las regiones no se puede definir con claridad excepto para un material específico; pero se ubica en algún punto entre 106 y 107 ciclos para aceros, como se ilustra en la figura 3-6.

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Como se hizo notar con anterioridad, siempre es una buena práctica de ingeniería realizar un programa de ensayos sobre los materiales que se van a emplear en el diseño y manufactura. Esto, de hecho, es un requisito, no una opción, para evitar la posibilidad de una falla por fatiga. Debido a esta necesidad de ensayos, realmente sería innecesario proceder más adelante en el estudio de la falla por fatiga, excepto por una razón importante: el deseo de conocer por qué ocurren las fallas por fatiga de manera que se pueda utilizar el método o los métodos más efectivos para mejorar la resistencia a la fatiga. De esta manera, nuestro propósito principal al estudiar la fatiga es entender por qué ocurren las fallas, de tal manera que podamos evitarlas de manera óptima. Por esta razón, los métodos analíticos de diseño que se presentan en este libro, o en cualquier otro sobre el tema, no producen resultados precisos. Los resultados se deben tomar como una guía, como algo que indica lo que es importante y lo que no es al diseñar para evitar la falla por fatiga.

Figura 3-6 Diagrama S-N graficado a partir de los resultados de ensayos a la fatiga axial completamente invertidos. Material: acero UNS G41300, normalizado; S ut=116 kpsi, Sut máxima=125 kpsi.

Los métodos de análisis de la falla por fatiga representan una combinación de ingeniería y ciencia. A menudo la ciencia no puede proporcionar las respuestas que son necesarias. Pero el aeroplano aún se debe hacer para que vuele con seguridad. Y el automóvil hay que fabricarlo con una confiabilidad que garantice una vida larga y sin problemas, y al mismo tiempo para que produzca utilidades para los accionistas de la industria. Sin embargo, aunque la ciencia no ha explicado por completo el mecanismo real de la fatiga, el ingeniero debe diseñar

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sin embargo, cosas que no fallen. En cierto sentido, éste es un ejemplo clásico del verdadero significado de la ingeniería en contraste con la ciencia.

3.4.

LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA

La determinación de los límites de la resistencia a la fatiga mediante ensayos a la fatiga, en la actualidad es una rutina, aunque resulta un procedimiento extenso. En general, los ensayos de esfuerzo se prefieren a los ensayos de deformación par los límites de fatiga.

Figura 3-7 Gráfica de límites de resistencia a la fatiga contra resistencias a la tensión de resultados de ensayos reales para un gran número de hierros forjados y aceros de aleación. Las relaciones de S’e/Sut de 0.60, 0.50 y 0.40 se indican por líneas continuas y discontinuas. También, observe que la línea discontinua horizontal para S’e=107 kpsi. Los puntos que presentan y que tienen una resistencia a la tensión mayor que 214 kpsi presentan un límite medio de resistencia a la fatiga de S’e=107 kpsi y una desviación estándar de 13.5 kpsi.

Para el diseño preliminar y de prototipos, así como para algunos análisis de falla, se requiere un método rápido para estimar los límites de fatiga. Existen grandes cantidades de datos en la literatura técnica sobre los resultados de ensayos con viga rotativa y de ensayos a la tensión simple de probetas tomadas de la misma barra o lingote. Graficando estos datos, como en la figura 3-7, se verá si hay alguna correlación entre los dos conjuntos de resultados. La gráfica parece sugerir que el límite de fatiga varí desde aproximadamente 40 hasta 60% de la resistencia a la tensión para aceros, y hasta casi 200 kpsi (1400 Mpa). Comenzando en alrededor de Sut=200 kpsi (1400 MPa), la dispersión parece

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incrementarse, pero la tendencia parce nivelarse, como sugiere por la línea horizontal discontinua en S’e=1000 kpsi (700 MPa). Ahora bien, es importante observar que la dispersión del límite de resistencia a la fatiga no se debe a la dispersión en las resistencias a la tensión de la probeta, sino más bien a que la dispersión ocurre aun cuando las resistencias a la tensión de un gran número de probetas permanecen exactamente iguales. Tenga esto en cuenta cuando elija factores de seguridad. Ahora se analizará el método de corrección de la resistencia a la tensión para estimar los límites de fatiga. La relación se llama relación de fatiga. La mayor parte de los metales ferrosos presentan un límite de fatiga y éste se usa como un numerador. Para materiales que no tienen un límite de resistencia a la fatiga, se usa y se anota una resistencia a la fatiga en un número específico de ciclos a la falla. Gough informó sobre la naturaleza estocástica de la relación de fatiga para varias clases de metales, que se presentan en la figura 3-8. El primer punto importante consiste en que el coeficiente de variación es del orden de 0.10 a 0.15 y la distribución se modifica según las clases de metales. El segundo punto a observar es que los datos de Gough incluyen materiales sin interés para los ingenieros. En ausencia de ensayos, los ingenieros emplean la correlación que representa para estimar el límite de resistencia a la fatiga , a partir de la resistencia última media

.

Figura 3-8 Probabilidad de densidad FDP log-normal de la relación de fatiga

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de Gough

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Los datos de Gough se aplican para ensambles de metales, algunos se eligieron por interés metalúrgico e incluyen materiales que no suelen seleccionarse para partes de máquina. Mischke analizó datos para 133 aceros y tratamientos comunes con diámetros diferentes en flexión rotativa, en resumen:

(3-4)

Donde prima en

representa la resistencia última media a la tensión. La marca de

se refiere a la propia muestra sometida a tensión con viga rotativa. El

símbolo sin marca de prima

se reserva para el límite de resistencia a la fatiga

de un elemento de máquina particular (en la ubicación crítica y en la geometría y condición de uso). Las resistencias, y son muy diferentes, como se verá más adelante.

3.5.

RESISTENCIA A LA FATIGA

Como se muestra en la figura 3-6, una región de la fatiga de bajo ciclaje se extiende desde N=1 hasta casi 103 ciclos. En esta región la resistencia a la fatiga Sf sólo es un poco menor que la resistencia a la tensión . Mischke suministró un método analítico para las regiones de bajo y alto ciclaje, en donde se requieren los parámetros de la ecuación de Manson-Coffin, más el exponente de endurecimiento por deformación m. Con frecuencia los ingenieros habrán de trabajar con menos información. En la figura 3-6 se indica que el dominio de fatiga de alto ciclaje se extiende desde 103 ciclos para los aceros hasta la vida de resistencia a la fatiga límite Ne, que es aproximadamente de 106 a 107 ciclos. La experiencia ha mostrado que los datos de fatiga de alto ciclaje se rectifican por medio de una transformación logarítmica para el esfuerzo y los ciclos a la falla. En forma empírica, el ajuste común de la curva está dado

, donde

N es ciclos a la falla y las constantes a y b se definen por los puntos 103, Sf y 106, se con : (3-5) (3-6)

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Si se da un esfuerzo completamente invertido

, el número de ciclos a la

falla se expresa como: (3-7)

3.6.

FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA

Se ha visto que la probeta para el ensayo en máquina rotativa estilizada en el laboratorio para determinar los límites de resistencia a la fatiga, se prepara con mucho cuidado y se ensaya bajo condiciones muy controladas. No es posible esperar que el límite de resistencia a la fatiga de un elemento mecánico o estructural iguale los valores obtenidos en el laboratorio. Algunas diferencias incluyen  Material: composición, base de falla, variabilidad.  Manufactura: método, tratamiento térmico, corrosión por frotamiento, condición superficial, concentración de esfuerzo.  Entorno: corrosión, temperatura, estado de esfuerzos, tiempos de relajación.  Diseño: forma, vida, estado de esfuerzos, concentración de esfuerzo, velocidad, rozamiento, ludimiento. Marin identificó factores que cuantifican los efectos de la ecuación superficial, el tamaño, la carga, la temperatura y varios otros puntos. La cuestión respecto a ajustar el límite de resistencia a la fatiga por medio de correcciones substractivas o multiplicativas se resolvió mediante un extenso análisis estadístico de acero 4340 (horno eléctrico, calidad de aeronave), en el que se determinó un coeficiente de correlación de 0.85 para la forma multiplicativa, y 0.40 para la forma aditiva. Por lo tanto, una ecuación de Marin se escribe (3-8) Donde:      

ka = factor de modificación de la condición superficial. kb= factor de modificación del tamaño (determinística). kc= factor de modificación de la carga. kd= factor de modificación de la temperatura. Ke= factor de modificación de efectos varios. S’e= límite de resistencia a la fatiga en viga rotatoria.

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 Se= límite de resistencia a la fatiga en la ubicación crítica de una parte de máquina en la geometría y condición de uso. Cuando nos e dispone de ensayos de resistencia a la fatiga de partes, las estimaciones se hacen aplicando los factores de Marin al límite de resistencia a la fatiga. 3.6.1. FACTOR DE SUPERFICIE ka El factor de modificación depende de la calidad del acabado de la superficie de la parte y de la resistencia a la tensión. A fin de determinar expresiones cuantitativas para acabados comunes de parte de máquinas (esmerilada, maquinada o estriada n frío, laminada en caliente y forjada), las coordenadas de los puntos de datos se volvieron a recopilar de una gráfica del límite de resistencia a la fatiga contra la resistencia última a la tensión, a partir de datos colectados por Lipson y Noll y reproducidos por Horger. El resultado del análisis de regresión de Mischke resultó en (3-9) Donde la tabla 3-1 proporciona los valores a, b y C para varias condiciones de superficie. El símbolo LN(1,C) es una variable unitaria distribuida en forma lognormal, con una media de 1 y una desviación estándar (y coeficiente de variación) de C. la media y la desviación estándar de ka están dadas por: y

Tabla 3-1 Parámetros en el factor de la condición superficial de Marin

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3.6.2. FACTOR DE TAMAÑO kb El factor de tamaño se evaluó en 133 conjuntos de puntos de datos. Los resultados para flexión y torsión se expresan como:

(3-10)

Para carga axial no hay efecto de tamaño, por tanto Kb=1

(3-11)

Pero véase kc. Uno de los problemas que se originan al emplear la ecuación (3-10) es qué hacer cuando una barra redonda en flexión no está girando, o cuándo se utiliza una sección no circular. Por ejemplo, ¿cuál es el factor de tamaño para una barra de 6 mm de espesor y 40 mm de ancho? En el método que se analizará aquí se emplea una dimensión efectiva de obtenida al igualar el volumen de material sometido a esfuerzo igual o superior a 95% del esfuerzo máximo con el mismo volumen en la probeta en viga rotativa. Resulta que cuando los dos volúmenes se igualan, las longitudes se cancelan, y por tanto sólo se necesita considerar las áreas. Para una sección redonda rotativa, el área de 95% de esfuerzo es la de un anillo con un diámetro exterior d y un diámetro interior de 0.95d. Por tanto, designando el área de 95% de esfuerzo como se tiene: (3-12) La ecuación también es válida para una sección redonda hueca rotatoria. Para secciones redondas sólidas o huecas no rotativas, el área de 95% de esfuerzos significa el doble del área fuera de las dos cuerdas paralelas que tienen un espaciamiento de 0.95D, donde D es el diámetro. Usando un cálculo exacto, esto es: (3-13) Cuando se redondea. Al igualar la ecuación (3-12) con la (3-13) permite despejar el diámetro efectivo. Esto da: (3-14) Como el tamaño efectivo de una sección redonda correspondiente a una sección redonda sólida o hueca no rotativa. MONOGRAFÍA

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Una sección rectangular con dimensiones h x b tiene

. Con

el mismo método que antes, se tiene, como se representa en la tabla 3-2, (3-15) Estas secciones se ilustran en la figura 3-9 junto con un perfil en canal y una viga de patín ancho o viga I. Para el canal,

Figura 3-9 a)Barra redonda sólida b) barra de sección rectangular c) perfil en canal; d) perfil de patín ancho

(3-16 y 3-17) El área de 95% de esfuerzo para la viga de patín ancho se determina por (3-18 y 3-19)

Ejemplo 3-1 Un eje de acero sometido a flexible tiene un diámetro de 32 mm y colinda con un hombro biselado de 38 mm de diámetro. El material del eje presenta una resistencia última a la tensión media de 690 MPa. Calcule el factor de tamaño de Marin kb, si el eje se emplea en: a) Modo rotativo b) Modo no rotativo Solución: a) De la ecuación (3-10),

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Respuesta:

b) De la tabla 3-2,

De la ecuación (3-10), Respuesta:

3.6.3. FACTOR DE CARGA kC Cuando se realizan ensayos a la fatiga con carga de flexión rotativa, axial (tiro y empuje) y torsional, los límites de la resistencia a la fatiga difieren, como se muestra abajo, con en kpsi,

Si se sustituye para para S’e en la ecuación (3-8) sin importar la carga, entonces resulta claro que se define kc, con en kpsi, como: (3-20) (3-21) (3-22) Hay menos datos para estudiar la fatiga axial. La ecuación (3-21) se dedujo a partir de los datos de Landgraf y de Grover, Gordon, y Jackson (como se citó antes).

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Los datos de torsión son escasos y la ecuación (3-22) se establece a partir de datos de Grover y colaboradores. Note la sensibilidad moderada para la resistencia en el factor de carga axial y torsional, por tanto en estos casos kc no es constante. Los valores promedio se muestran en la última columna de la tabla 3-3 y como notas de pie de página en las tablas 3-4 y 3-5. En la tabla 3-6 se observa la influencia de las clases de materiales sobre el factor de carga kc. La teoría de la energía de distorsión predice que para materiales donde se aplica la teoría de la energía de distorsión.

Tabla 3-2 Diámetro equivalente para el factor de tamaño

Tabla 3-3 Parámetros en l factor de carga de Marin

Tabla 3-4 Factor de carga promedio

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Tabla 3-5 Factor de carga promedio de Marin para carga de torsión

Tabla 3-6 Factor de carga de torsión promedio ke Marn para varios materiales.

3.6.4. FACTOR DE TEMPERATURA Kd Cuando las temperaturas de operación son menores que la temperatura ambiente, tal vez reúna la fractura frágil. Cuando las temperaturas de operación son mayores que la temperatura ambiente, se debe investigar la fluencia primero porque la resistencia a la fluencia disminuye con rapidez con la temperatura; véase la figura 3-10. Cualquier esfuerzo inducirá flujo plástico en un material que opera a temperaturas elevadas. Debido a la resistencia a la fatiga reducida, el proceso de falla depende, hasta cierto punto, del tiempo. La cantidad limitada de datos disponibles indica que el límite de la resistencia a la fatiga para aceros se incrementa un poco a medida que la temperatura aumenta y luego comienza a disminuir en el intervalo de 400 a 700 oF, que no es diferente del comportamiento de la resistencia a la tensión ilustrada en la figura 3-10. Se emplearan las mismas relaciones para predecir el límite de la resistencia a la fatiga a temperaturas elevadas que como se usa a temperatura ambiente.

MONOGRAFÍA

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Figura 3-10 Gráfica de los resultados de 145 ensayos de 21 aceros al carbono y de aleación que muestra el efecto de la temperatura de operación en la resistencia a la fluencia S y y la resistencia última Sut. La ordenada es la relación de la resistencia a la temperatura de operación y la resistencia a temperatura ambiente. Las desviaciones estándares fueron para Sy y para Sut.

La tabla 3-7 se obtuvo a partir de la figura 3-10 empleando sólo los datos de la resistencia a la tensión. Note que la tabla representa 145 ensayos de 21 diferentes aceros al carbono y aleados, que la desviación estándar máxima sólo es 0.110. Un ajuste de la curva polinominal de 4 o orden para los datos subyacentes de la figura 5-11 proporciona un lugar geométrico medio, que se multiplica por LN(1,0.11) para dar kd como:

(3-23) Donde Se originan dos tipos de problemas cuando se toma en cuenta la temperatura. Si se conoce el límite de la resistencia a la fatiga de una viga rotativa a temperatura ambiente, entonces se emplea: (3-24) De la tabla 3-7 y se produce como es usual. Si no se conoce el límite de la resistencia a la fatiga de una viga rotativa, entonces se calcula con la ecuación (7MONOGRAFÍA

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4) y la resistencia a la tensión con temperatura corregida obtenida mediante el factor de la tabla 3-7. Entonces use .

Tabla 3-7 Efecto de la temperatura de operación en la resistencia a la tensión de acero. (S t= resistencia a la tensión a temperatura ambiente, SRT=resistencia a la tensión a temperatura ambiente )

Ejemplo 3-2 Un acero 1035 presenta una resistencia última a la tensión media de 70 kpsi y se va a emplear en una parte que operará a una temperatura de 450 oF. Estime el factor de modificación de la temperatura de Marin y Si: a) El límite de la resistencia a la fatiga, a temperatura ambiente a temperatura ambiente mediante ensayo está dada por b) Sólo se conoce la resistencia última a la tensión media a temperatura ambiente. Solución: a)

La media de

MONOGRAFÍA

Primero, de la ecuación (3-23).

está determinada por:

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Y la desviación estándar corresponde a:

Y el límite de la resistencia a la fatiga se escribe como: Respuesta:

b) En la tabla 3-7 el valor de la interpolación es (1.018+0.995)/2=1.007. Así

Entonces: Respuesta:

El inciso a) proporciona una mejor estimación debido a los ensayos del material particular, en vez de recitar la historia de los aceros con una resistencia a la tensión de 70 kpsi a temperatura ambiente cuando se ensaya para el límite de resistencia a la fatiga. 3.6.5. FACTOR DE EFECTOS DIVERSOS ke Los esfuerzos residuales mejoran el límite de resistencia a la fatiga o afectan de manera negativa. En general, si el esfuerzo residual en la superficie de la parte es de compresión, el límite de resistencia a la fatiga mejora. Las fallas por fatiga parecen ser fallas de tensión, o al menos las provoca un esfuerzo de tensión. Por tanto, cualquiera cosa que reduzca el esfuerzo de tensión también reducirá la posibilidad de una falla. Las operaciones como el granallado, el martillado y el laminado en frío acumulan esfuerzos de compresión en la superficie de la parte y mejoran mucho el límite de resistencia a la fatiga. Por supuesto, el material no se debe trabajar hasta dejarlo exhausto.

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CORROSIÓN Es de esperar que las partes que operen en una atmósfera corrosiva tengan una menor resistencia a la fatiga. La corrosión y el esfuerzo ocurren al mismo tiempo. Básicamente esto significa que al paso del tiempo cualquier parte fallará cuando se someta a esfuerzos repetidos en una atmósfera corrosiva. No existe el límite de fatiga. Por consiguiente el problema del diseñador se reduce a tratar de minimizar los factores que afectan la vida a la fatiga; éstos son:         

Esfuerzo medio o estático Esfuerzo alternante Concentración del electrolito Oxígeno disuelto en el electrolito Propiedades y composición del material Temperatura Frecuencia cíclica Rapidez del movimiento del fluido alrededor de la probeta Hendiduras locales

RECUBRIMIIENTO ELECTROLÍTICO Los recubrimientos metálicos, como los hechos con cromo, níquel o cadmio, reducen el límite de resistencia a la fatiga hasta en 50%. La oxidación anódica de aleaciones ligeras reduce los límites de resistencia a la fatiga hasta 39%, pero no tiene efecto en el límite de resistencia a la fatiga en torsión. METALIZADO POR ASPERSIÓN El metalizado por aspersión provoca imperfecciones superficiales que pueden iniciar grietas. Ensayos limitados muestran reducciones de 14% en la resistencia a la fatiga. FRECUENCIA CÍCLICA Si por alguna razón, el proceso de fatiga llega a depender del tiempo, entonces también dependerá de la frecuencia. Bajo condiciones normales, la falla por fatiga es independiente de la frecuencia. Pero cuando hay corrosión o temperaturas elevadas, o ambas, la frecuencia cíclica resulta importante. Entre menor sea la frecuencia y mayor la temperatura, mayor será la rapidez de propagación de las grietas y menor será la vida a un nivel de esfuerzo dado.

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CORROSIÓN POR FROTAMIENTO El fenómeno de corrosión por frotamiento es el resultado de movimiento microscópico de partes o estructuras de ajuste a presión. Entre éstas se encuentran las uniones atornilladas, los ajustes de las pistas de cojinetes, las masas de ruedas y cualquier conjunto de partes ajustadas a presión. El proceso implica decoloración superficial, picadura y a la larga fatiga. El factor de frotamiento ke depende del material de los pares de acoplo y varía de o.24 a 0.90.

3.7.

CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO Y SENSIBILIDAD A LA MUESCA

La sensibilidad a la muesca q es: (3-25) Donde Kt es el factor teórico (o geométrico) de concentración de esfuerzo, una cantidad determinística. Se relacionan los parámetros estadísticos del factor de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf con los de la sensibilidad a la muestra q. Se deriva que:

Donde

y

(3-26)

El factor de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf se ha investigado más en Inglaterra que en Estados Unidos. Los valores de CKf para agujeros transversales, hombros y ranuras se especifican en la tabla 3-8. Una vez que se describe Kf, q también se puede cuantificar mediante el conjunto de ecuaciones (326).

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Tabla 3-8 Parámetros de Heywood para

y CKf para aceros.

La ecuación modificada de Neuber (según Heywood) proporcional el factor de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf como: (3-27) Donde Kf está distribuida de manera log-normal, r es el radio de la muesca y es una función de la resistencia última a la tensión media . En la tabla 3-8 se dan los valores de para aceros. Las ecuaciones (3-25), (3-26) y (3-27) tienen sus contrapartes en cortante, si se emplean qs, Kts y Kfs. El siguiente resumen práctico del factor de concentración de esfuerzos se proporciona para una fácil referencia:  Material frágil o Estático: Establezca Kt = Kt, Kts = Kts o Dinámico: Establezca Kt = Kt, Kts = Kts  Material dúctil: o Estático: Establezca Kt = Kts = 1 o Dinámico: Establezca Kt = Kt, Kts = Kts, Kf = f1(Kt,q), Kfs = f2(Kts, qs) Aplique en ambas

y

siempre y cuando no ocurra fluencia.

La ecuación de Neuber se expresa como: (3-28) De la ecuación (7-28) se deduce que la sensibilidad a la muesca es: (3-29)

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Un ajuste de la curva polinomial de tercer orden de los datos de tercer orden de los datos para , con en kpsi, está dada por:

(3-30) Sustituyendo

,

y

La razón por la que se incluyen las figuras 3-11 y 3-12 es que se utilizan ampliamente, por lo que el lector debe familiarizarse con ellas. Note que ni estas ecuaciones ni las (3-28) y (3-29) hacen la distinción entre las clases de muescas (como gráficas). Si desea usar las ecuaciones (3-28) y (3-29) para torsión de baja aleación, incremente la resistencia última a la tensión media 20 kpsi en la ecuación (3-30) y aplique este valor de . Como nuestro conocimiento de la dispersión en q proviene de datos que apoyan la ecuación modificada de Neuber (según Heywood), y como se puede hacer una distinción en las clases de muescas, se empleará la ecuación (3-27) en conexión con el factor de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf y la sensibilidad a la muesca q. Cuando los ciclos a la falla son menores que 10 6 existe evidencia que el factor de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf es menor. Los ensayos de resistencia a la fatiga de probetas con muescas y sin ella manifiestan, como se hizo notar antes, que los datos de falla sin muesca para muestras sin muesca son lineales en papel log-log. El lugar geométrico de falla se representa por , y si se emplea la ecuación (3-6).

Figura 3-11 Gráficas de sensibilidad a la muesca de acero y de aleaciones de aluminio forjado UNS A92024-T

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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA” sometidas a cargas invertidas de flexión y axial. Para radios de muescas mayores, utilice los valores de q correspondientes a la ordenada r=0.16 pulg. (4mm).

Figura 3-12 Curvas de sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsión invertida. Para radios de muesca mayores, use los valores de q correspondientes a r=0.16 pulg (4mm).

(3-31)

Donde se presentan valores de las ordenadas en 103 y 106 ciclos a la falla de:

Como debería ser. Con una probeta con muesca, se define la sensibilidad a la muesca donde es y (3-32)

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Donde está en kpsi, y es el factor de concentración de 6 esfuerzo a la fatiga para 10 ciclos. Las ordenadas para el lugar geométrico de falla con muesca son , que se abreviará como ; y la ordenada para el lugar geométrico de falla a 103 ciclos a la falla está dada por , que se abreviará como Los datos aún son una recta en una gráfica en papel log-log, por tanto con estas ordenadas se tiene: (3-33) Donde se presentan ordenadas a 103 y 106 ciclos a la falla de:

Como deberían ser. Ahora

es igual a

y empleando esto

resulta: (3-34) Si se verifica en N=103 y 106 ciclos a la falla, se obtiene:

Como debería ser. Una forma alterna de la ecuación (7-34) está dada por: (3-35)

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Ejemplo 3-3 En la figura 3-13a se muestra un eje rotativo soportado en cojinetes de bolas en A y B y sometido a una fuerza no rotativa F de 6.8 kN. Mediante resistencias ASTM “mínimas”, estime la vida de la parte. Solución: De la figura 3-13b se tiene que la falla probablemente ocurrirá en B en vez de C o en el punto de momento máximo. El punto B muestra una sección transversal menor, un momento flexionante mayor y un factor de concentración de esfuerzo mayor que C; además, la ubicación del momento máximo presenta un tamaño mayor sin factor de concentración de esfuerzo. El problema se resuelve primero calculando la resistencia en el punto B, puesto que la resistencia será diferente en las otras partes: después esta resistencia se compara con el esfuerzo en el mismo punto. De la tabla 3-9 se tiene resistencia a la fatiga se calcula como:

y

. El límite de

De la tabla 3-1,

Por la ecuación (3-10),

Para encontrar el factor de concentración de esfuerzo Kt se utiliza la tabla 3-10 con D/d=38/32=1.1875 y r/d=3/32=0.09375 y se lee Kt=1.65. De la tabla 3-8, De la ecuación (3-27),

Dicho factor de concentración de esfuerzo se aplica a 106 ciclos o mayor. Como kc=kd=kc=1,

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Se=0.787(0.858)341.1=235.7 Mpa El siguiente paso es estimar el esfuerzo flexionante en el punto B. El momento flexionante corresponde a:

El módulo de sección se da por

El esfuerzo

flexionante es, suponiendo una vida infinita,

Este esfuerzo es mayor es mayor que Se y menor que Sy. Lo que significa que hay una vida finita sin fluencia en el primer ciclo. El factor de concentración de esfuerzo KN, en vez de aplicarlo al esfuerzo , se corregirá nuestra resistencia a la fatiga reduciéndola. Nuestro esfuerzo es:

De la tabla 3-11, K6=1.51 y

Del tema: “Resistencia a la Fatiga”, ecuación b),

Del tema: “Resistencia a la Fatiga”, ecuación c),

Del tema: “Resistencia a la Fatiga”, ecuación a),

Gracias a la ecuación (3-5), MONOGRAFÍA

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Con a=964.5 Mpa y b=-0.102 se describe el material corregido por la superficie y el tamaño sin concentración de esfuerzo:

De la ecuación (3-33),

Haciendo:

Entonces:

Con 476.8/432.1=1.103=K3 y 235.7/156.5=1.52=K6 se tiene una idea de que la reducción de esfuerzo está completa. De la ecuación (3-34),

Para un nivel de esfuerzo de

, los ciclos a la falla son:

Respuesta:

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Si se hubiera conocido KN al principio, la vida se calcularía mediante: ciclos

a) Dibujo de un árbol donde se dan todas las dimensiones en milímetros; todos los redondeos tienen un radio de 3 mm. El eje gira y la carga es estacionaria; el material se maquina de acero AISI 1060 estriado en frío. b) Diagrama de momento flexionante

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Tabla 3-9 Resistencias mínimas determinísticas a la tensión y a la cedencia ASTM para algunos aceros laminados en caliente (HR) y estriados en frío (CD). (Las resistencias listadas son valores ASTM mínimos estimados en el intervalo de tamaños de 18 a 32 mm, 3/4 a 1 1/4 pulg).

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Tabla 3-10

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Tabla 3-11

3.8.

RESISTENCIA

A

LA

FATIGA

POR

TORSIÓN

BAJO

ESFUERZOS PULSANTES Extensos ensayos proporcionan algunos resultados muy interesantes sobre la fatiga por torsión pulsante, el primer resultado, basado en 72 ensayos, demuestra que la existencia de un esfuerzo uniforme torsional no mayor que la resistencia a la fluencia en torsión no tiene efecto al límite de resistencia a la fatiga por torsional, a condición de que el material sea dúctil, pulido, libre de mellas y cilíndrico.

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El segundo resultado se aplica a materiales con esfuerzos concentrados, mellas o imperfecciones superficiales. En este caso, determina, que el límite de fatiga por torsión disminuye en forma monótona con el constante esfuerzo por torsión.Al construir el diagrama de Goodman, Joerres utiliza: (3-36) Asimismo, del capítulo 2, el factor de carga media constante.

3.9.

de acuerdo con la teoría de distorsión, y

está dado por la ecuación (3-22) o 0.577, si se emplea una

CARGAS COMBINADAS

Se analizó que un factor de carga kc se necesita para obtener el límite de resistencia a la fatiga y de aquí que el resultado depende de si la carga es axial, de flexión o de torsión. ¿Cómo se procede cuando la carga es una mezcla de cargas, digamos axial, de flexión y de torsión? Además de la complicación aumentada por el hecho de asociar un límite de resistencia a la fatiga con cada modo de carga, es probable que también existan esfuerzos concentrados múltiples, uno para cada modo de carga. Por fortuna la respuesta resulta un tanto simple:  Para la resistencia, se utiliza el límite de resistencia a la fatiga 

   

completamente corregido para la flexión, Se. Se aplican los factores de esfuerzos concentrados a la fatiga, apropiados para las componentes del esfuerzo de torsión, del esfuerzo de flexión y del esfuerzo axial. Se multiplica cualquier componente del esfuerzo axial alternante por el factor Se incluyen los esfuerzos resultantes en una análisis mediante el círculo de Mohr y se calculan los tres esfuerzos principales. Con los resultados del paso 4, se determina el esfuerzo alternante de von Mises o la variante del esfuerzo Se compara con Sa para encontrar el factor de seguridad, o se infiere con Sa para proporcionar la confiabilidad.

Este método se basa en la suposición de que todas las componentes del esfuerzo son completamente invertidas y siempre están en fase de tiempo entre sí. Si no están en fase pero tienen la misma frecuencia, los máximos se determinan expresando cada componente en términos trigonométricos, usando ángulos de fase y luego obteniendo la suma. Si dos o más componentes del

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esfuerzo presentan frecuencias distintas, el problema es difícil; una solución consiste en suponer que las dos (o más) componentes a menudo alcanzan una condición en fase, de manera que sus magnitudes son aditivas. Si también hay esfuerzos medios, entonces para éstos se repiten los pasos 4 y 5 y la componente resultante del esfuerzo uniforme de von Mises usada con para obtener una solución de la energía de distorsión de Gerber o la energía de distorsión elíptica. Ambas componentes, la uniforme y la amplitud, se aumentan por un factor de concentración de esfuerzo Kf o Kfs. Vale la pena notar que en el perfil del análisis anterior se incorpora un factor de tamaño para carga axial, que es el mismo para la flexión y torsión. Cuando existe flexión, la existencia de una componente axial es relativamente pequeña, por lo que en la mayoría de los casos esta pérdida de precisión es pequeña y siempre conservadora.

Ejemplo 3-4 Un eje rotativo está hecho con un tubo de acero, AISI 1018 estirado en frío de 42x4 mm y tiene un agujero de 6 mm de diámetro taladrado en la dirección transversal de lado a lado. Calcule el factor de seguridad que protege contra fallas por fatiga y estática para las siguientes condiciones de carga: a) El eje se somete a un par de torsión completamente invertido de 120 N·m en fase con un momento flexionante completamente invertido de 150 N·m. b) El eje se somete a un par de torsión pulsante de 20 a 160 N·m y un momento flexionante constante de 150 N·m. Solución: Aquí se sigue el procedimiento de calcular las resistencias y después los esfuerzos, luego se relacionan los dos. En la tabla 3-9 se tiene que las resistencias mínimas son Sut=440 MPa y Syt=370 MPa. El límite de la resistencia a la fatiga de la muestra de viga rotatoria es 0.506(440)=223 MPa. El factor de superficie, obtenido de la tabla 3-11, comprende a:

En la tabla 3-11 el factor de tamaño se calcula mediante:

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Los restantes factores de Marin son iguales a la unidad, por tanto la resistencia a la fatiga Se está determinada por: Se=0.886(0.833)223=165 Mpa a) Los factores de concentración de esfuerzo teóricos se obtienen mediante una tabla parecida a la 3-9 y 3-10. Si a/D=6/42=0.143 y d/D=34/42=0.810, y si se realiza una interpolación lineal, se obtiene A=0.798 y Kt = 1.75 para torsión. Así, para flexión,

Y para torsión:

Luego, mediante las figuras 3-11 y 3-12 se determina que las sensibilidades a la muesca son 0.78 para la flexión y 0.96 para torsión. Los dos factores de concentración de esfuerzo por fatiga se obtienen de la siguiente ecuación:

Ahora se determina que el esfuerzo flexionante corresponde a:

Y el esfuerzo torsional se obtiene por:

La componente del esfuerzo uniforme de von Mises componente de la amplitud está dada por:

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es cero. La

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Como Se = Sa, el factor de seguridad contra la falla por fatiga determina con:

se

El factor de seguridad contra fluencia en el primer ciclo se calcula como:

No hay fluencia localizada; el riesgo es por fatiga. Véase la figura 3-14. b) En este inciso se pide encontrar los factores de seguridad cuando la componente alternante se origina por torsión pulsante, y una componente constante se debe a torsión y a flexión. Se tiene Ta = (160-20)/2 = 70 N·m y Tm = 20 + 70 = 90 N·m. las componentes correspondientes de la amplitud y del esfuerzo constante se obtiene mediante:

La componente del esfuerzo flexiónate constante

Las componentes de von Mises

y

se calcula a través de:

se calcula a través de:

La pendiente de la recta de carga es componente de la amplitud de la resistencia constante Sm son:

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AL

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El factor de seguridad contra la falla por fatiga nf se determina como: Respuesta:

No hay fluencia en la muesca. El riesgo es por fluencia en el primer ciclo en la muesca. Véase la gráfica de la figura 3-14.

Figura 3-14 Diagrama de fatiga del diseñador para el ejemplo 7-4

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CAPÍTULO 4 ANÁLISIS Y DISEÑO POR COMPUTADORA

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4. ANÁLISIS Y DISEÑO POR COMPUTADORA En este capítulo analizaremos un ejemplo típico planteado en el capítulo 2, mediante el programa “Autodesk Inventor Professional 2010” (el cual entró en el mercado en 1999) para el diseño de elementos y piezas mecánicas, su verdadero potencial no radica en diseñar piezas que se pueden combinar en ensamblajes, sino el poder hacer cálculos de una manera rápida y sencilla, se explicará a detalle el uso y manejo del mismo para el análisis y diseño de ejes, el ejemplo mostrado es similar al del capítulo mencionado.

Ejemplo 4-1 4.1.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO

El ejemplo con piñón integrado que se muestra en la figura tiene montados cojinetes en las ubicaciones que se muestran, y también tiene un engrane montado (no se muestra) en el extremo sobresaliente de la derecha. El diagrama de carga (véase figura) muestra que la fuerza del piñón A y la fuerza del engrane en C están en el mismo plano. Los pares de torsión y opuestos TA y TB se representan como concentrados en A y C. igual que las fuerzas. El diagrama del momento flexionante de la figura 2-28c muestra un máximo en A y B. El diámetro menor en B hace que ésta sea el punto crítico en el centro del cojinete de la derecha. El material del eje es acero inoxidable.

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1. Lo primero que debemos hacer es abrir el programa, seleccionar archivo nuevo y seleccionar el tipo de archivo con el que queremos trabajar, en este caso seleccionamos “normal (pul).iam”.

2. El segundo paso es darle clic en la pestaña “Diseño”, seleccionando la opción “Eje”, luego en la pestaña de “Diseño” se van seleccionado las partes que van a comprender el eje, tanto en forma como en medidas. Una vez terminado de seleccionar las partes que armarán al eje se da clic en el botón aceptar.

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4.2.

ARMADO DEL EJE

3. Aquí se muestran dos imágenes del eje ya armado.

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4. El cuarto paso seleccionar la pestaña “Cálculo”, en esta opción, podemos seleccionar, el tipo de material, los tipos de fuerzas y reacciones que actúan sobre el eje, colocarlos en cualquier parte del mismo, y solo con dar clic en calcular, el programa nos calcula, los esfuerzos y otros datos importantes. A continuación se mostrará este paso con imágenes:

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4.3.

DIAGRAMAS DE ESFUERZOS

5. Por último en la pestaña “Gráficos” podemos observar distintas gráficas, en cualquiera de los planos que nosotros seleccionemos, como: esfuerzo de corte, esfuerzo flector, ángulo de flexión, etc.

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Como pudimos observar, el programa “Autodesk Inventor Professional 2010” es muy versátil, y fácil de manejar.

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CONCLUSIÓN Hoy en día los ejes son una parte fundamental de la industria y la sociedad, su diseño es de suma importancia, ya que un mal cálculo puede no solo costar pérdidas económicas y materiales, sino también pérdidas humanas, un buen ingeniero debe de poseer las herramientas adecuadas para diseñar los mismos. Actualmente se cuentan con muchos programas de computadora que nos facilitan el cálculo y diseño de ejes. El poseer dichas herramientas no nos garantiza no tener errores o fallas, es importante saber y tener conocimientos sobre el tema, en este trabajo se analizaron y diseñaron ejes por resistencia estática y resistencia a la fatiga, con estos análisis podemos realizar el diseño de un eje de forma segura y confiable, apoyándonos con el programa “Autodesk Inventor Professional 2010”, del cual también se trató en el presente trabajo. Este trabajo deja en claro varias situaciones, como por ejemplo, no siempre el diseño es el que falla, aprendimos que la fabricación del material, los ensayos a los que fue sometido, las pruebas en general, son un parte medular para que no existan fallas. No es correcto, ni ético, fabricar ejes sin saber la procedencia del material, o sin estar seguros de la confiabilidad del mismo. Por último cabe mencionar que aunque se cuenten con programas que nos faciliten el diseño de un buen eje, nosotros somos quienes lo manejamos, así que debemos de ser cuidadosos al utilizar dicha herramienta.

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BIBLIOGRAFÍA

SHIGLEY, J. y Mischke, C. (1985). Diseño en ingeniería mecánica. Edo. de México: Mc Graw Hilli interamericana editores. MOTT R. (1992). Diseño de elementos de máquinas. Edo. México: Prentice Hall. NORTON R., (1999). Diseño de máquinas. Edo. De México: Pearson.

FUENTES ELÉCTRONICAS: http://ocw.upm.es/ingenieriaaeroespacial/helicopteros/contenidos/material/transmision.pdf (Consulta 18/09/2011) http://ingenieria-cad.blogspot.com/ (Consulta 22/10/2011)

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