ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales Act 1: Revisión de Presaberes

ECUACIONES DIFERENCIALES1 REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS PREVIOS AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Cuando hablamos de una función en una variable escribíamos esta relación como y = f(x), esta expresión nos indicaba que la variable dependiente (en este caso y) dependía solamente de la variable independiente x. También podíamos escribirla como F(x, y) = 0, indicando que en esta relación de igualdad aparecerían en el primer miembro a lo más las variables x e y. Por ejemplo si tenemos la función y = x2, también podríamos escribirla como y – x2 = 0 en su segunda estructura. 2. Algunas propiedades que vale la pena recordar son: 

e n * e m  e n m



 x Definición de la exponencial como función inversa del logaritmo natural.



Ln e x  x

e

Propiedades de la potenciación.

Ln x

Definición de la exponencial como función inversa del

logaritmo natural. 3. Entre las interpretaciones para la derivada vale la pena tener en cuenta que:  Geométricamente la derivada es la pendiente de la recta que es tangente a la curva (gráfica) en cualquier punto.  La derivada es una razón de cambio entre la variable dependiente y la variable independiente. Es decir, es una medida de cómo cambia la variable dependiente a medida que hacemos pequeños incrementos en la variable independiente.  En física la derivada de la función posición con respecto al tiempo es la velocidad, así como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración, esto se escribe,

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Este escrito fue aportado por el Docente Pablo Pinto.

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ds  vt  dt

Donde s es la variable dependiente posición, t es la variable

independiente tiempo y v es la variable velocidad (que obviamente depende del tiempo). dv  a t  donde v es la variable dependiente velocidad, t es la variable dt

independiente tiempo y a es la variable aceleración (que obviamente depende del tiempo). Es decir que la derivada es una velocidad instantánea. 4. Derivadas de orden superior (diferentes notaciones o formas de escribir las derivadas):  Primera derivada ó derivada de primer orden

y 

dy  f x   y 1  y x  Dx  x dx

La segunda, tercera, quinta y sexta notación nos dicen explícitamente que la variable independiente es x (más adelante veremos la importancia que esto tiene). La última notación es utilizada generalmente en física, donde x es el espacio o posición y la variable independiente es obviamente el tiempo.  Segunda derivada ó derivada de segundo orden para cada una de las anteriores notaciones son:

d2y  f x   y 2   y xx  Dxx  x 2 dx 2 d y dy 2 NO es el cuadrado de dx dx

y  OBSEVACIÓN:

d2y ES la segunda derivada de y; el cuadrado de la primera derivada lo dx 2 2

dy 2  dy  escribimos así:   y este último NO es dx 2  dx   Tercera derivada ó derivada de tercer orden: y 

d3y  f  x   y 3   y xxx  Dxxx dx 3

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Según lo dicho la última notación no tiene sentido para la tercera derivada.  Cuarta derivada ó derivada de cuarto orden

d4y y   f iv x   y 4   y xxxx  Dxxxx 4 dx iv

 n-ésima derivada ó derivada de orden n para la segunda y cuarta notación serían

y

n 

dny  dx n

Función Exponencial y Logarítmica Para el curso de ecuaciones diferenciales es esencial tener en cuenta conocimientos básicos del algebra, por tanto se hace necesario que los repasemos. Uno de aquellos conocimientos básicos tiene que ver con es de las funciones exponenciales y logarítmicas. Se llama función exponencial de base a, con a>0, a la función f(x) = ax. La función exponencial que más uso tiene es aquella cuya base el número e, de hecho cuando se hace referencia a la función exponencial sin mencionar la base, generalmente se entiende que hablamos de la tiene dicho número. Por tanto la función exponencial f(x) = ex, donde e = 2,7182818284590452…, se llama función exponencial en base e, que también se le designa o denota como Exp (x) = ex Cualquier función exponencial y = ax puede escribirse en la forma equivalente y= ekx, con k = ln a Las siguientes identidades son básicas de esta función: 1. exey= ex+y 2. ex / ey= ex-y 3. (ex)y = exy

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La inversa de la función exponencial f(x) = ex es la función del logaritmo natural g(x) = ln x. De aquí que se presente los siguientes resultados: Ln ( ex ) = x y eLn x = x La función logarítmica satisface las siguientes identidades: 1. Ln (x y) = ln x + ln y 2. Ln (x/y) = Ln x – Ln y 3. Ln (xa) = aLn x Ejemplo 1: Con la calculadora verificar los siguientes resultados: a) e2 = 7,3891 b) e3,55 = 34,813 c) e-0,24 = 0,7866 d) ln 3,4 = 1,2238 e) ln 100 = 4,6052 f) ln 0,54 = - 1,61619 Ejemplo 2: La población de cierta nación desarrollada se sabe que está dada (en millones de habitantes) por la fórmula: P = 15e0,02t En este caso t es el número de años transcurridos a partir de 1960. Determine la población en 1980 y la población proyectada para 1990, suponiendo que la formula tiene validez. Solución:

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En 1980, t=20 y por tanto P = 15 e(0,02)(20) = 15e0,4 = 22,4 De modo que en 1980, la población sería de 22,4 millones. Para 1990, t = 30 entonces P = 15 e(0,02)(30) = 27,3 En consecuencia, la población proyectada para 1990 es de 27,3 millones de habitantes. Ejemplo 3: Teniendo en cuenta el ejemplo anterior calcule el tiempo que alcanza una población de 25 millones de personas. Recuerde que se tiene la formula: P = 15 e0,02t Solución: De acuerdo con lo anterior tenemos 15 e0,02t = 25 Luego despejamos e, entonces e0,02t = 25/15, Para despejar t empleamos logaritmo natural a ambos lados de la igualdad: Ln (e0,02t) = ln (25/15), de aquí se tiene que: 0,02t = ln (25/15), por tanto: t = (ln 1,667) / (0,02) = 25,5 En consecuencia la población tarda 25,5 años en alcanzar los 25 millones de habitantes.

Determinantes de segundo y tercer orden El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones. Estudiaremos los determinantes de orden dos y los de orden tres. Consideremos el sistema

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Que consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Si queremos conocer el determinante del sistema escribimos los coeficientes del sistema de la siguiente forma:

y se llama determinante de segundo orden, y se obtiene de la siguiente forma:

Ejemplo:

Definición 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al número que se obtiene así:

Que se calcula ampliando las columnas 1 y 2 como se muestra a continuación:

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Luego realizamos las siguientes operaciones:

= Igualmente

= Por lo tanto el determinante de A es:

Diferenciación Recuérdese que el procedimiento que se sigue para encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, la cual se puede calcular con la definición:

Sin embargo, con el uso de la definición el procedimiento de hallar la derivada es demasiado extenso. Por ello se enuncian y demuestran teoremas básicos para encontrar derivadas, estos teoremas debe conocerlos muy bien para el buen desarrollo del curso Ecuaciones diferenciales. Enunciaremos los más importantes, pero le sugerimos volver a retomar el módulo de cálculo diferencial que le sirve de gran utilidad. Teorema 1:

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"La derivada de una constante es igual a cero": Sea K una constante cualquiera y f y g dos funciones, tales que f (x) = k, entonces f '(x) = 0 Teorema 2: "La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma, del producto de la primera función por la derivada de la segunda, y, el producto de la derivada de la primera función por la segunda función": Sean f, g, h funciones tales que: f(x) = g(x)▪h(x) Si g'(x) y h'(x) están definidas, la derivada de f es: f '(x) = f '(x)▪g(x) + g'(x)▪f (x) Teorema 3: "La derivada del cociente de dos funciones es igual al cociente entre, el producto de la función en el denominador por la derivada de la función en el numerador menos el producto de la función en el numerador por la derivada de la función en el denominador, y, el cuadrado de la función en el denominador": Sean f, g y h funciones tales que, f (x) = g(x)/h(x), entonces, si g'(x) y h'(x) están definidas la derivada de f es:

Teorema 4: "La derivada de la función potencia es igual al producto del exponente por la función con su exponente disminuido en la unidad": Si n pertenece a los enteros, y si f(x) = xn entonces f ’(x) = nxn-1

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CALCULO INTEGRAL El Cálculo Integral (también conocido como Cálculo Infinitesimal) es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow, éste último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral el cual propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Sus principales objetivos son:       

Integral indefinida Integral definida Teorema fundamental del cálculo Área de una región plana Volumen de un sólido de revolución Técnicas de integración Integrales impropias Integración indefinida

En Cálculo la integral indefinida, primitiva o anti derivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F (t) = f''(x). El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo integral, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Derivadas parciales Estudiaremos ahora las derivadas relacionadas con funciones de dos variables. Sea una función f de x y y. Si se hace y constante, es decir y = y0, y si se considera a x como variable, entonces f(x, y0) sólo está en función de x. Si esta función es derivable en x= x0, entonces el valor de esta derivada se denota por: fx(x0, y0) Y se llama derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x0, y0). Y si se hace constante la variable x, entonces f(x, y0) sólo está en función de y. Y si es derivable en y=y0, entonces tenemos:

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fy(x0, y0) Ejemplo1: Encontrar fx y fy (derivada parcial con respecto a x y derivada parcial con respecto a y) de la función f(x,y) = 2x3y2 + 2y + 4x. Solución: Tratando a y como constante y derivando con respecto a x se tiene: fx(x,y) = 6x2y2 + 4 Si tratamos a x como constante y derivando con respecto a la variable y se tiene: fy(x,y) = 4x3y + 2 Si se exige hallar fx(1,2) y fy(-3,1) entonces lo que se debe realizar es reemplazar los valores numéricos en cada derivada parcial. Por tanto: fx(1,2) = 28 fy(-1,1) = -2

Bibliografia Edwards J, P. D. (1986). Ecuaciones Diferenciales elementales con aplicaciones. Mexico: Calypso S.A. SHEPLEY, R. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Barcelona: Reverté S.A. Simmons, G. F. (1993). ECUACIONES DIFERENCIALES, Con aplicaciones y notas historicas. Mexico: McGrawHill. ZILL, D. G. (1997). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Mexico: Thomson Editores.

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