Equilibrio y elasticidad Condiciones de equilibrio Una partícula esta en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas (externas) que actúan sobre ella es cero •

Para cuerpos con extensión finita: el centro de masa del cuerpo debe haber una aceleración cero

Primera condición de equilibrio: r F ∑ ext = 0 o

(1)

∑F

x

=0

∑F

y

=0

∑F

z

=0

La sumatoria incluye solamente fuerzas externas

•

Otra condición para un cuerpo con extensión finita = no debe tender a girar

r r dL ⇒ L = 0 , pero también = 0 (no hay cambio de dirección del eje de rotación) dt Segunda condición de equilibrio: (2)

r

∑τ = 0

Estado del cuerpo = Equilibro estático - cuerpo rígido está en reposo, sin translación ni rotación

1

Centro de gravedad En los problemas de equilibrio a la superficie de la Tierra (ej. problemas de ingeniería) la fuerza más importante es el peso Ya vimos que la fuerza de gravedad se concentra en un punto = centro de gravedad (cg) r Si la aceleración g es constante: el centro de gravedad = centro de masa

∑m x = ∑m

i i

(3)

xcm

i

i

=

m1x1 + m2 x2 + m3 x3 +⋅⋅⋅ m1 + m2 + m3 +⋅⋅⋅

i

Con expresión idénticas para y e z La forma vectorial:

(4)

r rcm

r

∑m r = ∑m

i i

i

i

r r r m1r1 + m2 r2 + m3 r3 + ⋅ ⋅ ⋅ = m1 + m2 + m3 + ⋅ ⋅ ⋅

i

2

Momento de torsión gravitatorio r r Una partícula de masa mi , tiene un peso wi = mi g r r r r r r Si g es constante ⇒ el momento de torsión: τ i = ri × wi = r i × m ig r r r r r r r r El momento de torsión total: τ = ∑ τ i = ∑ ( ri × mi g ) = ∑ ( mi ri × g ) = ∑ miri × g i

i

i

i

Multiplicamos y dividimos por la masa total M = ∑ mi i

r

∑m r r M  r r r ⇒τ = × Mg  ∑mr × g  =  ∑m ∑m  i i

i

i i

i

i

i

i

i

Momento de torsión gravitatorio (5)

r r r r r τ = rcm × Mg = rcm ×W

r El momento de torsión gravitatoria total es el mismo que si el peso total W estuviera r actuando en la posición rcm del centro de masa

3

Localización y uso del centro de gravedad Para encontrar el centro de gravedad (centro de masa) podemos usar consideraciones de simetría (geometría) •

Cuando un cuerpo sobre el cual actúa la gravedad se apoya en un solo punto o cuelga de él, el centro de gravedad siempre está directamente por arriba o por debajo del dicho punto

•

Un cuerpo apoyado en varios puntos debe tener un centro de gravedad en algún lugar dentro del área delimitada por los apoyos

•

Cuando más bajo está el centro de gravedad (menos energía gravitatoria) y mayor es el área de apoyo (menos los bracos de palanca) más difícil volcar el cuerpo ⇒ más alto el estado de equilibrio estático

Ej. Coches sobre un rampa a) estado estable; b) y c) estados no estable

Cuadrúpedos como venados y caballos tienen un área de apoyo grande, son estables y sólo necesitan pies pequeños o cascos Bípedos, personas o aves, necesitan pies más grandes para tener área de apoyo razonable Un bípedo que camina poniendo su cuerpo casi horizontal (Ej. pollo y dinosaurio) deberá equilibrarse se para mantener el centro de gravedad por encima del pie en el suelo: •

Por esto el pollo mueve la cabeza, el Tiranosaurio probablemente lo hacia moviendo su cola

4

Ejemplo: tabla uniforme con longitud L = 6.0m y masa M = 90kg

Esta tabla descansa sobre dos barriquitas separadas por una distancia D = 1.5m a distancias iguales del centro C •

A la limite de equilibrio, el centro de gravedad debe estar ubi cado exactamente encima de la barriquita derecha S

•

Cualquier persona que tentará pararse en el extremo derecho no deberá haber un peso wper = m per g más grande que una cierta limite

Tomemos el origen del sistema en C Los puntos de aplicación de los pesos son xta = 0 , x per = El centro de gravedad: xcg =

Al equilibrio, xcg =

M ⋅ ( 0 ) + mper L 2 M + mper

M + mper

L2

D 1.5m = 90kg = 30kg L−D 6.0m − 1.5m

Habríamos tomado el origen en S , ⇒ xta = −

xcg = 0 =

m per

m per L D m per D D M L ⇒ = ⇒ = ⇒ +1 = M + m per 2 2 M + m per L m per D 2 ⇒ m per = M

−M

=

L = 3.0m 2

D L−D y x per = 2 2

D L−D + m per D 2 2 ⇒ m per = M , la misma respues M + m per L− D

5

Esfuerzo, tensión y módulo de elasticidad

Los materiales sometidos a fuerzas externas muestran deformaciones de 3 diferentes tipos •

a) Estiramiento (tensión)

•

b) Aplastamiento (compresión)

•

c) Torsión (corte)

Esfuerzo: cantidad que caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan deformaciones, con base a una fuerza por unidad de área Deformación, cantidad que describe el cambio de forma resultante Cuando el esfuerzo y la deformación son pequeños, es común que sean proporcionales

Ley de Hooke (Robert Hooke (1635-1703) contemporáneo de Newton) esfuerzo = modulo de elasticidad deformacion

(6) •

Esta ley es empírica, valida sólo dentro de un intervalo limitado de condiciones físicas

6

Esfuerzo y deformación por tensión y compresión Estiramiento de una barra, varilla o alambre cuando tiramos sobre sus extremos

A) Tensión en barra uniforme de área A

Esfuerzo de tensión (stress) esfuerzo de tension =

(7)

Cantidad escalar con unidad: [ esf. de tension ] = Sistema británico: pound per square inch = Equivalencia: 1

F⊥ A

N N = Pascal = Pa y 1Pa = 1 2 2 m m

lb 2 in

lb = 1psi = 6891Pa o 1Pa = 1.451× 10−4 psi 2 in

Son unidad similar a la presión Ej. la presión del aire en los neumáticos : 3 ×105 Pa = 300kPa Los cables de acero usados en la construcción pueden suportar hasta 108 Pa

7

B) Deformación por tensión (Estiramiento) = cambio fraccionario de la longitud de un cuerpo sometido a un esfuerzo de tensión Barra de longitud original l0 Estirada hasta la longitud l = l0 + ∆l Deformación por tensión (strain): (8)

l − l 0 ∆l = l0 l0

Cuando el esfuerzo de tensión es pequeño el esfuerzo y deformación son proporcionales Moduló de Young (stress/strain) (9)

Y=

F⊥ A F⊥ l0 = ∆l l0 A∆l

Un material con Y grande no se estira mucho Ej. Acero colado Y = 2 ×1011 Pa en comparación con hule Y = 5 ×108 Pa .

8

C) Esfuerzo de compresión: las fuerzas en los extremos de una barra empujan en lugar de tirar ⇒ el material esta comprimido

Deformación por compresión definida por del mismo modo que la deformación por tensión, pero ∆l tiene dirección opuesta ⇒ Ley de Hooke es también valida para la compresión •

Mucho material tiene el mismo módulo de Hooke por la tensión que por la compresión

D) Flexión – fuerzas de tensión y compresión al mismo tiempo

Para minimizar el esfuerzo y deformación por flexión •

La parte superior y inferior de una viga deben tener una sección transversal grande

•

En la línea central no hay compresión ni tensión así que esa parte puede tener una sección transversal pequeña ⇒ minimiza el peso + disminuye el esfuerzo de tensión de la viga

9

Consecuencias: 1- Un poste vertical (semáforo o letrero de autopista) tiene sección transversal circular porque debe resistir la flexión en todas las direcciones causada por el viento 2- Un poste circular hueco es más resistente a la flexión que uno sólido con la misma masa pero de menos radio Ej. Torre CN de Toronto Poste circular hueco con lados metidos de manera a darle algo de la estabilidad natural de un trípode ⇒ Las secciones más cercanas del suelo deben sostener más peso y por esto su sección transversal es mayor

3- Los puentes deben soportar tremendos peso

⇒ busca impartir dichos esfuerzos al suelo

Ej. 1- Puente suspendido ⇒ sostiene su carga principalmente mediante la tensión en los cables y en la compresión de las torres •

La fuerza hacia abajo sobre las torres, causada por la tensión, se equilibra con la fuerza hacia arriba ejercida por el suelo

10

Ej. 2 - Un puente de arco soporta su carga por compresión •

El suelo en los extremos del arco recibe el esfuerzo de compresión

Ejemplo : Cable de acero ( Y = 20 ×1010 Pa ) de largura l0 = 2.0m y sección transversal A = 0.30cm 2

Se cuelga al cable una masa en torno de 550kg Buscamos el esfuerzo, la deformación y alargamiento Supongamos que el cable se comporta como una varilla sólida

Esfuerzo (stress):

F⊥ = A

Deformación (strain):

( 550kg )  9.8

m 2   s  = 1.8 × 108 Pa 3.0 ×10 −5 m 2

∆l esfuerzo 1.8 ×108 Pa = = = 9.0 ×10−4 10 l0 Y 20 ×10 Pa

La elongación: ∆l = 9.0 ×10− 4 ⋅ 2.0m = 0.0018m = 1.8mm

Esto es una elongación muy pequeña para la magnitud del esfuerzo

11

Esfuerzo y tensión de volumen La presión del agua sobre un sumergible (esfuerzo de volumen) es uniforme y la deformación resultante es un cambio de volumen (deformación de volumen) La fuerza sobre una sección transversal en un fluido en reposo es siempre perpendicular a esta sección Si tratamos de ejercer una fuerza paralela a una sección, el fluido se deslizara a los lados para contrarrestar la acción La presión p en un fluido es igual a la razón entre la fuerza perpendicular F⊥ a una sección unitaria y su área A (10)

p=

F⊥ A

La presión es una cantidad escalar, no tiene dirección Unidades de presión (Pascal): N lb [ p ] = Pa = 2 o psi = 2 m in Otra unidad atmósfera (atm): 1atm = 1.013 ×105 Pa = 14.7psi Si pueden ignorarse las diferencias de presión debidas a la profundidad la presión es la misma en todos los puntos Ley de Pascal: Si aplicamos una presión a la superficie de un fluido en un recipiente cerrado (con un pistón), la presión se transmite a través del fluido y actúa sobre la superficie de cualquier cuerpo sumergido

12

La deformación fraccionaria de volumen ∆V V0

(11)

Si se cumple la ley de Hooke, un aumento en la presión (esfuerzo de volumen) causara una deformación proporcional de volumen El módulo de volumen B =−

(12)

∆p ∆V V0

Signo menos ⇒ un aumento de presión corresponde a una reducción de volumen •

Para cambios de volumen pequeño B = constante

•

Para un gas, B depende de la presión inicial p0

El reciproco del módulo de volumen es la: compresibilidad (13)

k=

1 1 ∆V =− B V0 ∆p

La compresibilidad corresponde a la disminución fraccionaria de volumen por unidad de aumento de presión Su unidad:

[ k ] = Pa −1 = atm−1

Fluidos con una alta compresibilidad son muy fácilmente compresibles

13

Ejemplo de Prensa hidráulica Una prensa hidráulica contiene 0.25 m3 (250L) de aceite: •

módulo de volumen B = 5.0 ×109 Pa o (5 ×104 atm)

Un pistón hace aumentar la presión a ∆p = 1.6 × 107 Pa (160 atm o 2300 psi) La compresibilidad: k =

1 = 20 ×10− 6 atm−1 B

El cambio de volumen: ∆V = −

(

)(

)

0.25m 3 1.7 ×107 Pa V0 ∆p =− = −8.0 ×10−4 m 3 = 0.80L 9 B 5.0 × 10 Pa

Si bien el aumento de presión es muy grande, el cambio fraccionario de volumen es muy pequeño ∆V −8.0 ×10−4 m 3 = = −0.0032 = −0.32% V0 0.25m 3

Esfuerzo y tensión de corte (solamente cuerpos sólidos) Corte (shear) El resultado del esfuerzo de corte es un torcimiento del cuerpo sólido El esfuerzo de corte es igual a la razón de la fuerza tangente a la superficie material F// por la área de la superficie A (14)

F// = esfuerzo de corte A

Este es el tipo de esfuerza ejercido por una pare de tijeras

14

La deformación produce una disminución de las paralelas a la diagonal bd y una aumentación de las paralelas a la diagonal ac La deformación por corte def. por corte =

(15)

x = tan φ h

Para esfuerzas pequeñas, la ley de Hooke una vez más se aplica El módulo de corte (16)

S=

esfuerzo de corte F// A F// h F// A = = = def. de corte xh A x φ

Para un material dado S suele ser

1

3

a

1

2

mayor que el módulo de Young

Ejemplo - Un terremoto causa fuerzas de corte sobre una base de latón de una escultura de 0.8m de lado y un espesor de 0.5m Observamos un desplazamiento x = 0.16mm x 1.6 ×10 −4 m La deformación por corte: = = 2.0 ×10−4 h 0.80m En la tabla 11.1, vemos que el módulo de corte del latón es 3.5 × 1010 Pa El esfuerzo de corte:

(

)(

)

F// x = ⋅ S = 2.0 ×10−4 3.5 ×1010 Pa = 7.0 ×106 Pa A h

La fuerza responsable del esfuerzo de corte es igual a:

F// = 7.0 × 106 Pa ⋅ ( 0.80m ⋅ 0.005m) = 2.8 ×104 N

15

Elasticidad y plasticidad La ley de Hooke tiene limitaciones (las fuerzas intermoleculares no son infinitas) En un diagrama mostrando el esfuerzo en función de la deformación (en porcentaje de alargamiento), la región donde la ley de Hooke se aplica describe una línea recta •

El pendiente de esta línea recta es el módulo de Young

•

Hasta el punto (a) donde la ley de Hooke se aplica la deformación es proporcional al esfuerzo o El esfuerzo en este punto se denomina límite proporcional

•

Antes de este punto la deformación también es reversible (solamente actúan fuerzas conservativas)

•

La energía incorporada al material por causa de la deformación se recupera cuando se elimina el esfuerzo (comportamiento elástico)

•

En el punto de relajamiento (b) se termina el comportamiento elástico o El esfuerzo en este punto se denomina límite elástico

•

Pasado este punto, las deformaciones son irreversibles (ajuste permanente) o Para un incremento relativamente pequeño del esfuerzo, se produce un aumento grande de la deformación.

16

•

Hasta llegar a un punto en el que ocurre la fractura, el comportamiento se denomina flujo plástico o deformación plástica o En algunos materiales (materiales dúctiles), ocurre más deformación plástica entre el límite elástico y el punto de fractura o En otros (materiales quebradizos) la fractura ocurre poco después de rebasarse el límite elástico

Cuando el material en la fase elástica sigue diferentes curvas cuando aumenta y disminuye el esfuerzo, tenemos un caso de histéresis elásticas El trabajo efectuado por el material cuando regresa a su forma original es menor que el requerido originalmente para producir la deformación - fuerzas no conservativas de fricción interna

El esfuerzo requerido para causar la fractura de un material se denomina el esfuerzo de ruptura, resistencia límite o resistencia a la tensión

17