Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

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Factorizaci´on de Polinomios con Coeficientes Enteros M´ etodo de Tanteo ´ Mate 141: Algebra y Trigonometr´ıa I

Preparado por: Departamento de Matem´ aticas Pontificia Universidad Cat´ olica de Puerto Rico Colegio de Ciencias Programa T´ıtulo V - TSI

2011

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3

Hacer la Pre-prueba.

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Estudiar el contenido del m´ odulo: Definiciones, f´ ormulas y hacer lo problemas de pr´ actica.

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Instrucciones para utilizar el m´ odulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba

Tabla Contenido 1

2

3

4

5

Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Instrucciones para utilizar el m´ odulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Introducci´ on a la factorizaci´ on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Forma x2 + bx + c Forma x2 + bx − c Forma x2 − bx + c Forma x2 − bx − c Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Forma ax2 − bx + c, (a > 0) Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Ejercicios de Pr´ actica (Polinomios M´ onicos) Ejercicios de Pr´ actica (Polinomio No M´ onico) Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica Soluci´ on de la Pre-prueba Soluci´ on problemas de pr´ actica P´ agina anterior T´ıtulo V-TSI (PUCPR)

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Instrucciones para utilizar el m´ odulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba

Objetivos Instruccionales Objetivo general El objetivo de este m´ odulo es presentar los conceptos y las destrezas que se requieren para factorizar un polinomio con coeficientes enteros utilizando la t´ ecnica de tanteo. Objetivos espec´ıficos Al finalizar el estudio de este m´ odulo las personas usuarias podr´ an: Definir y dar ejemplos de polinomios m´ onicos y no m´ onicos. Factorizar polinomios m´ onicos de la forma: x2 + bx + c, x2 + bx − c, x2 − bx + c y x2 − bx − c donde b y c son n´ umeros enteros positivos.

Factorizar un polinomio de la forma: ax2 + bx + c donde a, b, c son n´ umeros reales con a 6= 0. Identificar cuando un trinomio de grado 2, factoriza tanteando.

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Instrucciones para utilizar el m´ odulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba

Pre-prueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1

x2 + 3x + 2

2

x2 − 10x + 16

3 4

x2 + 9x − 36 x2 − 2x − 8

5

x2 + 3x + 2

6

2y 3 + 12y 2 + 18y

7

10x2 + 11x + 3

8

7w2 + 20w − 3

9 10 11 12

6 − x − 15x2

33x2 − 39xy + 6y 2

24t4 − 246t3 − 63t2

(x + 3)2 + 3(x + 3) − 4

Soluci´ on de la Pre-prueba

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Instrucciones para utilizar el m´ odulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba

Pre-prueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1

x2 + 3x + 2

2

x2 − 10x + 16

3 4

x2 + 9x − 36 x2 − 2x − 8

5

x2 + 3x + 2

6

2y 3 + 12y 2 + 18y

7

10x2 + 11x + 3

8

7w2 + 20w − 3

9 10 11 12

6 − x − 15x2

33x2 − 39xy + 6y 2

24t4 − 246t3 − 63t2

(x + 3)2 + 3(x + 3) − 4

Soluci´ on de la Pre-prueba

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Introducci´ on a la factorizaci´ on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Forma x2 + bx + c Forma x2 + bx − c Forma x2 − bx + c Forma x2 − bx − c

Factorizaci´on de polinomios de la forma ax2 + bx + c En este m´ odulo se presentar´ a la t´ ecnica de tanteo para factorizar polinomios de la forma ax2 + bx + c donde a, b y c son n´ umeros enteros diferentes de cero. A este trinomio se le da el nombre de trinomio cuadr´ atico. Cuando a = 1, se le llama M´ onico y cuando a 6= 1 se le llama No M´ onico. Un polinomio de la forma ax2 + bx + c donde a, b y c son n´ umeros reales diferentes de cero factoriza como un producto de dos polinomios lineales con coeficientes reales si y solo si √ b2 − 4ac es un n´ umero real. De lo contrario decimos que es irreducible sobre el conjunto de los n´ umeros reales. La factorizaci´ on tiene la forma: ax2 + bx + c = (mx + t)(nx + w) para m, n, t, w n´ umeros reales F´ ormula para factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx + c (a 6= 0) √ Si b2 − 4ac es un n´ umero real, entonces ! ! √ √ −b − b2 − 4ac −b + b2 − 4ac x− ax2 + bx + c = a x − 2a 2a

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Introducci´ on a la factorizaci´ on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Forma x2 + bx + c Forma x2 + bx − c Forma x2 − bx + c Forma x2 − bx − c

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Factorizaci´on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Ejemplo: Factorice el polinomio 15x2 − 17x − 4 Note que 15 x2 −17 x −4 . Al sustituir a = 15, b = −17 y c = −4 en la f´ ormula de la p´ agina |{z} |{z} |{z} a

b

c

anterior obtenemos: 15x2 − 17x − 4 = 





p p    2    −(−17) + (−17)2 − 4(15)(−4)   x − −(−17) − (−17) − 4(15)(−4)  x − 15     2(15) 2(15)    {z } {z } | | 4/3

−1/5





 4 −1 15x2 − 17x − 4 = 15 x − x− 3 5    4 1 = (3)(5) x − x+ 3 5     4 1 = (3) x − (5) x + 3 5 = (3x − 4)(5x + 1)

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Introducci´ on a la factorizaci´ on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Forma x2 + bx + c Forma x2 + bx − c Forma x2 − bx + c Forma x2 − bx − c

Factorizaci´on de polinomios de la forma ax2 + bx + c La f´ ormula de factorizaci´ on utilizada en el ejemplo anterior se puede evitar y utilizar lo que conocemos como el M´ etodo de Tanteo. ¿Cu´ ando puedo utilizar el M´ etodo de Tanteo? 2 Un polinomio de la forma etodo √ ax + bx + c donde a, b y c son enteros factoriza utilizando el m´ de tanteo si y solo si b2 − 4ac es un n´ umero racional. En forma general el tanteo se efectuar´ıa de la siguiente manera: ax2 + bx + c = (mx + t)(nx + w)

donde a = mn, c = tw y b = mw + tn. Adem´ as, m, n, t y w tienen que ser n´ umeros enteros.

Para facilitar este tipo de factorizaci´ on dividimos el estudio en polinomios M´ onicos y No M´ onicos, umeros enteros. es decir, en polinomios de la forma x2 + bx + c o ax2 + bx + c donde a 6= 0, b y c n´ Antes de comenzar con los diferentes casos, veamos un ejemplo donde apliquemos la t´ ecnica de tanteo.

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Introducci´ on a la factorizaci´ on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Forma x2 + bx + c Forma x2 + bx − c Forma x2 − bx + c Forma x2 − bx − c

Ejemplo: Factorice el polinomio 6x2 − 19x − 7 Soluci´ on: p Note que (−19)2 − 4(6)(−7) = 23, esto implica que el polinomio factoriza tanteando como un producto de dos factores lineales, es decir, 6x2 − 19x − 7 = (mx + t)(nx + w) donde 6 = mn, −7 = tw y −19 = mw + tn. En otras palabras necesitamos encontrar dos enteros m, n que su producto sea 6 y dos enteros t y w que su producto sea -7 de tal manera que −19 = mw + tn. Esta es la raz´ on por la cu´ al le llamamos el m´ etodo de tanteo, ya que se requiere probar con diferentes valores. Utilizando m = 3, t = 1, n = 2 y w = −7, note que 6 x2 −19 x −7 = ( 3 x + 1 )( 2 x −7 ) |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} mn

mw+nt

tw

m

t

n

w

Por lo tanto, la factorizaci´ on es: 6x2 − 19x − 7 = (3x + 1)(2x − 7)

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Introducci´ on a la factorizaci´ on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Forma x2 + bx + c Forma x2 + bx − c Forma x2 − bx + c Forma x2 − bx − c

Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Polinomio de la Forma x2 + bx + c ¿Como factorizar un polinomio de la forma x2 + bx + c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x2 + bx + c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n tal que su producto sea c y la suma de ellos dos sea igual a b. Luego la factorizaci´ on tendr´ıa la forma x2 + bx + c = (x + m)(x + n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio

m

n

mn

m+n

Factorizaci´ on

x2 + 8x + 15

5

3

15

8

(x + 5)(x + 3)

x2 + 13x + 12

12

1

12

13

(x + 12)(x + 1)

t2 + 9t + 18

6

3

18

9

(t + 6)(t + 3)

y 2 + 36y + 288

24

12

288

36

(y + 24)(y + 12)

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Introducci´ on a la factorizaci´ on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Forma x2 + bx + c Forma x2 + bx − c Forma x2 − bx + c Forma x2 − bx − c

Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Polinomio de la Forma x2 + bx − c ¿Como factorizar un polinomio de la forma x2 + bx − c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x2 + bx − c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n con m > n tal que su producto sea c y la on tendr´ıa la forma diferencia (m − n) de ellos dos sea igual a b. Luego la factorizaci´ x2 + bx − c = (x + m)(x − n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio x2 x2 t2 y2

m

n

mn

m−n

Factorizaci´ on

+ 10x − 24

12

2

24

10

(x + 12)(x − 2)

+ 17x − 60

20

3

60

17

(x + 20)(x − 3)

+ 4t − 21

7

3

21

4

(x + 7)(x − 3)

+ 13y − 30

15

2

30

13

(y + 15)(y − 2) P´ agina anterior

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Introducci´ on a la factorizaci´ on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Forma x2 + bx + c Forma x2 + bx − c Forma x2 − bx + c Forma x2 − bx − c

Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Polinomio de la Forma x2 − bx + c ¿Como factorizar un polinomio de la forma x2 − bx + c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x2 − bx + c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n tal que su producto sea c y la suma de ellos dos sea igual a b. Luego la factorizaci´ on tendr´ıa la forma x2 − bx + c = (x − m)(x − n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio

m

n

mn

m+n

Factorizaci´ on

x2 − 8x + 15

5

3

15

8

(x − 5)(x − 3)

x2 − 13x + 12

12

1

12

13

(x − 12)(x − 1)

t2 − 9t + 18

6

3

18

9

(t − 6)(t − 3)

y 2 − 36y + 288

24

12

288

36

(y − 24)(y − 12) P´ agina anterior

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Introducci´ on a la factorizaci´ on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Forma x2 + bx + c Forma x2 + bx − c Forma x2 − bx + c Forma x2 − bx − c

Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Polinomio de la Forma x2 − bx − c ¿Como factorizar un polinomio de la forma x2 − bx − c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x2 − bx − c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n con m > n tal que su producto sea c y la on tendr´ıa la forma diferencia (m − n) de ellos dos sea igual a b. Luego la factorizaci´ x2 − bx − c = (x − m)(x + n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio x2 x2 t2 y2

m

n

mn

m−n

Factorizaci´ on

− 10x − 24

12

2

24

10

(x − 12)(x + 2)

− 17x − 60

20

3

60

17

(x − 20)(x + 3)

− 4t − 21

7

3

21

4

(x − 7)(x + 3)

− 13y − 30

15

2

30

13

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Forma ax2 − bx + c, (a > 0) Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx + c Ejemplos

Polinomio de la Forma ax2 − bx + c donde a, b, c son n´ umeros enteros ¿C´ omo factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx + c donde a, b, c son n´ umeros enteros? El factorizar un polinomio No M´ onico de la forma ax2 + bx + c requiere un poco m´ as de trabajo, especialmente, cuando los valores de a, b, c son n´ umeros enteros grandes. Tenemos dos opciones para factorizar un polinomio cuadr´ atico No M´ onico. Opci´ on 1: Utilizar la f´ ormula: 2

ax + bx + c = a

x−

−b +

√

b2 − 4ac 2a

!

x−

−b −

√

b2 − 4ac 2a

!

etodo de Tanteo: Encontrar enteros m, n, t, w tal que mn = a, tw = c y Opci´ on 2: M´ mt + nw = b. Luego la factorizaci´ on tiene la forma: ax2 + bx + c = (mx + t)(nx + w)

Veamos algunos ejemplos utilizando la opci´ on 2: M´ etodo de Tanteo.

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Forma ax2 − bx + c, (a > 0) Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx + c Ejemplos

Ejemplos: Factorizaci´on de polinomios de la forma ax2 + bx + c Antes de presentar los ejemplos recordemos los pasos para factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx + c donde a, b, c son n´ umeros enteros. Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx + c donde a, b, c son n´ umeros enteros Pasos 1: Verificar si el polinomio tiene una constante como factor com´ un. De ser asi, se factoriza y se le aplica el paso dos al polinomio cradr´ atico que obtenemos de la factorizaci´ on. √ Pasos 2: Verificar que b2 − 4ac sea un n´ umero racional. De no serlo se concluye que no se puede factorizar utilizando coeficientes enteros, o sea, es irreducible sobre los n´ umeros enteros. Pasos 3: Encontrar enteros m, n, t, w tal que mn = a, tw = c y mw + nt = b. Luego la factorizaci´ on tiene la forma: b x + c = (mx + t)(nx + w) a x2 + |{z} |{z} |{z} mn

mw+nt

tw

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Forma ax2 − bx + c, (a > 0) Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx + c Ejemplos

Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Factorice los siguientes polinomios de la forma ax2 + bx + c (a 6= 0) Polinomio

m

n

t

w

mn

tw

mw + tn

+ 23x + 3

2

7

3

1

14

3

23

(2x + 3)(7x + 1)

8x2 − 23x − 36

1

8

-4

9

8

-36

-23

(x − 4)(8x + 9)

48x2 − 136x − 65

12

4

5

-13

48

-65

-136

(12x + 5)(4x − 13)

−42x2 + 187x − 30

-6

7

1

-30

-42

-30

187

(−6x + 1)(7x − 30)

9x2 + 6x + 1

3

3

1

1

9

1

6

(3x + 1)(3x + 1)

−22x2 + 37x − 6

-11

2

2

-3

-22

-6

37

(−11x + 2)(2x − 3)

14x2

(mx + t)(nx + w)

16x2

− 72x + 17

4

4

-1

-17

16

17

-72

(4x − 1)(4x − 17)

−5x2

+ 28x − 15

-1

5

5

-3

-5

-15

28

(−x + 5)(5x − 3)

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Ejercicios de Pr´ actica (Polinomios M´ onicos) Ejercicios de Pr´ actica (Polinomio No M´ onico) Post-prueba

Ejercicios de Pr´actica Factorice los siguientes polinomios M´ onicos Polinomio x2

+ 7x + 6

x2

+ 2x − 15

t2

− 7t + 12

y2

− 8y − 33

x2

m

n

Factorizaci´ on

+ 25x + 100

x2

+ 2x − 35

t2 − 22t + 21 y 2 − 70y − 144 Soluci´ on de los problemas

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Ejercicios de Pr´ actica (Polinomios M´ onicos) Ejercicios de Pr´ actica (Polinomio No M´ onico) Post-prueba

Ejercicios de Pr´actica Factorice los siguientes polinomios M´ onicos Polinomio x2

+ 7x + 6

x2

+ 2x − 15

t2

− 7t + 12

y2

− 8y − 33

x2

m

n

Factorizaci´ on

+ 25x + 100

x2

+ 2x − 35

t2 − 22t + 21 y 2 − 70y − 144 Soluci´ on de los problemas

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M´ etodo de Tanteo

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Ejercicios de Pr´ actica (Polinomios M´ onicos) Ejercicios de Pr´ actica (Polinomio No M´ onico) Post-prueba

Ejercicios de Pr´actica (Polinomio No M´ onico) Factorice los siguientes polinomios de la forma ax2 + bx + c (a 6= 0) Polinomio 8x2

m

n

t

w

mn

tw

mw + tn

(mx + t)(nx + w)

− 53x − 21

7x2 + 10x − 8 3x2 − 4x + 2 6x2 + 7x − 20 12x2 − x − 6 12x2 − 29x + 15 21x2 + 41x + 10 4x2 − 20x + 25 Respuestas a los problemas

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Ejercicios de Pr´ actica (Polinomios M´ onicos) Ejercicios de Pr´ actica (Polinomio No M´ onico) Post-prueba

Ejercicios de Pr´actica (Polinomio No M´ onico) Factorice los siguientes polinomios de la forma ax2 + bx + c (a 6= 0) Polinomio 8x2

m

n

t

w

mn

tw

mw + tn

(mx + t)(nx + w)

− 53x − 21

7x2 + 10x − 8 3x2 − 4x + 2 6x2 + 7x − 20 12x2 − x − 6 12x2 − 29x + 15 21x2 + 41x + 10 4x2 − 20x + 25 Respuestas a los problemas

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Ejercicios de Pr´ actica (Polinomios M´ onicos) Ejercicios de Pr´ actica (Polinomio No M´ onico) Post-prueba

Post-prueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1

x2 + 3x + 2

2

x2 − 10x + 16

3 4

x2 + 9x − 36 x2 − 2x − 8

5

x2 + 3x + 2

6

2y 3 + 12y 2 + 18y

7

10x2 + 11x + 3

8

7w2 + 20w − 3

9 10 11 12

6 − x − 15x2

33x2 − 39xy + 6y 2

24t4 − 246t3 − 63t2

(x + 3)2 + 3(x + 3) − 4

Soluci´ on de la Post-prueba

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Ejercicios de Pr´ actica (Polinomios M´ onicos) Ejercicios de Pr´ actica (Polinomio No M´ onico) Post-prueba

Post-prueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1

x2 + 3x + 2

2

x2 − 10x + 16

3 4

x2 + 9x − 36 x2 − 2x − 8

5

x2 + 3x + 2

6

2y 3 + 12y 2 + 18y

7

10x2 + 11x + 3

8

7w2 + 20w − 3

9 10 11 12

6 − x − 15x2

33x2 − 39xy + 6y 2

24t4 − 246t3 − 63t2

(x + 3)2 + 3(x + 3) − 4

Soluci´ on de la Post-prueba

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´ on de la Pre-prueba Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´on de la Pre-prueba Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) x2 − 10x + 16 = (x − 8)(x − 2) x2 + 9x − 36 = (x + 12)(x − 3) x2 − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) x2 − 20x + 100 = (x − 10)(x − 10) = (x − 10)2 2y 3 + 12y 2 + 18y = 2y(y + 3)(y + 3) = 2y(y + 3)2 10x2 + 11x + 3 = (2x + 1)(5x + 3) 7w2 + 20w − 3 = (w + 3)(7w − 1) 6 − x − 15x2 = (3 − 5x)(2 + 3x) 33x2 − 39xy + 6y 2 = (11x − 2y)(3x − 3y) = 3(11x − 2y)(x − y) 24t4 − 246t3 − 63t2 = 3t2 (4t + 1)(2t − 21) (x + 3)2 + 3(x + 3) − 4 = ((x + 3) + 4) ((x + 3) − 1) = (x + 7)(x + 2)

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Soluci´ on de la Pre-prueba Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´on de la Pre-prueba Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) x2 − 10x + 16 = (x − 8)(x − 2) x2 + 9x − 36 = (x + 12)(x − 3) x2 − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) x2 − 20x + 100 = (x − 10)(x − 10) = (x − 10)2 2y 3 + 12y 2 + 18y = 2y(y + 3)(y + 3) = 2y(y + 3)2 10x2 + 11x + 3 = (2x + 1)(5x + 3) 7w2 + 20w − 3 = (w + 3)(7w − 1) 6 − x − 15x2 = (3 − 5x)(2 + 3x) 33x2 − 39xy + 6y 2 = (11x − 2y)(3x − 3y) = 3(11x − 2y)(x − y) 24t4 − 246t3 − 63t2 = 3t2 (4t + 1)(2t − 21) (x + 3)2 + 3(x + 3) − 4 = ((x + 3) + 4) ((x + 3) − 1) = (x + 7)(x + 2)

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Soluci´ on de la Pre-prueba Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´on Ejercicios de Pr´actica Factorice los siguientes polinomios M´ onicos Polinomio

m

n

Factorizaci´ on

+ 7x + 6

6

1

(x + 6)(x + 1)

+ 2x − 15

5

3

(x + 5)(x − 3)

− 7t + 12

4

3

(t − 4)(t − 3)

− 8y − 33

11

3

(y − 11)(y + 3)

+ 25x + 100

20

5

(x + 20)(x + 5)

+ 2x − 35

7

5

(x + 7)(x − 5)

t2 − 22t + 21

21

1

(t − 21)(t − 1)

y 2 − 70y − 144

72

2

(y − 72)(y + 2)

x2 x2 t2 y2 x2

x2

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Soluci´ on de la Pre-prueba Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´on Ejercicios de Pr´actica Factorice los siguientes polinomios M´ onicos Polinomio

m

n

Factorizaci´ on

+ 7x + 6

6

1

(x + 6)(x + 1)

+ 2x − 15

5

3

(x + 5)(x − 3)

− 7t + 12

4

3

(t − 4)(t − 3)

− 8y − 33

11

3

(y − 11)(y + 3)

+ 25x + 100

20

5

(x + 20)(x + 5)

+ 2x − 35

7

5

(x + 7)(x − 5)

t2 − 22t + 21

21

1

(t − 21)(t − 1)

y 2 − 70y − 144

72

2

(y − 72)(y + 2)

x2 x2 t2 y2 x2

x2

Regresar a los problemas de pr´ actica

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Soluci´ on de la Pre-prueba Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´on de los ejercicios de pr´actica Factorice los siguientes polinomios de la forma ax2 + bx + c (a 6= 0) Polinomio

m

n

t

w

mn

tw

mt + nw

− 53x − 21

8

1

3

-7

8

-21

-53

(8x + 3)(x − 7)

7x2 + 10x − 8

7

1

-4

2

7

-8

10

(7x − 4)(x + 2)

8x2

3x2 − 4x + 2

(mx + t)(nx + w)

Irreducible

6x2 + 7x − 20

3

2

-4

5

6

-20

7

(3x − 4)(2x + 5)

12x2 − x − 6

3

4

2

-3

12

-6

-1

(3x + 2)(4x − 3)

12x2 − 29x + 15

3

4

-5

-3

12

15

-29

(3x − 5)(4x − 3)

21x2

+ 41x + 10

3

7

5

2

21

10

41

(3x + 5)(7x + 2)

4x2

− 20x + 25

2

2

-5

-5

4

25

-20

(2x − 5)(2x − 5) Regresar a los problemas

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´ on de la Pre-prueba Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´on de los ejercicios de pr´actica Factorice los siguientes polinomios de la forma ax2 + bx + c (a 6= 0) Polinomio

m

n

t

w

mn

tw

mt + nw

− 53x − 21

8

1

3

-7

8

-21

-53

(8x + 3)(x − 7)

7x2 + 10x − 8

7

1

-4

2

7

-8

10

(7x − 4)(x + 2)

8x2

3x2 − 4x + 2

(mx + t)(nx + w)

Irreducible

6x2 + 7x − 20

3

2

-4

5

6

-20

7

(3x − 4)(2x + 5)

12x2 − x − 6

3

4

2

-3

12

-6

-1

(3x + 2)(4x − 3)

12x2 − 29x + 15

3

4

-5

-3

12

15

-29

(3x − 5)(4x − 3)

21x2

+ 41x + 10

3

7

5

2

21

10

41

(3x + 5)(7x + 2)

4x2

− 20x + 25

2

2

-5

-5

4

25

-20

(2x − 5)(2x − 5) Regresar a los problemas

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´ on de la Pre-prueba Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´on de la Post-Prueba Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) x2 − 10x + 16 = (x − 8)(x − 2) x2 + 9x − 36 = (x + 12)(x − 3) x2 − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) x2 − 20x + 100 = (x − 10)(x − 10) = (x − 10)2 2y 3 + 12y 2 + 18y = 2y(y + 3)(y + 3) = 2y(y + 3)2 10x2 + 11x + 3 = (2x + 1)(5x + 3) 7w2 + 20w − 3 = (w + 3)(7w − 1) 6 − x − 15x2 = (3 − 5x)(2 + 3x) 33x2 − 39xy + 6y 2 = (11x − 2y)(3x − 3y) = 3(11x − 2y)(x − y) 24t4 − 246t3 − 63t2 = 3t2 (4t + 1)(2t − 21) (x + 3)2 + 3(x + 3) − 4 = ((x + 3) + 4) ((x + 3) − 1) = (x + 7)(x + 2)

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Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Factorizaci´ on de Trinomios M´ onicos cuadr´ aticos Factorizaci´ on de Trinomios No M´ onicos Ejercicios de pr´ actica y Post-prueba Soluci´ on de la Pre y Post-prueba, Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´ on de la Pre-prueba Soluci´ on problemas de pr´ actica

Soluci´on de la Post-Prueba Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) x2 − 10x + 16 = (x − 8)(x − 2) x2 + 9x − 36 = (x + 12)(x − 3) x2 − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) x2 − 20x + 100 = (x − 10)(x − 10) = (x − 10)2 2y 3 + 12y 2 + 18y = 2y(y + 3)(y + 3) = 2y(y + 3)2 10x2 + 11x + 3 = (2x + 1)(5x + 3) 7w2 + 20w − 3 = (w + 3)(7w − 1) 6 − x − 15x2 = (3 − 5x)(2 + 3x) 33x2 − 39xy + 6y 2 = (11x − 2y)(3x − 3y) = 3(11x − 2y)(x − y) 24t4 − 246t3 − 63t2 = 3t2 (4t + 1)(2t − 21) (x + 3)2 + 3(x + 3) − 4 = ((x + 3) + 4) ((x + 3) − 1) = (x + 7)(x + 2)

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