FUNCIONES DE UNA VARIABLE Juli´an de la Horra Departamento de Matem´aticas U.A.M.

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Introducci´ on

Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales es la de poder expresar los valores de una variable en funci´on de los valores de otra variable. Por ejemplo, podemos estar interesados en expresar: • El peso de las personas (Y ) en funci´on de su estatura (X). • El peso de las aves de una especie (Y ) en funci´on de su envergadura (X). • El nivel medio de contaminaci´on semanal (Y ) en funci´on de las precipitaciones que se han producido (X). • La altura del oleaje (Y ) en funci´on de la velocidad del viento (X). • El n´ umero de ejemplares (N ) de una especie en cierto h´abitat en funci´on del tiempo (T ). • La concentraci´on de ox´ıgeno en el agua (X) en funci´on del tiempo (T ). En general, diremos que nos interesa expresar una variable Y en funci´on de otra variable X. La variable Y puede recibir distintos nombres: variable dependiente, variable de inter´es, variable respuesta, ... La variable X tambi´en puede recibir diferentes nombres: variable independiente, variable explicativa, ... El modelo matem´atico adecuado para expresar una variable Y en funci´on de otra variable X es la funci´ on de una variable. Este modelo, no s´olo permite expresar una variable en funci´on de otra, sino que las herramientas asociadas a este modelo (l´ımites, derivadas, ...) nos permiten abordar y expresar, de manera sencilla, muchos aspectos interesantes de la relaci´on entre las dos variables.

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Funci´ on de una variable

Definici´ on.- Una funci´ on de una variable, y = f (x), es el modelo matem´atico que nos dice cu´al es el valor de la variable Y para cada posible valor de la variable X. 1

Algunas veces tiene sentido considerar todos los valores de la recta real como posibles valores de X, otras veces tiene sentido considerar para X solamente los valores positivos, otras veces consideraremos un intervalo,... En general, los valores posibles de X reciben el nombre de dominio. • A continuaci´on, vamos a ir repasando todos los conceptos y herramientas habitualmente relacionados con las funciones de una variable (continuidad, derivadas, as´ıntotas, ... ) pero poniendo especial ´enfasis en su utilidad y en su interpretaci´on.

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Discontinuidades

Definici´ on.- Una funci´on y = f (x) es continua en un punto x0 , cuando: lim f (x) = lim+ f (x) = f (x0 ). •

x→x− 0

x→x0

Lo m´as importante para nosotros de esta definici´on es entender el significado intuitivo que puede tener una discontinuidad: Ejemplo 1.- Consideremos la funci´on N = f (t) que expresa el n´ umero de ejemplares de una especie en una reserva natural en funci´on del tiempo. Una discontinuidad en un instante t0 representa una variaci´on brusca en el n´ umero de ejemplares. Si la discontinuidad tiene un salto hacia abajo, representa una disminuci´on brusca de la poblaci´on como consecuencia, por ejemplo, de un desastre natural. Si la discontinuidad presenta un salto hacia arriba, representa un aumento brusco de la poblaci´on como consecuencia, por ejemplo, de una suelta de ejemplares para repoblar la zona. • En cualquier caso, conviene destacar que la mayor´ıa de las funciones que vamos a utilizar en las Ciencias Experimentales son funciones continuas.

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Derivadas

La derivada de una funci´on es una herramienta enormemente u ´til para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´on, sus m´aximos, m´ınimos, ... Pero, sobre todo, es enormemente u ´til porque su interpretaci´on juega un papel central en muchos fen´omenos experimentales.

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Definici´ on.- La derivada de una funci´on y = f (x) en un punto x0 es: f (x0 + h) − f (x0 ) . h→0 h

f 0 (x0 ) = lim

Ver la Figura 1 para la interpretaci´on gr´afica. • La funci´on derivada se suele representar como y 0 = f 0 (x). Por supuesto, podemos considerar tambi´en la derivada segunda, y 00 = f 00 (x), y as´ı sucesivamente. En todo lo que viene a continuaci´on supondremos la existencia de derivadas de las funciones que estemos analizando. Dicho de m´anera gr´afica, supondremos que estas funciones son suaves. A partir de la definici´on de derivada se van obteniendo una serie de reglas que permiten obtener, de manera sencilla, la derivada de cualquier funci´on. Estas reglas las supondremos previamente conocidas. Es fundamental tener claro el significado de la derivada de una funci´on. A partir de la definici´on y de la Figura 1, es f´acil darse cuenta de que la derivada de y = f (x) en x0 proporciona la pendiente de la curva y = f (x) en el punto x0 . Expresado en t´erminos m´as intuitivos: Significado de la derivada f 0 (x) representa la variaci´ on de la variable Y por cada unidad que aumenta la variable X. O dicho de otra manera, la derivada f 0 (x) representa la velocidad de variaci´ on de la variable Y con respecto a X. An´alogamente, la derivada segunda, y 00 = f 00 (x), representar´ıa la velocidad de variaci´on de Y 0 , y as´ı sucesivamente. Ejemplo 1 (continuaci´ on).- Si la funci´on N = f (t) expresa el n´ umero de ejemplares de una especie en una reserva natural en funci´on del tiempo, su derivada, N 0 = f 0 (t), representa la variaci´on del tama˜ no de la poblaci´on por unidad de tiempo, es decir, la velocidad de variaci´on del n´ umero de ejemplares con respecto al tiempo. •

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Crecimiento, decrecimiento, m´ aximos y m´ınimos relativos

Una de las aplicaciones esenciales de las derivadas es que son muy u ´tiles para hallar los intervalos donde una funci´on crece o decrece, y para hallar 3

m´aximos y m´ınimos relativos de una funci´on. Los intervalos en los que una funci´on crece o decrece, as´ı como los m´aximos y m´ınimos relativos pueden estudiarse con la primera derivada. El razonamiento es muy sencillo, y utiliza el significado de la derivada que se ha dado anteriormente: Cuando una funci´on, y = f (x), es creciente en un intervalo, su velocidad de variaci´on es positiva. Como la velocidad de variaci´on viene expresada por la derivada primera, esto se traduce en una regla muy sencilla: Regla Cuando y 0 = f 0 (x) > 0 en un intervalo, la funci´ on es creciente en ese intervalo. Cuando una funci´on, y = f (x), es decreciente en un intervalo, su velocidad de variaci´on es negativa. Como la velocidad de variaci´on viene expresada por la derivada primera, esto se traduce en una regla muy sencilla: Regla Cuando y 0 = f 0 (x) < 0 en un intervalo, la funci´ on es decreciente en ese intervalo. Veamos ahora los m´aximos y los m´ınimos relativos: La funci´on y = f (x) presenta un m´aximo relativo en el punto x0 cuando en ese punto la funci´on pasa de ser creciente a ser decreciente. Es decir, cuando y 0 = f 0 (x) pasa de ser positiva a ser negativa. En resumen, tenemos la siguiente regla: Regla La funci´ on y = f (x) presenta un m´ aximo relativo en x0 cuando ocurren las siguientes cosas: 1. f 0 (x0 ) = 0 2. Antes de x0 , la derivada primera es positiva 3. Despu´ es de x0 , la derivada primera es negativa. La funci´on y = f (x) presenta un m´ınimo relativo en el punto x0 cuando en ese punto la funci´on pasa de ser decreciente a ser creciente. Es decir, cuando y 0 = f 0 (x) pasa de ser negativa a ser positiva. En resumen, tenemos la siguiente regla: 4

Regla La funci´ on y = f (x) presenta un m´ınimo relativo en x0 cuando: 1. f 0 (x0 ) = 0 2. Antes de x0 , la derivada primera es negativa 3. Despu´ es de x0 , la derivada primera es positiva. Muy frecuentemente, se utiliza la derivada segunda, f 00 (x0 ), para determinar si nos encontramos ante un m´aximo o un m´ınimo relativo. Pero, como se acaba de indicar, eso es innecesario. Es suficiente con analizar la derivada primera. El programa de trabajo para deteminar zonas de crecimiento, decrecimiento, m´aximos y m´ınimos relativos es el siguiente: 1. Calculamos la funci´on derivada primera: y 0 = f 0 (x). 2. Planteamos y resolvemos la ecuaci´on f 0 (x) = 0. Las soluciones de esta ecuaci´on ser´an los potenciales m´aximos y m´ınimos relativos (puntos cr´ıticos). 3. Determinamos si la derivada es positiva o negativa entre los puntos cr´ıticos. Para esto, bastar´a con evaluar esta derivada en un punto de cada uno de los intervalos obtenidos. 4. Aplicamos las reglas descritas anteriormente. Veamos todo esto en un ejemplo: Ejemplo 2.- Consideramos la funci´on y = los pasos anteriores:

x3 3

− 2x2 + 3x + 5. Aplicamos

1. Calculamos la derivada primera: y 0 = f 0 (x) = x2 − 4x + 3 2. Planteamos la ecuaci´on f 0 (x) = 0 ⇒ Obtenemos las soluciones x = 1 y x = 3.

5

x2 − 4x + 3 = 0

⇒

3. Por ejemplo, para x = 0: f 0 (0) = 3 > 0. Tenemos que f 0 (x) > 0, para x < 1. Por ejemplo, para x = 2: f 0 (2) = −1 < 0. Tenemos que f 0 (x) < 0, para x ∈ (1, 3). Por ejemplo, para x = 4: f 0 (4) = 3 > 0. Tenemos que f 0 (x) > 0, para x > 3. 4. Tenemos la situaci´on que se puede ver en la Figura 2. En resumen: Para x < 1, la funci´on es creciente. Para x = 1, la funci´on presenta un m´aximo relativo. Para x ∈ (1, 3), la funci´on es decreciente. Para x = 3, la funci´on presenta un m´ınimo relativo. Para x > 3, la funci´on es creciente. •

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Concavidades y puntos de inflexi´ on

Otra de las aplicaciones fundamentales de las derivadas es su utilizaci´on para estudiar el tipo de concavidad y los puntos de inflexi´on de una funci´on. Para este estudio necesitaremos la segunda derivada. Las funciones presentan concavidades hacia arriba o concavidades hacia abajo en un intervalo cuando son de la forma indicada en la Figura 3. Observemos, en primer lugar, el caso de la concavidad hacia arriba. Si nos fijamos en la Figura 3, observaremos que Y crece cada vez m´as deprisa, es decir su velocidad de variaci´on es cada vez mayor, lo cual significa que y 0 = f 0 (x) es creciente. Esto se traduce en que y 00 = f 00 (x) > 0. En resumen: Regla Cuando y 00 = f 00 (x) > 0 en un intervalo, la funci´ on presenta una concavidad hacia arriba en ese intervalo. Observemos, ahora, el caso de la concavidad hacia abajo. Si nos fijamos en la Figura 3, observaremos que Y crece cada vez m´as despacio, es decir su velocidad de variaci´on es cada vez menor, lo cual significa que y 0 = f 0 (x) es decreciente. Esto se traduce en que y 00 = f 00 (x) < 0. En resumen:

6

Regla Cuando y 00 = f 00 (x) < 0 en un intervalo, la funci´ on presenta una concavidad hacia abajo en ese intervalo. Un punto de inflexi´ on es un punto x0 en el que se produce un cambio en el tipo de concavidad. Ver Figura 4. Al haber un cambio en el tipo de concavidad, la derivada segunda pasa de ser positiva a ser negativa, o al rev´es. En resumen, tenemos: Regla La funci´ on presenta un punto de inflexi´ on en x0 cuando ocurren las siguientes cosas: 1. f 00 (x0 ) = 0 2. La derivada segunda cambia de signo. Es muy frecuente evaluar la derivada tercera, f (3 (x0 ), para determinar si nos encontramos ante un punto de inflexi´on. Pero, como se acaba de indicar, eso es innecesario. Es suficiente con analizar la derivada segunda. Una propiedad interesante de los puntos de inflexi´on es la siguiente: En un punto de inflexi´on, la derivada primera pasa de ser creciente a ser decreciente (o al rev´es). Es decir, en un punto de inflexi´on, la derivada primera alcanza un m´aximo (o un m´ınimo). Pero la derivada primera es la velocidad de variaci´on de Y as´ı que, por tanto: Significado de un punto de inflexi´ on En un punto de inflexi´ on, la velocidad de variaci´ on alcanza un m´ aximo (o un m´ınimo). El programa de trabajo para deteminar los distintos tipos de concavidad de una funci´on y sus puntos de inflexi´on es el siguiente: 1. Calculamos la funci´on derivada segunda: y 00 = f 00 (x). 2. Planteamos y resolvemos la ecuaci´on f 00 (x) = 0. Las soluciones de esta ecuaci´on ser´an los potenciales puntos de inflexi´on. 3. Determinamos c´omo es la derivada segunda (positiva o negativa) entre los potenciales puntos de inflexi´on. Para esto, bastar´a con evaluar esta derivada segunda en un punto de cada uno de los intervalos obtenidos. 7

4. Aplicamos las reglas descritas anteriormente. Veamos todo esto en un ejemplo: Ejemplo 2 (continuaci´ on).- Consideramos la funci´on y = 3x + 5. Aplicamos los pasos anteriores:

x3 3

− 2x2 +

1. Calculamos la derivada segunda: y 0 = f 0 (x) = x2 − 4x + 3

⇒

y 00 = f 00 (x) = 2x − 4.

2. Planteamos la ecuaci´on f 00 (x) = 0 Obtenemos la soluci´on x = 2.

⇒

2x − 4 = 0

⇒

3. Por ejemplo, para x = 0: f 00 (0) = −4 < 0. Tenemos que f 00 (x) < 0, para x < 2. Por ejemplo, para x = 4: f 00 (4) = 4 > 0. Tenemos que f 00 (x) > 0, para x > 2. 4. Tenemos la situaci´on que se puede ver en la Figura 5. En resumen: Para x < 2, la funci´on es c´oncava hacia abajo. Para x = 2, la funci´on presenta un punto de inflexi´on. Para x > 2, la funci´on es c´oncava hacia arriba. •

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As´ıntotas

Las as´ıntotas con m´as inter´es en las aplicaciones son las as´ıntotas horizontales y las as´ıntotas obl´ıcuas. Las estudiamos a continuaci´on. Definici´ on.- La funci´on y = f (x) tiene una as´ıntota horizontal (por la derecha) en la recta y = y0 cuando: lim f (x) = y0

x→∞

De manera an´aloga, podemos hablar de as´ıntotas horizontales (por la izquierda) cuando x → −∞, aunque suelen tener menos inter´es en las aplicaciones. • El significado gr´afico de una as´ıntota horizontal (por la derecha) se puede ver en la Figura 6. El significado intuitivo es sencillo:

8

Significado de una as´ıntota horizontal (por la derecha) Si y = y0 es una as´ıntota horizontal, esto significa que, para valores grandes de X, el valor de Y tiende a estabilizarse en el valor y0 . El procedimiento para encontrar una as´ıntota horizontal (por la derecha) es sencillo: 1. Calculamos limx→∞ f (x). 2. Si este l´ımite tiene un valor finito, y0 , la recta y = y0 es as´ıntota horizontal. En caso contrario, no existe as´ıntota horizontal.

Definici´ on.- La funci´on y = f (x) tiene una as´ıntota oblicua en la recta y = mx + b cuando: lim [f (x) − mx − b] = 0 x→∞ De manera an´aloga, podemos hablar de as´ıntotas oblicuas cuando x → −∞, aunque suelen tener menos inter´es en las aplicaciones. • El significado gr´afico de una as´ıntota oblicua se puede ver en la Figura 7. El significado intuitivo es sencillo: Significado de una as´ıntota oblicua Si y = mx + b es una as´ıntota oblicua, esto significa que, para valores grandes de X, la velocidad de variaci´ on de Y con respecto a X tiende a estabilizarse en el valor m. La interpretaci´on anterior ayuda a dise˜ nar un procedimiento sencillo para encontrar una as´ıntota oblicua: 1. Calculamos limx→∞ f 0 (x). 2. Si este l´ımite tiene un valor finito y distinto de cero, m, puede existir una as´ıntota oblicua cuya pendiente es m. En caso contrario, no existe asintota oblicua. 3. Finalmente, calculamos limx→∞ [f (x)−mx]. Si este l´ımite tiene un valor finito, b, este ser´ıa el t´ermino independiente de la as´ıntota obl´ıcua.

9

8

Recta tangente

Hemos visto que la derivada primera de una funci´on que expresa la variable Y en t´erminos de la variable X se utiliza para estudiar si la funci´on es creciente o decreciente, y para obtener sus m´aximos y m´ınimos relativos. Pero la utilidad original de la derivada primera fue poder definir la recta tangente a una funci´on en un punto de esa funci´on. La formalizaci´on de la ecuaci´on de la recta tangente la recordamos a continuaci´on. Consideramos una funci´on y = f (x) y queremos obtener la recta tangente a esta curva en el punto (x0 , y0 ) = (x0 , f (x0 )) de la funci´on. La derivada de la funci´on en ese punto, y 0 = f 0 (x0 ), representa varias cosas: 1. La velocidad de variaci´on de Y con respecto a X en ese punto. 2. La pendiente de la funci´on en ese punto. 3. La pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Por lo tanto, la ecuaci´on de la recta tangente a la funci´on y = f (x) en el punto (x0 , y0 ) = (x0 , f (x0 )) es la siguiente: y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 )

y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )

⇒

que es la ecuaci´on de una recta a partir de un punto de la recta y de su pendiente. La recta tangente se pega completamente a la funci´on y = f (x) en el punto (x0 , y0 ), y despu´es se va separando poco a poco de la funci´on. Es decir, durante un peque˜ no intervalo, la recta tangente est´a muy cercana a la funci´on (se parece mucho a ella) y, en consecuencia, la recta tangente podr´ıa utilizarse como una aproximaci´on de la funci´on (en ese peque˜ no intervalo). Todo lo anterior, se puede observar gr´aficamente en la Figura 8, en la cual se introduce la notaci´on de las diferenciales que se utilizar´a posteriormente:

f 0 (x0 ) =

dy dx

⇒

dy = f 0 (x0 )dx = f 0 (x0 )(x − x0 )

f (x) − f (x0 ) ' dy = f 0 (x0 )(x − x0 )

⇒

f (x) ' f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )

En resumen, podemos destacar tres cosas en todo lo anterior:

10

⇒

1. La recta tangente a la funci´on y = f (x) en el punto (x0 , y0 ) = (x0 , f (x0 )) es: y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 )

⇒

y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )

2. La recta tangente se puede utilizar para obtener una aproximaci´on muy sencilla de la funci´on y = f (x) en un peque˜ no intervalo: f (x) ' f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) 3. Introducci´on de la notaci´on de las diferenciales: y 0 = f 0 (x) =

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dy dx

Evoluci´ on aritm´ etica: modelo lineal

La variedad de funciones que se pueden utilizar para representar una variable Y en t´erminos de otra variable X es infinita, pero en las Ciencias Experimentales, como en todas las aplicaciones, lo que se busca es una funci´on (un modelo) que, siendo sencilla, exprese razonablemente bien el fen´omeno experimental que se quiere estudiar. En esta secci´on, vamos a presentar un tipo de fen´omenos que se modelizan razonablemente bien mediante el modelo lineal, es decir, mediante una recta. El modelo lineal es el m´as sencillo de todos. Consideramos una variable respuesta, Y , que evoluciona a lo largo del tiempo seg´ un un modelo de progresi´on aritm´etica. Las dos condiciones que regulan una evoluci´on aritm´etica son las siguientes: 1) En el instante inicial (t = 0), la variable respuesta toma un valor Y0 . 2) Cada unidad de tiempo que pasa, la variable respuesta var´ıa una cantidad fija d (donde d puede ser positiva o negativa). Este es el modelo m´as sencillo que se puede describir. Es muy f´acil determinar el valor de la variable respuesta, Y , cuando han transcurrido 1, 2, 3, ... unidades de tiempo:

11

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

t=0 t=1 t=2 t=3

Y Y Y Y

= Y0 , = Y1 = Y0 + d, = Y2 = Y1 + d = Y0 + 2d, = Y3 = Y2 + d = Y0 + 3d.

En general, en un instante t:

Y = Yt = Y0 + td.

En resumen, la funci´on que recoge la evoluci´on o progresi´on aritm´etica de una variable respuesta, Y , en funci´on del tiempo, t, es de la forma: Y = f (t) = Y0 + td Es una recta de pendiente d, y por eso se suele llamar modelo lineal. A veces, es interesante conocer el valor de la suma de los valores de una variable respuesta, Y , que evoluciona aritm´eticamente, en los instantes t = 0, 1, ..., n. Para esto, consideraremos: S = Y0 + (Y0 + d) + ... + (Yn − d) + Yn S = Yn + (Yn − d) + ... + (Y0 + d) + Y0 Si sumamos los dos miembros de estas dos igualdades, tenemos: 2S = (Y0 + Yn ) + (Y0 + Yn ) + ... + (Y0 + Yn ) = (n + 1)(Y0 + Yn ) S=

Y0 +Yn (n 2

⇒

+ 1)

Expresado en palabras, la suma de varios valores consecutivos de una variable respuesta que evoluciona aritm´eticamente es de la forma: S=

10

´ Primer valor + Ultimo valor × (N´ umero de valores) 2

Evoluci´ on geom´ etrica: modelo exponencial

En esta secci´on, vamos a presentar un tipo de fen´omenos que se modelizan razonablemente bien mediante el modelo exponencial. Consideramos una variable respuesta, Y , que evoluciona a lo largo del tiempo seg´ un un modelo de progresi´on geom´etrica. Las dos condiciones que regulan una evoluci´on geom´etrica son las siguientes: 12

1) En el instante inicial (t = 0), la variable respuesta toma un valor Y0 . 2) Cada unidad de tiempo que pasa, la variable respuesta var´ıa un porcentaje fijo de un α% (donde α puede ser positivo o negativo). Este es tambi´en un modelo sencillo, que se utiliza a menudo para explicar la evoluci´on del n´ umero de individuos de una poblaci´on, al menos durante ciertos per´ıodos de tiempo. Es muy f´acil determinar el valor de la variable respuesta, Y , cuando han transcurrido 1, 2, 3, ... unidades de tiempo: t=0 t=1 t=2 t=3

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Y = Y0 , Y = Y1 = Y0 + Y = Y2 = Y1 + Y = Y3 = Y2 +

α Y 100 0 α Y 100 1 α Y 100 2



= Y0 1 + 

= Y1 1 + 

= Y2 1 +

α 100



,

α 100



= Y0 1 +

α 100





Y = Yt = Y0 1 +

En general, en un instante t:

 

= Y0 1 +

α 100

t

α 100 α 100

2 3

, .

.

En resumen, la funci´on que recoge la evoluci´on o progresi´on geom´etrica de una variable respuesta, Y , en funci´on del tiempo, t, es de la forma: α 1+ 100



Y = f (t) = Y0

t

.

Una manera alternativa de escribir este modelo es la siguiente: 



Y = f (t) = Y0 exp t ln 1 +

α 100



= Y0 eβt ,

lo cual justifica el nombre que recibe de modelo exponencial. A veces es interesante conocer el valor de la suma de los valores de una variable respuesta, Y , que evoluciona geom´etricamente, en los instantes t = α 0, 1, ..., n. Para esto, llamando r = 1 + 100 , tenemos: S = Y0 + Y1 + ... + Yn     α α n = Y0 + Y0 1 + + ... + Y0 1 + 100 100 n = Y0 + Y0 r + ... + Y0 r Multiplicando los dos miembros por r, tenemos: Sr = Y0 r + Y0 r2 + ... + Y0 rn+1 13

Restando la primera igualdad de la segunda, tenemos: Sr − S = Y0 rn+1 − Y0 S=

S(r − 1) = Y0 (rn+1 − 1)

⇒

⇒

Y0 (rn+1 −1) r−1

En resumen, la suma de varios valores consecutivos de una variable respuesta que evoluciona geom´etricamente es de la forma: 



umero de valores) − 1 (Primer valor) × r(N´ S=

r−1

En el caso especialmente importante en que α es un porcentaje negativo (la variable respuesta va disminuyendo), r toma un valor entre 0 y 1, y podemos hallar la suma de todos los valores de Y a lo largo de los instantes Y = 0, 1, 2, ...: S = n→∞ lim

11

Y0 (−1) Y0 Y0 (rn+1 − 1) = = . r−1 r−1 1−r

Un cat´ alogo de funciones

En las dos secciones anteriores, hemos visto que el modelo de evoluci´on aritm´etica daba lugar al modelo lineal y que el modelo de evoluci´on geom´etrica nos conduc´ıa al modelo exponencial. Estos son algunos de los modelos que se utilizan para representar, de forma aproximada, relaciones entre variables en las Ciencias Experimentales. Naturalmente, no son los u ´nicos. A continuaci´on, se ofrece un breve cat´alogo de algunas de las funciones m´as utilizadas en este contexto. Modelo lineal Es el modelo que utiliza una funci´on de la forma: y = a + bx Aparece, por ejemplo, en los modelos de evoluci´on aritm´etica (como se ha indicado). Modelo exponencial Es el modelo que utiliza una funci´on de la forma: y = aebx (a > 0) 14

Aparece, por ejemplo, en los modelos de evoluci´on geom´etrica (como se ha indicado). Modelo logar´ıtmico Es el modelo que utiliza una funci´on de la forma: y = a + b ln x (b > 0) Se utiliza, por ejemplo, para describir emp´ıricamente la relaci´on entre el tama˜ no (Y ) alcanzado por una planta, y su concentraci´on (X) de hormona del crecimiento. Modelo potencial Es el modelo que utiliza una funci´on de la forma y = axb (b > 0) Se utiliza, por ejemplo, para describir emp´ıricamente la relaci´on entre dos medidas (X e Y ) realizadas en dos partes diferentes del cuerpo en ejemplares de una misma especie. Es inmediato comprobar que este modelo se puede expresar tambi´en como una relaci´on lineal entre los logaritmos de las medidas. En Zoolog´ıa, este tipo de relaci´on recibe el nombre de relaci´on alom´etrica. Modelo log´ıstico Es el modelo que utiliza una funci´on de la forma: y=

k (a, k, b > 0) 1 + ae−bx

Se utiliza, por ejemplo, para modelizar el tama˜ no de una poblaci´on que, al principio experimenta un crecimiento exponencial, pero que despu´es, cuando empiezan a escasear los recursos, ralentiza su crecimiento hasta alcanzar un tama˜ no que ya no sobrepasa. Modelo inverso Es el modelo que utiliza una funci´on de la forma: y =a+

12

b (b > 0) x

Ejemplos de aplicaci´ on

Vamos a ver algunos sencillos ejemplos de aplicaci´on pr´actica. 15

Ejemplo 3.- La velocidad de crecimiento del n´ umero de bacterias presentes en un cultivo es (aproximadamente) de un 50% cada hora. Al efectuar la primera observaci´on, el cultivo conten´ıa 100 bacterias por mililitro. (a) ¿Cu´antas bacterias podemos esperar al cabo de 6 horas? ¿Y al cabo de un d´ıa? (b) Obtener la funci´on que expresa el n´ umero de bacterias por mililitro, N , en funci´on del tiempo, t. (a) Se trata de un modelo de progresi´on geom´etrica. En este modelo, al cabo de 6 horas, el n´ umero (aproximado) de bacterias ser´ıa: 50 100



N = N (6) = 100 1 +

6

' 1139 bacterias por ml.

Al cabo de un d´ıa (24 horas): 

N = N (24) = 100 1 +

50 100

24

' 1683411 bacterias por ml.

(b) En general, tenemos: 50 t = 100 e0,4055t . N = N (t) = 100 1 + 100 Obviamente, este modelo puede ser adecuado durante cierto tiempo, pero no de forma indefinida, como se comprende f´acilmente viendo los valores obtenidos en el apartado (a). • 



Ejemplo 4.- El n´ umero de ejemplares de una especie en una reserva natural, N , a lo largo del tiempo, t (en a˜ nos), lo vamos a describir mediante el siguiente modelo log´ıstico: N = N (t) =

200 1 + 5e−t

para t ≥ 0

(a) ¿N´ umero de ejemplares en el momento inicial? (b) ¿N´ umero de ejemplares a largo plazo? (c) ¿Cu´antos ejemplares hay al cabo de 1 a˜ no? ¿Cu´al es la velocidad de crecimiento en ese momento? (d) ¿Cu´antos ejemplares hay al cabo de 10 a˜ nos? ¿Cu´al es la velocidad de crecimiento en ese momento? (e) ¿Cu´ando es m´axima la velocidad de crecimiento? (a) N (0) =

200 6

' 33, 33. 16

Es decir, en el momento inicial hay unos 33 ejemplares. 200 (b) limt→∞ 1+5e −t = 200. Es decir, a largo plazo, la poblaci´on tiene a estabilizarse en unos 200 ejemplares. 200 (c) N (1) = 1+5e −1 ' 70, 44. Para conocer la velocidad de crecimiento, necesitamos la derivada:

N0 = N 0 (1) =

1000e−1 (1+5e−1 )2

200(5)e−t 1000e−t = . (1 + 5e−t )2 (1 + 5e−t )2

' 45, 63.

En resumen, al cabo de 1 a˜ no, hay unos 70 ejemplares, y la velocidad de crecimiento es de unos 46 ejemplares por a˜ no. (d) N (10) =

200 1+5e−10

N 0 (10) =

' 199, 95;

1000e−10 (1+5e−10 )2

' 0, 05.

En resumen, al cabo de 10 a˜ nos, hay unos 200 ejemplares, y la velocidad de crecimiento es pr´acticamente cero. Es decir, a los 10 a˜ nos, la poblaci´on ha alcanzado su techo de unos 200 ejemplares. (e) La velocidad de crecimiento (la derivada) ser´a m´axima cu´ando la derivada segunda se anule. Por tanto, necesitamos obtener la derivada segunda: −1000e−t (1 + 5e−t )2 + 1000e−t (2)(1 + 5e−t )(5)e−t (1 + 5e−t )4 1000e−t (5e−t − 1) = =0 (1 + 5e−t )3

N 00 =

Esto nos lleva a la ecuaci´on 5e−t − 1 = 0, cuya soluci´on se obtiene f´acilmente: t = ln 5 ' 1, 61. Es decir, la m´axima velocidad de crecimiento de la poblaci´on se alcanza, aproximadamente, al cabo de 1,61 a˜ nos. •

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