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Mec´anica CL´asica Guia N◦ 6 - Primer cuatrimestre de 2007 S´olidos r´ıgidos planos. Energ´ıa potencial y mec´anica.

Dos barras delgadas uniformes de longitudes iguales, ℓ=0.5 m, una de Problema 1: 4 kg y la otra de 12 kg, se sueldan formando una barra de 1 m. Consideremos ahora el momento de inercia de esta barra compuesta respecto a un eje perpendicular a ella. Determinar la posici´on del eje respecto al cual el momento de inercia tenga el m´ınimo valor posible. Determinar dicho valor. Sobre una barra uniforme situada sobre una mesa horizontal, se ejerce Problema 2: una fuerza horizontal, perpendicular a la barra, en un extremo de ´esta. La barra parte del reposo. La longitud de la barra es L y su masa M . ¿Qu´e punto de la barra tiene aceleraci´on inicial nula? Problema 3: Se tira de un disco cil´ındrico uniforme de radio R sobre una superficie horizontal (sin rozamiento) mediante un hilo arrollado sobre el cilindro. El otro extremo del hilo est´a unido a un cuerpo de igual masa M que el cilindro. El hilo pasa por una polea sin masa, seg´ un se indica en la figura. (a) Determinar la tensi´on del hilo mientras est´a en movimiento el sistema. (b) Si el sistema parte del reposo, ¿cu´al es la velocidad del disco cuando su centro haya recorrido una distancia 5R? Dos cilindros homogeneos del mismo material giran con la misma veProblema 4: locidad angular alrededor de sus ejes de revoluci´on. ¿Cu´al es el cociente entre sus energ´ıas cin´eticas si el radio de un cilindro es el doble que el del otro? Problema 5: Un carrito de masa M rueda sobre cuatro ruedas de masa m y radio de giro r cada una de ellas (se supone siempre que las ruedas giran sin deslizar). (a) ¿Qu´e velocidad alcanzar´a si, tras partir del reposo, se ejerce sobre ´el una fuerza F durante un tiempo ∆t? ¿Cu´al ser´ıa la masa efectiva del carrito? (b) ¿Qu´e velocidad alcanzar´a si la fuerza F se ejerce a lo largo de una distancia ∆x? ¿Cu´ al ser´ıa ahora la masa efectiva? Se mantiene una barra uniforme recta de masa m y longitud ℓ inclinada Problema 6: un ´angulo θo con su extremo inferior apoyado sobre una superficie plana sin rozamiento. Se suelta la barra desde esta posici´on. 1

(a) Demostrar que la barra choca de plano contra la superficie, es decir, que el extremo inferior se mantiene siempre en contacto con ella. (b) Determinar la velocidad angular en funci´on del ´angulo de inclinaci´on. (c) Determinar la velocidad del centro de masa inmediatamente antes de que la barra choque contra el suelo. En la figura pueden verse dos cilindros homog´eneos de radio R y masa Problema 7: M cada uno. El cilindro superior puede girar libremente sostenido por un eje horizontal que pasa por su centro. Se arrolla una cuerda en torno a ambos cilindros y se deja caer el de abajo. Entre la cuerda y los cilindros hay suficiente rozamiento como para que ambos puedan girar sin deslizamiento. (a) ¿Cu´ al es la aceleraci´on del centro de masa del cilindro inferior? (b) ¿Cu´ al es la tensi´on de la cuerda? (c) ¿Cu´ al es la velocidad del cilindro inferior cuando ha descendido una distancia 10R? Un cuerpo que puede moverse libremente sobre un plano, se halla en Problema 8: reposo cuando se le aplica un impulso instant´aneo. ¿Es posible que exista un punto del cuerpo que tenga velocidad nula inmediatamente despu´es del impulso? Si es as´ı, estudiar c´ omo var´ıa este punto al variar el punto de aplicaci´on del impulso. Problema 9: Una barra recta y homog´enea de longitud L=3 m y masa M =4 kg se halla en reposo sobre una superficie horizontal. Se aplica un impulso horizontal instant´aneo perpendicularmente a la barra. ¿A qu´e distancia del centro de la barra habr´ıa que aplicar el impulso para hacer que se igualen las energ´ıas cin´eticas de traslaci´on y rotaci´on. Un cilindro homog´eneo parte de una posici´on A y rueda hacia abajo Problema 10: de un plano inclinado sin deslizar hasta B, como se indica en la figura. Sigue de B hasta C movi´endose sobre una superficie exenta de rozamiento. Los desniveles entre A y B y entre B y C son ambos iguales al di´ametro del cilindro. (a) ¿Cu´ ales son la velocidad del centro de masa y la velocidad angular del cilindro cuando se halla en el punto B? (b) ¿Cu´ ales ser´an dichas velocidades cuando el cilindro alcance la posici´on C? Una rueda sube rodando por un plano inclinado de ´angulo θ bajo la Problema 11: acci´on de un par, como se indica en la figura. ¿Cu´al es la aceleraci´on m´axima de la rueda si su masa es M , su radio de giro ro y el coeficiente de rozamiento est´atico entre la rueda y el plano es µ?

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Problema 12: Un cilindro homogeneo de radio R/4 se mueve por el interior de una tuber´ıa de secci´on circular de radio R, como se indica en la figura. La mitad izquierda de la tuber´ıa es lo suficientemente ´aspera como para asegurar la rodadura sin deslizamiento, mientras que la otra mitad tiene coeficiente de rozamiento nulo. El cilindro empieza a rodar, en la mitad rugosa de la tuber´ıa, desde un punto en el cual su centro de masa se halla a una altura R/2 sobre el punto m´as bajo de la tuber´ıa. (a) ¿Cu´ al es la velocidad angular del cilindro en la posici´ on m´as baja? (b) ¿Cu´ al ser´a la altura m´axima que alcanza el cilindro en la mitad lisa de la tuber´ıa? ¿Cu´ al es el momento de inercia de Problema 13: (a) una varilla delgada y larga respecto a un eje perpendicular a ella y que pase por uno de sus extremos? (b) un aro circular delgado respecto a un eje que pase por su periferia y sea perpendicular a su plano? (c) un aro circular delgado respecto a un eje situado en su plano y tangente a ´el? (d) una placa circular delgada respecto a un eje normal a su plano y tangente a su periferia? Consideremos los dos p´endulos de la figura. En la parte (a) puede Problema 14: verse una barra recta uniforme y en la parte (b) una esfera uniforme que cuelga del extremo de una barra muy liviana. Las masas de los p´endulos son iguales y sus dimensiones son las indicadas en la figura. Se da a la esfera un impulso instant´aneo J que pasa por su centro y que la lleva a la posici´on horizontal. ¿En qu´e punto de la barra habr´ıa que aplicar J para llevarla a la posici´on horizontal? Problema 15: Consideremos los sistemas (a), (b) y (c) de la figura, los cuales est´an todos animados de movimiento oscilatorio. (a) El primer sistema consiste en un cilindro de masa m y radio r que cuelga de una barra muy liviana. Calcular la frecuencia caracter´ıstica fa del sistema. (b) Un cilindro de masa m desliza en uno y otro sentido en un canal semicircular. Despreciando el rozamiento, calcular la frecuencia fb caracter´ıstica de este sistema. ¿Es mayor, menor o igual que fa ? Justifique. (c) El cilindro de la parte (b) rueda sin deslizar en uno y otro sentido. La frecuencia fc de este sistema, ¿es igual, mayor o menor que fb ? Justifique. Dos tableros lisos est´an articulados por una arista y se equilibran en Problema 16: la forma indicada en la figura. La articulaci´on en P est´a exenta de rozamiento. C ada tablero tiene una masa m y una longitud de la arista transversal l, y forman ´angulos de 60◦ con el suelo. ¿Cu´ anto debe valer el coeficiente de rozamiento est´atico para que el sistema permanezca en equilibrio?

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Problema 17: Una tabla de largo l est´a colocada de modo que un extremo permanece junto a un bloque de masa m que est´a en el piso de un cami´on mientras que el otro extremo esta apoyado en una pared vertical (ver figura). Determinar la m´axima aceleraci´on posible del camion de modo que la tabla permanezca en esa posici´on en las siguientes casos: (a) No hay rozamiento entre el bloque y el piso del cami´on. (b) El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso es µ El disco A de masa m y radio r se encuentra en reposo cuando se lo Problema 18: coloca sobre una cinta transportadora que se mueve a velocidad constante v. El v´ınculo que sujeta el disco a la pared tiene masa despreciable. Si el coeficiente de fricci´on entre la cinta y el disco es µ, calcular la aceleraci´on angular del disco cuando ´este comienza deslizar. Considere un disco de masa m y radio r colocado sobre una cinta Problema 19: transportadora como indica la figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el disco y los puntos de contacto A y B es µ, calcule la aceleraci´on angular del disco. Problema 20: Las extremidades de una barra de longitud l y masa m se pueden mover libremente, sin rozamiento a lo largo de dos superficies como muestra la figura. Si la barra es dejada en reposo desde la posici´on mostrada en la figura, determinar (a) La aceleraci´on angular de la barra. (b) Las reacciones en A y B. Una barra uniforme de longitud L y masa M cuelga libremente de Problema 21: una articulaci´on A.. Si se le aplica una fuerza horizontal F , determinar: (a) La distancia h a la cual la componente horizontal de la fuerza de v´ınculo en A se anula. (b) La aceleraci´on angular de la barra en este caso. Considere el mismo sistema del problema anterior. Si la fuerza F es Problema 22: aplicada ahora en h = L, determinar (a) La distancia h a la cual la componente horizontal de la fuerza de v´ınculo en A se anula. (b) La aceleraci´on angular de la barra en este caso. Un disco homogeneo y un aro, ambos de igual radio y masa, est´an en Problema 23: contacto cuando se los suelta desde el reposo sobre un plano inclinado como indica la figura. Sabiendo que ambos ruedan sin deslizar, determinar cu´anto estar´an separados

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luego de un tiempo T . Un aro de radio a y masa M es colocado sobre una superficie horiProblema 24: zontal con rozamiento µ con una velocidad angular ωo . Determinar: (a) El tiempo to para el cual el aro comenzar´a a rodar sin deslizar. (b) Las velocidades del centro de masa y angular del aro a ese tiempo. Problema 25: Los dos carritos de la figura tienen masa M . Ambos tienen aplicados una fuerza horizontal F . Sabiendo que los cilindros tienen masa m y radio a, determinar la velocidad de los carritos luego de que ambos se trasladaron una distancia d, partiendo del reposo. Un proyectil de masa m es disparado contra un panel cuadrado de Problema 26: lado l y masa M . La velocidad del proyectil v, es horizontal y el panel est´a suspendido como indica la figura. Conociendo h, determinar: (a) La velocidad del centro del panel inmediatamente despu´es de que el proyectil se incrust´o. (b) La reacci´on impulsiva en A teniendo en cuenta que el proyectil se introduce una distancia d = l/2 Una bala de masa m v es disparada con una velocidad horizontal vo Problema 27: de modo que impacta en un disco de masa M (mucho mayor que m) a una distancia 0.5R del piso, siendo R el radio del disco. Sabiendo que el disco se hallaba inicialmente en reposo y que el rozamiento entre el disco y el piso es finito, determinar: (a) La velocidad del centro del disco su velocidad angular inmediatamente que la bala penetr´o en el. (b) Describir el movimiento subsiguiente y determinar la velocidad final cuando el movimiento resulta uniforme. Dos barras id´enticas, AB y CD, cada una de longitud L pueden moProblema 28: verse sin fricci´on sobre una superficie horizontal. La barra AB esta rotando alrededor de su centro de masa con una velocidad angular ωo cuando su extremo B golpea al extremo C de la otra, que permanec´ıa en reposo. Sabiendo que en el momento del impacto, las barras estaban paralelas, y asumiendo un choque perfectamente el´astico, determinar la velocidad angular de cada barra y la velocidad del centro de masa de cada una de ellas, inmediatamente despu´es del impacto.

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