INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICA. ASIGNATURA: MATEMATICA. NOTA DOCENTE: EDISON MEJIA MONSALVE. TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION. PERIODO GRADO N° FECHA DURACION 3 8º A / B 4 5 de julio de 2016. Unidades. INDICADORES DE DESEMPEÑO. 1. Aplica procesos lógicos y coherentes, al factorizar completamente una expresión algebraica. 2. Muestra iniciativa en la realización de actividades y consultas. 3. Establece relación entre los procesos inversos de los productos notables, utilizándolos en la simplificación de expresiones algebraicas. 4. Resuelve situaciones problemas, aplicando los casos de factorización.

FACTORIZACIÓN Es el proceso mediante el cual expresamos un polinomio como el producto de dos o más expresiones o factores irreducibles. Es de notar que de acuerdo a la estructura o forma (caso) del polinomio, dicha factorización o representación tiene ya un proceso definido; así encontramos los siguientes casos: FACTOR COMÚN Factor común “sencillo” Se da o presenta cuando todos los términos de la expresión algebraica, tienen un factor común, es decir, todos los términos tienen un divisor común.  Se extrae el factor común de los coeficientes (máximo común divisor)  De la parte literal se extrae la letra “repetida” en todos los términos, con el menor exponente.  Se divide cada término de la expresión algebraica entre el factor común y el cociente resultante se pone en un paréntesis; paréntesis que queda multiplicado por el factor común general. Ejemplos: a. 3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2 En este ejercicio se observa que hay factores comunes entre los términos del polinomio dado, por lo que se eligen los factores comunes con su menor exponente (M.C.D.) tanto entre los coeficientes numéricos como en la parte literal, obteniéndose como factor común 3xy 2 El otro factor el que va dentro de un paréntesis, resulta de dividir cada término del polinomio entre el factor común. Luego el polinomio dado queda factorizado 3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2 = 3xy2 .(x2 + 3x – 6) Nota: La factorización se puede comprobar efectuando el producto indicado en el lado derecho de igualdad, el cual debe dar el polinomio que se factorizó. b. 2a (m – 1) + b (m – 1) – 3c (m – 1) Esta vez, el factor común es un polinomio (binomio), en este caso, m – 1 y la factorización se realiza en forma análoga al ejercicio anterior. Por lo tanto, 2a (m – 1) + b (m – 1) – 3c (m – 1) = (m – 1).(2a + b – 3c)

ACTIVIDAD # 1

1. Factorizar hallando el factor común. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

2. Descomponer en dos factores. a) b) c) d) e) f) g) h)

1

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Este caso se presenta, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual numero de términos, con un factor común diferente en cada grupo; así se saca en cada grupo el factor común quedando la misma expresión en cada uno de los paréntesis, para luego tomar dicho paréntesis como un polinomio común (factor común). Nota: Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas. Ejemplos: a. 2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v A simple vista se observa que no hay factor común en todos los términos, pero hay términos que “se parecen” como 2av2 y 3uv2. Además, hay un número par de términos, por lo que, se puede pensar en el caso de factor común por agrupación, Ahora efectuamos una agrupación conveniente de términos, por ejemplo, el 1º con el 4º, el 5º con el 2º y el 3º con el 6º. Entonces, 2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v = (2av2 – 3uv2) – (2au2 – 3u3) + (2auv – 3u2 v) , ( téngase en cuenta que al encerrar en el paréntesis, uno de los binomios agrupados, se deja un signo menos por fuera para que en interior todos los términos tomen distinto signo y sean iguales a los de los demás paréntesis; luego sacamos factor común de cada paréntesis. = v2 (2a – 3u) – u2 (2a – 3u) + u v (2a – 3u) (apareciendo un nuevo factor común) = (2a – 3u).(v2 – u2 + u v) Finalmente, tenemos 2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v = (2a – 3u) (v2 – u2 + u v) Nota: si al factorizar los grupos no se consigue un nuevo factor común, entonces, se agrupan de otra forma hasta lograrlo. Es de notar que el ejercicio anterior también puede realizarse agrupando los términos de 3 en 3

ACTIVIDAD # 2

Factorizar cada expresión por agrupación de términos. a) b) c) d) e) f) g)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P) Un trinomio es Cuadrado Perfecto si se tienen dos términos cuadrados y con el mismo signo un tercer término expresado como el doble producto de sus raíces. Para factorizarlo se organiza el trinomio en orden descendente respecto a una de las variables, se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio formado se eleva al cuadrado. x2 – 2xy + y2 = (x - y)2 Ejemplo: 2

2

9x – 36xy + 36y Como es un trinomio, la pregunta inmediata es: ¿Será un trinomio cuadrado perfecto? Se reconoce porque dos de sus términos son positivos y cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y el tercer término (positivo o negativo) es igual al doble producto de las raíces cuadradas de los dos primeros: 36xy = 2(3x) (6y). Entonces, el trinomio cuadrado perfecto se factoriza separando las raíces cuadradas por el signo del 2º término, se encierran entre paréntesis y se eleva al cuadrado. O sea, 9x2 – 36xy + 36y2 = (3x – 6y)2 ↓ ↓ 3x 6y 2(3x)(6y)

2

ACTIVIDAD # 3 1. Analizar cuáles de las siguientes expresiones son trinomios cuadrados perfectos y cuáles no. Factorice los que si lo sean. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

DIFERENCIA DE CUADRADOS Este caso se da cuando dos cuadrados perfectos se están restando; para factorizarlo se extrae la raíz cuadrada al minuendo y sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por su diferencia. a2 – b2 = (a + b) (a – b) Ejemplos: a. 9x2 – 4y4 Obsérvese que son dos cuadrados perfectos que se están restando, por lo tanto para factorizarlo, se saca la raíz cuadrada de cada uno de los términos y estas forman dos factores, uno con mas y uno con menos. Por lo tanto, 9x2 – 4y4 = (3x + 2y2) (3x – 2y2) ↓ ↓ 3x 2y2 b. (a + b – 1)2 – (a – b + 1)2 También se trata de una diferencia de cuadrados. Entonces, (a + b – 1)2 – (a – b + 1)2 = [(a + b – 1) + (a – b + 1)] [(a + b – 1) – (a – b + 1)] = [a + b – 1 + a – b + 1] [a + b – 1 – a + b – 1] = [2a] [2b – 2] = 2 a. 2 (b – 1) = 4 a (b – 1) (a + b – 1)2 – (a – b + 1)2 = 4 a (b – 1)

ACTIVIDAD # 4

Factorizar completamente cada expresión. a) b) c) d) e) f) g) h)

j) k) l) m) n) o) p) q) r)

i) TRINOMIO DE LA FORMA

x 2 + bx + c

Es un trinomio pero no cuadrado perfecto, sino de la forma x2 + bx + c Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x2, la cual se distribuye en cada uno de los paréntesis. Se coloca el signo del segundo término en el primer paréntesis y en el segundo, el producto de los signos del 2º y tercer término. Así: x 2 + bx + c = (x – p ) (x – q ), con p.q = c, p + c = b Ejemplos: x 2 – 7x + 12 = (x – ) (x – ) como los signos de los paréntesis quedan iguales, buscamos dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7. Estos son 4 y 3. Se coloca primero el mayor y en el segundo paréntesis, el menor. Entonces, x 2 – 7x + 12 = (x – 4 ) (x – 3)

3

ACTIVIDAD # 5 Factorizar, si es posible, cada trinomio. a) b) c) d) e) f)

g) h) i) j) k) l)

ax 2 + bx + c

TRINOMIO DE LA FORMA

Los trinomios de la forma ax2 + b x + c pueden factorizarse por varios métodos o procedimientos: llevándolo al forma de un trinomio de la x2 + b x + c ; por tanteo y aplicando la formula del bachiller. 1ª forma: Se multiplica y se divide por a el polinomio dado, de manera que el primer término quede expresado como un 2 cuadrado perfecto, o sea, (ax) ; en el segundo término se deja indicada la multiplicación, de manera, que se vea la raíz cuadrada del primero, o sea, (ax) y en el último término, se hace la multiplicación ordinaria; así obtenemos en el numerador un trinomio de la forma x 2 + bx + c, que finalmente debemos dividir por el mismo factor “a” por el que multiplicamos el polinomio inicialmente. Ejemplo: 3x2 – 5x – 2 (3x) 2  5(3x)  6 , luego factorizamos el Primero multiplicamos y dividimos el polinomio dado por 3, obteniendo 3 numerador 3x  . (3x  ) , para ello buscamos dos números que multiplicados den 6 y restados (porque tienen signos diferentes) den 5. Los números son 6 y 1; 3x  6

. (3x 

1 )

Luego se saca factor común donde sea posible, buscando simplificar o eliminar el 3 que esta como denominador asi: 3.x  2 . (3x  1 ) = x  2 . (3x  1 ) 3

ACTIVIDAD # 6

Factorizar

los

trinomios

de

la

forma

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j) k) l)

DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS PERFECTOS Este caso se da cuando dos cubos perfectos se están restando y se descompone o factoriza como el producto de dos factores: El primer factor es la diferencia de sus raíces cúbicas y el segundo factor se obtiene elevando al cuadrado la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

a 3  b 3  (a  b).(a 2  ab  b 2 )

a 3  b 3  (a  b).(a 2  ab  b 2 )

Ejemplos: a. 125 a3 + 8b3 Es una suma de cubos, ahora sacamos la raíz cúbica a cada término y luego formamos los factores: Por tanto, 125 a3 + 8b3 = (5a + 2b) [(5a)2 – (5a) (2b) + (2b)2] = (5a + 2b) (25a2 – 10a b + 4b2) b. (x – 1)3 – (1 – x)3 Se trata de una diferencia de dos cubos, por lo que se aplica la segunda expresión, (x – 1)3 – (1 – x)3 = [(x – 1) – (1 – x)] [(x – 1)2 + (x – 1) (1 – x) + (1 – x)2] desarrollando: = [x – 1 – 1 + x] [x2 – 2x + 1 + x – x2 – 1 + x + 1 – 2x + x2] Simplificando: = [2x – 2] [–2x + 2x + 1 – 2x + x2] factorizando y simplificando: = 2 (x – 1) (x2 – 2x + 1) = 2 (x – 1) (x – 1)2, X entonces,

4

(x – 1)3 – (1 – x)3 = 2 (x – 1)3

ACTIVIDAD # 7 Factorizar cada binomio. a) b) c) d) e)

g) h) i) j) k) l)

f)

REGLA DE RUFFINI En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a) Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”. Ejemplo: x4 + 6x3 + x2 - 24x + 16 El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16 16 tiene por divisor 1, 2, 3, 4, 8, 16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión. Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para los divisores de 16. Probamos con 2: 1 1

1 1

Si x4 + 6x3 + x2 - 24x + 16,

6 2 8

1 16 17

-24 34 10

16 20 36

2

6 -4 2

1 -8 -7

-24 28 4

16 -16 0

-4

NO

SI

Coeficientes resultantes (x3+2x2-7x+4) (x+4) Volvemos a dividir: 1 2 1 1 3

-7 3 -4

4 -4 0

(x2 + 3x - 4) (x - 1) (x + 4) (x + 4) (x - 1) (x - 1) (x + 4)

1 SI

x4 + 6x3 + x2 - 24x + 16

Sus coeficientes en orden son:

1. Bajas el primer cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso 2. Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes 3. Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso contrario busca otro divisor y vuelve a intentar 4. Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario En nuestro caso nos salió para -4 entonces el factor es (x+4) 5. El polinomio se factora entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial 2 tomando los coeficientes =resultantes. (x + 4) (x - 1)2

ACTIVIDAD # 8

5

19. 3a  7b x  3ax  7ab  20. 3x3 + 12x2 – 2x – 8 = 21. 2am  2an  2a  m  n 1 22. 3ax  2by  2bx  6a  3ay  4b 

I. Factorar o factorizar los siguientes polinomios:

2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

x3 + x2 = 2x4 + 4 x2 = a2b - ab2 = 6p2q + 24pq2 = 3 2 2 3 3 12x y - 48x y +24 x y = 2 2 9m n + 18 mn - 27mn = 7hkx2 + 21 hkx + 14hk = wx2y - 9wxy + 14wy =

9.

1 1 1 ma  mb  mc  4 4 4

27. x

10.

2 5 4 4 14 2 x  x  x  5 25 15

29. 30.

9.

2

2

23. a3  a  a 2 1 x 2  ax 2  24. 3a3  3a 2b  9ab2  a 2  ab  3b2  25. 2 x3  nx 2  2 xz 2  nz 2  3ny 2  6 xy 2  26. a 2 b3  n4  a 2b3 x 2  n4 x 2  3a 2b3 x  3n4 x  n 1

 ax n  bx  ab 

28. a p  2  xb  ab  xa p 1 

a 2  ab  ax  bx 

x 2  2 x 1  y2  4 y  4 

31. t 2 10t  25 

mn  n2  mx  nx  11. a 3  a 2  a 1 10.

32.

z 4  6z 2  9 

33.

x 2n  10 x n  25  y 2  2 yp  p 2  x 2 12 xy  36 y 2 

12. 13.

x3  4 x  x 2  4  ax  by  bx  ay 

34.

14.

2 x  3xy  4 x  6 y 

15.

n2 x  5a 2 y 2  n2 y 2  5a 2 x 

16.

2a 2 x  5a 2 y 15by  6bx 

17.

2 x 2 y  2 xz 2  y 2 z 2  xy 3 

36. 4 x 6  32 x 3 y 2  64 y 4  37. t 2  5t  25  4 38. x 8  8x 4  16 

35.

2

18. 3abx  2 y 2

2

39. z 4 n  z 2 n 

 2 x 2  3aby 2 

1  4

II. UBICAR EN CADA ESPACIO EL NÚMERO QUE HACE FALTA PARA QUE EL RESPECTIVO TRINOMIO SEA CUADRADO PERFECTO x 1 40. x 2  2 x  ____ 57. x 6  8 x 3  20   2 x2  48 = 73. 4 41. x 2  4 x  ____ 58. x 2  3x  2  74. 3x 2  5 x  2  2n n 42. x 2  3x  ____ 59. x  x  20  75. 2 x 2  5 x  2  43.

x 2  2 xy  ____

60.

44.

a 18ab  ____

x 2  35x 124 

61.

x2n  6 xn  7 

77.

3a 2  7a  6 

62.

x 2  27 x 180 

78.

10n 2  n  2 

2

2

45. 9 x  6 x  ____ 46. 9 x 2 18 xy  ____ 2

47. a 2  ______  25 48. a 2  ______  b2 49. m2  _____  4n2 50. z 2  _____ 16 51. ______  4a 1 52. ______  8xy  y 2 III. Factorar o factorizar: 53. x 2  3x  2 

64. x  34 x  552 

79. 7m  23m  6  80. 6 x 2  7 x  3 

65. x 16 xy  60 y 

81. 12m2 13m  35 

66. (5 x) 12 (5x)  45 

82.

67. x8  9 x 4  36 

83. 2 x 2 n  3x n  2 

x 2  5 x  84  2 69. x 18 x  32 

84.

2

2

2

68.

x  7 x  10 

55.

x 2  7 x  12 

71.

56.

x  5x  14 

72.

2

2

2

70.

4

2

63. x 4 13x 2  300 

54.

2

2

76. 2 x 2  11x  5 

16 x  22 x  2  3  tan2   2. tan  8 9 x  2.3 x  2  81 =

20 y 2  y 1 

3x 4 m  5 x 2 m  2 

85. 3x 2 n  7 x n  6  86. 15m2  m  6 

6

87. 6 x 2  5 x 1 

98.

92. 8 x  7 x  1  93. 16x2 - 25y2 = 94. 144 - x2y2 = 95. 36 - 25a2 = 96. 16m2n2 - 9p2 = 6

88. 6 x  39 x  21  2

89. 42 x 2 14 x  6 18 x  90. 28 x 2  51x 11  91. 40 x 2  51x  7 

3

1 2 25 2 m  b 4 9

99. x3 – 27 = 100. 125x3 + y3 = 101. 8y3 + 1 = 102. 64 – y3 =

97. 25x2 − 1= 106. 6 x 4  x 3  25x 2  4 x  4  107. 2 x 3  4 x  2 

102.  m  m 9

x 3  2x 2  x  2  109. x 3  3x 2  4 x  12  108.

6

103.

x 3  x 2 14 x  24 

104.

4 x  12 x  41x  99 x  10 x  24 

105.

x 3  4x 2  x  6 

5

4

3

2

110.

x 5  x 4  7 x 3  7 x 2  22 x  24 

111. 6 x 5  19 x 4  59 x 3  160 x 2  4 x  48  Recuerda “las únicas personas normales son las que uno no conoce bien” COMBINADOS

x  a  2 xy  y  2ab  b  2. ax  bx  b  a  by  ay  2 3. 20  x  x  3 2 2 3 4. x  6 x y 12 xy  8 y  1.

2

2

2

26 x  29 x  55  8n 4n 6. 7 x  44 x  35  5.

7.

6

3

2

2

a 5  a 3 1  a 2  2 2 9. 1  9 x  24 xy 16 y  8.

10.

a 2  x 2  b2  4  2ab  4 x 

11. a  x  2 x 1  2

12.

2

a 2  2am  m 2 1 

13. p 5  13 p 4  36 p 3 

10m 3  6m 2  4m  2 15. 24a b  6ab  45b  14.

2

3x18n  5 x9 n  2 

FACTORIZAR Y SIMPLIFICAR

x 3  4x 1. x 3  5x 2  6x 2.

b  b2 = a  ab

3.

14 x 5  7 x 4 y = 10 x 4 z  5 x 3 yz

4.

(a  b) 2  4ab = 2a  2b

5.

4a 3  4a  4a 2  4 = 4a 2  8a  4

6.

6x 2  3 = 42 x 5  9 x 3  15 x

“El SABIO SABE LO QUE IGNORA”

7