Interpretar, registrar, comunicar y comparar usando fracciones 4to. Grado Universidad de La Punta

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CONSIDERACIONES GENERALES El camino para el aprendizaje de las fracciones lo constituirán los problemas dados en los distintos contextos en que aparecen las fracciones: medida, reparto equitativo, trayectos, patrones, probabilidad, ganancias, recetas, áreas, etc. Serán las situaciones en contextos variados los que den oportunidad a los alumnos de reinventar estos números reconociendo su necesidad y significado. Los diferentes significados de las fracciones en sus contextos de uso que se priorizaran en 4to año serán: a. La fracción como expresión que vincula la parte con el todo (continuo o discontinuo) En este caso se la utiliza para indicar división en partes, respondiendo a la pregunta qué parte es del entero en cuestión. Se conviene que el denominador de la fracción indica el número de partes en que está dividido dicho entero y el numerador las partes consideradas. b. La fracción como reparto equitativo En este caso se analizan situaciones en donde la pregunta a responder es cuánto le corresponde a cada uno. Estas situaciones se diferencian de las de parte-todo en tanto intervienen unidades múltiples. Los problemas en que las fracciones expresan partes de un todo potencian la discusión sobre los fraccionamientos del todo, la forma y el número de las partes obtenidas, la relación con el número de cortes, la equivalencia de las partes, pero no colaboran para tratar las fracciones mayores o iguales a la unidad, porque en los hechos de la vida cotidiana nunca una “parte” supera al todo... es más, ni siquiera lo iguala. Las primeras instancias escolares de tratamiento de las fracciones otorgan a los problemas que aluden a partir un entero en partes iguales (más aun en el caso de “todos” continuos) un lugar particular, porque su abordaje ofrece la posibilidad de discutir sobre la importancia de que las “partes” sean iguales, no se superpongan y completen el todo, para que las expresiones del tipo a/b tengan sentido. Para avanzar en la construcción del sentido de las fracciones, se proponen problemas de reparto que pueden ser abordados por los niños a partir de sus conocimientos de división con números naturales. Los problemas de reparto obligan a seguir repartiendo el resto de la división entera y dan lugar a una diversidad de procedimientos a partir de los cuales se generan buenas condiciones para abordar el trabajo con fracciones. Esta diversidad plantea de entrada la necesidad de discutir acerca de la noción de equivalencia de las “partes” y puede constituirse en punto de apoyo para abordar otras cuestiones: la relación entre el tamaño de cada parte y el número de las partes; la relación entre los enteros que se reparten y el número de destinatarios, etc.

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ÍNDICE DE LA PROPUESTA Actividad 1: A Medir. Iniciar el trabajo con fracciones a partir de mediciones concretas para responde a diversas situaciones, lo que favorecerá la construcción de sentido de dichos números.

Actividad 2: De Compras. Continuar el trabajo con fracciones a partir de mediciones concretas.

Actividad 3: Saltando fracciones. Lograr establecer relaciones de tipo aditivas a través de un juego tipo “juego de la oca”.

Actividad 4: Plegando Cuadrados. Contextualizar la fracción como expresión que vincula la parte con el todo.

Actividad 5: A Repartir. Trabajar con situaciones de reparto, en donde el objeto a dividir no siempre se puede partir.

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Actividad 1: A Medir. MATERIALES Botellas de ½ litros, 1 litro, 1½ litros, 2 litro y 2¼ litros. Vasos de ¼ litro. Un rollo de piolín. Tijera. Una regla de 1 metro. ORGANIZACIÓN En grupos de 3 o 4 alumnos. DESARROLLO Con las botellas: 1 · Con una botella de 1 litro con agua llena cuatro vasos. - Te sobró agua en la botella. - ¿Qué cantidad de agua tiene cada vaso, con respecto a la botella? 2 · Llena seis vasos de agua, ¿qué botella te conviene usar para vaciar los vasos, de tal manera que quede llena? ¿Por qué? 3 · ¿Cuántos vasos necesitaras para vaciar una botella de 2 ¼ litros? Comprobálo Con el piolín: 4 · Corta 1 metro de piolín, luego cortálo nuevamente a la mitad. En cuantas partes quedó dividido el piolín. ¿Cuánto mide cada trozo con respecto al metro? ¿Cómo lo puedes expresar? 5 · Ahora, cada parte obtenida dividila a su vez en mitades. Cuántos trozos del metro tienes. ¿Cuánto mide cada uno de los trozos obtenidos con respecto al metro? ¿Cómo lo puedes expresar? ACTIVIDADES DE CIERRE 1 · Marcela dice que para vaciar una botella de gaseosa de 2 ¼ litros necesita 5 vasos de ¼ litro. Lisandro en cambio dice que se necesitan 10 vasos. A. ¿Quién de los dos tiene razón? B. ¿Cómo lo habrá pensado cada uno? 2 · Se necesita trasvasar (pasar de una botella a otra) lavandina de una botella de 2 litros a botellas de ½ litro. ¿Cuántas botellas se necesitan? ¿Cómo lo resolviste? 3 · Luis necesita vaciar una botella de coca cola de 2 ¼ litros y tiene vasos de ½ y de ¼ litro. A. ¿Cuántos necesitará de cada uno?

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B. ¿Es única la respuesta anterior? C. ¿Cuál será la forma de utilizar menos botellas? 4 · Josefina tomó durante la mañana 3 vasos de 1/4 litro de jugo y Fabián 2 botellitas de 1/2 litro. ¿Quién tomó más? 5 · Se tiene un piolín de 5 metros de largo. ¿Cuántos trozos de ½ metro puedo cortar? 6 · Se tiene un piolín de 3 metros y medio de largo. ¿Cuántos trozos de ¼ metro puedo cortar? 7 · Carla dice que de 3 metros de piolín se pueden obtener 3 trozos de ½ metro y 6 trozos de ¼ metro. ¿Tendrá razón Carla? ¿Por qué? 8 · José tiene 5 trozos de ¼ metro y 3 trozos de ½ metro de piolín. Fernando tiene 6 trozos ¼ metro y 2 trozos de ½ metro de piolín. ¿Quién de los dos tiene más metros de piolín? Justificá tu respuesta.

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Actividad 2: De Compras. ACTIVIDAD 3 kg de yerba. En las góndolas del 4 1 1 1 supermercado sólo quedan de kg, kg y una promoción con paquetes de 2 3 4

1 · La mamá de Luis necesita comprar 2

kg. -

¿Qué paquetes puede comprar?

-

¿Hay una sola posibilidad?

-

Si quiere llevar la menor cantidad posible de paquetes, ¿cuáles debe elegir?

-

¿Pueden formarse 2

1 3 de yerba utilizando sólo envases de kg? 3 4

2 · Para reflexionar: -

¿Cuántos medios se necesitan para formar un entero?

-

¿Cuántos tercios se necesitan para formar un entero?

-

¿Cuántos sextos se necesitan para formar un tercio? ¿Y un medio?

-

¿Puedo formar un entero usando quintos?

-

¿Puedo formar un medio usando quintos?

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Actividad 3: Saltando fracciones. MATERIALES Una pista numerada como la del juego de la Oca pero saltando de ¼ en ¼ comenzando en cero hasta el cinco, fichas de colores y un dado cuyas caras deberán ser de la siguiente manera:

ORGANIZACIÓN Equipos de 4 alumnos. REGLAS DEL JUEGO Cada alumno deberá tener una ficha de color. Cada uno a su turno tira el dado y con su ficha avanza tantas casillas como indica el dado. Gana el primero que llega a la meta. VARIANTE Con los mismos materiales, el alumno tira el dado y antes de mover debe decir en qué número caerá su ficha. Luego avanzando sobre el tablero, comprueba si su anticipación fue correcta. En este caso avanza hasta el casillero en cuestión. Si su respuesta fue errónea se queda en el lugar en donde está. Se podrá ir introduciendo, luego de algunas veces de haber jugado, una limitación del tiempo para decir a qué número va, promoviendo el pasaje de la estrategia utilizada a otra más eficaz. Otra variante sería que en lugar de utilizar un dado se utilicen dos dados por grupo. La diferencia está en que el jugador tira dos dados, y elige cuál de los puntajes le conviene para avanzar con su ficha. También se podría dejar vacios varios casilleros y el jugador que caiga en alguno de ellos deberá completarlo con el número correspondiente. En caso de no lograr escribirlo correctamente podrá perder el turno o cumplir con alguna otra sanción. ACTIVIDAD DE CIERRE

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En distintas clases, a continuación del juego, el docente podrá optar por realizar discusiones colectivas alrededor de situaciones como las que se presentan a continuación. 1 · La ficha de Marcia está en el casillero 1 ½, si saca ¾, ¿En qué casillero “caerá” su ficha? 2 · La ficha de Luciana está en el casillero 3 ½, luego de tirar el dado movió su ficha al casillero 4 ¼, ¿qué número pudo haber sacado con su dado? 3 · Juan y Luís están empatados! Sus fichas esta en el casillero 2 ¾. Juan tira y saca ¾ y está muy contento con el tiro que realizó. -

¿Por qué Juan está tan feliz?

-

¿Podrá Luis, con su tiro, superar a Juan? ¿Por qué?

4 · Desde el inicio del juego Elías ha lanzado el dado en tres oportunidades obteniendo en cada uno de los tiro: ¼, ¾ y ¼ ¿en qué casillero se encuentra su ficha? 5 · Luego de tres vueltas de tirar el dado Marcela y Karina han obtenido los siguiente puntos en cada una de sus tiradas: Marcela: ½, ¾ y ¼

Karina: ¾, ½ y ¼.

Hasta este momento, ¿Quién va ganando? 6 · Si la ficha de un jugador está en el 4 ¼, ¿Qué deberá sacar al tirar el dado para ganar? Nota:  El haber jugado no implica necesariamente que el alumno pueda responder en forma inmediata a estos interrogantes, deberá cada uno generar estrategias que permitan resolver las situaciones planteadas.

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Actividad 4: Plegando el Cuadrado. MATERIALES Cada grupo dispone de 30 cuadrados blancos, iguales, de 10 cm x 10 cm, aproximadamente (también se puede utilizar papeles glasé) y tres sobres por grupo. ORGANIZACIÓN En grupos de 3 o 4 alumnos. DESARROLLO 1 · Plegá de diferentes formas cada papel para dividirlo en dos partes iguales y en cuatro partes iguales, y que indiquen las marcas correspondientes al plegado. - ¿Cómo realizaron los pliegues? - En todos los casos, ¿la cantidad de pliegues es la misma? 2 · Tomá otro cuadrado y dividilo en 8 partes de diferentes maneras. - ¿Con cuántos pliegues se puede hacer? - ¿Cuál es la menor cantidad de pliegues que se necesitan para hacerlo? 3 · Hacé dos cuadrados iguales de cada uno de los modelos que hayan encontrado y guardar en un sobre todos los papeles plegados en igual número de partes, etiquetando los sobres con expresiones que permitan identificar su contenido. 4 · Pintá 1/4 de uno de los cuadrados. ¿Es posible sacar un cuadrado de cualquier sobre para pintar sin tener que hacer nuevos pliegues? ¿Cómo? - Ahora hay que pintar la mitad de uno de los cuadrados. ¿De qué sobre conviene sacar el cuadrado? ¿Por qué? 1 3 en un cuadrado y de otro, ¿puedo sacar los cuadrados del 4 2 mismo sobre? ¿Por qué?

5 · Si quiero pintar

6 · Discutan cómo dividir los cuadrados para poder sombrear. 1 en 4

1 en 8

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7 · En cada caso busca distintas expresiones fraccionarias que representen la parte sombreada y la parte sin sombrear.

ACTIVIDADES DE CIERRE 1 · Analizá las siguientes afirmaciones y determinar si son verdaderas o falsas. Si son falsas, decir por qué. A. La mitad y la cuarta parte de un cuadrado siempre tienen la misma forma. B. Dos medios o cuatro cuartos es todo el cuadrado, porque sombreo todas las partes en las que está dividido. C. Si tomo una parte de dos, es un medio; si tomo dos partes de cuatro, también es un medio; si tomo la mitad de las partes en las que está dividido el cuadrado, es 1 2 3 4 un medio;    son diferentes formas de escribir la mitad. 2 4 6 8 D. Cuantas más son las partes iguales en que se divide el cuadrado, las partes son más grandes. E. Una misma parte sombreada siempre se expresar de una única manera. F. Una fracción la puedo representar sombreando de diferentes maneras. 1 1 1 G. La mitad de un medio es un cuarto, ( de es ) y la mitad de un cuarto es un 2 2 4 1 1 1 octavo, ( de es ). 2 4 8 2 · Analizá la siguiente situación:

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Tres cuartos es lo mismo que un cuarto y un cuarto y un cuarto

3 1 1 1    4 4 4 4

Tres cuartos es lo mismo que

un medio y un cuarto 3 1 1   4 2 4

¿Quién de los dos tiene razón? ¿Por qué? 3 · En cada una de las siguientes figuras hay una parte sombreada. Indicá en 1 cuáles la parte sombreada no representa del dibujo y explicá por qué. 3

4 · Cada una de las siguientes figuras representa

1 de otra. Dibujá en cada caso 4

la figura entera de dos maneras diferentes.

5 · De una tableta de chocolate de 6 trozos iguales, Juan comió 4. ¿Qué parte del chocolate comió Juan?

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6 · Carlitos fue con sus amigos a una pizzería. La pizza que les sirvieron estaba cortada en 8 porciones iguales. Si Carlitos comió 2 porciones, ¿qué parte de la pizza comió? Lionel dice que comió ¼ de la pizza, ¿comió más o menos que Carlitos? Justifica. 7 · De una bolsa con 15 caramelos, Diego saco 6. -

¿Qué fracción de caramelos saco Diego de la bolsa?

-

¿Qué fracción de caramelos quedaron en la bolsa?

8 · Observa las siguientes pelotas de tenis:

-

¿Cuántas pelotas hay en total? ¿Y de cada color?

-

¿Qué fracción de pelotas son blancas? ¿Y verdes?

Nota: Al desarrollar la secuencia, es conveniente que tengamos en cuenta que:  los alumnos trabajen grupalmente en la actividad inicial y en las actividades de cierre en forma individual, y que realicen puestas en común con el grupo total;  las consignas se pueden plantear en forma oral y, a la vez, escribir en la pizarra, variando la forma de referirnos a las fracciones (tres cuartos, tres de las cuatro partes, las tres cuartas partes, 3/4…);  los alumnos pueden hacerse cargo de decidir y justificar la validez de las respuestas, ya sea en forma empírica (plegando, realizando las marcas efectivamente) o mediante argumentos, por ejemplo, cuando un niño dice: Para sombrear los tres cuartos de un rectángulo, tendría que dividirlo en dos y volver a dividirlo por la mitad porque así formo cuartos, dos cuartos para cada mitad, y no necesita hacerlo efectivamente para aceptarlo como cierto;  las equivalencias y las diferentes relaciones que se van definiendo pueden registrarse en afiches y en la carpeta o en el cuaderno, a fin de ir conformando el repertorio numérico “tratado por la clase”.

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Actividad 5: A Repartir. ACTIVIDAD 1 · Se reparten 13 globos entre 4 niños. Todos reciben la misma cantidad. -

¿Cuántos globos le tocan a cada uno?

-

¿Sobran? ¿Cuántos?

2 · Se reparten 16 libros entre los 28 alumnos de la clase, de tal forma que los grupos tengan la misma cantidad de integrantes. -

¿Cuántos alumnos forman cada uno de los grupos?

-

¿Sobran libros? ¿Cuántos?

3 · El día lunes, en la escuela compramos 18 turrones para compartir entre todos los compañeros de mi clase, en total éramos 28. Lo repartimos de tal manera para que todos comiéramos lo mismo. ¿Cuánto comió cada uno nosotros? Expresalo en fracción. El día martes, hicimos lo mismo pero falta un compañero. ¿Cuánto comió cada uno? 4 · Juan reparte 4 chocolates entre 5 chicos para que todos coman igual. ¿Cuánto come cada niño? ¿Comerían lo mismo si fuesen 4 niños y 5 chocolates para repartir? ¿Por qué? 5 · Ocho amigos quieren repartir 5 alfajores y que cada uno coma lo mismo. Martina dice:

Pero Rulita opina que: Cada uno debe recibir

NO!!! A Cada uno le toca

1 1 1 , y 4 4 8

1 1 y 2 8

¿Quién de las dos tiene razón? ¿Cómo te diste cuenta? 6 · ¿Cómo pueden 6 chicos compartir 5 barras de cereales? Encontrá tantas maneras diferentes de distribución como te sea posible. 7 · Luisa tiene tres pastafrolas iguales para repartir entre sus cuatro hijos. Miriam tiene cuatro pastafrolas iguales a las de Luisa para repartir entre sus cinco hijos. -

¿Comen más los hijos de Luisa o los de Miriam?

-

Si las pastafrolas de Miriam no son iguales que las de Luisa, ¿Qué podrías decir?

8 · El sábado 3 amigos fueron a una pizzería.

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Uno de ellos, Juan, le preguntó al mozo: “en cuantas porciones iguales viene cortada la pizza”. El mozo le contesto: “en 6 porciones”. Para saber cuántas pizzas pedir cada uno de los amigos debía decir cuántas porciones iba a comer, pero en fracción. Así cada uno dijo: Juan: “voy a comer un medio de la pizza” Pedro: “tengo mucho hambre, voy a comer cuatro sextos” Luis: “recién comí un alfajor, con un dos sextos voy a estar satisfecho” -

¿Cuántas pizzas pidieron los tres amigos?

-

¿Les sobro? Si es sí, ¿qué fracción?

Notas: La puesta en común de los procedimientos realizados para la resolución de las actividades anteriores debieran ser la oportunidad para promover el debate sobre:  las representaciones utilizadas (forma circular, cuadrada de las tortas) en relación con las ventajas y dificultades derivadas para “cortar” en trozos y también para comparar las cantidades;  las escrituras producidas a partir de la pregunta ¿cuánto come? y la relación de las mismas con la representación que la generó. La confrontación de las respuestas debiera dar la posibilidad de establecer la equivalencia entre ½ + ¼ y ¾; y entre ¼ + ¼ + ¼ y ¾.  las equivalencias o relaciones obtenidas pueden quedar registradas en los cuadernos y en un afiche colectivo en el que se irá agregando información a medida que se obtengan otras equivalencias o relaciones;  las estrategias utilizadas para comparar y la variedad de respuestas contradictorias dadas al problema constituyen una excelente posibilidad para discutir sobre el procedimiento más fiable. Al presentar problemas que involucran tanto particiones como repartos es necesario tener en cuenta los números que se eligen y las representaciones que se ponen en juego.

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