Capítulo 3

Introducción a la Probabilidad Para extender los resultados del estudio descriptivo de las variables estadísticas a poblaciones que no se observan completamente, es necesario utilizar la idea de modelo probabilístico. En esta parte, se introduce, en primer lugar, la noción de probabilidad como idealización del concepto de frecuencia relativa. A continuación se presenta la probabilidad condicionada y la definición de independencia. El concepto básico para la construcción de modelos probabilísticos es el de variable aleatoria; el estudio que aquí se realiza es paralelo al que se ha hecho en la primera parte con las variables estadísticas, considerándose su distribución de probabilidad, su media (o valor esperado), varianza, etc. Esta parte finaliza con el estudio de algunas distribuciones de probabilidad bien conocidas.

3.1.

Experimentos aleatorios. Sucesos.

Hay que distinguir entre dos tipos de experimentos o fenómenos: aleatorios y determinísticos. Los fenómenos determinísticos son los que obedecen a una relación causa-efecto y al variar poco las causas varía poco el efecto. Por ejemplo, al disparar un proyectil con el mismo ángulo de elevación y las mismas condiciones siempre describe la misma parábola. Los fenómenos aleatorios se caracterizan porque al repetirse en condiciones análogas presentan resultados impredecibles de antemano. Por ejemplo, un experimento consistente en medir la corriente que circula por un alambre de cobre. Al repetir varias veces la medición durante varios días, los resultados que se obtienen podrían diferir un poco debido a pequeñas variaciones en las variables que 49

50

Capítulo 3. Introducción a la Probabilidad

no están controladas en el experimento, como cambios en la temperatura del ambiente, ligeras variaciones en el instrumento de medida, etc., además de las propias variaciones en la fuente de corriente. En ocasiones, las variaciones aleatorias son pequeñas en relación a los objetivos del experimento y podrían despreciarse, en otras son de importancia y hay que analizarlas, si no las conclusiones obtenidas podrían no ser válidas. El objetivo del Cálculo de Probabilidades es el estudio de métodos de análisis del comportamiento de fenómenos aleatorios. El primer paso para estudiar un experimento aleatorio es registrar todos sus posibles resultados. Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se le llama espacio muestral y lo denotamos por Ω. Puede estar formado por un número finito o infinito de valores. Ejemplo 3.1: - Lanzamiento de un dado, Ω = {1, 2, ..., 6}, - Medición del tiempo de vida de un componente elétrico: Ω = R+ Un evento o suceso es un conjunto de resultados del espacio muestral. Si está formado por un único elemento se dice elemental. Los denotaremos con letras, A, B, C, etc. Ejemplo 3.2: - A=En el lanzamiento del dado se obtiene un número par ={2,4,6} - B=En un lote de 3 piezas hay al menos una defectuosa={(def,no def, no def), (no def, def, no def), (no def, no def, def), (def, def, no def), (def, no def, def), (no def, def, def), (def, def, def)}. Si el suceso contiene todos los resultados del espacio muestral se dice suceso seguro, ya que ocurre siempre. Si no contiene ningún resultado del espacio muestral se dice suceso imposible o nulo. Lo denotamos por ∅. Dados dos sucesos A y B, podemos realizar las siguientes operaciones: Suceso A ∪ B : está formado por la unión de resultados de A y B. Ocurre si ocurre A o B (o ambos). Suceso A ∩ B : está formado por los resultados comunes de A y B. Ocurre siempre que ocurran A y B simultáneamente.

51

3.1. Experimentos aleatorios. Sucesos.

A y B son incompatibles, mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir simultáneamente, A ∩ B = ∅. Si cualquier resultado de A es también resultado de B, entonces A está contenido en B, A ⊂ B. −

−

A es el suceso complementario de A si ocurre siempre que no ocurre A, A = Ω − A, −

A ∩ A = ∅. −

−

−

−

−

−

Leyes de Morgan: A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B. Ejemplo 3.3: Consideremos el siguiente sistema:

2 1 3

Figura 3.1: LLamamos F =La componente funciona. Analizamos cada una de las componentes. El espacio muestral es: −

−

− −

−

−

−

− −

− − −

Ω = {(F, F, F ), (F, F, F ), (F, F , F ), (F, F , F ), (F , F, F ), (F , F, F ), (F , F , F ), (F , F , F )}. −

−

− −

- A = La primera componente funciona={(F, F, F ), (F, F, F ), (F, F , F ), (F, F , F )} −

−

−

−

- B = La segunda componente funciona={(F, F, F ), (F, F, F ), (F , F, F ), (F , F, F )} −

−

− −

- C = La tercera componente funciona={(F, F, F ), (F, F , F ), (F , F, F ), (F , F , F )}

El sistema funciona si funciona A y B o C, por lo tanto, −

−

- D = El sistema funciona=A ∩ (B ∪ C) ={(F, F, F ), (F, F, F ), (F, F , F )}. Delia Montoro Cazorla.

Dpto.

de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

52

Capítulo 3. Introducción a la Probabilidad

3.2.

Interpretaciones de la probabilidad

3.2.1.

Definición clásica

Sea Ω un espacio muestral finito con n elementos. La probabilidad de cada elemento es la 1 misma, igual a (espacio equiprobable). Se define la probabilidad de un suceso A como: n P (A) =

Número de casos favorables a A (en Ω) Número de casos posibles

3 1 = , ya 6 2 que la probabilidad de obtener cada uno de los resultados es la misma e igual a 1/6. Por ejemplo, la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un no par es

En general, la probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de sus elementos. Si el espacio muestral es equiprobable, la expresión es la dada anteriormente.

3.2.2.

Definición frecuentista

Si un experimento se repite n veces y nA resultados son favorables a un suceso A, el límite cuando n es suficientemente grande (n− > ∞) se toma como probabilidad de A. Esta definición relaciona probabilidad con frecuencia relativa. nA n−>∞ n

P (A) = l´ım

Por ejemplo, si lanzamos una moneda 5 veces y en esas 5 veces se obtienen 4 caras, no podemos decir que la probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento es 4/5. Sin embargo, si lanzamos la moneda un número de veces suficientemente grande los resultados se van estabilizando,

3.2.3.

28 50 60 , ..., 100 −

> 12 .

Definición axiomática (Kolmogorov)

Se llama función de probabilidad a una aplicación P :

tal que: (i) P (A) ≥ 0, ∀A ⊂ Ω

Ω

−→

R

A

−→

P (A)

53

3.2. Interpretaciones de la probabilidad

(ii) P (Ω) = 1 (iii) Para toda sucesión de sucesos disjuntos dos a dos, {A1 , A2, ...} tales que Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j, entonces P

̰ [

Ai

i=1

!

=

∞ X

P (Ai )

i=1

En consecuencia se obtienen las propiedades de la probabilidad: (i) P (∅) = 0 −

(ii) P (A) = 1 − P (A) (iii) 0 ≤ P (A) ≤ 1 (iv) Si A ⊂ B, P (A) ≤ P (B) (v) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Ejemplo 3.4: Los resultados obtenidos de 266 muestras de aire se clasifican según la presencia o no de dos moléculas raras. En 212 muestras de aire no hay ninguna de esas moléculas, en 24 sólo está presente la molécula 1, en 18 sólo la molécula 2, y en 12 están presentes las dos simultáneamente. Definimos los siguientes sucesos: A = En la muestra está presente la molécula 1 B = En la muestra está presente la molécula 2 Los datos tabulados son:

B −

B

−

A

A

12

18

30

24

212

236

36

230

266

Calculamos las siguientes probabilidades: - Probabilidad de encontrar en una muestra la molécula 1 P (A) = Delia Montoro Cazorla.

Dpto.

36 = 0,1353 266

de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

54

Capítulo 3. Introducción a la Probabilidad

- Probabilidad de encontrar en una muestra la molécula 2 P (B) =

30 = 0,1127 266

- Probabilidad de que una muestra presente las dos moléculas P (A ∩ B) =

12 = 0,0451 266

- Probabilidad de que una muestra presente alguna de las moléculas P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0,2029 - Probabilidad de que ninguna de las moléculas esté presente −

−

P (A ∩ B) =

− 212 = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 0,7971 266

- Probabilidad de que sólo esté presente la molécula 1 −

P (A ∩ B) =

24 = 0,0902 266

- Probabilidad de que sólo esté presente la molécula 2 −

P (B ∩ A) =

28 = 0,067 266

Se observa que efectivamente las moléculas rara vez aparecen, pero cuando aparecen suelen hacerlo juntas.

3.3.

Probabilidad condicionada

Hasta ahora hemos visto el concepto de probabilidad partiendo de que la única información que tenemos sobre el experimento es el espacio muestral. Sin embargo, en ocasiones se conoce que un determinado suceso ha ocurrido. ¿Modificará esta información adicional la probabilidad de que ocurra otro suceso?. Veremos que generalmente sí. En el ejemplo anterior hemos observado que la probabilidad de que en una muestra de aire aparezca alguna de las moléculas es pequeña, 0.20, y que de aparecer, suelen aparecer juntas (ver las últimas dos probabilidades). Por lo tanto, en este caso, el conocimiento de que una de

55

3.4. Independencia de sucesos

las moléculas está presente en la muestra aumenta de manera muy marcada la probabilidad de que la otra lo esté. En concreto, la probabilidad de que aparezca la molécula 1 en una muestra es P (A) = 0,1353, y la probabilidad de que aparezca tal molécula en una muestra en la que 12 hemos detectado la presencia de la molécula 2 es P (A/B) = = 0,4. Definimos a continuación 30 formalmente la probabilidad condicionada. - Probabilidad de A condicionada a B, P (A/B): probabilidad de que ocurra A si ha ocurrido B P (A/B) =

P (A ∩ B) , P (B) 6= 0 P (B)

- Probabilidad de B condicionada a A, P (B/A) : probabilidad de que ocurra B si ha ocurrido A P (B/A) =

P (A ∩ B) , P (A) 6= 0 P (A)

Si despejamos en ambas se obtiene que: P (A ∩ B) = P (A)P (B/A) = P (B)P (A/B) A esta expresión se le conoce como regla de la multiplicación, que en general para un número k de sucesos viene dada por: P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ak ) = P (A1 )P (A2 /A1 )....P (Ak /A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ak−1 ) Ejemplo 3.5: Una urna contiene tres bolas negras y tres rojas. Si extraemos tres bolas sin reemplazamiento (no se devuelven a la urna), la probabilidad de que las tres sean rojas es igual a: P (R1 , R2 , R3 ) = P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) = P (R1 )P (R2 /R1 )P (R3 /R1 ∩ R2 ) = 321 = 654

3.4.

Independencia de sucesos

Sean A y B dos sucesos del espacio muestral. El suceso A se dice independiente del suceso B si el conocimiento de la ocurrencia de B no modifica la probabilidad de aparición de A, es decir, si P (A/B) = P (A) Delia Montoro Cazorla.

Dpto.

de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

56

Capítulo 3. Introducción a la Probabilidad

En consecuencia, P (A ∩ B) = P (B)P (A/B) = P (B)P (A) y P (B/A) =

P (B)P (A) = P (B), P (A)

por lo que también B es independiente de A. Diremos entonces que A y B son sucesos independientes. Ejemplo 3.6: Consideremos un sistema en serie formado por n componentes que funcionan de manera independiente. Si llamamos P (Ai ) probabilidad de que la componente i funcione, i = 1, ..., n, la probabilidad de que el sistema funcione, P (S), viene dada por P (S) = P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) =

n Y

P (Ai )

i=1

Si el sistema está en paralelo, −

−

−

P (S) = P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = 1 − P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) n Y = 1− (1 − P (Ai )) i=1

Ejemplo 3.7: Una urna contiene tres bolas negras y tres rojas. Si extraemos tres bolas con reemplazamiento (se devuelven a la urna), la probabilidad de que las tres sean rojas es igual a: P (R1 , R2 , R3 ) = P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) = P (R1 )P (R2 /R1 )P (R3 /R1 ∩ R2 ) = 333 = P (R1 )P (R2 )P (R3 ) = 666

3.5.

Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

Sean B1 , B2 , ..., Bn sucesos tales que: (i) Bi ∩ Bj = ∅ ∀i 6= j (disjuntos dos a dos), (ii) Ω =

n [

Bi ,

i=1

(iii) P (Bi ) 6= 0 ∀i,

3.5. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

57

y sea A otro suceso de Ω para el que se conocen las probabilidades P (A/Bi ), i = 1, ..., n. Entonces, n X

P (A) =

P (A/Bi )P (Bi ),

i=1

P (A ∩ Bi ) P (A/Bi )P (Bi ) , i = 1, ..., n = Pn P (A) i=1 P (A/Bi )P (Bi )

P (Bi /A) =

La primera fórmula constituye el teorema de la probabilidad total y la segunda el de Bayes. Ejemplo 3.8: Una empresa dispone de tres fábricas, A, B, y C para producir un cierto artículo. La fábrica A produce el 30 % de la cantidad total, la fábrica B produce otro 30 %, y la fábrica C el 40 % restante. Se sabe que el 2 % de la producción de A, el 3 % de la de B y el 5 % de la de C es defectuosa. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo producido sea defectuoso?. Si llamamos: A =Artículo producido en la fábrica A, B =Artículo producido en la fábrica B, C =Artículo producido en la fábrica C, D =Artículo defectuoso, P (D) = P (D/A)P (A) + P (D/B)P (B) + P (D/C)P (C) = 0,02 ∗ 0,3 + 0,03 ∗ 0,3 + 0,05 ∗ 0,4 = 0,035, es decir, un 3.5 % de la producción es defectuosa. (b) Si al hacer un control de la calidad se detecta un artículo defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de cada una de las fábricas?. P (A/D) = =

P (D/A)P (A) P (A ∩ D) = P (D) P (D/A)P (A) + P (D/B)P (B) + P (D/C)P (C) 0,02 ∗ 0,3 = 0,17 0,035

0,03 ∗ 0,3 P (B ∩ D) = = 0,26 P (D) 0,035 0,05 ∗ 0,4 P (C ∩ D) = = 0,57 P (C/D) = P (D) 0,035 El 17 % de los artículos defectuosos han sido fabricados por A, el 26 % por B, y el 57 % P (B/D) =

restante por C. Delia Montoro Cazorla.

Dpto.

de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

58

Capítulo 3. Introducción a la Probabilidad

3.6.

Ejercicios

1. Sean A, B y C sucesos de un espacio muestral. Encontrar las expresiones de: a) Sólamente ocurre A. b) Ocurren A y B pero no C. c) Los tres sucesos ocurren. d) Ocurre por lo menos uno. e) No ocurre ninguno. 2. Consideremos dos sucesos A y B, con P (A) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,7. Calcula: a) P (B), suponiendo que A y B son independientes. b) P (B), suponiendo que A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes. c) P (B), sabiendo que P (A/B) = 0,5. 3. En un laboratorio se diseña un test para detectar la presencia de una bacteria en el agua. Para probar el test, se considera un gran número de probetas con agua, que pueden contener o no la bacteria. La probabilidad de que una probeta escogida al azar contenga la bacteria es de 0.2. Por otra parte, si una probeta contiene la bacteria, el test da positivo en el 90 % de los casos. En cambio, si una probeta no contiene la bacteria, el test da positivo en el 5 % de los casos. a) Traducir los datos del enunciado, introduciendo los sucesos convenientes. b) Al escoger al azar una probeta, ¿cuál es la probabilidad de que de positivo en el test?. ¿Y negativo?. c) Si una probeta ha dado positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que contenga la bacteria?. d) Entre las probetas que han dado negativo en el test, ¿cuál es la proporción de probetas que tienen la bacteria?. e) Decidir si el test es apropiado o no para la detección de la bacteria.

59

3.6. Ejercicios

4. El siguiente circuito trabaja sí y sólo sí existe una trayectoria en el funcionamiento de izquierda a derecha. En el dibujo se indica la probabilidad de que cada dispositivo funcione. Si suponemos que la probabilidad de que un dispositivo funcione no depende del funcionamiento de los demás (independientes), a) Determina el espacio muestral asociado al experimento consistente en analizar el funcionamiento de los cuatros dispositivos (funcionan o no funcionan). b) Calcula la probabilidad de que el circuito funcione.

0.85

0.85

0.85

0.85

5. Una cervecería utiliza dos máquinas embotelladoras, pero no operan simultáneamente. La segunda máquina solo opera cuando la primera deja de funcionar durante las horas de trabajo. La probabilidad de que la primera máquina deje de operar es de 0.20. Si la primera máquina deja de funcionar entra en funcionamiento la segunda y tiene una probabilidad de fallar de 0.30. ¿Qué probabilidad hay de que el sistema embotellador de la cervecería no esté disponible durante las horas de trabajo?. 6. 5 líneas de producción en una fábrica producen un fusible electrónico. Los fusibles se envían a los distribuidores en lotes de 100 unidades. Los compradores realizan un control de calidad sobre el producto que reciben, inspeccionando un número pequeño de fusibles por lote antes de decidir si aceptan o rechazan la totalidad de los lotes recibidos. Las 5 líneas de producción producen fusibles a la misma velocidad y normalmente con un porcentaje de defectuosos del 2 %, que se distribuyen aleatoriamente en el proceso de producción. Desafortunadamente, el mes pasado la línea 1 sufrió un fallo mecánico y produjo un 5 % de defectuosos, pero el gerente se enteró después de haber enviado a los distribuidores lotes de fusibles. Un cliente adquirió un lote producido ese mes, probó 3 fusibles del lote y vio que uno de ellos era defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote que compró no haya salido de la línea 1?. 7. Una pieza producida en una empresa puede tener dos tipos de defectos, A y B. El 8 % de la producción presenta el defecto A, el 5 % de la producción presenta el defecto B, Delia Montoro Cazorla.

Dpto.

de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

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Capítulo 3. Introducción a la Probabilidad

y se supone que no hay piezas que presenten ambos tipos de defecto. Después de ser producida cada pieza es sometida de manera automática a un test de ruptura, con las siguientes posibilidades: si la pieza tiene el defecto tipo A, tiene una probabilidad 0.9 de romperse, si la pieza tiene el defecto tipo B, tiene una probabilidad 0.95 de romperse, y si no presenta ningún tipo de defecto, tiene una probabilidad 0.01 de romperse. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza escogida al azar en la producción se rompa durante el test?. b) Si una pieza se ha roto durante el test, ¿cuál es la probabilidad de que no fuese defectuosa?. 8. Con objeto de apreciar la eficiencia de dos inspectores de control, A y B, se les encomendó la verificación de un lote de artículos que contenía exactamente un 6 % de defectuosos. El inspector A afirmó que el 8 % de los artículos del lole eran defectuosos, mientras que el inspector B afirmó que sólo eran defectuosos un 5 %. El 4 % de los artículos fueron identificados como defectuosos por A, y sólo el 3 % por B, siendo realmente defectuosos. El 2 % fueron indicados como defectuosos tanto por A como por B. El 1 % fueron indicados como defectuosos por A y por B siendo realmente defectuosos. ¿Qúe tanto por ciento de los artículos son realmente defectuosos y no fueron detectados como tales por ambos inspectores?. 9. Un trasnochador dispone de un llavero con tres llaves totalmente indistinguibles en la oscuridad, de las cuales sólo una abre la puerta de su casa. Para dar con la llave en cuestión, suele seguir uno de los siguientes métodos: - M.1: Prueba una llave, y si no sirve, agita el llavero y prueba otra vez, con lo cual corre el riesgo de volverla a usar. - M.2: Prueba las llaves una tras otra teniendo cuidado de no usar la misma llave. a. ¿Cuál es la probabilidad de que abra al tercer intento si usa el segundo método?. b. Se sabe además que el trasnochador utiliza el método 1 cuando vuelve a casa después de haber bebido en exceso (lo cual ocurre uno de cada tres días) y el método 2 cuando vuelve sobrio. Si se sabe que en los dos primeros intentos ha fracasado, ¿cuál es la probabilidad de que esté borracho?.

61

3.6. Ejercicios

10. Una fábrica de bujías para motores produce un 98 % de buenas y un 2 % de defectuosas. Antes de enviarlas a los almacenes para su venta se someten a una verificación en la que se admiten como buenas las que lo son con una probabilidad de 0.95 y las que no lo son con una probabilidad de 0.04. a) Calcula la probabilidad de que una bujía sea considerada como buena en un control. b) Calcula la probabilidad de que una bujía buena sea considerada como tal en dos controles. c) Si una bujía fue considerada como buena en dos verificaciones, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente buena?. 11. Se analizan muestras de policarbonato de plástico para determinar su resistencia a los golpes y a las rayaduras. La resistencia a las rayaduras y a los golpes se clasifica en Alta y Baja. A continuación se presenta el resumen de los resultados obtenidos en 49 muestras. Resistencia rayaduras\Resistencia golpes

Alta

Baja

Alta

40

4

Baja

2

3

Calcula: a) Probabilidad de que una muestra presente alta resistencia tanto a los golpes como a las rayaduras. b) Si una muestra presenta una alta resistencia a los golpes, ¿qué es más probable, que presente alta o baja a las rayaduras?. c) Si una muestra presenta una alta resistencia a las rayaduras, ¿qué es más probable, que presente alta o baja a las golpes?. d) Si una resistencia es baja, ¿cómo suele ser la otra?. e) Conclusiones. 12. El blanco para practicar tiro con arco tiene dos sectores. Cada acierto en el sector central vale 10 puntos y en el sector exterior 9 puntos. Una jugada consiste en realizar 2 tiros consecutivos (e independientes) y sumar los puntos obtenidos. De un arquero se sabe que la probabilidad de acertar en el sector central es 0.3, y en el sector exterior 0.6. Calcula la probabilidad de que el arquero obtenga al menos 19 puntos en una jugada. Delia Montoro Cazorla.

Dpto.

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