Descripción breve del tema

Introducción a la Probabilidad

1. 2.

Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios

3.

Concepto de probabilidad y propiedades

Tema 3

4.

Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración

Asignación de probabilidades en la práctica Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios

5.

Probabilidad condicionada Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada

6.

Teorema de Bayes Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

1

Objetivos

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

2

Descripción breve del tema

Entender el concepto de experimento aleatorio Valorar la probabilidad y sus aplicaciones. Calcular probabilidades de sucesos simples. Manejar con soltura el concepto de independencia de sucesos. Entender el concepto de probabilidad condicionada y aplicar con soltura los teoremas de la probabilidad total y Bayes.

1. 2.

Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios

3.

Concepto de probabilidad y propiedades

Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración

4.

Asignación de probabilidades en la práctica

5.

Probabilidad condicionada

Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada

6.

Teorema de Bayes Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

3

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

4

Introducción

Descripción breve del tema

El Cálculo de Probabilidades nos permite calcular el grado de fiabilidad o error de las conclusiones obtenidas mediante inferencia estadística.

1. 2.

Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios

3.

Concepto de probabilidad y propiedades

Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración

4.

Asignación de probabilidades en la práctica Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios

La probabilidad mide o cuantifica la incertidumbre que tenemos sobre el resultado de un experimento aleatorio.

5.

Probabilidad condicionada Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada

6.

Teorema de Bayes Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

5

6

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio, lo denotamos por E.

Un experimento es determinista cuando existe un conjunto de circunstancias que, antes de su ejecución, determinan completamente su resultado. Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado de antemano:

Ejemplo: Experimento, lanzar dado, E={1,2,3,4,5,6}

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Se conocen previamente y con exactitud los posibles resultados del experimento. Es imposible saber su resultado antes de su realización. Se puede repetir indefinidamente, en las mismas condiciones iniciales, obteniendo resultados distintos. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Sucesos

Fenómenos y experimentos aleatorios

Ignacio Cascos

Ignacio Cascos

Un suceso elemental es un elemento del espacio muestral. Ejemplo: (lanzar dado), sale un seis, A={6}

Un suceso compuesto es un conjunto de sucesos elementales. Ejemplo: (lanzar dado), sale un número par B={2,4,6} 7

Ignacio Cascos

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8

Sucesos

Operaciones con sucesos (conjuntos) Operación unión. Dados dos sucesos A y B, el suceso A∪B ocurre cuando ocurre A u ocurre B u ocurren ambos.

El suceso seguro es el que siempre ocurre al realizar el experimento, E. Ejemplo: (lanzar dado) E={1,2,3,4,5,6}

El suceso imposible es el que nunca ocurre como resultado del experimento ∅. A={☺,☺,☺, } ; B={ , ,☺, } A∪B={☺,☺, , ,☺, }

Ejemplo: (lanzar dado) sale un número negativo Ignacio Cascos

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9

Operaciones con sucesos (conjuntos)

Ignacio Cascos

Suceso contrario (o complementario). Dado un suceso A, su contrario Ac ocurre cuando A no ocurre.

E={☺,☺,☺} ; A={☺} Ac={☺,☺}

A={☺,☺,☺, } ; B={ , ,☺, } A∩B={☺, } Depto. Estadística, Universidad Carlos III

10

Operaciones con sucesos (conjuntos)

Operación intersección. Dados dos sucesos A y B, el suceso A∩B ó (AB) ocurre cuando ocurren simultáneamente A y B.

Ignacio Cascos

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11

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

12

Operaciones con sucesos (conjuntos)

Propiedades de las operaciones con sucesos

Diferencia de sucesos. Dados dos sucesos A y B, la diferencia A\B (ó A-B) es el suceso que ocurre cuando ocurre A y B no ocurre. A={☺,☺,☺} ; B={☺, } A\B={☺,☺}.

Conmutativa. A∪B = B∪A A∩B = B∩A Asociativa. A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

Sucesos incompatibles. Dos dos sucesos A y B, son incompatibles (disjuntos) si A∩B=∅ Ignacio Cascos

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A∩(B∩C) = (A∩B)∩C 13

Propiedades de las operaciones con sucesos Elemento neutro. Intersección, suceso seguro: A∩E = A

Distributiva. Unión respecto de la intersección A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) Intersección respecto de la unión A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

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14

Propiedades de las operaciones con sucesos Complementación. A∪Ac = E ; A∩Ac = ∅ Idempotencia. A∪A = A ; A∩A = A Absorción. A∪E = E ; A∩∅ = ∅ Simplificación. A∪(A∩B) = A = A∩ (A∪B)

Unión, suceso imposible: A∪∅ = A

Ignacio Cascos

Ignacio Cascos

15

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

16

Propiedades de las operaciones con sucesos Propiedades del contrario. (Ac)c = A ; Ec = ∅ ; ∅c = E Leyes de De Morgan. (A∪B)c = Ac∩Bc (A∩B)c = Ac∪Bc (∪i=1,∞Ai)c = ∩i=1,∞(Ai)c (∩i=1,∞Ai)c = ∪i=1,∞(Ai)c

Descripción breve del tema 1. 2.

Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios

3.

Concepto de probabilidad y propiedades

Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración

4.

Asignación de probabilidades en la práctica Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios

5.

Probabilidad condicionada Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada

6.

Teorema de Bayes Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

17

Definición de probabilidad

Propiedad 2. P(∅) = 0 Propiedad 3. si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B) Propiedad 4. P(A\B)=P(A)−P(A∩B)

entonces P(∪i=1,∞ Ai)=Σi=1,∞ P(Ai) . Depto. Estadística, Universidad Carlos III

18

Propiedad 1. P(Ac) = 1−P(A)

si A1, A2,… son tales que Ai∩Aj=∅ si i ≠ j,

Ignacio Cascos

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Primeras propiedades de la probabilidad

Una probabilidad es una función P que asigna a cada suceso A asociado al experimento un valor real tal que 1. P(A) ≥ 0 ; 2. P(E) = 1 ; 3.

Ignacio Cascos

Propiedad 5. P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) 19

Ignacio Cascos

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20

Consideración final

Descripción breve del tema

Ignacio Cascos

Concepto de probabilidad y propiedades

0.6 0.4

4.

Asignación de probabilidades en la práctica Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios

0.2

frecuencia relativa cara

3.

Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración

5.

Probabilidad condicionada Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada

0

200

400

600

800

1000

Teorema de Bayes Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes

21

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

22

Métodos combinatorios

Si un experimento tiene un número finito de resultados posibles y no hay razón que privilegie un resultado frente a otro, para cualquier A número de casos favorables a A número de casos posibles

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

6.

numero lanzamientos

Equiprobabilidad, regla de Laplace

Ignacio Cascos

Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

P( A) =

1. 2.

0.0

Si repetimos muchas veces un experimento, la frecuencia relativa de un suceso A cualquiera tiende a estabilizarse en torno a un valor (PROBABILIDAD DEL SUCESO).

0.8

Leyes de los Grandes Números.

23

Variaciones de n elementos tomados de k en k. Número de secuencias ordenadas de k elementos a partir de n elementos sin que se repitan. n!/(n-k)! Combinaciones de n elementos tomados de k en k. Número de conjuntos de k elementos a partir de n elementos sin que se repitan. n!/(k!(n-k)!) Variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k. Número de secuencias ordenadas de k elementos a partir de n elementos (pueden repetirse). nk Combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k. Número de conjuntos de k elementos a partir de n elementos (pueden repetirse). (n+k-1)!/(k!(n-1)!) Ignacio Cascos

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24

Descripción breve del tema

Independencia entre sucesos

1. 2.

Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios

Dos sucesos A y B son independientes si

3.

Concepto de probabilidad y propiedades

P(A∩B)=P(A)P(B)

Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración

4.

P(A∩B) P(A∩Bc)

Asignación de probabilidades en la práctica Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios

5.

P(Ac∩B) P(Ac∩Bc)

Probabilidad condicionada Independencia entre sucesos Concepto de probabilidad condicionada

6.

Teorema de Bayes Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

25

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

La probabilidad condicionada

La probabilidad condicionada

Dados dos sucesos A y B con P(B)>0, definimos la probabilidad de A condicionada a B como la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B,

Tenemos: P(A|B) ≥ 0 ; P(E|B) = 1 ;

P(A|B) =

si A1, A2,… son tales que Ai∩Aj=∅ si i ≠ j,

P(A ∩ B) P(B)

entonces P(∪i=1,∞ Ai|B)=Σi=1,∞ P(Ai|B) . En consecuencia, todas las propiedades de una probabilidad.

Si A y B son independientes, P(A|B)=P(A) . Ignacio Cascos

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26

27

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

28

Descripción breve del tema

Teorema de la probabilidad compuesta

1. 2.

Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios

3.

Concepto de probabilidad y propiedades

Dados n sucesos A1, A2,…,An con P(Ai)>0 para i=1,…,n. Se cumple

Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades

P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)

Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración

4.

Asignación de probabilidades en la práctica

Si los sucesos son independientes

Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios

5.

Probabilidad condicionada Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada

6.

P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2)…P(An)

Teorema de Bayes Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

29

Ignacio Cascos

Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Teorema de la probabilidad total

Teorema de Bayes

Dados A1, A2,…,An tales que Ai∩Aj=∅ si i ≠ j

Dados A1, A2,…,An tales que Ai∩Aj=∅ si i ≠ j

y ∪i=1,n Ai=E, entonces la probabilidad de un suceso B cualquiera viene dada por

y ∪i=1,n Ai=E y dado un suceso B cualquiera con P(B)>0, entonces se cumple

P( B) =

n

∑ P( A ) P( B|A ) i =1

Ignacio Cascos

i

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P( Ai|B) =

i

31

Ignacio Cascos

30

P( Ai ∩ B) P( A ) P( B|Ai ) = n i P( B) ∑ j =1 P( A j ) P( B|Aj ) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

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