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Junio 2003

JUNIO 2003 Bloque A 1.- Encuentra, si existen, matrices cuadradas A, de orden 2, distintas de la matriz identidad, tales que: 1 0  1 0  A = A 1 1  1 1  ¿Cuántas matrices A existen con esa condición? Razona tu respuesta. 2.- Halla el área del recinto de la figura siguiente:

sabiendo que el tramo curvo corresponde a una parábola que tiene un mínimo en el punto (0, 1). 3.- Una máquina de llenado, está diseñada para llenar bolsas con 300 g de cereales. Con el objeto de comprobar el buen funcionamiento de la máquina, se eligen al azar 100 bolsas llenadas en un día y se pesa su contenido. El valor de la media muestral fue de 297 gramos. Suponiendo que la variable peso tiene una distribución normal con varianza 16, ¿es aceptable el funcionamiento de la máquina al nivel 0,05? 4.- Una moneda de 1 euro está lastrada de forma que la probabilidad de sacar cara es 0,6. Se lanza la moneda 3 veces. Calcula la probabilidad de que salga al menos una cara y una cruz. Bloque B 1.- Para la temporada de rebajas, un comerciante decide poner a la venta 70 camisetas, 120 camisas y 110 pantalones en dos tipos de lotes. El lote A formado por 2 camisas, 1 pantalón y 1 camiseta se venderá a 60 euros, mientras que el lote B, formado por 1 camisa, 2 pantalones y 1 camiseta se venderá a 70 euros. ¿Cuántos lotes ha de hacer de cada clase para obtener el máximo de recaudación y cuánto dinero ingresará? 2.- Dada la función f (x) = 2x2 + ax + b. a) Determina los valores de a y b sabiendo que pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en el punto de abscisa x = −2. b) Representa gráficamente la función. 3.- Juan, María y Pablo quedan para ir al cine. Las probabilidades de llegar con retraso son 0,3; 0,2 y 0,1, respectivamente. El retraso o no de uno de ellos no depende de los otros dos. Calcula las probabilidades siguientes: a) Ninguno se retrasa. b) Sólo uno se retrasa. c) Sabiendo que sólo uno se retrasó, ¿cuál es la probabilidad de que fuera Juan? 4.- Para una variable aleatoria X con distribución normal se sabe que la media es de 5000 y la P (X < 3000) = 0,1587. Determina la desviación típica. Dpto. Matemáticas

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SOLUCIONES Bloque A 1.- Encuentra, si existen, matrices cuadradas A, de orden 2, distintas de la matriz identidad, tales que: 1 0  1 0  A = A 1 1  1 1  ¿Cuántas matrices A existen con esa condición? Razona tu respuesta. Solución: a b  Sea A =   la matriz buscada. Entonces: c d  a b  1 0  1 0   a b   · = ·  ⇒  c d  1 1  1 1   c d 

b  a+b b  a  =  c + d d  a + c b + d 

Igualando términos de estas dos matrices se obtiene el sistema:  a+b = a  b=b   c + d = a + c  d = b + d de donde se llega a la conclusión de que: b = 0 y a = d. a 0 Por tanto, la matriz buscada será de la forma: A =   , con a ≠ 1 o c ≠ 0, pues esta ha de ser c a  2 0 distinta de la matriz identidad. Un ejemplo podría ser: A =    3 2 2.- Halla el área del recinto de la figura siguiente:

sabiendo que el tramo curvo corresponde a una parábola que tiene un mínimo en el punto (0, 1). Solución: La ecuación general de la parábola es y = ax2 + bx + c. Dpto. Matemáticas

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La coordenada x del vértice de la parábola se calcula mediante la expresión: xv =

0=

−b 2a

⇒

0 = –b

⇒

−b . Por tanto: 2a

b=0

Así, la ecuación de la parábola será de la forma: y = ax2 + c. Por otra parte, en la figura se ve que la parábola pasa por el vértice (0, 1) y además por el punto (1, 2). Así: • •

Por pasar por (0, 1) se cumple: 1 = c Por pasar por (1, 2) se cumple: 2 = a + c

Resolviendo el sistema obtenido se llega a que: a = 1 y c = 1. La ecuación de la parábola es pues: y = x2 + 1 Calculamos ahora el área del recinto que, como vemos por la siguiente figura, se puede descomponer en dos triángulos (A1 y A3) y en un trapecio mixtilíneo (A2 sombreado). Por tanto, el área pedida, A, será igual a:

A = A1 + A2 + A3 = 1·1 1 2 1·2 = + ∫ ( x + 1) dx + = 0 2 2 1

 1  x3 = +  + x +1 = 2 3 0 1 1 17 2 = + +1+1 = u 2 3 6

3.- Una máquina de llenado, está diseñada para llenar bolsas con 300 g de cereales. Con el objeto de comprobar el buen funcionamiento de la máquina, se eligen al azar 100 bolsas llenadas en un día y se pesa su contenido. El valor de la media muestral fue de 297 gramos. Suponiendo que la variable peso tiene una distribución normal con varianza 16, ¿es aceptable el funcionamiento de la máquina al nivel 0,05?

Solución: Hay que hacer un contraste de hipótesis para la media. Los datos son: µ = 300; x = 297; σ2 = 16 ⇒ σ = 4;

n = 100;

α = 0,05 ⇒ Zα/2 = 1,96

Haremos un contrate de hipótesis bilateral: Dpto. Matemáticas

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• •

Hipótesis nula, H0: µ = x Hipótesis alternativa, H1: µ ≠ x

σ σ   Se rechaza la hipótesis nula si x ∉  µ − Z α / 2 · , µ + Zα / 2 ·  n n  En nuestro caso: σ σ   4 4   , µ + Zα / 2 · ,300 + 1,96·  = (299,216; 300,784)  µ − Zα / 2 ·  =  300 − 1,96· n n  100 100   Como x = 297 ∉ (299,216; 300,784) hay que rechazar la hipótesis nula. En consecuencia, se admite la hipótesis alternativa: la máquina funciona mal; no llena bolsas con 300 g de cereales. 4.- Una moneda de 1 euro está lastrada de forma que la probabilidad de sacar cara es 0,6. Se lanza la moneda 3 veces. Calcula la probabilidad de que salga al menos una cara y una cruz.

Solución: Como cada lanzamiento es independiente del anterior, se tienen las siguientes probabilidades: P (Cara) = 0,6

⇒

P (3 Caras) = 0,63

P (Cruz) = 0,4

⇒

P(3 Cruces) = 0,43

Con esto: P (Sacar al menos una cara y una cruz) = 1 − P (3 Caras) − P (3 Cruces) = = 1 − 0,63 − 0,43 = 1 − 0,28 = 0,72 Bloque B 1.- Para la temporada de rebajas, un comerciante decide poner a la venta 70 camisetas, 120 camisas y 110 pantalones en dos tipos de lotes. El lote A formado por 2 camisas, 1 pantalón y 1 camiseta se venderá a 60 euros, mientras que el lote B, formado por 1 camisa, 2 pantalones y 1 camiseta se venderá a 70 euros. ¿Cuántos lotes ha de hacer de cada clase para obtener el máximo de recaudación y cuánto dinero ingresará?

Solución: Se trata de un problema de programación lineal. Sea x el número de lotes del tipo A e y el número de lotes de tipo B que hace el comerciante. A partir de los datos del problema podemos plantear las siguientes condiciones: 2x + y ≤ 120 x + 2y ≤ 110 x + y ≤ 70 x≥0 y≥0 Dpto. Matemáticas

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La función que nos da la recaudación viene dada por F (x, y) = 60x + 70y. Representemos la región factible:

Los vértices de esta región son: O = (0, 0)

A = (0, 55)

B = (30, 40)

C = (50, 20)

D = (60, 0)

Veamos en cual de ellos se presenta el máximo de la función de beneficios: F (0, 0) = 60 · 0 + 70 · 0 = 0 F (0, 55) = 60 · 0 + 70 · 55 = 3850 F (30, 40) = 60 · 30 + 70 · 40 = 4600 F (50, 20) = 60 · 50 + 70 · 20 = 4400 F (60, 0) = 60 · 60 + 70 · 0 = 3600 Por tanto, el máximo se presenta cuando se elaboran 30 lotes del tipo A y 40 lotes del tipo B. La recaudación obtenida en este caso es de 4600 euros. 2.- Dada la función f (x) = 2x2 + ax + b. a) Determina los valores de a y b sabiendo que pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en el punto de abscisa x = −2. b) Representa gráficamente la función.

Solución: a) Con los datos que nos dan tenemos que: • •

La función pasa por el punto (1, 3) y por tanto: f (1) = 3. El punto x = –2 es un punto singular y por tanto f ‘(–2) = 0.

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Así pues, de estas dos condiciones deducimos: f (1) = 3 f ‘(x) = 4x + a

2 · 12 + a · 1 + b = 3

⇒ ⇒

⇒

f ‘(–2) = 4 · (–2) + a = 0

a+b=1 ⇒

Sustituyendo este segundo dato en la primera ecuación se llega a que: tendremos que:

a=8 a = 8 y b = –7. Así

f (x) = 2x2 + 8x – 7 b) Representemos la parábola. Para ello, calculemos su vértice: xv = −

b 8 = − = –2 2·2 2a

yv = 2 · (–2)2 + 8 · (–2) – 7 = –15

⇒

Por tanto el vértice es el punto (–2, –15). Para completar el dibujo de la parábola podemos dar algunos valores:

x f (x) = 2x2 + 8x – 7

–5 3

–4 –7

–3 –1 –13 –13

0 –7

1 3

La gráfica de la parábola es:

3.- Juan, María y Pablo quedan para ir al cine. Las probabilidades de llegar con retraso son 0,3; 0,2 y 0,1, respectivamente. El retraso o no de uno de ellos no depende de los otros dos. Calcula las probabilidades siguientes: a) Ninguno se retrasa. b) Sólo uno se retrasa. c) Sabiendo que sólo uno se retrasó, ¿cuál es la probabilidad de que fuera Juan?

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Solución: Consideremos los siguientes sucesos: “RJ”: Se retrasa Juan. “RM”: Se retrasa María. “RP”: Se retrasa Pablo. a) Debemos calcular la probabilidad de que ninguno se retrase, esto es: P ( RJ ∩ RM ∩ RP ) El hecho de que el retraso o no de uno de ellos no depende de los otros dos, nos indica que los sucesos son independientes, y por tanto:

P ( RJ ∩ RM ∩ RP ) = P ( RJ ) · P ( RM ) · P ( RP ) = (1 –P (RJ)) · (1 –P (RM)) · (1 –P (RP)) = = 0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,504 b) Debemos calcular la probabilidad de que sólo uno se retrase, esto es:

P (Uno se retrase) = P (RJ ∩ RM ∩ RP ) + P ( RJ ∩ RM ∩ RP ) + P ( RJ ∩ RM ∩ RP) = = 0,3 · 0,8 · 0,9 + 0,7 · 0,2 · 0,9 + 0,7 · 0,8 · 0,1 = 0,216 + 0,126 + 0,056 = 0,398 c) Debemos calcular la probabilidad de que se retrase Juan sabiendo que uno de ellos se retraso, esto es:

P (RJ / Uno se retrasó) =

P ( RJ ∩ RM ∩ RP) 0,3·0,8·0,9 = = 0,5427 P (Uno se retrasó) 0,398

4.- Para una variable aleatoria X con distribución normal se sabe que la media es de 5000 y la P (X < 3000) = 0,1587. Determina la desviación típica.

Solución: Tenemos una variable X que se distribuye según una N (5000, σ). Como conocemos P (X < 3000), X −µ tipifiquemos haciendo el cambio de variable Z = : σ 3000 − 5000   P (X < 3000) = P  Z < = P σ  

−2000   Z <  = 0,1587 σ  

Si buscamos en una tabla de la distribución normal tipificada, el valor de Z al que le corresponde una probabilidad de 0,1587, encontramos que: Z = –1

⇒

−2000 = –1 σ

⇒

σ = 2000

NOTA: La probabilidad 0,1587 no aparece en la tabla de la distribución normal tipificada, pues el valor de Z que le corresponde es negativo. Sin embargo, podemos calcularlo, teniendo en cuenta que P (Z < –a) = P (Z > a) = 1 – P (Z < a) Dpto. Matemáticas

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⇒

P (Z < –a)

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P (Z > a) = 1 – P (Z < a)

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