POLÍGONOS REGULARES D

E

B

A

Polígono (varios ángulos), es la figura plana limitada por varios ánulos, los triángulos y los cuadriláteros estudiados hasta ahora son polígonos de 3 y 4 ángulos, respectivamente. C Un polígono será regular cuando todos sus lados y todos sus ángulos interiores sean iguales. Ej. el triángulo equilátero y el cuadrado, ya conocidos. En la figura de la izquierda el En la figura de la derecha vemos que las p e n t á g o n o s e r á r e g u l a r s i bisectrice s de cada ángulo y las AB=BC=CD ...,etc, y los ángulos A , mediatrices de cada lado se cortan en un punto Q, centro de la circunferencia B, C ... , etc, son iguales. Los segmentos que unen vértices, no circunscrita. Los segmentos Q1, Q2, etc, consecutivos, BD, CE, etc, se se denominan apotemas del polígono, son el radio de la circunferencia inscrita, tiene denominan, diagonales. el mismo centro y es tangente a los lados del polígono en 1, 2 ...

C. Circunscrita

D 4

3 C

E

C. Inscrita

Q 5

2 1

A

B

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO D En la figura de la izquierda observamos que trazando las diagonales desde el 1 E

 2 3  

 1

 1 2



A

2 B

vértice D, dividimos el polígono en triángulos, tantos como lados tiene menos dos. Por otro lado si trazamos los ángulos interiores, , ,  ... del polígono vemos

C

D

que la suma de sus ángulos , ...es igual a la suma de los ángulos de los triángulos anteriores, dado que  = 12, = 1 2, ... luego, la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a tantas veces 180º (triángulo) como lados tiene menos dos .

E

C

 ángulos = (n-2)x180º siendo n = nº de lados En el caso del pentágono regular , figura de la izquierda, será:

108º

 ángulos = (5-2)x180º = 3x180º = 540º

108º

A

cada ángulo medirá 540º / 5 = 108º

B

TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES.Para el trazado de los polígonos regulares podemos partir del lado del polígono o de la circunferencia circunscrita. Recordemos la construcción de los polígonos regulares de tres y cuatro lados cuando conocemos la medida de su lado.

l3

l4 l4

C

l3

D

C

l3 l4

l4

r A

l3

B

Trasladamos a una semirrecta r un segmento AB igual al lado l3. Con centros en A y en B trazamos arcos de radio igual al lado se cortan en C, tercer vértice del triángulo. Uniendo A y B con C obtenemos el triángulo equilátero.

r A

l4

Trasladamos a una semirrecta r un segmento AB igual al lado l4. En el extremo A trazamos una perpendicular y con centro en A trazamos un arco de radio igual al lado nos da el punto C, trazamos arcos de centros B y C de radio l 4 y obtenemos el 4º vértice D.

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B

polígonos-reg -1noviembre 2011

POLÍGONOS REGULARES

PENTÁGONO REGULAR CONOCIDO EL LADO l5

CONSTRUCCIONES A PARTIR DEL LADO

2

D l5 l5

l5 l5

C

E 3

r

1

A

B l5 B

A

r d 1.- Trasladamos el lado a una recta, r, segmento AB . Al ser un polígono regular tendrá un eje de simetría que será la mediatriz del segmento AB, tazamos esta mediatriz con arcos de centros A y B y radio el lado, l5, obtenemos el punto 1 , punto medio del lado. A continuación trazamos la perpendicular en un extremo del lado, en B, y situamos el punto 2, a una distancia de B igual al lado. con centro en 1 y radio 12, trazamos un arco hasta que corta a la prolongación del lado en el punto 3. El segmento A3 es la diagonal del pentágono.

HEXÁGONO REGULAR CONOCIDO EL LADO l6

d

2.- Una vez obtenida la diagonal, con centro en A y radio d, trazamos un arco hasta que corta a la mediatriz en el vértice D, del pentágono. Los vértices C y E que faltan distarán l5 del vértice D, hallado, y de los vértices B y A, respectivamente. También C distará l5 del vértice B y d del vértice A, luego en el punto C se cortarán tres arcos, los de radio l5 que parten de B y D y el de radio d que parte de A. Lo mismo ocurrirá para el punto E.

HEPTÁGONO REGULAR CONOCIDO EL LADO l7

D

E

E

Q

E

C

l7

l7

Q 1

F

l6

D

l7

C

l6 l6 A

30º B

3.- De la observación de la figura se deduce fácilmente sus construcción. Hallamos Q, centro de la circunferencia circunscrita con arcos de centros A y B. y radio el lado dado. Los puntos restantes se hallan trazando arcos de radio el mismo lado y centro los vértices hallados. La figura se descompone en seis triángulos equiláteros con un vértice común. el centro, Q, de la circunferencia.

l7

A

4.- La construcción del Heptágono regular es aproximada, dado que el ángulo interior es aproximado, para ello: -Trazamos un ángulo de 30º en el extremo del segmento A. - Trazamos la perpendicular en el otro extremo B, que corta al anterior en el punto 1. - Con centro en A y radio A1 trazamos un arco que corta a la mediatriz del lado en el punto Q , centro de la circunferencia circunscrita, se traza ésta y el resto de los puntos trazando arcos de radio el lado.

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B

polígonos-reg -2noviembre 2011

POLÍGONOS REGULARES CONSTRUCCIONES A PARTIR DEL LADO OCTÓGONO REGULAR CONOCIDO EL LADO l8

ENEÁGONO REGULAR CONOCIDO EL LADO l9 F

E

F

G

E

2

D

G

H

D

Q

Q 2

1

1

H

C

I

C

3

A B

A

En los siguientes casos vamos a buscar la circunferencia en la que estará inscrito el polígono para ello: 1.- Trazamos la mediatriz del lado AB, dado, donde estará el centro de la circunferencia buscada. 2.- Trazamos el cuadrado de lado AB, y trazamos la circunferencia circunscrita, de centro 3. 3.- Donde corta a la mediatriz trazada está el centro, Q, de la circunferencia buscada. Una vez trazada, el resto de los vértices se halla trazando arcos de radio el lado sin olvidar los ejes de simetría.

DECÁGONO REGULAR CONOCIDO EL LADO l 10 G

F

1.- Trazamos la mediatriz del lado AB , dado, donde estará el centro de la circunferencia buscada. 2.- Trazamos el arco de centro A y radio AB, corta a la mediatriz en el punto 1 . Con centro en 1 y radio 1A, arco corta a la mediatriz en 2 . 3.- Con centro en 2 y radio 21 , arco que corta a la mediatriz en F, vértice opuesto al lado AB. 4.- El centro, Q, de la la circunferencia buscada está en la mediatriz del segmento FA y en la ya hallada.

Método aproximado para dibujar polígonos regulares de 6, 7, 8 ..., lados, conocido el lado. G H F

I H

E J Q

I

E c12

diagonal

D

c11 c10 c9 c8 c7 c6

K

2 J

D 7

C 3 A

1 l10 B

Vamos a buscar la circunferencia en la que estará inscrito el polígono, sabiendo que la diagonal del pentágono regular de lado el del decágono es el radio de esta circunferencia, luego : 1.- Construimos un pentágono regular de lado l10 el vértice Q, es el centro de la circunferencia circunscrita y la diagonal el radio de la misma. 2.- Una vez trazada la circunferencia el resto de los puntos se hallan fácilmente trazando arcos de lado l10 y teniendo en cuenta los ejes de simetría.

8

L

9

C

10 11

A

12

B

Vamos a buscar los centros de las circunferencias en las que estará inscrito cada uno de los polígonos : 1.- Construimos el hexágono regular pues sabemos que el lado es el radio de la circunferencia circunscrita. Obtenemos C 6 , trazando arcos de radio el lado y centros en A y en B . 2.- El arco C6B , de 60º lo dividimos en 6 arcos iguales, puntos 7, 8, ... 12. Con centro en C6 y radios C6 7, C68, ... C612, obtenemos los puntos C7 , C8 , ...C12 ,centros de las circunferencias circunscritas a los polígonos de 7, 8, ... y 12 lados, respectivamente.

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polígonos-reg -3noviembre 2011

POLÍGONOS REGULARES CONSTRUCCIONES A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA CUADRADO Y OCTÓGONO REGULAR 1

TRIÁNGULO EQUILÁTERO 1 Y HEGÁGONO REGULAR

2 2

8

6

3

Q

3

7

Q

5 6

4 5

4 1.- Dividimos la circunferencia en seis partes iguales trazando arcos de radio el de la circunferencia y centros los extremos de un diámetro. Unidos de dos en dos se obtiene el triángulo equilátero 135. Unidos de uno en uno el Hexágono regular 1,2...6.

A

2.- Dividimos la circunferencia en cuatro partes iguales trazando una pareja de diámetros perpendiculares. Si trazamos otra pareja que forme 45 º con la anterior la dividimos en ocho partes iguales. Unidos de dos en dos se obtiene el cuadrado 2,4,6,8 Unidos de uno en uno el Octógono regular 1,2...86.

1

PENTÁGONO Y DECÁGONO REGULAR 2

10

L5

Q L10

C

3

9

4

8

D F

E

7

5 B

3.- Dividimos la circunferencia en cuatro partes iguales trazando una pareja de diámetros perpendiculares, AB y CD. Hallamos el punto medio, E, de uno de los radios trazando su mediatri z. Con centro en E y radio EA trazamos un arco que corta al radio opuesto en F . El segmento AF es el lado del pentágono regular inscrito y el QF el lado

HEPTÁGONO Y TETRADECÁGONO REGULAR F 2

1A

6 4.- A partir del pentágono regular se puede hallar el decágono hallando las bisectrices de los ángulos centrales, o las mediatrices de sus lados. También dividida la circunferencia en 10 partes iguales, unidas de una en una tenemos el decágono regular y de dos en dos en pentágono regular.

DIVISÓN DE LA C. EN N (11) PARTES IGUALES A1

14 L7

3

F

1 2 3

2

13 3

L7 4

12 D

Q

C E 5

11 10

6

9 B8 5.- Dividimos la circunferencia en cuatro partes iguales trazando una pareja de diámetros perpendiculares, AB y CD . Hallamos el punto medio, E, de uno de los radios trazando su mediatriz que corta a la circunferencia en F . El segmento EF es el lado del Heptágono regular inscrito, el resto lo deduce el alumno. 7

C 4

11 2

4 5 6

10 D

7 8 9 10 5 11

9

8 6 7 B 6.- Trazamos una pareja de diámetros perpendiculares, AB y CD. Trazamos dos arcos de centro A y B y radio el diámetro se cortan en, E. Dividimos el diámetro AB en tantas partes como queremos dividir la circunferencia, en este caso 11, (Tales ), uniendo el punto E con la 2ª división nos da el punto F, el arco AF el la onceava parte de la circunferencia , el resto lo deduce el alumno.

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E

polígonos-reg -4noviembre 2011

POLÍGONOS REGULARES POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS, A PARTIR DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA 1

2

Una vez que se ha dividido la circunferencia en partes iguales, si se unen consecutivamente, de una en una, obtenemos los polígonos convexos regulares. Si los unimos de dos en dos , tres en tres , etc. y con el mismo número de lados obtenemos los polígonos estrellados regulares. Vamos a estudiar las posibilidades para el de 11 lados. - El nº máximo de posibilidades, dado que hay que unirlos a partir de dos en dos es N/2 , en nuestro caso 11/2 = 5,5, consideramos la parte entera, 5. Podremos construir tantos polígonos estrellados como factores primos con 11 halla desde 1 hasta 5. - Son primos con 11, el 2, 3, 4 y 5, a estos números ,que es el salto entre las divisiones lo denominamos: Rango del polígono estrellado.

11

10

3

9

4

ESTRELLADO DE 11 LADOS RANGO 2

5 8 6

7 1

1

2

1

2

11

10

3

2

11

3

9 4

4

5

5

8 6

7

ESTRELLADO DE 11 LADOS RANGO 3

10

3

10

9

4

9

5

8 6

7

8 6

ESTRELLADO DE 11 LADOS RANGO 4

1

11

ESTRELLADO DE 11 LADOS RANGO 5

1

2

7

1

2

7

7

5

2

3

3

6

4

3

4

ESTRELLADO DE 5 LADOS 11 RANGO 2 (ÚNICO) 1

3

4

5

ESTRELLADO DE 7 LADOS RANGO 3

No hay polígonos estrellados regulares de seis lados, rango dos, son dos triángulos equiláteros. Tampoco hay polígonos estrellados regulales de ocho lados, rango dos, son dos cuadrados, al ser ambos divisores exactos de seis y ocho respectivamente.

8

2

5

ESTRELLADO DE 7 LADOS RANGO 2

7

6

4 5

ESTRELLADO DE 8 LADOS RANGO 3 (ÚNICO)

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polígonos-reg -5noviembre 2011