´ Ordenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadr´ atica del m´ etodo de iteraci´ on simple Estos apuntes est´an redactados por Maria de los Angeles Isidro P´erez y Egor Maximenko. Objetivos. Definir el orden de convergencia de una sucesi´on a su l´ımite. Requisitos. L´ımite de una sucesi´on, m´etodo del punto fijo, teorema del valor medio, f´ormula de Taylor. 1. Definici´ on (orden de convergencia). Sea {an }∞ on que converge a b, n=0 una sucesi´ con an 6= b para todo n ∈ N y sean α > 0 y λ > 0. Si |an+1 − b| = λ, n→∞ |an − b|α lim

entonces se dice que la sucesi´on {an }∞ n=0 converge a b con orden α y una constante de error asint´otica λ. 2. Definici´ on (convergencia lineal y cuadr´ atica). Sea {an }∞ on convern=0 una sucesi´ ∞ gente. Se dice que la sucesi´on {an }n=0 : converge linealmente, si el orden de la convergencia es 1; converge cuadr´aticamente, si el orden de la convergencia es 2. ∞ 3. Ejemplo. Consideremos las sucesiones {an }∞ n=0 y {cn }n=0 definidas mediante las siguientes reglas:

a0 = 1,

an+1 = 0.3an ;

c0 = 1,

cn+1 = 0.6 · c2n .

Claramente ambas sucesiones convergen a 0. Calcular an y cn para n = 1, 2, 3, 4, 5. Calcular N1 := min{n : an < 10−6 }, N2 := min{n : cn < 10−6 }.

´ Ordenes de la convergencia, p´agina 1 de 5

Soluci´on. Calculemos a1 , . . . , a5 : a1 = 0.3,

a2 = 0.09,

a3 = 0.027,

a4 = 0.0081

, a5 = 0.00243

Resolvemos la desigualdad an < 10−6 : an < 10−6

⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒

0.3n < 10−6 n > 11.4

n ln(0.3) < −6 ln(10) n ≥ 12,

as´ı que N1 = 12. Calculemos c1 , . . . , c5 : c1 = 0.6,

c2 ≈ 2.2 · 10−1 ,

c3 ≈ 2.8 · 10−2 ,

c4 ≈ 4.7 · 10−4 ,

c5 ≈ 1.32 · 10−7 .

Se ve que cn es decreciente y N2 = 5. 4. Ejercicio. Muestre que cada una de las siguientes sucesiones converge linealmente al n´ umero 0: 1 1 1 , , . 3 n n 2n n

5. Ejercicio. Muestre que la sucesi´on 3−2 converge cuadr´aticamente a 0.

6. Ejemplo simple de una sucesi´ on que converge a 0 linealmente. Sea λ ∈ (0, 1). Hallar la f´ormula general para la sucesi´on {xn }∞ n=0 definida por: x0 = 1,

xn+1 = λxn .

Soluci´on. El n-´esimo t´ermino de la sucesi´on est´a dado por: xn = λn .

7. Ejemplo simple de una sucesi´ on que converge a 0 cuadr´ aticamente. Sea ∞ λ ∈ (0, 1). Hallar la f´ormula general para la sucesi´on {xn }n=0 definida por: x0 = 1,

xn+1 = λ(xn )2 .

Soluci´on. El n-´esimo t´ermino de la sucesi´on est´a dado por: xn = λ 2

n −1

.

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Multiplicidad del cero de una funci´ on 8. Definici´ on (multiplicidad del cero). Se dice que el cero p de la funci´on f tiene multiplicidad m (m ∈ {1, 2, 3, . . .}) si la funci´on f se puede escribir en forma f(x) = (x − p)m g(x)

(x 6= p),

donde lim g(p) 6= 0. x→p

9. Criterio de cero simple. Sea f ∈ C1 [a, b] y sea p ∈ (a, b). Entonces f tiene un cero simple (de multiplicidad 1) en p si, y s´olo si, f 0 (p) 6= 0.

y

f(p) = 0

10. Criterio de cero de multiplicidad m. Sea f ∈ Cm [a, b] y sea p ∈ (a, b). Entonces p es un cero de f de multilicidad m si y s´olo si: f(p) = 0,

f 0 (p) = 0,

...,

f(m−1) (p) = 0,

f(m) (p) 6= 0.

11. Ejemplo. Calcular la multiplicidad de cero de f(x) = ex − x − 1 en el punto p = 0. Soluci´on. Calculamos las dos primeras derivadas: f 0 (x) = ex − 1,

f 00 (x) = ex .

Ahora evaluamos las funciones f, f 0 y f 00 en el punto p = 0: f(0) = 0,

f 0 (0) = 0,

f 00 (0) = 1.

Por el criterio, p = 0 es un cero de multiplicidad m = 2. 12. Ejercicio. Calcular la multiplicidad de cero de f en el punto p = 0: 1. f(x) = cos x − 1. 2. f(x) = sen x − tg x.

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Condiciones suficientes de la convergencia lineal y cuadr´ atica del m´ etodo de punto fijo 13. Teorema (condici´ on suficiente para la convergencia lineal). Sea g ∈ C1 [a, b] tal que g[a, b] ⊆ [a, b] y |g 0 (x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b], donde k ∈ (0, 1). Denotemos por p el punto fijo de g en el intervalo [a, b]. Si g 0 (p) 6= 0, entonces para cualquier x0 ∈ [a, b]\{p} la sucesi´on {xn }∞ ormula recursiva xn = g(xn−1 ) converge n=0 definida por la f´ linealmente a p. Demostraci´on. Por la definici´on de xn+1 y p, |xn+1 − p| = |g(xn ) − g(p)|. El teorema del valor medio aplicado a la funci´on f en el intervalo con extremos xn y p nos da un punto ξn entre xn y p tal que |g(xn ) − g(p)| = |g 0 (ξn )| · |xn − p|, Como ξn est´a entre xn y p, tenemos que |ξn − p| ≤ |xn − p| y ξn → p. En la igualdad |xn+1 − p| = |g 0 (ξn )|. |xn − p| pasemos al l´ımite cuando n → ∞. Como ξn → p y g 0 es continua, g 0 (ξn ) → g 0 (p). |xn+1 − p| = |g 0 (p)|. n→∞ |xn − p| lim

14. Teorema (condici´ on suficiente para la convergencia cuadr´ atica). Sea p una 0 00 soluci´on de la ecuaci´on x = g(x). Supongamos que g (p) = 0, g es continua y existe un intervalo abierto I tal que p ∈ I y sup |g 00 (x)| < M. x∈I

Entonces existe un δ > 0 tal que para todo x0 ∈ [p − δ, p + δ] la sucesi´on {xn } definida por xn = g(xn−1 ) converge al menos cuadr´aticamente a p. Adem´as, para los valores suficientemente grandes de n, |pn+1 − pn | <

M |pn − p|2 . 2

Demostraci´on. Escribamos la f´ormula de Taylor para g: g(x) = g(p) + g 0 (p)(x − p) +

g 00 (ξ) (x − p)2 . 2

´ Ordenes de la convergencia, p´agina 4 de 5

Aqu´ı g(p) = p, g 0 (p) = 0. Poniendo x = xn , obtenemos: xn+1

g 00 (ξn ) =p+ · (xn − p)2 , 2

donde ξn est´a entre p y xn . g 00 (p) |xn+1 − p| g 00 (ξn ) → . = |xn − p|2 2 2 15. Ejercicio: deducci´ on del m´ etodo de Newton como un caso particular del m´ etodo de punto fijo. Para la b´ usqueda de ra´ıces de la ecuaci´on f(x) = 0, consideremos un problema de punto fijo con la funci´on g de la forma g(x) = x − f(x)h(x). Para tener g 0 (p) = 0 en el punto p donde f(p) = 0, necesitamos h(p) = 1/f 0 (p). Es natural pedir h(x) = 1/f 0 (x), y en esta manera obtenemos el m´etodo de Newton. Complete los razonamientos. 16. Ejercicio. Muestre que la sucesi´on {xn }, definida por: p x0 = 1, xn+1 = 2 + xn , converge a 2, y calcular el orden de la convergencia. i) Para calcular el l´ımite, pase al l´ımite en la igualdad xn+1 =

√

2 + xn .

ii) Para demostrar que el l´ımite efectivamente existe y calcular el orden de la convergencia, exprese |xn+1 − 2| a trav´es de |xn − 2|.

17. Ejercicio: orden de la convergencia en el algoritmo babil´ onico para el c´ alculo de la ra´ız cuadrada. Sea c > 1. Usando la definici´on del orden de convergencia, muestre que la sucesi´on {xn } definida por:   c 1 xn + x0 = 1, xn+1 = , 2 xn √ √ √ converge cuadr´aticamente a c. Sugerencia: exprese |xn+1 − c| a trav´es de |xn − c|.

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