Proporcionalidad en el Segundo ciclo Existe una variedad de procesos que pueden describirse, ser comprendidos y estudiados a partir de considerarlos como relaciones de proporcionalidad. Su tratamiento inicia un camino que se ampliará en niveles posteriores de la escolaridad, con el análisis de otros tipos de relaciones entre cantidades o magnitudes que comienzan a comportarse como variables 1 . El abordaje de la proporcionalidad, además, permite profundizar el estudio de otros contenidos matemáticos vinculados a este concepto: medida, números racionales, operaciones, etc. Si bien la resolución de problemas de proporcionalidad está prevista en el marco de cada uno de los contenidos citados, se ha optado por presentarlo de manera separada para comunicar que el estudio de sus propiedades y alcances merece un tratamiento específico. ¿Qué involucra el estudio de la proporcionalidad? Desde el Primer ciclo los alumnos resuelven problemas en los cuales las cantidades se vinculan a través de una relación de proporcionalidad; por ejemplo: “Si en un paquete hay 5 figuritas, ¿cuántas figuritas habrá en 7 paquetes iguales?”. Más aún, las tablas de multiplicar no son otra cosa que una relación de proporcionalidad directa cuya constante de proporcionalidad es el número al que hace referencia la tabla, aunque el término “proporcionalidad” no sea mencionado. Es evidente, entonces, que los niños están en condiciones de resolver problemas multiplicativos de este tipo aún si no han estudiado proporcionalidad ni métodos particulares de resolución (como regla de tres simple o reducción a la unidad). De este modo, se propone tomar como punto de partida los conocimientos que los alumnos han construido durante el Primer ciclo para abordar el estudio de la proporcionalidad en el Segundo ciclo. Un primer aspecto a considerar con los alumnos implica la caracterización de las relaciones de proporcionalidad a partir del análisis de sus propiedades: - si una de las cantidades se duplica, triplica, cuadruplica, etc., la cantidad correspondiente también; - si se suman (o restan) dos cantidades de una de las magnitudes relacionadas, a este nuevo valor le corresponde la suma (o resta) de las cantidades correspondientes; - existe un número (siempre el mismo para una dada relación de proporcionalidad) por el cual se puede multiplicar a cada uno de los valores de una de las magnitudes para hallar el valor correspondiente de la otra magnitud, llamado constante de proporcionalidad. Será necesario atender a los números en juego en los problemas que se propongan, de modo de favorecer la aparición de estrategias que involucren el uso implícito de estas propiedades, generando un espacio posible de análisis y explicitación de las mismas. Por ejemplo, en:“3 paquetes traen 24 galletitas. ¿Cuántas galletitas traerán 6 paquetes? ¿Y 9 paquetes?”, la elección de los valores 3, 6 y 9 propicia la aparición de estrategias que podrán vincularse con la propiedad “al doble, el doble; al triple, el triple; etc.”. Proponer problemas para los cuales la proporcionalidad no es el modelo adecuado favorece la construcción de criterios para diferenciar situaciones proporcionales de las que no lo son, de modo de evitar la utilización indiscriminada de este modelo. Por ejemplo: “Juan tiene 10 años y pesa 30 kilos. Dice que a los 20 años seguro pesará 60 y a los 30 años, 90 kilos. ¿Tendrá razón?”. El abordaje de estos problemas permite analizar un error usual: el supuesto de

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Es decir, se estudiará cómo se modifican ciertas cantidades a partir de los cambios que podrían sufrir otras con las que se relacionan.

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que toda situación en la cual ambas magnitudes crecen, lo hacen de manera proporcional, y que toda situación en la que una cantidad crece y la otra decrece, lo hacen de manera inversamente proporcional. Otro aspecto relevante es el análisis de distintos modos de registrar y representar la relación entre magnitudes. Así, se proponen problemas con enunciados, con datos organizados en tablas de valores, y en 6° año se incorporan representaciones gráficas. Cada uno de estos modos de presentar la información enriquece el concepto y habilita nuevas relaciones y herramientas en la búsqueda de soluciones. ¿Cuáles son los contenidos que se enriquecen a partir del estudio de la proporcionalidad? El abordaje de la proporcionalidad propicia la profundización en el estudio de la multiplicación y la división de números naturales. El análisis de estrategias de resolución en base a las propiedades de la proporcionalidad favorece la utilización explícita de estas operaciones y su identificación, por parte de los niños, como herramientas idóneas en la resolución de este tipo de problemas. El estudio de los números racionales también se ve enriquecido. A partir de la resolución de problemas contextualizados, se hace posible el análisis de relaciones entre fracciones (dobles, triples, mitades, etc.). Asimismo, es posible dotar de sentido al concepto de equivalencia entre fracciones; por ejemplo, en el problema: “En una escuela, 3 de cada 8 alumnos son varones. En otra escuela, 7 de cada 12 alumnos son varones. ¿Es cierto que en ambas escuelas la proporción de varones es la misma?”, la posibilidad de analizar que “si fueran 24 alumnos, en la primera escuela habría 9 varones, y en la segunda, 14” pone en primer plano las relaciones 3/8 = 9/24 y 7/12 = 14/24, y por lo tanto que 3/8 ≠ 7/12. El trabajo con números racionales también aparece en el estudio del porcentaje como relación de proporcionalidad, ya que se trata de una relación “parte-todo” en la que la cantidad total es 100. Por ejemplo, 25% significa 25 de cada 100, 25/100, 1/4 y también 0,25. La medida es otro de los contenidos que se enriquecen con el estudio de la proporcionalidad. La equivalencia entre unidades dentro del SIMELA es una situación de este tipo, por lo que el abordaje de estos problemas favorece la utilización de las distintas estrategias que se han estudiado a propósito de la caracterización del modelo proporcional. Por ejemplo, si 20 m = 2.000 cm, entonces 200 m = 10 x 2.000 cm = 20.000 cm; 220 m = 20.000 cm + 2.000 cm = 22.000 cm; etc. Bibliografía sobre la enseñanza de la Proporcionalidad: • Ponce, H. (2000): Enseñar y aprender matemática. Propuestas para el segundo ciclo. Buenos Aires. Editorial Novedades Educativas. • Panizza, M: Sadovsky, P : El papel del problema en la construcción de conceptos matemáticos, FLACSO y Ministerio de Educación de la Pcia de Santa Fé • Bressan, A. M.; Costa de Bogisic (1996), Una forma de uso de la proporcionalidad: las escalas, Consejo Provincial de Educación de Río Negro, documento de la Secretaría Técnica de Gestión Curricular, área Matemática, disponible en www.educacion.rionegro.gov.ar • Vergnaud, G. (l991) El niño, las matemáticas y la realidad, problema de las matemáticas en la escuela, Trillas, México.

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PROPORCIONALIDAD 4° AÑO

5° AÑO

6° AÑO

PROPIEDADES DE LA PROPORCIONALIDAD Resolver problemas de proporcionalidad directa que involucran números naturales, utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias El maestro propondrá problemas en los que se brinde el valor de la unidad, o bien, pares de valores relacionados por dobles, triples, mitades, etc. Por ejemplo: 3 paquetes traen 24 galletitas. ¿Cuántas galletitas traerán 6 paquetes? ¿Y 9 paquetes?” En este caso, los alumnos podrían encontrar cuántas galletitas trae un paquete y luego multiplicar por 6 y por 9. Sin embargo, es probable que muchos dupliquen y tripliquen la cantidad correspondiente a 3 paquetes. Completá la siguiente tabla que relaciona la cantidad de galletitas y los paquetes Paquetes 5 3 8 Cantidad de galletitas 40 24 …. Si bien los niños podrían buscar el valor de la unidad, gracias a los datos disponibles también es posible sumar los valores correspondientes a 5 y a 3 paquetes para obtener el valor de 8 paquetes. Distinguir la pertinencia o no de recurrir al modelo proporcional para resolver problemas Es importante no sólo que los alumnos reconozcan las situaciones en las que pueden utilizar las propiedades de la proporcionalidad, sino también aquellas en las que no pueden hacerlo. Por ejemplo: Juan tiene 10 años y pesa 30 kilos. Dice que a los 20 años seguro pesará 60 y a los 30 años, 90 kilos. ¿Tendrá razón? ¿Esta tabla corresponde a una proporcionalidad directa? ¿Por

Resolver problemas de proporcionalidad directa que involucran números naturales, utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias La resolución de problemas diversos propiciará la reutilización de estrategias variadas que pongan en juego las propiedades de la proporcionalidad directa (al doble, el doble; al triple, el triple; etc.; a la suma/resta de dos cantidades corresponde la suma/resta de las cantidades correspondientes de la otra; constante de proporcionalidad). El maestro promoverá la circulación de las posibles estrategias, el análisis de la relación entre estrategias y propiedades, y la explicitación de algunos criterios que permitan reconocer la más conveniente en función de los datos del problema. Por ejemplo: Completá la siguiente tabla y explicá qué tuviste en cuenta para hacerlo: Cantidad de cajas 13 10 1 5 Cantidad de libros

36

39

360

En un supermercado, 10 litros de pintura cuestan $24. En otro supermercado, 15 litros de esa pintura cuestan $34. ¿En cuál de los dos conviene comprar si se necesitan 60 litros de pintura? Distinguir la pertinencia o no de recurrir al modelo proporcional para resolver problemas La construcción del sentido del concepto de proporcionalidad se verá favorecido si el maestro propone problemas que propicien la distinción de situaciones en las que es pertinente el modelo proporcional de las que no, de modo de establecer sus límites. El maestro propondrá situaciones variadas, contextualizadas y

Resolver problemas de proporcionalidad directa que involucran números naturales y racionales Se propicia la reutilización de estrategias variadas estudiadas en años anteriores, que se basan en el uso de las propiedades y la constante de proporcionalidad. También se avanza sobre el análisis de criterios que permiten seleccionar la estrategia más económica según los números en juego. El maestro propondrá una variedad de problemas en diferentes contextos que involucren el trabajo con magnitudes de la misma naturaleza (conversión entre monedas de distintos países, conversión de una unidad de medida a otra, escalas, etc.) y también de diferente naturaleza (tiempo de marcha en función del espacio recorrido, tiempo de marcha en función del consumo de combustible, importe en función del peso, etc.). Asimismo, será interesante incluir problemas que involucren la noción de proporción como relación entre partes. Por ejemplo: En una escuela, 3 de cada 8 alumnos son varones. En otra escuela, 7 de cada 12 alumnos son varones. ¿Es cierto que en ambas escuelas la proporción de varones es la misma? ” Este tipo de problema propone el trabajo sobre comparación de razones, lo cual puede vincularse con lo estudiado a propósito de fracciones equivalentes. Distinguir la pertinencia o no de recurrir al modelo proporcional para resolver problemas Se propondrán problemas en los que dos magnitudes crecen, pero sin embargo no existe una relación de

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qué?”

Edad (en años)

1

2

4

Altura (en cm)

75

85

98

descontextualizadas, para que los alumnos reflexionen en torno a esta cuestión, tanto en referencia a la naturaleza del fenómeno involucrado, como a las relaciones numéricas presentadas en los problemas. Por ejemplo: Determiná si la siguiente tabla corresponde o no a una proporcionalidad:

En un negocio, dos cuadernos se venden a $8 y 6 cuadernos se venden a $10. ¿Se puede saber cuánto se pagará por comprar 16 cuadernos? En estas situaciones, ambas magnitudes crecen pero no lo hacen en forma proporcional. Será interesante reflexionar que en estos casos el fenómeno al que se hace referencia no es de naturaleza proporcional. Resolver problemas con constante de proporcionalidad ¼, ½ y ¾ En estas primeras aproximaciones al estudio de situaciones de proporcionalidad con constante fraccionaria, se presentarán problemas en los que se brinda el valor de la unidad. Por ejemplo: Se calcula ½ kg de carne por persona. Completá la tabla: Cantidad de personas

1

Carne (en kg)

½

2

3

4

8

6

Al igual que en las situaciones con números naturales, el maestro propondrá problemas con cantidades que favorezcan la utilización de estrategias diversas y el uso de las propiedades de la proporcionalidad. Este tipo de situaciones se presentan también en el estudio de Números Racionales. Si ya han sido tratadas, se podrán evocar en esta instancia aquellas discusiones y conclusiones.

Edad (en meses) Cantidad de

3

6

12

18

0

2

8

14

dientes

Una de estas tablas corresponde a una relación de proporcionalidad y la otra no. ¿Cuál es cuál?

1

2

4

5

8

10

12

15

1

2

10

11

6

12

60

66

proporcionalidad directa. Por ejemplo: En una ciudad, los taxis cobran $1,20 por la bajada de bandera y $0,80 por cada km recorrido. ¿Cuánto pagará una persona que viaja 3 km? ¿Y 6 km? ¿Y 9 km? A pesar de que ambas magnitudes crecen (de 0,80 en 0,80 por cada km recorrido), deja de ser cierto que al doble de distancia recorrida corresponde el doble de dinero, puesto que hay que agregar siempre el precio fijo de la bajada de bandera. Este tipo de problema vincula dos magnitudes de manera lineal, pero no proporcional. Sin embargo, puede resolverse utilizando las propiedades de la proporcionalidad siempre que se distinga que la relación proporcional no es entre “distancia recorrida-precio que se paga” sino entre “distancia recorrida-precio sin bajada de bandera”. Será interesante analizar esta distinción y estudiar de qué modo pueden usarse las propiedades de la proporcionalidad para resolver problemas sobre fenómenos lineales aún si no son proporcionales. En el apartado de “Representaciones gráficas” se detallan algunos problemas para abordar esta cuestión a partir de información gráfica.

Resolver problemas en los que una de las magnitudes es una cantidad fraccionaria La ampliación del estudio de la proporcionalidad con cantidades fraccionarias implica a esta altura de la escolaridad la resolución de problemas con fracciones sencillas (cuartos, medios, tercios) en los

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que se brindan pares de valores relacionados. También se espera que los niños reutilicen los conocimientos que se han trabajado en los contenidos sobre cálculos de mitades, dobles, triples, etc., de cantidades fraccionarias. Por ejemplo: Completá la tabla que relaciona el tiempo de marcha de un auto en horas con la distancia que recorre en km: Tiempo en horas 1 2 2½ ¼ ¾ Distancia en km

100

300

50

Jorge va a comprar helado para una cena. Él calcula que cada tres personas debe comprar ¾ kg. Calculá cuánto helado comprará si en la cena hay 4, 5, 6 y 7 personas. Resolver problemas de proporcionalidad directa que involucran expresiones decimales en el contexto del dinero y la medida Se propone el trabajo con situaciones en las que una de las cantidades es un número decimal. Se retomarán aquí cuestiones abordadas en el estudio de números racionales. Un contexto familiar como el del dinero permite a los niños controlar sus procedimientos y resultados. Por ejemplo: Completá la tabla: Paquetes de figuritas Precio (en pesos)

3 0, 75

6 1

2

0,25

El contexto de la medida es propicio para estudiar el “pasaje de unidades” como fenómeno proporcional. Los alumnos podrán reutilizar estrategias vinculadas con las propiedades de la proporcionalidad (al doble, el doble; a la mitad, la mitad; etc.) para resolver estas situaciones. Por ejemplo: Kilómetros Metros

1 1000

0,25 500

1500

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SÓLO PARA 6° AÑO

PORCENTAJE Resolver problemas que involucran el análisis de relaciones entre números racionales y porcentajes Existe una estrecha relación entre el porcentaje y los números racionales. Por ejemplo, 10% significa 10 de cada 100, que puede escribirse como 10/100, 1/10 ó 0,10, entre otras expresiones posibles. El maestro propondrá problemas en los cuales estas relaciones queden en evidencia. Por ejemplo: Un grupo de personas se va de campamento; el 25% son mujeres. Decidí si las siguientes afirmaciones relacionadas con esta situación son correctas: a) ¼ de los que van al campamento son mujeres. b) ¾ de los que van al campamento son varones. c) La cantidad de varones que van al campamento es el triple de la cantidad de mujeres Los niños deberán establecer relaciones entre el significado de 25%, 25/100 y ¼, así como entre 75%, 75/100 y 3/4. Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y justificá: a) 1/6 de 360 representa su 60% b) ¼ de 800 representa su 25% c) Para calcular el 50% de 230 se puede multiplicar por 0,5 d) El 75% de 420 representa ¾ de esa cantidad e) El 1% de 800 es un décimo de esa cantidad. Resolver problemas que implican calcular y comparar porcentajes por medio de cálculos mentales, de las propiedades de la proporcionalidad y / o usando la calculadora La relación entre una cantidad y un porcentaje de dicha cantidad es de proporcionalidad directa. En el trabajo con estos problemas el objetivo será reinvertir las propiedades estudiadas: si se multiplica/divide una de las cantidades por un número, la cantidad correspondiente se multiplica/divide por el mismo número; a la suma/resta de dos cantidades, corresponde la suma/resta de las cantidades correspondientes; existe una constante de proporcionalidad. Por ejemplo: Un supermercado realiza descuentos del 15% sobre todas las compras de sus clientes. Completá la tabla: Monto de la compra en $ Descuento en $

100 15

50

250

10 45

6

Podrá analizarse que al realizar la división entre el descuento y el monto de la compra, el resultado es siempre 0,15, es decir, la constante de proporcionalidad coincide con la expresión decimal (o bien fraccionaria) del porcentaje con el que se está trabajando. De este modo, para calcular la cantidad correspondiente al descuento, puede multiplicarse el monto de la compra por 0,15 o por 15/100. Sabiendo que el 10% de 600 es 60, calculá el 20%, el 50%, el 5% y el 25% de 600. El maestro podría proponer otros resultados conocidos de cálculos del 10% de números “redondos”, y orientar la reflexión en torno a que el 10% es el mismo número “con un cero menos”, de modo de establecer relaciones con la división por 10 y el cálculo de la décima parte de una cantidad. Otras cuestiones a analizar en propuestas como la expuesta son: el 20% será el doble del 10%; el 5% será la mitad. El significado del 50% puede abordarse también como “la mitad del total”: puesto que 600 representa el 100%, 50% será la mitad, es decir, 300. Puede analizarse

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también el 25% como “la mitad de la mitad”, o bien “la cuarta parte del 100%”. Estas propuestas propician que el estudio del porcentaje no se transforme en una práctica automatizada de cálculo algorítmico. Será interesante que el maestro enseñe a utilizar la calculadora, utilizando la tecla %, de modo que los niños puedan verificar las respuestas que han dado a los problemas. Resolver problemas que involucran la interpretación y la producción de gráficos circulares, utilizando las relaciones entre proporcionalidad, porcentaje, fracciones y medidas de ángulos En los diagramas circulares, existe una relación de proporcionalidad directa entre la amplitud del ángulo del sector circular y el porcentaje que representa. El maestro propondrá inicialmente problemas de interpretación de la información contenida en los gráficos circulares, para que los niños se familiaricen con este tipo de representación. Será interesante propiciar el estudio de relaciones como: el 50%, que es la mitad del gráfico, corresponde a un ángulo de 180°; el 25%, a un ángulo de 90° porque es ¼ del círculo o bien porque es la mitad del 50%; etc. Por ejemplo: El gráfico representa los porcentajes de votos obtenidos por cada candidato en la última elección a presidente de un club: a) ¿Por qué al que sacó un 25% no le corresponde un ángulo de 25°? b) ¿Será cierto que al candidato que sacó un 10% en el gráfico le corresponde un ángulo de 36°? 14%

25%

10% 18% 33%

SÓLO PARA 6° AÑO

REPRESENTACIONES GRÁFICAS Resolver problemas que involucran interpretar y producir representaciones gráficas de magnitudes directamente proporcionales En el contexto de la proporcionalidad se apunta a establecer que las relaciones entre magnitudes directamente proporcionales corresponden gráficamente a una serie de puntos alineados con el origen. Otro de los objetivos de este estudio está relacionado con la inclinación de la recta que resulta al unir estos puntos alineados, ya que en situaciones de comparación de relaciones de proporcionalidad, éste es un indicador del comportamiento relativo de dichas relaciones. Será interesante que en las primeras aproximaciones al trabajo con gráficos cartesianos se aliente a su interpretación. Por ejemplo: El siguiente gráfico representa la distancia que recorre un auto en un determinado tiempo, yendo siempre a la misma velocidad.

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Distancia recorrida (en km)

480 400 320 240 160 80 0 0

1

2

3

4

5

6

Tie m po (e n horas )

a) ¿Qué datos se informan en el eje horizontal? ¿Y en el eje vertical? b) ¿Cuántos km recorre en 5 horas? ¿Y en 2 horas? Otro tipo de problema involucra la comparación de relaciones de proporcionalidad directa a partir de la información brindada en varios gráficos. Por ejemplo, si se representa gráficamente la distancia que recorren dos autos en un determinado tiempo y se quiere comparar cuál de los dos se desplaza a mayor velocidad. En este tipo de situación será interesante explicitar la relación entre la inclinación de la recta y la velocidad a la que marchan los autos, siempre que se tome en cuenta que ambos gráficos están hechos con la misma escala. También puede proponerse el análisis de gráficos correspondientes a situaciones lineales no proporcionales, de modo de poner en primer plano que una relación que no sea proporcional no puede corresponder a un gráfico con puntos alineados con el origen. Por ejemplo: Un empleado cobra $20 la hora extra de trabajo. Además, se le paga un sueldo fijo mensual de $1.200. ¿Cuál de los siguientes gráficos podría corresponder a la situación? ¿Por qué? Sueldo total mensual ($)

Sueldo total mensual ($)

Cantidad de horas extra trabajadas

Cantidad de horas extra trabajadas

La producción de gráficos cartesianos exigirá a los alumnos tomar decisiones en cuanto a qué magnitud van a representar en cada eje y cuál será la escala a utilizar según los valores a representar. Será conveniente proponer situaciones en las que los números en juego sean pequeños y “redondos” para facilitar la construcción de gráficos

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SÓLO PARA 6° AÑO

PROPORCIONALIDAD INVERSA Resolver problemas sencillos de proporcionalidad inversa utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias La selección de problemas que involucren números ”redondos” y contextos conocidos favorecen la utilización de las propiedades de la proporcionalidad inversa. Por ejemplo: Un auto que va a 150 km/h recorre una pista en 3 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer la misma pista si va a 75 km/h? ¿Y si fuera a 300 km/h? Se propicia en este caso la puesta en juego de la propiedad “a la mitad, el doble”, “al tercio, el triple”, “al cuarto, el cuádruple”, etc. La construcción de tablas de valores que puedan registrar diferentes pares aún si no son requeridos por el problema hará más notoria la posibilidad de utilizar estas estrategias. No se espera enseñar un método único de resolución de este tipo de problemas.

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