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apellidos:

proporcionalidad numérica Lee el texto siguiente y realiza las actividades propuestas

Los griegos ya conocían las proporciones hace 2500 años pero sus conocimientos ya venían de Babilonia y Egipto. La regla de tres fue dada a conocer por los árabes en la Edad Media. En el mundo occidental fue difundida por Leonardo de Pisa en el s.XII, siendo conocida por la regla de los mercaderes, por su importancia en las transacciones comerciales. razón: cociente entre dos números proporción: igualdad entre razones actividades

Mide tu DNI o tarjeta de la que dispongas. Calcula la razón de los lados

_______

Realiza el mismo ejercicio con este folio

_______

¿Hay una proporción entre el tamaño del DNI y el del folio?. ¿Por qué?

Lee atentamente los siguientes ejemplos

ejemplo 1 Una persona camina a una velocidad de 5km/h. El espacio recorrido está relacionado con el tiempo que camina espacio (km)

5

10

20

35

tiempo (h)

1

2

4

7

las magnitudes espacio y tiempo son directamente proporcionales, porque ambas crecen a la vez y en la misma medida

Dos magnitudes son directamente proporcionales si los cocientes de las cantidades que se corresponden son constantes. El valor constante de todos esos cocientes se llama constante de proporcionalidad

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ejemplo 2 Hay que recorrer una distancia de 400 km. ¿Qué relación se establece entre la velocidad a la que nos desplazamos y el tiempo que se emplea en recorrer esos 400 km?. velocidad (km/h)

tiempo (h)

100

50

200

80

4

8

2

5

las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales, porque si una crece la otra decrece

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si los productos de las cantidades que se corresponden son constantes. El valor constante de todos esos productos se llama constante de proporcionalidad Completa la tabla indicando las magnitudes relacionadas, si la proporcionalidad es directa o inversa (si existe proporcionalidad)

magnitudes relacionadas

tipo proporcionalidad: directa, inversa o no son proporcionales

El número de personas que van en el autobús y la recaudación. La cantidad de pienso que gasta un granjero a la semana y el número de vacas que posee. El número de páginas de un libro y su precio. El caudal de un manantial y el tiempo que tarda en llenar un cántaro de 20 litros. el número de obreros y el tiempo que tardan en finalizar un trabajos El número de hijos de una familia y el número de días que tienen de vacaciones. La altura de una torre y la longitud de la sombra proyectada. Las horas trabajadas y el dinero que se cobra por dicho trabajo. En una persona, la edad y la estatura. El volumen de una caja y el número de cajas iguales que se pueden almacenar en una nave.

regla de tres (directa e inversa)

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1. Un corredor da 3 vueltas a una pista polideportiva en 12 minutos. Si sigue al

mismo ritmo, ¿cuánto tardará en dar 5 vueltas?

_______ minutos 2. Diez obreros construyen un dique en 8 días. ¿Cuánto tiempo invertirán, en el

mismo trabajo, 16 obreros?

_______ días 3. En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias, se tarda 5 días en servir

un pedido. ¿Qué magnitudes se relacionan?. ¿Cuánto tardará en servir ese pedido si se trabajan 10 horas diarias?. magnitudes relacionadas

________ días 4. Un granjero calcula que en su almacén tiene pienso para dar de comer a 20 vacas

durante medio mes. ¿Qué magnitudes se relacionan en este caso?.¿Cuánto tiempo le durará el pienso si vende 5 vacas? magnitudes relacionadas

_______ meses 5. Una máquina que fabrica tornillos produce un 2% de piezas defectuosas. Si hoy se

han apartado 41 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina?. magnitudes relacionadas

nº de piezas fabricadas _______ 6. Para construir 12 metros de muro se han empleado 6000 ladrillos. ¿Cuántos

ladrillos serán necesarios si se quiere construir un muro de las mismas características de 28 metros de largo? magnitudes relacionadas

nº de ladrillos _______

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7. Tres mangueras iguales tardan 25 minutos en llenar una piscina hinchable.

¿Cuántas mangueras son necesarias para llenar la piscina en un cuarto de hora? magnitudes relacionadas

nº de mangueras ________ 8. En una prueba atlética un corredor que corre a 18km/h tarda media hora en llegar

a la meta. ¿A qué velocidad hay que correr para hacer el recorrido en 29 minutos?. ¿Cuál es la longitud de la prueba? magnitudes relacionadas

_______ km/h

_______ m mide la carrera 9. Tenemos un coche que consume 5 l. de gasolina cada 100 km. Calcula el

consumo en 250 km. ¿En cuántos km. consume 2 l. de gasolina?. magnitudes relacionadas

_______ km Completa la tabla siguiente y dibuja una gráfica que exprese el consumo en función de los km recorridos. km recorridos litros consumidos

100

200

250

300

500

5

operaciones

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litros

km 10. Ese mismo coche tarda 5 horas en hacer un trayecto de 400 km. ¿Cuál es la

velocidad necesaria para hacer el recorrido en 8 h.? magnitudes relacionadas

_______ km/h Completa la tabla siguiente y dibuja una gráfica en la que se muestre el tiempo empleado en recorrer esos 400km en función de la velocidad, colocando la velocidad en el eje horizontal y el tiempo en el vertical. velocidad (km/h) tiempo (h)

80 1

2

4

5

8

10

20

40

80

100

operaciones

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horas

km/h 11. ¿Cuál es el importe de la traducción de una novela de 285 folios, si por el trabajo

de los primeros 30 folios se han pagado 240 euros?. magnitudes relacionadas

_______ € Completa la tabla siguiente y represéntala gráficamente nº folios

50

100

150

200

250

300

350

euros

€

nº folios

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Calcula usando la gráfica que has dibujado cuál será el coste de una traducción de 500 páginas. Calcula también el precio de esa traducción usando la regla de tres. Compara ambos resultados gráfica: el coste de una traducción de 500pg es ________

€

regla de tres:

el coste de una traducción de 500pg es _______

€

12. Con el aceite que hay en un bidón, se han llenado 6 botellas de 3/4 de litro cada

una. ¿Cuántas botellas se podrán llenar si la capacidad de cada botella fuera de 1/ 2 de litro?. ¿Cuál sería la capacidad de las botellas si se necesitasen 10 botellas?. Expresa su capacidad en cm3. magnitudes relacionadas

nº de botellas de 1/2l _______

capacidad de las 10 botellas _______ cm3 Completa la tabla siguiente y represéntala gráficamente. nº botellas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

volumen (cm3)

cm3

nº botellas LA CASA DE EVARISTO NOETHER

7

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13. A una determinada hora del día, un palo vertical de 1’5m. de longitud da una

sombra de 90cm. A esa misma hora la sombra de un edificio es de 30m. Calcula la altura del edificio. Calcula también la longitud de la sombra que proyecta un árbol de 23m de altura. magnitudes relacionadas

altura del edificio _______ m

longitud de la sombra _______ m Completa la tabla siguiente y represéntala gráficamente. altura (m)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

long. sombra (m) sombra (m)

altura (m)

Usando la gráfica y también la regla de tres, calcula la longitud de la sombra proyectada por un objeto de 45m de altura

longitud de la sombra _______ m

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porcentajes Un porcentaje es una fracción con denominador 100: 12 12% = 100

45 45% = 100

3,6 36 3,6% = 100 = 1000

7 7% = 100

Como las fracciones los porcentajes definen una parte del total.

€

Para calcular el p% de una cantidad C se calcula

p⋅ C 100

14. Completa las tablas siguientes: fracción

2/5

30/50

6/100

porcentaje

€

35/100

8/10

5/20

16/25

18/30

52%

96%

13%

50%

0.5

0.07

0.125

0.002

decimal porcentaje

60%

25%

1%

37%

fracción fracción irreducible decimal

0.12

0.01

0.3

0.36

porcentaje fracción 15. Calcula el 10%, el 20%, el 35% y el 75% de cada una de las siguientes cantidades.

1000

450

1600

10

3000

2346

10% 20% 35% 75% 16. Calcula la cantidad total sabiendo que

el 50% es 16

el 20% es 7

el 30% es 97

el 25% es 9

el 10% es 34

el 64% es 4

el 75% es 15

el 2% es 76

el 13% es 81

17. Calcula el porcentaje sabiendo que

total 70, parte 35

total 370, parte 37

total 1200, parte 900

total 220, parte 55

total 56, parte 2’6

total 99, parte 33

total 800, parte 100

total 30, parte 6

total 125, parte 1’25

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18. En el escaparate de una tienda se puede leer el siguiente letrero: Hoy 10% de

descuento en todos los artículos. ¿Cuánto habrá que pagar por una camisa que marca 27,50€?.

precio final camisa_______ 19. A un conductor le multan con 90€ por exceso de velocidad. Como además fue a

pagar la multa fuera de plazo, le aplicaron un recargo del 20%. ¿Cuánto ha tenido que pagar finalmente por la multa?.

finalmente la multa fue de_______ 20. Al comprar un televisor de 900€ nos han hecho un descuento del 12%, ¿cuánto

hemos pagado por el televisor?

precio final del televisor_______ 21. El año pasado un abrigo costaba 135€ y este año ha aumentado un 5%. ¿Cuánto

cuesta actualmente?

precio final del abrigo_______ 22. En una herencia tres hermanos se reparten una finca de 6000m

2

del modo siguiente: Al más pequeño le corresponde el 40%; el mediano y el mayor se llevan el 30% de la finca cada uno. ¿Cuántos m2 mide la finca de cada hermano?.

mayor_______, mediano_______, pequeño_______

incrementos porcentuales Un incremento es una variación. Si el incremento es positivo estamos hablando de un aumento; si el incremento es negativo, de un descenso. Por tanto, los porcentejes que describen incrementos llevan asociado un signo: +p% define un aumento del p%; -p% define un descenso del p% En el cálculo de incrementos porcentuales es útil el llamado índice de variación (iv)

iv = 1±

p 100

Si denotamos Ci la cantidad inicial, Cf la cantidad final de un incremento porcentual de ± p%, entonces Cf = iv ⋅ Ci €

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€

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23. Los trabajadores de un taller han acordado con sus jefes una subida en sus

sueldos del 5% a partir de enero de 2011. ¿Cuál será, a partir de enero de 2011, el sueldo de un trabajador que ganaba 1360’50€ este año?. porcentaje de incremento_______ índice de variación_______

sueldo enero 2011_______ 24. Roberto ha decidido ir comprando libros de una colección, aprovechando que está

rebajada un 25%. El precio de cada libro sin la rebaja es de 7,36€. ¿Cuántos libros podrá comprar con los 48€ que tiene ahorrados?. ¿Cuánto dinero le sobró?. porcentaje de incremento_______ índice de variación_______

precio final de cada libro_______

puede comprar_______libros

dinero que sobró_______ 25. El largo reglamentario de una cancha de tenis es 24m. El ancho es el 34% del

largo, y la altura de la red, el 4% del largo. ¿Cuáles son las medidas reglamentarias de una cancha de tenis?.

ancho de la pista_______

altura de la red_______ 26. Aproximadamente, el 35% de un yogur de fruta de 125gr corresponde a la fruta.

¿Cuántos gramos de fruta contiene el yogur?. ¿Cuántos yogures serán necesarios para que entre todos contengan 1’5kg de fruta?.

gr de fruta en un yogur_______

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nº de yogures necesarios_______ 27. La etiqueta de un brick de leche dice que 1 litro contiene 160mg de calcio, que es

el 20% de la cantidad diaria recomendada para este nutriente. Calcula la cantidad diaria de calcio que debe tomar una persona

CDR de calcio_______ 28. El 2,09% de la superficie de España corresponde a Asturias. ¿Cuál es la superficie

de Asturias si la de España es de 504.782 km2?. Aproximadamente (año 2001) en Asturias viven 1’1 millones de personas y 39 millones en el conjunto de España. ¿Qué porcentaje de población representa Asturias respecto del total de españoles?.

superficie de Asturias_______

% de españoles que viven en Asturias_______ 29. La semana pasada el litro de gasoil costaba 1’12€/litro y esta semana el precio es

de 1’14€/litro. ¿Cuál es el porcentaje de incremento en el precio del carburante?

% incremento_______ 30. Una máquina que fabrica tornillos produce un 2% de piezas defectuosas. Si hoy se

han apartado 41 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina?.

nº de piezas fabricadas_______ 31. El 12% del precio de un reproductor de DVD es 84 €, ¿cuánto cuesta el

reproductor de DVD?

precio del reproductor_______

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32. Compramos unos neumáticos para el coche cuyo precio es de 228’5 €. Si nos han

rebajado 27’42 €, ¿qué porcentaje nos han descontado? precio inicial_______

% de descuento_______ % de incremento_______ 33. ¿Cuánto costará actualmente 1kg de pollo si la semana pasada costaba 3’20€/kg y

en la última semana el precio bajó un 5%?. ¿Cuál es el ahorro para un restaurante que compra 260kg de pollo a la semana?. % de incremento_______ índice de variación_________

precio actual del pollo_________€/kg

ahorro para el restaurante_________€ 34. En una ciudad española, en el último año el paro se incrementó un 3’5% lo que

supone 2150 parados más. ¿Cuántos parados hay actualmente en dicha ciudad?. ¿Cuántos parados había hace un año? % de incremento_______ índice de variación_________

nº actual de parados_________

nº parados hace un año_________ 35. Calcula el porcentaje de incremento de la población española entre 2003 y 2004, si

en 2003 la población era de 42’7 millones y en 2004 de 43’2 millones.

incremento de población_________%

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encadenar incrementos porcentuales Cuando se encadenan varios incrementos porcentuales el porcentaje de incremento final no es la suma de los porcentajes de incremento de cada paso. Para calcular el porcentaje de incremento final se usa el índice de variación. En una cadena de incrementos porcentuales, el índice de variación final es el producto de los índices de variación de cada paso. 36. Las ventas de automóviles descendieron un 12% el mes pasado y un 5% este

mes. ¿Cuál es el porcentaje de descenso en estos dos últimos meses? índice variación 1º mes_______ índice variación 2º mes______ índice variación final_______ % descenso_______ 37. Un artículo que costaba 342€ ha sufrido los siguientes incrementos en su precio:

primero +3%, después -5% y por último +7’5%. Calcula el incremento total y el precio final del artículo. iv1_______, iv2_______, iv3_______

índice variación total_______

precio final_______ 38. Los ingresos mensuales de un negocio han aumentado un 20% y un 30% en los 2

meses anteriores. Este mes los ingresos han sido de 13850€ y han descendido un 25% respecto del mes anterior. ¿Cuál ha sido el porcentaje total de incremento?. ¿Cuáles fueron los ingresos del negocio hace 3 meses? iv1_______, iv2_______, iv3_______

índice variación total_______

% incremento final_______

ingresos hace 3 meses_______

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