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2º ESO Semejanza y Proporcionalidad
DIDÁCITCA UNIDAD Semejanza y proporcionalidad. 2º eso
Gómez Fernández, Josefina / Guisado Fernández, Beatriz / Pérez Gil, Cristina / Romero Sánchez ,María Dolores
Recursos metodológicos para la enseñanza de matemáticas
CONTEXTUALIZACIÓN
2.
JUSTIFICACIÓN
3.
CONTENIDOS
4.
COMPETENCIAS BÁSICAS
5.
CONCEPTOS PREVIOS
6.
OBJETIVOS
7.
METODOLOGÍA
8.
TEMPORIZACIÓN
9.
CLIMA DE CLASE
10.
ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
11.
RECURSOS
12.
EVALUACIÓN
13.
REFERENCIAS
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1.
1.1 El centro
Localización: Carmona, población a unos 30 kilómetros de Sevilla. Sin problemas de convivencia graves generalizados. Mayoría del profesorado de destino definitivo.
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1.2 El aula
Nivel socioeconómico del alumnado del centro: medio, con algunos alumnos de nivel cultural alto y bajo.
Disponibilidad de una pizarra digital y convencional.
Grupo de 2º de ESO A esta formando por 26 alumnos/as
14 alumnos siguen un Programa de Refuerzo en Lengua y Matemáticas: 6 alumnos/as que repiten curso 1 alumno con necesidades educativas especiales 7 alumnos/as con las matemáticas suspensas del curso anterior
Han comenzado el curso con gran apatía y pasividad. Por ello, se potenciara el trabajo en casa y en clase y se propondrán en clase actividades de motivación.
2.1 Justificación legal Real Decreto 1631/2006: CONTENIDO DE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Figuras con la misma forma y distinto tamaño. La semejanza. Identificación de relaciones de semejanza. Ampliación y reducción de figuras. obtención ,cuando sea posible del factor de escala utilizado. razón entre las superficies de figuras semejantes. Utilización del teorema de tales para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras
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Proporcionalidad de segmentos.
Ley Orgánica 2/2006, de 3 de Mayo, de educación (LOE) Ley 17/2007 de 10 de diciembre de educación de Andalucía (LEA) Decreto 231/2007, de 31 de Julio, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía (D-231) Decreto 327/2010 de 13 de julio , por el que se aprueba el Reglamento Orgánico de los Institutos de Educación Secundaria Orden de 10 de Agosto de 2007, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Secundaría Obligatoria en Andalucía. Orden de 10 de agosto de 2007, por la que se establece la ordenación de la evaluación del proceso de aprendizaje del alumno de Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía Orden del 25 de julio de 2008, por la que se regula la atención a la diversidad del alumnado que cursa la educación básica en los centros docentes de Andalucía.
2.2 Justificación histórica
“La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.". De ahí dedujo:
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El origen de la geometría es algo conjeturable, pues no hay documentos que nos permitan seguir la pista de la evolución de una idea o teorema conocido. El desarrollo de la geometría se vio estimulado por las necesidades prácticas de la construcción y de la agrimensura como por un sentimiento estético de diseño y orden. Fueron muchos los científicos y matemáticos que utilizaron intuitivamente el concepto de semejanza para resolver algunos problemas. Conforme pasa el tiempo surge la necesidad de estudiar este fenómeno más afondo ya que sigue apareciendo en muchas facetas de la vida. Entre todos ellos, en nuestro tema es de destacar el Matemático griego Tales (siglo VI a.d.C.)al que se le atribuyen varios teoremas. Consiguió, de una manera ingeniosa, medir la altura de la Gran Pirámide de Keops.
"En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura”.
2.3 Justificación por su adecuación a la vida real
Las perspectivas de figuras ya sean árboles, calles, alturas, etc…
Las proyecciones de cine, diapositivas, transparencias, etc.
La obtención de fotografías, croquis, mapas, planos, etc.
Las maquetas, mapas en relieve, etc.
Las visualizaciones en microscopios o telescopios.
Estimación de alturas y distancias a veces inaccesibles.
Aplicaciones en la astronomía para calcular diámetros y distancias.
En ingeniería para conocer profundidades o dimensiones.
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El conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en nuestra vida cotidiana:
Figuras semejantes.
Razón de semejanza.
Proporcionalidad de segmentos.
Relación entre áreas de figuras semejantes.
La escala: planos, mapas y maquetas.
El teorema de Tales.
Semejanza de triángulos. Triángulos en posición de Tales.
Aplicaciones de la semejanza de triángulos.
Métodos para la construcción de figuras semejantes. Homotecia.
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3.1 Conceptuales
Reconocimiento de figuras semejantes.
Cálculo y aplicación de la razón de semejanza.
Cálculo de segmentos proporcionales.
Cálculo de áreas de figuras semejantes.
Cálculo de distancias y medidas reales a través de una escala.
Obtención de la escala en planos, mapas y maquetas.
Reconocimiento de triángulos semejantes.
Reconocimiento de triángulos en posición de Tales.
Cálculo de medidas mediante la aplicación de la semejanza de triángulos.
Construcción de figuras semejantes mediante proyección.
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3.2 Procedimentales
3.3 Actitudinales Capacidad de esfuerzo y actitud responsable.
Autonomía y confianza en las propias capacidades.
Valoración del trabajo en equipo, actitud de respeto hacia los demás y capacidad de diálogo.
Capacidad de reflexión y sentido crítico.
Interés por la geometría y su aplicación a la resolución de problemas.
Valoración de la importancia de la geometría en la aplicación a situaciones de la vida real y su presencia en el arte, la naturaleza y otros ámbitos.
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3.4 Transversales Valoración de nuestro patrimonio.
Se aprovechan las explicaciones de clase y las actividades propuestas para introducir conocimientos que permitan a los alumnos valorar nuestro patrimonio.
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COMPETENCIA MATEMÁTICA(CM)
COMPETENCIA EN COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA (CCL)
COMPETENCIA EN EL CONOCIMIENTO Y LA INTERACCION CON EL MUNDO FÍSICO
(CC Y IMF)
TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL (TI Y CD)
COMPETENCIA SOCIAL Y CIUDADANA (CSC)
COMPETENCIA CULTURAL Y ARTÍSTICA (CCA)
COMPETENCIA PARA APRENDER A APRENDER (CAA)
AUTONOMIA E INICIATIVA PERSONAL (A E IP)
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Elementos básicos para la descripción de las figuras geométricas en un plano.
Análisis de relaciones y propiedades de figuras en el plano: paralelismo y perpendicularidad.
Clasificación de triángulos y cuadriláteros a partir de diferentes criterios.
Polígonos regulares. La circunferencia y el círculo.
Construcción de polígonos regulares.
Medida y cálculo de ángulos en figuras planas.
Estimación y cálculo de perímetros y áreas de figuras.
Simetría de figuras planas.
Empleo de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos.”
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5.1 Contenidos mínimos de 1º ESO
5.2 Nivel cognitivo de los alumnos
Lluvia de ideas
Prueba de diagnóstico por parejas
Objetivos: Evaluar los conocimientos previos de los alumnos. Contribuir al desarrollo de la competencia social y ciudadana. Fomentar la motivación del alumnado.
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Su evaluación forma parte de la primera sesión.
6.1 Objetivos generales de etapa y de la materia Son los recogido en la Ley Orgánica de Educación 2006.
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6.2 Objetivos específicos Comprobar y construir segmentos proporcionales Conocer y comprender el concepto de semejanza y la razón de semejanza. Conocer los distintos criterios de semejanza de triángulos y aplicarlos en la resolución de problemas geométricos Resolver triángulos utilizando las nociones de semejanza. Conocer y aplicar el teorema de Tales Identificar figuras o polígonos semejantes y deducir su razón de semejanza Construir (con regla y compás, GeoGebra,…) un polígono (o figura) semejante a otro, dada la razón . Establecer la relación entre las razones de perímetro, y superficie de figuras semejantes Emplear los conocimientos del tema para resolver problemas prácticos( cálculo de distancias inaccesibles). Conocer y utilizar la escala , en su forma numérica y en su forma geométrica para calcular distancias y áreas en mapas, planos y maquetas .
Aprendizaje significativo
Organización de la unidad didáctica en 13 sesiones.
Desarrollo de las clases:
Repaso de los contenidos anteriores. Corrección de actividades de casa. Introducción de nuevos contenidos. Ejemplo de aplicación Proposición de ejercicios para casa.
Desarrollo de las competencias básicas.
Especial atención a alumnos con dificultades de aprendizaje.
Utilización de recursos informáticos en el aula.
Realización de un trabajo grupal.
Lectura de un libro.
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CONTENIDO (por sesión de 50 minutos)
1
Evaluación de conocimientos previos. Repaso de conceptos de 1º de ESO.
2
Proporcionalidad de segmentos. Semejanza. Figuras semejantes. Razón de semejanza. Relación entre áreas.
3
Semejanza. Razón de semejanza. La escala: planos, mapas y maquetas.
4
La escala: planos, mapas y maquetas. Aplicación práctica.
5
El teorema de Tales.
6
Semejanza de triángulos. Triángulos en posición de Tales.
7
Semejanza de triángulos. Triángulos rectángulos.
8
Aplicaciones de la semejanza de triángulos.
9
Aplicaciones de la semejanza de triángulos.
10
Métodos para la construcción de figuras semejantes. Homotecia.
11
Esquema final del tema y autoevaluación.
12
Examen.
13
Corrección de examen y resolución de dudas.
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Nº
SESIÓN 1 Ideas previas Actividad 1: Lluvia de ideas Desarrollo:
Duración: 20 minutos
1. El profesor lanza a sus alumnos las preguntas: ¿qué significa que dos objetos son semejantes?¿y proporcionales?. Los estudiantes deben responder a la cuestión por turnos, levantando la mano para intervenir, mientras que el profesor anota las distintas ideas en la pizarra. Cuando tenga un número considerable de notas (de 6 a 8), pasará a la siguiente cuestión.
3. Finalmente, se pregunta a los alumnos si alguien recuerda cómo se pueden establecer relaciones entre los tamaños de distintos objetos (razón de semejanza) y realiza las aclaraciones pertinentes sobre el concepto de proporcionalidad. 4. Tras este primer acercamiento al nivel cognitivo de los alumnos, el profesor indica cuáles de las respuesta dadas son las más acertadas y realiza las aclaraciones pertinentes sobre el concepto de semejanza.
Actividad 2: Prueba de diagnóstico por parejas Desarrollo:
Duración: 15 minutos
Se entrega a los alumnos una pequeña prueba de diagnóstico, la cual han de realizar por parejas (cada alumno con su compañero de al lado) y en quince minutos de tiempo. La finalidad de esta actividad no es la mera evaluación de sus conocimientos previos, sino que se pretende que trabajen colaborativamente para intentar hallar la solución de los ejercicios propuestos. Al realizarse por parejas, se contribuye al desarrollo de la competencia social y ciudadana, a la vez que se fomenta la motivación del alumnado. Dicha prueba se compone de tan sólo dos ejercicios y queda definida en el anexo III Actividad 3: Corrección de la prueba de diagnóstico por parejas Desarrollo:
Duración: 15 minutos
Una vez transcurrido el tiempo establecido, el profesor corregirá los ejercicios de la prueba en la pizarra, de manera que se realiza un repaso general de algunos conceptos básicos antes de comenzar de la unidad. Mientras el profesor explica, los alumnos no podrán modificar sus respuestas, ya que dichos ejercicios servirán al profesor para conocer el nivel cognitivo de los alumnos y no recibirán calificación. .
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2. En el proyector del aula, mostrará dos imágenes iguales, pero de distinto tamaño, y varios segmentos proporcionales. Entonces, realizará las siguientes preguntas: ¿son estos objetos semejantes? ¿y los segmentos proporcionales? En este caso, se realizará una votación y el profesor anotará en la pizarra el número de respuestas afirmativas y negativas que han dado los alumnos.
SESIÓN 1 Ideas previas Actividad 1: Lluvia de ideas Desarrollo:
Duración: 15 minutos
1. El profesor lanza a sus alumnos la pregunta: ¿qué significa que dos objetos son semejantes?. Los estudiantes deben responder a la cuestión por turnos, levantando la mano para intervenir, mientras que el profesor anota las distintas ideas en la pizarra. Cuando tenga un número considerable de notas (de 6 a 8), pasará a la siguiente cuestión.
3. Finalmente, se pregunta a los alumnos si alguien recuerda cómo se pueden establecer relaciones entre los tamaños de distintos objetos (razón de semejanza). 4. Tras este primer acercamiento al nivel cognitivo de los alumnos, el profesor indica cuáles de las respuesta dadas son las más acertadas y realiza las aclaraciones pertinentes sobre el concepto de semejanza.
Actividad 2: Prueba de diagnóstico por parejas Desarrollo:
Duración: 15 minutos
Se entrega a los alumnos una pequeña prueba de diagnóstico, la cual han de realizar por parejas (cada alumno con su compañero de al lado) y en quince minutos de tiempo. La finalidad de esta actividad no es la mera evaluación de sus conocimientos previos, sino que se pretende que trabajen colaborativamente para intentar hallar la solución de los ejercicios propuestos. Al realizarse por parejas, se contribuye al desarrollo de la competencia social y ciudadana, a la vez que se fomenta la motivación del alumnado. Dicha prueba se compone de tan sólo dos ejercicios y queda definida en el anexo III Actividad 3: Corrección de la prueba de diagnóstico por parejas Desarrollo:
Duración: 15 minutos
Una vez transcurrido el tiempo establecido, el profesor corregirá los ejercicios de la prueba en la pizarra, de manera que se realiza un repaso general de algunos conceptos básicos antes de comenzar de la unidad. Mientras el profesor explica, los alumnos no podrán modificar sus respuestas, ya que dichos ejercicios servirán al profesor para conocer el nivel cognitivo de los alumnos y no recibirán calificación. .
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2. En el proyector del aula, mostrará dos imágenes iguales, pero de distinto tamaño. Entonces, realizará la siguiente pregunta: ¿son estos objetos semejantes? En este caso, se realizará una votación y el profesor anotará en la pizarra el número de respuestas afirmativas y negativas que han dado los alumnos.
SESIÓN 2 Semejanza Actividad 1: Explicación de conceptos Desarrollo:
Duración: 20 minutos
Empezamos la sesión introduciendo el concepto de semejanza, razón de semejanza y su aplicación en figuras con el ejemplo los llaveros de recuerdo de las ciudades, en concreto de la localidad. Para ello les explicamos la utilización de la proporcionalidad numérica. Les preguntamos si creen que la imagen es proporcional (semejante ) al edificio real, introduciendo ahí la proporcionalidad de segmentos.
Actividad 2: Resolución de ejercicios
Duración: 15 minutos
Desarrollo:
a)
Ejercicio 1: Las dimensiones de un rectángulo son 6cm y 8cm. Elige entre los siguientes los que sean semejantes a él e indica la razón de semejanza: 24cm y 34cm b) 6cm y 7cm c) 18cm y 24cm d) 3cm y 4cm Ejercicio 2: Con una fotocopiadora queremos reducir el dibujo de abajo para que quepa en una cuartilla (10,5cm x14,8 cm). ¿Cuál es la razón de semejanza que reduce el dibujo?
Actividad 3: Explicación y ejercicios de relación área en semejanza
Duración: 15 minutos
Desarrollo: Explicamos la relación de áreas de figuras semejantes y su conexión con la razón de semejanza de dos figuras. Ejercicio 3: Queremos construir una casita semejante a la de abajo con razón de semejanza 1,5.Para fabricar la de abajo se han necesitado 7,2 de cartulina. ¿Cuánta cartulina se necesita (cm2)?
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Después de explicar los conceptos los alumnos tienen que escribirlo en sus cuadernos y encuadrarlos para que tengan claro y a mano lo definido en esta sesión.
SESIÓN 2 Semejanza Tareas para casa
Desarrollo:
Actividad 5: Un rectángulo tiene unas dimensiones de 5cm por 7,5cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 6cm. Halla: La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo. El lado mayor del segundo. Las áreas de ambos cuadrados. Actividad 6: Ejercicio de GeoGebra(optativo) http://www.geogebratube.org/student/m33974
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Actividad 4: En el blog de la asignatura le colgamos un ejercicio en GeoGebra para que refuercen y amplíen los conceptos explicados en clase.
SESIÓN 3 Semejanza. Escalas, mapas, planos y maquetas Actividad 1: Corrección de ejercicios y repaso de lo anterior Desarrollo:
Duración: 10 minutos
Repasamos los conceptos de semejanza y razón de semejanza definido ayer, corregimos los ejercicios y problemas planteados en la sesión anterior . Actividad 2: Ejercicio de repaso de Semejanza y razón de semejanza
Duración: 15 minutos
Ejercicio 1: Dos piscinas son semejantes. La primera mide 15m de largo, y la otra, 30m.¿Cuál es la razón de semejanza? Si la primera tiene 1,40m de profundidad, ¿cuál es la profundidad de la segunda? Impermeabilizar el interior de la pequeña costó 1650 €. ¿Cuánto costará impermeabilizar la grande? Ejercicio 2:http://www.edistribucion.es/anayaeducacion/8430049/datos/U08/ar_p176/index.html
Actividad 3: Explicación de concepto de escala. Resolución de ejercicios sobre la escala
Duración: 25 minutos
Desarrollo: Con un plano por delante ( en la pizarra) explicamos el concepto de escala la relación con el plano y la maqueta, y su aplicación en la vida cotidiana. Su uso en juguetes, viajes, aviones … Ejercicio 1: Una pareja va a comprar una casa, consulta una callejero a escala 1:30000, mide la distancia de esta al metro y resulta ser de 2 cm. ¿Cuál es la distancia real? Por otro lado saben que la distancia de esa casa a la guardería es de 1,5km.¿A qué distancia se encontrarán en el callejero? Ejercicio 2 : Un coche teledirigido de “Formula 1” viene a escala 1:20. ¿Cuáles son las dimensiones reales del coche?
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Desarrollo:
SESIÓN 3 Escalas, mapas planos y maquetas
Ejercicio 1: El plano de la figura representa el comedor de una vivienda. La escala a la que está representando es 1:100. ¿Cuáles son las dimensiones reales de esta sala?
Ejercicio 2: La verdadera distancia de La Coruña a Gijón, en línea recta, es de 220 km. En un mapa la medimos con la regla y resulta ser de 11 cm. ¿Cuál es la escala del mapa?
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Tareas para casa Desarrollo:
SESIÓN 4 Escalas, mapas planos y maquetas Aplicación práctica. Actividad 1: Corrección, Repaso y ejercicio introductorio Desarrollo:
Duración: 10 minutos
Actividad 2: Trabajo en grupo. Plano de la clase
Duración: 20 minutos
Desarrollo: Agrupamos a los alumnos de cuatro en cuatro y tras repartir metros les exponemos que vamos a realizar un plano de la clase anotando la escala y haciendo que el plano sea semejante a la clase. Una vez realizados los planos se recogen y volvemos a repartirlos aleatoriamente para que ellos decidan si están hechos correctamente y si se aplica bien la escala.
Actividad 3: Aplicación escala. Distancia a Casa Desarrollo:
Duración: 20 minutos
Distribuimos a los alumnos en parejas, con la ayuda de internet buscamos un mapa de nuestro pueblo, localizamos el instituto y nuestra casa en el mapa. Con los datos que nos da el mapa (escala) y los que adquieren de dicho mapa (distancia en el mapa) calculan la distancia a su casa en metros y kilómetros. Comprobamos los resultados con la aplicación de Googlemaps.
Tareas para casa Desarrollo: Tarea 1: Para fomentar la autonomía y la curiosidad de los alumnos le aconsejamos que realicen este ejercicio y que posteriormente nos digan dónde está el tesoro. http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/gemetria/escalas_y_planos/tesoro2/actividad.html Tarea 2: Les mandamos un “Test” sobre escala con preguntas rápidas de dicho tema para reforzar y agilizar el manejo de estos conceptos. http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/553618/escala_del_mapa.htm
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En esta clase nos mudamos al aula de informática. Empezamos la clase corrigiendo los ejercicios y problemas mandados a casa, repasamos los conceptos aprendidos ayer. Ejercicio 1: Una pareja va a comprar una casa, consulta una callejero a escala 1:30000, mide la distancia de esta al metro y resulta ser de 2 cm. ¿Cuál es la distancia real?. Por otro lado saben que la distancia de esa casa a la guardería es de 1,5km.¿A qué distancia se encontrarán en el callejero?
SESIÓN 5 Actividad 1: Corrección de tareas de la sesión nº4 Desarrollo: Se corrigen las tareas enviadas para realizar en casa en la sección anterior.
Duración: 15 minutos
Actividad 2: Exposición en la pizarra Desarrollo:
Duración: 20 minutos
Hacemos un breve resumen de los conceptos estudiados sobre segmentos proporcionales y razón de semejanza. Introducimos la explicación contándoles a los alumnos algunas reseñas históricas sobre Tales de Mileto, qué descubrimientos matemáticos realizó y cómo consiguió medir la altura de la pirámide de Keops recurriendo a su sombra. Seguidamente, utilizando la pizarra, explicamos el teorema de Tales, haciendo hincapié en la importancia de este teorema en el estudio de la geometría, en el que nos apoyaremos para estudiar los conceptos siguientes de la unidad.
Actividad 3: Ejemplos de aplicación
Duración: 15 minutos
Desarrollo: Ejemplo 1: Sabiendo que a, b y c son paralelas, calcula x.
Actividad 4: Tareas para casa Desarrollo: Tarea 1. Sabiendo que a, b y c son paralelas, calcula x e y.
Tarea 2. Calcula la dimensión de x sabiendo que a, b y c son paralelas.
Ejemplo 2: Traza dos rectas cualesquiera, r y s. Traza una recta a que corte a las dos rectas anteriores. Traza rectas paralelas a la recta a. Comprueba, aplicando el teorema de Tales, cómo los segmentos formados en ambas rectas son proporcionales.
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Teorema de Tales.
SESIÓN 6 Semejanza de triángulos. Triángulos en posición de Tales. Actividad 1: Corrección de tareas de la sesión nº5 Desarrollo: Se corrigen las tareas de casa propuestas en la sección anterior.
Duración: 15minutos
Actividad 2: Exposición
Duración: 20 minutos
1. Explicamos a los alumnos la importancia de los triángulos como figuras básicas para el estudio de las demás figuras geométricas. Recordamos los conceptos aprendidos en la sesión anterior sobre el teorema de Tales y en otras sesiones sobre figuras semejantes, y lo aplicamos a los triángulos. Ayudándonos de figuras preparadas en Geogebra, explicamos que si dos triángulos son semejantes se pueden poner en posición de Tales; y viceversa, si dos triángulos se pueden poner en posición de Tales, son semejantes. Explicamos también algunos criterios de semejanza de triángulos: si dos ángulos de un triángulo son semejantes a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. 2. Con ayuda del proyector, mostramos a los alumnos una foto del Puente del Alamillo de Sevilla y hacemos la siguiente pregunta: ¿Crees que los triángulos que se forman en el puente del Alamillo están en posición de Tales?
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Desarrollo:
SESIÓN 6 Semejanza de triángulos. Triángulos en posición de Tales. Duración: 15 minutos
Desarrollo: Ejemplo 1: Comprobar si estos dos triángulos se pueden poner en posición de Tales.
Actividad 3: Tareas para casa Desarrollo:
Tarea1. Explica por qué estos dos triángulos isósceles son semejantes.
Ejemplo 2: Explica si estos dos triángulos son semejantes. ¿Se pueden poner en posición de Tales? Tarea 2. . Los lados de un triángulo miden 7,5 cm, 18 cm y 19,5 cm. Se construye otro semejante a él cuyo lado menor mide 5 cm. a) ¿Cuán es la razón de semejanza al pasar del primero al segundo? b) ¿Cuánto medirán los otros dos lados del segundo triángulo? c) ¿Se pueden poner en posición de Tales?
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Actividad 2: Ejemplos de aplicación
SESIÓN 7 Semejanza de triángulos. Triángulos rectángulos. Actividad 1: Corrección de tareas de la sesión nº6 Desarrollo: Se corrigen las tareas de la sesión anterior.
Duración: 15minutos
Actividad 2: Exposición Desarrollo:
Duración: 20 minutos
-Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual. -Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen sus dos catetos proporcionales o bien un cateto y la hipotenusa proporcionales.
Actividad 3: Ejemplos de aplicación
Duración: 15 minutos
Desarrollo: Ejemplo 1: Explicar por qué los siguientes triángulos son semejantes.
Ejemplo 2: Explica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángulo igual. Entre los siguientes triángulos rectángulos, hay algunos semejantes entre sí. Averigua cuáles son calculando previamente el ángulo que le falta a cada uno de ellos.
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Se repasan los contenidos de la última sesión, que ahora vamos a aplicar a los triángulos rectángulos. Se explica la importancia de los triángulos rectángulos en la geometría y algunos criterios para comprobar fácilmente si dos triángulos rectángulos son semejantes:
SESIÓN 7 Semejanza de triángulos. Triángulos rectángulos. Actividad 3: Tareas para casa Desarrollo:
Tarea 2. Demuestra que los triángulos ABC, AHB y BCH son semejantes, comprobando que sus lados son proporcionales.
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Tarea1. En un triángulo rectángulo, el cateto mayor mide 10 cm y la hipotenusa 15 cm. En otro triángulo rectángulo el cateto mayor es de 2 cm, y la hipotenusa de 3 cm. Comprobar si son semejantes.
SESIÓN 8 Aplicaciones de la semejanza de triángulos. Actividad 1: Corrección de tareas de la sesión nº7 Desarrollo: Se corrigen las tareas enviadas para realizar en casa en la sección anterior.
Duración: 15minutos
Actividad 2: Exposición y lluvia de ideas Desarrollo:
Duración: 15 minutos
Tales calculó fácilmente la altura de la pirámide de Keops través de su propia sombra. 2. Lanzamos la siguiente pregunta a los alumnos, promoviendo su participación en las respuestas: ¿Cómo podríamos medir la altura de un edificio como la Giralda? Los alumnos responderán levantando la mano previamente y respetando el turno de palabra. Se irán anotando las distintas ideas en la pizarra. 3. A continuación, explicamos cómo aplicando la semejanza de triángulos rectángulos podemos calcular la altura de un objeto a través de su sombra.
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1. Se repasan los contenidos de la última sesión. Les recordamos la anécdota de cómo
SESIÓN 8 Aplicaciones de la semejanza de triángulos. Actividad 3: Ejemplos de aplicación a la vida real
Duración: 20 minutos
Desarrollo: Ejemplo 2: Calcular la altura del árbol, sabiendo que la longitud de la estaca es 1m, la sombra del árbol es 15 m y la sombra de la estaca es 1.5 m.
Actividad 4: Tareas para casa Desarrollo:
Tarea 1. En un parque tenemos cuatro árboles cuyas sombras miden, a las cinco de la tarde, 12 m, 8 m, 6m y 4 m, respectivamente. El árbol más pequeño mide 2,5 m. ¿Cuánto miden los demás
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Ejemplo 1: Calcula la altura de la pirámide que proyecta una sobra de 1.5 m, sabiendo que la estaca, que mide 1 m, proyecta una sombra de 1,2 m y que la base de la pirámide tiene 6 m. de lado.
SESIÓN 9 Aplicaciones de la semejanza de triángulos. Actividad 1: Corrección de tareas de la sesión nº9 Desarrollo: Se corrigen las tareas enviadas para realizar en casa en la sección anterior.
Duración: 15minutos
Actividad 2: Exposición Desarrollo:
Duración: 15 minutos
Actividad3: Ejemplos de aplicación a la vida real Desarrollo:
Duración: 20 minutos
Ejemplo 1: En la siguiente imagen vemos cómo el chico lanza una visual desde el borde de la mesa al punto más alto de la casa. Desde esta visual, mueve la regla, situándola de modo que su extremo quede alineado con la visual. Calcula la altura de la casa, sabiendo que la longitud de la regla es b=35 cm, la distancia del borde la mesa al pie de la rebla es a=50 cm, la distancia del borde de la mesa a la casa es d=4,5 m y la altura de la mesa es de 80 cm.
Ejemplo 2. Juan se sitúa de tal manera que la parte alta de la verja y la parte alta del edificio estén alineadas con sus ojos. Señala su posición y toma las medidas que se ven en el dibujo. a) Explica por qué los triángulos ABC y CDE son semejantes.
b) Calcula ED. c) Calcula la altura del edificio.
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1. Explicamos cómo aplicando la semejanza de triángulos rectángulos podemos calcular la altura de un objeto sin necesidad de recurrir a la sombra, alineando nuestra visual con algún objeto, por ejemplo una regla, y el punto más alto del objeto a medir.
SESIÓN 9 Aplicaciones de la semejanza de triángulos. Actividad 4: Tareas para casa Desarrollo:
Actividad 5: Propuesta de trabajo grupal Desarrollo:
Al final de la clase, propondremos a los alumnos la realización de un trabajo a desarrollar en grupos de 3, en el que tendrán que medir la altura de un edificio importante de la localidad (el que ellos elijan) aplicando los contenidos vistos en la unidad. Este trabajo lo entregarán antes de finalizar el trimestre, y lo enviarán por correo electrónico. Este trabajo permite relacionar los contenidos de la unidad con el entorno del alumno y aplicarlos a la vida real, desarrollando todas las competencias básicas establecidas en el RD 1631/2006.
DIDÁCITCA UNIDAD Semejanza y proporcionalidad. 2º eso
Tarea 1. Explica con tus palabras cómo podrías medir la altura de la Torre del Oro o las columnas de la Alameda de Hércules de Sevilla.
SESIÓN 10 Actividad 1: Corrección de tareas de la sesión nº9 Desarrollo: Se corrigen las tareas enviadas para realizar en casa en la sección anterior.
Duración: 15minutos
Actividad 2: exposición magistral en la pizarra Desarrollo:
Duración: 15minutos
1.
El profesor construye mediante GeoGebra una figura geométrica para que los alumnos visualicen mediante un método deductivo y manipulativo las figuras homotéticas.
.
2. Introducimos el concepto de figura homotética, de centro de homotecia, de razón de homotecia y de razón de homotecia entre las áreas de figuras homotéticas.
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Métodos para la construcción de figuras semejantes. Homotecia.
SESIÓN 10 Métodos para la construcción de figuras semejantes. Homotecia.
Actividad 3: relación del concepto con la vida real Desarrollo:
Duración: 5 minutos
Actividad 4: Realización de ejercicios
Duración: 10 minutos
Desarrollo: Una vez explicada la teoría se realizaran en clase actividades para comprender los conceptos EJ.1 Señala el centro y la razón de homotecia en los siguientes casos:
EJ.2 Determina si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones respecto de la homotecia de la figura dada. Justifica tus respuestas a) El centro de homotecia está fuera del triángulo A´B´C´ b) El factor K de la homotecia que envía el triángulo ABC en triángulo A´B´C´ es negativo.
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Se enumeran ejemplos de la utilización del concepto de homotecia en la vida cotidiana, para que les ayude a interiorizar el concepto y sean conscientes de su utilidad.
SESIÓN 10 Métodos para la construcción de figuras semejantes. Homotecia.
Actividad 5: Tareas para realizar en casa
Duración: 5 minutos
Una lámpara situada a 25cm de una lámina cuadrada de 20cm de lado proyecta una sombra sobre una pantalla paralela que está a 2,5m de la lámpara. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado proyectado?
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Desarrollo: ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es de 1,2m y alejándose 0,8m del borde, desde una altura de 1.7m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?
SESIÓN 11 Esquema final del tema y autoevaluación. Actividad 1: Corrección de tareas de la sesión nº10 Desarrollo:
Duración: 15minutos
Actividad 2: Esquema resumen Desarrollo:
Duración: 20minutos
Con la participación de los alumnos el profesor realiza el esquema resumen del tema, incluyendo los conceptos más importantes.
Actividad 3: Cuestionario de autoevaluación Desarrollo:
Duración: 15minutos
El profesor entrega un cuestionario de autoevaluación a los alumnos para ayudarlos a prepararse el examen. Esta actividad la realizan en casa y servirá para orientar a los alumnos en el estudio del tema. Dicho cuestionario queda definido en el anexo II
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Se corrigen las tareas enviadas para realizar en casa en las sección anterior.
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SESIÓN 11
Esquema final del tema y autoevaluación.
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SESIÓN 11
Esquema final del tema y autoevaluación.
SESIÓN 12 Examen. Actividad 1: Examen escrito Desarrollo:
Duración: 50minutos
Una vez que hemos repasado e introducido todos los conceptos del tema en la penúltima sesión realizamos el examen escrito. En él se evalúan los conceptos que se han explicado y trabajado en clase, para comprobar que se han alcanzados los objetivos definidos.
Dicho examen queda definido en el anexo III
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Las actividades que componen el examen serán de distinto grado de dificultad , para que nos ayuden a evaluar el nivel de conocimiento adquirido por cada alumno .
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SESIÓN 12 Examen.
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SESIÓN 13 Examen.
SESIÓN 14 Resolución del examen. Corrección de dudas.
Actividad 1: Corrección del examen
Duración: 50minutos
En la última sesión del tema, el profesor corrige en la pizarra el examen y resuelve totas las dudas que planteen los alumnos, además se pasara un listado para que indiquen la puntuación que esperan obtener .
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Desarrollo:
CONTENIDOS
SESIONES
COMPETENCIAS
Comprobar y construir segmentos proporcionales
Proporcionalidad de segmentos Reconocimiento de figuras semejantes
S1 S2
Conocer y comprender el concepto de semejanza y la razón de semejanza.
Figuras semejantes Razón de semejanza Reconocimiento de figuras semejantes
S1 S2 S3
CM / CCL / CC Y IMF / CSC / CAA A E IP CM / CCL / CC Y IMF / CSC / CAA / A E IP / TI Y CD
Conocer los distintos criterios de semejanza de triángulos y aplicarlos en la resolución de problemas geométricos
Semejanza de triángulos. Triángulos en posición de Tales Cálculo de medidas mediante la aplicación de la semejanza de triángulos
S6 S7
CCL / CM / CC Y MF / TI Y CD / CCA / CAA A E IP
Resolver triángulos utilizando las nociones de semejanza.
Aplicaciones de la semejanza de triángulos
S6 S7
Conocer y aplicar el teorema de Tales
El teorema de Tales. Reconocimiento de triángulos en posición de Tales Cálculo de medidas mediante la aplicación de semejanza de triángulos.
Identificar figuras o polígonos semejantes y deducir su razón de semejanza
Relación entre áreas de figuras semejantes Métodos para la construcción de figuras semejantes mediante proyección.
S5 S6 S7 S8 S9 S6 S7 S8 S9
CCL / CM / CC Y MF / TI Y CD / CCA / CAA / A E IP CCL / CM / CC Y MF / TI Y CD / CSC / CCA / CAA / A E IP
Construir (con regla y compás, Geogebra,…) un polígono (o figura) semejante a otro, dada la razón.
Construcción de figuras semejantes mediante proyección
Establecer la relación entre las razones de perímetro, y superficie de figuras semejantes
Relación entre áreas de figuras semejantes. Cálculo y aplicación de la razón de semejanza.
S2 S3
CCL / CM / CC Y MF / TI Y CD / CSC / CCA / CAA / A E IP
S2 S3 S5 S10 S2 S3
CCL / CM / CD / CAA / A E IP / TI Y CD / CC Y IMF
Emplear los conocimientos del tema para resolver Aplicaciones de la semejanza de triángulos Cálculo de medidas mediante la aplicación de la problemas prácticos (cálculo de distancias semejanza de triángulos. inaccesibles).
S8 S9 S10
CCL / CM / CC Y MF / TI Y CD / CSC / CCA / CAA / A E IP
Conocer y utilizar la escala, en su forma numérica La escala: planos , mapas, maquetas Cálculo de distancias y medidas reales a través de una y en su forma geométrica para calcular distancias y áreas en mapas, planos y maquetas escala. Obtención de la escala en planos, mapas y maquetas
S3 S4
CM / CCL / CCYIMF / TI YCD CSC / CCA / CAA / A E IP
CM / CL / CC Y IMF /
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OBJETIVOS
Distribución habitual de los alumnos en el aula: Por parejas. Fomento de la amistad y el compañerismo.
Distribución para trabajos grupales: Grupos heterogéneos de trabajo cooperativo.
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Alumnos con necesidades educativas especiales.
Nº de alumnos en el aula
Medida establecida
1
Programa de adaptación curricular no significativa.
Alumnos que han promocionado sin haber superado la asignatura de matemáticas del año anterior .
7
Programa de refuerzo para la recuperación de los aprendizajes no adquiridos.
Alumnos que repiten curso.
6
Boletín semanal de ejercicios de refuerzo.
Alumnos aventajados.
-
Actividades de ampliación
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Tipo de alumnado
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Boletín de ejercicios de refuerzo
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Boletín de ejercicios de ampliación
11.1 Informáticos. Según indica el Real Decreto 1631/2006 : “Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje” Pizarra digital. Ordenadores (Programa “Geogebra”, blog…) Calculadora
11.2 Libros de texto.
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Todos los alumnos han de disponer del libro de texto de matemáticas establecido por el centro, el de Anaya de 2º de ESO. Utilidad: En las clases: como guía y fuente de ejercicios. En casa: para el estudio personal de los alumnos y realización de ejercicios.
11.3 Libros de lectura.
Según indica el Real Decreto 1631/2006, “ el propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir conjeturas gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto”.
Se propone la lectura de uno de los siguientes libros: Rosa M. Herrera Merino. “¡Cuánta Geometría hay en tu vida!”. Editorial SM. Lamberto García del Cid. “a sonrisa de Pitágoras. Matemáticas para diletantes”. Editorial Debate. Teresa Fernández Blanco y Julio Rodríguez Taboada. “Cuentos geométricos”. Editorial Proyecto Sur. Emili Teixidor. “El crimen de la Hipotenusa”. Editorial Planeta (planetadelibros - Infantil y Juvenil)
12.1 Del alumnado
* Los criterios de evaluación y calificación se determinan en base a los criterios de evaluación para el curso de 2º de ESO en la asignatura de matemáticas y las competencias básicas que éstos deben desarrollar, según lo establecido en el Real Decreto 1631/2006
Identificar figuras semejantes. Obtener la razón de semejanza entre dos figuras dadas. Relacionar áreas de figuras semejantes Obtener la escala de un plano, mapa o maqueta. Calcular distancias reales a partir de un plano, mapa o maqueta a escala.
Dibujar espacios y objetos reales a escala a partir de la observación y la experimentación.
Conocer , demostrar y saber explicar el teorema de Tales. Identificar triángulos en posición de Tales. Aplicar el teorema de Tales para calcular alturas de objetos reales. Construir figuras semejantes a una dada. Resolver problemas y buscar distintas alternativas posibles para su solución. Descripción e interpretación de los resultados obtenidos en un problema
Competencia matemática. Competencia matemática. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. Competencia matemática. Competencia matemática. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. Competencia matemática. Competencia para aprender a aprender. Competencia matemática. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. Competencia cultural y artística. Tratamiento de la información y competencia digital. Competencia para aprender a aprender. Competencia matemática. Competencia en comunicación lingüística. Competencia matemática. Competencia matemática. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.
Competencia matemática. Competencia cultural y artística. Competencia matemática. Competencia para aprender a aprender. Competencia matemática. Competencia en comunicación lingüística.
Usar adecuadamente la calculadora y el ordenador en los ejercicios que lo especifican.
Competencia matemática. Tratamiento de la información y competencia digital.
Leer comprensivamente y hacer un breve resumen de un libro de lectura que versa sobre geometría.
Competencia matemática. Competencia en comunicación lingüística.
Colaborar con los compañeros y participar en las actividades grupales propuestas, así como en las realizadas en el aula.
Competencia matemática. Competencia social y ciudadana.
Realización de una actividad de carácter voluntario.
Competencia matemática. Competencia para aprender a aprender. Autonomía e iniciativa personal.
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CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA COMPETENCIAS BÁSICAS EVALUADAS
* Los criterios de evaluación y calificación se determinan en base a los criterios de evaluación para el curso de 2º de ESO en la asignatura de matemáticas y las competencias básicas que éstos deben desarrollar, según lo establecido en el Real Decreto 1631/2006
Observaciones de la actividad de cada alumno, de sus actitudes en clase ante el trabajo, ante los compañeros y ante el profesor. Control del cuaderno del alumno. Actividad individual sobre el libro de lectura. Actividades realizadas en grupo. Realización de la pruebas de carácter individual relativa a la adquisición y afianzamiento de los conocimientos de esta unidad didáctica.*
PORCENTAJE (%) DE NOTA ASIGNADO 10% 5% 10% 15% 60%
La prueba final individual
La prueba se realizará en la penúltima sesión correspondiente a esta unidad didáctica.
Calificación mínima de 4 sobre 10 para poder realizar el cálculo de la nota global correspondiente a esta unidad didáctica.
Si la nota global de la unidad didáctica resulta igual o superior a 4, se obtendrá la nota media del trimestre académico correspondiente mediante la realización de una media entre las notas de las distintas unidades didácticas impartidas a lo largo del mismo. Se considerará que el estudiante habrá aprobado el trimestre si la nota resultante es igual o superior a 5.
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CRITERIO DE CALIFICACIÓN
Método: recopilación de datos en un diario de clase: Conceptos de la unidad en los que se han presentado problemas. Dificultades en el aprendizaje de los alumnos. Adecuación de la temporización. Nivel de motivación y participación del alumnado.
Objetivo: Mejorar la unidad didáctica.
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12.2 De la unidad didáctica
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13.1 Bibliografía Educación Secundaria Matemáticas 2, J.Colera, I.Gaztelu, ED:ANAYA Andalucía (2008) Refuerzo Matemáticas 2º ESO, ED:EDITEX Serie práctica Matemáticas 2º ESO, ED: Santillana Números 2001 Matemáticas 2 secundaria, M.ª Paz Bujanda, Serafín Mansilla, ED: SM Educación Secundaria Matemáticas 2, J.Colera, I.Gaztelu, ED:ANAYA Andalucía (2012). Unidades 8 a 12
13.2 Webgrafía https://manarea.webs.ull.es/wpcontent/uploads/2010/06/librounidades. pdf http://www.geogebratube.org http://www.edistribucion.es/anayaeducacion/8430049/datos/U08/ar_p1 76/index.html
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gracias