ROTACIÓN 1. Una bola de béisbol se lanza a 88 mi/h y con una velocidad de giro de 1.500 rev/min. Si la distancia entre el punto de lanzamiento y el receptor es de 61 pies, estimar las revoluciones completadas por la bola desde que se lanza hasta que se captura, despreciando los efectos del rozamiento. Datos: v, ω y x. Calcular: n Solución:

𝑣𝑣 = 𝜔𝜔 =

𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝑛𝑛 2𝜋𝜋 𝑡𝑡

𝑣𝑣⃗ 𝑥𝑥𝜔𝜔 𝑛𝑛 = = 12 2𝜋𝜋𝜋𝜋

𝜔𝜔

ROTACIÓN 2. Una cinta de vídeo VHS estándar, de longitud L = 246 m, dura 2,0 horas. Al comienzo, el carrete que contiene la cinta tiene un radio externo de R = 45 mm, mientras que su radio interno es r = 12 mm. En cierto punto de su recorrido, ambos carretes tienen la misma velocidad angular. Calcular esta velocidad angular en radianes por segundo y revoluciones por minuto. Datos: L, t, R y r. Calcular: ω 𝜔𝜔 Solución:

𝐿𝐿 𝑣𝑣 = 𝑡𝑡

𝑅𝑅 + 𝑟𝑟 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔 2

𝜔𝜔 =

2𝐿𝐿 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1,2 = 11 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑅𝑅 + 𝑟𝑟 𝑡𝑡 𝑠𝑠

ROTACIÓN 3. Para el sistema de cuatro partículas de la figura, donde m1 = m4 = 3 kg y m2 = m3 = 4 kg (a) hallar el momento de inercia Iy alrededor del eje y que pasa por m3 y m4; (b) hallar Ieje alrededor del eje que pasa por m1 y m3. La longitud del lado del cuadrado es L = 2 m Datos: m1, m2, m3, m4 y L. Calcular: Iy, Im1-m3 Solución:

𝐼𝐼𝑦𝑦 = ∑𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 2 = 𝑚𝑚1 𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚2 𝐿𝐿2 = 28 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚2 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚−𝑚𝑚𝑚 = ∑𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 2 = 𝑚𝑚2 ( 2)2 +𝑚𝑚4 ( 2)2 = 14 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚2

ROTACIÓN 4. Una placa rectangular uniforme tiene masa m y lados a y b. (a) Calcular su momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la placa y que pasa por uno de sus vértices. (b) ¿Cuál es el momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de masas y que sea perpendicular a la placa? z b 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝜎𝜎 = = Datos: m, a y b. Calcular: Io-z, Icm-z 𝐴𝐴 𝑎𝑎𝑎𝑎 a dy O

Solución:

𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 = ∫ 𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∬ 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜

1 𝑚𝑚(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 ) 12

y

r2=y2+z2

x

dm = σ dA = σ dy dz

3 3 𝑚𝑚 𝑏𝑏 𝑎𝑎 1 = 𝜎𝜎∫ 𝑦𝑦 2 𝑑𝑑𝑑𝑑∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜎𝜎∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑∫ 𝑧𝑧 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑚𝑚(𝑎𝑎 2 + 𝑏𝑏2 ) 3 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 3

𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 − 𝑚𝑚𝑑𝑑 2 =

dz

r

O

cm

d2 = (a/2)2+(b/2)2

ROTACIÓN 5. Utilizar el cálculo integral para determinar el momento de inercia de un cono sólido homogéneo circular recto de altura H, radio de la base R y masa M, respecto de su eje de simetría. Datos: H, R y M. Calcular: Io-z Solución:

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑅𝑅 𝑟𝑟 = 𝐻𝐻 𝐻𝐻 − 𝑧𝑧

𝑅𝑅2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 2 (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐻𝐻 1 𝐼𝐼 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑅𝑅4 𝐻𝐻 10 1 𝑀𝑀 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑅𝑅2 𝐻𝐻 3

𝜌𝜌 =

𝑅𝑅 𝑟𝑟 = (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧) 𝐻𝐻 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

3𝑀𝑀 𝜋𝜋𝑅𝑅2 𝐻𝐻

1 2 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 2

=

1 𝑅𝑅4 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝐻𝐻 4 (𝐻𝐻 2

𝐼𝐼 =

3 𝑀𝑀𝑅𝑅2 10

− 𝑧𝑧)4 𝑑𝑑𝑑𝑑

ROTACIÓN 6. Un disco uniforme de masa M y radio R gira alrededor del eje que pasa por su centro con una velocidad angular ω. Sobre una superficie horizontal, el coeficiente de rozamiento cinético entre el disco y la superficie es μc. (a) Determinar el momento dƬ ejercido por la fuerza de rozamiento sobre un elemento circular de radio r y anchura dr. (b) Hallar el momento resultante ejercido por el rozamiento sobre el disco. (e) Determinar el tiempo necesario para que el disco se detenga. Datos: M, R, ω y μc. Calcular: dƬ, Ƭ, t Solución: (a) (b) (c)

𝑑𝑑𝜏𝜏 = 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝜇𝜇𝑐𝑐 𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 𝜏𝜏 = ∫ 𝑑𝑑𝜏𝜏 = 𝑅𝑅𝜇𝜇𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑀𝑀 3

𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝛼𝛼

𝛼𝛼 =

𝜔𝜔 𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀 𝜎𝜎 = = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋𝑅𝑅2

2𝜇𝜇𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑀𝑀 2 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅2

3𝑅𝑅𝜔𝜔 𝑡𝑡 = 4𝑔𝑔𝜇𝜇𝑐𝑐

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

𝜔𝜔 r

dr

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜎𝜎 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑

ROTACIÓN 7. Un anillo de 1,5 m de diámetro pivota sobre un punto de su circunferencia de modo que gira alrededor de un eje horizontal que es perpendicular al plano del anillo. El anillo se deja caer de forma que inicialmente su centro está a la misma altura que el eje. (a) Si se deja oscilar libremente desde el reposo, ¿cuál es su velocidad angular máxima? (b) ¿Qué velocidad angular debe imprimirse inicialmente para que dé justamente una revolución completa (360º)? Datos: D. Calcular: ωmax y ω0 Solución: La energía mecánica se conserva (a) Hipótesis: ωmax se alcanza en el punto más bajo (2) 1 1 2 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐,2 + 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔2 2 𝜔𝜔 = 2 2

𝑔𝑔/𝑅𝑅 = 3,6 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠

(b) Hipótesis: La energía cinética en el punto más alto es nula. El punto inicial es (1)

𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜔𝜔𝜔𝜔

1 1 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐,1 2 + 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔1 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2

𝜔𝜔 =

𝑔𝑔/𝑅𝑅 = 3,6 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠

ROTACIÓN 8. Un bloque de 4 kg descansa sobre una plataforma horizontal, con un coeficiente de rozamiento cinético de 0,25, y está conectado a otro bloque colgante de 2 kg mediante una cuerda que pasa por una polea de radio 8 cm y masa de 0,6 kg. Determinar la aceleración lineal de cada bloque y la tensión de la cuerda. m1 m Datos: m1, m2, r y m. Calcular: a, T1 y T2 r Solución: Se aplica la segunda ley de Newton: 𝑚𝑚2 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇2 = 𝑚𝑚2 𝑎𝑎

𝑇𝑇1 − 𝜇𝜇𝑐𝑐 𝑚𝑚1 𝑔𝑔 = 𝑚𝑚1 𝑎𝑎

1 (𝑇𝑇2 −𝑇𝑇1 )𝑟𝑟 = 𝑚𝑚𝑟𝑟 2 𝛼𝛼 2 𝑎𝑎 = 𝛼𝛼𝛼𝛼

𝑎𝑎 = 1,6 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 𝑇𝑇1 = 16,0 𝑁𝑁

𝑇𝑇2 = 16,4 𝑁𝑁

m2

ROTACIÓN 9. Un cilindro homogéneo de 60 kg y 18 cm de radio rueda sin deslizarse sobre un suelo horizontal a 15 m/s. ¿Qué cantidad mínima de trabajo se necesita para producir este movimiento? Datos: M, R y v. Calcular: W Solución:

1 1 𝑊𝑊 = ∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑀𝑀𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐 2 + 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔2 2 2

𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜔𝜔𝜔𝜔

𝑊𝑊 = 10 𝑘𝑘𝑘𝑘

ROTACIÓN 10. Un yo-yo de 0,1 kg está formado por dos discos sólidos de radio 10 cm unidos entre sí, por una barra sin masa de radio 1 cm, y una cuerda enrollada a la barra. Un extremo de la cuerda se mantiene fijo y está bajo la tensión constante T cuando se suelta el yo-yo. Determinar la aceleración del yo-yo y la tensión T. R Datos: M, R, y v. Calcular: W Solución: 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑅𝑅2 𝛼𝛼 2 𝑎𝑎 = 𝛼𝛼𝛼𝛼

r 𝑎𝑎 = 0,2 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 𝑇𝑇 = 1,0 𝑁𝑁

r T R mg

ROTACIÓN 11. Un cilindro macizo uniforme de madera rueda sin deslizar sobre un plano inclinado de ángulo β. El coeficiente de rozamiento estático es μe. Calcular (a) la aceleración del centro de masas del cilindro; (b) la fuerza de rozamiento que actúa sobre el cilindro y (c) el valor máximo del ángulo de inclinación del plano para el cual el cilindro rueda sin deslizamiento. Datos: β y μe. Calcular: acm, f, βmax. Solución: 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛽𝛽 − 𝑓𝑓 = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑓𝑓 =

1 𝑚𝑚𝑅𝑅2 𝛼𝛼 2

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝛼𝛼𝛼𝛼

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓 =

Condición de rodadura: 𝑓𝑓 ≤ 𝜇𝜇𝑒𝑒 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ≤ (1 + 2

𝑔𝑔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽 = 1 1+2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽 1 1+ 2

−1

−1

𝜇𝜇𝑒𝑒 = 3𝜇𝜇𝑒𝑒

ROTACIÓN 11. En una bolera se lanza una bola de masa M y radio R de tal modo que en el instante en que toca el suelo se mueve con velocidad v0 sin rodar. La bola se desliza durante un tiempo t1 a lo largo de una distancia s1 antes de empezar a rodar sin deslizamiento. (a) Si μc es el coeficiente de rozamiento por deslizamiento, calcular s1, t1 y la velocidad de rodadura v1. (b) Calcular la relación entre la energía cinética final e inicial de la bola. (c) Hallar estas magnitudes para v0 = 8 m/s y μc = 0,06. Datos: M, R, v0 y μc. Calcular: s1, t1, v1 y Ecf/Eci. Solución: Inicialmente, hay deslizamiento: 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝜇𝜇𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 5 𝑓𝑓𝑐𝑐 𝑅𝑅 = 𝑚𝑚𝑅𝑅2 𝛼𝛼 2

𝑣𝑣 = 𝑣𝑣0 − 𝑎𝑎𝑎𝑎

𝜔𝜔 = 𝛼𝛼𝛼𝛼

Cuando la bola comienza a rodar: 𝑣𝑣1 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝛼𝛼𝑡𝑡1 𝑅𝑅 𝑎𝑎 = 𝛼𝛼𝛼𝛼

𝑡𝑡1 =

2𝑣𝑣0 7𝜇𝜇𝑐𝑐 𝑔𝑔

12𝑣𝑣0 2 𝑠𝑠1 = 49𝜇𝜇𝑐𝑐 𝑔𝑔 𝑣𝑣1 =

5 𝑣𝑣 7 0

𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 /𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖 =

5 7

Aplicación numérica 𝑡𝑡1 = 3,9 𝑠𝑠

𝑠𝑠1 = 27 𝑚𝑚

𝑣𝑣1 = 5,7 𝑚𝑚/𝑠𝑠