SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 06 FACULTAD DE : ESCUELA PROFESIONAL DE : DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo ASIGNATURA : Lógico Matemática TEMAS: Operaciones en los números reales.

CICLO: I FECHA:

Ecuaciones polinómicas. Ecuaciones lineales.

TIEMPO: 08 horas académicas.

COMPETENCIA: Resuelve y aplica operaciones matemáticas, relacionadas con el sistema de los números reales, ecuaciones polinómicas así como su aplicación en el campo práctico de la vida cotidiana.

C

I

Ó

N

CAPACIDADES: Clasifica y resuelve problemas relacionados con número reales. Clasifica y resuelve problemas relacionados con ecuaciones polinómicas. ACTITUDES:  RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico.  PUNTUALIDAD: Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases.  PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa activamente en el desarrollo de las clases. DESCRIPCIÓN DETALLADA DE EVALUACIÓN MOMENTOS O MEDIOS Y TIEMPO ESTRATEGIAS Y INSTRUMENT FASES MATERIALES INDICADORES O METODOLOGÍA MOTIVACIÓN: Material Impreso Interés por el (ANEXO Nº 01) tema, Observación EXPLORACIÓN participación Pizarra espontánea. individual y en 50 min. Intervención El docente presenta en la pizarra grupo. Plumones oral una lista de ejercicios Motivación y relacionadas a operaciones con acrílicos exploración ecuaciones polinómicas. (Lluvia Mota de ideas, Técnica interrogativa)

A

El uso para seguir la secuencia.

Palabra hablada

U

(ANEXO Nº 01)

L

Se

plantea

las

siguientes

interrogantes:

A

¿Pueden

identificar y

V

seleccionar Problematización

las

propiedades

en

las

Exposición oral

45 min.

E

operaciones con suma, resta,

multiplicación

,división y potenciación en el sistema de los números reales?

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Dadas las diferentes propiedades y operaciones que se realizan en el conjunto de números reales y ecuaciones polinómicas

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluaci ón (ANEXO Nº 06)

¿Al

ejercicio

realizado

anteriormente

que

desarrollan los ejercicios planteados.

nombre le dan? ¿Serias

capaz

de

plantear ejercicios con ecuaciones polinómicas? ¿Conocen las diferentes clases

de

conjuntos

Participación activa

numéricos? ¿Qué clase de conjuntos observan

en

los

ejercicios planteados? ¿Realicen

ejercicios

aplicando

operaciones

en

el

conjunto

de

números reales y sus propiedades con

así como ecuaciones

polinómicas? Se forma 7 grupos. Modulo de lógica matemática -

(ANEXO Nº 03) Los estudiantes plantean sus

ejemplos

números

con

reales

y

ecuaciones polinómicas . Se realizan indicaciones en

la

pizarra

conceptos Construcción del conocimiento

sobre básicos,

dadas en la hoja técnica.

Papelógrafo.

185 min.

Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03) Textos auxiliares. cinta adhesiva

realiza

sistematización

la de

lo

aprendido. Los

estudiantes

plantean un

y desarrollan

laboratorio

con

ejercicios. (ANEXO Nº 05) Cada grupo lo desarrolla en papelote y expone. Los estudiantes resuelven los ejercicios planteados en su

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Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05)

Ficha de autoevaluaci ón

(ANEXO Nº 06)

(ANEXO Nº 04) Se

Transferencia - del conocimiento

Aplicación de la teoría en la solución de su problema específico. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas relacionas a su carrera.

Trabaja forma individual grupal comentan ,discuten

en y ,

módulo de trabajo. Los estudiantes participan anotando sus

Hoja impresa

respuestas en la pizarra Los estudiantes elaboran

Folder trabajo

de

120 min.

ejercicios referidos a operaciones con

Aplica estrategias metacognitivas para representar la solución de los ejercicios planteados.

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05)

ecuaciones polinómicas: ecuaciones lineales. (Hoja de información ,Grupo de estudio , trabajo en equipo; exposición del problema

Presentación de trabajo individual o grupal

planteado.(ANEXO Nº04)

BIBLIOGRAFÍA

MOISES LÁZARO, Matemática Básica Tomos I y II VENERO BALDEON ARMANDO, Matemática Básica GARFUNKEL SALOMÓN, Las Matemáticas en la vida cotidiana. USS. MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA. 2005. Lambayeque – Perú.

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Folder trabajo.

de

ANEXO Nº 01 (El problema de las cien palomas).Al volar sobre un palomar, dijo el gavilán: Adiós mis cien palomas. A lo que una paloma respondió: No somos cien. Pero con nosotras mas nosotras, mas la mitad de nosotras, más un cuarto de nosotras, mas tu gavilán, si seriamos cien. ¿Cuál es el número de palomas? Rpta: El número de palomas es 36.

ANEXO Nº02 Recuerda: “El hombre es mortal por sus temores e inmortal por sus ideas”. Pitágoras Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar. Materiales: Papelotes y plumones azul, negro y rojo. ANEXO Nº03 Modulo de lógico matemática.

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES 1. NÚMEROS REALES. La noción de número es muy antigua, los pueblos primitivos usaban piedras para contar sus rebaños...En la actualidad de qué nos valemos para contar? .... Los números que usamos para contar son los llamados NÚMEROS NATURALES, y designaremos al conjunto de estos números como N. Consideraremos al cero número natural y distinguiremos con N-{0} al conjunto que no contiene el cero. En este conjunto N, podemos sumar y multiplicar sin salirnos de él, (en este caso se dice que la suma y la multiplicación son cerradas), la resta no siempre es posible ya que si queremos resolver a-b

donde b es mayor que a, necesitamos otros números... De aquí

surgen los NÚMEROS NEGATIVOS, que junto a los naturales forman el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS, que designaremos Z.. En este conjunto, la suma, la resta y la multiplicación son cerradas.

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Le proponemos a continuación que piensen si siempre es posible efectuar la división en Z. LOS AYUDAMOS CON ESTE EJEMPLO: 4:3 =…………….. Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 de por resultado 4. ¿Qué número entero cumple con ésta condición? Para poder resolver ésta situación vamos a introducir otro conjunto numérico: LOS NÚMEROS RACIONALES. Los designaremos por la letra Q. Un número racional es el cociente de dos números enteros m y n siendo n

0 (recordamos

que la división por cero no está definida). En este conjunto, la suma, la resta, la multiplicación y la división son cerradas. Veamos algunos ejemplos:

7 5

es racional porque 7 y 5 son enteros

0 es racional porque se puede expresar como

0 1

y ambos son enteros

0,5555....... es la expresión decimal del número racional

5 9

Todo número racional puede representarse como una expresión decimal periódica o limitada. Por ejemplo:

37 33 32 90 9 20

= 1,121212........= 1,12

0,355555........=

0, 35

0,45

Periódica pura

Periódica mixta

Decimal limitada

A continuación estableceremos cuando dos números racionales son iguales: Sean

m n

y

p q

dos números racionales,

m n

p q

si y solo si m.q = n.p

¿Pueden representar todos los números que conocen mediante una expresión decimal limitada o periódica ? Pidan a su calculadora el número . El resultado que obtuvieron es sólo una aproximación. Hasta el año 1983 dos japoneses habían calculado 16.777.216 cifras decimales del número . Todo número cuya expresión decimal no es limitada o periódica constituye un NUMERO IRRACIONAL. Otros ejemplos de números irracionales son:

2;

3;

5;

e = 2, 718281...

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3

3

2;

4

3;

5

2;

2

Al conjunto de los números irracionales los designaremos con la letra I. La unión de los conjuntos I y Q constituye el conjunto de los reales . Entonces, la relación de dependencia de estos conjuntos es:

N

Z

Q

;

Q I

Estas relaciones nos muestran la importancia de conocer las operaciones y sus propiedades en

pues con ello conocemos las operaciones y propiedades en N, Z y Q.

2. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES: Es conveniente que ahora recordemos las propiedades que gozan algunas operaciones. La aplicación correcta de las mismas ayuda a un manejo fluido de las operaciones con números reales. Además trataremos de introducirnos en el “lenguaje simbólico” de la matemática. La suma, cumple con las siguientes propiedades: CERRADURA: Para cada par de números reales a y b existe un único número real llamado suma denotado por a+b.

a

b

!c

/ a+b=c

ASOCIATIVA: En una adición de tres sumandos es igual sumar los dos primeros y a esto el tercero, que sumar al primero la suma del segundo y del tercero.

a, b, c

,

(a + b) + c = a + (b + c)

CONMUTATIVA: El orden de los sumandos no altera la suma.

a, b

,

a+b=b+a

EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO: Existe un número real llamado cero tal que sumado a cualquier número “a” da como resultado el mismo número “a”

a ,

/ a +0= 0 +a = a 0

EXISTENCIA DEL INVERSO: Para

cualquier número real “a” existe un número real “-a”

llamado inverso aditivo u opuesto, tal que sumado con “a” da como resultado el elemento neutro.

a

,

-a

/

a + (-a) = (-a) + a = 0

DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA SUMA:

a, b, c

, ( a + b). c = a.c + b.c

3. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES POTENCIACIÓN: Recordemos lo siguiente:

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an , si

n

0

a =1 -1

1

n

si a

N

0

n

(a ) = (1/a)

n

N, a

n

0

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN: Distributiva respecto del producto: (a . b)n = an .bn Producto de potencias de igual base: am . an = am+n Cociente de potencias de igual base: am / an = am _ n

    

Potencia de potencias: ( am)n = am.n

n n Distributiva respecto del cociente: (a / b)n = a / b

Observación: La potenciación no es distributiva respecto de la suma: (a + b)n

an + bn

RADICACIÓN: Recordemos ahora la definición de radicación y sus propiedades: Dado un número natural

"n"

mayor que cero, y

"a"

un número real, se llama raíz n-

énesima de "a" al número b, tal que la potencia n-ésima de "b" es igual a "a". n

a

bn

b

a , n

n = índice

N

0

a = radicando

b = raíz

Ejemplo: 3 3

8

23 = 8

=2

1 /64 = -1 / 4

(-1 / 4)3 = -(1/64)

¿La radicación es siempre posible en

?. Para dar respuesta a esta pregunta analicemos el

siguiente ejemplo: Para calcular

debemos pensar que número elevado al cuadrado es -9. ¿Existe algún

9

número real que verifique esta condición ?.........Ninguno, ya que el cuadrado de cualquier número real distinto de cero es siempre positivo. En general decimos que toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto de los reales. En consecuencia: la radicación no es cerrada en ¿Cuándo es posible su cálculo en

.

? ¿Cuántas respuestas encontramos?

Volvemos a plantear algunos ejemplos para dar respuesta a este interrogante:

3

64 = 4

3

8 = -2

3

4 = 64 3

(-2) = -8

Cuando calculamos 24 = 16 y

4

encontramos dos respuestas: 2 y -2 ya que (-2)4 = 16

16

Entonces podemos resumir diciendo:

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1) Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando. 2) Si el índice es par y el radicando positivo, existen dos raíces reales y opuestas. Recordaremos las propiedades fundamentales de la radicación: PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN (Suponiendo que Entonces:

n

ay n b



distributiva respecto del producto:

n

a. b = n a . n b



Distributiva respecto del cociente:

n

a: b = n a : n b



Raíz de raíz

n m

nm

a

existan)

a

La radicación NO es distributiva respecto de las operaciones de adición o sustracción.

n

•

Sean a

n

a+b

a + nb

; n, m y p

;

•

N- 0 consideremos

n

a-b

n

am

n

y

a np

n

amp

b . ¿Es posible efectuar la

simplificación de radicales ? Analicemos los siguientes ejemplos: Ejemplo: 6. 6

Ejemplo:

4

3

5

Ejemplo:

6

5

2

5

2

8

1 3

4

3.

5

5

1 3

2

4

32

2

51 5

2

5

2)

6

2

64

1 5

2

2

4. RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.

A continuación recordaremos, mediante ejemplos, el procedimiento de tales transformacion

Ejemplo: a)

b)

1 3 a b- c

1. 3 3 3. 3 3 a b+ c b- c b+ c

a b+ c b2 c

5. RELACIONES DE IGUALDAD Recordemos que además en el conjunto de los reales se define la relación de igualdad y

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que se verifican las siguientes propiedades. Cualesquiera sean los números reales a, b y c, la igualdad de números reales es: 1) REFLEXIVA:

a

: a = a (Todo número real “a” es igual a sí mismo)

2) SIMÉTRICA:

a, b

: si a = b entonces b = a (Para todo par de números reales

“a” y “b” si “a” es igual a “b”, entonces “b” es igual a “a”) 3) TRANSITIVA:

a, b, c

: si a = b y b = c entonces a = c (Si un número real “a” es igual a

un número real “b” y “b” es igual al número real “c”, entonces a = c). 4) UNIFORME: Para la adición:

a, b, c

a = b entonces

, si

a+c=b+c (Si ambos miembros de una

igualdad se le suma un mismo número se obtiene otra igualdad). Para la Multiplicación:

a, b, c

, si

a = b entonces a . c = b . c (Si multiplicamos

ambos miembros de una igualdad por un mismo número se obtiene otra igualdad). Sobre la base de estas propiedades se demuestran las leyes cancelativas de la adición y la multiplicación. Para la adición

a, b, c

Para la multiplicación

: a + c = b + c entonces a = b. a, b, c

yb

0 si a.b = c.b entonces a = c

Y también la ley de anulación del producto: a.b = 0, si a=0 ó b=0 ó a=b=0 Pasaremos ahora a considerar la diferencia entre números reales. ayb

;

Por ejemplo:

a - b = a + (-b), a es el minuendo y b es el sustraendo.

5

1

1

5 (

4

)

4

Insistiremos un poco más en la aplicación de las leyes cancelativas

y

la

anulación

del

producto. Si por ejemplo consideramos la ecuación: 5x + 4 + 2x = 2 + 4 + 5x ¿Puede simplificar los sumandos 4? ¿Y los 5x que también se repiten en ambos miembros? ¿Es correcta ésta última cancelación?. Sí, es posible cancelar porque en la suma se verifica la ley cancelativa sin ninguna restricción. Otro ejemplo: Sea la igualdad

2x + 5 = 3x + 5, efectuamos la cancelación se tiene:

2x = 3x entonces: 2x-3x = 0 ¿Qué propiedad se aplicó? De aquí obtenemos que x = 0 Pero si en 2x = 3x se hubiera aplicado la ley cancelativa sin tener en cuenta que x = 0, se obtendría 2 = 3, que no es una identidad. ¿Dónde está el error? No se ha tenido en cuenta la restricción a ésta ley: "NO SE PUEDEN CANCELAR LOS FACTORES QUE SON IGUALES A CERO" Entonces cuando se emplee ésta ley, es decir la propiedad cancelativa de la multiplicación con un factor literal, se debe aclarar que la simplificación no es válida para todo valor que anule dicho factor. Si no se tiene en cuenta lo expresado se corre el riesgo de "perder soluciones" como se comprobó en el ejemplo. En cuanto a la ley de anulación del producto, ¿Cómo se empleará?

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a . b = 0 a=0 a

a = 0 b

b = 0, esto quiere decir que se pueden dar alguna de éstas tres situaciones:

0

0

b=0

a=0

b=0

(

se lee "ó";

se lee "y")

Esta propiedad facilita la resolución de ecuaciones del tipo: (x + 2) .(x-1/5) = 0 Como el producto es cero uno de los factores es cero, de ahí podemos obtener que una raíz es igual a 2 y la otra es 1/5. Verifiquen, luego, si éstos valores satisfacen la igualdad. 6. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura especial:

NOMBRE Intervalo abierto

SÍMBOLO (a,b)

SIGNIFICADO {x/a