S OCIEDAD E CUATORIANA DE M ATEMÁTICA

ETAPA CLASIFICATORIA "VII EDICIÓN DE LAS O LIMPIADAS DE LA S OCIEDAD E CUATORIANA DE M ATEMÁTICA " Soluciones - Tercer Nivel Infantil 01 de abril de 2010 1. En un reloj de manecillas circular, las horas están marcadas con los números desde el 1 hasta el 12. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera? a) Hay tantos números pares como impares. b) La suma de los números ubicados como antípodas (diametralmente opuestos) es siempre par. c) Con los 12 números se pueden formar parejas tales que la suma de los números de cada pareja es igual a 13. d) La suma de los números pares es igual a la suma de los números impares. e) Los doce números se pueden agrupar en tres conjuntos disjuntos de tal manera que la suma de los elementos de cada conjunto es la misma. Solución. Si sumamos los números pares e impares, obtenemos resultados diferentes: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42. Entonces, la proposición de la opción d) es falsa, por lo que esta opción es la respuesta correcta.

2. En una cierta edición de las Olimpiadas de la Sociedad Ecuatoriana de Matemática, la etapa clasificatoria fue realizada en cuatro sedes: tres en la ciudad de Quito y una, en la ciudad de Riobamba. En esa ocasión, todas las instituciones participantes compitieron con el mismo número de estudiantes. Para esa etapa, se ordenaron preparar un cierto número de refrigerios para los participantes de cada una de las instituciones. Luego de que a cada institución se le hubo entregado 21 refrigerios, aún quedaron 16 del total de refrigerios preparados. A cada una de las 3 sedes en Quito, se le asignaron 8 instituciones, y las 5 restantes compitieron en la sede de Riobamba. ¿Cuántos refrigerios fueron preparados? a) 336

b) 504

c) 609

d) 625

e) 520

solución. La cantidad total de refrigerios se obtiene al sumar: (a) el total de los refrigerios que se entregaron a 5 instituciones en la sede de Riobamba, que en total son 21 × 5; (b) el total de los refrigerios que se entregaron a 8 × 3 instituciones de Quito, que en total serían 21 × 8 × 3; y, (c) los 16 refrigerios sobrantes.

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En resumen, la suma de los refrigerios para los participantes en las dos sedes más los refrigerios sobrante dan como resultado: 21 × 5 + 21 × 8 × 3 + 16 = 625. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d).

3. Julio Jaramillo Laurido, un destacado cantante guayaquileño, vivió un tercio de su vida fuera del Ecuador. De los treinta primeros años de su vida, cuatro los vivió fuera del país. A los treinta años de edad, Julio Jaramillo, que se encontraba en el Ecuador, se ausentó del país para retornar dos años antes de su muerte. ¿Cuántos años tenía Julio Jaramillo cuando murió? a) 33

b) 35

c) 36

d) 42

e) 45

Solución. Según los datos del problema, Julio Jaramillo, a la edad de 30, había vivido 30 − 4 = 26 años en

el Ecuador; más los dos años que vivió en Ecuador antes de morir, en su país de origen, vivió en total 28 años. Si notamos por x la cantidad de años que Julio Jaramillo vivió fuera del Ecuador, su edad total será igual a (28 + x ) años. Por otro lado, sabemos que durante un período igual a un tercio de su edad lo vivió fuera del país; es decir, se verifica la igualdad (28 + x )/3 = x. De ésta última ecuación, obtenemos x = 14; es decir, el cantante vivió catorce años fuera del Ecuador. Finalmente, la edad de Julio Jaramillo se puede calcular al suma el tiempo que vivió en el Ecuador y el tiempo que vivió en el extranjero; es decir, Julio Jaramillo murió cuando tenía 28 + 14 = 42 años. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d).

4. Cuatro monedas de un centavo son dispuestas tal como se ilustra en el siguiente gráfico:

Si cada una de las monedas tiene radio de 2 cm, ¿cuánto mide el perímetro del cuadrilátero que tiene como vértices los centros de las cuatro monedas? a) 20 cm

b) 16 cm

c) 12 cm

d) 8 cm

e) 4 cm

Solución. Recordemos que la línea que une los centros de dos círculos tangentes pasa por el punto de tangencia. Por ello, si trazamos el cuadrilátero cuyos vértices son los centros de las monedas, podemos observar que cada lado del cuadrado es la unión de dos radios que son colineales:

Así, podemos calcular el perímetro del cuadrilátero sumando los radios que lo componen y que son 8. Como cada uno mide 2 cm, entonces el perímetro mide 16 cm en total. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b).

5. ¿Cuál es la quinta figura en la siguiente secuencia? 2

a)

b)

c)

d)

e)

Solución. Podemos observar que, en la secuencia, los círculos más pequeños solamente tienen cuatro esta-

dos posibles: o están ubicados arriba, abajo, a lado derecho o al lado izquierdo del círculo que los contiene. Esto último asegura que la secuencia solo puede tener cuatro estados posibles, los cuales deben repetirse una vez que se hayan completado. Por tanto, la quinta figura debe retomar el estado inicial. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c).

6. Un número capicúa es uno que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, los números 1, 11, 121, 13431. Un cierto reloj digital usa dos dígitos para señalar las horas y dos para los minutos, desde 00 : 00 hasta 23 : 59. ¿Cuántas números capicúas muestra este reloj en un día? a) 12

b) 14

c) 16

d) 18

e) 20

Solución. En el reloj digital, los números capicúa debe tener cuatro dígitos de la forma ab : ba. Tomando en

cuenta las restricciones que impone el reloj digital, a solo puede tomar los valores de 0, 1 y 2, pues, en el par de la izquierda, a indica las horas. Por su lado, b puede tomar seis valores únicamente: 0, 1, . . . , 5, ya que en el segundo par, b representa las decenas de los minutos. Si a = 0 o a = 1, b puede tomar 6 valores diferentes; por lo tanto, hay 12 números capicúas con a = 0 o a = 1. Si a = 2, b puede tomar solamente 4 valores; es decir, podemos formar únicamente cuatro número capicúas adicionales. Así, la cantidad de números capicúas que podemos ver en un día en el reloj digital es 16. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c).

7. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor? a)

3 2

b)

5 3

c)

7 5

d)

11 7

e)

13 11

Solución. El mínimo común múltiplo de todos los denominadores de las fracciones de los números que se comparan es igual a 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 9 240. Entonces: 3 13 860 = , 2 9 240

5 15 400 = , 3 9 240

7 12 936 = , 5 9 240

11 14 520 = , 7 9 240

13 10 920 = . 11 9 240

De aquí podemos decidir fácilmente que las respuesta correcta es la opción b), pues el numerador más grande es 15 400.

8. Una profesora escribe dos números en la pizarra. Pide a una de sus estudiantes que, o bien reste el menor del mayor, o bien divida el mayor para el menor (siempre que el resultado sea entero). A continuación, uno de los números que escribió la profesora en la pizarra debe ser borrado y sustituido por el resultado de la operación que haya escogido la estudiante. Este procedimiento puede repetirse con los dos nuevos números escritos sobre la pizarra. 3

Supón que la profesora ha escrito inicialmente los números 3 150 y 210. ¿Cuál es el menor número de veces que debes realizar el procedimiento descrito anteriormente para que uno de los dos números que deben estar escritos sobre la pizarra sea el 0, con la condición de que se haga al menos una de las dos operaciones: una resta o una división? Describe los pasos realizados para cumplir con el objetivo, y justifica por qué el número de pasos que indicas es el más pequeño posible. Solución. Para resolver este problema, consideremos el penúltimo y el último procedimiento, tras realizar varios de los procedimientos descritos. La única forma de obtener 0 en el procedimiento final es restando los dos números seleccionados del paso anterior, que deberían ser iguales; nombremos a esos números con x. En el paso previo, siguiendo las reglas impuestas, o bien dividimos el número mayor para el número menor, o bien restamos el menor del mayor. Sea y el otro número y, sin pérdida de generalidad, asumamos que x es el mayor. Indiquemos la situación en el paso anterior: x w = x/y x (ó y)

y z = x−y x(ó y )

Luego, la operación escogida dará como resultado x ó y y así se obtienen los dos números que se repiten. De los resultados posibles de w y z, podemos descartar que z = x = x − y, pues, en este caso, y = 0, y habríamos terminado en el paso anterior. De los casos restantes, podemos concluir que se requieren alguno de los tres resultados: y = 1, x = y2 o y = 2x. De éste análisis, podemos deducir que al menos necesitamos dos procedimientos para obtener el resultado deseado. Considerando los números dados, la idea es llegar a uno de los tres resultados mencionados en el menor número de pasos; que, para el caso de 3 150 y 210 se lo puede hacer en 3 procedimientos más los dos requeridos para llegar a 0; así, el mínimo sería 5, como se muestra en la siguiente tabla x = 3150 x/y = 15 x = 15 y/x = 14 x = 15 x/y 6∈ Z x = 15 x/y = 15 x = 15

y = 210 x − y = 2940 y = 210 y − x = 195 y = 14 x−y =1 y=1 x − y = 14 y = 15 x−y =0

9. En una hoja, se ha trazado un cuadrado y, en su interior, 9 casillas cuadradas tal como se ilustra en la figura siguiente:

Sombrea tres casillas del tablero de tal forma que no todas las casillas de una misma fila estén sombreadas. Determina el número de formas en que esto puede ser realizado y explica el método de conteo que utilizaste. Solución. Sin tomar en cuenta la restricción, la elección de las tres casillas que se van a sombrear puede

ser visto como una selección sin orden y sin reposición de tres elementos tomados de un total de nueve; el número total de estas selecciones es igual al número total de combinaciones de tres elementos de un total de nueve: 9! 9×8×7 = = 84. 3!6! 3×2 Ahora bien, por la restricción impuesta, tres de estas selecciones no son permitidas, aquellas que sombreen una fila completamente; por lo tanto, el total de formas que en se pueden sombrear tres casillas de las nueve sin que se sombre todas de una misma fila es igual 84 − 3 = 81.

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10. Un pentaminó se construye al pegar 5 cuadrados idénticos. Dos pentaminós son equivalentes si el uno se obtiene del otro por medio de una rotación o una reflexión, como se ilustra en los siguientes dibujos:

Rotación

Reflexión

Cada par de pentaminós de estos dibujos son equivalentes; el par de la izquierda, debido a una reflexión, y el de la derecha, por una rotación. Dibuja 18 pentaminós con 90 cuadrados idénticos de manera que haya 12 pentaminós que no sean equivalentes entre sí. Justifica tu respuesta. Solución. Podemos tomar los pentaminós del ejemplo y tendríamos 4 pentaminós que son equivalentes. Luego tomamos dos más equivalentes a los anteriores. Finalmente dibujamos los 12 pentaminós que no son equivalentes a continuación.

Como tenemos 18 pentaminós, cada uno compuesto de 5 cuadrados idénticos, entonces los pentaminós dibujados suman en total 90 cuadrados idénticos.

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