S OCIEDAD E CUATORIANA DE M ATEMÁTICA

ETAPA CLASIFICATORIA "VII EDICIÓN DE LAS O LIMPIADAS DE LA S OCIEDAD E CUATORIANA DE M ATEMÁTICA " Soluciones - Tercer Nivel Juvenil 01 de abril de 2010 1. Una mesa cuadrada tiene 1 m de lado. ¿Cuál es el diámetro más pequeño que debe tener un mantel redondo para que cubra completamente el tablero de la mesa? √ √ b) 3 c) 1 d) 1, 5 e) 2 a) 2 Solución. Desde el centro de la mesa, los puntos más lejanos de la mesa son los ubicados en las cuatro

esquinas de ésta; por lo tanto, el diámetro del círculo más pequeño que cubra a la mesa deberá coincidir con la diagonal de la mesa; es decir, igual a la diagonal de un cuadrado de lado 1 m. Ahora bien, para calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado, utilizamos el teorema de Pitágoras, pues la diagonal del cuadrado no es más que la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son dos lados consecutivos del cuadrado. Entonces, la diagonal del cuadrado es: p √ 12 + 12 = 2. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a).

2. Sea un triángulo de vértices A, B, C. Se escogen n puntos distintos en el lado AB que no sean los vértices, y se procede de manera similar en el lado BC. Cada uno de los extremos del lado AC se une con los n puntos elegidos del lado opuesto, respectivamente. ¿En cuántas regiones queda dividido el interior del triángulo? a) n + 1

b) n + 2

d) (n + 1)2

c) 2(n + 1)

e) (n + 2)2

Demostración. Supongamos que se une el extremo C con cada uno de los n puntos en el lado opuesto AB. Entonces, el interior del triángulo queda dividido en n + 1 regiones, como se ilustra a continuación para el caso n = 3: B

A

C

A continuación, se une el extremo A con el punto del lado opuesto que está más cerca de B. Se obtienen, entonces, n + 1 regiones adicionales; ahora hay, en total:

( n + 1) + ( n + 1) = 2( n + 1) regiones. Mírese para el caso n = 3: 1

B

C

A

Si ahora se une el extremo A con el “siguiente” punto del lado opuesto, se producen n + 1 regiones adicionales a las que ya había; así, ahora hay, en total: 2( n + 1) + ( n + 1) = 3( n + 1) . Véase el caso n = 3: B

C

A En resumen:

a) Una vez que se ha unido el extremo C con cada uno de los n puntos del lado opuesto AB, se obtuvieron n + 1 regiones. b) Una vez que se unió el punto A a los primeros dos puntos del lado opuesto BC, se produjeron 2(n + 1) regiones. Por lo tanto, si se uniera A con los n puntos del lado opuesto, se obtendrían n(n + 1) regiones. En el primer paso se produjeron n + 1 regiones; en el segundo, n(n + 1) regiones. Entonces, en total se produjeron (n + 1) + n(n + 1) = (n + 1)(n + 1) = (n + 1)2 regiones en el interior del triángulo. Véase en el caso n = 3: B

C

A Por lo tanto, la respuesta correcta es d).

3. El costo fijo de producción de camisetas para jóvenes de una fábrica ecuatoriana es de 500 dólares, independientemente del número de camisetas que se produzcan. Adicionalmente, se gasta 4 dólares por la confección de cada camiseta. El precio en el mercado de las camisetas es de 6 dólares con 50 centavos por unidad. Si la fábrica vendiera todas las camisetas que produce, ¿cuál sería el número mínimo de camisetas que se deberían confeccionar para obtener ganancias? a) 200

b) 201

c) 250 2

d) 251

e) 300

Solución. Sea G ( x ) la ganancia obtenida por la fábrica cuando produce y vende x camisetas; y es igual a la diferencia entre el ingreso por la venta de esas x camisetas, I ( x ) y el costo incurrido en la producción de las x camisetas, C ( x ). Entonces, tenemos que G ( x ) = I ( x ) − C ( x ). A continuación, calculemos C ( x ) e I ( x ). Para producir x camisetas, se gastan 500 dólares más cuatro por cada camiseta que se confecciona; entonces: C ( x ) = 500 + 4x. Por otro lado, si se vendieran las x camisetas, se obtendría un ingreso de I ( x ) = 6,5x. Por lo tanto, para cada x ∈ N, se tiene que la ganancia por la producción y venta de x camisetas es: G ( x ) = 6,5x − (500 + 4x ) = 2,5x − 500. De modo que, para que haya ganancias por la confección de las x camisetas, el número x debe ser tal que G ( x ) > 0; es decir: 2,5x − 500 > 0; es decir:

x > 200. Entonces, el número natural más pequeño que satisface esta desigualdad es el número 201; así, para que hayan ganancias, se deben producir y vender 201 camisetas. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b).

4. El área del círculo de la figura es igual a 40cm2 . Sean ∠ AOB y ∠COD los ángulos centrales cuyo interior está sombreado. Si ∠ AOB mide 60◦ y ∠COD mide 30◦ , ¿cuánto mide el área de la región no sombreada del círculo? A

B

D

O

C a) 10 cm2

b) 15 cm2

c) 20 cm2

d) 25 cm2

e) 30 cm2

Solución. Para resolver este problema, hay que tomar en cuenta que el área de un sector circular es direc-

tamente proporcional al ángulo central que lo sub-tiende. En primer lugar, el ángulo central que subtiende toda la circunferencia es 360 grados; por lo tanto, para este ángulo, el área del círculo es 40 cm2 . Ahora bien, el área de la región sombreada es igual al área del círculo menos el área de la región sombreada, y ésta está determinada por dos regiones que no se solapan: la una subtendida por un ángulo de 60 grados y la otra, por un ángulo de 30 grados. Por lo tanto, la región sombreada puede ser vista como una región del círculo subtendida por un ángulo de 90 grados, la cuarta parte de 360 grados. Entonces, el área de la región sombreada es la cuarta parte del área total de la circunferencia; es decir, igual a 10 cm2 . De modo que, el área de la región no sombreada del círculo es igual a 30 cm2 . Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción e).

5. Vas a tomar un curso de natación que te exige asistir a dos clases cada semana. Una de las clases debe ser en la mañana y la otra, en la tarde. No es posible tomar las dos clases, ni en el mismo día, ni en días consecutivos. Los horarios disponibles son los siguientes: para la mañana, de lunes a sábado, a las 9, 10 y 11 horas; para la tarde, de lunes a viernes, a las 17 y 18 horas. ¿De cuántos horarios diferentes dispones para tus clases de natación? a) 24

b) 36

c) 60 3

d) 72

e) 96

Solución. Para cada día, hay tres posibilidades diferentes de horario para la mañana. Una vez elegido una

de estas posibilidades, el número total de posibilidades para el horario de la tarde depende del día en que hayas elegido el horario matutino. Hay tres casos. a) Si el horario en la mañana es tomado o el día lunes o viernes, entonces hay tres días disponibles para el horario de la tarde. Por cada uno de esos días, hay dos posibles horario vespertinos; por lo tanto, para cada horario de la mañana tomado en lunes o viernes, hay 3 × 2 + 3 × 2 = 12 posibles horarios en la tarde; y, como hay tres horarios posibles en la mañana, el total de posibles horarios si el el matutino es en lunes o en viernes es: 3 × 12 = 36.

(1)

b) Si el horario en la mañana es o martes, o miércoles o jueves, hay únicamente dos días disponibles para el horario de la tarde. Por lo tanto, el número total de posibles horarios es: 3 × (3 × (2 × 2)) = 36. c) Finalmente, si el horario de la mañana se toma el día Sábado, hay cuatro días disponibles para el horario de la tarde. Por lo tanto, el número total de horarios en este caso es: 3 × (4 × 2) = 24. Por lo tanto, el total de horarios diferentes que puedes tomar para el curso de natación con las restricciones impuestas es: 96 = 36 + 36 + 24. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción e).

6. Tienes 480 monedas iguales entre sí que vas a disponer de modo que formen un triángulo como el que se muestra en la figura: b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Desde abajo: en la primera fila, hay una moneda; en la segunda, dos monedas; en la tercera, tres; y así, sucesivamente. Si no utilizaras 15 monedas de las 480, ¿cuántas filas tendría el triángulo formado? a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

Solución. Sea n el número de filas del triángulo formado con las 480 − 15 = 465 monedas. Puesto que la

fila número i tiene i monedas, entonces, el número total de monedas utilizadas para formar el triángulo de n filas es: n( n + 1) 1+2+3+···+n = = 465, 2 de donde n debe satisfacer la igualdad n2 + n − 930 = 0. Entonces n = −31 o n = 30; es decir, el triángulo tiene 30 filas. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c).

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7. Un bus, un tren y un avión parten a la misma hora de la ciudad A a la ciudad B. En un cierto día, si tomaras un bus cuya velocidad media es 100 km/h, llegarías a la ciudad B a las 8 de la noche de ese mismo día. En cambio, si tomaras el tren, cuya velocidad media es de 300 km/h, llegarías a la ciudad B a las dos de la tarde de ese mismo día. ¿A qué hora llegarías a la ciudad B si tomaras un avión cuya velocidad media es de 900 km/h? a) 9h

b) 10h

c) 11h

d) 12h

e) 13h

Solución. Sea H, con 0 ≤ H < 24, la hora en la que parte el bus, el tren y el avión desde A hacia B.

Como el bus llegó a las ocho de la noche, el tiempo que tardó en viajar desde A hacia B fue de 20 − H, y la distancia que recorrió es de 100 × (20 − H ).

En el caso del tren, como llegó a las dos de la tarde, el tiempo que necesitó para realizar el mismo recorrido fue 14 − H horas. De modo que la distancia entre A y B también puede ser expresada como 300 × (14 − H ). Entonces, tenemos que 300 × (14 − H ) = 100 × (20 − H ),

de donde H = 11. Por lo tanto, la distancia entre A y B es

100 × (20 − 11) = 900 kilómetros. Como el avión viaja a 900 kilómetros por hora, tardará 1 hora en llegar a B; es decir, llegará a las doce horas. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d).

8. El factorial de un número natural n se denota por n! y se define como el producto de todos los enteros desde 1 hasta n. Por ejemplo, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5, 8! = 1 × 2 × 3 × 4 · · · × 8, etcétera. Por convención, 0! = 1. Encuentra tres números enteros diferentes a, b y c, entre 0 y 9, tales que abc = a! + b! + c!, donde abc no representa el producto de los dígitos a, b y c, sino el número de tres cifras cuya cifra de las unidades es c, de las decenas, b y de las centenas, a. Solución. Sabemos que 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 y 6! = 720. Es claro que el factorial de 8 es un número de 4 cifras. Por lo tanto, a, b, c < 7. Como el número abc es de tres cifras, a 6= 0. Ahora bien, si a = 1, b y c no podrían ser 6. Como 5! = 120, tomo b o c igual a 5. En ese caso la suma de dos de los tres factoriales sería igual a 121, y los posibles números de tres cifras serían 15c o 1b5. Pero, como 4! = 24, al sumar a 121 tendría 145, lo que me indica que tome b = 4 y c = 5; así: abc = 145 = 1 + 24 + 120 = 1! + 4! + 5! = a! + b! + c!, como se ha pedido.

9. Encuentre al menos cinco parejas (n, k) de números enteros tales que n + (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + k) = 2 010. Solución. En primer lugar, tenemos que n + (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + k) = n + kn + (1 + 2 + · · · + k) k ( k + 1) = n( k + 1) + 2   k = n+ ( k + 1). 2

En segundo lugar, al descomponer en sus factores primos al número 2 010, obtenemos que 2 010 = 2 × 3 × 5 × 67. 5

(2)

Por lo tanto, las parejas de números enteros buscadas (n, k) deben satisfacer la igualdad   k n+ (k + 1) = 2 × 3 × 5 × 67. 2 Para hallar los números n y k que satisfacen la igualdad anterior, vamos a expresar a 2 010 como el producto de dos números. Por un lado, esto significa que n+

k 2

debe ser un número entero; por lo tanto, k/2 debe ser un número entero; es decir, k debe ser un número par. Por otro lado, para expresar el número 2 010 como el producto de dos números enteros positivos, tenemos, entre otras, las siguientes opciones: 2 × (3 × 5 × 67) = 2 × 1 005

(3)

5 × (2 × 3 × 67) = 5 × 402

(5)

3 × (2 × 5 × 67) = 3 × 670

(4)

67 × (2 × 3 × 5) = 67 × 30

(6)

(2 × 3) × (5 × 67) = 6 × 335.

(7)

De la primera opción, obtenemos que n y k debe satisfacer uno de los dos sistemas:   ( ( n + 2k = 1 005 n + 2k = 2 o (k + 1) = 1 005 (k + 1) = 2. El segundo, el de la derecha, no puede ser satisface por k, pues de la igualdad k + 1 = 2, se obtiene que k = 1; es decir, un número impar. Del sistema de la izquierda, obtenemos que k = 1 004 y 2 = n+

k = n + 502; 2

es decir, n = −502. Es fácil ver, entonces, que la pareja (−502, 1 004) satisface la igualdad (2). Para encontrar cuatro parejas adicionales (n, k) que satisfagan la igualdad (2), podemos utilizar las igualdades (4)-(7). De (4), se obtendrá la pareja (669, 2); de (5), la pareja (400, 4); de (6), la pareja (−3, 66); y de (7), la pareja (−161, 334). 10. Sea f : [0, 1] −→ R una función creciente; es decir, si x < y, entonces f ( x) ≤ f (y), y que satisface las siguientes propiedades: a) f (0) = 0, x f ( x) b) f = ,y 3 2 c) 1 − f ( x) = f (1 − x). ¿Cuál es el valor de la función en

777 ? 2 010

Solución. De a) y c), tenemos que f (1) = 1, pues f ( 1) = f ( 1 − 0)

= 1 − f ( 0) = 1 − 0. 6

De b) tenemos que

  1 f ( 1) 1 f = = . 3 2 2

Nuevamente de c), y de (8), se obtiene que     2 1 f = f 1− 3 3   1 = 1− f 3 1 1 = 1− = . 2 2   1 2 Sea ahora x ∈ , . Entonces, como f es creciente, se tiene que 3 3     1 1 2 1 = f ≤ f ( x) ≤ f = . 2 3 3 2   1 2 1 Es decir, la función f es constante en el intervalo , , y el valor que toma en él es . 2  3 3 777 1 2 1 ∈ , . Por lo tanto, f ( a) = . Ahora bien, es fácil ver que a = 2 010 3 3 2

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(8)