TEORÍA DE LA EMPRESA ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana
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1. Conjuntos y funciones de producción El conjunto de posibilidades de producción o conjunto tecnológico de una empresa se designa como Z y es un subconjunto de RM +N . Un proceso de producción es un vector semipositivo o nulo z = (x; y) donde x = (x1 ; : : : ; xM ) es el vector de factores productivos (insumos o inputs) y y = (y1 ; : : : ; yN ) es el vector de cantidades de productos (outputs). Decimos que el proceso de producción z es factible para la empresa si z 2 Z . El proceso de producción z = (x; y) es más eficiente que z0 = (x0 ; y0 ) syss x ≦ x0 y y0 ≦ y, con al menos una de las dos desigualdades siendo . DEFINICIÓN 1 Las siguientes son propiedades que podría tener un conjunto Z de posibilidades de producción: (1) Convexidad. Si z; z0 (2) (3) (4) (5) (6)
2 Z y 2 [0; 1℄ entonces z + (1 )z0 2 Z . Eliminación gratuita. Si z = (x; y) 2 Z , y z0 = (x0 ; y0 ) es menos eficiente que z, entonces z0 2 Z . Posibilidad de cerrar (o de inacción). 0 2 Z . Rendimientos no crecientes a escala. Si z 2 Z y 2 [0; 1℄ entonces z 2 Z . Rendimientos no decrecientes a escala. Si z 2 Z y 1 entonces z 2 Z . Rendimientos constantes a escala. Si z 2 Z y 0 entonces z 2 Z .
Si y es un vector de niveles fijos de productos, podemos preguntarnos si existe un proceso de producción z 2 Z que proporcione este vector de productos. Es decir, ¿existe un vector x de factores de producción tal que z = (x; y) 2 Z ? 1
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Sea V (y) el conjunto fx 2 RM j (x; y) 2 Z g, el conjunto de requerimientos de factores para producir y. Si no existe ningún vector de factores que permita producir y, V (y) es vacío, pero siempre está definido. DEFINICIÓN 2 Sea Z un conjunto de posibilidades de producción con N = 1, y sea X = fx 2 RM j (x; y) 2 Z para algún y 2 R+ g. La función de producción de Z es el mapeo f :X ! R tal que f (x)
= máxfy j x 2 V (y) g:
Sea K = M + N y, para 1 k K , sea pk (zk ) el precio unitario del bien de tipo zk . Si p(z) = ( p1 (z1 ) ; : : : ; pM (zM ) ; pM +1 (zM +1 ) ; : : : ; pK (zK )) entonces el beneficio que el plan z 2 Z le reporta a la empresa es definido como
(z) = p(z) z =
N X
= +
pn (zn ) zn
n m 1
M X
=
pm (zm ) zm :
m 1
Cuando la empresa es precio aceptante o competitiva, no puede afectar el precio de ningún producto y así pk (zk ) es constante e igual a pk para todo k. DEFINICIÓN 3 Supóngase que X es convexo. Decimos que f es (1) cóncava si, para toda x; x0 (1 )f (x0 );
2 X y 2 [0; 1℄, f [ x + (1 )x0 ℄ f (x) +
(2) estrictamente cóncava si, para toda x; x0 2 X y 2 (0; 1), si x entonces f [ x + (1 )x0 ℄ > f (x) + (1 )f (x0 );
6=
(4) estrictamente cuasicóncava si, para toda x; x0 2 X tales que f (x) f (x0 ) r, x 6= x0 y 2 (0; 1), f [ x + (1 )x0 ℄ > r;
x0
(3) cuasicóncava si sus conjuntos de contorno superior fx 2 X j f (x) r g son convexos; es decir si, para toda x; x0 2 X tales que f (x) r, f (x0 ) r y 2 [0; 1℄, f [ x + (1 )x0 ℄ r;
(5) convexa si, para toda x; x0 (1 )f (x0 );
r,
2 X y 2 [0; 1℄, f [ x + (1 )x0 ℄ f (x) +
(6) estrictamente convexa si, para toda x; x0 (1 )x0 ℄ < f (x) + (1 )f (x0 );
2 X y 2 (0; 1), si x 6= x0 f [ x +
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TEORÍA DE JUEGOS
(7) cuasiconvexa si sus conjuntos de contorno inferior fx 2 X j f (x) son convexos; es decir si, para toda x; x0 2 X tales que f (x) f (x0 ) r y 2 [0; 1℄, f [ x + (1 )x0 ℄ r;
rg r,
X tales que f (x)
r,
(8) estrictamente cuasiconvexa si, para toda x; x0 f (x0 ) r y 2 [0; 1℄, f [ x + (1 )x0 ℄ < r. (9) no decreciente si, para toda x; x0
2
2 X , x x0 implica que f (x) f (x0).
TEOREMA 1 Sea f la función de producción relativa a Z . (1) Si Z admite eliminación gratuita entonces f es no decreciente. (2) Si Z es convexo entonces f es cuasicóncava. (3) Si Z admite rendimientos no decrecientes a escala entonces f ( x) f (x) para > 1.
(4) Si Z admite rendimientos no crecientes a escala entonces f ( x) f (x) para 2 [0; 1℄.
(5) Si Z admite rendimientos constantes a escala entonces f ( x) (f es homogénea de grado 1).
= f (x)
Demostración: (1) Supóngase que Z admite eliminación gratuita y sean x; x0 2 X tales que x x0 . Sea z = (x; f (x)), claramente un elemento de Z , y obsérvese que la eliminación gratuita implica que (x0 ; y) está en Z para cualquier y f (x), pues en tal caso se tiene que (x0 ; y) es menos eficiente que (x; f (x)) : En particular, f (x) es una de las y que satisfacen esta desigualdad, de modo que (x0 ; f (x)) 2 Z . Por ende, f (x) f (x0 ) = máxfy j x0 2 V (y) g.
(2) Supóngase que Z es convexo y, para cualquier r 2 R+ , sean x; x0 elementos arbitrarios de S = fx00 2 X j f (x00 ) r g. Es inmediato que los procesos (x; f (x)) y (x0 ; f (x0 )) están en Z y además podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que f (x) f (x0 ). Así, ( x + (1
)x0 ; f (x) + (1 )f (x0 ))
2Z
y, por ende, f ( x + (1
)x0 ) f (x) + (1 )f (x0 ) :
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GARCÍA DE LA SIENRA
f (x0 ), f (x) + (1 )f (x0 ) f (x0 ) + (1 )f (x0 ) (1) 0 = f (x ) (2) r (3) Por lo tanto, f ( x + (1 )x0 ) r y la combinación convexa x + (1 )x0 Como f (x)
está en S. (3) Supóngase que Z admite rendimientos no decrecientes a escala y sea > 1. Si x 2 X , el proceso (x; f (x)) 2 Z y entonces ( x; f (x)) 2 Z . Por ende, f ( x) f (x). (4) Si Z admite rendimientos no decrecientes a escala, un argumento análogo al que probó (3) demuestra también esta aserción. (5) Supóngase que Z admite rendimientos constantes a escala y sea 0. Entonces z 2 Z para todo z 2 Z . (Nótese que la condición de rendimientos constantes a escala implica la posibilidad de la inacción.) Como rendimientos constantes implica tanto rendimientos no crecientes como rendimientos no decrecientes, para > 0 y x 2 X tenemos f ( x) f (x). Supóngase, per contra, que f ( x) 6= f (x), de modo que f ( x) > f (x) y 1 f ( x) > f (x). Como 1 > 0,
= f (( 1 )x) = f ( 1 ( x)) 1 f ( x) > f (x) : Esta contradicción establece que f ( x) = f (x) para positivo. f (x)
Finalmente, sea x cualquier elemento de X y S el rayo
fx0 2 X j x0 = x para algún 0g: Si " es infinitesimal positivo, "x 2 *S y, como el rayo S y a fortiori *S es convexo, f es no decreciente en S y por ende 0 f (0) f ( "x) = "f (x) 0. Esto asienta que el número estándar f (0) es 0 y, por ende, f ( x) = f (x) para = 0. 2. El problema de la empresa De aquí en adelante supondremos que el precio unitario del factor xm está denotado por wm . El precio unitario del producto y = f (x) lo está por p. Para
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TEORÍA DE JUEGOS
la empresa competitiva, la función de beneficios es la función (w1 ; : : : ; wM ; p) que asocia a cada (w1 ; : : : ; wM ; p) la solución del problema de la maximización del beneficio (PMB):
Maximizarx≧0 pf (x)
PM
=
n 1 wm x m
La función de costos asociada es la función h(w1 ; : : : ; wM ; y) que asocia a cada (w1 ; : : : ; wN ; y) la solución del problema de la minimización de los costos (PMC): Minimizarx≧0 sujeto a f (x)
PM
= wm xm
m 1
= y:
Así, se ve que hay en relación con un productor una serie de magnitudes interrelacionadas que es menester determinar. El punto de partida es la postulación de una función de producción para el agente. Restringiendo nuestra atención al caso en que M = 2, a partir de ella es requerido obtener las siguientes magnitudes: (1) La función de elección de insumos, la cual asigna a cada sistema de precios de insumos y nivel de producción deseado (w1 ; w2 ; y) la elección de insumos ( xˆ1 ; xˆ2 ) = (w1 ; w2 ; y) que minimiza los costos de alcanzar el nivel de producción y bajo ese sistema. Esta función se obtiene resolviendo el problema de la minimización del costo ( PMC). (2) La función de costo c, la cual asigna a cada (w1 ; w2 ; y) el costo mínimo de producción de y unidades del bien: c(w1 ; w2 ; y) = w1xˆ1 + w2 xˆ2 . (3) La función de elección de la cantidad óptima (p; w1 ; w2 ), la cual asigna a (p; w1 ; w2 ) la solución ˆy del problema de la maximización del beneficio ( PMB). (4) La función de beneficio (p; w1 ; w2 ) = pˆy c(w1 w2 ; ˆy) que asocia a cada (p; w1 ; w2 ) la ganancia óptima si el precio del producto es p y los de los insumos son w1 , w2 , respectivamente.
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A manera de ilustración, obtengamos estas funciones para el caso de la función de producción Cobb-Douglas 3. La función de producción Cobb-Douglas Para determinar la función de decisión productiva resolvemos el PMC: Minimizar( x1 ;x2 ) ≧0 w1 x1 + w2 x2 sujeto a x1 x2
= y ( y > 0)
Empezamos por formular el lagrangiano L(x1 ; x2 ; )
=
w1 x1
w2x2 + [y
x1 x2 ℄
para obtener las condiciones de primer orden:
L = w1 x1 1 x2 = 0 x1 L = w2 x1 x2 1 = 0 x2 L = y x1 x2 = 0 Procedemos a despejar dos veces la lambda: w1
= x1
1
x2
o
=
w1
1 1 x1
o
=
w2
1
x : 2
También w2
= x1 x2
1
Así, w1
1 1 x1
x 2
= w2
1
x1 x21
y, simplificando, w1 x1
= w2 x2 :
Despejamos x2 : x2
= 1 w1w2 1x1;
( )
x1 x21 :
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y sustituimos en la tercera condición: y = x1 [ = x [ 1
w1 w2 1x1 ℄ 1 w1 w2 1℄ x1 1
= [ 1 w1w2 1℄ x1 + :
Luego, x +
= [ 1 w1w2 1℄ y: Elevando a la ( + ) 1 , x1 = [ 1 w1 1 w2℄ ( + ) 1
1
y( + )
1
:
Sustituyendo en (*), x2
= 1 w1w2 1[ 1 w1 1w2℄ ( + ) = [ 1 w1w2 1℄ ( + ) y( + ) : 1
1
y( + )
1
1
Por lo tanto, "
xˆ1 xˆ2
#
= (w1; w2; y) "
1 ( + ) 1 = [[ 1 ww1ww12℄℄ ( + ) 1 2
y( + ) 1 y( + )
1
1
#
1
La función de costos es c(w1 ; w2 ; y)
= w1xˆ1 + w2xˆ2 = [ ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ℄ w1 ( + ) w2 ( + ) y( + ) = (w1 w2 y) ( + ) 1
1
1
1
1
1
1
1
donde
= [ ( + ) 1
( + )
1
+
( + )
1
( + ) ℄ 1
. Procedemos ahora a resolver el PMB para elegir la cantidad de producto óptima. El problema es Maximizar( x1 ;x2 ) ≧0 ( y)
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donde (y)
= py
c(w1 ; w2 ; y) :
La condición de primer orden es suficiente para un máximo si + 1, porque entonces la función de costo es convexa en y. Derivando con respecto a la cantidad obtenemos d dy
=p
1
+
(w1 w2 ) ( + )
1
y( + )
1
1
= 0:
Luego, 1
+
(w1 w2 ) ( + )
1
y( + )
1
1
=p
y y( + )
1
1
= ( + )p
1
(w1 w2 )
(
+ ) 1 :
Dado que
( + )
1
1
1
+ 1 + 1 = 1 + = 1 + = ( + )(1 ) 1;
= +1
se tiene h
ˆy = ( + )p
1
(w1 w2 )
(
+ )
1
i( + ) ( 1
)
1
:
Si + < 1, la condición de primer orden nos da un único nivel de producción óptimo. En este caso la demanda de los factores se encuentra por sustitución xˆ1
= [
1
w1 1 w2℄ ( + ) ˆy( + ) 1
1
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TEORÍA DE JUEGOS
y xˆ2
= [ 1 w1w2 1℄ ( + )
xˆ1
= [
xˆ2
= [ 1 w1w2 1℄ ( + )
1
ˆy( + )
1
:
Así, 1
w1 1 w2℄ ( + )
1
h
( + )p
+ )
i( 1
)
1
1
+ )
i( 1
)
1
1
1
(w1 w2 )
(
1
(w1 w2 )
(
y 1
h
( + )p
:
A partir de aquí se puede calcular la función de costo explícitamente. Ésta es c(w1 ; w2 ; ˆy)
=
h
w1 [
1
w1 1 w2 ℄ ( + )
1
+ w2[ 1 w1w2 1℄ ( + )
1
i
g (w1 ; w2 )
donde g (w1 ; w2 ) Si +
h
= ( + )p
1
(w1 w2 )
(
+ )
1
i( 1
)
1
:
= 1, 1
+
(w1 ; w2 )y( + )
1
1
es el precio de producción y cualquier nivel no negativo y es una solución del PMB, pero genera cero beneficios. Si + > 1, tenemos retornos constantes a escala y no hay solución al PMB porque entonces entre más se produzca mayor será el beneficio.