Test de Kolmogorov-Smirnov Georgina Flesia FaMAF

2 de junio, 2011

Test de Kolmogorov-Smirnov

El test chi-cuadrado en el caso continuo I

H0 : Las v.a. Y1 , Y2 , . . . , Yn tienen distribución continua F .

I

Particionar el rango de Y = Yj en k intervalos distintos: [y0 , y1 ), [y1 , y2 ), . . . , [yk −1 , yk ),

I

Considerar las n v.a. discretizadas Y1d , Y2d , . . . , Ynd dadas por Yjd = i

I

I

si Yi ∈ [yj−1 , yj ).

La hipótesis nula es entonces H0 ) P(Yjd = i) = F (yi ) − F (yi−1 ),

i = 1, . . . , k .

Proceder ahora como en el caso discreto.

Test de Kolmogorov Smirnov I

Inconveniente: No es sencillo construir los intervalos a partir de las probabilidades.

I

Se pierde información al agrupar los datos en intervalos.

I

Aconsejable: Utilizar el test de Kolmogorov-Smirnov.

Test de Kolmogorov Smirnov I

Compara las funciones de distribución empírica de la muestra y la que se desea contrastar.

I

Es aplicable a distribuciones continuas.

I

Para distribuciones discretas, los valores críticos no están tabulados. Para distribuciones continuas, los valores críticos están tabulados para:

I

I I

distribuciones con parámetros especificados, algunas distribuciones con parámetros no especificados (normal, Weibull, gamma, exponencial).

Aplicación del test K-S

I

Observar Y1 , Y2 , . . . , Yn y considerar la distribución empírica Fe (x) =

#{i | Yi ≤ x} . n

I

Fe (x): proporción de valores observados menores o iguales a x.

I

Hipótesis nula: Fe (x) es “cercana” a F (x).

I

Estadístico de Kolmogorov-Smirnov D ≡ max |Fe (x) − F (x)| , x

−∞ < x < ∞.

Implementación I

Ordenar los datos observados Y1 = y1 , Y2 = y2 , . . . , Yn = yn en orden creciente: y(j) = j − ésimo valor más pequeño y(1) < y(2) < · · · < y(n) .

I

Por ejemplo: y1 = 3, y2 = 5, y3 = 1 y n = 3, entonces y(1) = 1, y(2) = 3, y(3) = 5.   0    1    n    ... Distribución empírica ⇒ Fe (x) = j   n    ..   .    1

x < y(1) y(1) ≤ x < y(2) y(j) ≤ x < y(j+1) y(n) ≤ x

Gráficamente 1

F (x)

y(1)

y(2)

y(3)

y(4)

y(5)

Estadístico de Kolmogorov-Smirnov D≡

sup −∞