UNIVERSIDAD DE COLIMA DOCTORADO EN CIENCIAS, ÁREA: BIOTECNOLOGÍA

MODELO ESTOCÁSTICO DE TRANSMISIÓN DEL DENGUE EN POBLACIONES ESTRUCTURADAS TESIS Que para obtener el grado de Doctor en Ciencias, Área: Biotecnología Presenta:

Juan Ruíz Ramírez Director de Tesis: Dr. Carlos Moisés Hernández Suárez

Tecomán, Colima, México. Marzo de 2004

AGRADECIMIENTOS Al Programa de Mejoramiento al Profesorado (PROMEP), por el apoyo brindado durante mis estudios doctorales.

A la Universidad Veracruzana, por las facilidades otorgadas para concluir satisfactoriamente mis estudios.

A la Universidad de Colima, por brindarme los conocimientos y el apoyo requerido durante el periodo de mis estudios.

Al Dr. Carlos Moisés Hernández Suárez, por su eficiente y acertada dirección al presente trabajo. Además, por su calidéz humana, por brindarme su amistad y los apoyos necesarios para concluir satisfactoriamente esta investigación.

A los Doctores: Jaime Molina Ochoa, Alfonso Pescador Rubio, Francisco Espinoza Gómez, Rafaél José Coll Cárdenas, por sus valiosas observaciones realizadas en este trabajo.

Al Cuerpo Académico del área de Control Biológico, por su valiosa participación en mi formación académica.

A la Lic. Eunice Pérez Luna y al Dr. Ramón Zulueta Rodríguez, por la revisión y edición de esta tesis.

i

DEDICATORIA A mi familia: Albertina, Iván e Ivón, por apoyarme y estar conmigo en todo momento.

A mi mamá, Paula y mis hermanos Raymundo y Raúl por su apoyo moral y motivación.

Al Dr. Victor A. Arredondo, Rector de la Universidad Veracruzana, por sus finas atenciones y por haber estado pendiente de mí en momentos críticos.

Al Mtro. Raúl Arias Lovillo, Secretario Académico de la Universidad Veracruzana, por su compromiso como amigo y autoridad.

A mis amigos (as) y compañeros (as) que se han mostrado solidarios conmigo: Mtros. Arturo Méndez, Melesio Rodríguez, Artemio Calin, Luis Miguél Pavón, Jesús Romero, Jesús Arguelles, Marco Antonio Méndez (padre e hijo), Rey Acosta, Fernándo Velasco Luna, Julian Felipe Díaz Camacho, Carmen Gutiérrez, María Elena Guadarrama, Aurora Montano, Alma Rosa García Gaona, Oscar Aguilar y Gabriel May.

ii

CONTENIDO

RESUMEN SUMMARY 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Antecedentes del dengue 1.2. Enfermedad del dengue 1.2.1. El virus 1.2.2. Mosquito vector 1.2.2.1. Alimentación 1.2.2.2. Reproducción 1.2.3. Factores que influyen en la oviposición 1.2.3.1. Control del Ae. aegypti en etapa larval 1.2.3.2. Control del Ae. aegypti en etapa adulta 1.2.4. El hospedero 1.2.5. Manifestaciones clínicas 1.2.6. Medio Ambiente 1.2.7. Índices y tasas de infección 1.2.7.1. Índices larvarios 1.2.7.2.Tasas de infección 1.3. Modelos matemáticos 1.4. Topologías de redes 1.4.1. Representación de los sitios de reunión 1.4.2. Propiedades de las redes 1.5. Problema 1.6. Objetivos 1.6.1.Objetivo General 1.6.2. Objetivos específicos 2. METODOLOGÍA 2.1. Topología de red 2.1.1. Cálculo del tamaño de la red 2.1.2. Cálculo del coeficiente de agrupación 2.1.3. Cálculo de L y C de la red generalizada 2.2. Modelos matemáticos 2.2.1. Supuestos del modelo 2.2.2. Modelo estocástico S-I-R 2.2.3. Simulaciones 3. RESULTADOS 3.1. Parámetros de la red 4.2. Tamaño de la epidemia 4.2.1. Distribución del tamaño de la epidemia 4.2.2. Tamaño de la familia 4.2.3. Relación de las redes del Mundo pequeño generalizada y aleatoria 4. DISCUSIÓN iii

Páginas 1 2 3 4 6 7 9 10 11 13 14 14 15 17 21 24 24 25 27 35 38 39 40 40 40 41 42 42 44 44 47 48 49 49 51 55 55 58 62 63 66 69

5. CONCLUSIONES 6. ANEXOS 6.1. ANEXO 1. Programas en MATLAB: Red.m y Pasos.m 6.2 ANEXO 2. Programa computacional que simula una red del mundo pequeño con un sitio de reunión 7. LITERATURA CITADA

76 77 77 80 95

iv

INDICE DE FIGURAS

Figura 1. Aedes aegypti (L.), principal agente transmisor de la enfermedad del dengue Figura 2. Transmisión del dengue Figura 3. Distribución del Ae. aegypti (L.), en los años 1930, 1962 y 1997 Figura 4. Distribución del número de reproducción básica y la proporción estimada de infectados cuando se asumen muestras homogéneas y contactos efectivos Figura 5. Red regular Figura 6. Red aleatoria Figura 7. Red del Mundo Pequeño Figura 8. Red con sitios de reunión Figura 9. Número total de ligas posibles entre vértices que se conectan con el vértice 1 Figura 10. Número total de ligas entre los vértices que se conectan con el vértice 1, en una red regular Figura 11. Número total de ligas posibles entre vértices que se conectan con el vértice 1. Esta red representa los sitios de reunión Figura 12. Comportamiento del tamaño de la red con 2 y 4 ligas por vértice, con diferente número de familias conectadas Figura 13. Comportamiento del coeficiente de agrupación con 2 y 4 ligas por vértice con diferente número de familias conectadas Figura 14. Comportamiento del tamaño de la epidemia y el número de familias conectadas en una red del Mundo pequeño generalizada Figura 15. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y tres integrantes Figura 16. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y cinco integrantes Figura 17. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y siete integrantes Figura 18. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y nueve integrantes Figura 19. Comportamiento del tamaño de la red (L), coeficiente de agrupación (C) y proporción de epidemias (Vr) con respecto al número de familias conectadas, para una población de 300 personas con 100 familias de tamaño tres Figura 20. Comportamiento del tamaño de la red (L), coeficiente de agrupación (C) y proporción de epidemias (Vr) con respecto al número de familias conectadas, para una población de 300 personas con 60 familias de tamaño cinco

v

Páginas 7 8 21 31

36 38 38 39 45 46 46

57 58 62

63 64 64 65 66

67

(Continúa índice de figuras) Figura 21. Relación de la proporción de infectados al interaccionar las 50 familias de tamaño tres, cinco, siete y nueve personas con diferentes valores de R0.

Páginas 73

ÍNDICE DE CUADROS

Cuadro 1. Parámetros utilizados para generar resultados de 1000 simulaciones de una población formada con 40 familias con cinco integrantes Cuadro 2. Estadísticas descriptivas del tamaño de la red y el coeficiente de agrupación con 2 y 4 ligas por vértice Cuadro 3. Tamaño de la epidemia de las familias conectadas a un sitio de reunión con R0 igual a siete, con 40 familias de tamaño cinco Cuadro 4. Tamaño de la epidemia promedio como resultado de 1000 simulaciones en una población con 40 familias con cinco integrantes

Páginas 53

56 59 61

vi

RESUMEN

La mayoría de los modelos matemáticos en epidemiología desconocen la estructura de interacción entre los individuos de una población. Es común asumir que éstos se mezclan homogéneamente, por lo cual todos los individuos susceptibles tienen el mismo riesgo de adquirir una infección. Este supuesto se ha considerado injustificado, porque las interacciones entre los individuos son más limitadas. En este estudio se analizó la velocidad de transmisión de la enfermedad del dengue, en una población con una estructura de interacción particular, donde se incluyeron dos factores: uno en el que los individuos interactúan entre sí en un grupo reducido, y otro en el que algunos de los individuos de la población comparten lugares en común. Este último elemento equivale a compartir espacios esporádicamente, como ocurre comúnmente en escuelas, sitios de trabajo, parques, cines, etc. Para conocer el efecto de estos sitios comunes, se estudió el tamaño de la epidemia mediante simulaciones estocásticas de epidemias del tipo Susceptible – Infectado – Removido, con cantidades diferentes de individuos que compartían estos sitios. El tamaño de epidemia fue el factor a comparar contra el esperado en poblaciones con mezcla homogénea. El estudio demostró una relación casi lineal entre el tamaño de la epidemia y el número de individuos compartiendo los sitios de reunión.

1

SUMMARY Most mathematical models ignore the structure of contacts among individuals in a population. Instead, they assume random mixing, implying all suceptibles are equally likely to become the next infectious case. In this study we analyze the transmission of dengue fever in a population were contacts occur according a “small world” model of interaction. In this model, we assume that individuals have contacts with neighbors but also present sporadic contacts with other individuals. This is an attempt to account for individuals sharing common places from time to time. We used an SIR Stochastic epidemic model on the network, and compare the resulting epidemic size varying R0 and the intensity of contacts in the common places. For low Ro-values, we found an almost linear relationship between the size of the epidemic and the number of individuals having sporadic contacts.

2

1. INTRODUCCIÓN

Los modelos de transmisión de enfermedades infecciosas asumen generalmente que todos los individuos de la población son igualmente susceptibles a infectarse. En este trabajo se estudia cómo la estructura de la población influye en la transmisión de la enfermedad del dengue.

En una población, las personas susceptibles a una enfermedad infecciosa comúnmente se dividen en pequeños grupos que interactúan más estrechamente, por ejemplo familias. Al considerar que las personas permanecen cierta parte del tiempo en sus casas y al interaccionar entre sí, se incrementa la tasa de contactos entre los miembros de las familias. Los miembros de un grupo interactúan con uno ó mas miembros de otros grupos, por ejemplo mediante la escuela, el cine, el trabajo, los centros de diversión, etc. permitiendo así que la enfermedad trascienda entre los grupos y avance en la población.

La estructura de la población se representa a través de una topología de red, donde los grupos son las familias y se incluye la interacción entre individuos dentro y fuera de las familias. Con esta topología, iniciamos una epidemia de acuerdo al modelo epidemiológico Susceptible-Infeccioso-Removido, y observamos mediante simulaciones el efecto de las diferentes topologías sobre el tamaño de la epidemia. Así, es posible comparar este resultado contra el esperado bajo condiciones de mezcla aleatoria de la población.

A continuación se describirá la enfermedad del dengue, los modelos matemáticos y las topologías de redes.

3

1.1. Antecedentes del dengue

Las enfermedades infecciosas son un problema global en Salud Pública, debido a que causan aproximadamente 13 millones de muertes cada año (Cohen, 2000). Estas enfermedades son la principal causa de mortalidad a nivel mundial y la tercera en Estados Unidos (Binder et al., 1999). Según Kay (2003), la Organización Mundial de la Salud (OMS) indica que las enfermedades infecciosas causaron 14.7 millones de muertes en el año de 2001, 26% de la mortalidad global. Entre ellas el síndrome de inmunodeficiencia adquirida, tuberculosis y malaria, las cuales causaron el 38% de las defunciones en ese año. O sea 2.9, 1.6 y 1.1 millones de decesos, respectivamente.

Aunado a lo anterior, hubo decesos por infecciones respiratorias (3.9 millones) y enfermedades diarreicas (1.9 millones) de tal manera que la mortandad de estas cinco enfermedades equivalen a cerca del 78% del total de fallecimientos registrados a escala mundial (Binder et al., 1999).

En la actualidad, se dispone de medicinas y vacunas que pueden ayudar a prevenir muchas muertes ocasionadas por enfermedades infecciosas. Por ejemplo, si se evitara comer y beber agua con contaminación fecal, se prevendrían aproximadamente dos millones de muertes (Kay, 2003). En general, las enfermedades infecciosas son más fáciles de prevenir que curar.

Existen enfermedades como el dengue (Kay, 2003), cuyas pérdidas económicas son similares a las de cualquiera de las enfermedades siguientes: Las consideradas en el grupo pediátrico (polio, sarampión, tosferina, difteria y tétanos) junto con la meningitis, hepatitis y malaria. Se tiene la misma magnitud con la tuberculosis y las enfermedades transmitidas sexualmente (excluyendo el virus de la inmunodeficiencia adquirida), también las del grupo de las enfermedades tropicales (enfermedad de chagas y leismaniasis) y de parásitos intestinales (Meltzer et al., 1998).

4

El dengue es la principal causa de morbilidad en las áreas tropicales y subtropicales del mundo. Se estima que 100 millones de personas se infectan anualmente con la fiebre del dengue clásico (DF) y entre 250,000 y 500,000 con el dengue severo, que puede ser la fiebre del dengue hemorrágico (DHF) o con el síndrome de Shock del dengue (DSS). De estos casos, fallecen aproximadamente 25,000 personas (Halstead 1988; Rigau-Pérez et al., 1999; Velzing et al., 1999).

Anualmente, dos billones de personas se encuentran en riesgo de padecer el dengue clásico y de 10 a 40 millones la fiebre del dengue hemorrágico (Gubler Dwight, citado por McConnell, 1994).

El dengue ha sido reconocido desde hace mas de 200 años, su manifestación grave, la fiebre del dengue hemorrágico (FHD) apareció a finales del siglo pasado (Pinheiro y Corber, 1997; Cardosa, 1998).

La primera epidemia del dengue ocurrió en Filadelfia en 1780 (Rigau-Pérez, 1998); aunque existe la versión de que el dengue epidémico en el hemisferio americano ha sido reportado desde 1827 (Dantes et al., 1988).

Inicialmente, se manifestaron las epidemias cada una o dos décadas, y se incrementaron mas rápidamente a partir de las décadas de 1970, 1980 y 1990, cada dos o cinco años. En la década de los 1950’s la fiebre hemorrágica del dengue fue reconocida por primera vez como problema de salud, y actualmente es la principal causa de muerte en niños en algunos países Asiáticos y de las Américas donde han ocurrido epidemias. Estas se han incrementado en varias regiones del mundo, principalmente en Asia, Africa, el Pacífico y Las Américas (Halstead 1988; Cobra et al., 1995; Ramos et al., 1993; Wei-June et al., 1996; Kautner et al., 1997).

En los últimos 20 años se ha incrementado significativamente la actividad epidémica del dengue, expandiéndose su distribución geográfica con la presencia continua de los cuatro serotipos del dengue, y de la emergencia de la DHF en áreas

5

previamente no afectadas (Dietz et al., 1990; Fagbami et al., 1995; Chambers et al., 1997).

1.2. Enfermedad del dengue

El dengue es la más importante infección viral de los humanos transmitida por artrópodos, siendo Aedes aegypti (Linnaeus) (diptera: culicidae), el mosquito vector y el principal agente transmisor de las enfermedades del dengue y de la fiebre amarilla. Los virus del dengue son flavivirus identificados como los serotipos DEN-1, DEN-2, DEN-3 y DEN-4, que pueden producir manifestaciones leves, identificados como DF o quebrantahuesos; y en sus casos graves, DHF y DSS, que al no ser tratados a tiempo pueden provocar la muerte en menos de 48 horas (Herrera-Basto et al., 1992; Chambers et al., 1997; Edman et al., 1997; McBride et al., 1998; Rawlings et al., 1998; Rigau-Pérez et al., 1998).

El Ae. aegypti (Figura 1) se localiza en áreas urbanas, comúnmente a una altitud menor de 1200 msnm. (Organización Panamericana de la Salud, 1989; Panamerican Health Organization, 1997; Barreau et al., 1997; Zheng, 1997; Rigau-Pérez et al., 1998). Sin embargo, el incremento de áreas urbanas densas con temperaturas altas y la presencia del Ae. aegypti, por arriba de esta altura, como la ciudad de Taxco, Guerrero, México localizada a una altitud de 1700 msnm donde ocurrió un brote en junio de 1988, motivan a la reflexión acerca de esta suposición (Herrera-Basto et al., 1992). Actualmente el Ae. Aegypti está diseminado en Asia, El Pacífico y Las Américas (Borio, et al., 2003).

6

Figura 1. Aedes aegypti (L.), principal agente transmisor de la enfermedad del dengue Los elementos que participan en la transmisión de las enfermedades infecciosas por vectores son: el virus, el que se le conoce como agente etiológico o causal, el hombre, identificado como hospedero de la enfermedad, y el agente transmisor es el mosquito, que disemina enfermedades infecciosas por vía hemática, interaccionando entre ellos mismos y con los factores que influyen en la emergencia y reemergencia de enfermedades infecciosas. Estas son las características necesarias a considerar para desarrollar metodologías y estrategias del control del las mismas (Dantes et al., 1988; Halstead,1988; Ko y Che, 1992; Focks et al., 1995; Fernández-Salas y FloresLeal, 1995; Watve y Jog, 1997; Esteva, 1998). 1.2.1. El virus El virus del dengue es un flavivirus del género Togaviridae, que ocurre con cuatro serotipos distintos (y varios “biotipos” pueden ser diferenciados), estos son biológicamente transmitidos de un humano infectado a un susceptible a través de la picadura de la hembra mosquito vector Ae. aegypti (Figura 2). La diseminación de la enfermedad está influenciada por el desplazamiento del humano infectado, como

7

ocurre con los viajeros o turistas y a su rápida transportación en los aviones, de un lugar a otro endémico (Halstead, 1982; Dantes, et al. 1988; Focks et al., 1995; Kautner et al., 1997; Watve y Jog, 1997; Esteva, 1998; Binder, et al., 1999).

Figura 2. Transmisión del dengue

El virus del dengue centra su replicación de vida en células del sistema hematopoyiético

y

reticuloendotelial

(pagocite

monomolecular).

La

infección

indirectamente daña el tejido hematopoyético y endotelial, resultando una fiebre benigna hemorrágica viral (fiebre del dengue) y un severo síndrome de choque viral (Halstead, 1982).

El virus del dengue interactúa con anticuerpos específicos y posiblemente con otros elementos de la respuesta inmune, todos en el detrimento del hospedero. La primera infección con cualquier serotipo de dengue, es llamada infección primaria, y la posterior con otro diferente es una infección secundaria (Halstead, 1982).

El dengue hemorrágico frecuentemente ocurre en personas que previamente tuvieron dengue (Csillag, 1997). La infección con uno de los cuatro serotipos del dengue, produce una inmunidad permanente contra ése virus, pero no a los otros (Halstead, 1982; Kautner, et al., 1997; Rico-Hesse et al., 1998; Rigau-Pérez et al., 1998).

8

Cuba tuvo su primera epidemia en 1977, donde un estudio serológico indicó que el 44.6% de esta población tuvo la infección primaria con el serotipo DEN-1; posteriormente en 1981, se presentó la segunda la epidemia con el DEN-2, ocurriendo la DHF, es por ello que en Las Américas se le considera como la primera epidemia más importante con el DFH/DSS. En esta epidemia, muchos niños que aún no habían nacido, al infectarse con el serotipo DEN-2 en 1981, fue para ellos una infección primaria o fiebre del dengue (Emerging infectious disease, 1998).

Por la secuencia de infección de los cubanos con DEN-1 y luego con DEN-2, se podría pensar que es la mas efectiva para enfermarse con DHF; sin embargo, estudios realizados con los cuatro serotipos, encontraron que cualquier combinación produce el DHF. Las razones para el cambio de una simple epidemia de DF a DSH/DSS no es bien conocida (Kautner et al., 1997).

Desafortunadamente, el mecanismo exacto de eliminación de células de dengue infectadas aún no han sido identificadas en el hombre. Muchos de los mas importantes eventos patogénicos pueden ser monitoreados por estudios en sangre y tejido hematopoyético (Halstead, 1982).

1.2.2. Mosquito vector El agente causal de la enfermedad del dengue es el mosquito Ae. aegypti que durante siglos fue conocido como el mosquito de la fiebre amarilla (Koella y Agnew, 1997; Barreau et al., 1996; Ibrahim et al., 1996).

La distribución de los géneros Aedes son: Ae. (Stegomyia) aegypti (L.), es cosmotropical localizado dentro de los 20º isotermas (el Ae. aegypti se localiza en todas las áreas de Las Américas, excepto Canadá, Chile y las Bermudas); Ae. (S.) albopictus (Skuse), (sureste del continente asiático, sureste de Asia, oriente de Norte América y sureste de Brasil); Ae. (Gymnometopa) mediovittatus (Coquillett) (Cuenca del Caribe); Ae. (S.) africanus (Theobald) y Ae. (S.) leuteocephalus (Newstead)

9

(África Tropical); Ae. (Finlaya) niveus (Ludlow) complex (sureste de Asia; y Ae. (S.) polynesiensis marks (sureste del Pacífico) (Focks et al. 1993; Pinheiro y Corber, 1997).

El Ae. mediovittatus, es un nuevo vector, que ha estado ocupando los lugares que dejó el Ae. aegypti cuando se le ha combatido en Cuba. Por ser un nuevo factor, se debe considerar por los países de Las Américas en la lucha contra el dengue (Fuentes et al., 1992).

Las actividades para erradicar el dengue se han enfocado al control del Ae. aegypti, es por ello que se describirá su alimentación, reproducción, factores que influyen en la oviposición, control del Ae. aegypti, y el hospedero (Fernández-Salas y Flores-Leal, 1995). 1.2.2.1. Alimentación El Ae. aegypti hembra se alimenta de sangre de mamíferos, roedores y aves (hematófago), también de los néctares de las flores que se encuentran en el hábitat del hombre. Como se alimenta de sangre del hospedero (antropófago), el mosquito prefiere realizar las actividades alrededor del hombre, ya que dispone del alimento, el sitio para descansar durante el día y los criaderos para ovipositar, que son los contenedores artificiales que produce el hombre (antropolífico). El Ae. aegypti macho se alimenta de néctares de las flores que se encuentran en su alrededor (RigauPérez et al., 1998).

Las hembras de los mosquitos necesitan alimentarse de sangre para lograr la maduración de sus huevecillos y de esta manera se puedan reproducir (Méndez et al., 1994). La nutrición empleada o consumida en la producción de huevos debe ser considerada en la transmisión de la enfermedad (Liles y Delong, 1960).

10

1.2.2.2. Reproducción

El Ae. aegypti se reprodujo en el transcurso del año en todos los poblados estudiados en Puerto Rico en 1973 (Moore et al., 1978). El apareamiento se realiza cuando la hembra busca alimentarse. El ruido que emiten sus alas al volar, hace que el macho sea atraído; entonces la intercepta, la copula y la insemina de por vida, haciendo que el esperma que lleva la hembra, le sea suficiente para la fecundación de todos los huevecillos que produce en cada reproducción, no aceptando otra inseminación, así tenga contacto con machos.

El análisis del ciclo de oviposición puede contribuir para estimar la tasa de sobrevivencia. Este ciclo de oviposición puede ser determinado sin realizar experimentos de captura y recaptura (Holmes y Birley, 1987).

El mosquito Ae. aegypti pica silenciosamente, preferentemente a mujeres y niños; realizándolo en el día, aunque las principales horas pico son cuando existe poca intensidad de luz solar, es decir a las pocas horas del amanecer (6:00 a 8:00 hrs.), y en el atardecer (17:00 a 19:00 hrs.); encontrándose en el día en lugares frescos dentro de las casas, como en las cortinas de los baños, los closets, debajo de la cama, etc.

El mosquito al picar a una persona enferma del dengue, puede transmitir la enfermedad inmediatamente después de 8 a 10 días, tiempo en el cual se multiplica el virus en sus glándulas salivales (Ramos, 1989; Kautner et al., 1997).

Los sitios donde generalmente el Ae. aegypti tiene los criaderos son las casas, las escuelas, los panteones, alrededor de las vulcanizadoras etc.; debido a que se dejan a la intemperie los recipientes en los que se almacena agua limpia o clara, o se recolecta de la lluvia, haciendo los sitios preferidos de las hembras Ae. aegypti, para ovipositar sus huevecillos. Los contenedores mas comunes en Nueva Orleans, L.A. son: las llantas, cubetas de un galón, botes de bebidas; mientras que en Bangkok,

11

Tailandia son: jarras, platos hondos de floreros y trampas de hormigas (Focks et al., 1993).

Otros sitios adicionales donde se han encontrado larvas son los contenedores artificiales que pueden retener agua, tales como cubetas, chapoteaderos, platos hondos con agua para animales, floreros y depósitos para captar agua de las lluvias (Halstead, 1982; Lloyd et al., 1992; Rawlings et al., 1998; Rigau-Pérez et al., 1998). Los criaderos ideales son los que contienen agua limpia, que están bajo sombra, y tienen buena calidad de materia orgánica, sin que ésta sea excesiva ya que provocaría que el agua se descomponga rápidamente.

La hembra del Ae. aegypti, una vez fecundada y alimentada, vuela a los sitios de oviposición, donde los recipientes contienen agua limpia, y en ellos coloca los huevecillos uno a uno, a una altura de 1 o 2 centímetros arriba del nivel del agua. Para asegurar la sobrevivencia de esta especie, ella oviposita en tres criaderos. La cantidad estimada de huevos que deposita por oviposición son 100, de los cuales, al llegar a su etapa adulta, el 5O% de ellas son hembras, que son las que pican al hombre.

El ciclo de vida del Ae. aegypti está dividido en: huevo, larva, pupa y adulto (Fernández-Salas y Flores-Leal, 1995). Estas formas evolutivas corresponden a dos etapas que son la acuática y la aérea (primeras tres y la última, respectivamente). La fase acuática se le conoce también como larvaria o de estados inmaduros y la etapa adulta corresponde al mosquito que vuela.

Los huevecillos miden no más de un mm de longitud y el tiempo promedio de maduración es de uno a tres días cuando están húmedos y a temperaturas de 25oC y 30oC. El período acuático tiene una duración promedio de siete a diez días, pero puede prolongarse a más del doble de tiempo cuando la temperatura disminuye o los alimentos son escasos, o puede reducirse hasta cinco días cuando hay alimento y la temperatura oscila entre los 25oC y 34oC. (Méndez et al., 1994).

12

Una vez que los mosquitos han emergido, la primera alimentación la realizan entre la 20 y las 72 horas posteriores. Las alimentaciones subsecuentes las realiza cada tres días, que es cuando completa su ciclo gonotrófico. El Ae. aegypti pica o se alimenta varias veces por uno o más hospederos hasta saciar sus necesidades alimenticias. En la etapa adulta, el mosquito se especializa en la alimentación, reproducción y dispersión (Méndez et al., 1994).

El mosquito adulto en condiciones naturales sobrevive un promedio entre 15 y 30 días, alimentándose cada tres días. Las condiciones ambientales (de temperatura, humedad, y la latitud), las de reposo, de sitios de reproducción, y de las fuentes de su alimentación, pueden influir en los rangos de su ciclo de vida. A temperaturas inferiores a 4oC o superiores a 40oC, generalmente no sobreviven los mosquitos (Méndez et al., 1994).

El Ae. aegypti vuela una distancia promedio de 100 metros, aunque en estudios se recomienda considerar un radio de distancia de 150 metros, de sus sitios de descanso (Ramos, 1989).

1.2.3. Factores que influyen en la oviposición En condiciones ambientales favorables, las larvas producen un componente que induce a las hembras a ovipositar en esas aguas, y cuando las larvas están bajo stress, producen un repelente potente para futuras oviposiciones (Zahiri y Rau, 1998).

La densidad larval afecta el atractivo de los sitios de oviposición potencial para las hembras en estado de gravidez, ya que estas compiten por los alimentos. Se ha encontrado que a mayor densidad de Aedes, menor es el tamaño de ellas, y viceversa. También se reporta en estudios, que las larvas criadas con baja dieta larval, éstas reducen sus reservas metabólicas, y al sumergirse en el agua al responder a estímulos de la luz externa, provoca que reduzcan rápidamente sus reservas para emerger como adultos y para reproducirse (Zahiri y Rau, 1998).

13

La repelencia al sitio de oviposición de las hembras de los sitios cercanos a la habitación humana, puede ser un método efectivo en el control del mosquito y a la enfermedad transmitida por ellos (Zahiri y Rau, 1998).

1.2.3.1. Control del Ae. aegypti en etapa larval

Al mosquito se le combe en sus etapas larval o adulta. El control del Ae. aegypti se debe de realizar desde los sitios de producción larval (Lloyd et al., 1992). Para controlar las larvas de Ae. albopictus, mosquito selvático, se aplicó 2g de ALTOSID® a pequeños tazones o jícaras (22 x 5 cm), siendo eficiente en un 100% en el control de estas, y con un efecto duradero del producto por seis meses. Este producto es eficiente, ya que se probó en plantas, encontrándose que granulado o en bola, podría proveer una manera efectiva y económica para controlar el Ae. aegypti y potencializarse a otros mosquitos que ovipositen en tanques, o en las axilas de las plantas bromeliasis, donde se almacena el agua de lluvia y pueden servir de criaderos de mosquitos. Existen pocos reportes en la literatura de estudios en las modalidades de la transmisión del virus del mosquito. En muchos casos se reporta la transmisión horizontal y transovárica. La transmisión horizontal larva a larva ocurre por ingestión de larvas muertas infectadas o de agua contaminada y podría alcanzar al 90% de mortalidad acumulada a los 10 días de la post-infección cuando la larva fue infectada en el primer instar y de los que llegan a adultos, el 30% están infectados (Barreau et al., 1997).

1.2.3.2. Control del Ae. aegypti en etapa adulta

Los insectos llevan microbios y parásitos que afectan a los humanos, animales y plantas. En este caso el mosquito Aedes, transporta el virus del dengue e infecta a humanos. El uso de insecticidas es costoso y conduce a efectos ecológicos que se dejan de lado. Dada la importancia de los enormes nichos ecológicos ocupados por 14

los insectos, no es claro que la reducción o eliminación de ellos sea deseable. Una alternativa podría ser al reducir o eliminar la habilidad de los insectos al producir organismos que los enferme, para disminuir la competencia del vector (Conte Jr., 1997).

El costo total de los daños provocados por los insectos y enfermedades no es medible, pero probablemente sea de muchos millones de dólares anuales en el mundo (Conte Jr., 1997).

En la epidemia con el serotipo 1 en la Polinesia Francesa, ocurrida de 1988 a 1989, se utilizó el spray de volumen ultra bajo (ULV) en las áreas urbanas utilizando malathion, para controlar el vector en su etapa adulta (Chunge et al., 1992). El control químico con la aplicación de malathion y de otros insecticidas, utilizando vehículos o aviones no han sido eficientes en el control. Los métodos de control biológico pueden ser prometedores (Leontsini et al., 1993).

El Ae. aegypti tiene preferencias para descansar en algunos sitios, en particular, dentro de las habitaciones; este conocimiento de su comportamiento no ha sido explotado para diseñar estrategias de control. El desarrollo de cajas de descanso facilitan la colecta y captura de este importante vector, reduciendo las tasas de éste; y ofrece una forma rápida de muestreo (Edman et al., 1997).

Las cajas de descanso forradas con paño e impregnadas con un repelente como el piretroide (deltametrin), podrían servir en una comunidad para prevenir o suprimir la transmisión del dengue durante períodos epidémicos (Edman et al., 1997).

1.2.4. El hospedero

El hospedero, es el humano que recibe las picaduras del mosquito. Este es más susceptible cuando es de raza blanca, de sexo femenino y menor de 15 años. El mosquito lo pica en silencio y preferentemente en los tobillos, codos, parte superior

15

de rodillas y del cuello (Halstead, 1982; Ramos, 1989).

El humano es el principal reservorio del virus del dengue. No es claro que si los primates no humanos pueden servir de reservorio del virus del dengue humano bajo ciertas condiciones. Por lo anterior se realizó un estudio en Polonnruwa, Sri Lanka, para caracterizar el patrón de infección entre Macacos (Macaca sinica). Al estar expuestos a la población de las villas rurales con el dengue, se encontró en las muestras de sangre analizadas con la prueba de Elisa, que los macacos en 1996, tuvieron un resultado positivo el 12% (2 de 12 animales), y en 1987 se tuvieron infectados con el dengue el 93% (41 de 44 macacos). Estos animales no parecen tener serios problemas con la enfermedad. Para estudios futuros se requiere aislar el virus del dengue de los macacos para determinar su relación con la infectividad humana (De Silva et al., 1999).

El ácido láctico-L normalmente es expulsado por la piel del humano y aunque su mayor concentración se tiene en la boca, por ser húmeda, esta no funciona como repelente para el mosquito Ae. aegypti; en cambio, la secreción por la piel del humano, preferentemente de la mano, tiene un efecto de atrayente apropiado para este mosquito (Smith et al., 1970).

Los mosquitos pican siempre a cualquier hospedero al que ellos se sientan atraídos. Estos factores pueden ser la humedad, el dióxido de carbono y la temperatura de la piel (Smith et al., 1970).

La típica duración de la viremia en pacientes es de 4 a 5 días, persistiendo más en las infecciones primarias que en las secundarias. La transmisión del dengue no se realiza por la comunicación de persona a persona, por lo que se hace raro que una enfermera se haya infectado al atender a un paciente-viajero con dengue.

Los patrones de interacciones entre diferentes grupos de individuos en una población estructurada es un factor importante que afecta el fácil establecimiento de

16

una enfermedad y su tasa de dispersión en la población (Sattenspiel, 1987). Se recomienda que futuros estudios sobre la viremia del dengue, puedan incluir la estratificación por grupos étnicos, ya que se sospecha que la raza blanca atrae al vector del dengue, como se reportó en muchos casos en Cuba en la epidemia ocurrida en 1981 (Vaughn et al., 1996).

Las muertes por el DHF y DSS, ocurren principalmente en niños con edades entre 5 y 15 años; aunque el DHF se da en mujeres bien alimentadas con edades que fluctúan entre 7 y 12 años. El DHF es raro que ocurra en hospederos mayores de 15 años (Kautner et al., 1997).

1.2.5. Manifestaciones clínicas La infección del virus del dengue puede ser asintomática, como ocurre a los niños, o presentar manifestaciones clínicas que lo pueden llevar hasta la muerte. El período de incubación es de siete días, aunque el rango es de tres a catorce días (Rigau-Pérez et al., 1998). El tratamiento a tiempo de los síntomas puede salvar vidas de personas que padecen la fiebre hemorrágica del dengue (Laferl, 1997).

Existen manifestaciones inusuales de la infección del dengue, como la fiebre del dengue con severa hemorragia, daño hepático, derrame pulmonar, falla cardiaca congestiva y encefalopatía (Thong, 1998). Los estudios en Cuba sugieren que los factores de riesgo para adquirir el DHF son las enfermedades crónicas tales como el asma bronquial, diabetes mellitus y anémico; además, el DHF/DSS es mas prevalente en la raza blanca que en la negra (Pinheiro y Corber, 1997). Un caso de dengue es definido como un paciente quien presenta la enfermedad febril repentinamente con dos de los siguientes síntomas: dolor de cabeza, mialgia, dolor de huesos, vómito, salpullido y manifestaciones hemorrágicas (Herrera-Basto et al., 1992; Chunge et al., 1992; Trofa et al., 1997; Rawlings et al., 1998). La fiebre no se debe de considerar como la única sintomatología para identificar el dengue clásico (DF), ya que en algunos estudios de enfermedades febriles, sólo el 30 por ciento o

17

menos son casos de DF (Trofa et al., 1997).

Un estudio llevado a cabo en Tailandia, encontró que los indicadores clínicos y de laboratorio sirven de ayuda en la identificación al inicio de la enfermedad del dengue hemorrágico.

Estos

fueron:

la

prueba

del

torniquete

positivo,

leucopenia,

monocitopenia y altos niveles de plasma.

En la epidemia de la Polinesia Francesa en 1988 y 1989; se aplicaron cuestionarios y al analizarlos se encontró que el 75.9% de los pacientes consultaron a un médico en los primeros cuatro días de la enfermedad. En esta fase febril, se les tomaron muestras de sangre confirmando a tiempo por el laboratorio, su correspondiente resultado. Es importante que se realice el diagnóstico temprano para su correspondiente tratamiento y el control de la enfermedad (Chunge et al., 1992).

En el brote de dengue clásico ocurrido en Taxco, Guerrero, los síntomas mas frecuentes fueron: dolor de cabeza (100%), fiebre (99%), y mialgias y artralgias (95%), con dolor retroocular (61%), y el 54% de los casos fueron con salpullido (Herrera-Basto et al., 1992). Resultados similares se obtuvieron en la vigilancia del dengue en Texas en 1995 (Rawlings et al., 1998). De 28 pacientes con dengue clásico, diagnosticado por pruebas de laboratorio, se tuvieron las manifestaciones de fiebre (93%), dolor de cabeza (61%), mialgia (57%), salpullido (57%) y artralgia (18%). La tasa de infección anual en zonas endémicas es del 10 por ciento, por lo que es clasificada como baja (Halstead, 1988); aunque ha provocado epidemias en Cuba y Venezuela. Las tasas de mortalidad de pacientes hospitalizados con DHF en áreas epidémicas de dengue, fluctúa en rangos de menos del 1 por ciento, hasta del 40 por ciento. (Ramos, 1989; Ko et al.,1992; Koopman et al., 1991; Vaughn et al., 1997; Rigau-Pérez, 1998).

Los criterios para clasificar a los pacientes con la enfermedad del dengue, pueden ser clínicos o de laboratorio. En el caso clínico, las manifestaciones son: 1) fiebre, 2) 18

manifestaciones hemorrágicas (prueba positiva del torniquete), 3) agrandamiento hepático, 4) choque (pulso alto y baja presión del pulso, menor o igual a 20 mmHg o hipotensión). En los estudios de laboratorio, se utilizan muestras de sangre y se miden los diferentes niveles de concentración de: 1) trombocipenia (menor o igual a 100,000/mm3), y 2) hemoconcentración (incremento de hematocritos, mayor o igual al 20 por ciento). La trombocipenia con altos niveles de hematocritos diferencía al dengue clásico del dengue hemorrágico (Kautner et al., 1997; Velzing et al., 1999).

El tratamiento debe ser correcto y oportuno contra la enfermedad del dengue hemorrágico (Laferl, 1997). Para el tratamiento a pacientes con la enfermedad del dengue clásico se recomienda descanso en cama y tomar abundantes líquidos. Para controlar la fiebre o dolor se toman antipiréticos y analgésicos (paracetamol). El uso de aspirinas está contraindicado, ya que incrementa la tendencia de sangrado (Kautner et al., 1997).

Las estrategias en el control y/o erradicación del dengue se enfocan a la eliminación del mosquito, principalmente en las etapas larvaria y adulto, mediante la aplicación de productos químicos y biológicos o a través de acciones de saneamiento en sitios donde ovipositan, mediante la descacharrización o eliminación de depósitos (Koopman, et al., 1991; Chunge et al., 1992; Ko y Chen,1992).

La vigilancia y las estrategias de control han fallado para reconocer que los tipos de contenedores claves, que son las llantas y los tambos o barriles, correspondieron del 10 al 20% del total de contenedores y fueron responsables de que en ellos se reprodujeran del 82.6 al 99.1% del Ae. aegypti; haciendo que se maximice el costo de la efectividad del control. Para generar un nuevo índice larval, se requiere mas evaluación; ya que en los poblados de Charters Towers y Mingela/Ravenswood, los tanques para almacenar agua comprendió del 13.5 al 29.6% de los contenedores positivos que se colectaron en ellos del 60.4 al 63% de larvas de Ae. aegypti (Tun-Lin et al., 1995).

19

Se han elaborado vacunas contra los serotipos del dengue y a nivel experimental se tiene una vacuna tetravalente (Chamberts et al., 1997), pero hasta la fecha no se dispone de una vacuna que proporcione inmunidad contra los cuatro serotipos del dengue (Bhamarapravati y Sutee, 2000).

En la Universidad de Mahidol, Tailandia, hicieron una vacuna tetravalente tratada en adultos clínicamente, confirmó la seguridad e inmunología de formulaciones monovalente y polivalente moderada (Chamberts et al., 1997).

A pesar de los esfuerzos por crear vacunas atenuadas (vacuna de la primera generación), con biología molecular (vacunas de segunda generación) y con ácidos nucleicos (vacunas de la tercera generación), se estima que en la primera década del siglo actual se podrá contar con un inmunógeno (vacuna) del dengue (Guzmán, 1998).

En períodos de baja transmisión del dengue, las personas y las autoridades del Sector Salud pierden el interés en el control del Ae. aegypti, por lo que las densidades del vector tienden a incrementarse (Esteva, 1998). En la Figura 3, se muestra la distribución del Ae. aegypti en diferentes años: 1930; 1962, cuando se realizó el control del mosquito, y 1997 al reinfestarse las áreas con este vector, sin estrategias de control (Pinheiro y Corber, 1997).

20

Figura 3. Distribución del Ae. aegypti (L.), en los años 1930, 1962 y 1997.

El hospedero, para protegerse, utiliza repelentes contra mosquitos, pero esto no contribuye al control del mismo. Se sugiere que las casas cuenten con mosquiteros en las puertas y ventanas, para evitar que el mosquito entre a las casas a descansar.

1.2.6. Medio Ambiente

Al haber una baja infección del dengue en mosquitos, se observa que la dispersión del vector se presenta en la estación húmeda, esto podría proveer un mecanismo eficiente para la dispersión del virus a comunidades cercanas (Edman et al., 1998).

El efecto de inusuales aguaceros estacionales, puede ser determinado después de 5 o más de 10 años de observación. Tales datos no están disponibles en Puerto Rico ni en Las Américas (Moore et al., 1978).

El rango de índice de casa y de Bretau fue mayor durante la estación de lluvia en el sur de la costa de Puerto Rico, donde se tiene mas pronunciada su estación de secas. En la costa norte, dónde las estaciones de lluvias y secas no son tan marcadas, la densidad de población larval del Ae. aegypti fue igualmente distribuida 21

a través del año. Un programa combinado de la reducción de las fuentes de reproducción en la estación seca y un temprano control de insecticida en la estación húmeda, podría ser suficiente para mantener los índices por debajo de los niveles críticos. Otra opción sería un control complementario (es decir, aplicar larvicidas focales peridomésticos) puede ser llevado a las áreas de fuerte reproducción (Moore et al., 1978).

En un estudio que se realizó en la división de Miri, Sarawak, Malasia, en el periodo de 1991 a 1994, en el que se eliminó el bosque para establecer una plantación de árboles de hule; aunado a la migración de la población y al tener deficiencias de servicios de agua y de drenaje, así como el incremento de sitios artificiales de reproducción de los mosquitos, hizo que se confirmaron casos de malaria y de dengue hemorrágico. Un total de 759 casos de dengue/dengue hemorrágico reportados durante 1993-1994 y la mitad de ellos (427) ocurrieron en la división de Miri, con tasa de mortalidad de 86.2 por 100,000. Lo novedoso fue que se capturaran mas mosquitos del Ae. albopictus en el área cercana a las domésticas que selváticas (Chang et al., 1997).

Hales y Colaboradores. (1997) presentaron datos que no asocian la oscilación del sur (conocida como el Niño) y la fiebre del dengue, en un período de 1970 a 1996; debido a que el Niño es responsable de las fluctuaciones en el clima.

Al tener las temperaturas ideales para la reproducción y desarrollo del Ae. aegypti, causaría un incremento en el riesgo de la infección en los hospederos susceptibles; aunado al incremento de la lluvia, la cual podría suceder durante la Oscilación del Niño, permitiría incrementar los sitios de reproducción para los mosquitos y ampliaría la sobrevivencia de los adultos. Esto no sorprendería que se incremente el dengue durante ése período (Sehgal, 1997).

La alta temperatura puede influenciar las epidemias del dengue, como ocurrió en Taxco, Guerrero México, en un verano caliente en 1988; favoreciéndose con los

22

contenedores para almacenar agua, que sirvieron de criaderos para el Ae. aegypti, haciendo que se tuviera un brote a una altitud de 1700 metros (Herrera-Basto et al., 1992).

La temperatura tiende afectar la dinámica de transmisión del dengue. Las altas temperaturas reducen el tamaño larval del Ae. aegypti afectando su tamaño adulto. En adición, el desarrollo viral es alterado cuando se incrementa la temperatura. El período extrínseco de incubación (PEI) se acorta con las altas temperaturas, por ejemplo, el PEI para el virus del dengue tipo 2 es de 12 días a la temperatura de 30oC y es de 7 días a 32-35oC.

Los climatólogos han estimado que la temperatura mundial tendrá un incremento de 2.0oC para el año 2100. Los cambios pueden afectar la introducción y diseminación de muchas e importantes enfermedades infecciosas, tales como la malaria, el dengue, etc. (Patz et al., 1996). Sin embargo, Paul Reiter dijo a la revista Lancet, que está en desacuerdo de que al aumentar el calentamiento global, las enfermedades como la malaria, dengue y fiebre amarilla, éstas invadirán las áreas templadas, por la simple razón de que esas enfermedades son comunes en tales regiones, pero que han desaparecido debido a los factores tales como al mejoramiento del saneamiento de las casas (Morris, 1997).

Para analizar el papel del clima en la emergencia de enfermedades infecciosas de humanos, así para el cuidado de la salud, se requiere la cooperación interdisciplinaria entre médicos, climatólogos, biólogos, y científicos sociales. Para incrementar la vigilancia de la enfermedad, se requieren modelos integrados y el uso de sistemas geográficos, para que tomen medidas oportunas la comunidad médica (Patz et al., 1996). Un ejemplo de la participación de científicos y técnicos, ocurrió cuando controlaron la emergencia de la enfermedad de la influenza en 1976, y se realizó la vacunación nacional en Estados Unidos (Hilleman, 1996).

23

1.2.7. Índices y tasas de infección Los índices y tasas de infección, son estimadores que permiten conocer la magnitud de la enfermedad. Los métodos estadísticos comúnmente utilizados para analizar la información de estudios serológicos del dengue son: Regresión logística y Regresión logística con stepwise (Koopman et al., 1991). En los últimos 20 años se han efectuado muchas encuestas serológicas sobre el dengue en Las Américas; sin embargo, la mayor parte de ellas adolecen de problemas de metodología relacionados con la aleatoriedad y la determinación del tamaño de muestra. 1.2.7.1. Índices larvarios Los índices de la población larval del Ae. aegypti utilizados por Moore y colaboradores (1978), cuando midieron los determinantes de la abundancia larval y la relación de la transmisión del virus del dengue, utilizaron los siguientes índices: •

índice de casa = porcentaje de casas positivas.

•

índice de Bretau = índice de contenedores positivos por cien casas.

•

Índice de contenedor = porcentaje de contenedores llenos de agua y positivos con larvas.

Al tener un índice de Bretau menor que 5, clasificado por la Organización Mundial de la Salud, no se tiene riesgo de la transmisión de fiebre amarilla. Esta clasificación es ampliamente aplicada al dengue (Tun-Lin et al., 1995).

Para los tres años del estudio realizado en Puerto Rico en 1973, la transmisión del dengue fue mayor cuando el índice de Bretau promedio se incrementó por arriba de 20 (Moore et al., 1978). Sin embargo, al aplicar el índice de Bretau, éste no es un estimador confiable (Espinoza, 2002).

En un estudio llevado a cabo en Honduras para evaluar la participación comunitaria, se utilizó la prueba estadística de rangos de Wilcoxon y no hubo diferencia estadística significativa para los índices de Bretau de los sitios intervenidos 24

y no intervenidos (Leontsini et al., 1993).

1.2.7.2.Tasas de infección La tasa de sobrevivencia diaria del Ae. aegypti no puede ser determinada (Holmes y Birley, 1987). También se reporta que existe poca información específica publicada sobre la tasa de embrionación como una función de la temperatura en Ae. aegypti. Además, no existen datos sobre la predación de hormigas en el campo (Focks et al., 1993).

La estimación exacta de la tasa de sobrevivencia y frecuencia de picadura constituye un problema importante para la ecología de insectos cuantitativa.

Se pueden elaborar tablas de vida del Ae. aegypti, en condiciones favorables, estos tienen del 75% al 90% de sobrevivencia diaria. La tasa de sobrevivencia diaria del mosquito en su etapa adulta es estimada por el modelo CIMSiM, ésta es del 89% durante el período de un año (Méndez et al., 1994; Focks et al., 1995).

Una idea aproximada de la tasa de infección sería considerar estos indicadores, más el período virémico del hospedero, la densidad de población de mosquitos y el tiempo que transcurre entre cada ciclo gonotrófico, para estimar la cantidad de hospederos a infectarse (Méndez et al., 1994).

La tasa de casos de muertes (TCM) por la fiebre del dengue en Las Américas es de 1.4%; sin embargo existen variaciones que fluctúan de 8.3% en Puerto Rico a 0.8% en Venezuela (Pinheiro y Corber, 1997).

Un estudio serológico prospectivo con ELISA utilizando IgM e IgG2, realizado a personas susceptibles, menores de 21 años de edad, al estudiar la evolución en tiempo de la enfermedad del dengue, se demostró las tasas de prevalencia o incidencia están relacionadas al tiempo de exposición y consecuentemente con la edad. Al realizar comparaciones de la incidencia o prevalencia del dengue entre

25

poblaciones, se requiere previamente que las tasas se ajusten por edad de los hospederos, situación que no ocurre en la mayoría de los estudios similares, que comparan tasas (Chunge et al., 1992; Deparis et al., 1998).

Los estudios prospectivos deben tomar en cuenta el tiempo de exposición al dengue, siendo necesarios estos estudios para confirmar la hipótesis de la infección secuencial (Deparis et al., 1998).

En un estudio serológico realizado a nivel nacional en México en 1986, se encontró que la tasa de la enfermedad del dengue fue de 1.9 (Koopman et al., 1991).

En la epidemia del dengue con el serotipo 1, que ocurrió en la Polinesia Fancesa (en el sur del Pacífico), en 1988 y 1989, se encontró que la proporción de la población infectada en 1990 fue aproximadamente del 70%; aunque el dengue confirmado virológicamente y/o serológicamente en 701 casos documentados fue el 40% (Chunge et al., 1992).

Algunos factores que afectan la tasa reproductiva pueden ser la abundancia de hospederos, sitios de oviposición y la abundancia de los mismos insectos (Holmes y Birley, 1987).

En condiciones favorables, los mosquitos Ae. aegypti tienen una tasa de sobrevivencia diaria del 75% al 90%. La tasa de sobrevivencia diaria del 89% fué estimada por el modelo CIMSiM en la etapa adulta del mosquito durante el período de un año (Méndez et al., 1994; Focks et al., 1995).

La tasa de casos de muertes (TCM) por la fiebre del dengue en Las Américas es de 1.4%; sin embargo existen variaciones que fluctúan de 8.3% en Puerto Rico a 0.8% en Venezuela (Pinheiro y Corber, 1997).

26

La tasa de infección anual en zonas endémicas es del 10 por ciento, por lo que es clasificada como baja; aunque ha provocado epidemias como en Cuba y Venezuela. Las tasas de mortalidad de pacientes hospitalizados con DHF en áreas epidémicas de dengue, fluctúa en rangos de menos del 1 por ciento, hasta del 40 por ciento. (Ramos, 1989; Koopman et al., 1991; Ko y Chen, 1992; Vaughn et al., 1997; RigauPérez, 1998).

La tasa de mortalidad del dengue hemorrágico varía en los rangos del 1% al 30%, dependiendo de la disponibilidad y del cuidado mantenido en el control de la enfermedad (Kautner et al., 1997).

Se realizó un seromuestreo en México, de marzo a octubre de 1986, para examinar los efectos de las familias y los factores ecológicos sobre la seroprevalencia dentro de comunidades. También se tuvo como objetivo construir un modelo que pueda ser usado para predecir el riesgo de epidemias severas del dengue a nivel nacional. El análisis estadístico determinó la asociación de seroprevalencia en una localidad con la prevalencia de varios factores de riesgo de esa localidad (Koopman, et al., 1991).

Al ser un problema el control y/o erradicación de la enfermedad del dengue, se sugiere elaborar modelos matemáticos, de utilidad en evaluación y predicción de epidemias (Fernández-Salas I., y Flores-Leal A., 1995).

1.3. Modelos matemáticos

El objetivo de los modelos matemáticos aplicados a la epidemiología es proporcionar información útil en la toma de decisiones, para establecer estrategias operativas en el control y/o erradicación de una enfermedad infecciosa (Altman, 1995; Heesterbeek, 1996; Wallinga et al., 1999; Allen y Burgin, 2000).

27

El uso de los modelos epidemiológicos han cobrado gran impulso en los últimos años (Nåsell, 2002; Ball y Lyne, 2002), debido a que se utilizan para describir el comportamiento de una enfermedad infecciosa, en la cual, al modificar los parámetros del modelo se pueden representar situaciones que difícilmente se pueden obtener mediante experimentación (Becker, 1979).

Por citar un ejemplo de las aplicaciones iniciales, en 1911, Sir Ronald Ross recibió el premio Nóbel de Medicina por descubrir que la especie Plasmodium causa la malaria, transmitida de persona a persona a través del mosquito; además, mediante de un modelo matemático sencillo, indicó que con una densidad baja de mosquitos, la enfermedad se mantuvo a niveles controlados en la población sin convertirse en una epidemia (Goodman, 1994; Heesterbeek, 1996).

Recientemente, los modelos matemáticos se han utilizado en el establecimiento de políticas de vacunación (Ball y Lyne, 2002), para describir adecuadamente las características de las epidemias, al vacunar a una parte de una comunidad de personas expuestas a una enfermedad infecciosa (Becker, 1979).

Se han realizado modelos matemáticos determinísticos para representar la dinámica del Ae. aegypti, a través del modelo de simulación de los contenedores, donde oviposita el mosquito (CIMSiM), para ofrecer información entomológica de utilidad en modelos aplicados a la transmisión del dengue (Focks, et al., 1993). Este modelo incluye el modelo epidémico SEIR para las personas susceptibles y el modelo SIR para los mosquitos.

Tanto los modelos determinísticos y estocásticos aplicados en la transmisión de la enfermedad del dengue, se han enfocado generalmente al estudio del mosquito (Focks et al., 1995), ignorando la estructura de la población susceptible a esta enfermedad, factor importante en su diseminación. Un ejemplo muestra que, a través de los viajeros se ha propagado la enfermedad a nuevas áreas no infectadas con el dengue y en ellos se han creado nuevos focos de infección.

28

Los modelos se pueden clasificar en determinísticos y estocásticos, los primeros son relativamente sencillos, resultan de representar un fenómeno biológico a través de la presentación y resolución de ecuaciones diferenciales. Los modelos estocásticos involucran el término aleatorio de diversas formas. (Altman, 1995).

Focks y colaboradores (1995) desarrollaron un par de modelos de simulación estocásticos, en los que describen la dinámica diaria de la transmisión del dengue en el medio ambiente urbano, a través del estudio del Ae. aegypti, sin considerar la dinámica de la población humana.

Es importante estudiar la estructura de la población a través de las familias, debido a que en Teroma, en el Pacífico, la dispersión de la enfermedad del dengue ocurrió principalmente en las casas, por lo cual las campañas del vector se pueden enfocar al uso de insecticidas en las casas (Deparis et al., 1998).

En el estudio de la enfermedad del sarampión, las familias y las escuelas comúnmente no se incluyen en los modelos estocásticos y pueden influir en la sobreestimación de la incidencia, (número de nuevos casos (Newton y Reiter 1992)) de esta enfermedad (Keeling y Grenfell, 1977).

Otra situación se presentó cuando Ball y Lyne (2002) estudiaron a las familias a través de modelos matemáticos en la estrategia de vacunación contra la influenza. La estrategia óptima fue vacunar a todos los integrantes de las familias de tamaño 4, 5, 6 y 7 y es menos eficiente la vacunación en familias de tamaño pequeño, esto se observó al aplicar dos dosis a familias de tamaño 3, una dosis a familias de tamaño 2 y ninguna a familias de tamaño 1. En esta aplicación se observa que el tamaño de la familia es importante en las estrategias de inmunización.

En la vida cotidiana, algunos integrantes de las familias asisten a su trabajo, escuela, al cine o algún evento social, considerados como sitios de reunión, y esto

29

influye en la dispersión de la enfermedad. Las interacciones con elementos de otras familias ocurren de manera aleatoria, realizándose el contacto global o a distancia y su tasa de contacto es menor que la de contacto local (Becker et al., 1995; Becker y Dietz, 1995; Ball y Neal, 2002). En este tipo de contactos se recomienda el empleo de los modelos estocásticos.

Un ejemplo de la importancia de los sitios de reunión lo presentaron Longini y Koopman (1982) al aplicar modelos matemáticos, determinaron que las escuelas sirvieron como foco de infección para la enfermedad de influenza. Esta información la utilizó Hong Kong para inmunizar contra la influenza a niños de escuelas y mostró eficacia en el control de la enfermedad.

En los modelos matemáticos se utiliza un parámetro importante: la tasa de reproducción básica (R0), ésta se define como el número promedio de contactos efectivos, realizados por una persona infectada durante su período completo de infección, cuando se introduce a una población de susceptibles. El valor de éste parámetro proporciona información acerca del tamaño de un brote epidemiológico (Wallinga et al., 1999) y se utiliza para conocer el umbral de la epidemia. R0 está asociado con el número de infectados al terminar una epidemia, lo que se conoce como el tamaño final de la epidemia. (Newton y Reiter, 1992; Ball, 1999; Allen y Burgin, 2000; Chick et al., 2000; Duerr y Dietz, 2000; Hyman y Li, 2000; Müller, et al., 2000).

En la Figura 4, se presenta la relación de la proporción de personas infectadas con respecto a los valores de R0; esto ocurre cuando se tienen mezclas homogéneas y todos los contactos son efectivos. En esta figura se observa la dependencia entre la proporción de infectados y R0.

30

Figura 4. Distribución del número de reproducción básica y la proporción estimada de infectados cuando se asumen muestras homogéneas y contactos efectivos. (Fuente: Koopman et al., 1991). La diferencia entre un modelo determinístico y uno estocástico se manifiesta en el efecto de R0 en el modelo: en un modelo determinístico, si R0 es menor a uno, la enfermedad es endémica y tiende a desaparecer, pero si excede de uno, entonces se presenta una epidemia. En cambio, en el modelo estocástico, si R0 es mayor a uno, todavía existe probabilidad de que ocurra una epidemia (Ball y Neal, 2002).

En la dispersión del virus de inmunodeficiencia adquirida y de otras enfermedades por contacto, realizadas entre dos personas o vértices en una red compleja, Lloyd y May (2001) dan una fórmula para calcular el número reproductivo básico. Éste es R0 = ρ0 [1+(CV)2], donde ρ0 = βDk, β es la tasa de infección, una vez que se realizó en contacto con un nodo infectado; D es el tiempo promedio de recuperación del nodo infectado a recuperado; k es el número de ligas necesarias para conectar un vértice con otros vértices; CV es el coeficiente de variación que se obtiene al dividir la desviación estándar entre el promedio de la distribución de los nodos en la red. Entonces, si existe mucha variabilidad en la red, es decir, se tiene

31

heterogeneidad en la red, el CV es mayor y se incrementa R0. Los epidemiólogos pueden llamar ρ0 al “número reproductivo básico”. Para el dengue, se deben considerar los valores de R0, asociados con las densidades del vector en el sitio donde se transmite la enfermedad. Cuando se tiene baja densidad del Ae. aegypti, el valor de R0 es menor de uno, pero si la densidad es alta, los valores de R0 son mayores de 3 (Koopman et al., 1991). Un indicador de la densidad de mosquitos es el índice de Bretau. Si el índice es mayor a 20, entonces la densidad de mosquitos es alta (Fernández-Salas, 1999).

Esteva y Vargas (2000) utilizaron un modelo determinístico para la transmisión de la fiebre del dengue; en él consideraron constante a la población humana y variable la población del vector; además estudiaron la transmisión transovárica del dengue. Encontraron que al incrementarse la tasa mortalidad del Ae. aegypti, se reduce el valor de R0. Al utilizar la tasa de mortalidad del vector, si ésta es igual a 0.25, 0.50 ó 0.90 entonces R0 es igual a 1.61, 0.8 y 0.45, respectivamente. Estos resultados se obtuvieron a través de 1250 simulaciones (Esteva y Vargas, 2000). Las anteriores tasas de mortalidad no coinciden con las complementarias a las tasas de sobrevivencia diaria del Ae. aegypti, bajo condiciones favorables, estas son del 75% al 90%. La tasa de sobrevivencia diaria del mosquito estimada con el modelo CIMSiM, fue del 89% (Focks et al., 1995). Estas estimaciones indican que se tienen tasas de mortalidad desde un 10 hasta un 25% y son relativamente pequeñas en comparación a las utilizadas para calcular el valor de R0 (Esteva y Vargas, 2000).

En la estimación de R0, se utilizó un modelo que involucra tanto la dinámica del vector como del hospedero. La siguiente expresión permite hacer esta estimación. R0= (Nv/Nh)(CvhChv)(T1h)/( T1h+Tiit)( T1h)/( T1h+Tid)(T21v/T1v+Teit)Tid

32

Donde: Nv = Número de personas (valor inicial: 10,000) Nh = Número de mosquitos (valor inicial: 20,000) Cvh = tasa de contacto efectivo del vector al hospedero (0.375) Chv = tasa de contacto efectivo del hospedero al vector (0.75) T1h = período de vida del hospedero (25,000 días, 68.5 años) Tiit = tiempo de incubación intrínseco (5 días) Tid = duración de infección del hospedero (3 días) T1v = período de vida del vector de cuatro días correspondientes a la probabilidad de sobrevivencia diaria de 0.78. Teit = tiempo de incubación extrínseco (5 días) Se obtuvo R0 igual a 1.928 y se puede aproximar a través de la expresión R0a = -ln(s)/(1-s), donde s = 0.244 es la proporción de susceptibles al terminar la epidemia (R0a = 1.866). Esto indica que no es necesario conocer todos los aspectos que participan en la transmisión de la enfermedad del dengue. Para ello se debe considerar que al terminar una epidemia, comúnmente se reporta la incidencia de la enfermedad, es por ello que se puede calcular la proporción de susceptibles y por consecuencia, R0. Debe de tenerse precaución en la utilización de esta fórmula en otras enfermedades infecciosas, como la malaria, debido a que a diferencia del dengue, ésta provoca mayor duración de infectividad en humanos y R0 no es un buen estimador para esta enfermedad (Newton y Reiter 1992).

La dinámica de la transmisión de las enfermedades infecciosas se representa a través de los principales modelos epidemiológicos: Susceptible-Infeccioso (S-I), Susceptible-Infeccioso-Susceptible (S-I-S), Susceptible-Infeccioso-Removido (S-I-R), Susceptible-Infeccioso-Removido-Susceptible (S-I-R-S) (Kuperman y Abramson, 2001; Ball y Lyne, 2002). En el modelo S-I, una persona es susceptible cuando no padece la enfermedad, pero está propenso a adquirirla, y se encuentra en el estado infectivo cuando pasó del estado susceptible al infeccioso, una vez que adquirió la enfermedad. Este modelo es útil en las enfermedades en las que la persona infectada no se recupera, por ejemplo, VIH, hepatitis B y C.

33

En el modelo S-I-S, la población tiene los estados siguientes: S, I. Un proceso inicia al considerar todos los elementos susceptibles, posteriormente alguno se infecta al tener un contacto efectivo con una persona que se encuentra en período infeccioso y al recuperarse vuelve a ser susceptible a la enfermedad. Este modelo se utiliza para representar enfermedades infecciosas, en las que una vez padecida la enfermedad se puede volver a infectar al no adquirirse inmunidad sobre ella, como ocurre con la tuberculósis. También se utiliza en la transmisión de virus en las computadoras y después de infectarse se aplica un antivirus y nuevamente se vuelven susceptibles (Lloyd y May, 2001). El modelo S-I-R se utiliza en enfermedades infecciosas de ciclo corto en las que se adquiere inmunidad permanente después de padecer la infección (Lefèbre y Picard, 1996), como ocurre con la rubéola, sarampión varicela, infecciones virales y con el dengue al obtenerse inmunidad contra el serotipo, con el cual fue infectada la persona.

El modelo S-I-R sin demografía se le conoce como el modelo epidémico general (Becker, 1979), se utiliza cuando se estudian brotes epidémicos y el modelo SIR con demografía describe el modelo endémico general (Nåsell, 2002). El modelo epidémico general, se puede aplicar en los procesos de propagación de un rumor. La población de N elementos, se encuentra en alguno de los siguientes estados: S elementos no escuchan el rumor, I

elementos escucharon el rumor y pueden

transmitirlo, y R elementos no tienen interés en el rumor y no lo transmiten. Una aplicación reciente se puede observar con Zanette (2001). El modelo S-I-R-S es útil cuando se adquiere

inmunidad temporal hacia la

enfermedad y después se vuelve susceptible, como ocurre con la gripe e infecciones de vías urinarias por bacterias.

Cómo se mencionó anteriormente, en la mayoría de los modelos matemáticos se ignora la estructura de la población, factor importante en la diseminación de la enfermedad infecciosa (Watts, 1999). La importancia de estudiar la estructura de la

34

población, es que si se encuentra muy conectada, se incrementa el riesgo de transmitir enfermedades virulentas y parasitarias (Boots y Sasaki, 1999). 1.4. Topologías de redes Las redes son útiles para estudiar la dinámica en la transmisión de un mensaje, señal, rumor, un líquido, una moda o una enfermedad infecciosa (Watts y Strogatz, 1998; Xin-She, 2001), se aplican en la Ecología en la distribución de comida (Montoya y Solé, 2002); en la genética y en la bioquímica, al estudiar el metabolismo y desarrollo de programas de células vivientes (Bilke y Peterson, 2001); en la Internet al ser un medio de comunicación entre usuarios de todo el mundo (Tu, 2000). En la oncología se utilizan redes neurales para el pronóstico y clasificación del diagnóstico. También se utilizan estas redes para estudiar la complejidad de los sistemas nerviosos, etc. (Koch 1999; Albert, et al., 2000; Dassow et al., 2000; Gardner y Collins, 2000; Helmlinger et al., 2000; Newman, 2001; Tu, 2000; Wang, 2000).

Strogatz (2001) menciona que las topologías de redes en la actualidad tienen gran importancia, debido a su estructura. Este autor cita la página electrónica http://www.wscc.com,

en la que indica cómo una falla en la red siempre afecta sus

funciones, como ocurrió el 10 de agosto de 1996, cuando dos líneas de electricidad en Oregón, Estados Unidos, dejaron de funcionar y provocaron una falla en cascada en 11 estados de esa nación y dos provincias canadienses, dejaron a 7 millones de usuarios sin este servicio por más de 16 horas y causaron pérdidas millonarias de dólares. Otra situación similar ocurrió cuando el virus computacional “Love Bug Worm” se diseminó en la Internet el 4 de mayo de 2000 y provocó daños en la red, cuantificados en billones de dólares.

Existen redes sociales (Krestzschmar y Morris, 1996), económicas (Tu, 2000), neuronales (Whitfield, 2001), computacionales (Jasch y Blumen, 2001), de sistemas eléctricos, por citar algunos ejemplos, en los cuales, los nodos o vértices se representan en un círculo a través de puntos equidistantes, éstos son los elementos del sistema (personas o amigos, empresas, neuronas, terminales de computadoras,

35

plantas generadoras de electricidad) y las ligas que los unen representan las interacciones entre ellos, por ejemplo, amistades, transacciones comerciales, nervios, redes que comunican a las computadoras, cables de energía eléctrica (Latora y Marchiori, 2001; Newman, 2001).

En las redes se describe la dinámica de la población a través de los patrones de contacto. La importancia de estudiar los patrones de contacto en una población de susceptibles a una enfermedad infecciosa se debe al hecho de que determina el riesgo de contraer una infección (Wallinga et al., 1999). Estos influyen de manera importante en la dispersión de una enfermedad infecciosa, para ello se considera que los contactos se realizan de manera local y a distancia (Krestzschmar y Morris, 1996; Lloyd y May, 2001; Koopman et al., 2002). En la representación gráfica de los contactos dentro de las familias (contacto local), los vértices son las N personas de la población y cada vértice se conecta a través de k ligas (Tu, 2000), éstas representan los contactos entre ellos y una infección sólo se puede diseminar a través de las ligas (Kuperman y Abramson, 2001) que unen a cada vértice con sus k/2 vértices vecinos, localizados a los lados de él. Esta red se le conoce como red regular y en la Figura 5 se ilustra la conexión entre los vértices, por ejemplo el vértice 4 está unido con los vértices 2, 3 y 5, 6.

Figura 5. Red regular

36

En la red aleatoria, los vértices se conectan con todos los demás, similar a una mezcla homogénea (Figura 6). Las redes regulares y aleatorias son poco comunes en la realidad (Kuperman y Abramson, 2001), como ocurre en la representación del metabolismo en general (Fell y Wagner, 2000). Una red intermedia entre ellas es aquella en la que se desconecta a algún nodo de su vecino cercano, para conectarlo con otro nodo de manera aleatoria y se encuentre relativamente cerca de él (Watts y Strogatz, 1998). Esta red se conoce como red del Mundo pequeño (Figura 7), en ella, Hong y colaboradores (2002), indican que “... el número total de cortes en la red es dado por NPk, para un N suficientemente grande”, P es la proporción de cortes o nodos desconectados en la red para reconectarse con otros vértices de manera aleatoria.

En las redes regular y del Mundo pequeño, el número de vértices permanece constante (Barabási y Albert, 1999), lo mismo ocurre con las ligas. En las redes del mundo real se incrementa el número de ligas, debido a la inclusión de una nueva amistad de la misma población. Es casi improbable que una persona (vértice) pierda una amistad (liga) para obtener una nueva amistad con otra persona. Existe la teoría de redes del Mundo pequeño basado en que para establecer contacto con otras personas en la transmisión de una enfermedad infecciosa, mensaje o señal, no es necesario conocer a todos los miembros de la población, pero se requiere interacción eficiente entre ellos (Collins y Chow, 1998; Watts y Strogatz, 1998; Kleinberg, 2000; Kim et al., 2001; Hong, et al., 2002).

La interrogante que plantean Fell y Wagner (2000) es ¿Cómo las redes que son grandes y dispersas pueden, a pesar de eso, ser recorridas en muy pocas etapas o con muy pocas ligas?. Al respecto, Watts y Strogatz (1998) determinaron que la red del Mundo pequeño es extremadamente eficiente, la cual origina rápida respuesta a perturbaciones que pueden afectar a una gran proporción de elementos de la red (Montoya y Solé, 2002). Estas redes, comúnmente encuentran la ruta más corta entre cualquier par de vértices (Ball, 2001).

37

Figura 6. Red aleatoria

Figura 7. Red del Mundo Pequeño

Al observar la red de la Figura 7, se podría considerar ineficiente, al existir poca interacción entre los vértices; sin embargo, los resultados en este tipo de redes indican lo contrario (Watts y Strogatz, 1998).

1.4.1. Representación de los sitios de reunión

En la representación de los contactos a nivel local y global, se utiliza una red regular (contactos locales) y se incluyen ligas adicionales para unir parejas de vértices de manera aleatoria. Comúnmente, se agrega una baja proporción de ligas y se espera que el tamaño de la red disminuya drásticamente (Jasch y Blumen, 2001). Estas ligas adicionales representan los contactos en los sitios de reunión (contacto global). En esta red, a diferencia de la presentada en la Figura 7, no se realizan cortes para desconectar a un nodo de su vecino mas cercano (Jasch y Blumen, 2001). Las ligas adicionales utilizadas para representar el contacto global, pueden unir aleatoriamente tanto a nodos cercanos como lejanos (Figura 8).

38

Figura 8. Red con sitios de reunión

1.4.2. Propiedades de las redes En las topologías de redes presentadas en las Figuras 5, 6, 7 y 8, se consideran dos propiedades, el promedio mínimo de las ligas necesarias para conectar aleatoriamente a cualquier par de vértices, a lo que se le conoce como el tamaño de la red (L) (Kuperman y Abramson, 2001; Montoya y Solé, 2002). L es mucho mas pequeño que el número total de vértices de la red (Kleinberg, 2000) y k es mucho menor que el número de vértices (Kirillova, 2001). El coeficiente de agrupación (C) se refiere a la proporción de amistades de una persona (vértice), que se conocen entre ellas y están unidas a través de ligas (Montoya y Solé, 2002).

En una red aleatoria se espera que C sea igual a uno, al hacer la analogía con las mezclas homogéneas. Una red es eficiente cuando L es pequeño, aproximadamente menor o igual a cuatro; aunque se han encontrado valores que fluctúan entre cuatro y nueve (Newman, 2001). Esto indica que se requieren en promedio cuatro ligas para unir de manera aleatoria cualquier par de vértices. Los valores de C reportados son aproximadamente de 0.5.

Las limitantes de las redes son: En red regular se tienen valores grandes de L y C. En cambio en la red aleatoria, L es muy pequeño y C es insignificante. La red del 39

Mundo pequeño tiene un valor pequeño de L y alto el valor de C; esto indica alta interacción en la red (Xin-She, 2001; Davidsen et al., 2002).

Actualmente, existen pocos estudios que realicen el análisis comparativo entre las topologías de las redes regular, aleatoria y del Mundo pequeño. Sin embargo, esta última estructura de red proporciona mejores resultados (Lago-Fernández et al., 2000) o se aproxima en eficiencia a la red aleatoria (Mathias y Gopal, 2001; Sun y Ouyang, 2001).

1.5. Problema

En el estudio de la diseminación de la enfermedad del dengue, no se dispone de un modelo estocástico que incluya la dinámica de la población y represente el efecto de los sitios de reunión en la eficiencia de la red y en el tamaño de la epidemia.

La pregunta que se plantea es:

¿Cómo la estructura de la población influye en la diseminación de la enfermedad del dengue? Hipótesis

El efecto de los sitios de reunión en una población estructurada incrementa la interconexión de la red y la incidencia de la enfermedad del dengue.

1.6. Objetivos

1.6.1.Objetivo General

Proponer y analizar un modelo estocástico que muestre cómo afecta la estructura de la población al tamaño final de la epidemia de la enfermedad del dengue.

40

1.6.2. Objetivos específicos

1. Determinar el tamaño de la red cuando se considera la inclusión de ligas adicionales entre grupos.

2. Calcular numéricamente el tamaño final de la epidemia para la enfermedad del dengue, en función de la topología de la red.

41

2. METODOLOGÍA En la unidad I se planteó la necesidad de elaborar un modelo estocástico que muestre cómo la incidencia del dengue se incrementa al considerar el efecto de los sitios de reunión en la estructura de la población.

Para alcanzar el objetivo, se analizó la estructura de la población a través de la topología de redes, en la cual se representaron los contactos de las personas dentro y entre las familias (Wallinga et al., 1999). Esta topología se denominó Mundo pequeño generalizada (MPG). Una vez seleccionada la red MPG, se utilizó el modelo epidemiológico Susceptible-Infeccioso-Removido (Watts, 1999), para representar la transmisión de la enfermedad del dengue (Esteva, 1998). Posteriormente, se elaboró un modelo estocástico y a través de simulaciones se obtuvieron resultados del número de personas infectadas con el dengue. Otros factores importantes adicionales fueron: el tamaño de las familias (f) y R0. El primero influyó en el tamaño de la red y ambos en la incidencia de la enfermedad del dengue.

La red MPG se relacionó con una red completamente aleatoria. El modelo matemático que considera los contactos a nivel local y global se relacionó con el modelo de mezclas completamente homogéneas en los que se realizan contactos efectivos.

Para conocer la incidencia de la enfermedad del dengue, se realizó un análisis descriptivo de la información. A continuación se detalla la metodología propuesta. 2.1. Topología de red Para mostrar la importancia de los sitios de reunión, se consideró en la red regular, la inclusión de i ligas; éstas unieron aleatoriamente a i parejas de vértices 42

(Jasch y Blumen, 2001). En el modelo matemático, se representó la interacción entre las i familias, equivalente a las ligas adicionales en las redes. La población de susceptibles se representó en una red. En un círculo se distribuyeron equidistantemente los n vértices y cada uno se conectó con sus k vecinos cercanos, localizados a sus lados (Watts y Strogatz, 1998; Mathias y Gopal, 2001). Si k es igual a cuatro, cada vértice se conecta con sus dos vecinos más cercanos y con los dos siguientes vecinos más cercanos (Barabási y Albert, 1999); es decir, un individuo se conecta a sus k/2 vecinos adyacentes, por lo que k siempre es par en nuestro modelo.

El tamaño de cada familia es f = k+1 y el número de familias es nf = n / f, así se obtiene la representación gráfica de una red regular. En esta red se ilustran los contactos homogéneos realizados dentro de las familias que generalmente representan el comportamiento de una población y al conectar vértices de manera aleatoria se realizaron los contactos entre familias; además, las redes regulares son mas fáciles de investigar (Whitfield, 2001).

Esta representación gráfica es una topología de red del Mundo pequeño, debido a que cada vértice requiere pocas ligas para interactuar con otros vértices; a pesar de ello, la transmisión de mensajes, señales y enfermedades infecciosas, es muy acelerada en este tipo de redes (Waltts y Strogatz, 1998). Los supuestos en las redes del Mundo pequeño son los siguientes: a)

La interacción entre las personas o vértices en la red es en ambos sentidos; es decir, están conectados ambos vértices por una sola liga, por ello la transmisión se realiza recíprocamente entre dos vértices adyacentes (Kretzschmar y Morris, 1996; Kirillova, 2001; Montoya y Solé, 2002).

b)

La población es cerrada y se tienen prohibidas conexiones a sí mismo y múltiples conexiones con los demás vértices (Kuperman y Abramson, 2001).

43

c)

Cada vértice está conectado con un número fijo de ligas o amistades y no se considera la eliminación o incremento de ligas o nodos (Pandit y Amritkar, 2001).

La eficiencia de la red, se conoce al estimar los valores del tamaño de la red y del coeficiente de agrupación. 2.1.1. Cálculo del tamaño de la red El tamaño de la red se define como el promedio de la distancia entre todos los pares de puntos posibles en la red, tomando en cuenta que entre dos puntos se usa la mínima distancia (Watts y Strogatz, 1998, Sapozhenko, 2001). En la red regular, se tienen en total nk/2 ligas y L ≈ n/2k. Esta expresión se puede verificar al conectar un vértice con el más lejano, localizado a una distancia máxima de n/k ligas; los vértices que le siguen en distancia se encuentran a (n/k) –1, (n/k)-2, ..., 2, 1 ligas. Al calcular el promedio de estas distancias se obtiene el valor de L, el cual se representa con la siguiente expresión: L= [(n/k) + (n/k)-1 + (n/k) –2 + ... + 2+1]/(n/k) L=

1 n/k ∑i n / k i =1

En una red aleatoria L ≈ ln(n)/ln(k) (Watts y Strogatz, 1998; Davidsen et al., 2002). 2.1.2. Cálculo del coeficiente de agrupación

En el cálculo del coeficiente de agrupación se considera que si un vértice i tiene conexiones a v vértices, cuando cada uno de éstos se conecta a los otros v-1, entonces el valor de Ci es máximo. En el cálculo de Ci, se obtuvo la proporción de ligas que unen a vértices comunes a uno en particular, en relación al número total de ligas que unen esos vértices (Kirillova, 2001). Ci está dado por la siguiente expresión:

44

Ci =

número de ligas entre los vértices vecinos del vértice i número máximo permitido de ligas entre los vecinos del vértice i

En la Figura 9 se representa el número máximo de ligas existentes entre los vértices que están conectados con uno en particular, en este caso con el vértice 1, pero que se desconectaron de él, lo cual resulta de las combinaciones (k,2), donde (k,2)=k!/(k-2)!2! = k(k-1)/2; k! = k(k-1)(k-2)...(2)(1) (Mathias y Gopal, 2001; Davidsen et al., 2002). Esta situación es similar a una red aleatoria, en la que existen contactos homogéneos.

Figura 9. Número total de ligas posibles entre vértices que se conectan con el vértice 1. En la Figura 10 se ilustra la conexión dentro de una familia, equivalente a una red regular, en donde se observó el número total de ligas que unieron los vértices comunes al vértice 1, pero que temporalmente se desconectaron de él. En esta situación, C1=3/6= 0.5.

45

Figura 10. Número total de ligas entre los vértices que se conectan con el vértice 1, en una red regular Una red con ligas adicionales incrementa el número total de ligas en relación a las obtenidas en la Figura 10. En la Figura 11 se agregaron dos ligas que unieron los vértices: el 2 con el 7 y el 3 con el 8.

Figura 11. Número total de ligas posibles entre vértices que se conectan con el vértice 1. Esta red representa los sitios de reunión Al calcular el valor de C1 utilizando las ligas de la Figura 11 (con dos ligas adicionales), en relación al número máximo de ligas permitidas (Figura 9), C1 = 5/6. De esta manera, se calculan los valores Ci con cada uno de los vértices etiquetados como 2,3, ..., n.

El coeficiente de agrupación se obtuvo del promedio de los valores de Ci. Una manera de calcular Ci es dividir el número de ligas de las Figuras 10 ó 11 entre el

46

número de ligas de la Figura 9. Entonces C, es el promedio de los Ci. El coeficiente de agrupación puede tomar valores cercanos a 0.5.

En las redes del Mundo pequeño, C es mayor al de las redes aleatorias, en donde C≈ k/n (Montoya y Solé, 2002). Esta expresión se utiliza cuando la proporción de desconexión y reconexión aleatoria de los vértices es p>0.5; entonces la estructura de las redes es del Mundo grande o de redes aleatorias (Kirillova, 2001). 2.1.3. Cálculo de L y C de la red generalizada Para calcular los valores de L y C de la red MPG, se realizaron dos programas computacionales en MATLAB (Etter, 1996), identificados como pasos.m y red.m (Anexo 1). El primero calcula la matriz de contactos (P) que representa la conexión de los vértices en la red. Donde Pi,j = 1 si los vértices i, j están conectados y es cero de otra manera (Jasch y Blumen, 2001; Kim, et al., 2001; Latora y Marchiori, 2001; Montoya y Solé, 2002).

La matriz de contactos es la siguiente:

P =

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

En la matriz P, aún no se considera la adición de ligas, que representan la conexión aleatoria entre familias.

47

Para calcular Pr se multiplica r veces la matriz P (con r =1,2,..., nf familias). Al obtener P2, presenta algunos vértices que antes estaban desconectados (Pi,,j=0) y ahora es lo contrario (Pi,,j=1); esto se realizó en dos pasos; es decir, dos ligas para conectar esos vértices. De manera análoga, se conectaron otros vértices, pero requirieron cierto número de ligas o pasos. Una vez conectados un par de vértices, aunque el exponente de P se incremente, estos vértices siguen conectados, por lo que fue necesario identificar el exponente r de Pi,j cuando Pi,j fue igual a uno por primera vez.

Sea li,j la mínima potencia de Pi,j en la cual cada elemento pi,j tiene valor de uno. li,j, se calculó del número mínimo de pasos o ligas (r) requeridas para conectar un vértice con otro. Entonces L = promedio de li,j. Al hacer una analogía de la matriz de contactos con una de transición o de probabilidades, cada elemento de un renglón se dividió entre la suma de los elementos del mismo renglón para obtener una matriz de probabilidades. En esta matriz se tuvieron valores de cero o de 1/k (Bilke y Peterson, 2001). Al obtener Pr (r=1,2,...,nf), algunos elementos tendrán valores de cero al utilizar r etapas y aún no se han conectado esos vértices, en otros se tendrán probabilidades mayores de cero al conectarse dos vértices en r etapas (Pandit y Amritkar, 2001). En la matriz Pr se observaron algunos vértices con más alta probabilidad de conectarse, aunque ésta no es la finalidad de este estudio. 2.2. Modelos matemáticos

El modelo epidemiológico Susceptible-Infeccioso-Removido (Zanette, 2001) representa la dinámica de la enfermedad del dengue (Esteva y Vargas, 2000). Debido a la estructura de red en la que se representaron los contactos aleatorios entre familias, se consideró utilizar el modelo estocástico.

48

2.2.1. Supuestos del modelo

Los supuestos considerados en el modelo matemático propuesto en el estudio de la dispersión de la enfermedad del dengue son:

1. Población cerrada. Se asume que la población estudiada es cerrada, es decir, permanece estable al existir equilibrio entre los nacimientos y muertes, así como entre personas que se integran o alejan de la población. Esto es válido para estudios de enfermedades de corta duración y con limitados efectos en la mortalidad, y ocurre con la enfermedad del dengue (Busenberg y Driessche, 1990; Mena-Lorca y Hethcote, 1992; Esteva y Vargas, 1999; Nåsell, 2002). 2. Mezclas homogéneas dentro de cada familia. Cada elemento tiene la misma probabilidad de contactarse con los demás, debido a los frecuentes contactos dentro de cada familia (Boots y Sasaki, 1999; Wallinga et al., 1999). En relación a la transmisión del dengue, los mosquitos Ae. aegypti tienen igual probabilidad de picar a cualquier integrante de la familia (Newton y Reiter, 1992).

3. Nivel de inmunidad constante. Los elementos de la población tienen el mismo nivel de inmunidad a la enfermedad infecciosa.

4. Tamaño de familia fijo. No se tienen familias con un tamaño fijo K, pero el interés en este estudio es mostrar cómo el tamaño promedio de las familias influye en el tamaño de la epidemia (Becker, 1979).

2.2.2. Modelo estocástico S-I-R

En el modelo estocástico S-I-R, cada individuo infeccioso tiene contactos con otros seleccionados aleatoriamente, con una tasa λ. El objetivo de un contacto es cualquier actividad que resulta en la infección de un susceptible a través de un individuo infeccioso (Hernández-Suárez y Castillo-Chávez, 1999).

49

Una vez que un individuo permanece infectado, se recupera con una tasa µ. Ambos parámetros λ y µ, se asumen como parámetros de distribuciones exponenciales, lo cual puede representarse por medio de un proceso de Poisson para ambos eventos: Infeccioso y Recuperado.

En este trabajo se asume una población de tamaño constante N, entonces N=I+S+R. Los estados de un proceso en el tiempo t pueden identificarse por X(t)={I, R}; esto es, el número de individuos infectados y recuperados en el tiempo t. Cuando hay I infectados y S susceptibles, la tasa de infección es λIS/N y la de recuperación es µI. Definimos:

Pi,j;k,m(s,t)=P(I(t)=k, R(t)=m / I(s)=i, R(s)=j) Donde: I(t) y R(t) son variables aleatorias que denotan el número de individuos infectados y recuperados en el tiempo t, respectivamente. Sea {k,m}, {i,,j}ЄΩ; 0≤s≤t.

Las tasas de transición son dadas por:

Pk,m;k+1,m(t,t+δ)= λ δk(N-k-m)/N+oδ, Pk,m;k-1,m+1(t,t+δ)= µδk+ oδ El principal parámetro epidémico es el número reproductivo básico, R0. La definición que utilizamos fue propuesta por Hernández–Suárez y Castillo-Chávez (1999), y se presenta enseguida en términos de contactos en lugar de infecciones.

Definición: R0 es el número esperado de contactos que un individuo infeccioso tiene durante su completo período infeccioso; un contacto es cualquier acto que cause la infección de un susceptible.

50

Una revisión sobre R0, sus propiedades y reglas generales para su cálculo las presenta Hernández-Suárez (2002). El cálculo de R0 es más complicado para modelos estocásticos. Entre algunas propiedades importantes, se puede mostrar que la variable aleatoria X, se define como “El número de contactos que realiza un individuo infectivo durante su completa vida infecciosa”. X es una variable aleatoria con parámetros µ /λ+µ, esto es: P(X=k)= (λ/λ+ µ)k (µ/λ +µ), k=0,1,2, …

(1)

con valor esperado λ/µ. En términos de R0, la función de masa de probabilidad del número de infectados puede ser escrito como: P(X=k)= (R0/ 1+ R0)k (1+ R0)-1, k=0,1,2,… En un modelo S-I-R, la epidemia se detiene cuando hay dos clases de individuos en la población: los recuperados o inmunes y los susceptibles. El número de individuos infectados se denomina el tamaño final de la epidemia o simplemente, el tamaño de la epidemia. Este puede ser aproximado (Hernández-Suárez, 2002, Ball, 2003) con la solución de: x= N(1-e-x R0/N)

(2)

Al sustituir en la expresión anterior, los valores de R0 y el tamaño de la población N, se estimó a través del programa Mathematica, el tamaño final de la población bajo el supuesto de mezclas homogéneas y contactos efectivos. 2.2.3. Simulaciones La simulación se aplica en estudios para representar el comportamiento de una enfermedad infecciosa, utilizando el mínimo número de factores o variables que participan en la dinámica de la enfermedad. La finalidad es elaborar programas sencillos y estimar el tamaño de la epidemia, al modificar algún parámetro , lo cual comúnmente no se puede observar en la realidad.

51

Los resultados obtenidos por simulación son diferentes a los experimentales. En una población de elementos susceptibles a una enfermedad infecciosa, se introduce una persona infectiva, el resultado es diferente si la primera persona contactada es infectada, ya que puede influir en el curso de la transmisión de la enfermedad; en cambio, en los diseños experimentales, al repetirse el experimento bajo las mismas condiciones, el resultado obtenido es el mismo con un margen de error α. Para estimar el tamaño de la epidemia, se elaboró el programa SIMULAMPG en el lenguaje de programación C, el cual utilizó el modelo estocástico que consideró la topología de red del Mundo pequeño generalizada y el modelo SIR. En la simulación o representación de una epidemia se procesa o “corre” el programa SIMULAMPG, para conocer el número promedio de infectados una vez que la epidemia concluyó. La mayoría de las corridas fluctúan entre 30 y 5,000 (Jasch y Blumen, 2001; Mathias y Gopal, 2001). En este trabajo se realizaron 1000 simulaciones, equivalentes a 1000 epidemias (Shonkwiller y Thompson, 1986; Watve y Jog, 1997). En la ejecución del programa de simulación, se da un click en el ícono SIMULAMPG y éste requiere la siguiente información: •

número de familias

•

número de integrantes

•

valor del parámetro µ

•

valor del parámetro λ

•

número de simulaciones

•

nombre del archivo para almacenar en él los resultados.

Al multiplicar nf familias y f número de integrantes, se obtuvo el tamaño de la población N. Al proponer diferentes valores de f, se estudió el efecto del tamaño de la familia en la diseminación de la enfermedad infecciosa. En este trabajo se estimó R0

52

mediante el cociente λ/µ = tasa de recuperación / tasa de infección (Boots y Sasaki, 1999). El cálculo de R0 se facilitó con los valores de λ y µ, descritos en el Cuadro 1. Se incluyeron los valores de R0 menores de uno, para representar una baja de densidad de mosquitos Ae. aegypti y una tasa baja de transmisión de la enfermedad. Cuando se tiene alta densidad de mosquitos, se obtiene mayor tasa de picadura y los valores de R0 son mayores de tres (Koopman y Longini, 1994). Cuadro 1. Parámetros utilizados para generar resultados de 1000 simulaciones de una población formada con 40 familias con cinco integrantes

µ

λ

R0

1 1 1 1 1 1 1 1 1

0.80 1.00 1.25 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

0.80 1.00 1.25 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

El último dato requerido por el programa es el nombre del archivo, precedido por la unidad en la que se almacenarán los datos de las 1000 simulaciones. El archivo utiliza el formato ASCII, el cual puede leerse por la mayoría de los editores de textos.

En la ejecución del programa, aparecen los siguientes mensajes en la pantalla: Familias conectadas 0 Familias conectadas 2 y así sucesivamente, hasta Familias conectadas nf Esto indicó la interacción de cero familias (no se contactó ninguna familia en un sitio de reunión), 2 familias, y así sucesivamente hasta que todas las familias se contactaron de manera aleatoria y los tamaños de la epidemia se almacenaron en el

53

archivo correspondiente.

Debido a la gran cantidad de información generada (número de familias por número de simulaciones realizadas), se obtuvo una matriz de datos de orden nf por mil. Cada dato correspondió al tamaño de la epidemia, asociado al número de familias conectadas y su correspondiente número de simulación. Esa gran información, dificultó conocer el comportamiento o tendencia del tamaño de la epidemia, por ello se realizó lo siguiente: •

El archivo de los resultados del modelo de simulación produjo una matriz de datos, que se leyó en el programa MATLAB y generó la matriz transpuesta, creando un nuevo archivo en formato ASCII, con la finalidad de tener una matriz con 1000 renglones y nf columnas. Esto facilitó su análisis.

•

En el programa computacional Statistica para Windows, versión 6.0 (McCallum, 1999) se importó el archivo en formato ASCII y se generó uno nuevo. Se utilizó el módulo de Estadística Descriptiva para calcular el tamaño promedio de la epidemia, a través de la media aritmética y mediante gráficos se describió la tendencia de las epidemias que permitieron compararla a través de diferentes valores de R0, del número de familias conectadas y con diferentes tamaños de familias (Shonkwiler y Thompson, 1986). En el programa SIMULAMPG se obtuvo el tamaño de la epidemia esperado

cuando r familias fueron conectadas, mediante el promedio de 1000 simulaciones; en cada simulación se conectaron aleatoriamente a r familias, para evitar el efecto de una topología fija, como es el caso de una red regular. Para comparar el tamaño de la epidemia esperado, cuando r familias son conectadas, en relación a mezclas aleatorias, obtenidas por la ecuación (2), se obtuvo el índice Vr, donde:

Vr =

Tamaño de la epidemia esperado cuando r familias son conectadas Tamaño de la epidemia esperado bajo mezclas homogéneas

54

3. RESULTADOS

Los cuadros y figuras que se presentan a continuación, fueron obtenidos a través de los programas Pasos.m y Red.m. En la red Generalizada del mundo pequeño, se determinó el tamaño de la red y el coeficiente de agrupación. Asimismo se calculó el tamaño final de la epidemia al realizar 1000 simulaciones con el programa SIMULAMPG. Estos resultados correspondieron a diferentes valores de R0 y número de familias conectadas por el efecto de los sitios de reunión.

Los resultados más relevantes que se obtuvieron, corresponden a la topología de red y del tamaño final de la epidemia, con el fin de mostrar cómo los sitios de reunión influyen en la eficiencia de la red (Latora y Marchiori, 2001) y en la diseminación de una enfermedad infecciosa (Wallinga et al., 1999). A continuación se presentan los resultados más relevantes de la topología de red y del tamaño final de la epidemia obtenidos en este estudio. 3.1. Parámetros de la red Para ejemplificar el cálculo del tamaño de la red regular, se consideró una población (n) de 300 vértices, cada uno se conectó con sus k vecinos más cercanos. Al utilizar cuatro ligas (k=4), se formaron en total nk/2 = 300x4/2 = 600 ligas. La distancia máxima entre dos vértices utiliza a lo más n/k = 300/4 = 75 ligas. Esto muestra que la distancia mínima promedio está dada por:

L=(75+74+…+1)/75= 38,

lo cual indica que los valores obtenidos a través de un programa computacional en MATLAB, L= 37.9 y el de L ≈ 37.5 (L ≈ n/2k), son buenas estimaciones del valor real, L=38.0. En una red aleatoria, L ≈ ln(n)/ln(k) = ln(300)/ln(4) = 4.1144, expresa que se necesitan cuatro ligas en promedio para conectar cualquier par de vértices 55

seleccionados aleatoriamente; aunque se esperaría que si la red es aleatoria, se presentaran mezclas homogéneas, entonces el tamaño de L fuera igual a 1. En el cálculo del coeficiente de agrupación, se consideró el número total de ligas de un vértice y de las ligas de los k vértices vecinos que se conectan con él y entre ellos. En el ejemplo de K = 4, en total se tienen las combinaciones de k en 2, su notación es: (k,2) = k!/(k-2)!2!= 6 ligas. El mínimo número total de ligas entre los vértices que son vecinos de uno de ellos son (k,2)/2= 3, ligas cuando no se tienen ligas adicionales.

Al definir, C = número de ligas entre los vértices vecinos/ el número total de ligas entre el vértice y sus amistades, se obtuvo C = 3/6 = 0.50, si no existen ligas adicionales entre ellos. Si al agregar dos ligas, se obtiene el valor de C = 5/6= 0.83, o si se agrega una liga, entonces C = 4/6= 0.66.

Al analizar los resultados de L y C, se encontró a través de la prueba de Kurtosis, que el comportamiento de los datos es asimétrico y es por ello que se utilizó la mediana. Esta fue igual a 0.54, para C en una red con k = 4 vértices (Cuadro 2). Una analogía de las ligas que tienen un vértice para conectarse con sus vecinos cercanos, k = 2, 4, equivale a tener familias de tamaño f = 3 y 5 (f = k+1). Los resultados correspondientes de L y C se resumen en el Cuadro 2. Cuadro 2. Estadísticas descriptivas del tamaño de la red y el coeficiente de agrupación con 2 y 4 ligas por vértice Parámetros de la red L_K2N100 L_K4N60 C_K2N100 C_K4N60

N

Mediana

Valor Mínimo

Valor Máximo

100 60 100 60

6.030946 5.765085 0.181121 0.535278

3.358676 3.567516 0.000000 .497252

75.25084 37.87625 0.39773 .59665

56

En el Cuadro 2 se muestran los valores de la mediana de L y C. Se obtuvieron valores menores de L y mayores de C, cuando k = 4, por lo cual la red está mejor conectada en contraste cuando k = 2. En la Figura 12 se observa un comportamiento similar cuando k es igual a 2 ó 4 ligas por vértice.

Figura 12. Comportamiento del tamaño de la red con 2 y 4 ligas por vértice, con diferente número de familias conectadas Los valores del tamaño de la red fueron menores cuando se tuvieron cuatro ligas por vértice. A medida que se conectan de manera aleatoria más familias por efecto de los sitios de reunión, el tamaño de la red decrece. Estos resultados son similares a los presentados en el Cuadro 2, en él se mostró que la mediana de L es más pequeña cuando k = 4. En la Figura 13 se observa que el coeficiente de agrupación es mayor cuando el número de ligas es igual a cuatro en relación a cuando se tienen dos ligas.

57

Figura 13. Comportamiento del coeficiente de agrupación con 2 y 4 ligas por vértice con diferente número de familias conectadas

Otro factor importante que incrementó C, fue la adición de ligas, lo que representó el número de familias conectadas.

En resumen, el incremento del tamaño de la familia y el número de familias conectadas por los sitios de reunión, hicieron mas eficiente la red, al obtenerse valores mas pequeños de L y valores más grandes de C, propiedades importantes de las redes del Mundo pequeño.

4.2. Tamaño de la epidemia

El tamaño final de la epidemia se obtuvo de una población de 200 personas con 40 familias de tamaño 5. Se realizaron 1000 simulaciones con familias sin conexiones entre ellas porque no asistieron a un sitio de reunión; también se conectaron 2, 3, …, 40 familias de manera aleatoria. En el Cuadro 3 se presentan los resultados cuando R0 fue igual a siete.

58

Cuadro 3. Tamaño de la epidemia de las familias conectadas a un sitio de reunión con R0 igual a siete, con 40 familias de tamaño cinco

Simulaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . . 996 997 998 999 1000

0 184 117 100 24 45 188 6 7 64 12 1 . . . 47 23 9 16 151

Número de familias conectadas 2 3 ... 20 21 22 94 138 . . . 163 130 135 122 184 . . . 81 1 90 55 74 . . . 3 2 107 1 20 . . . 2 128 159 33 130 . . . 123 175 145 10 46 . . . 1 146 118 54 119 . . . 125 76 87 6 1 ... 148 1 146 24 41 . . . 102 92 1 8 188 . . . 71 94 138 56 139 . . . 115 129 148 . . . . . . . . . . . . . . . 78 8 ... 128 134 141 140 164 . . . 98 140 72 186 15 . . . 9 12 96 5 65 . . . 120 1 132 12 151 . . . 8 78 121

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

38 148 1 137 1 119 159 1 150 96 88 146 . . . 140 4 104 110 127

39 2 108 1 1 138 87 131 2 123 121 147 . . . 133 133 121 123 127

40 133 2 140 2 126 105 95 117 108 112 1 . . . 122 126 117 108 126

El número de infectados fluctuó entre cero y 200, es decir, cuando el tamaño de la epidemia es cero, ninguna persona se infectó, y cuando se infectan las 200 personas, equivale al total de la población. Esto último ocurre cuando se tienen mezclas homogéneas.

En el Cuadro 3, se muestra el tamaño de la epidemia cuando ninguna familia se encontró en un sitio de reunión (segunda columna). En la primera simulación se observan 184 personas infectadas; en la segunda y onceava 117 y 1 personas, respectivamente. También se mostraron los tamaños de la epidemia asociados con el número de familias conectadas a un sitio de reunión.

Cuando el número de familias conectadas fue igual a dos, se seleccionó aleatoriamente un elemento de cada una de ellas, de las 40 estudiadas. De manera 59

similar ocurrió con tres, cuatro, etc. familias conectadas.

El tener toda la información similar a la del Cuadro 3, dificulta contrastar la tendencia del tamaño de la epidemia entre las familias conectadas a un sitio de reunión. Una opción fue presentarla a nivel promedio como se muestra en el Cuadro 4, donde se observa que el aumento del valor de R0, incrementó el tamaño de la epidemia. Otro factor que influyó en este resultado fue la interacción entre más familias, al contactarse en los sitios de reunión.

Al comparar los resultados de R0=1.0 con los de R0=2.0, en promedio se duplica el tamaño de la epidemia. Conforme aumenta R0, la epidemia crece rápidamente, ver Cuadro 4.

60

Cuadro 4. Tamaño de la epidemia promedio como resultado de 1000 simulaciones en una población con 40 familias con cinco integrantes R0

FAMILIAS 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

61

2.069 2.174 2.086 2.046 2.164 2.138 2.083 2.185 2.169 2.175 2.108 2.130 2.162 2.234 2.287 2.281 2.160 2.260 2.103 2.303 2.253 2.223 2.377 2.418 2.317 2.345 2.261 2.335 2.408 2.381 2.461 2.413 2.495 2.439 2.493 2.472 2.454 2.328 2.476 2.709

1.0

1.25

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

Conectadas 0.80

7.0

2.391 2.409 2.429 2.566 2.449 2.593 2.378 2.487 2.533 2.570 2.412 2.627 2.721 2.604 2.715 2.619 2.747 2.913 2.723 2.825 2.971 2.929 3.065 3.117 2.908 3.113 3.205 3.170 3.104 3.174 3.269 3.493 3.354 3.357 3.551 3.309 3.171 3.327 3.547 3.351

2.804 2.942 2.867 2.918 2.903 2.967 3.232 3.019 3.129 3.221 3.135 3.453 3.357 3.262 3.380 3.356 3.589 3.608 3.613 3.661 4.010 3.811 4.041 4.144 3.803 3.947 4.167 4.518 4.201 4.441 4.681 4.991 4.846 5.010 4.958 4.957 4.815 5.630 4.987 5.629

4.713 4.975 4.843 4.979 4.892 5.018 5.587 5.508 5.705 6.175 5.880 6.546 6.922 6.875 7.436 7.264 8.089 7.726 8.078 9.327 9.562 9.167 9.319 10.206 9.647 10.992 11.365 12.249 12.623 12.987 13.790 13.539 14.381 14.294 15.169 15.659 14.700 15.343 16.695 15.568

7.434 7.681 8.341 8.952 8.919 10.166 10.030 10.138 10.645 12.306 13.913 13.513 14.584 14.658 17.111 18.119 19.555 20.406 19.333 19.715 22.782 20.877 21.373 25.833 26.167 25.688 26.580 27.400 28.874 28.913 30.728 32.281 33.088 33.179 32.294 34.854 34.827 35.372 37.941 37.175

13.366 12.837 14.670 16.044 16.541 17.970 18.327 19.613 22.168 22.702 25.520 27.907 28.870 29.596 31.046 33.524 36.914 36.089 38.872 38.374 39.314 39.274 42.124 43.995 44.484 45.516 45.754 46.666 47.158 49.836 50.446 49.456 49.492 51.473 52.846 54.400 56.057 54.139 53.248 55.385

21.234 20.108 22.980 21.878 26.474 27.983 28.193 33.398 36.811 35.960 39.146 42.928 41.217 42.088 46.704 49.241 51.775 50.666 51.650 55.487 56.674 55.405 63.356 58.690 61.504 60.349 62.581 63.168 63.254 65.236 64.008 64.144 67.147 66.364 68.905 70.875 69.591 70.648 68.968 72.307

31.734 31.261 35.282 40.344 42.405 45.622 48.647 52.942 54.111 59.050 61.243 64.659 61.389 65.180 64.337 67.706 72.659 71.648 74.347 73.341 76.664 77.616 75.498 78.721 81.223 79.739 82.057 81.588 82.102 84.893 82.927 83.444 83.906 82.998 85.481 87.544 85.473 82.726 86.011 85.819

47.666 50.293 53.104 53.294 58.532 61.851 65.826 64.315 72.866 69.332 76.606 82.463 80.438 84.160 86.536 84.430 84.948 90.135 89.385 91.591 91.126 93.619 96.755 92.897 95.033 91.619 92.868 95.979 97.789 97.736 95.119 100.49 98.884 96.782 94.720 97.961 97.867 97.551 97.429 98.236

4.2.1. Distribución del tamaño de la epidemia

El comportamiento del tamaño de la epidemia, se representa con las figuras siguientes para diferente número de familias conectadas y diferentes valores de R0 asociados con densidades bajas y altas del Ae. aegypti.

La Figura 14 muestra el comportamiento del tamaño de la epidemia de una población de 40 familias de tamaño 5 para diferentes valores de R0, contrastando con el número de familias conectadas a través de un sitio de reunión. 110

RO=7.0 RO=6.0

TAMAÑO DE LA EPIDEMIA

90

RO=5.0 70

R0=4.0 50

R0=3.0 30

R0=2.0 10

RO=1.25 RO=0.8

RO=1.0

-10 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940

NÚMERO DE FAMILIAS

Figura 14. Comportamiento del Tamaño de la epidemia y el número de familias conectadas en una red del Mundo pequeño generalizado En la figura anterior se observa que cuando R0 tiene valores menores de dos, el número de contagios efectivos permanece casi constante, sin que influyan de manera importante los contactos realizados en un sitio de reunión, situación que ocurre cuando se tiene baja densidad de mosquitos Ae. aegypti, no sucediendo cuando R0 es mayor que tres; por ello, el tamaño de la epidemia aumenta rápidamente, al interaccionar familias en un sitio de reunión. 62

4.2.2. Tamaño de la familia

En la red del Mundo pequeño generalizada se observó que al aumentar el número de ligas por vértice y el tamaño de la familia, la red se hizo más eficiente al obtenerse valores más pequeños del tamaño de la red y más altos del coeficiente de agrupación, por ello, en los resultados de simulación se utilizaron 50 familias con tres, cinco y siete y nueve integrantes, para evaluar el tamaño de la epidemia. Estos resultados se muestran en las Figuras 15, 16, 17 y 18.

60 Ro=7

50

Ro=6

Tamaño de la epidemia

Ro=5

40

Ro=4

30

Ro=3

20 Ro=2

10 Ro=1.25

0

Ro=0.8

0

3 2

5 4

7 6

9 8

Ro=1

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Familias conectadas

Figura 15. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y tres integrantes En la Figura 15 se observó una tendencia ascendente y casi lineal del tamaño de la epidemia con respecto a las familias conectadas y el valor de R0. La población estuvo formada por 150 personas, de las cuales se infectaron entre 1 (0.66%) y 53 (35.33%).

63

140

120 Ro=7

Tamaño de la epidemia

100

Ro=6

Ro=5

80

Ro=4

60

Ro=3

40

20

Ro=2

Ro=0.8

Ro=1

Ro=1.25

0 0

3 2

5 4

7 6

9 8

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Familias Conectadas

Figura 16. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y cinco integrantes En la Figura 16, se mostró el comportamiento de una epidemia de una población de 250 personas, cuyo tamaño fluctuó entre 0 (0%) y 115 (46%) personas. Se aprecia que al aumentar R0 y el número de familias conectadas, se incrementa el tamaño de la epidemia. 240

Tamaño de la epidemia

Ro=7

200

Ro=6

160

Ro=5

120

Ro=4

80

Ro=3

40

Ro=2

Ro=0.8

0 0

3 2

5 4

7 6

9 8

Ro=1

Ro=1.25

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Familias Conectadas

Figura 17. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y siete integrantes

64

En la Figura 17 se observa un tamaño de la epidemia de 0 hasta 230 personas infectadas, lo que equivale al 0% y 65.71%, respectivamente, de una población de 350 personas, inicialmente susceptibles a la enfermedad del dengue. En la Figura 18 se muestra el comportamiento del tamaño de la epidemia cuando la población estuvo formada por 450 personas, representadas a través de 50 familias con nueve integrantes cada una.

Tamaño de la epidemia

400 350

Ro=7

300

Ro=6

Ro=5

250 200

Ro=4

150 Ro=3

100 50

Ro=2

Ro=0.8

0 0

3 2

5 4

7 6

9 8

Ro=1

Ro=1.25

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Familias conectadas

Figura 18. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y nueve integrantes Al estudiar la diseminación de la enfermedad, ilustrada en la Figura 18, se observó que se incrementa el tamaño de la epidemia conforme aumenta el valor de R0 e interaccionan más familias.. Aunque este comportamiento fue similar al mostrado en las Figuras 15, 16 y 17, se observó que un tamaño mayor de la población, formada con 50 familias y diferente número de integrantes, incrementó rápidamente la proporción de infectados.

65

4.2.3. Relación de las redes del Mundo pequeño generalizada y aleatoria

La Figura 19 muestra los resultados de simulaciones para una población de 300 personas que estuvo formada con 100 familias de tamaño tres. La línea que representa a la variable L, corresponde al eje Y, su escala se localiza a la izquierda; mientras que para las demás variables corresponde a la derecha de este eje. Estas variables se muestran como una función del número de familias conectadas.

Se asume que una red es eficiente cuando r familias son conectadas, por lo que se espera que el tamaño final de la epidemia bajo esta topología sea similar al tamaño final de la epidemia cuando se tienen mezclas homogéneas. Por lo anterior, el índice Vr definido en la Metodología, se presenta en la Figura 19, para diferentes

100

0.40

90

0.35

VALORES DE L

80

0.30

70 60

0.25

50

0.20

40

0.15

30

0.10

20

L C VrR01p2_3 VrR01p5_3 VrR02_3 VrR05_3

97

89

81

73

65

57

49

41

33

25

0.00 17

0 9

0.05 1

10

PROPORCIONES

valores de R0.

NÚMERO DE FAMILIAS CONECTADAS

Figura 19. Comportamiento del tamaño de la red (L), coeficiente de agrupación (C) y proporción de epidemias (Vr) con respecto al número de familias conectadas, para una población de 300 personas con 100 familias de tamaño tres

66

Se observó en la figura anterior que la variable L muestra un decaimiento exponencial, mientras que C crece linealmente. Para un número de familias mayor que 20, Vr crece casi siempre linealmente. En esta topología, L es igual a 3.3587 cuando se tienen 100 ligas adicionales. Esto ocurre cuando 100 familias se conectaron a través de la asistencia a un sitio de reunión; esto indica que se agregó un 30% de ligas y el valor aproximado de L para redes aleatorias fue igual a L≅4.1144. Un valor idéntico a éste último se obtuvo al agregar 79 ligas, que es equivalente al 26% de ligas adicionales.

Cuando se tiene una población de 300 elementos con 60 familias de tamaño cinco, el valor de L empieza al 50% que cuando se tienen 100 familias con tres integrantes, y alcanzó el valor de 4.05 cuando se agregaron 49 ligas, que es equivalente al 16% de vértices unidos adicionalmente. Esto indica que cuando se

40

0.70

35

0.60

VALORES DE L

30

0.50

25 0.40 20 0.30 15 0.20

10

L C VrR01p2_5 VrR01p5_5 VrR02_5 VrR05_5

55

49

43

37

31

25

19

0.00 13

0 7

0.10

1

5

PROPORCIONES

tienen mas integrantes por familia, la red se hace mas eficiente (Figura 20).

NÚMERO DE FAMILIAS CONECTADAS

Figura 20. Comportamiento del tamaño de la red (L), coeficiente de agrupación (C) y proporción de epidemias (Vr) con respecto al número de familias conectadas, para una población de 300 personas con 60 familias de tamaño cinco 67

La relación de C con respecto al número de familias conectadas es lineal y positiva y la proporción de infectados fluctuó desde cero hasta 0.40, como se observó en la Figura 19, situación contraria a la de la Figura 20 en que el comportamiento es casi independiente del número de familias conectadas, y C≅0.5. Para el caso en que la red aleatoria tiene 300 vértices con k=4 ligas, C≅0.013. El coeficiente de agrupación es muy bajo y se pensaría que esta red no es eficiente, aunque el valor de L indica lo contrario a medida que se incluyen mas ligas (Mathias y Gopal, 2001).

El coeficiente Vr representa la proporción del tamaño final de la epidemia de la red del Mundo pequeño generalizada con respecto a la de mezclas homogéneas, éste es cercano al 30%. El valor máximo se alcanzó cuando se conectaron todas las familias con una R0 de cinco, indistintamente si las familias estuvieran formadas por tres o cinco personas, como se mostró en las Figuras 19 y 20. Se observó que no se tiene un comportamiento similar de la red del Mundo pequeño generalizada que cuando se tienen mezclas homogéneas.

68

4. DISCUSIÓN En la mayoría de los modelos matemáticos que representan la transmisión del dengue, comúnmente estudian la dinámica de la población del Ae. aegypti (Focks et al., 1995) y utilizan modelos determinísticos (Esteva y Vargas, 1998) o estocásticos, ignorando la estructura de la población (Boots y Sasaki, 1999), factor importante en la diseminación de esta enfermedad.

Al considerar que se realizan los contactos de manera local y a distancia dentro y entre familias, el tamaño de la epidemia del dengue calculado a través de la topología de red del mundo pequeño generalizada se aproxima a la de mezclas homogéneas (Vr), desde un dos hasta un 30%. Este resultado indica que la suposición de mezclas homogéneas no es correcta, y coincide con las enfermedades de transmisión sexual, en las que no se realizan mezclas homogéneas (Müller et al., 2000).

Los valores pequeños de Vr, posiblemente se debieron a la utilización de una red con mezclas homogéneas, además de considerar una enfermedad altamente infecciosa, por lo que cada contacto fue efectivo, en contraste a la red MPG aplicada al dengue en la que se tienen tasas de infección y de recuperación (Becker y Dietz, 1995). Con lo anterior se muestra que es un error considerar que la interacción de las personas es similar a las mezclas completamente homogéneas (Wallinga et al., 1999), y esto sólo ocurre si no existe relación entre la tasa de infección y virulencia (Boots y Sasaki, 1999).

Se utilizó el modelo epidemiológico S-I-R. Este modelo es válido cuando se aplica a enfermedades infecciosas de corto tiempo de infectividad y además se adquiere inmunidad permanente contra ese serotipo, después de padecer la infección (Lefèbre y Picard, 1996). Este modelo es diferente al aplicado por Newton y Reiter (1992), debido a que ellos utilizaron el modelo Susceptible-Expuesto-Infectado-Removido

69

(S-E-I-R) para el hospedero y el modelo S-I-R, para representar el proceso infeccioso del mosquito.

El modelo empleado en el programa SIMULAMPG no se consideraron los aspectos vector-insecto (Koopman y Longini, 1994) y se utilizó como parámetro el número reproductivo básico (R0). Este se relacionó con la densidad poblacional del Ae. aegypti (Koopman et al., 1991). Sin embargo, al aplicar el índice de Bretau para conocer si existe una alta densidad de mosquitos, si esto ocurre, entonces R0 será mayor de tres, pero éste índice no es un estimador confiable (Espinoza, 2002). Otras maneras de estimar R0 son a través las tasas de mortalidad del vector (Esteva y Vargas, 2000) y al utilizar una expresión matemática que incluya los aspectos del proceso de infección del virus del dengue, en los mosquitos y en humanos. También se puede emplear una ecuación que sólo utiliza la proporción de susceptibles al terminar la epidemia (Newton y Reiter, 1992).

Se utilizó la red del Mundo pequeño generalizada para representar la estructura de la población. Esta red tiene cierta similitud con la red del Mundo pequeño, en la que inicialmente se propagaba más rápido la información y se obtenía mayor potencia computacional (Hong et al., 2002). Las variantes fueron: a) no se desconectaron a los vértices para evitar las mezclas homogéneas dentro de las familias (Jasch y Blumen, 2001); b) se unieron aleatoriamente los vértices, de manera que algunos se encontraban cerca o distantes de ellos, lo que comúnmente ocurre en los sitios de reunión, y c) el modelo empleado fue estocástico en lugar del determinístico.

En la estimación del tamaño de la red, se obtuvieron resultados similares de los calculados a través de los programas “Pasos” y “Red”, en relación a los de la fórmula L ≈ n/2k (Watts y Strogatz, 1998). La red MPG obtuvo diversos valores, debido a que al incluir más ligas, el tamaño de la red disminuyó rápidamente y el coeficiente de agrupación se incrementó. Esto

70

ocurre en las redes del Mundo pequeño (Xin-She, 2001; Davidsen et al., 2002), mas no para las redes aleatorias donde C decrece.

En una población de 100 familias con 2 ligas por vértice, los valores del tamaño de la red fluctuaron entre 3.36 y 75.25 al incluir 100 ó 0 ligas, respectivamente. El valor de la mediana, fue de 6.03 (Cuadro 2) lo cual indica que se requieren 6 ligas para conectar aleatoriamente cualquier pareja de vértices.

La red MPG es mas eficiente cuando el número de ligas por vértice es mayor, por ejemplo cuatro. Estos resultados se pueden comparar analíticamente con el tamaño del Internet (W W W), L es igual a 19 ligas, y al incrementarse en un 1000% el número de sitios en la red en pocos años, el tamaño de la red será igual a 21 (Albert et al., 1999). En el estudio de redes científicas, se encontró que en la comunidad de físicos, el tamaño de la red es de 4 (Newman, 2001; Davidsen et al., 2002). En las redes de científicos computacionales, L=9 (Newman, 2001). En general, el tamaño de las redes fluctúa entre 4 y 9 (Ball, 2001 a; Bilke y Peterson, 2001; Newman, 2001).

Los resultados del tamaño de la red obtenidos en una red con 60 vértices y cuatro ligas en promedio, oscilaron entre 3.57 y 37.88. Estos valores correspondieron a las redes en las que se adicionaron entre 60 y 0 ligas, respectivamente. Entonces, el valor de la mediana indica que se requieren 5.76 ligas en promedio, para unir cualquier par de vértices (Cuadro 2). Cuando el número de ligas por vértice se incrementa, entonces el tamaño de la red decrece (Kirillova, 2001). Esto indica que a medida que se incrementa el tamaño de la familia (k+1), entonces la red se hace más eficiente.

Al realizarse modificaciones al mundo pequeño, se puede hacer la red mas eficiente, lográndose reducir el tiempo de envío de mensajes por correo electrónico, por teléfonos celulares, localizar mas rápidamente una página electrónica en el

71

Internet, o diseminar un rumor, moda o una enfermedad infecciosa (Collins y Chow, 1998).

El tamaño de la red decreció rápidamente a medida que se conectaron mas familias y la interacción entre las personas es mas eficiente, por efecto de los sitios de reunión, como se observó en las Figuras 14, 15, 16, 17 y 18 (Sun y Ouyang, 2001).

El coeficiente de agrupación fue afectado por el número de ligas promedio por vértices. Al considerar una red con 100 vértices y el número de ligas por vértice fue de 2, y el valor de la mediana para C fue igual a 0.18. En cambio, cuando se tuvieron 60 vértices con 4 ligas cada uno, la mediana de C fue igual a 0.54. Esto indica que existe poca interacción entre los vértices que son comunes a uno en particular (Cuadro 2 y Figura 10).

En términos generales, el tamaño de la familia y de la población (Dietz, 1988) son factores importantes que influyen en la eficiencia de la red (Kirillova, 2001). Esto se observó en el Cuadro 2 y en la Figura 12. En programas de vacunación, se encontró que el tamaño de la familia es un factor importante, debido a que se requería vacunar a todos los integrantes de familias numerosas en lugar de vacunar a algunos elementos (Becker y Dietz, 1995).

La red del Mundo pequeño generalizada es igual o mas eficiente a la red completamente aleatoria (Mathias y Gopal, 2001; Sun y Ouyang, 2001), al haberse obtenido valores de L cercanos a 3.5 y de L ≈ ln(n)/ln(k) = ln(300)/ln(4) = 4.1144, respectivamente. Aunque era de esperarse que el valor de este último fuera igual a uno, debido a que se asume que en la red aleatoria se tienen mezclas homogéneas.

Los factores que influyeron en el incremento del tamaño de la epidemia fueron: la estructura de la población, los valores de R0 y el tamaño de la familia. Para mostrar esto, se hizo la conexión de las 50 familias a través de un sitio de reunión. Esto

72

propició la diseminación del dengue de manera eficiente, como se observa en la Figura 21, que muestra el comportamiento de la proporción de riesgo de infección, asociada con los diferentes tamaños de familia (3,5,7 y 9) y valores de R0 que fluctuaron desde 0.80 a 7.0.

0.8

PROPORCIÓN DE INFECTADOS

INTEG=9 INTEG=7 0.6

INTEG=5

0.4

INTEG=3

0.2

0.0 0.80

1.00

1.25

2.00

3.00

4.00

5.00

Ro6

Ro7

Ro

Figura 21. Relación de la proporción de infectados al interaccionar las 50 familias de tamaño tres, cinco, siete y nueve personas con diferentes valores de R0 Se observó que cuando se tienen valores de R0 menores de cuatro, la proporción de infectados es similar, en relación al tamaño de la familia. Sin embargo, al tener valores de R0 iguales o mayores a cuatro, la proporción de infectados aumentó hasta un 40% (Roger y Packer, 1993), principalmente al incrementar los valores de R0 y del número de integrantes por familia. Estas proporciones fluctuaron aproximadamente entre el 37% y el 77%, cuando todas las familias se conectaron a través de un sitio de reunión y al utilizar un valor de R0 de 7. Al conocer que los sitios de reunión son un factor importante en la diseminación del dengue, se considera importante localizar la focalidad del Ae. aegypti y el dengue. Estos se encuentran en todos los centros urbanos en los que se carecen de los servicios básicos, propiciado generalmente por el crecimiento desordenado de la población; entre ellos, la carencia de agua potable entubada, aunado a la alta 73

acumulación de cacharros, esta situación se presenta en la mayoría de las viviendas de la República Mexicana (Fernández-Salas y Flores-Leal, 1995).

Este trabajo es de utilidad a las autoridades del Sector Salud en el planteamiento de estrategias operativas para el control y/o erradicación del Ae. aegypti y por consecuencia la enfermedad del dengue. Si las acciones se realizan sólo en las casas de los hospederos, entonces se tendrá poco impacto en el control del mosquito-vector, ya que al representar esta situación en la red regular, ésta no es eficiente y lo mismo ocurre con el tamaño de la epidemia cuando las familias no interaccionan a través de un sitio de reunión. Otro aspecto importante es el tamaño de la familia, debido a que al comparar con tres y nueve integrantes por familia, se incrementa la proporción de infectados hasta en un 40%. Se debe recordar que el concepto familia se refiere a un pequeño grupo de personas que interaccionan todos con todos de manera homogénea. Las estrategias operativas deben realizarse principalmente en las épocas de lluvias y sequías, en los horarios en los que las personas se encuentran de las 6:00 a 8:00 hrs. y de las 17:00 a 19:00 hrs. que son los principales picos en los que el mosquito realiza su alimentación. Es por ello que se propone la eliminación de los criaderos de los mosquitos, y se les combata a través de productos biológicos o químicos, realizándolos en los sitios de reunión (Longini y Koopman 1982), como son las escuelas (Endy et al., 2002; Gallay et al., 2002), parques, panteones, lugares de trabajo, las vulcanizadoras y lotes baldíos, por citar algunos ejemplos, en los que se puede diseminar la enfermedad hasta llegar a convertirse en epidemias (Gubler, 1989). Lo ideal sería disponer de una vacuna que proporcione inmunidad permanente contra los cuatro serotipos del dengue.

En este trabajo se consideró fijo el tamaño de la familia, constante el tamaño de la población con igual nivel de infectividad en las personas, así como la estimación de R0 a través de la densidad de mosquitos. Todo ello se realizó con el objeto de controlar varios factores para evitar la confusión de sus efectos en el tamaño de la

74

epidemia. Para estudios posteriores, se sugiere modificar uno de ellos para conocer su efecto en la incidencia de la enfermedad.

En conclusión, se mostró que los sitios de reunión son un factor importante en la diseminación de una enfermedad infecciosa y coincide este resultado con las estrategias realizadas en las escuelas en Hong Kong, en la aplicación de vacunas en la inmunización contra la influenza. Mas sin embargo, en México no se tienen reportes sobre ello. Por lo anterior, se recomienda que las estrategias operativas en el control y/o erradicación de las enfermedades infecciosas se realicen en los sitios en los que interaccionen las personas por un cierto periodo de tiempo.

75

5. CONCLUSIONES

Basándose en los resultados obtenidos en el presente estudio se llegaron a las siguientes conclusiones:

1. A través de las propiedades de las redes, se encontró que la topología de red del Mundo pequeño generalizada fue tan eficiente, casi igual a la red aleatoria, en la que se asume se realizan mezclas homogéneas, a medida que interaccionaban más familias a través de los sitios de reunión.

2. El tamaño de la epidemia se incrementó hasta un 400% a medida que interaccionan mas familias a través de la asistencia a los sitios de reunión. Otros factores que influyeron en el tamaño de la epidemia fueron el tamaño de la familia y R0.

76

6. ANEXOS

6.1. ANEXO 1. Programas en MATLAB: Red.m y Pasos.m Programa RED.m. que calcula la matriz p.

function p=red(k) p=zeros(200,200); for i=1:198 %

p(i,i)=1; p(i,i+1)=1; p(i+1,i)=1; p(i,i+2)=1; p(i+2,i)=1;

end;

p(199,200)=1; p(200,199)=1; p(199,1)=1;p(1,199)=1; p(200,1)=1;p(1,200)=1; p(200,2)=1;p(2,200)=1;

r=randperm(200);

if k>0 y=r(1:k); v=combnk(y,2)

for i=1:size(v,1) p(v(i,1),v(i,2))=1; p(v(i,2),v(i,1))=1; end; end; 77

Programa PASOS.m que calcula L y C

function dist=pasos(p) for i=1:200 p(i,i)=1; end; q(:,:,1)=p; for x=2:51 x q(:,:,x)=q(:,:,x-1)*p; end;

for i=1:199 for j=i+1:200 dist(i,j)=min(find(q(i,j,:)>0)); dist(j,i)=dist(i,j); end;

end;

v=sum(dist,2)/199; L=mean(v)

for i=1:200 p(i,i)=0; end;

for i=1:200 cont=0;

78

y=find(p(i,:)==1); kv=length(y); for j=1:kv-1 for k=j+1:kv if p(y(j),y(k))==1 cont=cont+1; end end; end; possibles=kv*(kv-1)/2; c(i)=cont/possibles; end; C=mean(c)

79

6.2. ANEXO 2. Programa computacional que simula una red del mundo pequeño con un sitio de reunión #include #include #include #include #include #include #include #include #include struct BYTEX { unsigned b0:1; unsigned b1:1; unsigned b2:1; unsigned b3:1; unsigned b4:1; unsigned b5:1; unsigned b6:1; unsigned b7:1; };

//estructura de bits

struct infeccion { unsigned int individuo; unsigned int conexiones,libres; float tasainf,tasaacum; infeccion *sig; }sinf; union BYTES { struct BYTEX b; unsigned char B; };

//union con un caracter

char BitsUnos[8]= {0x01,0x02,0x04,0x08, 16,32,64,128}; char BitsCeros[8]= {0x0fe,0x0fd,0x0fb,0x0f7, 0x0ef,0x0df,0x0bf,0x07f}; void Asigna(unsigned long int ,unsigned char ); void Conectar (int *,int,int,int);

80

unsigned char Obtener(long ); unsigned char Obtener(unsigned char far *,long int ); void Asigna(unsigned char far *datos,long ,unsigned char ); void AbrirArch(FILE *, char far *,int); int ObtenerRenglon(int ,int ); void ObtenerUnos(int *,int ,int,int); int ObtenerNoInf(int *, int ,int ,int, int); void CrearDiagonal(int,int,int);

unsigned char far *mat0,*mat1,*mat2,*mat3,*mat4,*mat5,*mat6,*mat7,*mat8,*mat9,*mat10; unsigned char far *matriz[8],*mat; unsigned char *inf; unsigned char *rem; unsigned long int indice,PosicionDelByte; unsigned int PosicionDelBit; void main(void) { unsigned int MiemFam,NumFam,i,j,simulaciones,flg; unsigned long int k; char op[2],op2,archivo[50]; unsigned long int cuantos,cuantos2,limpieza; int sims,totales,infectados,nextinf; float mu,lambda; int columnas,unos; struct infeccion *listainf,*puntero,*auxiliar; double tasainf, tasarem,tasatotal,sumatasa; float *tasas,*tasaacum,rnd; int NoUnos,*temp,*Conectadas,FamCon; // int *libres,*conexiones; int aleat,ident; unsigned long int numbyte; int recorridos;

//

FILE *fp,*ffin; fsal=fopen("Salida.dat","w+"); randomize(); //Captura de datos para la matriz cout