JI~ UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS INSTITUTO DE INVESTIGACION

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UNiVERSlDAD NACIONAL DEL CALLAO ~" ";: '"''"'~~·'""CIÓN 1 Vf"e.~•:.'''""'"'· ..•... ..]v"' ·~.~~'·'''\

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15 ~EP 2014

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O,F!RMA: ___ --- ....................................................... -

CENTRO DE DOCUMEÑrACio~ CIENTIFICA YTRADUCCIONES

INFORME FINAL DEL TEXTO

"TEXTO AUTOINSTRUCTIVO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES"

AUTORES: PROFESOR TITULAR

Dr. Luis Whiston García Ramos PROFESOR COLABORADOR

Mg. Anival Alfredo Torre Camones

(Periodo de ejecución del1 de Agosto del2013 al 31 de Julio del2014 Resolución de aprobación No RR-765-2013

CALLA0-2014

,

~-:

DEDICATORIA:

A nuestras familias, por su paciencia y comprensión que nos brindaron.

ll

IN DICE

ÍNDICE .............................................................................................................1 11 PROLOG0 ..............................................................................................................:............................ 3 IIIINTRODUCCION ..............................................................................................................................4 UNIDAD 1 DEFINICIONES BÁSICAS ................................................................................................ 5

1.1

Definición de la Investigación de operaciones ..............................................................~ .. 7

1.2

Historia de la Investigación de operaciones ..................................................................... 8

1.3

Metodología de la Investigación de operaciones ........................................................... 11

1.4

Usos y aplicaciones de la Investigación de operaciones .............................................. 12

1.5

Autoevaluación de la Unidad 1.......................................................................................... 14

1.6

Lectura: Entrevista al creador de la programación lineal... ........................................... 15

UNIDAD 11 MODELOS MATEMATICOS ......................................................................................... 19

2.1

Definición de modelo matemático .................................................................................... 19

2.2

Clasificación de los modelos matemáticos ..................................................................... 19

2.3

Pasos para la construcción de modelos matemáticos .................................................. 20

2.3

Modelo de mezcla ...........·.................................................................................................... 21

2.5

Autoevaluación de la Unidad 11 ......................................................................................... 74

UNIDAD 111 PROGRAMACIÓN LINEAL .......................................................................................... 81

3.1

Ejercicios de programación lineal ..................................................................................... 83

3.2

Autoevaluación de la Unidad 111 ...................................................................................... 110

UNIDAD IV MÉTODO GRÁFICO ................................................................................................... 113

4. 1

Definición de método gráfico ........................................................................................... 115

4.2

Ejercicios de Método Gráfico ........... :.............................................................................. 120

4. 3

Método dual ....................................................................................................................... 169

4.4

Análisis de sensibilidad .................................................................................................... 170

4.5.

Autoevaluacion cuarta unidad metodo grafico ............................................................. 184

UNIDAD V PROGRAMACION ENTERA ......................................:................................................ 193

5.1

Ejercicios resueltos usando programación entera ......... :............................................. 195

5.2.

Autoevaluacion.quinta unidad programacion entera .......... ~ ........................................ 220

UNIDAD VI PROBLEMAS DE TRANSPORTE ............................................................................ 221

1

6.1

~vlétodo

6.2

·Método de Vog_el ...........................................................-..-..................................-............... 227

6.2

Autoevaluación de la Sexta Unidad ............................................................................... 252

Húngaro ........................................................... o •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 223

V REFERENCIALES ........................................................................................................................ 270 VI APENDICES ................................................................................................................................. 271 Vll ANf.XOS ....................................................................................................................................... 277

~··

2

11 PROLOGO Estimado participante: Reciba

Usted

bienvenida

a

la

más

cordial

nombre

de

la

Universidad. Esperamos que la experiencia de estudio

que

significativa

ahora para

inicia su

sea

ejerc1c1o

profesional y desarrollo personal.

El presente texto de lnvestigacion de Operaciones guía es un instrumento práctico, de uso permanente y clarificador. En ella encontrará información sobre todo aquello que le ayudará en tus estudios; los objetivos generales y específicos, algunos requisitos previos para iniciar nuestro trabajo académico, los medios; es decir aquellos soportes que podrá utilizar a lo largo del curso; el contenido temático de la asignatura, el cual se encuentra dosificado en forma semanal; la orientación bibliográfica necesaria para facilitarle una información precisa y detallada de los temas tratados. Complementamos la guía didáctica con las actividades o ejercicios prácticos de refuerzo, así también planteamos la forma de evaluación y las orientaciones para el estudio de cada unidad o tema tratado ante eventuales dificultades. Los autores

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.

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.

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•

Hl INTRODUCCION

Aquí lo orientamos cómo debe utilizar el Texto autoinstructivo para tener resultados \

favorables. Se ha distribuido en .seis unidades secuenciales:

Definiciones básicas 11

Modelos matemáticos

lil

Programación lineal

IV

Método gráfico

V

Programación entera

VI

Problemas de transporte y asignación

Explicamos los conceptos de la investigación de operaciones y sus diferentes ramas utilizando un lenguaje propio. Resolveremos ejercicios y problemas utilizando el método práctico para que puedas asimilar con facilidad lo que deseamos calcular.

En todas las unidades didácticas buscaremos lograr el objetivo alrededor del cual se cumple

en

todo

el

sistema

del

proceso

de

auto

instrucción.

Encontrará

procedimientos simples para poder desarrollar modelos relacionados con la especialidad. Los ejercicios propuestos, que adjuntamos al final de cada unidad, deben resolverlo para comprender meLar la asignatura. Si esta fase logra pasar, entonces estará capacitado para poder autoevaluase. Si el problema o ejercicio se vuelve dificultoso, posibtemente sea. consecuencia de haber anotado algún dato incorrecto; le recomiendo tener mucho cuidado en tratar a las variables de decisión. Busque las condiciones ambientales más propicias para el estudio, lo que le facilitará su concentración y su aprendizaje. Haga un cronograma de estudio que deberá cumplir sistemáticamente.

Recuerde que debe interpretar con sus propias palabras los conceptos presentados p_or el autor, esto ie permitirá una n:layor comprensión del tema. Recurra a los glosarios que se encuentran al final de cada unidad didáctica; así como al \

diccionario, que posibilitarán que enriquezca su vocabulario y entienda claramente !as ideas expresadas en el texto. Resuelva todas las actividades: auto evaluación, prácticas y ejercicios propuestos.

4

,

UNIDAD 1 DEFINICIONES BASICAS

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1.1

Definición de la investigación de operaciones

Según KambleshMathur, "la Investigación de operaciones es el uso de las

matemáticas y computadoras para ay.udar a tomar decisiones racionales frente a problemas de administración"

Según Jorge Álvarez, "fa Investigación de Operaciones es el procedimiento

para resolver problemas relacionados con la toma de decisiones".

Podemos concluir que: La Investigación de OperacioQes_ es el uso. de la matemática ~ informática para resolver problemas del mundo real, tomando decisiones acertadas que garanticen el éxito.

Ilustración

1:1 Uso de la

matemática y la informáticaen/a toma de decisiones

La Investigación de Operaciones (10) o Ciencia Administrativa (CA) es la ciencia de admini_strar, lo que casi siempre implica toma de decisiones. Administrar significa estar a cargo y ser capaz de predecir lo incontrolable. ·~,...-,~'-··

La ciencia es una búsqueda continua; es una generación continua de teorías, modelos, conceptos y categorías.

La Investigación de Operaciones por lo general visualiza analíticamente una decisión antes de su adopción. Es decir, reflexionar antes de actuar, como dice un proverbio chino, "Para talar rápido un .árbol, dedique et doble de tiempo a afilar el hacha." Los carpinteros dícen, "Mida dos veces, corte una".

7

Ilustración

2.1 Proceso de.. toma de decisiones

1.2

Historia de !a Investigación de operaciones

La Investigación de operaciones se originó en Gran Bretaña durante la Segunda Guerra Mundial cuando se formó el primer grupo de investigación · operacional, para abordar matemática o cuantitativamente las operaciones militares. Desde entonces, la Investigación de operaciones ha evolucionado hasta aplicarse a todos los aspectos de un sistema, producto o servicio, y es por eso que con frecuencia se la menciona como Administración de Sistemas o Investigación de Operaciones. La Fuerza Armada Estadounidense formó un grupo similar, 5 de los cuales ganaron e'l Premio Nobel. En la actualidad, es reconocida como aporte importante a la toma de decisiones, en una amplia l

variedad de aplicaciones de negocios, industria y gobierno.

El término Investigación de operaciones, surgió en los años 40, cuando se ínvestigaoan el dfseño y análisis de modelos matemáticos para operaciones militares.

las

Desde entonces · se extendié el alcance de la

Investigación de operaciones incluyendo la economía (conocida como econometría), la psicología (psicometría), la sociología (sociometría), el marketing (investigación de mercado y ciencia del marketing), la astmlogía (astronomía) y a los prob¡emas de planificación corporativa. La creciente complejidad de la administración ha hecho visiblemente necesario e! desarrollo de técnicas matemáticas sofisticadas para la planificación y la toma de decisiones, y la Investigación de operaciones, se destaca en este ciclo estructurado del proceso de toma de decisiones brindando una evaluación cuantitativa de políticas, ptanes y decistones alternativas.Las disciplinas matemáticas más utilizadas en el proceso de modelización en Investigación

~·

8

de operaciones, son programación matemática, pr-obabilidad,

estad~stica

e

informática. Algunas áreas de la Investigación de operaciones como por ejemplo el control de existencias y -el control de producción, y la teoría del scheduling, se han transformado en sub-discip1inas por propio derecho y se han hecho en gran medida indispensables en el mundo moderno.

Las organizaciones militar-es habían pasado. por el mismo tipo de evolución . que los demás negocios y sectores. Esta evolución de las -organizaciones tuvo lugar durante íos veinte años desde fines de la Primer.a Guerra Mundial a comienzos de la Segunda, cuando los líderes militares tuvieron que recurrir a la ayuda de equipos de científicos, que eran asignados, por lo general, al ejecutivo a cargo de las operae.fones; es por eso que esta función se comenzó a conocer como Investigación de Operaciones en el Reino Unido y con diferentes nombres en los Estados Unidos: Investigación de Operaciones, Investigación Operativa, Análisis Operacional, Análisis de Sistemas y Ciencias Administrativas. El nombre Investigación de Operaciones es el más utilizado.

Después de la 11 Guerra Mundial las Empresas reconocieron el valor de aplicar técnicas similares en, las refinerías de petróleo, la distribución de productos, la planeación de producción el estudio de mercado y la planeación de'inversiones. En los últimos años con la aparición de software LINDO, se ha facilitado la reSOLUCIÓN:de los modelos matemático.s, su versión 6.1 puede resolver modelos de hasta 200,000 variables y 50,000 restricciones.

9

1.3

Metodoiogía de la investigación de operaciones

.

. .

.·. ¡··

U.~f~:~~~~~ ~

Ilustración 3.2 Metodología de la Investigación de operaciones

E;s

Definición del problema

identificar,

términos

comprender

precisos,

el

y ·describir

problema

en

que

la

organización enfrenta.

matemático y

un modelo matemático; .. Identificando variables, Identificando un objetivo

recolección de datos

global o Función Objetivo e Identificando las

l;s

Desarrollo de un modelo

formular

limitaciones o restricciones. 1

ReSOLUCION:del

Es resolver el modelo usando una técnica

1

adecuada, es decir obtener valores numéricos

modelo

¡ para la variable de decisión. .

.,

¡ Vahdac1on

de

.L

1

Es rev1sar cuJdadosamenLe los resultados para /

J

ver que los valores tienen sentido y que !as

la

1 1

SOLUCIÓN:

1 decisiones

Modificación del modelo

/1

resultantes puedan llevarse a cabo.

Se identifica las limitaciones omitidas durante la formulaci · .

11

¡

1.4

Usos y aplicaciones de la investigación de operaciones

Los modelos matemáticos se usan para:

Tomar decisiones estratégicas, como por ejemplo: -¿Debería reemplazarse un sistema existente con un nuevo sistema propuesto? -¿Debería cambiarse su política de Administración? . Tomar decisiones operacionales, como por ejemplo: -¿Cómo programar la fuerza de trabajo semanalmente? -¿Cuál es el plan de producción mensual óptimo? -¿Cuál es plan de embarque f!láS efectivo en costos para distribuir productos?

Algunas aplicaciones de la investigación de operaciones Se hq podido rdentificar un pequeño conjunto de tipos ele problemas que representan a la mayoría. Como éstos se repiten con frecuencia, se han desarrollado técnicas prototipo

par~

modelizarlos y derivar las soluciones de

esos modelos. Pueden ele~il-se y combinarse para lograr un abordaje multidisciplinario. Tabla 1 Aplicaciones de la Investigación de Operaciones Pronóstico:

¿Cómo será la demanda' de productos? ¿Cuáles son los modelos de venta? · ¿Cómo afectará las ganancias?

Finanzas e inversión:

¿Cuánto capital se necesita? ¿Cuánto costará? 1 ¿Dónde

Planificación y asignación

podemos obtenerlo?

1 ¿Cuántos

empleados se n_t=;cesitan?

de mano de obra: ¿Qué habilidades deberían tener? ¡ ¿Cuánto tiempo trabaJarán con nosotros?

12

¿Qué tarea es más importante?

Secuenciamiento:

1 ¿En qué orden deberían realizarse las tareas?

¿Cuál

Localizacioo;:.asignación,

es

la

mejor

localización

para

una

/ operación?

1 distribución y transporte:

¿Qué tamaño deberían tener las instalaciones?

¡ ¿Qué

recursos

se

necesitan?

¿Existen ·

deficiencias? 1

1

¿Cómo se pueden establecer las prioridades?

1

¿Cómo funciona el equipo?

Política de confiabilidad y sustitución:

¿Cuán confiable es? ¿Cuándo debería reemplazarse? Control de existencias y ..... ...··

¿Cuánto stock deberíamos mantener?

falta de stock: 1

• .·

·.· •' ·...·

- :

· . .· ·

¿Cuándo se pide más?

.

·,

1

¿Cuánto deberíamos pedir? Regl.as de costo-

¿Qué elección debería recomendarse?

beneficio: '•-

Planificación y control del

¿Cuánto tiempo requerirá el proyecto?

proyecto: ¿Qué actividades son las más importantes? !

'·11 ¿Como debenan utilizarse los recursos? 1

l ¿Cuán largas son las colas? congesuon: ¿Cuántos servidores deberíamos utifizar? 1

1

l ¿Qué nivel de servicio estamos brindando?

1

13

-·

1.5

Autoeva!uación de la Unidad i 01.

Una definición de Investigación de oper3ciones es: a.

Un conjunto de métodos y técnicas.

b. El uso de la matemática e informática para tomar decisiones. 02.

La metodología de la investigación de operaciones, implica: a. Definición del problema, ReSOLUCIÓN:del modelo, Desarrollo del modelo, SOLUCIÓN:, validez, implementación. b. Definición del problema, Desarrollo del modelo, ReSOLUCIÓN:del modelo, SOLUCIÓN:, validez e implementación.

03.

La definiCión sobre la investigación de operaciones, "Método científico por el cual la administración ejecutiva dispone de una base cuantitativa para las decisiones de operaciones bajo su control" ¿A quién corresponde? a) Ackoff

04

b) Sasieni

d) Dantzing e) Warner

¿A quién se le considera Padre de la Programación lineal? a) Gross

05

e) Mores-Kimball

b) Sasieni

e) Mores-Kimball

d) Dantzing e) Warner

La definición sobre la investigación de operaciones, "Rama de la matemática aplicada al proceso de toma de decisiones, ¿A quién corresponde?

a) Gross

b) Sasieni

e) Mores-Kimball

d) Dantzing

e) Kaufmann

06

El miedo a la toma de decisiones impo)iantes es un nuevo tipo de temor, denominado decido fobia, rue reve)ado por: a) Gross

b) Sasieni

e) Mores-Kimball

d) Dantzing

e) Kaufmann

07

¿Dónde se originó la Investigación de Operaciones durante ta Segunda Guerra Mundial? a) Francia

08

b) EE.UU.

e) Inglaterra

d) Japón

e) Rusia

¿Qué año se originó la Investigación de Operaciones duíante la Segunda Guerra a) 1939

Mundia~?

b) 1940

e) 1941

CLAVE DE RESPUESTAS 01 b 02b

03c

04d

d)-1942

e) 1943

OSa

O? e

06e

08b

14

1.6

Lectura: Entrevista ai creador de !a programación lineal

. "Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen 'He considerado todas las alternativas'. Pero eso es casi siempre basura. Lo más probable es que no pudiesen estudiar iodas las combinaciones." George B. Dantzig, creador de la programación lineal,

en

una

entrevista

publicada

en

TheCollegeMathematicaiJournal, marzo de 19B6.

~Se

presenta a continuación,

parte de esta

entrevista: "Considere el problema de asignar 70 hombres a 70 empleos. Una 'actividad' . consiste en asignar el i-ésimo hombre a la j-ésimo empleo. Las restricciones son dos: en primer lugar hay 70 hombres, cada uno de los cuales debe asignarse a un puesto, y en segundo lugar, cada uno de los 70 puestos existentes debe estar qcupado. El nivel de una actividad puede ser 1, lo cual indica que está siendo usada, , o O, lo cual significa que no. En consecuencia hay 2 x 70 =140 restricciones y 70 x 70 = 4900 actividades con 4900 variables correspondientes de decisión uno-cero. Por desgracia también hay factorial de 70 permutaciones o formas de hacer las asignaciones. El problema consiste en comparar estas factorial de 70 formas y elegir la que sea la óptima o 'mejor' según algún criterio previa-mente establecido." "En el ejemplo anterior, factorial de 70 es un número muy grande. A fin de tener una idea de qué tan grande es, supóngase que se hubie?e tenido una computadora IBM del tipo mainframe en el instante en el que ocurrió el Big Bang hace quince millones de años. ¿Habría podido, entre ese entonces y ahora, examinar todas las Soluciones posibles? jNo! No obstante, supóngase que se hubfese tenido una computadora aún más poderosa, una que pudiese examinar mil miltones de asignaciones por segundo. La respuesta seguiría siendo negativa. Aun si la Tierra se llenase con computadoras cuyas rapideces fueran de nanosegun-dos, todas ellas trabajando en paralelo, la respuesta aun sería no. Sin embargo, si existiesen diez ' tadoras del tipo mencionado, todas programadas en Tierras, todas llenas conll:om

/

w

.

15

parale!o desde el instante del Big Bang hasta que el Sol fuese una esfera fría, entonces quizás la respuesta podría ser sí. Lo notable es que el método Simplex, con la ayuda de una computadora moderna, puede resolver este problema en una fracción de segundo". "Cuando el problema de la planeación fue formulado inicialmente para la Fuerza Aérea, no existía la noción exacta de una función objetivo, la idea de una meta claramente definida. Por supuesto, teníamos sólo un falso respeto hacia el concepto de objetivo. En el discurso de füs militares escuché a menudo decir, 'nuestro objetivo es ganar la guerra'. En el mundo de los negocios se escucharía quizás 'nuestro objetivo es obtener ganancias' .. Sin embargo, era. imposible hallar alguna relación directa entre la meta establecida y las acciones emprendidas para tal fin." "Si se estudiaba con cuidado el paso siguiente, se podía ver que algún líder había promulgado un montón de reglas básicas que, en su concepto, llevarían a la meta. Esto distaba mucho de lo que sería honestamente estudiar todas las combinaciones alternativas de las acciones a seguir para elegir la mejor combinación. Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen 'He considerado todas las alternativas'. Pero eso es casi siempre basura. Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones. Antes de 1947 era inconcebible pensar en la existencia de una herramienta como la programación lineal que permitiese examinar millones de combinaciones. No había algoritmo o herramienta computacional que pudiera hacer eso." "No descubrí el modelo de la programación lineal en un instante, sino que tuvo un proceso de evolución. Se dedicó casi un año completo a la tarea de decidir si mi modelo podría ser utilizado en la formulación de problemas prácticos de distribución de tiempos. Como usted sabe, !a planeación y la distribución de

ti~mpos

se llevaron

a una escala inmensa durante la guerra. El funcionamiento de la Fuerza Aérea fue equivalente al funcionamiento de la economía de toda una nación. En el proceso intervinieron cientos de miles de personas. La logística tuvo una· magnitud difícil de entender para alguien que no haya estado aiH. Mi colega Marshall Wood y yo revisamos miles de situaciones tomadas de nuestra experiencia durante la guerra."

16

"Las reglas básicas empleadas en la pianeación se expresaban en un formato completamente distinto del que se emplea en la actualidad para formuiar un programa lineal. Lo que hicimos fue revisar estas reglas una por una y demostrar que casi todas ellas podían reformularse aceptablemente en un formato de programación lineal. Pero no todas. En algunos casos era necesario tomar en cuenta el caíácter discreto de las variables y !as no convexidades.""Cuando formulé por primera vez mi modelo de programación lineal, lo hice sin una función objetivo. Estuve luchando por algún tiempo con la adición de reglas básicas para elegir de entre las Soluciones factibles la que en algún sentido fuese 'óptima'. Pero pronto abandoné esta idea y la sustituí por la de una función objetivo a ser maximízada. El modelo que formulé no estaba hecho específicamente paré;l fines militares. Podía aplicarse a toda clase de problemas de planeación; todo lo que tenía que

hace~se

era cambiar los nombres de las columnas y los renglones, y entonces era aplicable a un problema de planeacíón económica lo mismo que a un problema de planeación industrial."

17

UNIDAD 11:

2.1.

MODELO MATEMÁTICO

Definición de modelo matemático

Es la representación de los problemas del mundo real usando símbolos matemáticos. La programación lineal es una técnica de modelado matemático, diseñada

para

optimizar el

uso

de

los

recursos

limitados.

La

programación lineal (PL) es aplicada en distintas disciplinas; se ha aplicado exitosamente en el ejército, la agricultura, la industria, la transportación, la economía, los sistemas de salud, etc.

Estos modelos, debido a su linealidad, han permitido desarrollar algoritmos para su RESOLUCIÓN:; los cuales han sido implementados en·paquetes informáticos.

Los cálculos en la programación lineal, por lo común son voluminosos y tediosos y, por consiguiente, requieren del empleo de la computadora.

2.2.

Ciasificación de los modelos matemáticos

Según los datos

Los modelos pueden ser: Determinísticos o Estocásticos

Según las restricciones

Los modelos pueden ser: lrrestrictos o Restringidos Los Restringidos pueden ser: Lineales o No lineales

Según la función objetivo

Los modelos. pueden ser: Lineal o No lineal

Según las Variables

Los modelos pueden ser: Continuas o Enteras

2.3

Pasos para la construcción de modelos matemáticos

Los pasos generales para la construcción de modelos matemáticos son: Paso 1

IDENTIFICAR LAS VARIABLES DE DECISIÓN ¿Sobre qué tengo control? ¿Qué es lo que hay que decidir? ¿Cuál sería una respuesta válida en este caso?

Paso 2

IDENTIFICAR LA FUNCIÓN OBJETIVO ¿Qué pretendemos conseguir? Si yo fuese el jefe de la empresa, ¿qué me interesaría más?

Paso 3

IDENTIFICAR LAS RESTRICCIONES Recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material) Fechas límite Restricciones por la naturaleza de las variables (no negatividad, enteras, binarias) Restricciones por la naturaleza del problema.

\

20

2.3

Modelo de mezc!a

EJERCICIO 2.1 · PEPSICO, procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Chosica, Vitarte y Comas. De cualquiera de !os dos huertos ubicados cerca de Huaral y Cañete se pueden enviar libras de naranja hacia cualquier planta. El huerto que está cerca de Huarai tiene 20000 libras y el huerto que está cerca de Cañete tiene 12000 libras. La planía de Chosica requiere al menos 8000 libras para ·cumplir su cuota de producción. Las plantas de Vitarte y Comas requieren cada una al menos 11 000 libras. Dado el costo de transporte y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar cómo transportar estas naranjas desde los huertos a las plántas :

procesadoras para maximizar la ganancias. COSTO DE TRANSPORTE ($. /TON)

. . -_;..; .:.

. · _ : _ . :-pRI~~~G ~---_._:~-: ~--- ---~~~:~~~-:-~ ::~-.- - -~- - ~e-~~~~;~·_ ,~ .__ --~ :_:.-.:,:. :·: ..:· _- ·. . . _·. :.,: -- · ·. .. · . V•tarte. · Comas_ ,. ~

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~hostca~---. :_. ~

Huaral

-__:

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~

50

Cañete

60

1

-

550

'~-

'.

. -.

75

60

90

45

750

600

1

Ingresos ($/Tonelada)

~

- -==::

.

.

SOLUCIÓN:

ORIGEN (Huerto)

DESTINO

(planta)

CHOSICA

8000

Ilustración 4. 4 Metodología de la Investigación de operaciones

V/TARTE

11000

COMAS 11000

21

~

··:·

Utilidad= Ingreso- Gasto Conversión lb= 453 gr.

1Ton= 2207 lb.

U11 = 550- 50 = 500 $/Ton. = 0,2266 $/lb U12= 750-75 = 675 $/Ton.= 0,3058 $/lb U13= 600-60 = 540 $!Ton.= 0,2447 $/lb U21 = 550-60 = 490 $/Ton.= 0,2220 $/lb U22= 750- 90 = 660 $/Ton. = 0,2990 $/lb U23= 600-45

=555 $/Ton.= 0,2515 $/lb

MODELO MATEMÁTICO

l.

Identificación de variables. Xij =

11.

Número de libras de naranjas a enviar del huerto i a la planta j

Identificación de la función objetivo MAX 0.2266X11+ 0.30Si8X12+ 0.2447X13 + 0.2220X21 + 0.2990X22 + 0.2515X23

IH :·>····

..::.- ·....;-

Identificación de Restricciones.

-

X1~ :S

X11 + X12

+

20000

X21 + X22

+ X23 5 12000 .

X11

+ X21 ?: 8000

Xí2

+ X22?: í íOOO

X13

+ )(23 :? 11 000 Xij ?: O

\

SOLUCtÓN:CON LINDO 1) 8550,1

X11 =7000, Xt2=t3ooo, X2t=1·ooo,

X23=11000

22

EJERCICIO 2.2 PETROPERÚ puede comprar dos tipos de petróieo: crudo ligero· a un c~sio de $25 por barril, y: crudo pesado a un costo de $22 por barril. Cada b?rriLcie turb.9~,ti1a

petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina,

y

queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de ga_~olina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo

Crudo ligero

0,45

O, 18

0,30

Crudo pesado

0,35

0,36

0,20

Demanda en barriles

1260000

900000

300000

La refinería se ha comprometido a entregar 1260000 barrfles de gasolina, 900000 barriles de turbosina y 300000 barriles de queroseno. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. SOLUCIÓN: 1

Identificación de variables. CL =Número de barriles a comprar del Crudo ligero CP = Número de barriles a comprar del Crudo pesado

Identificación de la Función Objetivo MIN 25CL + 22CP

iil.

Identificación de las restricciones Con respecto a la demanda

0.45CL + 0.35CP

;::: 1260000

0.18Cl + 0.36CP

;::: 900000

0.30CL + 0.20CP

;::: 300000

CL,

CP

SOLUCIÓN:COI'J LINDO 1)74'600000 CL = 1'400000

~

O

CP

=

1'800000

23

EJERCICIO 2.3 Reconsidere el ejercicio 2.2 Cada barril de petróleo crudo refinado produce un desecho de 0.07 de barril que se tira a un costo de $1 por barril de desecho. De manera similar, cada barril de petróieo crudo pesado produce un desecho de 0.09 de barril y su eliminación cuesta $ 1.50 por barril. Formule un nuevo modelo para incorporar estos costos adicionales usando los mismos datos del ejercicio 2.3. SOLUCIÓN:

l.

Identificación de variables CL = Número de barriles a comprar del Crudo ligero CP = Número de barriles a comprar del Crudo pesado

11.

Identificación de la Función Objetivo MIN

111.

26CL + 23.5CP

Identificación de las restricciones 0.38CL + 0.26CP

Con respecto a la demanda

~

1260000

0.11 CL + 0.27CP

~900000

0.23CL + 0.11 CP

~300000

Con respecto a la no negatividad

CL, CP

~O

SOLUCIÓN:CON LINDO 1)1 01 '906,800

.

~1'435,135

CP = 2'748,649

24

EJERCICIO 2.4 NISAN fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como se especifica en la siguiente tabla:

g;¿;~~;~;:.¿n~~~f~~~-::.

..:-·. ~'.,..---.--

..

-

_-

Compactos Subcompactos

~~a!fDf~:~~:~;_,~l!.~. ~~ ~-~. --~~--:"·-/· 200

18

í50

20

1

Costo unitario

10

Total disponible La div1s1ón de

comerc~ahzac1ón

80000

70

1

9000

1

' ha est1mado que a lo mas 1500 compactos

pueden venderse a $ 10000 cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a $ 8000 cada uno. Como vicepresidente de prograrl)ación, formule un modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). SOLUCIÓN:

l.

•',··,

Identificación de variables CC =Número de carros compactos por fabricar CS =Número de carros subcompactos por fabricar

11.

Identificación de la Función Objetivo MAX67 40CC -t 51 OOCS

111.

Identificación de las restricciones Con respecto a la materia prima

200CC +150CS

::; 80000

Con respecto a la mano de obra

18CC + 20CS

::; 9000

ce::; 1soo

Con respecto a la venta ,...< e,::,_

\

Con- respecto a la no negatividad

CC, CS

SOLUCIÓN:CON LINDO 1)2705000

CC=250

~

200 O, entero

CS=200

25

EJERCICIO 2.5 MILKITO tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto íesultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:

Ganancia neta

0.3 min 1 gal

0.7 min 1 lb

1.2 min 1 lb

0.22$/ gal

0.38$/ lb

0.72$1 lb

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como gerente del departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequillas y 100 libras de queso. SOLUCIÓN:

l.

Identificación de variables Li =Número de galones requerido para producir Leche descremada en la máquina i Mi=Número de libras requerido para producir Mantequilla en la máquina Qi =Número de libras requerido para producir Queso en la máquina i

11.

Identificación de la Función Objetivo MAX 0.22(L 1+L2) + 0.38(M1 +M2) + 0.72(01 +02)

lll.

Identificación de las restricciones Con respecto a la cantidad a producir

L 1+L22:300 M1+L2

2:200

Q1+Q2

2:100

Con respecto al tiempo requerido 0.2L 1 + 0.5M1 +1.501

~480

0.3L 1 +O. 7M1 + 1.201

~480

\

U, Mi, Qi

Con respecto a la no negatividad

SOLUCIÓN:CON LINDO 1)

L1 =

L2= M1 = M2=

2:0

Q1 =

02=

26

EJERCICIO 2.6 El Ministerio de Salud indica que cada galón de leche, libra de queso y libra de manzanas proporciona un número conocido de miligramos de proteínas y vitaminas A, 8 y C. La siguiente tabla incluye esos datos junto con los requerimientos diarios de los ingredientes nutricionales y la cantidad mínima de cada alimento que debe incluirse en la comida y su costo.

~~!~~~~&.i~Iil~wj~Q~~if5:"~~;~~¡-~i~F1 Proteínas

¡

Vitamina A

1

Vitamina 8

40

50

5 1

30 1

50

30

Vitamina C

1

Cantidad mínima

0,5n gal

30

j 1

0,501b 1

Costo unitario

80

60

1

20 1

íO

30

40

50 1

60

30 :

0,50 1

2,25

2,15

1

1,25 1

1

Como d1et1sta de una escuela públrca, formule un modelo para determinar la comida de costo mínimo que reúna todos los requerimientos nutricionales. SOLUCIÓN: l.

11.

Identificación de variables 1

L

=Número Galones de leche a utilizar

Q

=Número Libras de queso a utilizar en

M

=Número Libras de manzana a utilizar

Identificación de la Función Objetivo MIN 2.15L + 2.250 + 1.25M

111.

Identificación de las restricciones Con respecto a los requerimiento

40L + 300 +10M 5L + 500 + 30M

~60

20L + 300 + 40M

~50

30L + 500 + 60M

~30

Con respecto a La cantidad mfnima 1

' Con respecto a la no negatividad

L, Q,

L

~

0.5

Q

~

0.5

M

~

ü.5

M

~o

~80

SOLUCIÓN:CON LINDO 1)5.147297 L=1 ,297297 M=0.50=0,770227

~

27

EJERCICIO 2.7 REPSOL, cerca de Lima, suministra gasolina a sus distribuidores en caminos. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de 800000 galones de gasolina por mes a distribuidores de Lima. La compañía tiene $ 5000000 disponibles para crear una flota consistente en tres tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipo:

2

3000

40000

650

3

2000

25000

500

30

Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no desea comprar más de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearía asegurarse que se compren al menos tres de los camiones del tipo 3 (se requiere para su uso en las rutas de trayecto corto/baja demanda). Finalmente, la compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. Formule un modelo para determinar la composición de la flota que mínimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. SOLUCIÓN:

l.

Identificación de variables. Ci

11.

= Número de camiones a adquirir del Tipo i

Identificación de la Función Objetivo MIN 800C1 + 650C2 + 500C3

1! l.

Identificación de las restricciones Según la inversión

50000C1

+40000C2 + 25000C3

::;; 500000

Según la capacidad 120000C1

+75000C2 + 60000C3

;:::; 800000

Según el tamaño de la flotilla

C1 +

C2 + C3

::;; 1O

Según la cantidad

C1-

C2- C3

::;; O

Con respecto al númeíO mínimo del tipo3

C3

;:::; 3-

Con respecto a lano negatividad

Ci

;: :; O, entero

SOLUCIÓN:CON LINDO í )6000

C1 = 4

C2 = 2

C3 = 3

28

EJERCICIO 2.8 LAN CHILE reabastece sus aeronaves en los cuatro aeropuertos en donde da servicio. La turbosina puede comprarse a tres vendedores posibles en cada aeropuerto. La tabla indica ( 1) el costo de entrega (compra más embarque) por mil galones de cada vendedor a cada aeropuerto, (2) el número disponible de miles de galones que cada vendedor puede suministrar cada_ mes y (3) el requerimiento mensual de turbosina (en miles de galones) en cada aeropuerto. En la tabla se muestra el costo de entrega .

.=('jeltipo reg.ular: T · .. ·

..

-~~.-..~..-·

-...·.