UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN

Electricidad y Magnetismo

Séptimo Nivel

MENCIÓN CIENCIAS NATURALES

Electricidad y Magnetismo

3ra Edición

Publicaciones UTE

Quito- Ecuador

Electricidad y Magnetismo

3ra Edición, Quito, Marzo 2011

Todos los derechos reservados No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, sin el permiso expreso del copyright Publicaciones UTE

Quito-Ecuador

INTRODUCCIÓN

La Física ha sido uno de los pilares en el desarrollo de la humanidad. El conocer los principios fundamentales que rigen la naturaleza ha permitido dicho desarrollo. Desde el descubrimiento del fuego el hombre ha ido paulatinamente creando diversas herramientas que lo han ayudado en su vida diaria, ha ido intuyendo los principios de la naturaleza que le han permitido comprenderla y aceptarla, ha ido plasmando estas ideas en cosas extraordinarias que nos han permitido alcanzar otros planetas, estar en contacto con personas del otro lado del mundo, volar, explorar las profundidades del mar, curar enfermedades, etc. Ese conocimiento lo debemos administrar de la mejor manera, eso sería lo ideal. Es nuestra misión el saber cuál es la mejor manera de hacerlo. Las nuevas generaciones deberán aprenderlo de cada uno de nosotros. Hagámoslo bien!....

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1. Índice de Contenido UNIDAD 1 ................................................................................................................................................. 1 Vectores ..................................................................................................................................................... 1 1.1.

SISTEMAS DE REFERENCIA .................................................................................................................. 2

1.2.

SISTEMAS DE COORDENADAS ............................................................................................................. 2

1.2.1.

Sistema de coordenadas Rectangular .......................................................................................... 3

1.2.2.

Sistema de coordenadas Polar...................................................................................................... 5

1.2.3.

Sistema de coordenadas Geográfico ............................................................................................ 6

1.2.4.

Equivalencias entre sistemas de coordenadas ............................................................................. 7

1.3.

VECTORES: Definición ......................................................................................................................... 9

1.4.

Tipos de Vectores .............................................................................................................................. 10

1.4.1.

Vectores libres ............................................................................................................................ 10

1.4.2.

Vectores deslizantes: .................................................................................................................. 10

1.4.3.

Vectores fijos: ............................................................................................................................. 11

1.4.4.

Vector unitario: ........................................................................................................................... 11

1.4.5.

Vectores paralelos: ..................................................................................................................... 12

1.4.6.

Vectores antiparalelos: ............................................................................................................... 12

1.4.7.

Vector opuesto o negativo: ......................................................................................................... 12

1.5.

Operaciones entre vectores .............................................................................................................. 13

1.5.1.

Suma o Adición de Vectores........................................................................................................ 14

1.5.1.1.

Método Analítico ............................................................................................................... 15

1.5.1.2.

Método Gráfico .................................................................................................................. 15

1.5.1.2.1.

Método del Paralelogramo ........................................................................................... 16

1.5.1.2.2.

Método del Triángulo .................................................................................................... 17

1.5.1.2.3.

Método del Polígono ..................................................................................................... 18

1.5.2.

Producto de Vectores .................................................................................................................. 18

1.5.2.1.

Unitario de un vector ......................................................................................................... 19

1.5.2.2.

Producto de un vector por un escalar ................................................................................ 20

1.5.2.2.1. 1.5.2.3.

Producto Escalar entre dos vectores .................................................................................. 21

1.5.2.3.1. 1.5.2.4. 1.6.

Propiedades:.................................................................................................................. 20

Propiedades ................................................................................................................... 22

Producto Vectorial ............................................................................................................. 22

Componentes de un vector ............................................................................................................... 25

ii

AUTOEVALUACIÓN ....................................................................................................................................... 28 Bibliografía ............................................................................................................................................... 29

UNIDAD 2............................................................................................................................................... 30 Introducción a la Electricidad y Magnetismo ...................................................................................... 30 2.1.

Fuerza ............................................................................................................................................... 31

2.1.1.

Historia ....................................................................................................................................... 31

2.1.2.

Unidades de fuerza ..................................................................................................................... 32

2.2.

Tipos de fuerzas ................................................................................................................................ 33

2.2.1.

Fuerza centrípeta y centrífuga .................................................................................................... 33

2.2.2.

Fuerza de Rozamiento ................................................................................................................ 33

2.2.3.

Fuerzas intermoleculares ............................................................................................................ 34

2.2.4.

Fuerza Normal ............................................................................................................................ 35

2.2.5.

Fuerza Elástica ............................................................................................................................ 36

2.2.6.

Fuerza Electrostática .................................................................................................................. 37

2.2.7.

Fuerza Magnética ....................................................................................................................... 37

2.3.

Fuerzas fundamentales..................................................................................................................... 39

2.3.1.

Historia ....................................................................................................................................... 40

2.4.

Autoevaluaciones ............................................................................................................................. 42

2.5.

Bibliografía ....................................................................................................................................... 43

UNIDAD III ELECTROSTÁTICA Carga eléctrica, propiedades Inducción electrostática Ley de Coulomb. Intensidad de Campo eléctrico. Líneas de Campo Eléctrico. Flujo eléctrico Ley de Gauss Potencial Eléctrico Diferencia de Potencial

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Experimento de Millikan Aplicaciones electrostáticas Autoevaluación

UNIDAD IV MAGNETISMO Producto vectorial y escalar Fuerza Magnética Campos magnéticos. Campo magnético de la Tierra Experimento de Oersted. Materiales magnéticos. Inductancia Relación entre la Electrostática y el Magnetismo Autoevaluación

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UNIDAD 1 Vectores

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1.1.

SISTEMAS DE REFERENCIA

Los sistemas de referencia (o marcos de referencia) se emplean para describir la posición y el movimiento de los cuerpos. Un sistema de referencia está formado por:

 

Un punto tomado como origen de referencia de coordenadas. Unos ejes de coordenadas. Los ejes se cortan en el origen de referencia.

Para señalar la posición de un cuerpo indicamos la distancia hasta cada eje. Y para definir su movimiento señalamos cómo cambia esta distancia con el tiempo. “Un sistema de referencia espacial indica, de manera precisa, dónde se encuentra el cuerpo en un instante determinado”. La coordenada x toma el valor de la distancia que separa la posición del cuerpo de la marca cero del eje X.

1.2.

SISTEMAS DE COORDENADAS

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de cualquier punto de un espacio vectorial (puede ser en el plano o en el espacio). Existen varios tipos de sistemas de coordenadas utilizados para aplicaciones específicas, dentro de ellos se van a describir 3 sistemas que son usados frecuentemente en la física básica, estos son: 1. Sistema de Coordenadas Cartesianas 2. Sistema de Coordenadas Polar 3. Sistema de Coordenadas Geográfico Estos sistemas de coordenadas son de suma importancia ya que para resolver problemas de diversos tópicos de física, se tiene que tener un conocimiento previo de cómo utilizarlos y cómo hacer cambios entre ellos para que la resolución de los problemas sea menos compleja.

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Desde el punto de vista estrictamente matemático, un sistema de referencia en un espacio vectorial de dimensión n está formado por n vectores linealmente independientes, formando una base del espacio, y por un punto, definido por n coordenadas, que suele llamarse origen del sistema de referencia. Existen otros sistemas coordenadas más complejos, los cuales son usados en aplicaciones a problemas más apegados a la realidad, esto si se aborda al movimiento, aunque también se usa muy frecuentemente en la resolución de otros fenómenos físicos, tales como: electricidad, magnetismo, relatividad, entre otras. Estos son:   

Sistema de coordenadas Cartesiano Sistema de coordenadas Cilíndrico Sistema de coordenadas Geográfico

En el estudio de esta materia solamente se utilizará los sistemas rectangulares definido en dos dimensiones (en el plano), tal como se observa a continuación:

Fig. 1.1 Sistema de coordenadas

1.2.1. Sistema de coordenadas Rectangular

En el sistema de coordenadas rectangular se usa dos ejes los cuales son perpendiculares entre si, por tanto, tienen un punto en el cual se cortan que se denomina “origen”. El eje que se ubica en forma horizontal, se le conoce como “eje x” o también como “eje de las abscisas” y el otro eje ubicado en forma vertical se denomina “eje y” o “eje de las ordenadas”.

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Estos forman entre sí cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales permite ubicar en primera instancia a un punto, que se determina por un par de números (conocido como par ordenado) definidos como (x; y) que no son más que el punto de corte de las perpendiculares levantadas desde los valores x e y de cada eje.

Fig. 1.2 Sistema de coordenadas rectangular

Ejemplo: Se desea ubicar al punto (x; y) = (2, -3) [cm]

Fig. 2.3 Sistema de coordenadas rectangular: Ejemplo

Como se puede observar, lo que se hace es ubicar la coordenada x = 2 sobre el eje X y desde ahí levantar una perpendicular. Luego se ubica la coordenada y = -3 sobre el eje Y, desde donde se levanta otra perpendicular. Estas dos perpendiculares se cortan en punto, Fís. Lenin Jácome

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el cual es precisamente el punto que se deseaba ubicar. Este se halla en el tercer cuadrante. No olvide que es importante trabajar con las respectivas unidades, en este caso los cm.

1.2.2. Sistema de coordenadas Polar

Las coordenadas polares sirven para indicar la posición de un punto mediante un “radio vector” ( r), que no es sino la distancia positiva entre el punto y el origen del sistema, y el ángulo polar (𝜙), que no es más que el ángulo positivo (en sentido antihorario) barrido por el radio vector a partir del eje polar.

Fig. 1.4 Sistema de coordenadas polar

Ejemplo: Se desea ubicar al punto (r; 𝜙) = (4 [m], 105°)

Fig. 1.5 Sistema de coordenadas polar: Ejemplo

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Para ubicar un punto en coordenadas polares, lo que se realiza es lo siguiente: primero, se reconoce el eje polar y el origen del mismo (marcado con 0 en la figura). Con centro en dicho punto y a partir de dicho eje, se mide el ángulo solicitado, en este caso 105°, siempre en sentido contrario a las manecillas de reloj. Después se traza la línea, con la medida requerida, es este caso 4 [m], considerando el ángulo medido anteriormente. El sitio encontrado bajo estas indicaciones, es el punto que se buscaba.

1.2.3. Sistema de coordenadas Geográfico

Las coordenadas geográficas identifican la posición de un punto respecto al plano terrestre, mediante el radio vector “r” y el “rumbo”, que es la dirección angular medida a partir del norte o sur geográfico. Los ejes se definen de la siguiente manera:

Fig. 1.6 Sistema de coordenadas geográfico

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Ejemplo: Se desea ubicar al punto (r; rumbo) = (2,5 [km], N25°E)

Fig. 1.7 Sistema de coordenadas geográfico: Ejemplo

En este caso, para ubicar el punto solicitado, se debe encontrar la dirección “norte” así como el origen del sistema de coordenadas. A partir de esta dirección y haciendo centro en el origen, se mide los 25° hacia la dirección “Este”. Luego se mide la distancia desde el origen, en este caso los 2,5 [Km], obviamente con la escala adecuada.

1.2.4. Equivalencias entre sistemas de coordenadas

Los parámetros de los tres sistemas coordenados, pueden intercambiarse entre sí, usando simplemente las Funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, además el teorema de Pitágoras, los cuales se especifican a continuación:

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

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que: a2 + b2 = c2

Fig. 1.8 Triángulo rectángulo con sus dos catetos y su hipotenusa



Las funciones trigonométricas permiten calcular los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Son las siguientes:

o 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = o 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = o 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

El ángulo y los catetos se los considera según la disposición de los mismos en el triángulo rectángulo. Para mayor referencia se puede observar la siguiente figura:

Fig. 1.9 Triángulo rectángulo especificando sus dos catetos, su hipotenusa y un ángulo

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Si usted observa, en los tres sistemas de referencia aparecen triángulos rectángulos, por tanto, si se desea transformar de un sistema de coordenadas a otro, solo hay que calcular o alguno de los catetos (componentes x e y) o la hipotenusa (módulo de un vector) o algún ángulo.

1.3.

VECTORES: Definición

En general un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición; su dirección, determinada por una recta (directriz) a la cual el vector es paralelo; y su sentido, que podrá ser coincidente u opuesto con un sentido predeterminado sobre la dirección antes mencionada.

Se representa como un segmento orientado, con dirección y sentido, dibujado como una "flecha". Su longitud representa el modulo del vector y la "punta de flecha" indica su sentido.

Sentido

Sentido

Módulo

Dirección

α Punto de aplicación

Fig. 1.10 Representación de un Vector

Como ejemplo de una magnitud vectorial o vector se puede mencionar a la aceleración de la gravedad, cuyo módulo es 9,8 m/s2, la dirección es vertical y su sentido es hacia abajo

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1.4. Tipos de Vectores

1.4.1. Vectores libres

Son aquellos que pueden colocarse en cualquier punto del espacio manteniendo constantes su módulo, dirección y sentido. El efecto que producen no se altera. Se los denomina también vectores algebraicos o matemáticos. Ejemplo: el vector desplazamiento, la velocidad de la luz

Fig. 1.11 Vector desplazamiento

1.4.2. Vectores deslizantes:

Estos vectores pueden trasladarse a cualquier posición de su línea de acción sin modificar su efecto. Ej: la fuerza que arrastra un objeto.

𝐹

𝐹

Fig. 1.12 Fuerza que arrastra a un objeto

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1.4.3. Vectores fijos:

También denominados “anclados”, son los que se encuentran ligados a una sola posición determinada, no pueden ser trasladados a ningún otro punto ya que producirían una variación en su efecto. Ej: el vector posición

Fig. 1.13 Vector Posición

1.4.4. Vector unitario:

Es aquel cuyo módulo o magnitud es la unidad y nos indica la dirección y el sentido de un vector. No tiene dimensiones.

Fig. 1.14 Vector Unitario

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1.4.5. Vectores paralelos:

Tienen la misma dirección y sentido. Su módulo no necesariamente es el mismo.

Fig. 1.15 Vectores Paralelos

1.4.6. Vectores antiparalelos:

Tienen la misma dirección pero sentido contrario. Su módulo es diferente

Fig. 1.16 Vectores Anti paralelos

1.4.7. Vector opuesto o negativo:

Son vectores los cuales, tienen la misma dirección pero el sentido contrario. Además, su módulo es el mismo.

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Fig. 1.17 Vectores Opuestos o Negativos

1.5.

Operaciones entre vectores

Así como en álgebra, en física se puede relacionar diversas cantidades vectoriales a través de ciertas operaciones. Pero existe un problema: “las cantidades físicas que se van a relacionar, tienen dirección y sentido”. En consecuencia resulta necesario establecer algunas particularidades para las operaciones vectoriales.

Para introducir a las operaciones entre vectores, usaremos la representación, cuya notación, significado y dirección, se muestra a continuación:

Se define un vector cualquiera llamado 𝐴, cuya notación es la siguiente:

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘

en donde: 

Ax ; Ay y Az son las proyecciones del vector 𝐴 sobre cada uno de los ejes. Es cualquier número elemento de los números Reales.



𝑖, 𝑗 𝑦 𝑘 son las direcciones unitarias de cada eje (X, Y, Z), como se puede observar en la gráfica siguiente:

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Fig. 1.18 Direcciones 𝑖, 𝑗 𝑦 𝑘

1.5.1. Suma o Adición de Vectores

Para poder definir a la suma de vectores, primero se debe mencionar sus propiedades: 

CONMUTATIVA: El orden en que se sumen los vectores, no altera el resultado: 𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴



ASOCIATIVA: Los vectores pueden asociarse de cualquier manera: 𝐴 + (𝐵 + 𝐶 ) = (𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶



DISTRIBUTIVA VECTORIAL: Al multiplicar la suma de dos vectores por un escalar el resultado será igual a la suma de los productos de dicho escalar por cada vector: 𝑚 𝐵 + 𝐶 = 𝑚𝐵 + 𝑚𝐶



DISTRIBUTIVA ESCALAR: La suma de dos escalares por un vector es igual a la suma de los productos de cada escalar por el vector: 𝑚 + 𝑛 𝐴 = 𝑚𝐴 + 𝑛𝐴



IDÉNTICO ADITIVA: Al añadir un vector a un vector nulo el resultado será el mismo vector: 𝐴 + 0 = 𝐴



INVERSA ADITIVA: Al sumar un vector con su respectivo vector opuesto nos da un vector nulo: 𝐴 + −𝐴 = 0

La suma entre dos o más vectores puede realizarse de dos maneras: Gráfica y Analítica Fís. Lenin Jácome

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1.5.1.1.

Método Analítico

Sean dos vectores: 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘 Se define la suma: 𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗 + (𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 )𝑘

Como se observa, solamente se suman los coeficientes que tienen componentes similares entre sí. El resultado es un vector.

Ejemplo: 𝐴 = 2𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘 𝐵 = 4𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘 𝐴 + 𝐵 = 2 + 4 𝑖 + 3 + 2 𝑗 + (4 + (−6))𝑘 𝑨 + 𝑩 = 𝟔𝒊 + 𝟓𝒋 − 𝟐𝒌

1.5.1.2.

Método Gráfico

Existen diversos métodos que se pueden catalogar como “gráficos”. Se mencionará a tres: Método del Paralelogramo, Método del Triángulo y Método del Polígono. A continuación se describirá cada uno de ellos.

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1.5.1.2.1. Método del Paralelogramo

Este método consiste en hacer coincidir los dos vectores en un origen común (sistema de referencia común), manteniendo sus características originales, esto es: módulo, dirección y sentido. Se realiza lo siguiente: a. Desde los extremos de cada vector, se trazan líneas rectas paralelas al otro vector. Estas a medida que se prolongan, llegarán a un punto en el que se cruzarán. De esta manera se forma un paralelogramo, como se puede observar a continuación:

Fig. 1.19 Método del Paralelogramo

b. El vector resultante va desde el origen de los dos vectores hasta el punto en el que se cortan las dos rectas paralelas

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1.5.1.2.2. Método del Triángulo

Consiste en colocar el segundo vector después de que ha terminado el primero, sin que ninguno de los dos haya perdido sus características originales, es decir su módulo, su dirección y su sentido. Asimismo, la escala y las unidades con las que se represente a los dos serán las mismas.

Fig. 1.20 Método del triángulo

El vector resultante surgirá de unir el origen del primer vector con el final del segundo vector.

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1.5.1.2.3. Método del Polígono

Este método es muy útil cuando se tiene más de dos vectores, ya que es una generalización del método del triángulo, descrito anteriormente. Es decir, los vectores, sea cualesquiera el número de ellos, se ubican uno a continuación de otro, y el vector resultante se obtiene uniendo el punto de inicio del primer vector con el final del último vector.

Fig. 1.21 Método del Polígono

1.5.2. Producto de Vectores

El producto o multiplicación para vectores, es una operación que no es única, es decir, tiene algunos casos, por ejemplo, el denominado producto punto o escalar, o el producto cruz o vectorial, y por último, el producto entre un escalar y un vector. Previo al estudio de cada uno de ellos, resulta necesario definir más profundamente al vector unitario, el cual servirá para posteriores cálculos.

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1.5.2.1.

Unitario de un vector

Como ya se mencionó, un vector unitario, es uno que indica la dirección y sentido de un vector, además de tener un módulo igual a uno, de ahí su nombre: “unitario”. Su notación es: 𝝁𝑨 y se lee “unitario del vector A” Este se calcula de la siguiente manera: Sea: 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 , un vector cualquiera.

1. Se calcula primero su módulo: 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2 = 𝐴

𝐴 =

(observe que el módulo de un vector se expresa con dos barras verticales o simplemente no se ubica la flecha sobre la letra que nombra al vector) 2. Luego usa la definición del vector unitario, que no es nada más dividir el mismo vector para su respectivo módulo, es decir:

𝜇𝐴 =

𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2

3. Finalmente, se puede separar cada una de las componentes para el módulo, así:

𝜇𝐴 =

𝐴𝑥 𝑖 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2

𝐴𝑦 𝑗

+

𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2

+

𝐴𝑧 𝑘 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2

Recuerde que el vector unitario es adimensional Fís. Lenin Jácome

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1.5.2.2.

Producto de un vector por un escalar

Como el nombre lo indica, consiste en multiplicar una magnitud de tipo escalar con una de tipo vectorial. Sea un vector 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 y “n” un escalar cualquiera, la operación: 𝒏 · 𝑨 se la realiza de la siguiente manera: 𝑛 · 𝐴 = 𝑛 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 = 𝑛 · 𝐴𝑥 𝑖 + 𝑛 · 𝐴𝑦 𝑗 + 𝑛 · 𝐴𝑧 𝑘

1.5.2.2.1. Propiedades:



ES CONMUTATIVO, esto es, el orden en el que se coloquen los factores, no altera el resultado:



𝑛·𝐴 =𝐴·𝑛 ES DISTRIBUTIVO ESCALAR, el producto de un vector por la suma de otros dos escalares es igual a la suma de los productos de dicho vector por los escalares:



𝐴 𝑛+𝑚 =𝐴·𝑛+𝐴·𝑚 ES ASOCIATIVO, se puede alterar el orden de agrupamiento para la realización de las operaciones: 𝑛 𝑚𝐴 = 𝐴 · (𝑛𝑚)



ES DISTRIBUTIVA VECTORIAL: 𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑛𝐴 + 𝑛𝐵

Un ejemplo de esta relación entre un escalar y un vector lo constituye la fuerza expresada en la segunda ley de Newton: 𝐹 = 𝑚𝑎 , donde “m” es la masa y es un escalar, mientras que 𝑎 es la aceleración y es un vector. Aquí la fuerza tiene la misma dirección que la aceleración, al ser la masa siempre de valor positivo.

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1.5.2.3.

Producto Escalar entre dos vectores

También denominado “Producto Punto”, relaciona dos vectores dando como resultado un ESCALAR. El producto no es nada más que la multiplicación de los módulos de los dos vectores y del coseno del ángulo que forman los mismos. 𝐴 · 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃

Fig. 1.22 Producto escalar

Sean dos vectores: 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘 Se define el producto escalar o punto así: 𝐴 · 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + (𝐴𝑧 𝐵𝑧 ) Ejemplo: 𝐴 = 2𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘 𝐵 = 4𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘 𝐴 · 𝐵 = 2 · 4 + 3 · 2 + (4 · (−6)) 𝐴 · 𝐵 = 8 + 6 − 24 𝑨 · 𝑩 = −𝟏𝟎 Fís. Lenin Jácome

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1.5.2.3.1. Propiedades



ES CONMUTATIVO: esto, el orden en que se coloquen los factores no altera el resultado:



𝐴·𝐵 =𝐵·𝐴 ES DISTRIBUTIVO: el producto de un vector por la suma de otros dos es igual a la suma del producto de ese vector por cada uno de los otros dos:



𝐴 · 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 NO ES ASOCIATIVO: no puede alterarse el orden en el que se efectúen las operaciones: 𝐴 · 𝐵 · 𝐶 ≠ (𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶

1.5.2.4.

Producto Vectorial

A esta relación entre dos vectores, se le conoce también como “Producto Cruz” y su resultado como el nombre lo indica es un VECTOR. Su módulo es igual al producto de los módulos de cada uno de los vectores por el seno del ángulo formado entre ellos: 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 El vector que se obtiene es perpendicular al plano que forman los dos vectores que forman parte de la operación, o también se pude afirmar que es perpendicular a cada uno de ellos. El sentido de dicho vector se determina por la “regla de la mano derecha” que consiste en orientar los dedos de la mano derecha en la dirección en la que rota el primer vector del producto respecto al segundo. El dedo pulgar se orientará en la dirección del vector resultante. Esto lo puede observar en la figura siguiente:

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Fig. 1.23 Producto Vectorial y Regla de la mano derecha

El desarrollo de este producto se puede realizar ubicando adecuadamente a las direcciones y a los coeficientes en una matriz, de la siguiente manera:

Sean dos vectores:

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘

Se define este procedimiento para hallar el producto vectorial o cruz así: 𝑖 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥

𝑗 𝐴𝑦 𝐵𝑦

𝑘 𝐴𝑧 = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖 − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑗 + (𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 ) 𝑘 𝐵𝑧

Que consiste en lo siguiente:

1. Una matriz cuadrada tiene dos diagonales, un principal que va desde arriba izquierda hacia abajo derecha y una secundaria que va desde abajo izquierda hacia arriba derecha.

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2. Si se desea calcular la componente 𝑖, se elimina la primera columna (vertical) y se considera solamente los coeficientes. Después se procede a multiplicar los coeficientes de la diagonal principal y se los resta con el producto de los coeficientes de la diagonal secundaria, al final se añade la dirección 𝑖 , así: ⋮ 𝑗 ⋮ 𝐴𝑦 ⋮ 𝐵𝑦

𝑘 𝐴𝑦 𝐴𝑧 = 𝐵𝑦 𝐵𝑧

𝐴𝑧 = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖 𝐵𝑧

3. Para calcular la componente 𝑗, se elimina la segunda columna (vertical) y se considera solamente los coeficientes. Después se procede a multiplicar los números de la diagonal principal y se los resta con el producto de los coeficientes de la diagonal secundaria, al final se añade la dirección 𝑗. Al final y SOLO PARA ESTA COMPONENTE, se añade el signo MENOS. Así: 𝑖 𝐴𝑥 𝐵𝑥

⋮ ⋮ ⋮

𝑘 𝐴𝑥 𝐴𝑧 = 𝐵 𝑥 𝐵𝑧

𝐴𝑧 = − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑗 𝐵𝑧

4. Luego, para calcular la componente 𝑘, se elimina la tercera columna (vertical) y se considera solamente los coeficientes. Después se procede a multiplicar los números de la diagonal principal y se los resta con el producto de los coeficientes de la diagonal secundaria, al final se añade la dirección 𝑘, así: 𝑖 𝐴𝑥 𝐵𝑥

𝑗 𝐴𝑦 𝐵𝑦

⋮ 𝐴 ⋮ = 𝑥 𝐵𝑥 ⋮

𝐴𝑦 = (𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 ) 𝑘 𝐵𝑦

5. Por último, se unen los tres resultados y se obtiene la expresión mencionada anteriormente: 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖 − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑗 + (𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 ) 𝑘

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Ejemplo:

𝐴 = 4𝑖 + 7𝑗 + 5𝑘 𝐵 = 11𝑖 − 8𝑗 + 2𝑘

𝑖 𝐴×𝐵 = 4 11

𝑗 𝑘 7 5 = 14 + 40 𝑖 − 8 − 55 𝑗 + (−32 − 77) 𝑘 −8 2

𝑨 × 𝑩 = 𝟓𝟒𝒊 + 𝟒𝟕𝒋 − 𝟏𝟎𝟗𝒌

1.6.

Componentes de un vector

Un vector puede representarse como la suma de dos vectores que se encuentran sobre los ejes x e y respectivamente. Estos vectores reciben el nombre de “Componentes de un vector”. Esto se puede apreciar en la siguiente figura:

Fig. 1.24 Componentes de un vector

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Las componentes del vector A: Ax y Ay, se pueden calcular mediante las siguientes relaciones: 𝐴𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝐴𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Las expresiones anteriores se obtienen de aplicar las funciones trigonométricas seno y coseno al triangulo rectángulo que se observa en la figura y que está formado por los dos catetos (componentes del vector) y la hipotenusa (módulo del vector A). Tal como se mencionó anteriormente. En cambio, si se conocen las componentes del vector, entonces es posible saber cuál es la magnitud y dirección del mismo. Para ello, basta aplicar el teorema de Pitágoras y la función trigonométrica arco tangente. Así: 𝐴=

𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 (Módulo o magnitud) 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1

𝐴𝑦 𝐴𝑥

(dirección)

Ejemplo: Sean las componentes de los vectores A y B, como se observan en la figura, obtener 𝐴 y 𝐵

Fig. 1.25 Ejemplo

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Se observa que se tiene como dato Ax, Ay, Bx y By, respectivamente, por tanto se puede expresar los vectores de la siguiente manera: 𝐴 = 5𝑖 + 6𝑗 y 𝐵 = −6𝑖 − 7𝑗 Nótese que hacia la derecha está el sentido X positivo (componente i) mientras que a la izquierda está el sentido X negativo (componente –i). Asimismo, hacia arriba se encuentra el sentido Y positivo (componente j), mientras que hacia abajo se halla el sentido Y negativo (componente –j). Con estos datos se puede obtener el módulo de los vectores y sus direcciones. Así: 52 + 62 = 61 = 7,81 6 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 → 𝜃 = 50,2° 5

𝐴=

(−6)2 + (−7)2 = 85 = 9,21 7 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 → 𝜃 = 49,39° 6

𝐵=

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AUTOEVALUACIÓN

    1. Obtener el vector suma A  B y el vector A  B de: (previamente transformar a coordenadas rectangulares)   A  (7[ N ];180º ) ; B  (20[ N ];37º )

         2. Sean: A  4i  3 j ; B  i  2 j ; C  3i  j . Halle de forma analítica y gráfica

(uno de los 3 métodos), las siguientes sumas vectoriales:   a. A  2 B   C  2 B b.    A  BC c.    d. A  B  C e. El módulo y la dirección del vector B f. El módulo y la dirección del vector C

3. Sean:     X  6i  4 j  2k    Y  3 j  k

    Z  i  3 j  7k

Efectuar las siguientes operaciones:

   a.  2 X  5Z  Y   b. Z  Y   c. 2Z  X   d. Z  Y   e. Z  X 4. Dada la dirección 𝜃 = 72° y la magnitud C = 24.5, hallar las componentes del vector 𝐶 Fís. Lenin Jácome

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Bibliografía 1. Wikipedia. Wikipedia. [Online] http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica. 2. Argentina, Universidad Tecnológica Nacional - Bahía Blanca -. Teoría de Mecánica del Sólido. [Online] http://www.frbb.utn.edu.ar/carreras/materias/mecanicadelsolido/apuntes/aprendice_i.htm. 3. Serway, Raimond. Física para Ciencias e Ingenierías. México : Thomson, 2006. Vol. 1. 4. Sistemas de referencia. [Online] http://ec.kalipedia.com/fisica-quimica/tema/movimientos/sistemasreferencia.html?x=20070924klpcnafyq_158.Kes&ap=0

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UNIDAD 2 Introducción a la Electricidad y Magnetismo

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

2.1.

Fuerza

Fig. 2.1 Ejemplo de Fuerza

La fuerza se puede definir como una magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles. Suele ser común hablar de la fuerza aplicada sobre un objeto, sin tener en cuenta al otro objeto con el que está interactuando; en este sentido la fuerza puede definirse como toda acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo (imprimiéndole una aceleración que modifica el módulo, dirección, o sentido de su velocidad), o bien de deformarlo.

2.1.1. Historia

El concepto de fuerza fue descrito originalmente por Arquímedes, si bien únicamente en términos estáticos. Galileo Galilei (1564 - 1642) sería el primero en dar una definición dinámica del mismo, opuesta a la de Arquímedes. Se considera que el primero que formuló matemáticamente la moderna definición de fuerza fue Isaac Newton, aunque también usó el término latino vis “fuerza” para otros conceptos diferentes. Además, Isaac Newton postuló que las fuerzas gravitatorias variaban según la ley de la inversa del cuadrado. Fig. 2.2 Busto de Arquímedes. Charles Coulomb fue el primero que comprobó que la interacción entre cargas eléctricas o electrónicas puntuales variaba también según la ley de la inversa del cuadrado (1784).

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Henry Cavendish fue el primero que logró medir experimentalmente (1798) la fuerza de la gravedad entre dos masas pequeñas, usando una balanza de torsión, gracias a lo cual pudo encontrarse el valor de la constante de la gravitación universal y, por tanto, pudo calcular la masa de la Tierra. Con el desarrollo de la electrodinámica cuántica a mediados del siglo XX se constató que "fuerza" era una magnitud puramente macroscópica, surgida de la conservación del momento para partículas elementales. Por esa razón las llamadas fuerzas fundamentales suelen denominarse "interacciones fundamentales". Arquímedes y otros creyeron que el "estado natural" de los objetos materiales en la esfera terrestre era el reposo y que los cuerpos tendían, por sí mismos, hacia ese estado si no se actuaba sobre ellos de ningún modo. De acuerdo con Aristóteles la perseverancia del movimiento requería siempre una causa eficiente (algo que parece concordar con la experiencia cotidiana, donde las fuerzas de fricción nos pasan desapercibidas). De hecho, la primera ley de Newton, que contradice la tesis de Arquímedes, y según la cual un objeto sobre el que no actúa ninguna fuerza permanece en movimiento inalterado, no resulta obvia para la mayoría de personas que la oyen por primera vez.

2.1.2. Unidades de fuerza

Definir la fuerza a partir de la masa y la aceleración, magnitudes en las que intervienen masa, longitud y tiempo, hace que sea una magnitud derivada. Este hecho atiende a las evidencias que posee la física actual, expresado en el concepto de Fuerzas Fundamentales, y se ve reflejado en el Sistema Internacional de Unidades.

 

 

Sistema Internacional de Unidades (SI) o Newton Sistema Técnico de Unidades o Kilogramo fuerza o Kilopondio (Kgf) o Gramo fuerza (gf) Sistema Cegesimal de Unidades o Dina Sistema Anglosajón de Unidades o Poundal o KIP

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o Libra fuerza (lbf)

2.2.

Tipos de fuerzas

Fuerza resulta ser la acción física responsable de los cambios del movimiento de los cuerpos. El término de fuerza es uno de los conceptos fundamentales sobre el que se basa la física actual. Las fuerzas son magnitudes vectoriales que, además de tener magnitud, tienen dirección y sentido. Estas se las puede encontrar en diferentes formas en la naturaleza.

2.2.1. Fuerza centrípeta y centrífuga

La fuerza centrípeta es la que actúa sobre un cuerpo (en un movimiento de rotación) atrayéndolo hacia el centro, venciendo las fuerzas de inercia y dando lugar a un movimiento circular. Si esta fuerza cesara el objeto se desplazaría en línea recta (si no se tuviera en cuenta la fuerza de gravedad), según la primera ley de Newton. Cuando se aplica una fuerza centrípeta, la tercera ley de Newton implica que en algún lugar debe actuar una fuerza de reacción de igual magnitud y sentido opuesto; la reacción es una fuerza dirigida hacia el exterior, o centrífuga. La fuerza centrifuga es aquella aparente (inercia) que se manifiesta en los cuerpos que giran y cuyo efecto es la separación de los cuerpos del centro de rotación. Esta se debe a que el giro hace variar continuamente el estado rectilíneo del movimiento del cuerpo, por lo que las fuerzas de inercia llevan a éste hacia afuera. Su efecto se aplica en las máquinas centrífugas para separar materiales según su masa, en los reguladores centrífugos para regular la velocidad de los motores y en aparatos domésticos como los lavarropas.

2.2.2. Fuerza de Rozamiento

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El rozamiento es un fenómeno físico que se manifiesta como una resistencia que opone un cuerpo al movimiento de otro que esté en contacto con él, o al movimiento relativo de las partículas en el interior de un material (líquido, gas). Puede ser interno o externo. En el interno corresponde a la fuerza que hace que los objetos oscilantes dejen de vibrar. Este tipo de rozamiento interno se denomina viscosidad cuando se trata de fluidos (líquidos o gases). El externo puede presentarse de dos maneras: rozamiento de deslizamiento o de rodadura. En el primero, la resistencia es provocada por las irregularidades de las superficies de los cuerpos en contacto; en el de rodadura, ésta se debe a interferencias por deformaciones o hendiduras que se forman al rodar un cuerpo sobre otro. La fuerza de rozamiento puede ser dinámica, cuando es paralela a la superficie de contacto de los cuerpos (y tiende a frenar el movimiento al ser igual y de sentido contrario a la fuerza que da lugar al movimiento), o estática, cuando es igual y de sentido contrario a la componente de la fuerza (paralela a la superficie) que produce el desplazamiento. El rozamiento entre dos superficies se mide por el coeficiente de fricción, que es el cociente entre la fuerza necesaria para mover dos superficies en contacto mutuo y la fuerza que presiona una superficie contra otra. El rozamiento entre dos objetos es máximo justo antes de empezar a moverse uno respecto a otro, y es menor cuando están en movimiento. El ángulo de rozamiento es el ángulo que hay que inclinar una superficie para que un objeto situado sobre ella comience a deslizarse hacia abajo. Este ángulo mide la eficacia de la fuerza de rozamiento para oponerse a la fuerza de la gravedad, que tiende a deslizar el objeto.

2.2.3. Fuerzas intermoleculares

Son fuerzas de atracción y repulsión. El comportamiento molecular depende en gran medida del equilibrio (o falta de él) de las fuerzas que unen o separan las moléculas. Las fuerzas de atracción, o de largo alcance, son responsables de la cohesión entre átomos o moléculas de un líquido o un sólido, y se oponen a la rotura o al corte.

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Son de naturaleza eléctrica, y se producen por interacción dipolo-dipolo (en moléculas polares), por inducción en un momento dipolar en moléculas polarizables, o por variaciones de la distribución de carga que inducen polarizaciones en moléculas contiguas (fuerzas de dispersión o de van der Waals). Estas fuerzas son las responsables de muchos fenómenos físicos y químicos como la adhesión, el rozamiento, la difusión, la tensión superficial y la viscosidad. Al aumentar el acercamiento entre las partículas, las fuerzas de atracción son atenuadas por las fuerzas repulsivas, o de corto alcance, las cuales disminuyen exponencialmente al aumentar la distancia. La energía de intercambio repulsiva es la responsable de la rigidez mecánica o impenetrabilidad de las moléculas y de los límites de compresibilidad de la materia. Las fuerzas intermoleculares desempeñan un importante papel en la estructura de las moléculas orgánicas y en la condensación de los gases.

2.2.4. Fuerza Normal

En física, la fuerza normal Fn (o N) se define como la fuerza de igual magnitud y dirección, pero diferente sentido, que ejerce una superficie sobre un cuerpo apoyado sobre la misma. Cuando un cuerpo está apoyado sobre una superficie, ejerce una fuerza sobre ella cuya dirección es perpendicular a la superficie. De acuerdo con la tercera ley de Newton o "Principio de acción y reacción", la superficie debe ejercer sobre el cuerpo una fuerza de la misma magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Las fuerzas debido al contacto son siempre perpendiculares (o normales) a la superficie de contacto. En general, la magnitud o módulo de la fuerza normal es la proyección de la fuerza resultante sobre cuerpo, Fr , sobre el vector normal a la superficie. Cuando la fuerza actuante es el peso, y la superficie es un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal, la fuerza normal se encuentra multiplicando la masa por g (la gravedad) y por la función trigonométrica de uno de los ángulos.

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Fig. 2.3 Fuerza normal en un plano inclinado

2.2.5. Fuerza Elástica

La fuerza elástica es la ejercida por objetos tales como resortes, que tienen una posición normal, fuera de la cual almacenan energía potencial y ejercen fuerzas. La fuerza elástica se calcula como:

F = - k ΔX

ΔX = Desplazamiento desde la posición normal k = Constante de elasticidad del resorte F = Fuerza elástica

Fig.2.4 Fuerza elástica

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2.2.6. Fuerza Electrostática

Fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas en reposo. La magnitud de esta fuerza es directamente proporcional al producto de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, según la ecuación:

Según lo dicho más arriba esta fuerza puede ser tanto de atracción como de repulsión. Es de carácter atractivo cuando ambas cargas son de signo opuesto, es decir, una carga positiva y una carga negativa. Si por el contrario ambas cargas son del mismo signo la fuerza es de tipo repulsivo. Este es el tipo de fuerzas que se originan, por ejemplo, en el núcleo del átomo, donde los protones están virtualmente juntos. El motivo de que los protones no se vean repelidos con una fuerza aparentemente infinita es la existencia de otra fuerza, la llamada interacción nuclear fuerte. Aunque la fuerza electrostática es sumamente fuerte y tiene un gran peso en procesos subatómicos no tiene excesiva importancia en cosmología, dado que la materia es normalmente eléctricamente neutra. 2.2.7. Fuerza Magnética

Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas cargadas, como por ejemplo electrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo. La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que actúa entre los materiales magnéticos como el hierro. Sin embargo, en toda la materia se pueden observar efectos más sutiles del magnetismo. Recientemente, estos efectos han proporcionado claves importantes para comprender la estructura atómica de la materia. Una barra imantada o un cable que transporta corriente pueden influir en otros materiales magnéticos sin tocarlos físicamente porque los objetos magnéticos producen un “campo magnético”. Los campos magnéticos suelen representarse mediante “líneas de campo magnético” o “líneas de fuerza”. En cualquier punto, la dirección del campo magnético es

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igual a la dirección de las líneas de fuerza, y la intensidad del campo es inversamente proporcional al espacio entre las líneas.

Fig. 2.5 Líneas de Campo Magnético

En el caso de una barra imantada, las líneas de fuerza salen de un extremo y se curvan para llegar al otro extremo; estas líneas pueden considerarse como bucles cerrados, con una parte del bucle dentro del imán y otra fuera. En los extremos del imán, donde las líneas de fuerza están más próximas, el campo magnético es más intenso; en los lados del imán, donde las líneas de fuerza están más separadas, el campo magnético es más débil. Según su forma y su fuerza magnética, los distintos tipos de imán producen diferentes esquemas de líneas de fuerza. La estructura de las líneas de fuerza creadas por un imán o por cualquier objeto que genere un campo magnético puede visualizarse utilizando una brújula o limaduras de hierro. Los imanes tienden a orientarse siguiendo las líneas de campo magnético. Por tanto, una brújula, que es un pequeño imán que puede rotar libremente, se orientará en la dirección de las líneas. Marcando la dirección que señala la brújula al colocarla en diferentes puntos alrededor de la fuente del campo magnético, puede deducirse el esquema de líneas de fuerza.

Igualmente, si se agitan limaduras de hierro sobre una hoja de papel o un plástico por encima de un objeto que crea un campo magnético, las limaduras se orientan siguiendo las líneas de fuerza y permiten así visualizar su estructura. Los campos magnéticos influyen sobre los materiales magnéticos y sobre las partículas cargadas en movimiento. En términos generales, cuando una partícula cargada se desplaza a través de un campo magnético, experimenta una fuerza que forma ángulos rectos con la velocidad de la partícula y con la dirección del campo. Como la fuerza siempre es perpendicular a la velocidad, las partículas se mueven en trayectorias curvas.

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Los campos magnéticos se emplean para controlar las trayectorias de partículas cargadas en dispositivos como los aceleradores de partículas o los espectrómetros de masas.

2.3.

Fuerzas fundamentales

En física, interacciones fundamentales se denominan a las cuatro interacciones fundamentales existentes en nuestro universo. Según el modelo estándar (teoría que describe las relaciones interacciones fundamentales conocidas entre partículas elementales que componen toda la materia), las partículas que interaccionan con las partículas materiales, fermiones, son los bosones. Fuerzas fundamentales, aquellas fuerzas del Universo que no se pueden explicar en función de otras más básicas. Las fuerzas o interacciones fundamentales conocidas hasta ahora son cuatro: gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil. 







La Fuerza gravitatoria es la fuerza de atracción que un trozo de materia ejerce sobre otro, y afecta a todos los cuerpos. Es una fuerza muy débil pero de alcance infinito. La fuerza electromagnética afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y es la fuerza involucrada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria y su alcance es infinito. La fuerza o interacción nuclear fuerte es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Su alcance es del orden de las dimensiones nucleares (10 15 m), pero es más intensa que la fuerza electromagnética. La fuerza o interacción nuclear débil es la responsable de la desintegración beta de los neutrones; los neutrinos son sensibles únicamente a este tipo de interacción. Su intensidad es menor que la de la fuerza electromagnética y su alcance es aún menor que el de la interacción nuclear fuerte (10-18 m).

FUERZAS FUNDAMENTALES Interacción Fuerte Electromagnética Débil Gravitacional

Intensidad Relativa 1 0.0073 10-9 10-38

Alcance Corto Largo Muy Corto Largo

Partícula Mediadora Gluón Fotón W,Z Gravitón

Tabla 2.1. Fuerzas fundamentales en la naturaleza

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Todo lo que sucede en el Universo es debido a la actuación de una o varias de estas fuerzas que se diferencian unas de otras porque cada una implica el intercambio de un tipo diferente de partícula, denominada partícula de intercambio o intermediaria. Todas las partículas de intercambio son bosones, mientras que las partículas origen de la interacción son fermiones. En la actualidad, los científicos intentan demostrar que todas estas interacciones, aparentemente diferentes, son manifestaciones, en circunstancias distintas, de un modo único de interacción. El término “teoría del campo unificado” engloba a las nuevas teorías en las que dos o más de las cuatro fuerzas fundamentales aparecen como si fueran básicamente idénticas. La teoría de la gran unificación intenta unir en un único marco teórico las interacciones nuclear fuerte y nuclear débil, y la fuerza electromagnética. Esta teoría de campo unificado se halla todavía en proceso de ser comprobada. La teoría del todo es otra teoría de campo unificado que pretende proporcionar una descripción unificada de las cuatro fuerzas fundamentales. Hoy, la mejor candidata a convertirse en una teoría del todo es la teoría de supercuerdas. La comunidad científica prefiere el nombre de interacciones fundamentales al de fuerzas debido a que con ese término se pueden referir tanto a las fuerzas como a los decaimientos que afectan a una partícula dada.

2.3.1. Historia

La historia de la física ha ido acompañada de la idea de unificación, de encontrar un conjunto de leyes simples que describan el universo. Galileo hizo una completa descripción de los efectos de la gravedad en la tierra y Kepler describió por primera vez el movimiento planetario. Para ese momento se creía que ambos fenómenos eran distantes hasta que Isaac Newton en su Principia de 1668 los describió bajo el mismo concepto, la fuerza gravitatoria. Por otro lado, antes del siglo XIX, varios científicos como Stephen Gray, Joseph Priestley, Charles Coulomb y Alessandro Volta habían ya descrito casi en su totalidad el fenómeno eléctrico. En 1820, Hans Christian Orsted fue el primero en descubrir perturbaciones magnéticas cercanas a corrientes eléctricas. A partir de este descubrimiento los experimentos no cesaron hasta que finalmente James Clerk Maxwell en 1861 fue el primero en derivar una ecuación de onda electromagnética, quedando unificados estos otros dos fenómenos en el electromagnetismo.

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Con el desarrollo de la mecánica cuántica se descubrieron dos tipos más de fuerzas a las que no se las podía incluir en las dos ya existentes, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil. Con el posterior desarrollo del modelo estándar se encontró a las partículas portadoras de dichas fuerzas, los bosones. Los científicos prefieren el término de interacción al de fuerza debido a que se piensa en las fuerzas como interacciones entre bosones, además que la desintegración beta es causada por bosones W y Z de la interacción débil y ésta no es debido a la presencia de los bosones. Hasta que en 1960, Glashow, Salam y Weinberg postularon que la fuerza nuclear débil podía unificarse a la electromagnética en una sola interacción electrodébil. Estas dos interacciones a bajas energías parecen dos diferentes tipos de interacciones pero a temperaturas tan altas como las del big bang, éstas corresponden a una sola. En cuanto a la interacción fuerte, ésta y la electrodébil coexisten en el modelo estándar sin problemas pero se espera que las tres interacciones cuánticas puedan unificarse en una interacción electronuclear. Finalmente se cree que una unificación total que abarcaría a todas las cuatro interacciones pero hasta el momento no se ha encontrado una teoría contundente.

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2.4.

Autoevaluaciones

1. Con sus palabras, ¿Cuál sería un concepto de Fuerza? 2. ¿La fuerza es una magnitud vectorial o escalar? Justifique su respuesta 3. ¿Cuáles son las diferentes unidades de medida de la fuerza? 4. Describa brevemente los diferentes tipos de fuerzas. 5. ¿Por qué se denominan “fuerzas fundamentales”? 6. ¿Por qué se les conoce como interacciones? 7. Describa las interacciones fundamentales presentes en el universo. 8. ¿Qué es la teoría unificada?

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2.5.

Bibliografía

http://es.encarta.msn.com/encnet/refpages/RefArticle.aspx?refid=761592156 http://www.windows.ucar.edu/tour/link=/sun/Solar_interior/Nuclear_Reactions/Nuclear_forces/4 forces.sp.html http://www.wikipedia.com http://www.ciencia-ficcion.com/glosario/f/fuerelec.htm

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UNIDAD 3 Electrostática

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

3.1.

CARGAS ELECTRICAS

Para entender este asunto de las cargas eléctricas, es conveniente mencionar algunas cuestiones experimentales que fácilmente pueden hacerse de forma casera. Por ejemplo, pon unos papelitos sobre la mesa. Raspa una esfero contra tu ropa o contra el pelo. Luego acércale a los papelitos. Vas a ver que el esfero los atrae. Esto también puede pasar al cortar espumaflex, ahí quedan un montón de bolitas que se atraen. Algo parecido ocurre al peinarse. Un peine o un esfero frotados pueden atraer cosas y hacer que queden pegadas. Muchas veces pasa que uno frota una cosa y comprueba que después de frotado, el cuerpo empieza a atraer cosas. En física, se dice que esto sucede debido a que al frotar, el cuerpo " queda cargado".

Hay otros hechos raros que ocurren. A veces al ponerse un saco se escucha un "cri – cri". Incluso pueden llegar a salir chispas. A veces, cuando quieres bajarte del auto, agarras la manija y Sazzz!!! te coge la corriente. También pasa que uno puede recibir una descarga de la manija de una puerta. También de las patas de una silla. También pueden saltar chispas al tocar a una persona. (Por ejemplo al darle la mano) Cierto??? La explicación que en física se da a estas cosas raras es la siguiente: Los objetos que sacan chispas o que dan una descarga están "cargados eléctricamente". Es un poco complicado explicar que quiere decir la frase "estar cargado". Se supone que al frotar 2 cosas los electrones1 de uno de los objetos pasan al otro objeto. Entonces uno de los cuerpos pierde electrones y queda cargado positivamente. El otro cuerpo gana

1

Un electrón es una partícula que forma parte de un átomo, lleva carga negativa cuyo valor es 1,602x10 Coulombios Fís. Lenin Jácome

-19

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electrones y queda cargado negativamente. (Recuerda que los electrones son cargas negativas). Haciendo algunos experimentos se comprobó lo siguiente: 1. Hay 2 tipos de carga : positiva ( + ) y negativa ( - ) 2. Las cargas de distinto signo se atraen. Las cargas de igual signo se repelen 3. La fuerza de atracción (o de repulsión) disminuye a medida que aumenta la distancia entre las cargas. Todo esto es un poco parecido a lo que pasa en los imanes. Los imanes también se atraen y se repelen de acuerdo a si son del mismo polo o de polos distintos.

3.2.

LEY DE COULOMB

Las cargas eléctricas se miden en Coulomb (C). Se la representa como pelotas pequeñas o bolas. Supón que se tiene dos cargas Q1 y Q2 separadas una distancia “d”.

Como dijimos antes, si las cargas son iguales se van a repeler. Si las cargas en cambio son distintas se van a atraer. Para calcular la fuerza de atracción (o de repulsión) entre las cargas se usa la siguiente fórmula:

Esta fórmula se la llama LEY DE COULOMB. Nos da la fuerza que actúa sobre cada una de las 2 cargas separadas una distancia “d”. En esta fórmula:

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F es la fuerza de atracción (o repulsión) entre las cargas. Se mide en Newtons [N]. Q1 y Q2 son las cargas eléctricas. Se miden en Coulombs [C]. d es la distancia que separa a las cargas. Se pone en metros. Está elevada al cuadrado en la fórmula K es una constante. Se la llama constante de Coulomb. El valor de K es:

Epsilon Erre (εr) es la "Constante dieléctrica del material". εr es un número sin unidades. El valor de εr depende del material que haya entre las cargas.

Si entre las cargas hay aire o vacío, εr vale 1. Si entre las cargas hay algún material raro εr vale tendrá otro valor. En la mayoría de los casos el Epsilon Erre es dato.

Observa nuevamente la gráfica anterior. Es importante que sepas que la fuerza es de “interacción”, es decir la primera ejerce sobre la segunda una fuerza que le podemos llamar F12, asimismo la segunda ejerce sobre la primera una fuerza F21. Estas dos tienen el mismo módulo, pero diferente sentido. Si las dos cargas son del mismo signo, ocurre lo siguiente: F12 parte desde Q2 y apunta hacia la derecha, en cambio F21 parte desde Q1 y va hacia la izquierda. Aquí la fuerza es de repulsión. En cambio si las cargas son de diferente signo, ocurre lo siguiente: F12 parte desde Q2 pero ahora apunta hacia la izquierda, en cambio F21 parte desde Q1 y va hacia la derecha. Aquí la fuerza es de repulsión. Todo esto lo puedes observar en la siguiente gráfica:

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Ejemplo (Ley de Coulomb)

Se tienen 2 cargas positivas Q1 = +2 C y Q2 = +10 C separadas una distancia de 10 cm en el vacío. a. b. c. d.

Calcular la fuerza que actúa entre las cargas. Lo mismo si se pone entre las cargas un material de constante dieléctrica ε r = 10 ¿Qué ocurre si se duplica la distancia entre las cargas? Qué fuerza es mayor, ¿la que actúa sobre Q1 o la que actúa sobre Q2?

a) Planteo la ley de Coulomb. La fuerza que aparece va a ser de repulsión porque las 2 cargas son positivas. Hago un gráfico:

Reemplazo los valores en la ley de Coulomb. En el caso a) εr = 1 porque hay vacío. Entonces :

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b) Cuando pongo el material de constante dieléctrica εr = 10, la fuerza será F/εr. Es decir F = 9 x 1011 [N]. c) Si duplico la distancia entre las cargas la fuerza disminuye a la cuarta parte. Has cuentas. Esto pasa porque las fuerzas entre cargas varían con el inverso del cuadrado de la distancia. d) Las fuerzas sobre las dos cargas son iguales. Si la fuerza que la carga 1 ejerce sobre la carga 2 vale 9 x 1011 N, la fuerza que la carga 2 ejerce sobre la carga 1 también valdrá 9 x 1011 N. Esto es por acción y reacción.

3.2.1. OTRA MANERA DE ESCRIBIR LA LEY DE COULOMB

A veces la fórmula de Coulomb se pone en función de otra constante que se llama Epsilon 1

Cero ( ε0 ). En vez de usar la constante K se pone 4𝜋𝜀

0

1

Se lee "uno sobre cuatro PI Épsilon cero". Todo este número 4𝜋𝜀 reemplaza a la constante 0

K. Es decir,

1 4𝜋𝜀 0

9

2

2

= 9 × 10 [(𝑁 𝑚 )/𝐶 ].

Si despejas el valor de ε0 te da:

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Puede ser que en algún momento veas la ecuación de Coulomb escrita de esta manera.

Aclaraciones:

* Las cargas eléctricas pueden ser positivas o negativas. No hace falta ponerla con el signo en la fórmula de Coulomb. Uno pone todas las cargas con SIGNO POSITIVO y calcula el valor de la fuerza. Después se indica para donde apunta la fuerza diciendo si es de atracción o de repulsión.

* El signo positivo o negativo de las cargas no tiene un significado matemático. El hecho de hablar de cargas positivas y negativas es una convención. (O sea, la gente se puso de acuerdo en llamarlas así). Podrían haberlas llamado cargas " Norte " y cargas " sur " (como los polos de los imanes). O también cargas A y cargas B o cargas "lindas" y cargas "feas". Positivo y negativo son solo nombres.

3.3.

CAMPO ELECTRICO

Supongamos que tengo una carga grande que está quieta y no se mueve. Esta carga está pegada a la mesa con goma. Agarro una carga pequeña (en física se le llama “carga puntual”) y la voy poniendo a distintas distancias de la carga grande. A esta carga chica la voy a llamar carga de prueba. ( qP ). La voy a tomar positiva y de valor 1 Coulomb.

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Veo que ponga donde ponga la carga de prueba, aparece una fuerza sobre ella. Esta fuerza está generada por la carga grande que está fija a la mesa. Si se piensa un poco en el asunto, podemos llegar a la siguiente conclusión: La carga grande hace que aparezcan fuerzas todo a su alrededor. Se dice entonces que la carga genera una especie de "campo de fuerzas". A este campo que aparece alrededor de una carga se lo llama campo eléctrico. El campo eléctrico es un vector. Se lo nota con la letra E. La fórmula para calcularlo es:

Al calcular el campo eléctrico a una distancia “d” de una carga, lo que estoy calculando es la fuerza que actuaría en ese punto si yo pusiera ahí una carga de prueba de valor 1 Coulomb. Las unidades de E son newton sobre Coulomb. Pero también se lo puede poner en otras unidades que son voltios por metro.

La equivalencia es

EJEMPLO

Calcular el campo eléctrico a una distancia de 1 [m] de una carga Q = 10 coulomb

Hago un dibujo. El campo eléctrico a una distancia de 1 m es la fuerza que actúa sobre una carga de 1 C. Entonces:

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La fuerza que actúa a una distancia “d” la calculo por la ley de Coulomb. Uso la siguiente ecuación:

Suponiendo que la carga está rodeada por aire, la constante dieléctrica vale 1. Entonces el campo E vale:

Reemplazo por los datos:

E Q  9 x 109

N m 2 10 Coulomb x Coul 2 ( 1 m )2

E = 9 x 1010 Newton / Coulomb

3.4.

LINEAS DE FUERZA

Las líneas de fuerza alrededor de una carga indican para donde apunta el vector campo E en ese lugar. Más concretamente, las líneas de fuerza me muestran hacia dónde apunta la fuerza que actúa sobre una carga de prueba puesta en ese lugar. Las líneas de fuerza también se llaman líneas de campo.

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Si lo quieres ver de otra manera, puedes pensarlo así: Si una carga de prueba se coloca sobre una línea de fuerza, esa carga de prueba se va a mover siguiendo la dirección de la línea de fuerza. Para dibujar líneas de fuerza hay que acordarse que estas líneas SIEMPRE SALEN DE LAS CARGAS POSITIVAS Y ENTRAN EN LAS NEGATIVAS. Esto pasa porque por convención la carga de prueba qP se elige siempre positiva.

3.5.

CAMPO ELECTRICO ENTRE 2 PLACAS PLANAS PARALELAS

Supongamos que tengo 2 placas planas. Cada placa tiene un área A. Cargo las placas. Una placa tiene una carga Q positiva y la otra placa tiene una carga Q negativa. Ahora pongo las placas en forma paralela. Me queda algo así:

Entre las 2 placas va a aparecer una campo eléctrico E. El valor de este campo es:

La demostración de cómo se llega a esta expresión es un poco complicada. Si deseas saber cómo se la hace puedes revisar en un libro de Física.

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3.6.

LINEAS DE FUERZA ALREDEDOR DE UN DIPOLO

Un dipolo son 2 cargas separadas una cierta distancia. Las cargas pueden ser del mismo signo o de signo contrario. Si suponemos que la carga de prueba es positiva, las líneas de campo alrededor de un dipolo se distribuyen así:

DIPOLO CON CARGAS DEL MISMO SIGNO

3.7.

DIPOLO CON CARGAS DE SIGNO CONTRARIO

DIFERENCIA DE POTENCIAL (V, ΔV, VA -VB o VAB)

La diferencia de potencial entre 2 puntos A y B es EL TRABAJO QUE HAY QUE HACER PARA LLEVAR UNA CARGA DE 1 COULOMB DESDE A HASTA B. Se la nota como: V, ΔV, VA -VB o VAB

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La diferencia de potencial se mide en voltios. Es lo que en la vida diaria suele llamarse voltaje. A veces uno tiene 2 placas paralelas (como en los capacitores). Ahí puedo calcular la diferencia de potencial entre las placas con esta fórmula:

Al ΔV se lo suele poner directamente como V. A la distancia “ΔX” se la suele llamar “d”. Así que la fórmula queda DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PLACAS PLANAS CARGADAS

3.8.

TRABAJO PARA MOVER UNA CARGA DE A a B

La diferencia de potencial entre placas es el trabajo para mover una carga de 1 Coulomb de una placa a la otra. Si en vez de mover una carga de 1 Coulomb, quiero mover una carga q, el trabajo que tengo que hacer va a ser igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre las 2 placas. O sea, L = q x V. Como V = E x d me queda:

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EJEMPLO

Entre 2 placas planas cargadas separadas una distancia de 10 cm hay un campo eléctrico de 20 volt / metro. ¿Qué trabajo hay que hacer para mover una carga de 5 coulomb de una placa a la otra?

Respuesta: El trabajo para llevar una carga de una placa a la otra es LAB = q . E . d . El campo de 20 volt por metro es equivalente al de 20 Newton/Coulomb. Entonces: LAB = 5 Coul x 20 Newton/Coul x 0,1 m LAB = 10 Joules ACLARACIONES: F12 y F21 SON ACCION – REACCION Cuando uno tiene 2 cargas separadas una cierta distancia, calcula la fuerza de atracción o de repulsión con la fórmula de Coulomb.

LAS FUERZAS QUE APARECEN SON ACCION Y REACCION

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La fuerza que se calcula es tanto la que actúa sobre la carga 1 como la que actúa sobre la carga 2. Estas fuerzas son un PAR ACCIÓN – REACCIÓN. Son opuestas y valen lo mismo. No importa que una de las cargas sea más grande que la otra.

3.9.

LOS EXPERIMENTOS NO SALEN

Uno puede hacer experimentos para tratar de ver las fuerzas eléctricas. Por ejemplo, puedes cortar pelotitas de espuma flex o algo por el estilo. La cosa es que a veces uno frota un cuerpo y la fuerza eléctrica no aparece. Eso pasa por la humedad que hay en el ambiente. La humedad del aire hace que los cuerpos se descarguen. Vas a ver que las descargas de las manijas de los autos o de los carritos de supermercados sólo aparecen los días SECOS.

A veces al comprar tarjetas o placas madres para la computadora hay un cartel que dice que NO hay que tocar la plaqueta con la mano. Eso es por la electricidad estática que uno puede llegar a tener. En la práctica, si uno está en un lugar con mucha humedad relativa, no hay problema. Puedes tocar la placa (y en especial los chips) todo lo que quieras y no la vas a arruinar.

El mili-COULOMB (mC) y el micro-COULOMB (µC) Conviene recordar estas equivalencias:

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COLITA RUTERA Los autos y los camiones se cargan porque rozan con el aire. Por eso a veces dan una descarga cuando uno los toca. Para evitar esto, la gente a veces suele poner una cadenita o una especie de goma colgada que va tocando el piso (colita rutera). Esto descarga las cargas del auto y las pasa al suelo.

CARGA DE UN ELECTRÓN Las cargas negativas en realidad son electrones cargados. La carga que tiene un electrón es -1,60 x 10 -19 Coulomb. A su vez 1 Coulomb = 6,23 x 1018 electrones.

EL ELECTRON-VOLT Un electrón volt (eV) es la energía que adquiere un electrón al pasar a través de una diferencia de potencial de un volt. Un eV equivale a 1.6 x 10 -19 joules, o bien un joule son 6.2 x 1018 eV

¿QUÉ TE COJE LA CORRIENTE? Si eres propenso a que las cosas te den descargas, tienes que tratar de no ir muy aislado. Por ejemplo, no uses zapatillas de goma, sacos o busos de nylon o cosas por el estilo.

LOS RAYOS Las nubes se cargan con electricidad estática. Digamos que se frotan unas con otras y adquieren carga. (Así dicen). Eso causa que cada cierto tiempo se descarguen por medio de una gigantesca chispa que se llama rayo.

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CAMPO ELÉCTRICO ALREDEDOR DE UN PRESIDENTE Si uno hila finito, la idea de campo eléctrico es muy interesante. Fíjate que al poner una carga eléctrica en algún lugar, aparece un campo de fuerza. Es decir, todo el espacio alrededor de la carga "se modifica". Es algo parecido a poner al presidente de la república en medio de la facultad. Al ver al presidente toda la gente se alteraría y se armaría un alboroto. Sin embargo, fíjate que el presidente en sí no hace nada. El tipo está ahí, y por el hecho de estar ahí, ya todo el espacio a su alrededor se modifica. Hay una especie de "campo de fuerza a su alrededor". IMANES Si quieres tener una idea de cómo se comporta una carga eléctrica o de cómo va a ser un campo eléctrico, puedes pensarlo como si fueran imanes. Imaginándose un imán uno puede ver un poco más clara la cosa.

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3.10.

Autoevaluaciones

1. Con sus palabras, ¿Qué es una carga eléctrica? 2. ¿Cuáles son los tipos de cargas existentes? 3. ¿Qué ocurre cuando se tienen dos cargas del mismo signo? 4. ¿Qué ocurre cuando se tienen dos cargas de diferente signo? 5. ¿Por qué se denominan “fuerzas fundamentales”? 6. ¿Qué dice la Ley de Coulomb? 7. ¿Cuánto vale la constante K? 8. ¿Qué es εr, que valores puede tomar y qué indica? 9. ¿Qué es el campo eléctrico? 10. ¿En qué unidades se mide el campo eléctrico? 11. ¿Qué significa “inverso del cuadrado de la distancia”? 12. ¿Cuál es el signo de la carga de prueba? 13. ¿El campo eléctrico es una magnitud vectorial o escalar? 14. ¿Qué son las líneas de fuerza? Descríbalas 15. En sus palabras, describa el campo eléctrico entre dos placas paralelas. 16. ¿Qué es un dipolo? 17. Dibuje las líneas de fuerza de un dipolo con cargas diferentes y otro con cargas iguales

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18. ¿Qué es la diferencia de potencial, en qué unidades se mide y cómo se calcula? 19. ¿Para qué sirven los Coulombios? 20. ¿Qué es un electrón voltio? 21. Una carga de 4,5x10-9 C está a una distancia de 3,2 m de una carga de -2,8x10-9 C. Determine la fuerza electrostática que una carga ejerce sobre la otra. 22. Se tiene 3 cargas puntuales ubicadas como se observa en la figura. a. Encuentre la fuerza electrostática que se produce en la carga ubicada en el origen, debido a las otras dos cargas. b. Calcule el campo eléctrico producido por la carga de 5 nC ubicada en el origen.

NOTA: 1 nC = 1 nano-Coulomb = 1x10-9 Coulombios

23. Tres cargas puntuales yacen a lo largo del eje x como se ve en la figura. La carga positiva q1 = 15 μC esta a x = 2 m, la carga positiva q2 = 6 μC se encuentra en el origen, y la fuerza resultante (neta) sobre q3 es cero. ¿Cuál es la coordenada x de q3?

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