T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

1

ÁNGULOS: ARCOS Y SUS MEDIDAS

1.1

ÁNGULOS Y ARCOS

Para representar un ángulo orientado utilizamos un sistema de coordenadas. Hacemos coincidir el lado origen, OA, con el semieje positivo de las abscisas. La posición del lado extremo, OB, dependerá de la amplitud del ángulo α. Comenzamos con los dos lados coincidiendo. Ahora, giramos 0B alrededor de O. En cada posición de giro, 0B determina un ángulo con 0A: el ángulo A0B. Al considerar los ángulos como giros, se puede hablar de sentido del giro.

B

Se considera los ángulos generados en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivos, y a los generados en el mismo sentido como negativos.

O

Según la ilustración de la derecha el ángulo A0B es positivo y el ángulo A0B' es negativo.

α -α

A

B´ Antes de iniciar el giro, los lados 0A y 0B coinciden formando un ángulo de 0° (en el sistema sexagesimal). Al girar 0B, en sentido contrario a las manecillas del reloj, irá generando un ángulo cada vez mayor y cuando vuelva a coincidir 0B con 0A se habrá efectuado un giro completo, generándose un ángulo giro cuya medida es de 360°. 0B puede continuar girando y engendrar un ángulo de cualquier medida. Para reducir un ángulo al primer giro, dividiremos la medida entre 360º para saber cuántas vueltas completas contiene. El resto de la división nos proporciona el ángulo equivalente del primer giro. Ejemplo:

2560º 40º

360º 7

⇒ 2560º = 4 · 360º + 40º

Los ángulos se clasifican según el cuadrante al que pertenece el lado extremo:

II

I I CUADRANTE:

α

0º < α < 90º

II CUADRANTE: 90º < α < 180º

O

III CUADRANTE: 180º < α < 270º IV CUADRANTE: 2700º < α < 3600º

III

Luisa Muñoz

IV

- 1-

T3: TRIGONOMETRÍA

1.2

1º BCT

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS Sistema sexagesimal: El grado

Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medida está basada en la división en partes iguales de una circunferencia. Cada una de las 360 partes iguales en las que se divide la circunferencia, se denomina grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto, en 60 segundos. De esta forma, tenemos las siguientes equivalencias: •

360º = un giro completo alrededor de una circunferencia

•

180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia (ángulo llano)

•

90º = 1/4 de vuelta (ángulo recto) 90º Circunferencia→ 360º 180º

0º = 360º

1º = 60´   → 1º = 3600" 1' = 60" 

270º

Sistema circular: El radián Cuando se quiso utilizar el sistema sexagesimal en física, para poder calcular el camino desarrollado por una partícula en trayectoria circular, se encontraron que este sistema no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. Vamos a definir otra unidad angular, el radián, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo que trabajar con grados sexagesimales. Un ángulo mide un radián si el arco correspondiente tiene la misma longitud que el radio con el que se ha trazado. Es decir, si se toma cualquier circunferencia de radio r y se lleva esta longitud r sobre un arco de la circunferencia, el ángulo determinado por el arco y sus radios extremos mide un radián. La magnitud de un ángulo cualquiera medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que abarca, dividido por el valor del radio.

Medida del ángulo α expresado en radianes:

π 2

M

π

α O

longitud arco MN MN α= = radio circunferencia OM Si trazamos una circunferencia de radio 2 cm y marcamos un arco de 8 cm, el ángulo correspondiente medirá 4 radianes.

0 − 2π

N

3π 2

De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; sólo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes.

Longitud del arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia] Luisa Muñoz

- 2-

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

Equivalencia sexagesimal – circular Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2π r = 2π), entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia: 2

radianes = 360º

radianes = 180º

↔

A partir de esta igualdad, determinamos las siguientes equivalencias: 90º =

π rad 2

π rad 3

60º =

45º =

π rad 4

30º =

π rad 6

Paso grados – radianes

Se multiplica el ángulo por la fracción

π rad 180º

Ejemplo 1: Pasar a radianes el ángulo α = 150º

α = 150º ·

π rad 180º

⇒ α=

300 5π π= rad 180 6

Ejemplo 2: Pasar a radianes el ángulo α = 3º 36´

α = 3º 36´= 3, 6º ⇒ α = 3, 6º ·

π rad 180º

⇒α=

π rad 5

Paso radianes – grados

Se multiplica el ángulo por la fracción

180º , tomando π ≅ 3,14 como aproximación π rad

Ejemplo 1: Pasar a grados el ángulo α =

π rad 8 α=

CALCULADORA:

180

π 180º 180º = = 22,5º = 22º 30´ rad · 8 π rad 8 :

8

=

22,5

º ´ ´´

22º 30´

Ejemplo 2: Pasar a grados el ángulo α =

7π rad 4

α = 1´5 rad ·

CALCULADORA:

Luisa Muñoz

180

·

1,5

180º 1´5·180º = ≃ 85,99º = 85º 59´24" π rad 3´14 :

3,14

=

85,99º

º ´ ´´

85º 59´ 24”

- 3-

T3: TRIGONOMETRÍA

2

1º BCT

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

2.1

DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo son las siguientes: C

∆ABC, rectángulo en A: a: hipotenusa b, c: catetos

a

b

α

A

c

B

Seno de α: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

sen α =

b a

Coseno de α: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa

cos α =

c a

Tangente de α: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente

tg α =

b c

A partir de éstas se definen las inversas: Cotangente de α: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto

ctg α =

c b

Secante de α: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo

sec α =

a c

Cosecante de α: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo

cosec α =

a b

Ejemplos: 1.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 5 cm y uno de los catetos mide 3 cm. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto. Aplicamos el Teorema de Pitágoras: 2

2

2

2

2

c = a – b = 5 – 3 = 25 – 9 = 16 ⇒ c = 4 cm A menor lado se opone menor ángulo, calculamos las razones del ángulo B:

3 = 0, 6 5

cosec B =

cos B =

4 = 0,8 5

sec B =

5 = 1, 25 4

3 = 0, 75 4

ctg B =

4 = 1,33 3

C a=5 b=3 A

Luisa Muñoz

c=4

B

5 = 1, 67 3

sen B =

tg B =

- 4-

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

2.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15 cm, hallar las razones trigonométricas del ángulo mayor. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras: 2

2

2

2

2

a = b + c = 8 + 15 = 64 + 225= 289 ⇒ c = 17 cm Por tanto, el ángulo mayor es C

C

⌢ 17 = 1,13 15

sen C =

15 ≈ 0,882 17

cosec C =

cos C =

8 ≈ 0, 471 17

sec C =

17 = 2,125 8

ctg C =

⌢ 8 = 0,53 15

a = 17 b=8 A

B

c = 15

tg C =

2.2

15 = 1,875 8

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS SEMEJANTES

¿Qué pasaría si sobre el ángulo α anterior hubiéramos trazado otro triángulo rectángulo distinto? Basándonos en la semejanza de los triángulos, construidos ABC, AB´C´ y AB”C”, podemos afirmar que las razones trigonométricas que se obtienen son las mismas. Al ser los triángulos semejantes se cumple que los lados homólogos son proporcionales: Los triángulos ABC, AB´C´ y AB”C” son semejantes por tener sus ángulos iguales. Por tanto, se cumple:

C´´ B´ B

A

BC = B´C´ = B´´C´´ AB AB´ AB´´

Calculamos el seno del ángulo α en cada uno de ellos:

α C

C´

B´´ Sen α

En ABC BC AB

En AB´C´ B´C´ AB´

En AB´´C´´ B´´C´´ AB´´

Las razones trigonométricas dependen del ángulo, pero no de las dimensiones del triángulo. Por ejemplo, para calcular sen 15º hay que dibujar un triángulo rectángulo de forma que uno de sus ángulos agudos mida 15º. Trazamos dos triángulos con las siguientes medidas: 18 15º

sen 15º = 4´66 = 0´26 18

15º

sen 15º = 2´6 = 0´26 10

4,66 17,39

10 2,66 9,66 Luisa Muñoz

- 5-

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

Actividades resueltas 1.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo mayor de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 5 cm y uno de los catetos mide 3 cm. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto. Aplicamos el Teorema de Pitágoras. 2

2

2

2

2

c = a – b = 5 – 3 = 25 – 9 = 16 ⇒ c = 4 cm Como a mayor lado se opone mayor ángulo, calculamos las razones del ángulo C: C a=5 b=3 A

B

c=4

sen C =

4 = 0,8 5

cosec C =

cos C =

3 = 0, 6 5

sec C =

5 = 1, 67 3

ctg C =

3 = 0, 75 4

4 = 1,33 3

tg C =

5 = 1, 25 4

2.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15 cm, hallar las razones trigonométricas del ángulo mayor. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras: 2

2

2

2

2

a = b + c = 8 + 15 = 64 + 225= 289 ⇒ c = 17 cm Por tanto, el ángulo mayor es C

C a = 17 b=8 A

c = 15

B

⌢ 17 = 1,13 15

sen C =

15 ≈ 0,882 17

cosec C =

cos C =

8 ≈ 0, 471 17

sec C =

17 = 2,125 8

ctg C =

⌢ 8 = 0,53 15

tg C =

15 = 1,875 8

3.- Resolver los triángulos rectángulos en C de los que se conocen:

A = 90º – 42º = 48º 42º

tg 42º =

= 16

b ⇒ b ≅ 16 · 0,9 ≅14,4 m 16

cos 42º =

16 16 ⇒c≅ = 21, 6 c 0, 74

A = 90º – 38º = 51º 38º

tg 38º =

7 7 ⇒a≅ = 8,97 m a 0, 78

=7

sen 38º =

Luisa Muñoz

7 16 ⇒c≅ = 25,8 m c 0, 62

- 6-

T3: TRIGONOMETRÍA

2.3

1º BCT

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Los valores de las razones trigonométricas de un ángulo están relacionados entre sí, de tal manera que, conociendo uno de ellos, podemos calcular los demás. Las relaciones que los ligan se denominan relaciones fundamentales de trigonometría: Fórmula fundamental:

sen2 α + cos2 α = 1

Demostración:

Al ser el triángulo ABC rectángulo, se verifica el teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 Dividiendo toda la igualdad por a2, se tiene: C

 b2   c2  1=  2  +  2  a  a  Teniendo en cuenta que

sen α =

b a

; cos α =

a b

c a

A

α c

B

sustituyendo se obtiene la fórmula: sen2 α + cos2 α = 1

También son fáciles de deducir las siguientes relaciones:

1) tg α =

sen α cos α

b cateto opuesto a α sen α b = a = = Por definición: = tg α c cos α c cateto contiguo a α a

2) sec α =

1 cos α

a a 1 Por definición: sec α = = a = c c cos α a

3) cosec α =

1 sen α

Por definición: cosec α =

4) cotg α =

1 tg α

Por definición: cotg α = Luisa Muñoz

a a 1 = a = b b s en α a

c c 1 = c = b b tg α c - 7-

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

Empleando la fórmula fundamental, obtenemos: 5) tg 2 α + 1 =

1 = sec2 α cos 2 α

6) ctg 2 α + 1 =

1 = cosec 2 α sen 2 α

Demostración:

Si dividimos todos los términos de la fórmula fundamental sen2 α + cos2 α = 1 entre cos2 α, obtenemos la siguiente relación: sen 2α + cos 2 α = 1 →

sen 2 α + cos 2 α = 1 cos 2 α cos 2 α cos 2 α

→ tg 2 α + 1 =

1 cos 2 α

Si dividimos todos los términos de la fórmula fundamental sen2 α + cos2 α = 1 entre sen2 α, obtenemos la siguiente relación: sen 2 α + cos 2 α = 1 →

sen 2 α cos 2 α 1 + = 2 2 sen α sen α sen 2 α

→ ctg 2 α + 1 =

1 = cos ec2 α sen 2 α

Ejemplos:

1.- Sabiendo que sen α =

sen α =

1 , halla las restantes razones trigonométricas. 4

1 → cosec α = 4 4

Sustituyendo en la primera fórmula: 2

 1  + cos 2 α = 1 → cos 2 α = 1 − 1 = 15 → cos α =   16 16 4

15 = 15 → sec α = 16 4

4 4 15 = 15 15

Aplicando la segunda fórmula:

tg α =

1

4 = 1 = 15 → cotg α = 15 15 15 4

2.- Si cos α =

cos α =

15

1 , calcular las restantes razones. 2

1 → sec α = 2 2

Sustituyendo en la primera fórmula: 2

1 3 1 2 2   + s en α = 1 → s en α = 1 − = → s en α = 4 4 2

tgα =

3 3 1 2 2 3 = → cosec α = = = s en α 3 4 2 3

3 s en α 2 = 3 ⇒ cotg α = 1 = 1 = 3 = 1 tg α 3 cos α 3 2

Luisa Muñoz

- 8-

T3: TRIGONOMETRÍA

3

1º BCT

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

Se denomina circunferencia trigonométrica, o goniométrica, a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. Consideremos la circunferencia goniométrica. Como hemos visto, el valor de las razones trigonométricas no dependen del punto que tomemos sobre su lado extremo. Así que podemos tomar el punto P(x,y) del lado situado sobre la circunferencia goniométrica, como muestra la figura de la derecha. Vemos que al dibujar el ángulo α, tenemos un triángulo rectángulo OPM, con lo cual podemos definir: sen α =

cateto opuesto a α PM y = = =y hipotenusa OP 1

cos α =

cateto contiguo a α OM x = = =x hipotenusa OP 1

α M

tg α =

cateto opuesto a α OP y = = cateto contiguo a α OM x

Es decir, observamos: o

El seno del ángulo α es el segmento que coincide con el cateto opuesto y su medida coincide con la ordenada y del punto P asociado a α.

o El coseno del ángulo α es el segmento que coincide con el cateto contiguo y su medida coincide con la abscisa x del punto P asociado a α. Por tanto, el punto P(x,y) se puede escribir como P(cos α, sen α) para algún ángulo α.

3.1

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

El cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y".

I II III IV Luisa Muñoz

seno + +

coseno +

tangente + +

+ - 9-

T3: TRIGONOMETRÍA

3.2

o

1º BCT

VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS El seno de un ángulo es el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa, por tanto nunca puede ser mayor que uno. Generalizando a los cuatro cuadrantes, se tiene: -1 ≤sen α≤1 ⇔ | sen α | ≤ 1

o

El coseno de un ángulo es el cateto contiguo dividido entre la hipotenusa, por tanto nunca puede ser mayor que uno. Generalizando a los cuatro cuadrantes, se tiene: -1 ≤cos α ≤ 1 ⇔ | cos α | ≤ 1

o

La tangente de un ángulo es el cateto opuesto dividido entre el cateto contiguo, por tanto puede tomar cualquier valor. Se tiene: -∞ ≤ tg α ≤ ∞ Además, no siempre existe la tangente de un ángulo: los ángulos cuyo coseno es 0, no tienen tangente.

3.3

UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA

Las calculadoras científicas tienen las teclas: sin (seno), cos

(coseno) y tan (tangente).

Para utilizarlas correctamente, hay que poner la calculadora en el “modo DEG” . De esta forma los ángulos se medirán en grados sexagesimales. La tecla º ´ ´´ sirve para expresar en forma decimal un ángulo dado en grados, minutos y segundos. Precedido de la tecla INV hace lo contrario: pasa de forma decimal a sexagesimal. Ejemplos: El ángulo 57º 8´24´´ se anota así: 57

º ´ ´´

8

º ´ ´´

57.133333

24

º ´ ´´

57.14

Para pasar a grados, minutos y segundos un ángulo dado en forma decimal: 57.14 INV

º ´ ´´

57º 8´24´´

Para calcular sen 15º basta con teclear el ángulo y, después, pulsar la tecla sin : 15

SIN

0,258819045

Para determinar qué ángulo α, verifica que sen α =1/2, empleamos la combinación INV sin 1

ab/c

2

INV

SIN

=

30

La calculadora nos da el ángulo más pequeño, aunque no es el único, el conjunto de soluciones es sen α =

Luisa Muñoz

α = 30º + 360º ·k 1 ⇒ 2 α = 150º + 360º ·k - 10 -

T3: TRIGONOMETRÍA

3.4

1º BCT

RAZONES TRIGONOÉTRICAS DE CIERTOS ÁNGULOS

Angulo 30º y 60º El triángulo OPP´es equilátero, por medir todos sus ángulos iguales, 60º.

Por tanto el lado PP´= 1 → AP = 1/2 2

OA =

1 12 −   = 2

sen 30º =

3 3 = 4 2

AP 1 AP 1 = → cos 60º = = OP 2 OP 2

3 3 OA OA → sen 60º = = = OP 2 OP 2 1 AP 1 3 OA = 2 = = → tg 60º = = tg 30º = AP OA 3 3 3 2

cos 30º =

3

Angulo 45º El triángulo es isósceles; por lo tanto, OA = AP Como OA2 + AP2 = 1 → 2 AP2 = 1 → AP = sen 45º = cos 45º =

2 2

2 2

tg 45º = 1

Ángulos 0º, 360º

Angulo 90º

Angulo 180º

P(0,1)

P(-1,0)

Coordenadas de P: x = 1, y = 0 Sen 0º = sen 360º = 0 Cos 0º = cos 360º = 1 Tg 0º = tg 360º = 0 La cotangente y la cosecante no están definidas. Luisa Muñoz

Coordenadas de P: x = 0, y = 1. Sen 90º = 1 Cos 90º = 0 La tangente y la secante no están definidas

Coordenadas de P: x = -1, y = 0 Sen 0º = 0 Cos 0º = -1 Tg 0º = 0 La cotangente y la cosecante no están definidas. - 11 -

T3: TRIGONOMETRÍA

4

1º BCT

REDUCCIÓN DE RAZONES AL PRIMER CUADRANTE

RAZONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

( II cuadrante)

o sen(180º – α) = sen α o cos(180º – α) = - cos α o

tg(180º – α)= - tg α

RAZONES DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

(III cuadrante)

o sen(180º + α) = -sen α o cos(180º + α) = - cos α o

tg( 180º + α)= tg α

RAZONES DE ÁNGULOS OPUESTOS

( IV cuadrante)

o sen (-α) = sen(360º – α) = - sen α o cos (-α) = cos(360º – α) = cos α o

tg(-α) = (360º – α)= - tg α

RAZONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

o sen(90º – α) = cos α o cos(90º - α) = sen α o tg(90º – α) = ctg α

Luisa Muñoz

- 12 -

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

Ejemplos:

1.- Si sen 30º =

1 , calcular: 2

a) sen 60º

b) sen 150º

c) sen 210

a) sen 60º = sen (90º - 30º) = cos 30º = 1 − b) sen 150º = sen (180º - 30º) = sen 30º =

d) sen 330º

1 3 = 4 2

1 2

c) sen 210º = sen(180º + 30º) = - sen 30º = -

1 2

d) sen 330º = sen (360º - 30º) = - sen 30º = -

1 2

2.- Reducir las siguientes razones trigonométricas, a otras equivalentes, de ángulo 60°: a) sen 30º

b) tg 240º

c) cosec 120º

d) sec 300º

e) ctg (-30º)

f) cos 420º

a) sen 30º = cos 60º

b) tg 240º = tg 60º

c) cosec 120º = cosec 60º

d) sec 300º = -sec 60º

e) ctg (-30º) = tg 60º

f) cos 420º = cos 60º

3.- Calcula con exactitud las razones de los ángulos de 210º y 225º . sen 210º = -sen 30º

sen 225º = -sen 45º

cos 210º = -cos 30º

cos 225º = -cos 45º

tg 210º = tg 30º

tg 225º = tg 45º

4.- Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 315º. sen 315º = -sen 45º

Luisa Muñoz

cos 315º = cos 45º

tg 315º = -tg 45º

- 13 -