Diagramas de Venn María Manzano USAL

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María Manzano (USAL)

Venn

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Diagramas de Venn Diagrama Hoja de Trébol

U

A 5

2

6

1 3

4

B

7 8 C Figura: Hoja de trébol María Manzano (USAL)

Venn

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Diagramas de Venn Áreas del diagrama

¿Pertenece a a A, pertenece a a B, pertenece a a C? Área 1 si, si, si A\B\C

Área 2 si, si, no (A \ B)

Área 4 no, si, si (B \ C)

Área 5 si, no, no A (B [ C)

A

Área 7 no, no, si C (A [ B) María Manzano (USAL)

C

Área 3 si, no, si (A \ C)

B

Área 6 no, si, no B (A [ C) Área 8 no, no, no (A [ B [ C)

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Diagramas de Venn Convenciones

1

Sombrearemos en el diagrama las zonas vacías.

2

Usaremos cruces entrelazadas para indicar la existencia de elementos en una zona.

3

Las zonas de las que carecemos de información permanecerán sin sombras ni cruces.

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Diagramas de Venn Sintaxis

La representación diagramática utiliza cuatro objetos básicos 1

Rectángulo

2

Curva cerrada

3

Sombreado

4

Cruces Como objetos auxiliares:

5

Líneas, para unir las cruces

6

Para nombrar las curvas y el rectángulo se usarán letras.

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Diagramas de Venn Representar zonas vacías

Para expresar en el diagrama que Q área Q P.

P sombrearemos en el diagrama el

U

Q

P Figura: Q

María Manzano (USAL)

Venn

P

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Diagramas de Venn Representar existencia elementos

Para indicar en el diagrama que (P \ Q) 6= ∅ pondremos una pequeña marca en todas aquellas zonas que constituyen (P \ Q) y uniremos estas marcas entre sí

U

Q

P Figura:

María Manzano (USAL)

(P \ Q) 6 = ∅ Venn

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Diagramas de Venn Superposición de diagramas

U

U

U

& P

Q

María Manzano (USAL)

P

Q

Venn

P

Q

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Diagramas de Venn Consistencia e inconsistencia

Inconsistente: sombreados y cruces entrelazadas y un entrelazado completo todo sombreado. Consistente en el resto de los casos. U P

Q

U P

P 6= ∅

Q

P

Q

U P

Q

P

Q

El resultado …nal es el siguiente: U P

Q

Diagrama …nal María Manzano (USAL)

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Diagramas de Venn Modelos que satisfacen diagramas

En los cuatro apartados que siguen pondremos algunos modelos del diagrama de la …gura Q P. 1 2 3

4

U = f1, 2, 3g P = f1, 2g Q = f2g U = f1, 2, 3g P=∅ Q=∅ U = fn j n es un número natural} P = fn j n es un número par} Q = fn j n es múltiplo de cuatrog U = fx j x es un paísg P = fx j x es un país mediterráneog Q = fEspaña, Italiag

María Manzano (USAL)

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Diagramas de Venn Razonamientos con diagramas I

J \ R 6= ∅ E\J = ∅ (J \ R)\ E 6= ∅

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión

U

J

U

J

R

R E

E

Hipótesis 1

U

J

R E

Hipótesis 2

Conclusión negada

U

J

R E

Diagrama Inconsistente F Razonamiento Correcto F

Diagrama …nal María Manzano (USAL)

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Diagramas de Venn Razonamientos con diagramas II

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión

L F L\ C 6 = ∅ C\ F 6 = ∅ U

L

U

L

F

U

L

F

F

C

C

C

Hipótesis 1

Hipótesis 2

Conclusión negada

U

L

F

Diagrama Consistente F Razonamiento Incorrecto F

C María Manzano (USAL)

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Diagramas de Venn Contraejemplo

Puesto que el diagrama …nal es consistente, construimos un modelo que cumpla las especi…caciones del mismo.

U = fa, b, c g

F = fa, b, c g

C = fa, b g

L = fa, c g

Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues:

fa, c g = L F = fa, b, c g L\ C 6 = ∅ ) fa, c g \ fc g = fc g 6= ∅ Pero la conclusión C\

F 6= ∅ falla, pues:

fα, b g \ ∅ = ∅

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Diagramas de Venn Hallar conclusión

Los casos son tres: 1

El diagrama de las hipótesis sólo contiene áreas sombreadas. En este caso cualquiera de las subáreas sombreadas está sombreada y puede ser una conclusión.

2

El diagrama de las hipótesis contiene sombreado y cruces: 1 2

3

Es inconsistente. Es consistente. En este caso cualquiera de las subáreas sombreadas está sombreada y puede ser una conclusión. También lo es cualquiera de los entrelazados tomado completo e incluso un nuevo entrelazado que una los entrelazados existentes (si hay más de uno).

El diagrama de las hipótesis sólo contiene cruces entrelazadas. Será conclusión cualquiera de los entrelazados tomado completo e incluso un nuevo entrelazado que una los entrelazados existentes (si hay más de uno). María Manzano (USAL)

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Diagramas de Venn La Isla del Tesoro I

Todos los piratas enrolados en La Española saben de la existencia de un tesoro. P T HIPÓTESIS 1

HIPÓTESIS 2 Nadie que sepa de la existencia de un tesoro obra desinteresadamente. T D CONCLUSIÓN Hay piratas que obran desinteresadamente, pero no van enrolados en La Española.

D\

María Manzano (USAL)

P 6= ∅

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Diagramas de Venn La Isla del Tesoro II

U

P

U

P

T

U

P

T

D

D

Hipótesis 1

Hipótesis 2

T D

Conclusión negada

U

P

Consistente F Inconsistente Correcto Razonamiento Incorrecto F Diagrama

T D

Diagrama …nal María Manzano (USAL)

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Diagramas de Venn La Isla del Tesoro III

Puesto que el diagrama …nal es consistente, construimos un modelo que cumpla las especi…caciones del mismo. P=D=∅

U = f1, 2g

T = f1g

Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues: ∅=P Pero la conclusión D\

T = f1g

D = f1, 2g

P 6= ∅ falla, pues: ∅\

María Manzano (USAL)

f1g = T P=∅

Venn

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Diagramas de Venn Hallar conclusión: Sólo sombreado U

A

B C

U

A

U

A

B

B C

C U

A

B C

Figura: Sólo contiene áreas sombreadas María Manzano (USAL)

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Diagramas de Venn Hallar conclusión: cruces y sombreado U

A

U

A

B C

U

A

B C

U

A

U

A

B

B

B

C

C

C U

A

U

A

B C

B C

Figura: Áreas sombreadas y cruces entrelazadas María Manzano (USAL)

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Diagramas de Venn Hallar conclusión: sólo cruces U

A

B C

U

A

U

A

B

B C

C

U

A

B C María Manzano (USAL)

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Diagramas de Venn Lewis Carroll: Hipótesis

HIPÓTESIS 1

Algunas ostras (O) son silenciosas (S). O \ S 6= ∅

HIPÓTESIS 2

Las criaturas silenciosas no son divertidas (D). S

D

Mediante diagramas de Venn buscamos conclusión al argumento: U

O

U

O

S

U

O

S

D

D

Hipótesis 1

Hipótesis 2

María Manzano (USAL)

Venn

S D

Superposición de hipótesis Febrero 2010

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Diagramas de Venn Lewis Carroll: conclusión

De entre las diversas conclusiones posibles elegiremos la estándar; esto es, la que relaciona a los conjuntos O y D. U

O

S D

O\

D 6= ∅

Expresada en español diría: Algunas ostras no son divertidas.

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Venn

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