MATEMÁTICAS

3° DE SECUNDARIA “RUMBO A ENLACE INTERMEDIA 2012” Secretario de Educación de Nuevo León José Antonio González Treviño Subsecretario de Desarrollo Magisterial Rafael Alberto González Porras Coordinadora de la Dirección General de Evaluación Educativa Olga Gamero Vallejo Directora de los Centros de Capacitación y Actualización del Magisterio Maricela Balderas Arredondo Coordinador Académico de los Centros de Capacitación y Actualización del Magisterio Fausto Humberto Alonso Lujano Responsables de la Elaboración Martha Beatriz González Estrada Rosalva Chapa García Julio César Hernández Castillo Comité Académico Edith Arévalo Vázquez Valdemar González Garza Edición y Corrección de Estilo Fausto Humberto Alonso Lujano Martha Beatriz González Estrada Primera Edición, 2012 © Derechos reservados: Secretaría de Educación del Estado de Nuevo León Dirección Nueva Jersey No. 4038 Monterrey, N. L. México Tel. (52) 20205000 www.nl.gob.mx/?P=educacion Distribución Gratuita – Prohibida su venta ISBN: EN TRÁMITE Impreso en México. Printed in México Esta obra se terminó de editar en Octubre de 2012 en la Dirección de los Centros de Capacitación y Actualización del Magisterio Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin autorización previa y por escrito de la Unidad de Integración Educativa de Nuevo León / Secretaría de Educación del Estado de Nuevo León.

Presentación Los resultados de la prueba de ENLACE Intermedia 2011, en los cuales se destacan los aprendizajes de los alumnos del nivel básico en algunas asignaturas del Plan de Estudios; constituyen un aspecto fundamental para definir estrategias de mejora en los diversos ámbitos que inciden en la calidad de la educación, específicamente: la capacitación de los profesores, la interpretación de los programas de estudio, la aplicación de los enfoques pedagógicos, los métodos de enseñanza y los recursos didácticos. Hoy en día la evaluación es un indicador que refleja la situación del trayecto formativo de las niñas y los niños de educación básica; por ello, la Secretaría de Educación del Estado de Nuevo León, a través de la Subsecretaría de Desarrollo Magisterial y de los Centros de Capacitación y Actualización del Magisterio, comparte a docentes involucrados y correlacionados con la evaluación ENLACE Intermedia 2012 una propuesta estratégica con el afán de coadyuvar en la mejora de resultados; se pretende reflexionar sobre algunas posibles causas de dichos resultados; para propiciar procesos de acompañamiento a los estudiantes, al compartir estrategias didácticas colaborativas. Como una forma de apoyar a los maestros de educación primaria y secundaria, se presenta una serie de Cuadernos titulados “Rumbo a Enlace Intermedia 2012” los cuales se han focalizado por nivel, grado y asignatura. En ellos podrá encontrar información importante que permitirá a las maestras y maestros de estos niveles, apoyar a los estudiantes que atienden en este ciclo escolar con la intención de obtener mejores resultados en la prueba Enlace que se ha proyectado para mediados de diciembre de 2012. Estos materiales se han elaborado considerando las áreas de oportunidad que se han identificado para los temas y contenidos de los Bloques I y II; son congruentes con las orientaciones teóricas y metodológicas del Plan y Programas de Estudio para esos niveles; además, consideran los conocimientos que los maestros deben dominar para poder favorecer los aprendizajes esperados de sus estudiantes y responder a las demandas sociales de la época actual. Cada una de las secciones se encuentra debidamente referenciada en la literatura básica que se ha revisado; la cual forma parte del acervo de los Centros de Capacitación y Actualización para el Magisterio del estado de Nuevo León. Esta estrategia se enriquecerá en la medida en que sea consensuada, se confía en la decidida participación de directivos, docentes y asesores técnicos. Es claro que estos Cuadernos contienen sólo algunas pautas que, seguramente podrán ser enriquecidas con la coparticipación de los docentes en conjunto, al compartir sugerencias y propuestas de experiencias exitosas que habrán de incorporarse en su quehacer docente áulico, así como en futuras propuestas estratégicas.

Estructura

Este Cuaderno presenta las secciones que se describen a continuación:

Índice Página RESULTADOS DE ENLACE INTERMEDIA 2011

6

ANÁLISIS DE REACTIVOS

8

Tema. Patrones y Ecuaciones

8

Tema. Medida

16

Tema. Figuras y Cuerpos

18

Tema. Noción de probabilidad

22

Tema. Análisis y representación de datos

23

DOMINIO DE CONTENIDOS

24

Tema. Ecuaciones Cuadráticas

24

Tema. Figuras congruentes o semejantes

31

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

37

Tema. Figuras congruentes o semejantes

38

Tema. Ecuaciones Cuadráticas

40

Tema. Teorema de Pitágoras

45

Recomendaciones al contestar el Examen de Enlace

50

PRÁCTICA CON REACTIVOS

51

CONSULTA DE RESULTADOS

65

RESULTADOS DE ENLACE INTERMEDIA 2011

Nuevo León 3° Grado de Secundaria

Porcentaje de respuesta correcta por Tema obtenido por los estudiantes de Nuevo León en 3° Grado de Secundaria en la Prueba Enlace Intermedia 2011 EJE

TEMA

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

Medida

REACTIVOS 20

1

% DE RESPUESTA CORRECTA 41.50%

28.03%

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Figuras y cuerpos

9

40.48%

Noción de probabilidad

2

38.38%

Análisis y representación de datos

1

Proporcionalidad y funciones

23.35%

2

79.16%

RESULTADOS DE ENLACE INTERMEDIA 2011

Porcentaje de respuesta correcta por Reactivo obtenido por los estudiantes de Nuevo León en 3° Grado de Secundaria en la Prueba Enlace Intermedia 2011 EJE

TEMA

REACTIVOS

1

4

5

6

7

8

9

10

13

14

15

18

21

22

23

24

25

28

29

30

2

3

11

12

16

17

19

20

35

Noción de probabilidad

33

34

Análisis y representación de datos

31

Proporcionalidad y funciones

26

Sentido numérico y pensamiento Patrones y ecuaciones algebraico

Medida Forma, espacio y medida

32

Figuras y cuerpos

Manejo de la información

Porcentaje de respuesta correcta Más o igual a 70% Más de 30% y menos de 70% Menos o igual a 30%

27

ANÁLISIS DE REACTIVOS Reactivos que obtuvieron menos del 30% de respuestas correctas Tema

Patrones y ecuaciones

No.

Reactivo

13

En un terreno residencial cuadrado se pretende hacer una construcción tal como aparece en el siguiente plano. Dicho proyecto requiere una superficie lateral y al fondo libre de construcción. Determina cuál es la expresión algebraica que corresponde a la superficie de la parte a construir. A) x2 - 8x + 16 B) x2 + 8x + 16 C) x2 + 8x - 16 D) x2 + 8x

Ubicación Curricular Bloque I Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Patrones y ecuaciones Contenido/Habilidad Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Alternativa de Solución

Analizar en grupo o equipo las situaciones PORCENTAJE DE RESPUESTAS problemáticas diversas OMISIÓN B A C D que se pueden presentar 38.8 26.0 18.9 13.5 2.7 en problemas de este tipo, Respuesta correcta A utilizando todos los El 38.8 % de los estudiantes seleccionaron escenarios posibles. como respuesta correcta la B Se deben de trabajar con los alumnos situaciones Explicaciones del error problemáticas donde Los alumnos que dieron como respuesta la utilice ecuaciones B, no interpretaron correctamente el cuadráticas, donde el problema. Ya que para expresar la medida alumno tenga que obtener del lado del cuadrado sombreado, el la medida del lado de la estudiante debió representarlo a través de figura realizando diversas (x-4). Sin embargo, el proceso que siguió operaciones. fue de obtener el resultado de multiplicar (x Favorecer que el alumno

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error) + 4)(x + 4). Los que resolvieron y obtuvieron la respuesta C, pudieron haber resuelto usando la regla para multiplicar dos binomios al cuadrado y en esta opción hay dos posibilidades en el error:

Alternativa de Solución proyecte en un dibujo los datos del problema descrito textualmente y la incógnita, ya que de esta forma el alumno visualiza y analiza mejor la situación.

1) No hay dominio del uso de los Proporcionar al alumno signos. una serie de problemáticas para que 2) No comprendieron el problema. resuelva en equipo, y/o de Los que resolvieron con la respuesta D, o tarea. no comprendieron el problema o consideraron que al quitarle el (-16), ya Tratamiento y ejercitación de la multiplicación de estaban restando el área de 4 x4. números con signo, con sencillos o La respuesta implica que el estudiante ejemplos en utilice las leyes de los signos para la directamente para multiplicación. El error se centra en el multiplicaciones, posteriormente aplicarlos segundo término del inciso B en el que la solución de eligieron 8x, como resultado de multiplicar en ecuaciones cuadráticas. . (2)(x)(-4), donde debieron obtener -8x. O bien sumaron 4+4 sin aplicar la regla para la resolución de binomio al cuadrado, en el que debe ser “el doble del primer término por el segundo término”, es decir (2)(x)(-4).

Mayor tratamiento de la resolución de binomios al cuadrado.

Comprenda que necesita comprobar sus conjeturas, hacer las operaciones Sólo multiplicaron (2)(4)=8. necesarias y no contestar Se ha mecanizado la regla para la solución solo porque el cree que de binomio al cuadrado, sin utilizarse en esa es la respuesta. problemas de aplicación.

No.

Reactivo

15

En el siguiente triángulo sus dimensiones están representadas algebraicamente. Si su área equivale a 120 m2, selecciona la opción que modela algebraicamente su área. A) x2 + 4x - 120 = 0 B) x2 + 4x + 120 = 0 C) x2 + 4x - 60 = 0 D) 2x2 + 8x -120 = 0

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Bloque II Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema

El problema pudo haberse resuelto de dos formas: PORCENTAJE DE RESPUESTAS OMISIÓN D A B C 36.0 22.3 25.5 13.3 2.8

Respuesta correcta A

Patrones y ecuaciones Contenido/Habilidad

Alternativa de Solución

El 36.0 % de los estudiantes seleccionaron como respuesta correcta la D

Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar Explicaciones del error situaciones y resolverlas usando la factorización. Los alumnos que dieron como respuesta el inciso D, multiplicaron la base por la altura del triángulo, pero no dividieron entre dos; es decir, no aplicaron la fórmula del triángulo completa, pero si dominan la igualación de la ecuación a cero.

1) Usando las medidas del triángulo A = bxh/2 2) Formando un rectángulo de base x y altura (x + 4). También se utiliza la igualación de la ecuación a cero.

Es importante que el docente analice en grupo o equipos este tipo de problemáticas con varias opciones de Los alumnos que dieron como respuesta el solución. inciso B, no igualaron la ecuación a cero Es necesario que se den correctamente. ejercicios constantes donde Los alumnos que respondieron la opción C, el alumno encuentre la utilizaron la fórmula del triángulo para ecuación a un problema obtener el área, pero dividieron también el dado, o viceversa, que área (120 m²) entre 2, lo cual es incorrecto. partiendo de la ecuación, pueda plantear una situación Los alumnos que respondieron la opción C, problemática. En el caso de

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Alternativa de Solución

utilizaron la fórmula del triángulo para áreas de figuras utilizar la obtener el área pero dividieron el área entre fórmula para obtener área 2, igual que la ecuación. respectiva utilizando las medidas necesarias. Realizar ejercicios sobre la igualación a cero en una ecuación.

No. 18

Reactivo ¿Cuál será la factorización de la expresión C² - 26C + 169? A) (C-13) (C-13)

Ubicación Curricular

B) (C+13) (C–13)

C) (C+13) (C+13)

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Bloque I Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Patrones y ecuaciones Contenido/Habilidad Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

D) (C-13) (C+13)

Alternativa de Solución Realizar más ejercicios de este tipo.

PORCENTAJE DE RESPUESTAS

Ejercitar la factorización, estableciendo la relación que hay entre una ecuación Respuesta correcta A cuadrática y sus posibles El 29.1 % de los estudiantes seleccionaron factores. como respuesta correcta la A; aunque es 1) Diferencia de una respuesta correcta la diferencia entre cuadrados esta respuesta y las opciones B y D es Binomios muy baja; además corresponde en el conjugados semáforo a un 30% menos de aciertos; por ello se le ubica en rojo y se analiza a (x+ a) (x-a) ó (x-a) (x+ a) continuación. 2) Trinomio cuadrado Explicaciones del error perfecto A 29.1

B 26.0

C 15.9

D 26.1

OMISIÓN

2.7

Para los alumnos que dieron la respuesta B Binomios al cuadrado y D, la factorización de la ecuación es el producto de los binomios conjugados. ¿Por (x + a)(x+ a) ó (x-a) (x-a) qué piensan esto? Porque relacionan 3) Trinomios erróneamente el signo negativo del segundo término de la ecuación, con la Binomios con un situación de que uno de los binomios debe término común

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Alternativa de Solución

llevar el signo negativo.

(x+a) (x + b),

Los alumnos que contestaron C, no tomaron en cuenta que la ecuación tiene el segundo término negativo.

(x-a ) ( x+b),

La elección de los incisos B y D permiten identificar que los estudiantes cometen errores en la aplicación de las leyes de los signos para la multiplicación, ya que eligieron para el inciso B (13)(-13) y para D (-13)(13), la respuesta en ambos caso es (-169). Deficiencia en el proceso de factorización.

(x+a) (x-b) ó (x – a) (x – b). Es importante que el alumno logre más dominio sobre el uso de los signos en las operaciones. Practicar más la factorización de trinomios donde el término en c es producto de dos números, que sumados ten dan el término en b, usando correctamente las leyes de los signos. Es importante que el alumno logre más dominio del uso de los signos en la multiplicación y factorización.

No. 21

Reactivo Elige la ecuación que resuelva el siguiente problema: ¿Cuál es el número que multiplicado por si mismo excede a 36 en 9? A) x2 - 9 = 36

Ubicación Curricular

B) x2 -36 = 9

C) x2 + 9 = 36

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Bloque I Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

PORCENTAJE DE RESPUESTAS OMISIÓN C B D

A 17.0

25.4

41.4

13.4

2.7

D) 2x +9 = 36

Alternativa de Solución Tratamiento del lenguaje algebraico en situaciones concretas y cotidianas, para el manejo de ecuaciones cuadráticas.

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Ubicación Curricular Tema

Alternativa de Solución

Respuesta correcta A

Propiciar que el alumno formule ecuaciones a partir Patrones y ecuaciones El 41.4 % de los estudiantes seleccionaron de situaciones Contenido/Habilidad como respuesta correcta la C. problemáticas, identificando Resolución de los datos que faltan y problemas que impliquen Explicaciones del error resuelva el problema. el uso de ecuaciones Dificultad en la comprensión del enunciado. cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos Dificultad en el uso del lenguaje algebraico personales u para su transformación a ecuaciones operaciones inversas. cuadráticas. Los alumnos que respondieron C, no comprendieron el enunciado del problema o presentan conflictos en la transposición de términos en la ecuación. Los que respondieron B, aunque es una ecuación equivalente a la correcta, el enunciado del problema lleva a x² = 36 + 9, por lo que el nueve se pasó a la izquierda. El alumno también pudo escoger esta respuesta como correcta x² -36 = 9, que al final da el mismo resultado. En la respuesta D, el alumno en vez de buscar un número multiplicado por sí mismo, lo multiplica por 2. Confunde estas dos acciones.

No. 23

Reactivo ¿Cuáles son las soluciones de 13 x2 = 39x? A) x = 0, x = -13

Ubicación Curricular

B) x = 0, x = -3

C) x = 0, x = 13

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

D) x = 0, x = 3

Alternativa de Solución

Bloque II Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

PORCENTAJE DE RESPUESTAS A 17.0

B 17.5

C 37.1

D 25.5

OMISIÓN

2.9

En este tipo de problemas, es importante abordar con los alumnos las ecuaciones

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Ubicación Curricular Tema Patrones y ecuaciones Contenido/Habilidad Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

Alternativa de Solución

Respuesta correcta D

que sean equivalentes. Observarlas, analizarlas y El 37.1 % de los estudiantes seleccionaron ver si tienen un factor como respuesta correcta la C. común entre el cual pueden ser divididas para obtener Explicaciones del error una ecuación más pequeña Los alumnos que contestaron la respuesta y llegar a una rápida C, sólo hacen conjeturas erróneas al solución. establecer que como C es cero, entonces una de las soluciones es cero y la otra Otro método que puede solución es 13 debido que es el coeficiente trabajarse es con la fórmula general, que aunque está de x² y es divisor de 39x. No obtienen las establecida en el Bloque III, soluciones por un método convencional. es necesario que se vea a Los alumnos que contestaron la respuesta final del bloque dos. Ya que B, obtienen los factores de la ecuación, con este método puede todas las pero al obtener los valores de x, en (x-3), resolver dejan el valor en -3. Y la respuesta correcta ecuaciones cuadráticas. es 3, por lo que el alumno no llega a la Es importante ejercitar a los respuesta final. alumnos la factorización y Los alumnos que respondieron la respuesta cuando se tengan los A, resuelven de forma semejante a los factores, ejercitar la forma alumnos que contestaron la respuesta C, de llegar a la respuesta solo que como el 39x tiene signo negativo, correcta. le agregan a la respuesta el mismo signo. Mayor tratamiento de la Desconocimiento de la forma de solucionar solución de ecuaciones cuadráticas de este tipo. ecuaciones cuadráticas de este tipo. Mal manejo de los procedimientos/operaciones involucrados en la solución de la ecuación, iniciando por la igualación a 0. 13 x2 - 39x = 0 x(13x – 39) = 0 x= 0

13x - 39= 0

En este tipo de ejercicios, es importante tratar con los alumnos las ecuaciones que sean equivalentes. Observarlas, analizarlas e identificar si tienen un factor común para obtener una ecuación más simplificada que conduzca a una rápida solución.

13 x= 39 X= 39/13

x=3

Ejercitación de la factorización, la igualación

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Alternativa de Solución

Realizar las operaciones necesarias para a cero y el uso de signos. obtener los resultados. Comprobar los resultados.

No.

Reactivo

25

Encuentra la expresión algebraica que representa el área sombreada de la figura mostrada. A)

x 2  22x  121

B)

22x  121

x2

C)

D) 2x 2  22x  121

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Alternativa de Solución

Bloque Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Patrones y ecuaciones Contenido/Habilidad Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

PORCENTAJE DE RESPUESTAS A 47.9

B 17.6

C 10.3

Respuesta correcta B

D 21.3

OMISIÓN

Es importante analizar la figura en primera instancia.

2.8

Identificar las posibles formas o estrategias de solución.

El 47.9 % de los estudiantes seleccionaron como respuesta correcta la A. En este caso, establecer una expresión para el Explicaciones del error problema de tal manera que Los alumnos que respondieron con la sea el referente inicial para respuesta A no interpretaron correctamente la solución al mismo. el reactivo. Solo se limitaron a obtener el Se puede establecer: área del cuadrado completo, pero no le restaron al resultado el área del cuadrado (X + 11)² - x²

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Ubicación Curricular

Alternativa de Solución

que mide x².

Área del cuadrado mayor menos el área del cuadrado Y los que contestaron la respuesta D, se menor. equivocaron al realizar la multiplicación de los lados del cuadrado grande. Igualmente Tratamiento de problemas no restaron el área del cuadrado chico. de aplicación con Otros pudieron haber colocado el 2 como expresiones algebraicas. coeficiente de x², debido a que relacionaron con la medida x del lado del cuadrado Ejercitación de problemas de aplicación con interior. expresiones algebraicas. Los que dieron como respuesta la C, solo obtuvieron el área no sombreada. Resolver problemas de áreas donde se involucren Inadecuada interpretación del problema. ecuaciones cuadráticas y Como la figura es un cuadrado, solamente donde tengan que sumarse efectuaron la multiplicación de (x+11) o restarse otras áreas. 2 (x+11) obteniendo x  22 x  121 , que Ilustrar los problemas con las figuras representa el área total; sin embargo se le correspondientes. debe restar el área del cuadrado interno porque no está sombreado. Para ello debieron multiplicar (x) (x), cuyo resultado 2

es x . Debiendo obtener como resultado

x 2  22 x  121 - x 2 = 22x + 121.

Tema No. 32

Medida

Reactivo Un herrero necesita construir una escalera que permita acceder a la azotea de una casa que mide 4 metros de alto; ¿qué longitud deberá tener dicha escalera si la distancia entre la casa y la base de la escalera es de 3 metros? A) 5

B) 7

C) 13

D) 25

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Alternativa de Solución

Bloque II Eje

Solo un 28 % de los alumnos dominan la C A B D 41.5 28.0 13.0 14.7 2.7 aplicación del Teorema de Tema Pitágoras en su totalidad. Medida. Respuesta correcta A Un 14.7% establece el Contenido/Habilidad de solución El 41.5 % de los estudiantes seleccionaron método Explicitación y uso del como respuesta correcta la C. correcto, pero no llega a la teorema de Pitágoras. respuesta final. Explicaciones del error Aquí se analiza que un Los alumnos que respondieron a la 57.3% no domina la respuesta C, no comprendieron el aplicación del Teorema de problema, ni analizaron que la estrategia Pitágoras para calcular posible de solución, es el Teorema de medidas en situaciones de Pitágoras. Tal vez pensaron en un uso común en el entorno. rectángulo y obtuvieron el área del triángulo que es 6.5 m² (el área es 6, ya que es base Habrá que plantearse y diversas X altura entre 2, es decir 3 x 4= 12 entre 2 = resolver situaciones problemáticas 6) y lo sumaron al otro triángulo que forma el rectángulo. De ahí que respondieron que para que apliquen el de Pitágoras el área es 13 m, ni siquiera se establece lo Teorema donde se obtengan los que es área y longitud. catetos o la hipotenusa Uso Los alumnos que respondieron con la del Teorema de Pitágoras respuesta D, si establecieron correctamente en problemáticas de la vida el procedimiento a seguir (teorema de cotidiana. Pitágoras), sin embargo no obtuvieron la raíz de 25, estableciendo por consiguiente, Es necesario fomentar en el alumno que realice figuras esta cantidad como respuesta. o gráficos que ilustren el Los alumnos que contestaron con la problema en donde ubique respuesta B solo sumaron las medidas de y registre los datos que le los datos expresados en el problema (3 +7). proporciona el problema y la respuesta obtenida en la Se desconoce el uso del Teorema de resolución del mismo. Pitágoras en problemas de aplicación, ya que las cantidades involucradas son fáciles PORCENTAJE DE RESPUESTAS

Forma, espacio y medida

OMISIÓN

2 2 2 de operar en a + b = c

2 4 2 + 3 = 16 + 9 = 25 a quien se le saca raíz

cuadrada, obteniendo como resultado 5.

Tema

No. 2

Figuras y Cuerpos

Reactivo Los triángulos uno y dos son semejantes. ¿Cuáles son los lados proporcionales?

A) BA/CA=BH/CH=HA/HA

C) AC/AB=AH/AH/=BH/HC

B) AB/BH=AC/AH=CH/BH

D) AH/AH=BH/HC=AC/AB

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Alternativa de Solución

Bloque : I Eje Forma, espacio y medida Tema Figuras y cuerpos. Contenido/Habilidad Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

Un ejercicio es recortar los triángulos y ponerlo uno B A C D 27.3 22.5 24.1 23.4 2.7 sobre otro para que el alumno observe la Respuesta correcta D semejanza en ambos El 27.3 % de los estudiantes seleccionaron triángulos. como respuesta correcta la B. Es necesario establecer los criterios de semejanza y Explicaciones del error congruencia de triángulos Los alumnos que respondieron la pregunta para que el alumno B, no tienen la noción de los criterios de diferencie las dos semejanza ya que AB/BH ≠AC/AH ≠ situaciones. CH/BH, ya que son segmentos no correspondientes. PORCENTAJE DE RESPUESTAS

OMISIÓN

Los alumnos que respondieron C conocen los criterios de semejanza de triángulos, sin embargo la semejanza es por el criterio de las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes son proporcionales a sus lado, por lo que la respuesta correcta

Es importante que la semejanza de triángulos sea abordada en problemas de la vida diaria, para que identifiquen su utilidad.

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Ubicación Curricular

Alternativa de Solución

es la D. Los que respondieron con A, BA/CA debe ser CA/BA para que haya correspondencia y proporcionalidad con los demás lados.

No.

Reactivo

12

A Mauricio le pidieron construir dos triángulos de tal manera que el segundo fuera dos tercios veces más pequeño que el primero. Observa el resultado. ¿Qué criterio de semejanza le permite a Mauricio saber que los dos triángulos son semejantes?

A) Los dos triángulos tienen los dos ángulos iguales y uno diferente. B) Los dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual. C) Los dos triángulos tienen los tres lados proporcionales. D) Los dos triángulos tienen los tres lados iguales y ángulos iguales.

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Alternativa de Solución

Bloque I Eje Forma, espacio y medida Tema

A 17.5

PORCENTAJE DE RESPUESTAS OMISIÓN C B D

25.1

28.3

26.5

2.6

Trabajar los criterios de semejanza y de congruencia de triángulos, ya que esto le permite al alumno

Ubicación Curricular Figuras y cuerpos. Contenido/Habilidad Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error) Respuesta correcta C El 28.3 % de los estudiantes seleccionaron como respuesta correcta la C; aunque es una respuesta correcta la diferencia entre esta respuesta y las opciones B y D es muy bajo; además corresponde en el semáforo a un 30% menos de aciertos; por ello se le ubica en rojo.

Alternativa de Solución comprenderlos diferenciarlos.

y

Abordar la semejanza de triángulos en la solución de problemas para encontrar medidas o la proporcionalidad entre los lados.

A partir de la construcción Explicaciones del error con información dada, enunciar los criterios de Los alumnos que respondieron con la semejanza, tanto con su respuesta D, confunden la semejanza de propio lenguaje y traducir triángulos con la congruencia de éste a lenguaje matemático. triángulos. Por lo que no comprenden que la noción de proporcionalidad, se da en triángulos semejantes. Los alumnos que respondieron la respuesta B, no satisfacen los datos del problema ya que están pidiendo que los tres lados sean proporcionales por lo que la respuesta correcta es la C. En la respuesta A, simplemente no hay triángulos semejantes debido a que no puede haber un ángulo diferente ya que al ser dos iguales, el tercero debe también ser igual a su correspondiente. Desconocimiento de los criterios de semejanza de triángulos y comprender que el problema implícitamente involucra a la medida de los lados de ambos triángulos; por ello la respuesta correcta es “Los dos triángulos tienen los tres lados proporcionales”.

No.

Reactivo

17

En la clase de Matemáticas, la profesora preguntó que si los siguientes triángulos mostrados eran semejantes. Lee las respuestas de los alumnos. ¿Quién contestó el problema correctamente?

Ubicación Curricular

A)

Juan: Sí son semejantes porque sus tres ángulos son congruentes.

B)

Rosy: Sí son semejantes porque sus lados son proporcionales.

C)

Ricardo: No son semejantes, porque sus lados no son proporcionales.

D)

Mayra: No son semejantes, porque sus tres ángulos son congruentes.

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Bloque I Eje Forma, espacio y medida Tema Figuras y cuerpos. Contenido/Habilidad Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

PORCENTAJE DE RESPUESTAS OMISIÓN D B A C 31.4 27.6 29.0 9.4 2.7

Respuesta correcta C El 31.4 % de los estudiantes seleccionaron como respuesta correcta la B. Explicaciones del error No resolvieron el problema buscando la constante de proporcionalidad, ya que si la hubiesen buscado, debieron percatarse que no la hay para los tres pares de lados.

Alternativa de Solución Trabajar sobre los criterios de semejanza de triángulos en casos específicos. Tratamiento de proporcionalidad ejemplos cotidianos.

la en

Tema

Noción de probabilidad

No.

Reactivo

34

En una bolsa hay 120 canicas, 70 son rojas, 20 son negras y 30 son blancas, ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica negra? A)

2 12

B) 0.16

Ubicación Curricular

C) 16%

D)

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Bloque Eje Manejo de información. Tema Noción de probabilidad. Contenido/Habilidad Conocimiento de escala de probabilidad. Análisis las características eventos complementarios eventos excluyentes mutuamente independientes.

la la de de y y

A 28.1

B 14.0

C 39.6

D 15.4

Alternativa de Solución Tratamiento de problemas de aplicación en los que se trabajen probabilidades.

PORCENTAJE DE RESPUESTAS

la

1 12

OMISIÓN

2.8

Es importante que el alumno represente la Respuesta correcta A probabilidad como fracción, El 39.6 % de los estudiantes seleccionaron como decimal y como porcentaje, sin embargo como respuesta correcta la C. debe tomar la respuesta Explicaciones del error más exacta. Ya que en determinados casos el No se tiene claro el concepto requerido. decimal o porcentaje es Los alumnos que contestaron la pregunta C infinito. En cambio la y B, dividieron 20/120 y obtuvieron fracción es exacta. 0.166666, redondeando a un 16% o a 0.16, Resolver más situaciones respectivamente, sin embargo, la respuesta problemáticas donde el más acertada es 2/12, debido a que 20/120 alumno ponga en juego las = 2/12. Es una probabilidad más exacta. tres formas de expresión de Los que respondieron la 1/12 es totalmente la probabilidad en una escala de 0 al 1, incorrecto identificando la más apropiada en cada caso.

Tema

Análisis y representación de datos

No. 31

Reactivo Observa la siguiente gráfica que representa la energía cinética de un cuerpo con masa (m) y velocidad (v): Si variamos la velocidad dejando la masa constante y sabiendo que la ecuación es E cinética=m v2/2, ¿cuál de las siguientes observaciones es la correcta? A) La velocidad es mayor entre menor sea la energía cinética. B) La energía cinética no aumenta con la velocidad. C) La energía cinética no depende de la velocidad. D) La velocidad aumenta, entonces la energía cinética aumenta

Ubicación Curricular

Análisis de Respuestas (Posibles causas de error)

Alternativa de Solución

PORCENTAJE DE RESPUESTAS

Uso de notas de periódicos en las que se involucren gráficas, para favorecer la interpretación de los datos expresados en las mismas.

Bloque Eje Manejo de información. Tema

la

A 21.5

B 29.4

C 23.1

D 23.3

OMISIÓN

2.6

Respuesta correcta D Trabajo en el aula de Análisis y representación situaciones o El 29.4 % de los estudiantes seleccionaron diversas de datos. fenómenos en las que se como respuesta correcta la B. Contenido/Habilidad aborden temas de diversas Representación tabular y Explicaciones del error asignaturas y/o contenidos algebraica de relaciones curriculares. de variación cuadrática, Desconocimiento de los conceptos identificadas en involucrados. diferentes situaciones y fenómenos de la física, Dificultad en la interpretación de la gráfica la biología, la economía misma y ubicación de los datos, ya que la y otras disciplinas. respuesta no implica necesariamente la resolución de operaciones.

DOMINIO DE CONTENIDOS

Tema

Ecuaciones cuadráticas Bloques I y II

Para saber Los conocimientos previos del estudiante de tercero de secundaria:  El conjunto de los números enteros y operaciones con ellos Antecedente: SEP. (2011). Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado Bloque IV. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Números y sistemas de Numeración. Contenido. Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. (Página 34) Antecedente: SEP. (2011). Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado Bloque IV. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Problemas aditivos. Contenido Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. (Página 35) En este grado y en el siguiente el estudiante de secundaria manejó y comprendió los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades discretas, y los pudo distinguir de sus formas de representación.

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Patrones y ecuaciones Contenidos Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

En primero y en segundo, utilizó procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.

En el libro del alumno pudo resolver problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de la situación. Se percató sobre el número entero como una magnitud vectorial discreta con magnitud y dirección; es decir que se puede representar en una recta numérica. Además de que pudo distinguir situaciones donde el cero toma un valor absoluto,

por ejemplo tamaño, de aquellas donde el cero toma un valor relativo, por ejemplo indicando una posición. Algo más que saber El conjunto de los números enteros comprende a los números positivos, negativos y el 0. Visualizados en una recta se verían: …,-3,-2,-1,0, 1,2, 3… Las operaciones básicas con este conjunto de números nos obligan a tener en cuenta muy detenidamente si se trata de números positivos o negativos. Por ejemplo: “En un día determinado el termómetro marcaba 16° C a las 7:00 de la mañana, después durante el día subió 12° C a las 3:00 de la tarde y, en la noche bajó 5° C. ¿Cuál es la temperatura que marcaba el termómetro en la noche? Esto es una suma de números enteros y se resuelve de esta manera: 16 + 12 - 5 = 23°C Otro ejemplo: “La bolsa de valores mexicana anunciaba que para ese día las acciones de una empresa valían 8 puntos porcentuales. Bruscamente las acciones bajaron de valor, 2 puntos porcentuales y, siguieron bajando esa misma cantidad durante tres días más. ¿Cuántos puntos perdió en ese período? Se resuelve así:

-2 (X) 4= -8 Entonces las acciones de la compañía se devaluaron completamente, quedaron en pérdidas. El valor relativo de los números enteros al combinarse en diferentes operaciones varía en una forma completamente diferente; es decir, en la multiplicación de números naturales por ejemplo siempre se obtiene un producto de valor relativo mayor o igual al de los factores. En cambio en la multiplicación de enteros el producto puede ser menor o mayor a los factores. Ejemplo: Números naturales 2 X 4 = 8; el 8 es mayor que el 2 y el 4

Números enteros 2X

- 4= -8; -8 es menor que el 2 y el -4

¿Por qué es esto así? Porque en una recta numérica el -8 está a la izquierda de -4 y del 2; todo número a la izquierda de otro en la recta numérica su valor relativo es menor.

Para leer más sobre el tema Consultar Billstein, Libeskind y Lott (2008). Matemáticas para maestros de Educación Básica. México: MLMateos EDITOR. S.A de C.V. pp 214 a la 273.  Traducir al lenguaje algebraico proposiciones y relaciones numéricas Antecedente: SEP. (2005). Programa de Estudios de Educación Primaria. En la educación primaria, el estudio de la matemática considera el conocimiento y uso del lenguaje aritmético, algebraico y geométrico, así como la interpretación de información y de los procesos de medición. El nivel de secundaria atiende el tránsito del razonamiento intuitivo al deductivo, y de la búsqueda de información al análisis de los recursos que se utilizan para presentarla. (Página 49) Algo más que saber El álgebra involucra el tratamiento de relaciones numéricas en los que una o más cantidades son desconocidas, incógnitas, a las que se las representa por letras, por lo cual el lenguaje simbólico da lugar al lenguaje algebraico. Las operaciones para números: suma, resta, producto, división, son conocidas como operaciones algebraicas y cualquier combinación de números y letras se conoce como expresión algebraica. Por lo tanto, al traducir un cierto problema al lenguaje algebraico, se obtienen expresiones algebraicas, que son una secuencia de operaciones entre números y letras. Las letras se les denominan, en general, variables o incógnitas y las simbolizamos con las últimas letras del alfabeto, en cambio las primeras letras se emplean para simbolizar números arbitrarios pero fijos, que llamamos constantes. Frecuentemente aparecen igualdades que son de distinto tipo: identidades, ecuaciones y fórmulas. Las operaciones básicas con expresiones algebraicas, se utilizan en el importante proceso de resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y otras importantes aplicaciones de ellas. Ejemplos: Escribir en lenguaje algebraico las siguientes oraciones: a) La base es el doble que la altura. Si llamamos b = base y h = altura, la expresión algebraica es: b = 2h, pero también se podría haber llamado x = base e y = altura entonces se obtendría: x = 2 y . b) Dos números pares consecutivos. 2n representa un número par, el siguiente número par es 2n + 2, donde n es cualquier número entero. Para leer más sobre el tema Consultar Baldor, A. (1971). Álgebra elemental. Madrid: Mediterráneo. pp 5 a la 14.



Dominar ecuaciones lineales y diferentes formas de resolverlas

Antecedente: SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado Bloque III. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Patrones y ecuaciones. Contenido. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. (Página 33) Antecedente: SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado. Bloque V. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas multiplicativos. Contenido. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. (Página 35) Antecedente SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Segundo grado. Bloque IV. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones. Contenido. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. (Página 41) Una ecuación es una expresión matemática que puede leerse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (José = Pepe). En ese sentido, la ecuación es una igualdad y en álgebra generalmente se nos pide que encontremos o que resolvamos dicha igualdad para leerla en forma completa. Hay diferentes ecuaciones, pero las más simples llevan letras y tienen como exponente la unidad; por ejemplo: 3x + 2y = 5z. Las ecuaciones en donde uno de sus términos literales tiene exponente 2 se llaman ecuaciones cuadráticas o de segundo grado; tal es el caso de: x² + y² = 0 Al resolver una ecuación en realidad lo que estamos haciendo es encontrar su raíz o raíces; ello significa el valor o los valores de las incógnitas (letras) que satisfacen la ecuación. Para resolver ecuaciones se realizan operaciones entre sus términos; por ejemplo, para resolver: 3x -5 =2x -3; el valor de x que satisface la ecuación y poder leerla de derecha a izquierda o viceversa es 2. 3 (2) - 5 = 2 (2) - 3;

6 – 5 = 4 - 3;

1=1

Para leer más sobre esto Consultar Peters y Schaaf. (1972). Álgebra un enfoque moderno. México: Reverté Mexicana. pp 131 a 179.



Dominar los procedimientos y reglas operacionales: primero multiplicaciones, después divisiones, enseguida sumas y luego restas

Antecedente: SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Segundo grado. Bloque III. Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema Problemas multiplicativos. Contenido. Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario. en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios. Contenido. Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. (Página 40) Algo más que saber Un ejemplo: En un examen escrito se pidió a los estudiantes que seleccionaran la respuesta correcta a la siguiente operación: (14-5) + 7 (x) 3; las posibles respuestas eran: a) 48 b) 6 c) 30 d) 25 La respuesta correcta es la C porque al hacer operaciones se sigue el orden de: operaciones entre paréntesis, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas; pues de no ser así habría respuestas variadas. Para leer más sobre esto Consultar SMSG. (1979). Estudios de Matemáticas. Volumen IX. EUA: Universidad de Stanford. pp 359 a 374. 

El mínimo común múltiplo, máximo común divisor, factorización

Antecedente: SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Segundo grado. Primer grado. Bloque II. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Números y sistemas de numeración Contenido. Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Algo más que saber Factorizar es uno de los procesos fundamentales del álgebra. De hecho, factorizar y encontrar las raíces de un polinomio son dos problemas equivalentes; es decir, si sabemos cómo factorizar un polinomio, podemos encontrar sus raíces. Recíprocamente, si conocemos las raíces de un polinomio podemos factorizarlos fácilmente.

La estrategia para enseñar a factorizar es que los alumnos se familiaricen con los productos notables: 2 2 2 (a + b) = a + 2ab + b (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b) (a - b) = a2 - b

y los apliquen para factorizar polinomios. Se enfatizará sobre todo la factorización de polinomios de segundo grado. Conviene introducir los productos notables apoyándose en modelos que les den un soporte visual intuitivo. Por ejemplo:

a (b + c) = ab + ac ab

ac

a b

c

a2

ab

a

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ab

b2

b Los alumnos necesitan ejercicios en la utilización de los productos notables, ya sea para desarrollar expresiones sencillas como las siguientes: (x + 3)2

(2x + 3)2

(x + 2) (x - 2)

(x - 3)2

(2x - 3)2

(3x - 5) (3x + 5)

o bien para agilizar los cálculos en expresiones más complicadas: 2x2 + (3x + 1)2

(2x + 1)2 - (x – 3)2

5x2 - (2x - 2) (2x + 2)

(5x - 3)2 - (2x + 1) (2x - 1)

(x - 3)2

Las aplicaciones de los productos notables al cálculo numérico servirán al profesor para enriquecer y hacer más interesante su clase y a los alumnos para practicarlos y acostumbrarse a ellos. Ejemplos:

(x - 3)2

3052 = (300 + 5)2 =3002 + 2 x 5 x 300 + 52 =90 000 + 3000 + 25 =93 025 2 1996 = (2000 - 4)2 =20002 - 2 x 4 x 2000 + 42 =4 000 000 – 16 000 + 16 =3 984 016 2 2 2.003 =(2 + 0.003) =(2 + 3 x 10-3)2 =22 + 2 x 2 x 3 x 10-3 + (3 x 10-3)2 =4.012009

Para leer más sobre el tema Consultar SMSG. (1979). Estudios de Matemáticas. Volumen IX. EUA: Universidad de Stanford. pp 225 a 263. Billstein, Libeskind y Lott (2008). Matemáticas para maestros de Educación Básica. México: MLMateos EDITOR. S.A de C.V. pp 321 a 417.

DOMINIO DE CONTENIDOS

Tema

Figuras congruentes o semejantes

Para saber Este contenido está orientado a determinar los conocimientos relacionados con la rama de la Geometría, de los cuales debe apropiarse un estudiante de tercer grado de secundaria. Los estudiantes poseen dos conocimientos previos: 

Figuras geométricas planas



Cuerpos geométricos

En cada uno de ellos fueron incorporando contenidos de la matemática que sirven fundamento a este tema en particular.

Bloque I Eje Forma, espacio y medida Tema Figuras y cuerpos Contenido

los de

Los estudiantes de este grado requieren poner en juego una serie de habilidades para resolver problemas del ámbito geométricos y los profesores del nivel requieren diseñar y planificar situaciones para facilitar el aprendizaje de geometría, con base a actividades de aprendizaje, apoyándose en diferentes recursos.

 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

Algo más que saber En la geometría plana, el estudiante de tercero de secundaria aprendió en su trayecto por primero y segundo de secundaria, la estructura de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo; estudió el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. (Revisarlo detenidamente en SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado. Bloque I. Eje Forma, espacio y medida. Tema. Figuras y Cuerpos. Contenido. Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo). En el aprendizaje de los cuerpos geométricos, comprendió los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. (Revisarlo detenidamente en SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado. Bloque II. Eje Forma, espacio y medida. Tema. Medida. Contenido. Justificación

de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras). Sus indicadores de logro estuvieron encaminados a: -

Reconocer y comprender las diferentes características que definen a los ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos y circunferencia como también los distintos criterios de clasificación de ellas.

-

Construir con regla y compás diferentes figuras planas, conocidos algunos de sus elementos y considerando sus características propias; describiendo, además, sus procesos de construcción.

Los anteriores niveles de logro se encuentran descritos en los trayectos formativos de primero y segundo grado de secundaria. Son dos los contenidos particulares que debe dominar el alumno de este grado en referencia al contenido: 

Definir los términos semejanza y congruencia de líneas y figuras geométricas y, la



Constante de proporcionalidad y la manera de establecer la proporcionalidad de una figura.

El nivel de logro se centra en el hecho de que el estudiante de tercer grado comprenda el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplique los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas. En matemáticas los objetos semejantes son los que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño; los objetos congruentes tienen el mismo tamaño así como la misma forma. Si dos figuras son congruentes también son semejantes; sin embargo, si dos figuras son semejantes no siempre son congruentes. En forma intuitiva se podría definir que dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, de otro modo, si una de ellas se puede superponer en la otra. Dos segmentos son congruentes, si y solamente si, tienen la misma medida. Para medir los segmentos usamos una regla graduada. Se considera importante conducir al alumno a la noción de medida. La relación de congruencia entre segmentos es una relación de equivalencia. Se dice que dos ángulos son congruentes, si y solamente si, tienen la misma medida. Para medir los ángulos usamos el transportador. La relación de congruencia entre segmentos es una relación de equivalencia. Lo que debemos saber hacer Pasemos a destacar algunos criterios para la congruencia de triángulos, intuitivamente, para determinar que dos triángulos son congruentes, habría que verificar que los lados de un triángulo son congruentes con los del otro y lo mismo

con los ángulos, sin embargo como se verá a continuación basta con analizar menos elementos. Criterio LLL. (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes

Criterio LAL (Lado, Angulo, Lado). Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos también congruente.

Criterio ALA (Angulo, Lado, Angulo). Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos también congruente.

La semejanza significa que hay algún parecido entre las figuras que se están comparando. Las figuras congruentes son idénticas o casi lo son entre los elementos o líneas, o ángulos que las constituyen; de forma intuitiva se podría decir que dos figuras geométricas son semejantes si una es una reducción o ampliación de la otra. Por ejemplo:

Los humanos somos semejantes pero no necesariamente somos congruentes, pues todos somos físicamente distintos. Dos figuras son congruentes, si es posible colocar una sobre la otra de manera tal que coincidan todas sus partes por ejemplo en los triángulos que son congruentes todos sus lados y ángulos miden lo mismo. El símbolo de congruencia es ≌ y se puede escribir entre dos triángulos por ejemplo: el triángulo ABC ≌ con el triángulo DEF. El símbolo de la semejanza es ~ Como definimos anteriormente, la idea de ampliar o reducir nos lleva al concepto de semejanza. Luego de haber estudiado el concepto de congruencia, los alumnos de tercero de secundaria pueden estudiar la semejanza como una relación más general que el de la congruencia. Recordemos que se afirmó en párrafos anteriores, que intuitivamente, dos triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño; sin embargo, intuitivamente, si dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes, como se muestran a continuación:

De la misma manera en que establecimos algunos criterios para determinar la congruencia, también podemos tener criterios para determinar la semejanza que pasamos a destacar. Criterio LLL (Lado, Lado, Lado). Si los tres lados de un triangulo son proporcionales a los tres lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

Criterio AA (Angulo, Angulo). Si dos ángulos de un triangulo son congruentes a dos ángulos de otro, entonces los triángulos son semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Para leer más sobre el tema Consultar Billstein, Libeskind y Lott (2008). Matemáticas para maestros de Educación Básica. México: MLMateos EDITOR. S.A de C.V. pp 644 a 697. http://www.geocitiescom/fudbiro/Antecedentes.html Las proporciones son comparaciones entre figuras o cuerpos geométricos. Implican que haya un antecedente numérico y un consecuente transformándose en dos razones relacionadas numéricamente por ejemplo: La proporcionalidad de un segmento o línea que mide 6 centímetros de longitud la tendría otra que mide 2 centímetros y diríamos, que esta última es la tercera parte de la primera; entonces la proporción implica medición y en matemáticas se puede medir todo lo que sea mensurable en el mundo físico: figuras geométricas, reparto de utilidades en una empresa, el ingreso per cápita de un país, los impuestos de acuerdo al salario y el tiempo trabajado, etc. De acuerdo a lo anterior y tratándose de líneas o de figuras geométricas hablamos de segmentos proporcionales de una media proporcional o inclusive de una proporción total entre dos entidades geométricas. Por ejemplo: Podemos dividir un segmento en otros dos a los que se les haya atribuido una proporcionalidad. Para el ejemplo que nos ocupa si queremos dividir un segmento en dos en la proporción 2 y 5 tendremos un segmento que en total mide 7 cm (si es la unidad de longitud que se considera) Para leer más sobre el tema Consultar Baldor, A. (1967). Geometría plana y del espacio. Bilbao España: Vasco Americana S.A.. pp 89 a la 103.

Franco, F. (2006). Didáctica de la Geometría Euclidiana. Bogotá: Editorial Magisterio. pp 118 a 221. SMSG. (1979). Estudios de Matemáticas. Volumen IX. EUA: Universidad de Stanford. pp 345 a 357.

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

Algunas ideas preliminares La importancia de proponer determinadas sugerencias, tienen como referente los bajos resultados obtenidos en la asignatura de matemáticas, los cuales son medidos por parámetros internacionales; éstos muestran resultados decepcionantes, según la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) En las escuelas secundarias se continúa con la enseñanza de los conceptos matemáticos que se han adquirido en el nivel anterior; sin embargo una gran dificultad es que no se ejemplifican correctamente, ni se contextualizan. Cada contenido se explica llanamente por lo expuesto en él; es decir, no existe una explicación secuencial lo cual es un error, ya que cada uno de los conceptos debe estar articulado como un todo. Dentro de los programas del nivel, la labor del maestro es propiciar situaciones de aprendizaje en las cuales los estudiantes se apropien del conocimiento, que se sientan atraídos por los contenidos que se desean trabajar con ellos; la manera en que se logra ese objetivo es tratar de vincular el conocimiento con experiencias cotidianas de su vida diaria. El Programa Oficial de Matemáticas de 2011 sugiere trabajar esta asignatura mediante la resolución de situaciones problemáticas, que contribuyen a despertar la curiosidad del alumno y les permite, a partir de las preguntas planteadas por el docente, explorar entre las nociones conocidas y utilizarlas para adquirir nuevos conocimientos. Esto es precisamente lo que se ha hecho en la sección anterior recuperar los conocimientos previos del estudiante para poder anclar los nuevos que se quiere propiciar. Implica también que el estudiante de secundaria pueda visualizar las funciones matemáticas a través de las estrategias que se proponen en el aula. (Revisar este planteamiento en Cantoral, R. (2001). Funciones Visualización y Pensamiento Matemático. México: Pearson Educación). Se pasa a continuación a destacar algunas sugerencias para trabajar los temas identificados en las secciones anteriores.

Tema

Figuras congruentes o semejantes

Bloque: I Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos. Contenido/Habilidad Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Especificación: Enunciar los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones.

Tips de semejanza de figuras  Dos figuras son semejantes si poseen la misma forma pero diferente tamaño.  La semejanza se reconoce por la relación proporcional entre los lados homólogos y por al congruencia de los ángulos homólogos.  La proporcionalidad es una constante que determina si la relación entre las figuras es de reducción o de ampliación.  La constante se calcula mediante la razón entre los lados homólogos de la figura.

La semejanza en triángulos se da por dos teoremas 1. Teorema de la semejanza LLL. Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. 2. Teorema de la semejanza LAL. Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo, y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. A continuación se presenta una tabla que puede ayudar a los alumnos a comprender mejor los criterios de semejanza de triángulos. Ejercicios para analizar si dos triángulos son semejantes. En la siguiente tabla se presentan diversas figuras. Analiza y contesta las preguntas.

12 cm

60 cm

4.5 cm

16 cm 32°

10 cm

60°

8 cm

FIGURAS

10 cm

18 cm

32° 8 cm

9 cm

7.5 cm 20 cm

5 cm

60°

12 cm

60° 6 cm

¿Poseen la misma forma? ¿Poseen el mismo tamaño? ¿Hay relación proporcional entre sus lados? ¿Es la misma constante de proporcionalidad entre sus lados? ¿Cuál es su contante de proporcionalidad? ¿Hay congruencia (son iguales) entre sus ángulos homólogos? ¿Los triángulos son semejantes? ¿Cuál fue el criterio de semejanza que se utilizó de los dos teoremas descritos en el cuadro verde?

Uso de los criterios de semejanza de triángulos para encontrar distancias en situaciones problemáticas 1. ¿A qué distancia se encuentra la isla de la orilla?

?

75 m 400 m

45 m

2. ¿Cuál es la anchura del río?

5cm 37 cm

3.

13 cm

Calcular la longitud del cono de sombre de la luna (distancia LI).

Sol I

150,000,000 km L 1738 km

S 95 000 km

4. ¿Cuál es la capacidad del recipiente? (Aplicación de triángulos semejantes para obtener volumen y luego la capacidad del recipiente) 40 cm

30 cm 50 cm

5.

¿Cuál es la altura del árbol?

1.75 m 2.50 m

35 m

USO DE TIC http://mx.tiching.com/content/search/?q=semejanza. Para encontrar medidas de lados de triángulos rectángulos….ejercitación electrónicamente. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Semejanza_triangulos/in dex.htm

Tema

Ecuaciones cuadráticas

Bloque: I Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema: Patrones y ecuaciones Subtemas: - Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. - Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Representar situaciones con expresiones algebraicas 1. Escribe en tu cuaderno expresiones algebraicas que representan las siguientes situaciones: El uso de ecuaciones cuadráticas a) El producto de dos números enteros consecutivos. b) El producto del antecesor y el sucesor de un número entero. c) El área de un rectángulo cuya altura es el triple de la base. d) El área de un triángulo de base 4 y altura 2x. 2. Completar de manera que se cumpla la identidad: a) (

+ 1)2 = x2 +

b) x2 – 4 = (x +

) (x -

)2 =

c) (2c d) (

+1

)2 = 9a2 +

g) x2 –

+ 16 = (x +3)(

Existen ecuaciones cuya solución o soluciones se pueden obtener fácilmente, utilizando algunas operaciones aritméticas, incluso, mentalmente, por ejemplo:

+ b2

+

f) (3a +

h) (

La ejercitación con los productos notables y la factorización es necesaria.

- 12c +

)2=

e) (3a +

+4 )2

(x² -- 5)/2 = 10, donde, x² -- 5= 10 (2), lo cual es igual x²= 20 + 5, así que x² debe ser 25, y las dos soluciones son 5 y -5.

- 3)= x2 - 9

i)

a2 - 4 = (

j)

9x2 – 25y2 = (3x +

Es importante traducir expresiones algebraicas a situaciones diarias y viceversa, para que el tema tome sentido para el alumno.

)

)2=x2 + 2xy +

+

El cálculo de productos notables y la factorización de polinomios no deben tratarse en momentos separados, pues es importante que los alumnos comprendan que se trata de procesos inversos y utilicen desde el inicio los productos notables para factorizar polinomios

+ 2) (a -

)

) (3x -

)

3.

Contesta las siguientes preguntas y explica cómo llegaron al resultado. Pueden usar calculadora. a) Si al cuadrado de un número le sumas 25 y se obtiene 250. ¿Cuál es el número? ¿Cuántos números hay que cumplan lo anterior? b) El producto de dos números consecutivos es 132. ¿Cuáles son esos números? ¿Cuántas parejas de números cumplen lo anterior? c) ¿Cuántos números hay cuyo cuadrado sea -169? d) Existe algún número x que satisfaga la condición (x + 2)² = -25 e) ¿Puede ser negativo el cuadrado de un número? Expliquen sus respuestas y discutan con sus compañeros. 4. Juego: Rompecabezas de expresiones cuadráticas Propósito: Ejercitar el producto de binomios al cuadrado y la factorización de binomios al cuadrado. Es importante que cada alumno, antes de empezar a recortar las fichas, RESUELVA LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO QUE APARECEN, escriba las ecuaciones en forma factorizada en cada una de las fichas y confronte sus resultados con otro compañero o compañera para evitar que, al tener algún error, no pueda conseguir la solución del rompecabezas. Se puede proceder al revés, es decir que los alumnos multipliquen las expresiones que vienen factorizadas y busquen la expresión de segundo grado correspondiente. El docente entregará a los alumnos las bases donde se pondrán las piezas del rompecabezas como se ilustra más adelante en el cuadro. En una segunda fase, una vez recortadas todas las fichas, el alumno debe formar un rectángulo similar al rectángulo inicial pero de forma que cada ficha esté rodeada por expresiones algebraicas correspondientes.

5. Juego: Dominó de ecuaciones cuadráticas Propósito: Que el alumno desarrolle productos de binomios al cuadrado y factorice ecuaciones cuadráticas, tomando en cuenta que estos dos procesos son inversos. En el siguiente gráfico se muestra una tarjeta recortable que puede utilizarse para ese fin.

USO DE TIC Para realizar ejercicios sobre ecuaciones cuadráticas visita esta liga: http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado.php?a=4 Para ejercicios de tarea, de aplicación etc., puedes visitar la página: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_ecuaciones_ segundo_grado/index_3quincena3.htm

FICHERO DE MATEMÁTICAS FICHA: Cuadrados Algebraicos. Página 104-105. PROPÓSITO: Aplicar los productos notables en la factorización de polinomios de segundo grado. FICHA: Patrones y ecuaciones

Páginas: 112-113

Propósito: Obtener y resolver ecuaciones cuadráticas.

Tema

Teorema de Pitágoras

Bloque: II Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida. Contenido/Habilidad Explicitación y uso del teorema de Pitágoras. Especificación Resolver problemas que impliquen aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular medidas de su entorno.

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

Pitágoras, semejanza y el cálculo geométrico

1. ¿Cuál es la longitud del segmento AB?

Existen muchísimas aplicaciones de los teoremas de Pitágoras y de semejanza al cálculo geométrico, entre las que destacan las aplicaciones del teorema de Pitágoras para obtener longitudes y distancias, y las de la semejanza al cálculo de distancias inaccesibles.

6 5 4

B

3 2 1 0 -2

-1 -1

A

1

2

3

4

5

6

7

8

-2

2. Cuánto mide la altura del rectángulo?

10 cm a=?

6 cm

3. Instrucciones para encontrar el tesoro. A partir del árbol caminar: -35 pasos hacia el este, 30 pasos hacia el norte, 15 pasos hacia el oeste, 10 pasos hacia el norte, 60 pasos hacia el este, finalmente, 20 pasos hacia el norte. ¿A cuántos pasos del árbol, en línea recta, está el tesoro?

4. Suponiendo que la superficie de la Tierra es perfectamente lisa y nada estorba la mirada, ¿hasta qué distancia alcanza a ver una persona que mide 1.75 m de estatura? ¿Y si está sobre una torre de 100 m de altura? ¿Y desde una montaña de 1000 m de altura? (Toma el radio de la Tierra igual a 6 379 km.) 1.75 m

R=6380 km

6. Un joven, amante de las caminatas, sale de su domicilio y camina primero 2,400 metros hacia el norte y luego 700 m hacia el este. ¿A qué distancia se encontrará el punto de partida? (Dibuja una gráfica). R= ___________________________ 7. ¿Cuál será la longitud de un tirante de alambre que sujeta a un poste vertical, si está atado al poste a una altura de 3.2m y está clavado en el suelo horizontal a una distancia de 2.4 m de la base del poste? (Dibuja una gráfica). R= ___________________________ 8. Calcula la altura “h” a la que vuela el cometa del dibujo siguiente:

9. Determina, aproximando a metros enteros, la distancia en el suelo horizontal, recorrida por un avión desde que despega en vuelo inclinado si al volar 800 m se encuentra a una altura de 600m. R= ___________________________ 10. Encuentra la altura de la rampa dibujada enseguida.

USO DE TIC Encontrar área de triángulos usando el teorema de Pitágoras. Para encontrar medidas de lados..ejercitación mental, razonamiento, inteligencia fluida, memoria, concentración, atención……. http://www.matematicas.net/triangrectangulo.php?a=3 Para ejercicios de tarea, información, etc., visita la página: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_2eso_semejanza_teore ma_pitagoras/index_2quincena7.htm.

FICHERO DE MATEMÁTICAS PÁGINA 110-111 FICHA: Pitágoras en el Geoplano. PROPÓSITO: Utilizar las fórmulas para el cálculo de perímetros, área y volúmenes, así como los Teoremas de semejanza, de Pitágoras y la trigonometría para resolver numerosos problemas de cálculo geométrico. Referencias Bibliográficas de esta sección (s.f.). Obtenido de http://www.matematicas.net/triangrectangulo.php?a=3 (s.f.). Recuperado el 28 de Octubre de 2012, de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_ ecuaciones_segundo_grado/index_3quincena3.htm (s.f.). Recuperado el 28 de octubre de 2012, de http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado.php?a=4 (s.f.). Recuperado el 29 de Octubre de 2012, de USO DE TIC (s.f.). Recuperado el 28 de Octubre de 2012, de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Semejanza_tri angulos/index.htm (s.f.). Recuperado el 28 de octubre de 2012, de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_2eso_ semejanza_teorema_pitagoras/index_2quincena7.htm Almaguer, G. B. (1994). Matemáticas 3. México: Limusa, S. A. de C. V. Phillips, E. B. (1995). Álgebra con Aplicaciones. DF: Metropolitana de Ediciones S A de C.V. SEP. (2001). Ficehero de Actividades Didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria. MÉXICO: SEP. SEP. (1994). Libro para el Maestro. Educación Secundaria.Matemáticas. México: SEP. SEP. (2011). Programa de Estudios 2011. Guía para el Maestros. Educación Básica Secundaria. Matemáticas. México: SEP.

Recomendaciones para

Examen de Enlace Intermedia 2012

DURANTE EL EXAMEN Revisar bien el contenido de cada pregunta En la prueba se van a contestar varias preguntas con base a un mismo texto (lectura, imagen, gráfica, fotografía, etc.); por lo que es necesario leer y entender el texto muy bien y releer si es necesario. Concentrarse en la idea de cada pregunta; si se requiere hacer ejercicios se pueden usar los espacios en blanco de la prueba (cuadernillo). Para contestar correctamente la prueba se puede hacer lo siguiente: A) Preguntarse: ¿Qué es lo que se me está preguntando? B) Identificar las ideas importantes de cada pregunta. C) Para localizar información requiere ir al texto, con la pregunta y el concepto clave como guías. Utilizar el total del tiempo destinado a contestar la prueba. Evitar desesperarse si se observa que varios de tus compañeros ya terminaron. Recuerda que el reto es que tú logres un buen resultado. Revisar bien las respuestas y cuidar que la letra de la opción que elegida corresponda al número de la pregunta. Entregar la prueba hasta estar completamente seguro de lo que contestó. Reservar 10% de su tiempo de examen para la revisión. Repasar su examen Resistir el impulso a salir tan pronto ha completado todos los ítems Asegurarse de haber contestado todas las preguntas. Verificar sus respuestas en matemáticas para errores por descuido (por ejemplo, errores en los decimales). Comparar sus actuales respuestas a los problemas con una rápida estimación.

DESPUÉS DEL EXAMEN Analizar los resultados del examen Utilice sus exámenes para repasar Decidir acerca de qué estrategia de estudio funcionó mejor y adoptarla Identifique aquéllas que no funcionaron bien y reemplácelas. ¡Recordar que ENLACE es una oportunidad para que todos los alumnos demuestren sus competencias!

PRÁCTICA CON REACTIVOS

1. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área sombreada? A) b(b + a)

Bloque I

B) (b-a)-a2

Eje: Sentido algebraico.

C) a2-b2

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones.

D) b2-a2

Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

2. Un triángulo tiene una base de X + 4 y una altura de X + 2, ¿cuál será el valor de X (positivo), si su área es de 24 m2? Bloque II Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema: Patrones y ecuaciones. Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. A) X= -10m

C) X= -4 m

B) X= 4 m

D) X= 10 m

3. Dadas las áreas de cada uno de los cuadriláteros que integran el rectángulo (Fig.1). Encuentra la expresión algebraica que Bloque I representa el área total. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico. X 3 3 Fig.1 Tema: Patrones y ecuaciones. X 3 3 Contenido: Resolución de problemas que X 3 3 impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u 2 3X 3X A) 4X2 + 6X X operaciones inversas. +18 B) X2 + 6X +18 C) X2+ 9X + 18 D) X3 + X2 + 6X +18

Bloque I 4. Un niño trae "x" cantidad de dinero, ¿por qué cantidad (expresión algebraica) la tendría que multiplicar para llegar a tener ax2 + bx?

Eje: Sentido algebraico.

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones. A) a+b

C) ax+b

B) 2ax+b

D) 2ax+bx

Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

5. ¿Cuál es la factorización correcta para el siguiente trinomio? Bloque II m2

_

9m + 18

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema: Patrones y ecuaciones.

A) (m-3) (m-6) B) (3m-6) (3m-3) C) (m+6) (m-3)

Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

D) (m-6) (m+3)

6. En el siguiente diagrama el ángulo ABC mide 46° ¿Cuál es el valor del ángulo AOC? Bloque I Eje: Forma, espacio y medida. Tema: Figuras y cuerpos.

A) 46° C) 92° B) 23°

D) 82°

Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

7. La siguiente figura representa 1/8 de un círculo. ¿Cuál sería el área de la región sombreada?

12 cm

Bloque I

A) 56.12 cm2 B) 10.99 cm2

Eje: Sentido algebraico.

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones. Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

C) 31.44 cm2 D) 50.24 cm2

8. José recibió de herencia un terreno cuadrado y con el paso del tiempo compró otro de forma rectangular con 9 m de frente Bloque I por 24 m de fondo. Si al sumar sus áreas Eje: Sentido numérico y pensamiento encuentra que tiene 745 m2. algebraico. ¿Cuál es la medida de uno de los lados del Tema: Patrones y ecuaciones. terreno que recibió de herencia? Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u A) 372.5 m B) 24 m operaciones inversas. C) 24.5 m D) 23 m

9. Si lanzamos dos dados marcados cada uno del 1 al 6 en sus caras y sumamos los números resultantes, ¿cuál es la probabilidad de que no caiga un número mayor que tres? A) 1/36

C)

6/36

B) 1/12

D)

11/12

Bloque I Eje: Manejo de la información. Tema: Nociones de probabilidad. Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

10. ¿Qué hace falta para que estos dos triángulos sean semejantes?

Bloque I Eje: Forma, espacio y medida. A) Que sus tres lados tengan la misma Tema: Figuras y cuerpos. medida. Contenido: Explicación de los criterios de B) Que se agregue la medida del ángulo que congruencia y semejanza de triángulos a partir falta en cada uno. de construcciones con información C) Que sus lados homólogos sean determinada. proporcionales congruentes.

y

sus

ángulos

sean

D) Que dos lados y un ángulo homólogos sean congruentes.

11. Mary le preguntó el número de lista a Pedro y este le respondió: Mi número multiplicado por sí mismo, restándole seis y sumándole setenta y dos, resulta 262. ¿Cuál es mi número de lista? Bloque I A) 16

Eje: Sentido algebraico.

B) 13

Tema: Patrones y ecuaciones.

C) 15

Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

D) 14

numérico

y

pensamiento

12. Observa la gráfica y determina cuál es la razón de cambio de la distancia (km) respecto al tiempo (minutos).

Bloque I Eje: Manejo de la información. Tema: Proporcionalidad y funciones.

A) 1/2 B) 2 C) 40/60 D) 3

Contenido: Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

13. Si el área del siguiente rectángulo es de 36x4 -121y2, ¿cuáles son las expresiones algebraicas que representan sus Bloque I dimensiones? Eje: Sentido algebraico.

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones.

A) base = 6x, altura = 11y B) base = 6x + 11y, altura = 6x-11y

Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

C) base = 6x2, altura = 11y D) base = 6x2 + 11y, altura = 6x2 – 11y

14. El paralelogramo ABCD forma dos triángulos congruentes AMD y CMB por el criterio LAL (lado-ángulo-lado), ¿qué relación hay entre el segmento AD y el segmento BC? Bloque I Eje: Forma, espacio y medida. Tema: Figuras y cuerpos. Contenido: Explicación de los criterios de A) El segmento AD es dos veces mayor al congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información segmento BC. determinada. B) El segmento AD es mayor al segmento BC. C) El segmento AD es menor al segmento BC. D)

Los dos segmentos son congruentes.

15. Observa la figura siguiente.

Bloque I Eje: Forma, espacio y medida. Tema: Figuras y cuerpos. ¿Cuánto mide el ángulo POQ? A) 90°

Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

B) 94° C) 60° D) 47°

16. El siguiente dibujo representa el interior de una manguera, ¿cuál es el área de la región sombreada? Bloque I Eje: Sentido algebraico.

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones. Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

A) 25.12 cm2

C) 50.24 cm2

B) 12.56 cm2

D) 125.6 cm2

17. Observa el dibujo siguiente que representa las secciones de un pastel de 30 cm de diámetro que se repartieron entre un grupo de estudiantes.

Bloque I Eje: Sentido algebraico.

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones. Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u ¿Cuánto vale el área del pastel que comieron operaciones inversas. los hombres? A) 706.50 cm2

C) 235.50 cm2

B) 431.00 cm2

D) 471.00 cm2

18. Lee lo siguiente: "La base de un rectángulo es igual al cuadrado de la altura del rectángulo Bloque II aumentada en 6 y además Eje: Sentido algebraico. equivale a ocho veces la altura."

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones. ¿Cuál ecuación representa el enunciado Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando anterior? la factorización. A) 6 - a2 = 8a

C) a2+6 = 8a

B) 6a2 = 8 + a

D) 6 – a = 8a

19. El área de la foto y el portarretratos se representa con la siguiente expresión x2 +16X-105 = 0, donde x es la medida de la base del portarretratos. Resuelve la ecuación para encontrar la medida de la base del portarretratos. Bloque I Eje: Sentido algebraico.

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones. Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. x A) x = 5 B) x = 4 C) x = 21 D) x= -5

20. ¿Cuál es el criterio de semejanza entre los dos triángulos mostrados? Bloque I Eje: Forma, espacio y medida. A) Los dos triángulos tienen los tres lados y ángulos iguales. B) Los dos triángulos tienen los tres lados y ángulos proporcionales. C) Los dos triángulos tienen los tres ángulos iguales. D) Los dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.

Tema: Figuras y cuerpos. Contenido: Explicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

21. La siguiente tabla muestra los índices de analfabetismo funcional de algunos países europeos. País Indice % Bloque I Suecia

7.5

Eje: Manejo de la información.

Noruega

7.9

Tema: Proporcionalidad y funciones.

10.5

Contenido: Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación.

Países Si en Alemania Bajos existen Finlandia aproximadamente

10.4

82 500 000 Dinamarca 9.6 personas, ¿cuántas 14.4 personas son Alemania analfabetas funcionales?

Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

A) 70 620 000 B) 11 880 000 C) 5 729 166 D) 73 837 500

22. Un estudiante tiene una bolsa con canicas de tres colores: azules, blancas y rojas. Al hacer una simulación, un estudiante sacó 30 canicas y registró sus resultados. Obtuvo una probabilidad experimental de sacar canicas blancas de 20 %, ¿cuántas veces sacó canicas blancas? A) 6

B) 2

C) 4

D) 5

Bloque I Eje: Manejo de la información. Tema: Nociones de probabilidad. Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

Bloque I 2

2

23. Encuentra el resultado de (5x - 3)

Eje: Sentido algebraico.

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones. A) 25x4 + 30x2 + 9

C) 25x4 -15x2 - 9

B) 25x4 - 30x2 + 9

D) 5x4 + 9

Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Bloque I 24. Si el binomio (x - 4) es factor de 2

x - 14x + 40, ¿cuál binomio es el otro factor?

Eje: Sentido algebraico.

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones. A) (x + 10)

C) (x -7)

B) (x - 10)

D) (x -36)

Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

25. Si en el paralelogramo ABCD mostrado, el ángulo ABC mide 51°, el ángulo CAD mide 83°, ¿cuánto mide el ángulo ACB? Bloque I Eje: Forma, espacio y medida. Tema: Figuras y cuerpos. Contenido: Explicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

D

A) 51°

B) 83°

C) 60°

D) 46

26. Los números consecutivos se expresan de la siguiente manera: x, x + 1 , x + 2, x + 3, ... ¿Cómo se traduce al lenguaje común la siguiente ecuación? Bloque II 2 2 2 (x) + (x + 1) +(x + 2) = 540 Eje: Sentido

numérico

y

pensamiento

algebraico. A) La suma de los cuadrados de tres números consecutivos equivale a 540. B) El cuadrado de la suma de tres números consecutivos equivale a 540. C) La suma de tres números consecutivos equivale a 540. D) La suma del doble de tres números consecutivos equivale a 540.

Tema: Patrones y ecuaciones. Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

27. Un grupo de alumnos tiró dos dados 100 veces y 14 veces sumaron seis puntos entre los dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma de seis puntos? Bloque I A) 14%

B) 7%

C) 12%

D) 6%

Eje: Manejo de la información. Tema: Nociones de probabilidad. Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

28. El área de un campo de fútbol se expresa de la siguiente manera x2 +12x + 35, ¿cuáles son las expresiones algebraicas que Bloque II representan las dimensiones del campo? Eje: Sentido algebraico.

numérico

y

pensamiento

Tema: Patrones y ecuaciones. Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. A) (x- 7) (x- 5) B) (x+7) (x- 5) C) (x+12) (x+35) D) (x+7) (x+5)

29. El siguiente dibujo muestra dos estructuras que se usan para levantar vehículos pesados e inspeccionar el fondo de ellos. La figura marca que PQRS es un paralelogramo. Bloque I Eje: Forma, espacio y medida. Tema: Figuras y cuerpos. Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, Si el perímetro del paralelogramo PQRS es de cuadrados y rectángulos) y análisis de sus 8.5 m y el segmento QR = 3 metros, ¿cuánto propiedades. mide la barra RS? A) 1.25 m B) 1.5 m C) 2.5 m D) 1.75 m

30. Juan resolvió la siguiente ecuación utilizando la factorización, ¿en qué paso Juan tuvo el error inicial? 1) 4m2 + 65m = 5m

Bloque II

2) 4m2 + 65m – 5m = 0

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.

3) 4m2 + 60m = 0

Tema: Patrones y ecuaciones.

4) 4m(m + 60m) = 0 5) 4m= 0

m + 60 = 0

6) m=0

m = -60

A) En el 4 B) En el 3 C) En el 2 D) En el 6

Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

CONSULTA DE RESULTADOS

ENLACE INTERMEDIA 2011

ENLACE 2012

ENLACE INTERMEDIA 2012

Ingresa a http://www.nl.gob.mx/?P=consulta_enlace_int Revise los resultados obtenidos por los estudiantes de tercer grado de secundaria de su escuela, ¿Cuáles reactivos contestaron incorrectamente más del 60% de los alumnos? ¿En qué temas se ubican esos reactivos? Consulte los resultados que obtuvieron sus alumnos para detectar debilidades y fortalezas.

Ingrese a http://www.enlace.sep.gob.mx/ba/ Revise los resultados obtenidos por los estudiantes de tercer grado de secundaria de tu escuela. ¿Cuáles reactivos contestaron incorrectamente más del 60% de los alumnos? ¿En qué temas se ubican esos reactivos? Consulte los resultados que obtuvieron sus alumnos para detectar debilidades y fortalezas.

Le recomendamos estar atento(a) a la publicación de los resultados ENLACE INTERMEDIA 2012 y revisar los resultados obtenidos por los estudiantes de su grupo. ¿Cuáles reactivos contestaron incorrectamente más del 60% de sus alumnos? ¿En qué temas se ubican esos reactivos? Establezca mecanismos de intervención docente para fortalecer las áreas de oportunidad identificadas en esta evaluación.