Rentas financieras [5.1] ¿Cómo estudiar este tema? [5.2] Concepto de renta [5.3] Clasificación de una renta [5.4] Valor de una renta [5.5] Modelos de rentas más usuales [5.6] Operaciones de constitución de un capital

TEMA

[5.7] Nuda propiedad y usufructo de una renta

Matemáticas para la economía

Esquema

TEMA 5 – Esquema

Matemáticas para la economía

Ideas clave 5.1

¿Cómo estudiar este tema?

Para estudiar este tema debes leer el capítulo 4 (páginas 71–119) del manual de la asignatura Fundamentos y Práctica de las Matemáticas Financieras, de Miguel Córdoba Bueno. Saber valorar cualquier renta en cualquier instante de tiempo es la esencia de las finanzas y ese es el objetivo de este capítulo en el que abordaremos las rentas financieras. Éstas son entendidas como la percepción de una sucesión de capitales distribuidos a lo largo del tiempo. El presente tema se estructura en seis apartados fundamentales: Concepto de renta Clasificación de una renta Valor de una renta Modelos más usuales Operaciones de constitución de un capital Nuda propiedad y usufructo de una renta

5.2. Concepto de renta En general, llamaremos renta a toda distribución de capitales en el tiempo en la que es posible identificar el capital asociado en cada instante según un esquema temporal como el siguiente: C1 t0

Siendo

i1

t1

C2

…

Cn-1

t2

…

tn-1

i2

el tipo de interés entre

y

,y

Cn in

tn

el capital asociado a cada instante

.

En toda renta existirá siempre un origen y un final temporal, una duración, los capitales aportados, los instantes temporales en los que se aplica y su valor financiero.

TEMA 5 – Ideas clave

Matemáticas para la economía

De forma generalizada podemos definir el valor actual de una renta como la actualización de todos los capitales

hasta el instante inicial

, mientras que el valor

final se obtendrá capitalizando todos los capitales hasta el punto final

.

5.3. Clasificación de una renta Existen muchos tipos de rentas clasificables en función de diversos criterios: A. Según la certeza de los capitales: Ciertas: los capitales sólo dependen del tiempo. Aleatorias: no se sabe con certeza si se producen ni cuándo o cuánto. B. Según la cuantía de los términos: Constantes: cuando todos los capitales son iguales. Variables: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto: o Variables aleatorias; sin seguir una ley matemática. o Variables ordenadas; siguiendo una ley matemática: 1.

En progresión geométrica.

2.

En progresión aritmética.

C. Según la periodicidad de los tiempos: Períodos uniformes. Períodos variables. D. Según el número de términos: Temporal: tienen un número finito de capitales. Perpetua: tienen un número infinito de capitales. E. Según su periodicidad: Anuales. Trimestrales. … F. Según el vencimiento del término: Postpagable: los capitales se encuentran al final de cada período de tiempo. Prepagable: los capitales se sitúan a principio de cada período. G. Según el momento de valoración: Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final. Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen. Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al final.

TEMA 5 – Ideas clave

Matemáticas para la economía

H. Según la periodicidad del vencimiento: Entera: el término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que el tanto de valoración, cualquiera que sea la unidad tomada. No entera: el término de la renta viene expresado en una unidad de tiempo distinta a la del tanto de valoración. Fraccionada: el término de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor que aquella en la que viene expresada el tipo de valoración. I. Según la ley financiera: Simple: emplea una ley financiera simple para desplazar los capitales. Compuesta: la ley financiera empleada es la de capitalización compuesta.

5.4. Valor de una renta Definiremos el valor de una renta en función del momento en que deseemos valorarla: en el momento actual, al final o durante un instante intermedio entre ambos. A las diferentes rentas se les va a calcular su valor actual y final. Al tratarse de series matemáticas recordaremos las fórmulas que nos permiten calcular su resultado sumando su sucesión de términos cuando su variación es una progresión geométrica: ·

Para el caso de la progresión geométrica de

términos crecientes: ·

Para el caso de la progresión geométrica de de dicha progresión,

términos decrecientes y siendo

el primer término de la sucesión y

la razón

el último.

Valor actual de una renta El valor actual de una renta constituye el equivalente financiero de los capitales que la componen en el instante inicial

TEMA 5 – Ideas clave

.

Matemáticas para la economía

C1 t0

i1

t1

C2

…

Cn-1

t2

…

tn-1

i2

Cn in

tn

Con lo que aplicaremos la Ley de descuento compuesto, en función de los intereses, a cada uno de los periodos para calcular su valor actual

∏

:

·

Y considerando intervalos temporales idénticos y unitarios obtendremos:

∏

,

Y asumiendo un interés único para cada período

.. :

Valor final de una renta El valor final de una renta constituye el equivalente financiero de los capitales que la .

componen en el instante final

C1 t0

i1

t1

i2

C2

…

Cn-1

t2

…

tn-1

Cn in

tn

Con lo que aplicaremos la Ley de capitalización compuesta a cada uno de los periodos para calcular su valor final

TEMA 5 – Ideas clave

:

Matemáticas para la economía

·

·

Y como en el caso del valor actual, consideraremos los intervalos temporales idénticos y unitarios obteniendo:

·

Y asumiendo de nuevo un interés único para cada período

,

. . , obtenemos:

·

Valor de una renta en un momento determinado Utilizaremos la ecuación del valor final de una renta

C1 t0

i1

t1

i2

C2

CT

…

Cn-1

t2

tT

…

tn-1

en el momento determinado .

Cn in

tn

Con lo que se obtendría:

·

·

Aunque este planteamiento sea más ortodoxo, no resulta extraño que cuando el instante

no coincide con un subintervalo

instante identificado

y se aplique el interés simple desde dicho instante hasta el

momento determinado .

TEMA 5 – Ideas clave

se aplique el interés compuesto hasta el

Matemáticas para la economía

5.5. Modelos de rentas más usuales A continuación explicaremos algunas de las rentas más usuales en nuestro sistema financiero. Renta inmediata, temporal, constante y postpagable La renta inmediata, temporal, constante y postpagable significa que la renta genera intereses desde el instante inicial, es finita, de capital constante en el tiempo y los intereses se pagan al final de cada periodo.

t0

C

C

C

…

t1

t2

t3

…

C

C

C

tn-1

tn

Y aplicando la fórmula del valor actual de una renta:

Que representa una serie matemática geométrica decreciente de razón la fórmula correspondiente:

·

Se obtiene:

· ·

·

y resumiendo:

·

TEMA 5 – Ideas clave

, y aplicando

Matemáticas para la economía

Para el caso del valor final de esta renta aplicaremos la fórmula correspondiente:

·

Que constituye otra serie matemática geométrica decreciente de razón ·

·

:

·

y resumiendo de nuevo:

· Renta inmediata, temporal, constante y prepagable A diferencia de la anterior, los intereses generados por esta renta se pagan al principio de cada periodo:

C

C

C

C

…

t0

t1

t2

t3

…

C

C tn-1

tn

Cuya serie geométrica difiere de la anterior en el valor del primer y el último término de la sucesión de valores correspondientes:

Y aplicando la regla correspondiente para la suma de la serie y para el valor actual:

· ·

TEMA 5 – Ideas clave

·

·

Matemáticas para la economía

Y resumiendo:

·

·

Y en el caso del valor final:

·

Cuya suma verifica: ·

·

·

·

·

·

Renta diferida, temporal, constante postpagable La renta genera intereses a partir de un instante

, equivalente a

periodos, es finita

en el tiempo, con rendimientos de capital constantes y que los intereses se pagan al final de cada periodo de generación. Gráficamente tendríamos:

t0

t1

t2

…

C

…

td td+1

…

Y aplicando la fórmula del valor actual de una renta:

TEMA 5 – Ideas clave

C

C

C

tn-1

tn

Matemáticas para la economía

Que representa una serie matemática geométrica decreciente de razón

:

·

Con lo que obtenemos:

·

·

·

·

·

·

·

·

Observamos que el primer y el tercer término de la igualdad representan el valor inicial de la renta inmediata, temporal, constante y postpagable en el instante podemos representar como

, la cual

, con lo que obtendremos:

·

Nota: Algunos autores denominan al valor inicial de la renta diferida como valor inicial de la renta inmediata en el instante

como

, con lo que la ecuación

anterior podrá verse expresada como:

·

Para el cálculo del valor final:

·

·

TEMA 5 – Ideas clave

·

y al

·

Matemáticas para la economía

Que constituye otra serie matemática geométrica decreciente de razón ·

·

:

·

Que constituye la expresión de una renta inmediata para

periodos temporales.

Renta diferida, temporal, constante prepagable En este caso y a diferencia del apartado anterior, los intereses generados por la renta se pagan al principio de cada periodo. Gráficamente tendríamos: C t0

t1

t2

…

C

…

td td+1

…

C

C tn-1

tn

Y aplicando la fórmula del valor actual de una renta:

Que representa una serie matemática geométrica decreciente de razón

:

·

Con lo que obtenemos:

· ·

·

·

·

·

TEMA 5 – Ideas clave

·

·

Matemáticas para la economía

Observamos que el primer y el tercer término de la igualdad representan el valor inicial de la renta inmediata, temporal, constante y postpagable en el instante podemos representar como

, la cual

, con lo que obtendremos:

· Nota: Al igual que en el caso de la nota anterior, algunos autores denominan al valor inicial de la renta diferida como como

y al valor inicial de la renta inmediata en el instante

, con lo que la ecuación anterior podrá verse expresada como:

·

Para el cálculo del valor final:

·

·

·

·

Que constituye otra serie matemática geométrica decreciente de razón

·

·

·

:

·

Que constituye la expresión de una renta inmediata prepagable para

periodos

temporales. De modo análogo procederemos para otros tipos de rentas.

5.6. Operaciones de constitución de un capital En determinadas ocasiones, los individuos deciden construir un capital mediante aportaciones periódicas, así definimos como operación de constitución de capitales a la renta que aportamos con el objetivo de obtener su valor final.

TEMA 5 – Ideas clave

Matemáticas para la economía

5.7. Nuda propiedad y usufructo de una renta Como indicábamos al explicar el concepto de renta, las rentas poseen un capital y unos intereses generados por éste. Financieramente se denomina nuda propiedad a los derechos sobre el capital de la renta mientras que se denomina usufructo al derecho a percibir los intereses de dicho capital. En un momento dado y para una renta dada podremos hablar del valor de su usufructo y/o del valor de su nuda propiedad. Si segregamos las cuotas de ambos componentes obtendremos:

Para el valor actual de la nuda propiedad y

Para el valor actual del usufructo. Se verifica que:

TEMA 5 – Ideas clave

, salvo en el caso que se cumpla que

.

Matemáticas para la economía

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Webgrafía Cómo programar rentas en Excel En esta web encontrarás información sobre la valoración de rentas postpagables y prepagables.

http://trucosexcel.blogspot.com/2009/03/valoracion-de-rentas-pospagables-y.html

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Matemáticas para la economía

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http://www.valoryempresa.com/archives/cursos/maths2/mate1019.htm Rentas financieras En esta página web de Aula Fácil encontrarás un curso sobre rentas financieras. Repasa las lecciones 14 a la 25.

http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza14.htm

TEMA 5 – + Información

Matemáticas para la economía

Test 1. Un inversor ha obtenido una rentabilidad de su inversión del 3,40% durante los tres primeros años. Si la rentabilidad total de la inversión es del 3,30% en cinco años, ¿cuál será la rentabilidad de su inversión durante los siguientes dos años? A. 3,35%. B. 2,95%. C. 3,15%. D. 3,2%. 2. El valor de rescate de un plan de pensiones es de 36.000,00 €. Si el beneficiario decide rescatarlo dentro de tres años, ¿de qué importe dispondrá si el tipo de interés es del 2,5%? A. 38.700 €. B. 38.768 €. C. 38.867 €. D. 36.000 €. 3. ¿Cuál es el valor final de una renta constante, inmediata, prepagable y perpetua? A. Una renta perpetua no posee valor final. B. Igual al valor inicial. C. Sólo es posible el cálculo de rentas postpagables. D. Ninguna de las anteriores. 4. Si una renta anual constante, postpagable e inmediata a 10 años, con un interés del 3%, es de 1.492.00 €, ¿cuál sería su valor actual: si la convirtiéramos en anticipada a 5 años? A. 1.924,00 €. B. 1.492,00 €. C. 1.192,00 €. D. Ninguna de las anteriores.

TEMA 5 – Test

Matemáticas para la economía

5. Según el momento de valoración de una renta, ésta puede ser: A. Constante o variable. B. Cierta o aleatoria. C. Temporal o perpetua. D. Inmediata, diferida o anticipada. 6. Un proyecto de inversión proporciona una rentabilidad de 28,50 % en cinco años. ¿Cuál será su rentabilidad anualizada? A. 5,14 %. B. 5,70 %. C. 5,94 %. D. 4,96 %. 7. ¿Cuál es el valor inicial de una renta postpagable e inmediata de 20 periodos semestrales constantes, con un término anual de 900 €, utilizando un tipo de interés semestral de 1,25%? A. 18.000,00 €. B. 7.870,50 €. C. 8.750,50 €. D. 9.000,00 €. 8. Si depositamos 300 € mensuales en un plan de jubilación a 15 años con un interés acumulado mínimo del 3%, ¿qué capital mínimo obtendremos al jubilarnos? A. 68.039,20 €. B. 84.130,24 €. C. 54.000,00 €.  D. 73.440,00 €.  9. ¿Cuál es el valor inicial de una renta constante, inmediata y prepagable, de 12 periodos anuales, cuyo capital es de 360 € y el tipo de interés del 2,5%? A. 3.875,21 €. B. 3.692,80 €. C. 3.785,12 €. D. 3.592,78 €.

TEMA 5 – Test

Matemáticas para la economía

10. ¿Cuál es el valor actual de una renta inmediata prepagable de 6.000 € anuales a seis años, si los dos primeros años se actualiza al 2,5% y los cuatro restantes al 3%? A. 36.000,00 €. B. 42.569,56 €. C. 30.444,29 €. D. 34.825,33 €.

TEMA 5 – Test