CÁLCULO Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Lección 6. Derivadas parciales. Resumen de la lección. 6.1. Funciones vectoriales y curvas parametrizadas. Función vectorial. Una función vectorial de variable real es aquélla que está definida en un intervalo de R y cuyas imágenes son vectores del plano o del espacio. Es decir, en dos dimensiones, funciones de la forma c : I ⊆ R → R2 donde la imagen c (t) = (x (t) , y (t)) es un vector para cada t ∈ I. Tanto x (t) como y (t) son funciones reales de variable real que se denominan funciones componentes. La función vectorial c (t) existe, es continua o es derivable si y sólo si sus funciones componentes existen, son continuas o son derivables, respectivamente. Además, si c (t) es derivable en t0 ∈ I entonces se define la derivada en t0 como c0 (t0 ) = (x0 (t0 ) , y 0 (t0 )) . En tres dimensiones son válidas las mismas condiciones teniendo, en este caso, tres funciones componentes. Parametrización de una curva en el plano. Una curva en dos dimensiones puede entenderse como una línea continua trazada en el plano. Dada una curva C una parametrización suya es una función vectorial continua c : I ⊆ R → R2 donde la imagen de c recorre los puntos de la curva C. La curva C es parametrizable cuando existe al menos una parametrización suya. Para una misma curva parametrizable pueden existir diversas parametrizaciones. Curva parametrizada. Una curva parametrizada es una curva parametrizable para la cual se ha seleccionado una determinada parametrización, es decir aquélla que es imagen de una función vectorial dada en el plano. Dada una curva parametrizada c (t) con t ∈ [a, b] se denomina punto inicial al punto c (a) y punto final al punto c (b) . Orientación de una curva parametrizada. La orientación de una curva parametrizada c (t) con t ∈ [a, b] viene dada por el sentido de recorrido de la misma desde el punto inicial al punto final. Por lo tanto este concepto depende de la parametrización dada, es decir dos parametrizaciones distintas para una misma curva pueden determinar diferentes orientaciones. Sean c1 (t) con t ∈ [a1 , b1 ] y c2 (s) con s ∈ [a2 , b2 ] dos parametrizaciones de la misma curva C (esto es, dos curvas parametrizadas con la misma imagen), si c (a1 ) = c (a2 ) y c (b1 ) = c (b2 ) entonces ambas determinan la misma orientación sobre C (ambas curvas paramétricas tienen la misma orientación); en caso contrario determinan la orientación contraria.

Puntos múltiples. Curva simple. Sea c (t) con t ∈ I una parametrización de una curva C. Un punto P de C se dice múltiple para la parametrización c (t) si existen dos valores t1 , t2 ∈ I tales que c (t1 ) = c (t2 ) = P. Si un punto P de C no es múltiple se denomina simple. La parametrización c (t) (o bien la curva parametrizada) se dice que es simple si no tiene puntos múltiples. Una curva C es simple si existe alguna parametrización suya simple. Curva cerrada y curva de Jordan. Una curva parametrizada c (t) con t ∈ [a, b] se dice que es cerrada si el punto inicial coincide con el punto final, esto es c (a) = c (b) . Si la curva parametrizada no es cerrada entonces se llama abierta. En una curva parametrizada cerrada la orientación viene dada por el sentido del movimiento desde el punto inicial hasta sí mismo, denominándose de orientación positiva cuando dicho movimiento deja el interior de la curva a la izquierda y negativo en caso contrario. En una curva parametrizada cerrada no se considera la igualdad entre el punto inicial y el final como punto múltiple. En general una curva C es cerrada si existe una parametrización suya para la cual es una curva parametrizada cerrada. Se dice que la curva C es de Jordan si es cerrada y simple. Parametrizaciones fundamentales. 1. Parametrización de un segmento. a) Si se considera la recta que pasa por el punto (x0 , y0 ) y tiene como dirección (u, v) entonces una parametrización suya es c (t) = (x0 + tu, y0 + tv) ,

t ∈ R.

Esta parametrización determina sobre la curva la orientación que sigue el sentido del vector (u, v) . En el caso de un segmento contenido en la recta anterior se usaría la misma parametrización con t ∈ [a, b] de forma que c (a) sea el punto inicial del segmento y c (b) el punto final en el sentido anteriormente comentado. b) Otra parametrización que recorre el segmento que une el punto (x0 , y0 ) como inicial con (x1 , y1 ) como punto final es c (t) = t (x1 , y1 ) + (1 − t) (x0 , y0 ) ,

t ∈ [0, 1] .

2. Parametrización de la gráfica de una función en coordenadas cartesianas. Si se considera una curva que es el tramo de la gráfica de una función y = f (x) con x ∈ [a, b] entonces una parametrización suya en el sentido de recorrido de la variable x es c (t) = (t, f (t)) ,

t ∈ [a, b] .

Igualmente si es el tramo de la gráfica de una función x = f (y) con y ∈ [a, b] entonces se usará c (t) = (f (t) , t) con t ∈ [a, b] cuya orientación seguirá el sentido de recorrido de la variable y. 2

3. Parametrización de una curva en coordenadas polares. Si una curva viene representada en coordenadas polares por r = r (θ) con θ ∈ [α, β] entonces una posible parametrización de dicha curva en el sentido de movimiento del ángulo polar es c (t) = (r (t) cos t, r (t) sen t) ,

t ∈ [α, β] .

4. Parametrización de una elipse. Si se tiene una elipse de ecuación imx2 y2 plícita 2 + 2 = 1 entonces una parametrización de orientación positiva a b suya es c (t) = (a cos t, b sen t) , t ∈ [0, 2π] . 5. Parametrización de una hipérbola. Si se tiene una hipérbola de ecuación x2 y 2 implícita 2 − 2 = 1 entonces una parametrización de la rama de abcisas a b positivas recorrida en el sentido de la variable y es c (t) = (a cosh t, b senh t) ,

t ∈ R.

6. Traslación de una curva parametrizada conocida. Cualquier curva que sea la traslación mediante el vector (x0 , y0 ) de una curva parametrizada dada por cˆ (t) con t ∈ [a, b] puede parametrizarse como c (t) = (x0 , y0 ) + cˆ (t) ,

t ∈ [a, b] .

Curva parametrizada en tres dimensiones. De forma similar se definen curvas y parametrizaciones en el espacio tridimensional. Una curva C es una línea continua en el espacio y una parametrización suya es una función vectorial continua con tres funciones componentes, c (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) cuya imagen es la curva C. Así, se definen los conceptos de orientación, punto múltiple, curva simple y curva cerrada de la misma forma que en el plano. Todos los conceptos y resultados enunciados a continuación son válidos para curvas parametrizadas en el plano o en el espacio. Puntos regulares. Curva regular a trozos. Sea c (t) con t ∈ I una curva parametrizada. Se dice que P = c (t0 ) para t0 ∈ I es un punto regular de la curva parametrizada si es simple, c (t) es derivable en t0 y c0 (t0 ) 6= 0. La curva parametrizada (o bien la parametrización) c (t) con t ∈ I es regular si todos sus puntos son regulares y se denomina regular a trozos si todos son regulares salvo una cantidad finita. Vector tangente. Si P = c (t0 ) es un punto regular de la curva parametrizada c (t) con t ∈ I entonces c0 (t0 ) es el vector tangente a la curva en el punto P. El vector tangente c0 (t0 ) fijado en el punto P tiene el sentido de acuerdo con la 3

orientación dada por la parametrización c (t) . La recta tangente en dicho punto P es por tanto aquélla que pasa por P y tiene de dirección c0 (t0 ) , esto es P +λc0 (t0 ) con λ ∈ R.

Longitud del arco de una curva parametrizada. Sea C una curva y c (t) con t ∈ [a, b] una parametrización regular a trozos suya. La longitud del arco de curva C se calcula como Z b long (C) = kc0 (t)k dt. a

El resultado de la fórmula anterior es independiente de la parametrización regular a trozos tomada para la curva C. 6.2. Campos escalares: límites y continuidad. Campo escalar. Un campo escalar es una aplicación f : U ⊆ Rn → R con n ∈ N, n > 1, que a cada vector x¯ ∈ U le hace corresponder el número f (¯ x) . Si n = 2 se denomina campo escalar de dos variables y si n = 3 se dice de tres variables. El conjunto U es llamado dominio del campo escalar. En lo que sigue se estudiarán preferentemente campos escalares de dos o tres variables, siendo similar su estudio para valores de n mayores. Normalmente se enuncian conceptos y resultados en dos variables, particularizando para tres variables cuando exista alguna diferencia notable. Polinomio de varias variables. Un monomio de dos variables es un campo escalar de dos variables P : R2 → R definido por P (x, y) = axp y q con a ∈ R y p, q ∈ N ∪ {0}. El grado del monomio anterior es p + q. Un polinomio de dos variables es una suma de monomios de dos variables. El grado del polinomio es el grado mayor de los monomios que lo conforman. El dominio de un polinomio de dos variables es U = R2 . Dominios en varias variables. Dado (x0 , y0 ) ∈ R2 , el entorno de (x0 , y0 ) de radio ε > 0 es el conjunto © ª (x, y) ∈ R2 : k(x, y) − (x0 , y0 )k < ε . z y

(x0 , y0 , z0 ) (x0 , y0 )

e

e y

x

x

Entorno de un punto 4

Sea U ⊆ R2 . Se dice que (x0 , y0 ) es punto interior a U si existe algún entorno de (x0 , y0 ) totalmente contenido en U . Se dice que (x0 , y0 ) es punto exterior a U si existe algún entorno de (x0 , y0 ) totalmente fuera de U. Si un punto (x0 , y0 ) no es ni interior ni exterior a U es porque cualquier entorno suyo tiene puntos en U y puntos fuera de U, en ese caso se dice que (x0 , y0 ) es punto frontera de U . Los puntos interiores de U pertenecen siempre a U , los exteriores nunca pertenecen a U y los puntos frontera pueden pertenecer o no. Puede haber puntos frontera para los cuales es posible construir un entorno donde el único punto del conjunto sea él mismo, dichos puntos frontera son llamados aislados. Se supondrá en lo que sigue que los dominios tomados no tienen nunca puntos aislados. Se entiende como interior de U al conjunto de sus puntos interiores y como frontera de U a sus puntos frontera. punto frontera dentro de U U

punto interior a U

punto frontera fuera de U

punto exterior a U

Puntos de un conjunto U Un conjunto U ⊆ R2 se denomina abierto si ninguno de sus puntos frontera pertenece al conjunto. Un conjunto U ⊆ R2 es cerrado cuando su frontera está contenida en el conjunto. Existen conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Gráfica de un campo escalar: conjunto de nivel. Sea el campo escalar de dos variables f : U ⊆ R2 → R. La gráfica de f es el conjunto de R3 generado por la ecuación z = f (x, y) para los puntos de U, es decir ª © (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ U, z = f (x, y) ⊆ R3 ,

cuya representación corresponde a una superficie. La gráfica de campos escalares de mayor número de variables puede definirse pero no podría ser representada puesto que discurriría en más de tres dimensiones. Para el campo escalar f : U ⊆ R2 → R, la curva de nivel k es el conjunto de puntos del dominio U cuya imagen por f es k, esto es {(x, y) ∈ U : f (x, y) = k} ⊆ R2 .

Este conjunto corresponde a la gráfica de la curva f (x, y) = k, o lo que es lo mismo a la proyección en el plano OXY de la curva de corte de la superficie z = f (x, y) con el plano z = k. 5

z = f (x, y )

z

z = f (x, y )

z

z= k f (x0 , y0 )

k

P

y

y U

(x0 , y0 ) x

Pº

(x0 , y0 , f (x0 , y0 ))

C

x

Cº

{(x, y )Î

U

U : f (x, y )= k }

Gráfica y curva de nivel

z = x2 + y 2

Curvas de nivel

Es posible también representar conjuntos de nivel para campos escalares de tres variables, llamándose en este caso superficies de nivel. Si f : U ⊆ R3 → R, la superficie de nivel k es el conjunto de puntos del dominio U cuya imagen por f es k, esto es {(x, y, z) ∈ U : f (x, y, z) = k} ⊆ R3 . Límite de un campo escalar en un punto. Sea f : U ⊆ R2 → R un campo escalar de dos variables y (x0 , y0 ) un punto del interior o de la frontera de U. Se dice que L es el límite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (x0 , y0 ) , l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = L ∈ R,

si para cualquier entorno de L existe un entorno de (x0 , y0 ) contenido en U de manera que las imágenes de todos sus puntos están en el entorno dado de L. Lo podemos interpretar como que al acercarnos a (x0 , y0 ) por cualquier trayectoria dentro de U las imágenes de dichos puntos tienden a L. A diferencia de lo que 6

ocurre en R, en este caso se tienen infinitas formas de acercarse al punto (x0 , y0 ) lo que dificulta la existencia del límite. Continuidad de un campo escalar. Se dice que f : U ⊆ R2 → R es continuo en un punto (x0 , y0 ) ∈ U si l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = f (x0 , y0 ) .

El campo es continuo en el dominio U si es continuo en todos los puntos de U. Se verifica el mismo álgebra de funciones continuas que en una variable. 6.3. Derivadas parciales y direccionales de campos escalares. Derivada parcial de un campo escalar. Sea f : U ⊆ R2 → R un campo escalar de dos variables y (x0 , y0 ) un punto interior a U. Se define la derivada parcial de f respecto de la variable x en el punto (x0 , y0 ) como f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = l´ım x→x0 ∂x x − x0 f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) , = l´ım h→0 h

fx (x0 , y0 ) =

cuando el límite anterior existe. Igualmente se puede definir la derivada parcial de f respecto de la variable y en el punto (x0 , y0 ) como fy (x0 , y0 ) =

f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = l´ım , y→y0 ∂y y − y0

cuando el límite anterior existe. La existencia de las derivadas parciales de f en (x0 , y0 ) no garantiza que f sea continua en (x0 , y0 ). Interpretación geométrica de la derivada parcial. Sea f : U ⊆ R2 → R un campo escalar de dos variables y (x0 , y0 ) un punto interior a U. La derivada parcial fx (x0 , y0 ) mide la variación del campo cerca de (x0 , y0 ) según los puntos de la recta y = y0 . Si se define g (x) = f (x, y0 ) entonces fx (x0 , y0 ) = g 0 (x0 ) . La derivada parcial de f respecto de x en (x0 , y0 ) , fx (x0 , y0 ) , es por tanto la pendiente de la recta tangente a la curva z = g (x) en el punto (x0 , f (x0 , y0 )) . Dicha curva tiene por ecuaciones ½ z = f (x, y) y = y0 ,

y es el resultado de cortar la gráfica de f con el plano y = y0 . La recta tangente anterior vista en el espacio se denomina recta tangente a (la gráfica de) f en (x0 , y0 ) según la variable x. La parametrización α (t) = (t, y0 , f (t, y0 )) representa la curva de corte, por lo que la dirección de esta recta tangente es el vector (1, 0, fx (x0 , y0 )) . Análogamente se puede interpretar fy (x0 , y0 ) . 7

y = y0

z

Recta tangente según la variable x

z = f (x , y )

z

a (t )

f (x0 , y0 )

P f (x0 , y0 )

P

z = f (x , y0 )

y

y0

(x0 , y0 )

x0

x

U

y = y0 x Pº

(x0 , y0 , f (x0 , y0 ))

Recta tangente a f en (x0 , y0 ) según la variable x

Derivada direccional de un campo escalar. Una dirección unitaria en el plano se entiende como un vector del plano u = (u1 , u2 ) ∈ R2 con kuk = 1. Sea f : U ⊆ R2 → R un campo escalar de dos variables, (x0 , y0 ) punto interior a U y u = (u1 , u2 ) una dirección unitaria. Se define la derivada direccional de f respecto a la dirección unitaria u en el punto (x0 , y0 ) como Du f (x0 , y0 ) = l´ım

h→0

f (x0 + hu1 , y0 + hu2 ) − f (x0 , y0 ) , h

cuando el límite anterior existe. Las derivadas parciales del campo f son casos particulares de derivadas direccionales tomando las direcciones canónicas, así fx (x0 , y0 ) = D(1,0) f (x0 , y0 ). La existencia de todas las derivadas direccionales de f en (x0 , y0 ) no garantiza que la función sea continua en (x0 , y0 ). Interpretación geométrica de la derivada direccional. Sea f : U ⊆ R2 → R un campo escalar de dos variables, (x0 , y0 ) un punto interior a U y una dirección unitaria u. La derivada Du f (x0 , y0 ) mide la variación del campo escalar f cerca de (x0 , y0 ) según los puntos de la recta dada por (x0 , y0 ) + tu. Si se define la función g (t) = f ((x0 , y0 ) + tu) entonces Du f (x0 , y0 ) = g 0 (0). Si se considera la curva ( z = f (x, y) u2 y = y0 + (x − x0 ) u1 (suponiendo u1 6= 0), resultado de cortar la gráfica de f con el plano ortogonal a OXY que contiene la dirección u y el punto (x0 , y0 ) , una parametrización suya sería α (t) = (x0 + tu1 , y0 + tu2 , g (t)) . La dirección tangente a dicha curva en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) es (u1 , u2 , Du f (x0 , y0 )) . La recta tangente a la curva 8

anterior en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) se denomina recta tangente a (la gráfica de) f en (x0 , y0 ) según la dirección u. y = y0 + z

u2 (x - x0 ) u1

Recta tangente según la dirección u

z = f (x, y )

z

f (x0 , y0 )

a (t )

P

P

f (x0 , y0 )

y

(x0 , y0 )

x0

U

y = y0 + x

u Pº

x

u2 (x - x0 ) u1

(x0 , y0 , f (x0 , y0 ))

Recta tangente a f en (x0 , y0 ) según la dirección u

Campo escalar de clase C 1 . Sea f : U ⊆ R2 → R con U abierto de forma que existe la derivada parcial de f respecto de x en todos los puntos de U. La función derivada parcial de f respecto de x es un nuevo campo escalar fx : U ⊆ R2 → R que a cada punto (x, y) ∈ U le hace corresponder fx (x, y), e igualmente se puede definir la función derivada parcial de f respecto de y, fy . Se dice que f es de clase C 1 en U si los campos escalares f, fx y fy existen y son continuos en U. Derivadas parciales de segundo orden. Sea f : U ⊆ R2 → R de forma que existe la función derivada parcial de f respecto de x en todos los puntos de U. En un punto (x0 , y0 ) interior a U pueden construirse las parciales del campo fx respecto ambas variables, ∂2f (x0 , y0 ) = (fx )x (x0 , y0 ) ∂x2 ∂2f (x0 , y0 ) = (fx )y (x0 , y0 ) . fxy (x0 , y0 ) = ∂y∂x

fxx (x0 , y0 ) =

De la misma forma puede hacerse con la derivada parcial de f respecto de la variable y, definiendo ∂2f (x0 , y0 ) = (fy )x (x0 , y0 ) ∂x∂y ∂2f (x0 , y0 ) = (fy )y (x0 , y0 ) . fyy (x0 , y0 ) = ∂y 2

fyx (x0 , y0 ) =

9

A todas estas parciales, si existen, se les denomina derivadas parciales de segundo orden de f en (x0 , y0 ) . En particular, a las parciales fxy (x0 , y0 ) y fyx (x0 , y0 ) se les llama parciales cruzadas. De la misma forma a las funciones derivadas parciales de segundo orden del campo f se les puede calcular sus derivadas parciales, las cuales se llamarían derivadas parciales de tercer orden, y así sucesivamente. Campo escalar de clase C 2 . Sea f : U ⊆ R2 → R con U conjunto abierto de manera que existan las parciales de segundo orden en todos sus puntos. Se pueden considerar los campos escalares fxx , fxy , fyx y fyy . Se dice que f es de clase C 2 en U si f, fx , fy , fxx , fxy , fyx y fyy existen y son continuas en U . De la misma forma se puede decir que el campo escalar f es de clase C n en el abierto U si f y todas sus parciales hasta el orden n son continuas en U. Condición suficiente de igualdad de las parciales cruzadas. Sea el campo escalar f : U ⊆ R2 → R con U abierto. Si f es de clase C 2 en U entonces las derivadas parciales cruzadas son iguales para todos los puntos de U , fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) ∀ (x0 , y0 ) ∈ U . 6.4. Campos escalares diferenciables. Plano tangente. Dado f : U ⊆ R2 → R un campo escalar de dos variables y (x0 , y0 ) punto interior de U para el cual existen las derivadas parciales fx (x0 , y0 ) y fy (x0 , y0 ), se define el plano tangente a (la gráfica de) f en el punto (x0 , y0 ) como z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 ) (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) (y − y0 ) .

El plano tangente pasa por el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) y contiene a las rectas tangentes a f según las variables x e y. Sin embargo, aunque inicialmente denominamos a este plano "tangente" puede no ser una buena aproximación de la gráfica del campo cerca del punto. z

z = f (x, y )

p

P

y U

(x0 , y0 ) Pº

(x0 , y0 , f (x0 , y0 ))

x p º z = f (x0 , y0 )+ f x (x0 , y0 )(x - x0 )+ f y (x0 , y0 )(y - y0 )

Plano tangente 10

Campo escalar diferenciable en un punto. Un campo escalar de dos variables f : U ⊆ R2 → R es diferenciable en (x0 , y0 ) punto interior a U si f (x, y) − [f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 ) (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) (y − y0 )] = 0. (x,y)→(x0 ,y0 ) k(x, y) − (x0 , y0 )k l´ım

Lo que significa que existe el plano tangente a f en (x0 , y0 ) y es una buena aproximación de la superficie z = f (x, y) suficientemente cerca del punto (x0 , y0 ). Condición suficiente de diferenciabilidad. Si f : U ⊆ R2 → R es un campo escalar de clase C 1 en U conjunto abierto entonces f es diferenciable en todos los puntos de U. Propiedades de los campos escalares diferenciables. Sea f : U ⊆ R2 → R un campo escalar diferenciable en (x0 , y0 ) punto interior a U. Se verifican las siguientes propiedades: 1. El campo f es continuo en (x0 , y0 ). 2. Existen las derivadas parciales de f en (x0 , y0 ). 3. El plano tangente a f en (x0 , y0 ) aproxima bien a la gráfica del campo escalar cerca del punto. 4. Existen todas las derivadas direccionales de f en (x0 , y0 ). Más aún, si la dirección unitaria es u = (u1 , u2 ) entonces Du f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) u1 + fy (x0 , y0 ) u2 . 5. El plano tangente a f en (x0 , y0 ) contiene a las rectas tangentes a f en (x0 , y0 ) según cualquier dirección. 6. Sea c : I ⊆ R → R2 , c (t) = (x (t) , y (t)) , una curva parametrizada con c (I) ⊆ U y derivable en t0 ∈ I tal que c (t0 ) = (x0 , y0 ). La función g (t) = f (c (t)) para todo t ∈ I, que evalua el campo escalar dado sobre cada uno de los puntos de la curva en función del parámetro t, es derivable en t0 y su derivada se calcula como g 0 (t0 ) = fx (x0 , y0 ) x0 (t0 ) + fy (x0 , y0 ) y 0 (t0 ) . Gradiente de un campo escalar. Sea f : U ⊆ R2 → R un campo escalar de dos variables diferenciable en (x0 , y0 ) punto interior a U. El gradiente (diferencial o derivada) de f en (x0 , y0 ) es el vector Df (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 ) , fy (x0 , y0 )) . Con esta notación es posible reescribir las siguientes fórmulas: 11

1. Plano tangente a f en (x0 , y0 ) , z = f (x0 , y0 ) + Df (x0 , y0 ) · (x − x0 , y − y0 ) . 2. Derivada direccional de f en (x0 , y0 ) para la dirección u, Du f (x0 , y0 ) = Df (x0 , y0 ) · u. 3. Derivada del campo f evaluado sobre una curva parametrizada c (t) en (x0 , y0 ) , siendo c (t0 ) = (x0 , y0 ) , g 0 (t0 ) = Df (x0 , y0 ) · c0 (t0 ) Propiedades geométricas del gradiente. Sea f : U ⊆ R2 → R un campo escalar diferenciable en (x0 , y0 ) punto interior a U. El gradiente Df (x0 , y0 ) verifica las siguientes condiciones: 1. Propiedad de dirección óptima: la derivada direccional máxima de f en (x0 , y0 ) se alcanza para la dirección y sentido del gradiente Df (x0 , y0 ), esto es Df (x0 , y0 ) u= . kDf (x0 , y0 )k Además, el valor de dicha derivada es kDf (x0 , y0 )k.

2. Propiedad de ortogonalidad: el gradiente Df (x0 , y0 ) es la dirección ortogonal a la curva de nivel de f que pasa por (x0 , y0 ) , esto es la curva f (x, y) = f (x0 , y0 ) . 6.5. Campos vectoriales diferenciables. Campo vectorial continuo. Un campo vectorial es una aplicación de la forma F : U ⊆ Rn → Rm con n, m ∈ N, n, m > 1, que a cada vector x¯ ∈ U le hace corresponder el vector F (¯ x) ∈ Rm . El campo vectorial F está formado por m funciones componentes, F = (F1 , . . . , Fm ) , de forma que cada una de ellas es un campo escalar, Fi : U ⊆ Rn → R para i = 1, ..., m. Si m = 2 se denomina campo vectorial de dos dimensiones y si m = 3 se dice de tres dimensiones. El conjunto U es llamado dominio del campo vectorial. El campo vectorial F : U ⊆ Rn → Rm es continuo en U si cada una de sus funciones componentes es continua en U. Campo vectorial diferenciable. El campo vectorial F : U ⊆ Rn → Rm es diferenciable en el punto x¯ interior a U si cada una de sus funciones componentes es diferenciable en x¯. Matriz jacobiana de un campo vectorial. Sea F : U ⊆ Rn → Rm campo vectorial diferenciable en el punto x¯ interior a U . La matriz jacobiana (diferencial 12

o derivada) de F en x¯ es la matriz formada por componentes en x¯ escritos por filas, ⎡ DF1 (¯ x) ⎢ . .. DF (¯ x) = ⎣

x) DFm (¯

Si n = m la matriz jacobiana es cuadrada.

los gradientes de sus funciones ⎤

⎥ ⎦.

Matriz hessiana de un campo escalar. Sea f : U ⊆ R2 → R campo escalar diferenciable en U abierto. Puede definirse la función gradiente (primera diferencial o primera derivada) como el campo vectorial Df : U ⊆ R2 → R2 de forma que para a cada (x, y) ∈ U le hace corresponder el gradiente de f en dicho punto, Df (x, y) . Las funciones componentes de este campo vectorial son las funciones derivadas parciales. Si Df es diferenciable a su vez en (x0 , y0 ) entonces se dirá que f es dos veces diferenciable en (x0 , y0 ) . Además a la matriz jacobiana de la función gradiente en (x0 , y0 ) , ¸ ∙ fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 ) 2 , D f (x0 , y0 ) = D (Df ) (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 ) se le llama matriz hessiana (segunda diferencial o segunda derivada) de f en (x0 , y0 ) . Si f es de clase C 2 en U abierto entonces la matriz hessiana es simétrica en todos los puntos de U.

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Ejercicios de la lección. Ejercicio 1. Encuentra una parametrización de las siguientes curvas, indicando la orientación que determinan sobre ellas. 1. El segmento que une los puntos (1, 1) y (2, 3) . 2. La semirrecta y = 2x − 1 con y > x. 3. El tramo de la parábola y = −x2 + 1 con x ∈ [−1, 2] . 4. El tramo de la parábola y 2 = x + 1 con x ∈ [−1, 0] . 5. El tramo de la curva de ecuación y = ex−1 con x ≥ 0. 6. La circunferencia de centro el origen y radio 3. 7. La circunferencia de centro (1, 3) y radio 4. (x − 1)2 + y 2 = 1. 8. La elipse de ecuación 2 9. La hipérbola de ecuación

(x − 2)2 (y − 1)2 − = 1. 4 2

10. La hipérbola de ecuación y 2 − x2 = 2. 11. La cardioide r = 1 − cos θ con θ ∈ [0, 2π] . p 12. El primer lóbulo de la lemniscata r = cos (2θ).

Ejercicio 2. La cicloide es la trayectoria que sigue un punto dado de una circunferencia de radio a > 0 cuando ésta rueda a lo largo de una línea recta sin deslizamiento. Determina una parametrización de dicha curva. Ejercicio 3. La cisoide es la curva formada por los puntos M generados mediante el siguiente procedimiento. Para cada punto A de la recta x = a se toma el rayo OA que parte del origen. La proyección de A sobre el eje OY se denota por B y la proyección de B sobre OA es el punto M. Determina una parametrización de dicha curva. Ejercicio 4. Determina la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados, haciendo uso de parametrizaciones. √ √ ¢ ¡ 1. La circunferencia (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 y el punto 1 − 2, 2 + 2 . 2. La hipérbola y 2 − x2 = 9 y el punto (4, −5) .

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Ejercicio 5. Comprueba que las siguientes curvas pasan por el origen y encuentra las rectas tangentes a cada una de ellas en dicho punto. ¿Son curvas regulares? 1. La gráfica de la función y = |x| . 2. La cardioide de ecuación r = 1 − 2 cos θ. 3. La curva parametrizada c (t) = (t2 , t3 ) . Ejercicio 6. Calcula la longitud de los siguientes arcos de curva. 1. La curva parametrizada c (t) = (3t − t3 , 3t2 ) con t ∈ [0, 2] . ¢ ¡ 2. La curva parametrizada c (t) = et − t, 4et/2 con t ∈ [−8, 3] .

Ejercicio 7. La astroide es la curva definida por la ecuación x2/3 + y 2/3 = 1. 1. Encuentra una parametrización de dicha curva indicando la orientación. 2. Halla la longitud de la curva. Ejercicio 8. Se define la hélice circular como la curva parametrizada tridimensional c (t) = (a cos t, a sen t, bt) para t ∈ R y a, b > 0. 1. Comprueba que todos los puntos de la elipse están sobre el cilindro de ecuación x2 + y 2 = a2 . Cada vuelta alrededor del cilindro de la hélice se denomina espira, comprueba también que la distancia vertical entre los inicios de dos espiras diferentes (paso de la hélice) es 2πb. Esboza la curva en el tramo con z ∈ [−2πb, 4πb] . 2. Determina la ecuación en forma continua de la recta tangente a la hélice en el punto (a, 0, 0). 3. Halla la longitud de una espira de la hélice circular. Ejercicio 9. Sea C la curva de corte entre las cuádricas x = 1 − z 2 e y = z 2 . 1. Encuentra una parametrización de la curva. 2. Calcula la ecuación continua de la recta tangente a C en el punto (0, 1, 1) . " √ # 2 3. Halla la longitud del arco de C donde z ∈ 0, . 2 Ejercicio 10. Sea C la curva de corte entre el cilindro x2 + y 2 = y y la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 1, con z ≥ 0. 15

1. Esboza la curva C y comprueba que es una curva cerrada. 2. Encuentra una parametrización de la curva. Ejercicio 11. Halla el máximo dominio de existencia de cada uno de los siguientes campos escalares. Determina cuáles de ellos son abiertos y cuáles de ellos son cerrados indicando en cada caso su frontera. p 5. f (x, y) = 1 − x2 − y 2 . 1. f (x, y) = 3x5 y − 2x2 y 2 . yx − 2x2 2. f (x, y) = . 6. f (x, y) = log (1 + x − y) . y p 1 − x2 − y 2 1 . 7. f (x, y) = . 3. f (x, y) = 2 x + y2 x2 + y 2 1 4. f (x, y) = 2 . 8. f (x, y, z) = log (z 2 − x2 − y 2 ) . x − y2 Ejercicio 12. Dibuja las curvas de nivel (o superficies de nivel) de los siguientes campos escalares. 1. f (x, y) = x2 + y 2 . 2 2 2. f (x, y) = x p−y . 3. f (x, y) = x2 + y 2 .

4. f (x, y) = log (1 + x − y) . 5. f (x, y, z) = z 2 − x2 − y 2 .

Ejercicio 13. Considera el campo escalar de dos dimensiones ( xy , (x, y) 6= (0, 0) , 2 x + y2 f (x, y) = 0, (x, y) = (0, 0) . 1. Calcula el límite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) según las siguientes trayectorias: el eje x = 0, el eje y = 0 y la recta y = x. 2. ¿Es continuo el campo f en (0, 0)? 3. Halla fx (0, 0) y fy (0, 0) . 4. Determina el plano tangente a f en (0, 0) ¿Es una buena aproximación de z = f (x, y) cerca de (0, 0)? Ejercicio 14. Dado el campo f (x, y) = x2 +2xy −y 2 calcula las siguientes rectas tangentes a f en (1, 1) . 1. La recta tangente según la variable x. 1 2. La recta tangente según la dirección u = √ (1, 1) . 2 16

1¡ √ ¢ 1, 3 . 2

3. La recta tangente según la dirección u =

Ejercicio 15. Determina para el campo escalar f (x, y) = x2 y − y 3 en qué direcciones se verifica que Du f (1, 1) = 2. Ejercicio 16. Considera el campo f (x, y, z) = x2 − y 2 + xyz 2 − zx y el punto P = (1, 2, 3) . 1 1. Calcula Du f (P ) para u = √ (1, −1, 0) . 2 2. ¿En qué dirección es máxima la derivada direccional de f en P ? ¿Cuál es el valor máximo de dicha derivada? Ejercicio 17. Construye el plano tangente a cada uno de los campos escalares dados en los puntos indicados, razonando previamente por qué son diferenciables en dichos puntos. 2

1. f (x, y) = xey en (0, 1) . 2. f (x, y) = sen (πx − y) en (1, 0) . Ejercicio 18. Sea el campo escalar f (x, y) =

p 1 − x2 − y 2 .

1. Establece su dominio y dibuja sus curvas de nivel.

2. Traza sin calcularlo el vector gradiente en el punto (1/2, 1/2) . 3. Calcula Df (1/2, 1/2) y comprueba que coincide con el vector trazado en el apartado anterior. Ejercicio 19. Calcula la recta tangente a la curva de ecuación x3 + 2xy − y 3 = 1 en el punto (1, 0) haciendo uso de la propiedad de ortogonalidad del gradiente. Ejercicio 20. Calcula el gradiente y la matriz hessiana de los siguientes campos escalares. 1. f (x, y) = 3x5 y − 2x2 y 2 . 2 2. f (x, y) = xey . 3. f (x, y) = log (1 + x − y) .

4. f (x, y) = sen (πx − y) . 5. f (x, y, z) = x2 + 2zx − y 2 + z 2 y. 6. f (x, y, z) = log (1 + z 2 − x2 − y 2 )

Ejercicio 21. Escribe las matrices jacobianas de los siguientes campos vectoriales y determínalas en el punto (1, 3). 17

1. F (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy) . 2. F (x, y) = (ex cos y, ex sen y) . 3. F (x, y) = (x2 + 3y 2 , exy , x3 ) . Ejercicio 22. (Segundo Parcial 06-07) Calcula la recta tangente al campo f (x, y) = xy 2 + ex en el punto (0, 1) según la dirección en la que la derivada direccional es máxima. Ejercicio 23. (Junio 06-07) Sea el campo escalar de dos variables f (x, y) = 1 x2 y + y 3 . 3 1. Halla todos losµpuntos para ¶ los cuales la derivada direccional de f según la 1 1 1 vale √ . dirección u = √ , √ 2 2 2 2. ¿Para cuáles de los puntos del apartado anterior dicha derivada direccional es máxima? 4 del campo escalar f. Halla las rectas tangente 3 y normal a dicha curva en el punto (1, 1) .

3. Considera la curva de nivel

Ejercicio 24. (Segundo Parcial 07-08) Sea f el campo escalar f (x, y) = x3 y + 3 log (y) . Calcula la recta tangente a f en (1, 1) según la dirección para la cual la derivada direccional es máxima en dicho punto.

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