COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI AREA MATEMATICAS

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”. Galileo Galilei

TRIGONOMETRIA GRADO DECIMO 2012

PGF03-R03

PRESENTACION Este módulo conserva la filosofía y la metodología sobre las cuales se concibió y desarrollo la primera edición de esta obra, en él se cubren los conceptos básicos, definiciones, ejercicios, gráficas y métodos matemáticos en forma clara y concisa, las explicaciones se han reducido al mínimo a favor de la exposición de ejemplos concretos, pretendiendo el desarrollo de una clase activa, lo cual ayuda muchísimo en el análisis de situaciones propuestas. El objetivo de este módulo es ofrecer al estudiante un conocimiento que le permita disfrutar leer y aprender los conceptos de las matemáticas, para ello se emplean oraciones reducidas, explicaciones claras y ejemplos resueltos. Así mismo a lo largo de todo el texto se ofrecen aplicaciones prácticas que facilitan la comprensión de los conceptos expuestos. Las matemáticas en su esencia han sido estudiadas y desarrolladas por hombres que a lo largo de la historia dejan un legado de escuelas constructoras de esta ciencia: Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. René Descartes utilizó las ciencias y las matemáticas para explicar y pronosticar acontecimientos en el mundo físico Sin duda Newton es el autor del primer paso de la carrera espacial. Las Leyes descubiertas por él son las que han permitido al hombre poner un pie en la Luna o enviar naves a Marte y Venus, explorar los planetas exteriores: Júpiter, Saturno, Neptuno y Urano. Su modelo de telescopio ha permitido ver más lejos en cielo. Sin duda los astrónomos le deben mucho a Newton. Pero los matemáticos y de paso el resto de los científicos le deben tanto o más. Él junto a Leibniz, aunque sería mejor decir al mismo tiempo que Leibniz, son los descubridores de la más potente y maravillosa herramienta matemática: el Cálculo. A principios del siglo XIX, un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Hoy junto a Weber comparten por igual la gloria de ser los padres de las dos herramientas más potentes del universo matemático: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El instrumento ideal para entender y explicar el funcionamiento del mundo real, desde las cosas más próximas hasta el rincón más alejado del universo. Comité Área de Matemáticas

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Contenido UNIDAD 1 ................................................................................................................................. 5 RAZONES TRIGONOMETRICAS ............................................................................................ 5 ÁNGULOS............................................................................................................................. 8 ÁNGULOS POSITIVOS Y ÁNGULOS NEGATIVOS ........................................................... 10 MEDIDA DE ÁNGULOS ...................................................................................................... 10 Equivalencia entre los sistemas sexagesimales y cíclicos .................................................. 11 LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS ......................................................................... 15 VALOR DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS ...................................................... 19 PARA ANGULOS DE 60º, 30º Y 45º ................................................................................... 19 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ........................... 23 RESOLUCION DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS....................................................... 32 UNIDAD 2 ............................................................................................................................... 33 TEOREMAS Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA TRIGONOMETRÍA .................. 33 TEOREMA DEL SENO ....................................................................................................... 34 TEOREMA DEL COSENO .................................................................................................. 36 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................... 41 ANÁLlSIS DE LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................... 41 LA FUNCIÓN SENO ........................................................................................................... 42 LA FUNCIÓN COSENO ...................................................................................................... 43 LA FUNCIÓN TANGENTE .................................................................................................. 45 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .......................................... 49 FUNCIONES CIRCULARES RECÍPROCAS ...................................................................... 49 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO ....................................................................................................... 52 UNIDAD 3 ............................................................................................................................... 55 IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS........................................................ 55 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 56 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES ............................................... 57 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS ....... 64

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE ........................................... 65 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MEDIO .......................................... 65 IDENTIDADES DE SUMAS EN PRODUCTOS ................................................................... 66 IDENTIDADES DE PRODUCTOS EN SUMAS .................................................................. 67 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS ................................................................................ 70 UNIDAD 4 ............................................................................................................................... 75 PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMETRICOS ................................................. 75 GEOMETRÍA ANALITICA ................................................................................................... 76 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ................................................................................... 78 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DADO ................................. 79 ECUACION GENERAL DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES .............................. 79 RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES ................................................. 81 CURVA................................................................................................................................ 84 CONICAS ............................................................................................................................ 84 LA CIRCUNFERENCIA ....................................................................................................... 86 LA PARABOLA ................................................................................................................... 89 ELEMENTOS DE LA PARABOLA....................................................................................... 90 LA ELIPSE .......................................................................................................................... 98 LA HIPERBOLA ................................................................................................................ 105 BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................... 110

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UNIDAD 1 RAZONES TRIGONOMETRICAS UNIDAD 1 R AZON ES TRIGON OMETR IC AS

PROPOSITOS Calcular el valor de todas las relaciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, medida en grados y medida en radianes. Determinar las definiciones de las relaciones trigonométricas, los signos, las demostraciones y deducir los valores de ángulos especiales. Solucionar triángulos rectángulos, empleando las relaciones trigonométricas. Resolver problemas cuya solución requiera aplicar las relaciones trigonométricas.

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LECTURA AFECTIVA

LA TRIGONOMETRÍA RENACENTISTA El matemático que retomó la trigonometría en Europa es Johann Muller (1436 -1476) más conocido como Regiomontano, quien fundamentalmente se preocupó por traducir al latín las grandes obras de los griegos. Regiomontano escribió el libro «De triangulis, en el cual siguió los pasos de Nasir Eddin y sistematizó todos los conocimientos de la trigonometría como ciencia independiente de la astronomía. Sus manuscritos eran conocidos en el círculo donde se desempeñaba como instructor en la ciudad de Nuremberg, que se convertiría en un importante centro del saber, de la" artes: v de la invención; además de ser el centro de la impresión de libros. En esta ciudad se publicaron algunos de los más grandes clásicos científicos que iniciaron el Renacimiento. Durante la época que vivió Regiomontano, Polonia atravesó una verdadera edad de oro cultural y la universidad de Cracovia en la que se matriculó Copérnico gozaba de gran prestigio en matemáticas y astronomía. En el famoso libro que cambió toda la concepción sobre el universo " De las revoluciones y las órbitas celestes", se encuentran importantes secciones de trigonometría que Copérnico desarrolló con amplio dominio de la materia. A finales del siglo XVI se desarrolló un entusiasmo considerable por la trigonometría, el cual se materializó básicamente en la publicación de síntesis y libros de texto. Durante este período se le dio por primera vez el nombre de trigonometría a esta rama del saber.

LA TRIGONOMETRÍA EN LA REVOLUCIÓN CIENTÍFICA Los momentos estelares de la humanidad se presentan durante las grandes crisis, cuando la aritmética, la geometría y el álgebra no pueden responder a los requerimientos del desarrollo de la ciencia; una gran cantidad de nuevas ramas de las matemáticas surgen para dar respuestas a los interrogantes que la época requiere. La geometría analítica. El cálculo, los logaritmos. Y el estudio en general del movimiento produce lo que se llama la gran revolución científica. En ella, la trigonometría es la principal aliada de los científicos que con largas y precisas observaciones del movimiento de los planetas pueden fundamentar, con Newton a la cabeza, una nueva concepción del universo regido por leyes mecánicas de una asombrosa precisión.

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1. Señala en el texto las palabras desconocidas y busca su significado de acuerdo al contexto.

2. Uno de los periodos más importantes de la historia de la humanidad es el renacimiento. En aquellos años, la cultura, en todas sus manifestaciones, florece. Nombre en cuanto al progreso de las ciencias y las matemáticas que nuevas ramas del saber nacen y se desarrollan.

3. De acuerdo con la lectura comenta en forma breve la idea que tienes sobre el objeto de estudio de la trigonometría.

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ÁNGULOS Un Ángulo es la unión de dos semirrectas o rayos con un origen común. Las dos semirrectas se llaman lados del ángulo y el origen se denomina vértice. En la siguiente figura el ángulo indicado se origina por la rotación de la semirrecta AB hasta la posición de la semirrecta AC. C

B A Los ángulos los denotaremos con las letras

ø(theta),

ω(omega), µ(mu.),

ρ(Ro),

α(alfa),

β(beta), Y(gama),δ(delta),

€ (epsilon).

ANGULO GENERADO Los ángulos los podemos generar considerando primero las dos semirrectas en la posición inicial L2 y rotando sobre el vértice o la semirrecta L1 hasta llevarla a la posición terminal; la semirrecta L2 se llama lado inicial del ángulo a y la L1 lado terminal. L1 lado terminal

0

a L2 lado inicial

ANGULO EN POSICION NORMAL Si el vértice de un ángulo lo colocamos en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y su lado inicial es el semieje positivo de equis (x), decimos que el ángulo esta en posición normal respecto del sistema de coordenadas.

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De acuerdo con el cuadrante en que esta colocado el lado terminal del ángulo, lo clasifican como ángulos del primer, segundo, tercero y cuarto cuadrante. II

I

I

III

I

IV

Angulo del primer cuadrante II

III Angulo del segundo cuadrante

Angulo del tercer cuadrante

Angulo del cuarto cuadrante

IV MATEMATICAS – Trigonometría 10 9

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ÁNGULOS POSITIVOS Y ÁNGULOS NEGATIVOS Si la trayectoria que se sigue para generar un ángulo, partiendo desde el lado inicial hasta el terminal, es en dirección contraria al moviendo de las manecillas del reloj, entonces el ángulo tiene sentido positivo, si es en la misma dirección del movimiento de las manecillas del reloj, el sentido es negativo.

MEDIDA DE ÁNGULOS Para medir ángulos, vamos a utilizar dos sistemas diferentes: el sistema sexagesimal y el sistema cíclico.

Sistema Sexagesimal si generamos un ángulo de tal forma que el lado terminal después de dar vuelta coincida con el lado inicial, tenemos un ángulo giro o de una vuelta completa. De esta forma definimos un grado como una trescientos – sesentava parte del ángulo giro, es decir, un ángulo giro tiene trescientos sesenta grados. El grado lo simbolizamos con un pequeño cero escrito en la parte superior derecha de la cantidad (ejemplo: 30º, se lee, treinta grados).

El grado tiene dos submúltiplos: el minuto y el segundo 1º = 60´ (se lee sesenta minutos) 1´= 1º / 60 (un minuto es la sesentava parte del grado) 1´= 60´´ (se lee sesenta segundos) 1´´= 1´/ 60 (un segundo es la sesentava parte del minuto).

0

Ángulo giro

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Sistema cíclico La unidad cíclica de medida es el radian. Un radian es la amplitud que tiene un ángulo, que subtiende un arco con la misma longitud que el radio de la circunferencia. A

1rad 0 Si OA = AB =

B

= 1 rad

MODELACIÓN Expresar 4206 “en grados, minutos y segundos. Se reduce segundos a minutos 4206” x 1´/ 60” = 4206´/60 = 70´ El residuo de la división nos da los segundos 6” Se reduce minutos a grados 70 x 1°/60´ = 70´/60 = 1° Y el residuo de la división nos da los minutos 10´ Luego = 4206” = 1° 10´ 6”

Equivalencia entre los sistemas sexagesimales y cíclicos Para hallar amplitud en radianes del ángulo giro, dividimos el arco que subtiende el radio de la circunferencia. Como el ángulo giro 0, subtiende un arco igual a la longitud de la circunferencia (L= 2 π r), entonces la amplitud del ángulo giro 0, es:

rad 2 rad r r 2 rad = 360° Luego: 0

2

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MODELACIÓN 1 Expresar en radianes un ángulo de 30° Establecemos la proporción:

360  2 rad

30  x

Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 360 x

(2

rad )(30 )

Simplificamos y dividimos: x

(2 rad )(30  ) 360 

x

rad 6

MODELACION 2 Expresar en grados un ángulo de x

360 Establecemos la proporción: 2 rad

rad 4 (360  )(

x x

(2

rad ) 4 rad )

4 rad Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:

(2 rad ) x

Despejemos x:

(360  )(

x

4

rad )

(360 )( rad ) 4 (2 rad )

Simplificamos y dividimos: x = 45°

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1. Escribe el equivalente en grados del ángulo indicado en radianes. a. 3 π / 4 b. 5 π / 6 c. π / 6 d. 2 π / 3 e. 7 π / 9 2. Escriba el equivalente en radianes del ángulo indicado: a. b. c. d. e.

15° 75° 35° 285° 345°

3. Expresar en grados, minutos y segundos a. 2407´ b. 346´ c. 3425´ d. 7236´ e. 4,28´ 4. Busca en el diccionario el significado de la expresión “subtiende”. 5. Dibuja el ángulo dado en posición normal y determina dos ángulos coterminales positivos y dos negativos a. b. c. d. e.

120° 135° -30° 5π/6 -π/4

6. Identifica el cuadrante al cual pertenece cada uno de los ángulos representados en las graficas, determine si es positivo o negativo y nómbrelo.

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7. clasifica los ángulos siguientes según pertenezcan al primero, segundo, tercero y cuarto cuadrante:

a. 285° b. -135° c. 210° d. -75° e. -330° f. 730° g. 8 π / 3 h. 20 π / 12

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SITUACIONES PROBLEMA 1.

Determinar en radianes los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que uno de los ángulos agudos mide ¾ de la medida del otro.

2.

Determinar la longitud del arco que subtiende un ángulo central de 2,5 radianes, si la longitud del radio del círculo es 10 km. NOTA: la longitud de la circunferencia es: L = 2 π rad Angulo ---- ǿ S ---- longitud del arco r=Radio

3.

Determine el ángulo control que corresponde a un arco de longitud 20 cm. y radio 8 cm.

4.

Una compañía fabricante de uniformes elabora emblemas como el mostrado en la figura. a. Determinar la longitud del realce, requerida para el acabado de la orilla de cada emblema. b. Determinar también la cantidad de tela necesaria para la manufactura de cada emblema.

S

9 cm

50ª

LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS

Consideremos un ángulo en posición normal respecto del sistema de coordenadas cartesianas y tracemos, con centro en el origen una circunferencia de radio r > 0, que corta al lado Terminal del ángulo en el punto P( x, y) . Definimos las siguientes relaciones trigonométricas respecto al ángulo, así:

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Ordenada Seno ( ) = radio

Coseno ( ) =

Abcisa radio

Ordenada Tangente ( ) = Abcisa Abcisa Cotangente ( ) = Ordenada radio Secante ( ) = Abcisa

radio Cosecante ( ) = Ordenada

entonces

Sen( )

y r

entonces

Cos( )

x r

Tan( )

y ,x x

entonces

0

x ,y y

entonces

Cotg( )

0

entonces

Sec( )

r ,x x

0

entonces

Csc( )

r ,y y

0

Cada punto de la circunferencia se identifica con un par de coordenadas ( x, y) ; es

x

la

abscisa del punto y y es la ordenada.

P( x, y) r y x

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MODELACIÓN Hallar el valor de las relaciones trigonométricas de un ángulo, cuyo lado Terminal intersecta una circunferencia de radio r en el punto P: (-3,4). Aplicando el teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2, calculamos el radio: r2 = (-3)2 + 42

r2 = 9 + 16

r2 = 25 r = 5

Aplicamos las definiciones de las relaciones trigonométricas: Sen ( )

Cos ( ) Tan( )

4 5 3 5 4 3

0.8

0 .6 1.33

5 1.25 4 5 Sec ( ) 1.66 3 3 Cotg ( ) 0.75 4

Csc ( )

Las relaciones trigonométricas para ángulos notables o cuadrantes como son 0º, 90º, 180º y 270º es: RELACION ANGULO SENO COSENO TANGENTE COSECANTE SECANTE COTANGENTE 0º o 0 rad 0 1 0 No existe 1 No existe 90º o π /2 rad 1 0 No existe 1 No existe 0 180º o π rad 0 -1 0 No existe -1 No existe 270º o 3π/2 -1 0 No existe -1 No existe 0 rad

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1. Calcula el valor de las relaciones trigonométricas para cada uno de los siguientes ángulos: a) P (-2,4) P(3,1)

P(-2,3)

P(-2,-4)

2. Hallar el valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo , cuyo lado terminal intercepta una circunferencia de radio r en el punto a) P (1,2); b) P(-3,2); c) P(-4,-2); d) P (1,7) e) P (5,-3); f) P(-3,-2).

3. Hallar el valor de las razones trigonométricas para los ángulos agudos siguientes triángulos rectángulos. Z a) 2 cm

y

de los

R 5 cm

b)

H

c)

12 cm

G X

Y

6cm F

P

6 cm

Q

8cm

4. Dibuja y mide con el transportador ángulos en posición normal, que tiene la siguiente relación trigonométrica dada: tan cotg sen sec cos

= 3/4 , es ángulo del primer cuadrante = -2/5, es ángulo del segundo cuadrante = 2/7 , es ángulo del segundo cuadrante = -5, es ángulo del tercer cuadrante = 1/3, es ángulo del cuarto cuadrante

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5. De acuerdo con la definición de las relaciones trigonométricas, completa el siguiente cuadro escribiendo + o -, según la relación sea positiva o negativa en el cuadrante dado. RELACION CUADRANTE

SEN

COS

TAN

SEC

CSC

COTG

π /2

I 0 II π /2

π

III π

3 π /2

IV 3π /2 π

2

VALOR DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS DE 60º, 30º Y 45º El valor de las relaciones trigonométricas para estos ángulos lo podemos obtener, por medios geométricos, lo cual facilita sus cálculos, sin necesidad de usar tablas o calculadoras. Realizar las demostraciones trigonométricas para ángulos de 60º, 30º Y 45º a partir de su grafica y posteriormente completar el cuadro que resume los datos. Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 60º P 60º

A 0–x–B -r/2-

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Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 30º

A

0

30º 30º

C

B

Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 45º

y 45º x

RELACION SENO COSENO TANGENTE COSECANTE SECANTE COTANGENTE ANGULO Π / 6 o 30º π / 4 o 45º π / 3 o 60º

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MODELACIÓN 1 Hallar el valor numérico de la expresión sen2 45º = 1 – cos2 45º Remplazar los valores de los ángulos de 45º (

)2 = 1-(

)2

Se realizo las operaciones de potenciación y suma de fraccionarios 2/4 = 1 – 2/4 1/2 = 4 - 2 4 1/2 = 2/4 Se simplifica ½ = ½

MODELACIÓN 2 Hallar el valor numérico de la expresión: (tan 60º, sec 30º - 3/2, sen 45º, sec 45º, csc 60º) . (csc 30º + tan 60º) (

. 3

–3. . 2 2

(3.2 – 3.2.2. ).(2+ 3 3.2.2 (2 -

).(2+

.

)(2 +

)=

3 )=

) = (2)2 – (

2

4–3 = 1

1. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones: a. 1 + tan2 30º = sec2 30º b. 1 + tan2 60º = sec2 60º

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c. sen2 30º + cos2 30º = 1 d. cos 60º - sen 30º tan 60º e. (sen 30º. Cos 60º + cos 30º . sen 60º)2+(cos 30º. cos 60º - sen 30º. sen 60º) f. 3 cos 45º - 4 tan 30º + sen 45º.

2. observando la tabla anterior encuentre relación entre las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º.

SITUACIONES PROBLEMA 1. La mediana corta al lado en el punto medio como es un triángulo equilátero la bisectriz es a la vez mediana y altura, ¿cuál es la longitud del lado menor de cada uno de los Triángulos rectángulos que se forman?

2. Cómo medio lado mide 2cm ¿cómo puedes calcular la altura del triángulo equilátero?

3. Dibuja un triángulo equilátero de 4cm de lado. Traza la bisectriz de uno de los ángulos internos y contesta las siguientes preguntas: a. ¿cuántos triángulos rectángulos se forman? b. Cómo la bisectriz divide al ángulo en dos ángulos, congruentes, ¿cuál es la amplitud de cada ángulo?

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO En un triángulo rectángulo el lado que se opone al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. NOTACION Y ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTANGULO El ángulo C mide 90º Los ángulos agudos A y B miden 90º A + B = 90º Las letras minúsculas a,b,c para los lados de un triángulo Las letras mayúsculas A,B,C para dos ángulos respectivamente opuestos a ellos El lado AB es la hipotenusa El lado BC es el lado opuesto al ángulo A El lado CA es el lado adyacente al ángulo A B c a C

A

b Las seis relaciones trigonometrías para el ángulo agudo

Sen( )

Cos ( )

Tan( )

Cotg ( )

Sec( )

Csc ( )

se definen por:

Cateto Opuesto Hipotenusa

Sen ( )

a c

Cateto Adyacente Hipotenusa

Cos ( )

b c

Cateto Opuesto Cateto adyacente

Tan( )

a b

Cateto adyacente Cateto Opuesto

Cotg ( )

b a

Hipotenusa Cateto Adyacente

Sec ( )

c b

Hipotenusa Cateto Opuesto

Csc ( )

c a

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PROPIEDADES IMPORTANTES: Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase: a) Sen 2 (a) Cos 2 (a) 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ) Sen(a) b) Tan(a) (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente) Cos (a) c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1. Solucionar o resolver un triángulo es hallar la medida de los tres lados, los tres ángulos y el área. Para poder determinar estos valores, debemos conocer como mínimo tres de sus elementos siempre y cuando uno de ellos sea un lado. Como el objeto de estudio de esta sección son los triángulos rectángulos, ya queda determinado el ángulo recto y faltaría el conocimiento de otros dos elementos para poder solucionar el triángulo. Clasificaremos en dos, los casos para solucionar triángulos rectángulos. i)

cuando se conoce un lado y un ángulo agudo

ii)

Cuando se conocen dos lados.

CUANDO SE CONOCE UN LADO Y UN ÁNGULO AGUDO

Dependiendo del lado que se conozca, si es la hipotenusa o un cateto podemos plantear tres situaciones diferentes: a) se conoce un ángulo y el cateto opuesto b) Se conoce un ángulo y el cateto adyacente

c) Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo CUANDO SE CONOCEN DOS LADOS Cuando en un triángulo, los datos conocidos son las longitudes de dos de sus lados, existe la posibilidad que uno de ellos sea la hipotenusa o que los dos sean catetos.

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MODELACIÓN 1 Solucionar el triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 4 y 6 centímetros.

Datos conocidos

Datos desconocidos

a = 4cm

c =?

b = 6cm

A =?

C = 90°

B =?

Area =?

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Para conocer el valor del ángulo A. a Utilizamos la relación Tan( A) b

4cm 6cm 0.66

Tan( A) Entonces tenemos

Tan( A)

A Tan 1 (0.66) A 33.69

La medida del ángulo B, la Hallamos con A + B = 90°

B

90

B B

90 33.69 56.30

A

La hipotenusa la podemos calcular Por cualquier relación trigonométrica

Sen33.69 Sen33.69 c c

a c 4cm c

4cm Sen33.69 7.21cm

Área del triángulo rectángulo Area

base * altura entonces Area 2

6cm * 4cm , 2

Area 12cm 2

MODELACIÓN 2 Solucionar el triángulo rectángulo que tiene 10cm. de hipotenusa y uno de sus ángulos mide 26° Datos: C = 90° c = 10 cm A = 26° Incognitos:

a =? b =? B =?

Area=?

MATEMATICAS – Trigonometría 10 26

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a , a cSenA, a (10cm)(Sen 26  ) , a 4.436cm c b CosA , b cCosA , b (10cm)(Cos 26  ) , b 8.969cm c  B 90 26  , B 63 4.436cm * 8.969cm Area , Area 19.877cm 2 2 SenA

MODELACIÓN 3 Desde una montaña de 100 metros de alta se observa la ribera más cercana de un río, con un ángulo de depresión de 27° y la ribera más lejana, justamente de frente, se observa con un ángulo de depresión de 22°40’. Calcular el ancho del río. 27°14’ 22°40’ 100

b

a

Tan 22° = 100 m a+b Tan 27° = 100 m b a + b = 100 m tan 22° b=

100 m tan 27°

= 239,44 m

= 194,30 m

a = (a + b) – b a = 239,44 m – 194,30 m = 45,14 m

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Solucionar los siguientes triángulos rectángulos, teniendo en cuenta los siguientes datos: Angulo 62°, cateto opuesto 240 cm Angulo 40°, cateto adyacente 30 cm Angulo 62°, hipotenusa 4 cm Cateto 6 cm, 8 cm Cateto 8 cm, hipotenusa 12 cm

a)

b) 22

22 cm

13

H

C 2.5 cm c)

d) H 23. 3 cm 6.8 cm 5cm 47 cm

e) 52 cm

MATEMATICAS – Trigonometría 10 28

PGF03-R03

SITUACION PROBLEMA 1. Para alcanzar la cima de un muro se utiliza una escalera le 9,5 m. Si la escalera sobresale 0,85 m más allá del muro. Calcula la altura del muro.

2. Dos aviones parten de un mismo punto; el primero hacia el norte con velocidad de 468 km / h Y el segundo hacia el este con velocidad de 538 km / h. Después de dos horas, ¿a qué distancia se encuentra uno del otro?

3. Desde un avión que vuela a 1 860 m de altura se observa una embarcación con un ángulo de depresión de 31 ° Y desde el mismo plano, en sentido opuesto se observa el puerto con un ángulo de depresión de 53°. Calcula la distancia que separa a la embarcación de la costa.

4. Una antena de televisión está instalada en la terraza de un edificio. A254 m del pie del edificio se observa la parte superior del edificio con un ángulo de elevación de 20° y; la parte superior de la antena con un ángulo de elevación de 24°. Calcula la altura de la antena.

MATEMATICAS – Trigonometría 10 29

PGF03-R03

5. Un cable de 28 m de longitud sostiene una antena de la parte superior. Si el cable forma un ángulo de 35° con la horizontal. Calcula la altura de la antena.

6. El servicio de bomberos posee una escalera de 40 m de longitud. El ángulo máximo que se puede emplear por seguridad de los bomberos es de 73 ° medido sobre la horizontal. Calcula la altura máxima que se puede atender con la escalera.

7. Una estatua de 8,9 m de altura se sitúa sobre un pedestal. Si desde un sitio a 48 m del pie del pedestal se observa el extremo superior de la estatua con un ángulo de elevación de 26 0, ¿cuál es la altura del pedestal?

8. El punto más alto de una colina se observa con un ángulo de elevación de 12° 45'. Al acercarse a la colina 213 m, el punto más alto se observa con un ángulo de elevación de 35°53'. ¿Cuál es la altura de la colina?

MATEMATICAS – Trigonometría 10 30

PGF03-R03

EJERCITACIÓN 1. Teniendo en cuenta la perpendicular de C sobre AB es 23.3m, se podría comprobar que la distancia BC es e 22.5 m, mediante A. B. C. D.

El teorema del Seno El teorema de Pitágoras El teorema de Thales La primera ley de Newton

2. Un vigilante se encuentra en la ventana del faro de la figura a una altura de 32 m sobre el nivel del océano. El ángulo de depresión del barco en la figura es de 27º. ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro? A. B. C. D.

60.3 m 56.7 m 62.8 m 58.6 m

3. En la figura , el valor de AB es

A. BC Cos ø B. 3 Cos ø C. AB Sen ø D. 3 Tan ø

MATEMATICAS – Trigonometría 10 31

PGF03-R03

RESOLUCION DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto; se debe conocer tres elementos de ellos, uno de los cuales debe ser un lado. Hay cuatro casos distintos: Caso 1: se Conoce un lado y dos ángulos (LAA o ALA) Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA) Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (LAL) Caso 4: Cuando se conocen tres lados (L L L)

MODELACIÓN Resolver el triángulo ABC, tal que A = 28°, B= 100° y c = 12 cm Trazamos la altura respecto al lado b, que determina los segmentos m y n. Datos A = 28° B = 100° c = 12 cm

C 180  SenA CosA SenC CosC b A

m

( A B) ; C 180  h ,h c m ,m c h ,a a n ,n a n b

(28  100  ) ; C

52 

(12cm)Cos 28  ) , h

cSenA, h

Incógnitas C=? a =? b =? Área =?

10.6cm

(12cm )(Cos 28  ) , m

cCosA , m

5.63cm ), a Sen52 

hSenC , a

(

aCosC , n

(7.17cm)(Cos 52  ) , n

acSenB A 2

10.6cm

4.4cm

b

10.6cm

7.14cm 4.4cm

15cm

(7.14cm)(12cm) Sen100  2

A

42.19cm 2

MATEMATICAS – Trigonometría 10 32

PGF03-R03

UNIDAD 2 TEOREMAS Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA TRIGONOMETRÍA

PROPOSITO Analizar y graficar las relaciones trigonométricas como funciones. Demostrar identidades trigonométricas empleando identidades fundamentales. Desarrollar ejercicios demostrando identidades y ecuaciones trigonométricas Solucionar triángulos utilizando los teoremas trigonométricos.

MATEMATICAS – Trigonometría 10 33

PGF03-R03

TEOREMA DEL SENO Este teorema sirve para resolver cualquier triángulo cuando se conocen tres datos así: Dos ángulos y cualquier lado Dos lados y un ángulo ( excepto el formado por ellos) En cualquier triángulo, las medidas de los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. En símbolos. ABC cualquiera

a SenA

b SenB

c SenC

MODELACIÓN Resolver el triángulo MNO, tal que N = 50°, O = 68° y M = 7cm N

M

Datos N = 50° O= 68° m =?

Incógnitas n =? o =? Área =?

O

Se aplico la ley de los Senos

7cm Sen50

o Sen 68

MATEMATICAS – Trigonometría 10 34

PGF03-R03

o * Sen50 

Se despeja la incógnita

7cm * Sen68

Sen68  * 7cm Sen50  o 8.47 cm

o

El ángulo N se obtiene por Suplementarios O M N 180  N 180  (50  68  )

N Apliquemos nuevamente la ley

62 

7cm Sen50 

n Sen62 

n * Sen50  n

n

7cm * Sen62  Sen62  * 7cm Sen50 

8.06cm

Àrea de un triángulo

n * o SenM 2 (8.06cm) * (8.47cm) o Sen50 2 26.14cm 2 A

A A

MATEMATICAS – Trigonometría 10 35

PGF03-R03

TEOREMA DEL COSENO En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman. Este teorema permite calcular la medida de un lado cualquiera de cualquier triángulo, conociendo los otros dos lados y el ángulo formado por ellos, de la siguiente manera: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C También permite calcular la medida de cualquier ángulo interior del triángulo conocidas las medidas de los tres lados, así: Cos A = a2 + b2 - c2 2bc Cos B = a2 + c2 - b2 2ac Cos C = a2 + b2 - c2 2ab

MODELACIÓN Dado el triángulo ABC, donde se conocen A = 55º, b = 25 cm y c = 45 cm, resuelve el triángulo.

Datos

Incógnitas

MATEMATICAS – Trigonometría 10 36

PGF03-R03

A = 72° b= 8 cm c= 10cm

C=? B=? a =? Área = ?

Aplicamos la ley del coseno

a2= b2 + c2 – 2bc cos A a2 = (10 cm) 2 +(8 cm)2 – 2 (10 cm) (8cm) cos 72º a2 = 114,55 cm a = 10,7 cm

Se aplica la ley de los senos para hallar uno de los otros ángulos. Sen 72º = Sen C 10,7 cm 8 cm Se despeja la incógnita

sen C . 10,7 cm = 8 cm . sen 72º Sen C = 8 cm . sen 72º 10,7 cm Sen C = 0.71º C = sen –1 . 0,71 C = 45,23º

El otro ángulo se calcula Por suplementarios

B = 180º - (72º + 45,23º) B = 62,77º

Area del triángulo

S = bc senA 2 S = (10 cm) (8 cm) sen 72º 2 S = 38,04 cm2

MATEMATICAS – Trigonometría 10 37

PGF03-R03

Simulación 1. Dibuja varios triángulos que no pueden ser resueltos al aplicar el teorema del seno 2. Enuncia las condiciones que deben cumplir un triángulo para que pueda ser resuelto con el teorema del seno.

3. Soluciona los triángulos ABC, descomponiéndolos en triángulos rectángulos, al trazar la altura a uno de sus lados. b = 18 cm c = 23 cm C= 104º

a = 15 cm c = 9 cm A = 58º

b = 9 cm B = 49º A = 56º

4. El siguiente triángulo no se puede solucionar explica el porque A = 97º C= 115º b = 12 cm 5. Utiliza la ley de los seno para resolver los siguientes triángulos: a

b

c

10 cm 6 cm

42cm

6. Soluciona los siguientes triángulos: A a = 24º b = 54º c = 12 m

B

a = 23 m b = 43 m c = 53 m

C 4.5 cm 20º

MATEMATICAS – Trigonometría 10 38

PGF03-R03

1. Una antena de radio esta sujeta con cables de acero en la forma indicada. Hallemos la longitud de los cables (ley de los sen)

2. Dos barcos salen de un ismo puerto, y al mismo tiempo en rutas rectilíneas que forman entre si un ángulo de 52º. El primero navega con velocidad constante de 80km / h y el segundo a 60 km/h. Encuentre la distancia que separa a los barcos dos horas y media después de haber partido.

3. Dos trenes parten simultáneamente de una misma estación en direcciones tales que forman un ángulo de 30º. Uno va a 15 km/h y el otro a 25 km/h. Determinar a que distancia se encuentran separados después de 2 horas de viaje.

MATEMATICAS – Trigonometría 10 39

PGF03-R03

5. Un topógrafo necesita saber la medida del ancho de un lago parado en un punto C de la orilla localizada con sus instrumentos, dos puntos A y B en los lados opuestos del mismo. Si C esta a 5 km de A y a 7,5 km de B y el ángulo con el vértice en C mide 30º¿cuál es el ancho del lago?

6. Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 40° al este del norte; el primero a una velocidad de 240 km/h, y el segundo a 320 km/h. ¿A qué distancia se encuentran después de 2 horas de vuelo?

7. Dos fuerzas de 50 newtons y 60 newtons, se ejercen sobre un mismo punto; la primera actúa en una dirección cuyo ángulo respecto a la horizontal es de 20° y la otra en una dirección que forma con el mismo eje un ángulo de 80°. Halla la fuerza resultante y el ángulo que forma con la horizontal. 8. Halla el ángulo entre las direcciones de dos aeroplanos que parten del mismo punto y que al cabo de tres horas se encuentran a una distancia de 520 km, si sus velocidades son 380 km/h y 420 km/h, respectivamente.

9. Sobre un barranco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 100 m de alta; desde el extremo superior de la torre se i observa un punto situado en la orilla opuesta con un ángulo de depresión de 34°20' y desde la base de la torre se observa el mismo punto con un ángulo de depresión de 15°45'. Calcula la altura del barranco y el ancho del río.

MATEMATICAS – Trigonometría 10 40

PGF03-R03

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS La trigonometría es una ciencia antigua, ya conocida por las culturas orientales y mediterráneas precristianas. No obstante, la sistematización de sus principios y teoremas se produjo sólo a partir del siglo XVI, para incorporarse como una herramienta esencial en los desarrollos del análisis matemático moderno. Concepto de función trigonométrica Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

ANÁLlSIS DE LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS La periodicidad en los fenómenos naturales El desarrollo de las matemáticas en las diferentes épocas, ha sido fundamental para el progreso de la ciencia. Un caso particular que se presenta en los momentos de la gran Revolución Científica, es la noción de periodicidad. Nuestra experiencia diaria nos presenta muchos casos de repeticiones: los días, las fases de la luna, las estaciones del año, los cuerpos rotacionales que vuelven a sus posiciones híncales, los latidos del corazón, la respiración. Hallamos repeticiones en todas partes. Sin ellas el conocimiento sería imposible, ya que nada podría ser referido a una experiencia pasada. Además, sin una cierta regularidad en la repetición, la medición no podría desarrollarse. En nuestra experiencia, a medida que adquirimos la idea de exactitud, la repetición es fundamental. En los siglos XVI y XVII, la teoría de la periodicidad pasó a ocupar un lugar fundamental en la ciencia. Kepler, descubrió una ley que relacionaba los radios de las órbitas planetarias con los períodos en los cuales los planetas describían sus órbitas respectivas. Galileo observó las oscilaciones periódicas del péndulo. Newton explicó el sonido como una perturbación en el aire motivada por el paso de ondas periódicas. Huyghens explicó los fenómenos luminosos con la hipótesis de que eran debidos a ondas vibratorias. Mersenne relacionó el período de vibración de la cuerda de un violín con su densidad, tensión y longitud. El nacimiento de la física moderna se basó en la aplicación de la idea abstracta de periodicidad a una gran variedad de ejemplos concretos. Pero esto hubiera sido imposible. Si los matemáticos no

MATEMATICAS – Trigonometría 10 41

PGF03-R03

hubieran ya elaborado, en abstracto, las diversas ideas agrupadas en torno a la noción de periodicidad. La trigonometría paso del estudio de las relaciones entre los ángulos de un triángulo rectángulo al de las razones entre los catetos s y la hipotenusa del triángulo. Luego, bajo la influencia de las matemáticas descubiertas durante la Revolución Científica, se extendió al estudio de las funciones simples y periódicas que estas razones ejemplifican. Así la trigonometría se hizo completamente abstracta y de esta forma iluminó una serie de fenómenos físicos completamente distintos y suministró los instrumentos con los cuales se pudo analizar cada uno de los fenómenos en relación con los demás.

a. forma frases con dos palabras desconocidas. b. Busca en el diccionario el significado de los siguientes términos: Periodo , frecuencia, ciclo, periocidad LA FUNCIÓN SENO Se denomina función seno, y se denota por f (x) = sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Relación seno como función:

MATEMATICAS – Trigonometría 10 42

PGF03-R03 La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes. Para el primer cuadrante observemos que a medida que el ángulo crece de O a /2 los valores del seno crecen de O a 1; por lo tanto, en este cuadrante la curva es "creciente y sus valores son positivos. Además, el máximo valor se obtiene para / 2 . Para el segundo cuadrante a medida que el ángulo crece de / 2 a , los Valores del seno varían de 1 a O ; por lo tanto, en este cuadrante la curva es decreciente y sus valores son positivos. Para el tercer cuadrante a medida que el ángulo crece entre y 3 / 2 los valores del seno varían de O a -1; por lo tanto, en este cuadrante la curva es decreciente y sus valores son negativos. Además, el mínimo valor se obtiene para 3 / 2. En el cuarto cuadrante el ángulo crece de 3 / 2 a 2 y los valores del seno varían entre - 1 Y O; por lo tanto, la curva es creciente y sus valores son negativos. La información anterior nos facilita el camino para definir una función de la siguiente manera: F: IR ---- IR, tal que: f (x) = Sen x, esto quiere decir que a cada número real x le asignamos otro número real llamado sen x, de tal suerte que: El conjunto de partida IR es igual al dominio de la función F. El condominio de la función es el conjunto de los reales. El rango o conjunto de imágenes es el intervalo (- 1,1); además, cada número real del dominio tiene imagen única en el condominio. El periodo de la función seno es 2 Rad

LA FUNCIÓN COSENO La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

Gráfica de la función coseno.

MATEMATICAS – Trigonometría 10 43

PGF03-R03

Relación coseno como función

La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

Para el primer cuadrante A medida que el ángulo crece de 0 a /2, los valores del coseno decrecen de 1 a 0, por lo tanto, en este cuadrante la curva es decreciente y sus valores son positivos. Para el segundo cuadrante trasladamos la longitud del coseno de cada ángulo teniendo en cuenta que estas longitudes están situadas sobre la parte negativa del eje X y, por lo tanto, sus valores son negativos. A medida que el ángulo crece de /2 a , los valores del coseno varían de O a - 1; por esta razón, la curva es decreciente. Además, el valor mínimo se obtiene para . En el tercer cuadrante, el ángulo crece de a 3 /2 y los valores del coseno varían entre -1 y O; por lo tanto, la curva es creciente en este cuadrante y sus valores son negativos. ' Para el cuarto cuadrante, el ángulo crece de 3 /2 a 2 y los valores del coseno varían entre O y 1; por consiguiente, la curva es creciente y sus valores son positivos. Además, el valor máximo se obtiene para el valor 2

MATEMATICAS – Trigonometría 10 44

PGF03-R03

Definimos la función coseno de la siguiente manera: F:/R•~ fR, tal que: F(x) = cos x. En efecto: F(x) = cos x es función con dominio los reales; condominio: los reales; rango: el intervalo (-1,1) 2 es el periodo de la función coseno, ya que los valores se repiten.

LA FUNCIÓN TANGENTE Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

Gráfica de la función tangente.

Relación tangente como función

MATEMATICAS – Trigonometría 10 45

PGF03-R03

La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes En el primer cuadrante trasladamos sobre cada ángulo su respectiva tangente. Observemos que a medida que el ángulo crece de O a /2, los valores de la tangente crecen indefinidamente; por lo tanto, la curva es creciente y sus valores son positivos. En el segundo cuadrante a medida que el ángulo aumenta de /2 a los valores de la tangente crecen negativamente hacia O; por consiguiente, es creciente y sus valores son negativos. En el tercer cuadrante, a medida que el ángulo crece de a 3 /2, los valores crecen indefinidamente y vuelven a ser los mismos que para los ángulos del primer cuadrante; por esta razón, es creciente y sus valores son positivos. En el cuarto cuadrante los valores de la tangente son los mismos para los ángulos del segundo cuadrante; es creciente y sus valores son negativos. La relación F(x) = tan x la definimos como función de la siguiente manera: F: IR -{(2k + 1) /2 / k e Z}.• R, tal que: F(x) = tan x. En la definición hemos quitado del dominio el conjunto-{(2k + 1) /2 / k e Z}, pues para estos valores, la tangente no está definida; como se observa en la gráfica, la función tangente presenta ciertos valores para los cuales no existe imagen; dichos valores debemos eliminarlos del dominio para que nuestra definición tenga sentido, De esta manera, la relación tangente, como se definió arriba, es función, puesto que cada elemento del dominio tiene imagen única en el condominio (IR) El rango de la función tangente es el conjunto de los reales. La relación tangente no tiene valores máximos ni mínimos. La función tangente repite los valores cada intervalo de rad; por lo tanto, su periodo es .

Relación cotangente como función

MATEMATICAS – Trigonometría 10 46

PGF03-R03

Observando la figura deducimos que la cotangente siempre es decreciente. Para los ángulos de los primer y tercer cuadrantes, los valores de la cotangente son los mismos y su signo es positivo. Para los ángulos del segundo y cuarto cuadrantes, los valores son los mismos y su signo es negativo. La relación F(x) = cot x, la definimos como función de la siguiente forma: F:IR ... [2 k / e Z] --- IR; tal que: F (x) = cot x. En la definición hemos quitado al dominio, el conjunto [2 k / e Z] , dado que para los valores O, , 2 , etc., no esta definida la cotangente. En efecto, la relación cotangente, como se define arriba, es función puesto que cada elemento del dominio tiene imagen única en el condominio (IR) El rango de la función cotangente es el conjunto de los reales. Repite los valores cada intervalo de Rad., siendo su periodo . No tiene valores máximos ni mínimos.

Relación secante como función

Observemos que a medida que el ángulo crece de O a /2, los valores de la secante varían entre 1 e infinito: por consiguiente, en este cuadrante la curva es creciente y sus valores positivos. En el segundo cuadrante procedemos en forma análoga. La curva en este intervalo es creciente. En efecto, cuando el ángulo varía de crecen hasta - 1.

/2 a

los respectivos valores de la secante

MATEMATICAS – Trigonometría 10 47

PGF03-R03

Para los ángulos del tercer cuadrante tomamos los segmentos marcados en el círculo trigonométrico, trasladándonos sobre el eje x. La curva en este cuadrante es decreciente. En efecto a medida que el ángulo varía entre y 3 /2, los valores de la secante se van agrandando negativa e indefinidamente, de tal suerte que para = 3 /2 el valor de la secante no se puede definir. Por último, para los ángulos del cuarto cuadrante, los valores de la secante vuelven a decrecer hasta tomar el valor de 1. En este momento, el ángulo es 2 rad. Podemos observar que la gráfica es simétrica en relación con la recta x = La relación F(x) = sec x, la definimos como función de la siguiente manera: F: R -{( 2 k +1) /2 k é Z } ~ IR, tal que: f (x) = sec X En efecto, F(x) = sec x es función con dominio el conjunto R - {(2 k +1) /2 k é Z) Condominio los reales y rango ( - , -1] U [ 1, ); lo cual quiere decir que ningún valor de la secante puede estar en el intervalo (- 1,1). El período de la función secante es 2 , ya que los valores de la función se repiten como en el intervalo [ 0, 2 ] No tiene valores máximos ni mínimos

Relación Cosecante como Función

En el primer cuadrante se observa que la curva es decreciente y su signo es positivo. En el segundo cuadrante, la curva es creciente y su signo también es positivo. En el tercer cuadrante, la curva es creciente y su signo es negativo. En el cuarto cuadrante, la curva es decreciente y su signo es negativo. La relación F(x) = cosec x, la definimos como función de la siguiente forma: F : IR-{ k / k é Z} .~ lR, tal que: F (x) = cosc x

MATEMATICAS – Trigonometría 10 48

PGF03-R03

En efecto, F(x) = cosc x es función con dominio IR --{ k / k é Z} Condominio el conjunto de los reales y rango ( - , -1] U [ 1, ). No tiene valores máximos ni mínimos El periodo de la función cosecante es 2 .

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes: Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2 y el de la función tangente es . Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente). Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada. Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (x) = cos x.

FUNCIONES CIRCULARES RECÍPROCAS Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente: La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x. La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x. La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.

Después de analizar las explicaciones del profesor completo el siguiente cuadro con otro de mis compañeros y me preparo para la retroalimentación del ejercicio. Con base en las graficas y análisis de las funciones trigonométricas, llena el siguiente cuadro:

MATEMATICAS – Trigonometría 10 49

PGF03-R03

FUNCION

DOMINIO

CODOMINIO

RANGO

VALOR MAXIMO

VALOR MINIMO

PERIODO

SENO

COSENO

TANGENTE

COTANGENTE

SECANTE

COSECANTE

1. Determine el periodo y la amplitud para cada una de las funciones. a. b. c. d.

F (x) = 6 sen X F (x) = -3 cos 4x F (x) = 2 sen x/2 F (x) = 3 sen 3x

2. Determine la longitud, el periodo y fase de las siguientes funciones: a. b. c. d.

F (x) = sen (x + /b) F (x) = 3 tan 6x F (x) = -3 sen (x) + 1 F (x) = sen 2 (x - /6)

MATEMATICAS – Trigonometría 10 50

PGF03-R03

3. Traza la grafica de las funciones a. F (x) = - 2 tan x b. F (x) = cos (x + /2) c. F (x) = 3 sen ½ (x - ) 4. En cuales intervalos , la función coseno es decreciente 5. En cuales intervalos, la función tangente es creciente 6. Dibuja las líneas trigonométricas para cada uno de los siguientes ángulos: a. 30° b. 210°

c. 120° d. 330°

7. En cada una de las graficas determinar la amplitud, el periodo y la ecuación de la función:

MATEMATICAS – Trigonometría 10 51

PGF03-R03

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO Expresar el valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, en función de un ángulo situado en el primer cuadrante.

ÁNGULOS EN EL SEGUNDO CUADRANTE:

MODELACIÓN Hallar el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo X = 120° Sen 120° = + sen (180° - 120°) = + sen 60° = √3/2 = 0,87 Cos 120° = - cos (180° - 120°) = - cos 60° = - 1/2 = 0,5 Tan 120° = - tan (180° - 120°) = - tan 60° = - √3 = - 1,73 Cot 120° = cot (180° - 120°) = - sec 60° = -2 Csc 120° = + csc (180° - 120°) = + csc 60° = 2√3 = 1,14 3

MATEMATICAS – Trigonometría 10 52

PGF03-R03

ANGULOS EN EL TERCER CUADRANTE

MODELACIÓN Hallar el valor de las funciones trigonométricas para

= 210°

Sen 210° = + sen (210° -180°) = + sen 30° = - 1/2 = 0,5 Cos 210° = - cos (210° -180°) = - cos 30° =- √3 /2 = 0,87 Tan 210° = - tan (210° -180°) = - tan 30° = - √3/3 = 0, 57 Cot 210° = cot (210° -180°) = - sec 30° = -2√3/3 = -1,14 Csc 210° = + csc (210° -180°) = + csc 30° = -2

ÁNGULOS EN EL CUARTO CUADRANTE

MODELACIÓN Hallar el valor de las funciones trigonométricas para

= 315°

Sen 315° = + sen (360° - 315°) = + sen 45° = - √2 /2 = - 0,70 Cos 315° = - cos (360° - 315°) = - cos 45° = √2 /2 = 0,70 Tan 315° = - tan (360° - 315°) = - tan 45° = - 1 Cot 315° = cot (360° - 315°) = - cot 45° = -1 Csc 315° = + csc (360° - 315°) = + csc 45° = -√2 = - 1,4

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PGF03-R03

Calcular el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos de: a. b. c. d. e.

150° 13 /6 210° 15 /2 315°

Puede el seno de un ángulo ser igual a 0.469, a 2.3521? justifique su respuesta Puede el coseno de un ángulo ser igual a -0.9044 a -2.35? justifique su respuesta Por qué la tangente de 90° no existe

EJERCITACION Un triangulo rectángulo tiene un cateto de 4cm y su ángulo adyacente es de 40º. Calcular lados del triángulo y las razones trigonométricas para sus dos ángulos agudos.

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PGF03-R03

UNIDAD 3 IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Propósito Demostrar identidades trigonométricas empleando identidades fundamentales. Desarrollar ejercicios demostrando identidades y ecuaciones trigonométricas Solucionar triángulos utilizando los teoremas trigonométricos.

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PGF03-R03

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Cuando una expresión contiene términos con funciones trigonométricas, se dice que es una expresión trigonométrica. Muchas veces dichas expresiones presentan formas complicadas que pueden reemplazarse por expresiones equivalentes. Una Identidad Trigonométrica es una igualdad entre expresiones trigonométricas, que es verdadera para todos los valores para los que dicha expresión tenga sentido. Esto es: Si

y

son expresiones trigonométricas, f

es una identidad

trigonométrica, si la igualdad se cumple para todo que esté en el dominio de y en el de

.

Una entidad trigonométrica es entonces una igualdad que se cumple para todos los ángulos, excepto para aquellos en que no están definida las relaciones. No existe un método único para demostrar una entidad.

Pasos para resolver una identidad  Trabaja inicialmente solo con un miembro de la ecuación. Generalmente, es más fácil empezar con el miembro más complicado y simplificarlo según las restantes recomendaciones.  Efectúa sustituciones utilizando las relaciones o identidades fundamentales. A menudo resulta útil reescribir una expresión en términos de senos y cosenos.  Realiza las manipulaciones algebraicas necesarias, como adiciones o sustracciones de expresiones racionales, o multiplicación y factorización de polinomios.  Verifica la expresión final contra la forma que se trata de obtener. A menudo es conveniente escribir formas alternativas del miembro que se está manipulando.

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PGF03-R03

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

1. Recíprocas: A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas de ángulos en posición canónica, deducimos

2.

Igualmente, teniendo en cuenta las definiciones dadas:

3. Identidades Pitagóricas: A partir de estas identidades es posible obtener otras más complejas. No hay realmente un método especial para demostrar que una igualdad es una identidad, pero en general se aconseja iniciar con el lado que parezca más complejo y hacer las transformaciones que se considere adecuadas, para obtener la expresión del otro extremo de la igualdad. No es bueno transformar los dos extremos simultáneamente por que se estaría suponiendo que la igualdad es verdadera.

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PGF03-R03

Relación seno coseno cos² α + sen² α = 1 Relación secante tangente sec² α = 1 + tg² α Relación cosecante cotangente cosec² α = 1 + cotg² α

MODELACIÓN

.

Solución:

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PGF03-R03

MODELACIÓN Solución:

MODELACIÓN Solución:

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PGF03-R03

MODELACIÓN: Solución:

MODELACIÓN: Solución:

Observe que en cada una de las demostraciones anteriores: Se inició en el lado más complejo. Se efectuaron las operaciones básicas. Se hizo uso de la factorización Se emplearon identidades fundamentales.

MATEMATICAS – Trigonometría 10 60

PGF03-R03

MODELACIÓN 1 Demostrar sen x = 1 + cosx 1 – cos x sen x se aplica la conjugada

sen x 1 – cos x

. ( 1 + cosx ) = 1 + cosx ( 1 + cosx ) sen x

Se realiza una multiplicación en el sen x( 1 + cosx ) = 1 + cosx 1 – cos2 x sen x Se reemplaza por una identidad fundamental sen x( 1 + cosx ) = 1 + cosx sen2 x sen x Se simplifica quedando la igualdad

1 + cosx = 1 + cosx sen x sen x

MODELACIÓN 2 Demostrar la siguiente identidad cos x + sen . tan Sen x . sec Cos

+ sen . sen / cos Sen . sec

Cos

+ sen2 cos Sen

Cos2

+ sen2 cos Sen cos

= csc

= csc

= csc .

1 . cos

= csc

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PGF03-R03

1 cos = csc Sen cos cos . cos . sen = csc 1 . sen = csc

csc

= csc

1. Demuestre las siguientes identidades Cos x sec x = 1 Cos x cosc x = cot x Cos2 x tan2 x = 1 – cos2 x Cos

+ sen

tan

= sec

1 + sen - 1 – sen = 4 tan 1 – sen 1 + sen Cosc + cot = sen 1 – cos

sec

(sen x + cos x)2 = 1+2sen x cos x Cos2

cot2

Sen4

- cos4

Sen

tan

= cot2

- cos2

= sen2

= sec

- cos2

- cos

MATEMATICAS – Trigonometría 10 62

PGF03-R03

DEMOSTRACION Tracemos la gráfica de y = 2cos X/2 cos 3X / 2 Haciendo = X / 2 Y β = 3X/2, trabajamos en el segundo miembro de la ecuación y utilizamos la formula de producto a suma. 2cos x/2 cos 3x/2

= 2. (1/2) cos (x/2 – 3x/2) + cos (x/2 + 3x/2) = cos (-2x/2) + cos (4x/2) = cos (-x) + cos 2x = cos x + cos 2x

MODELACIÓN Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α