Ecuaciones I gual dad Una

IGUALDAD

se com pone de dos expr esi on es unida s por el signo ig ua l.

2x + 3 = 5x − 2 Una i gua l dad puede ser : Fal sa: 2x + 1 = 2 · ( x + 1)

2x + 1 = 2x + 2

1≠2.

2x + 2 = 2x + 2

2 = 2

Ci er t a 2x + 2 = 2 · ( x + 1)

I dent i dad Una i den t i dad es una i gua l dad que es ci ert a para c ual qui er val or de l as l et r as. 2x + 2 = 2 · ( x + 1)

2x + 2 = 2x + 2

2 = 2

Ecuaci ó n Una e cu aci ón es una i gu al dad qu e se cu mpl e para al guno s val or e s de l as l et r as. x + 1 = 2

x = 1

Los

de una ecua ción son cada un a de l as expresi ones qu e

MIEMBROS

apar ece n a ambos l ados del si gno i gual . Los

TÉRMINOS

son l os sumandos q ue f orman l os miembros.

1

Las

INCÓGNITAS

Las

SOLUCIONES

s on l as l et ras que aparece n en l a ecuaci ón. s on los v al ores que debe n t omar l as l et ras par a que

l a i gual dad sea ci ert a. 2x − 3 = 3x + 2

x = −5

2 · (− 5) − 3 = 3 · (−5) + 2 − 10 − 3 = −15 + 2

−13 = −13

El gr a do de una e cuación es el ma yor de l o s grados de l os monom i os que f or m an sus mi embros.

Ti pos de ecuaci ones seg ún su grado 5x + 3 = 2x +1

Ecuaci ón de pri mer grado.

5x + 3 = 2x 2 + x

Ecuaci ón de segu ndo grado.

5x 3 + 3 = 2x +x 2

Ecuaci ón de t ercer grado .

5x 3 + 3 = 2x 4 +1

Ecuaci ón de cuart o grado.

Cl asi f i caci ón de ecuaci o nes 1. Ecuac i ones pol i nómi cas ent eras Las ecua ciones p olin óm ic as son d e la f or m a P( x) = 0 , donde P( x) es un poli nom i o.

2

G r ado de una ecuaci ón

El gr a do de u na e cuación es el ma yor de l o s grados de l os monom i os que f or m an sus mi embros.

Ti pos de ec uaci ones pol i nómi cas

1. 1 Ecua ci ones de pri mer grado o l i neal es Son de l t ipo a x + b = 0 , c on a ≠ 0, ó cual qu ier ot r a ecuación en la que al oper ar , tr asponer t érm inos y simplif icar a dopt an esa expr e sión. ( x + 1) 2 = x 2 - 2 x 2 + 2x + 1 = x 2 - 2 2x + 1 = - 2 2x + 3 = 0

1. 2 Ecua ci ones de segun do grado o cuadrát i cas Son ecua ciones d el t ipo ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0.

Ecuaci o nes de segundo grado i ncompl et as ax 2 = 0 ax 2 + b = 0 ax 2 + bx = 0

1. 3 Ecua ci ones de t ercer grado Son ecua ciones d el t ipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , con a ≠ 0.

3

1. 4 Ecua ci ones de cuart o grado Son ecua ciones d el t ipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , con a ≠ 0.

Ecuaci o nes bi cuadradas Son ecua ciones d e cuar t o gr ado qu e no t iene t ér m inos de gr ado im par . ax 4 + bx 2 + c = 0 , con a ≠ 0.

1. 5 Ecua ci ones de gra do n En gener al, las ecuacion es de gr ado n son de la f or ma: a 1 x n + a 2 x n - 1 + a 3 x n - 2 + . . .+ a 0 = 0

2. Ecuac i ones pol i nómi cas raci onal es Las ecua ciones p olin óm ic as son de la f or ma

, donde P( x) y

Q ( x) son poli nom i os.

Ecuaci o nes equi val ent es Dos ecu aci ones son equi val ent es si ti enen l a mi sma sol uci ón. 2x − 3 = 3x + 2

x = −5

x + 3 = −2

x = −5

Cri t eri os de equi val enci a de ecuaci ones

1. Si a l os dos mi embros de una e cuaci ón se l es s uma o s e l es r es t a una m i sm a cant idad, l a ecuaci ón es equi val ent e a l a dada.

4

x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5

2. Si a l os dos mi embros de una ecuaci ó n se l es mul t i pl i ca o se l e s di vi de una mi sma cant i dad, l a ecuaci ón es equi val ent e a la dada. 5x + 10 = 15 ( 5x + 10) : 5 = 15 : 5 x + 2 = 3 x + 2 −2= 3 −2 x = 1

Reso l uci ón de ecuaci one s de primer grado En gene r al par a resol ver una ecuaci ón de pri mer grado debe m o s seguir lo s siguien t es pasos: 1º Q ui t ar parént esi s. 2º Q ui t ar denomi nadores. 3º Agru par l os t érmi nos en

x en u n mi embro y l os t érm i nos

i ndepen di ent es en el ot ro. 4º Reduc i r l os t érmi nos semej ant es. 5º Despe j ar l a i ncógni t a.

5

Despej a m os la incógnit a:

Agr upam os los t érm inos sem ej ant es y los independ ien t es, y sum am os:

Q uit am os par ént esis:

Agr upam os t ér m inos y sumam os:

Despej a m os la incógnit a:

Q uit am os denom in ador es, par a ell o en pr im er lugar hall am os el m í nim o com ún múlt ipl o.

Q uit am os par ént esis, agr upam os y sum am os los t ér m inos sem ej ant es:

6

Despej a m os la incógnit a:

Q uit am os par ént esis y sim plif icam os:

Q uit am os

denom inador es,

agr upa m os

y

sum am os

los

t ér m inos

sem ej antes:

Q uit am os cor chet e:

Q uit am os par ént esis:

Q uit am os denom in ador es:

Q uit am os par ént esis:

7

Agr upam os t ér m inos:

Sum am os:

Divi dim o s los dos m iem br os por : −9

Probl emas de ecuaci one s de primer grado Expr esi ones al gebrai cas comunes El dobl e o dupl o de un núm er o: 2x El t r i pl e de un núm er o: 3x El cuádr upl o de un núm er o: 4x La m i t ad de un núm er o: x/2. Un t er ci o de un núm e r o: x/ 3. Un cuart o de un núm er o: x/ 4. Un núm er o es proporci onal a 2, 3, 4, .. . : 2x, 3x, 4x, .. Un núm er o al cuadrado : x 2 Un núm er o al cubo: x 3

Dos núm er os consecuti vos: x y x + 1. Dos núm er os consecuti vos pares : 2x y 2x + 2. Dos núm er os consecuti vos im pares : 2x + 1 y 2x + 3 . 8

Descom poner 24 en dos part es : x y 24 − x. La suma de dos núm er os es 24: x y 24 − x. La di f erenci a de dos núm er os es 24: x y 24 + x. El pr odu ct o de dos núm er os es 24: x y 24/ x. El coci e nt e de dos núm er os es 24; x y 24 · x.

Pr obl emas geomét ri cos con ecua ci ones de pri mer grado

Hal la e l valor de los t r es ángul os de un t r i ángul o s abien do que B m i de 40° m ás que C y que A m ide 40° m ás que B. C

x

B

x + 40

A

x + 40 + 40 = x+ 80

x + x + 40 + x+ 80 = 180; 3X = 60; C = 20º

x + x + x = 180 − 40 − 80;

X= 20 B = 20º + 40 º = 60º

A = 60º + 40º = 100º

Probl emas de mezcl as C1

1ª cant idad. C 1 = x

C2

2ª cant idad. C 2 = C m - x

Cm

Cant idad de la m ezcla C m = C 1 + C 2

P1

Pr ecio de la 1ª cant idad

P2

Pr ecio de la 2ª cant idad 9

Pm

Pr ecio de la m ezcla

C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm

Tam bién podem os poner los dat os en una t abla

Cant i dad

Preci o

Cost e

1ª sust anci a

C1

P1

C1 · P1

2ª sust anci a

C2

P2

C2 · P2

M ezcl a

C1 + C2

P

C1 · P1+ C2 · P2

C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm

Un com er ciant e t iene dos clases d e caf é, la pr im er a a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg. ¿Cuant o s kilogr a m os hay que pon e r de cad a clase d e caf é pa r a obt ener 60 kilos de m ezcla a 50 € el kg?

1ª cl ase

2ª cl ase

Tot al

Nº de kg

x

60 − x

60

Val or

40 · x

60 · ( 60 − x)

60 · 50

40x + 60 · ( 60 − x) = 60 · 50 40x + 36 00 − 60x = 3000; x = 30;

− 60x + 40x = 3000 − 3600;

20x = 600

60 − 30 = 30

10

Tenem os que mezcl ar 30 kg de l a 1ª cl ase y ot ros 30 de l a 2ª cl ase .

Probl emas de al eaci ones La l e y d e l a al ea ci ón es l a rel aci ón ent re el peso del m et al f i no , e s decir , m ás valioso , y el pe so t ot al . Se r esue lven del m ism o modo que los pr obl em as de m ezclas, t eniendo en cuent a que la l e y de l a al eaci ón equi val e al preci o de l a mezcl a . C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La

Se t iene n dos lin got es de plat a, uno de le y 0. 750 y ot r o de ley 0. 950. ¿Q ué pe so hay q ue t om ar de cada ling ot e par a obt ener 180 0 g de pl at a d e ley 0. 900 ?

1ª l e y

2ª l e y

Tot al

Nº de g

x

1800 − x

1800

Pl at a

0. 750 · x

0. 950 · (1800−x)

0. 900 · 1800

0. 750 · x + 0. 950 · ( 1 800−x) = 0. 9 · 1800 0. 750 x + 1 710 − 0. 950x = 1 620 0. 750x − 0. 950x = 1 620 − 1 710 − 0. 2x = − 90 1ª ley

450 g

2ª ley

1350 g

x = 450

11

Probl emas de gri f os En una h or a el pr im er gr if o llena 1/ t 1 del dep ósit o. En una h or a el segundo gr i f o llena 1 / t 2 del depósit o. Si e xist e un desag üe En una h or a el desagüe va cí a 1/ t 3 del depós i t o. En una h or a los dos gr if os j unt os habr án llen ado: Sin desa güe

Con desa güe

Un gr if o t ar da e n ll enar un dep ó sit o t r es hor as y ot r o gr if o t ar da en llen ar lo cuat r o hor as. ¿Cuánt o t ie m po t ar dar án en llenar l os dos gr if os j unt os el depósit o ? En una h or a el pr im er gr if o llena 1/ 3 del depó sit o. En una h or a el segundo gr i f o llena 1 / 4 del depó sit o. En una h or a los dos gr if os j unt os habr án llen ado:

7x = 12

x = 12/ 7 horas

12

Probl emas de móvi l es Par a pla nt ear pr oblem as sobr e m óviles que lleva n velocid ad const ant e se ut iliza n las f órm ulas del m ovim ient o r ect ilí neo unif or m e: espaci o = vel ocidad × t i empo

1 e r caso Los m óvi l es van en sent i do cont rari o.

e

AB

+ e

BC

= e

AB

Dos ciud ades A y B dist an 300 km ent r e sí . A las 9 d e la m añ ana par t e de la c iu dad A un coche h acia l a ci udad B c on una v eloci dad de 90 km / h, y de la ciu dad B pa r t e otr o hacia la ci udad A con una veloci dad de 60 km / h. Se pide: 1 El t iem po que t ar dar án en e ncont r ar se. 90t + 60t = 300

150t = 300

t = 2 horas

2 La hor a del enc uent r o. Se encon t r ar an a las 11 de l a mañana . 3 La dist ancia r ecor r ida por cada uno. e

AB

= 90 · 2 = 180 km

e

BC

= 60 · 2 = 120 km

13

2 o cas o Los m óvi l es van en el mismo sent i do.

e

AC

− e

BC

= e

AB

Dos ciud ades A y B dist an 180 km ent r e sí . A las 9 de la m añana s a l e de un coche de cada ciud ad y los dos coches van en el m ism o sent ido. El que sale de A cir cula a 90 km / h, y el que sal e de B va a 60 km / h. Se pide: 1 El t iem po que t ar dar án en encont r ar se. 90t − 60t = 180

30t = 180

t = 6 horas

2 La hor a del enc uent r o. Se encon t r ar an a las 7 de la t arde . 3 La dist ancia r ecor r ida por cada uno. e

AB

= 90 · 6 = 540 km

e

BC

= 60 · 6 = 360 km

3 e r caso Los m óvi l es parten de l mi smo punt o y co n el mi smo sent ido. e

1

= e

2

Un coche sale de l a ciudad A a la ve locid ad d e 90 km /h. Tr es hor as m ás t ar de sale de la m ism a ciudad ot r o coche en per secución d el pr im er o co n una velo cidad de 120 km / h. Se pide: 14

1 El t iem po que t ar dar á en a lcanzar l o. 90t = 120 · ( t − 3) 90t = 120t − 360

−30t = −360

t = 12 horas

2 La dist ancia a l a que se pr oduce el encue nt r o. e

1

= 90 · 12 = 1080 km

Probl emas de rel oj es El ángul o o arco descri t o que recorre el mi nut ero es si empr e 12 veces m a yor que el arco que des cri be l a aguj a horari a. Un r eloj m ar ca las 3 en punt o. ¿A qué hor a ent r e las 3 y las 4 se super pon dr án las aguj as?

x es el arco que descri be l a aguj a horari a. ( 15 + x) es el arco que descri be el mi nut ero. 15 + x = 12x x = 15/ 11 m in Las aguj as se super pondr án a la 3 h 16 mi n 21 s 15

Un r eloj m ar ca la s 2 en p unt o. ¿A qué h or a f or m arán sus a guj as po r pr im er a vez un ángulo r ect o?

Las aguj as del r e loj f or m an un áng ulo r ect o a l as 2 h 25 m i n y un po co m ás, que llam ar em os x. x es el arco que descri be l a aguj a horari a. 25 + x, es el arco que descri be el mi nut ero. 25 + x = 12x x = 25/ 11 m in Las aguj as del r eloj conf orm ar án un ángulo d e 90° a las 2h 27 mi n 16 s.

Ecuaci o nes de 2º grado Resol uci ón de ecuaci one s de segundo grado Una ec ua ción de segundo g r ado es toda expr esión de la f or m a: ax 2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se r esuelve m edi ant e la siguient e f ór m ula:

16

Ej em plo:

Si es a 0 La

ecua ci ón

t i ene

dos

sol uciones,

que

son

númer os

r eal es

di st i nt os.

b 2 − 4ac = 0 La ecuac i ón t i ene una sol uci ón dobl e.

19

b 2 − 4ac < 0 La ecuac i ón no tiene sol uci ones real es.

Pr opi eda des de l as sol uci ones de l a ecuaci ón de 2º grado La suma de l as sol uci ones de un a ecuaci ón de segundo gr ado es igua l a:

El produ ct o de l as sol uci ones de una ecua ción de s egundo g r ado es igua l a:

Fact ori zaci ón de un t ri nomi o de segundo grado a x 2 + bx +c = 0 a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0

20